Modulo_2_100712018.pdf
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02'8/2
$JOFNÈUJDBEFQBSUJDVMBT En este capítulo se inicia el estudio del movimiento. Aquí no se tiene interés en las propiedades de los objetos ni en las causas de sus movimientos; el objetivo consiste sólo en describir y analizar el movimiento de un punto en el espacio. Después de definir la posición, velocidad y aceleración de un punto, se considera el caso más sencillo: el movimiento a lo largo de una línea recta. Posteriormente se muestra la manera en que el movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria arbitraria se expresa y analiza usando diversos sistemas coordenados.
Las líneas muestran las trayectorias seguidas por partículas subatómicas que se mueven en un campo magnético. Las partículas con trayectorias curvas tienen tanto componentes de aceleración tangenciales como normales.
an
at
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 22
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.1 Posición, velocidad y aceleración ANTECEDENTES Si alguien observa a la gente que se encuentra dentro de una habitación, por ejemplo un grupo de personas en una fiesta, podrá percibir las posiciones en relación con la habitación. Algunas personas estarán en el fondo de la habitación, otras en medio del cuarto, etcétera. La habitación es su “marco de referencia”. Para precisar esta idea se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas con sus ejes alineados con las paredes del cuarto como en la figura 13.1a y especificar la posición de una persona (en realidad, la posición de algún punto de la persona, por ejemplo su centro de masa) indicando las componentes del vector de posición r en relación con el origen del sistema coordenado. Este sistema de coordenadas es un marco de referencia conveniente para los objetos en la habitación. Si alguien está sentado en un avión, podrá percibir las posiciones de los objetos dentro del avión en relación con éste. En tal caso, el interior del avión es su marco de referencia. Para especificar de manera precisa la posición de una persona dentro del avión, se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas que esté fijo en relación con el avión y mida la posición del centro de masa de una persona especificando las componentes del vector de posición r en relación con el origen (figura 13.1b). Un marco de referencia es simplemente un sistema coordenado que es adecuado para especificar posiciones de puntos. Se recomienda familiarizarse por lo menos con las coordenadas cartesianas. En este capítulo se analiza otro ejemplo y a lo largo del libro se continúa el estudio de los marcos de referencia. Se puede describir la posición de un punto P en relación con un marco de referencia dado con origen O mediante el vector de posición r desde O hasta P (figura 13.2a). Suponga que P está en movimiento respecto al marco de referencia escogido, de manera que r es una función del tiempo t (figura 13.2b). Lo anterior se expresa mediante la notación r r(t). La velocidad de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como v =
r1t + ¢ t2 - r1t2 dr = lím , ¢t : 0 dt ¢t
(13.1)
y
x r
O
z (a) y
Figura 13.1 Marcos de referencias convenientes para especificar posiciones de objetos (a) en una habitación; (b) en un avión.
O
r x
z (b)
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.1 Posición, velocidad y aceleración P
23
P
r O
O (a)
(b) P(t t) r(t t) r(t)
r(t t)
P(t)
Figura 13.2 (a) Vector de posición r de P respecto a O. (b) Movimiento de P respecto al marco de referencia. (c) Cambio en la posición de P de t a t ¢t.
r(t) O (c)
donde el vector r(t ¢t) r(t) es el cambio de posición, o desplazamiento de P, durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.2c). Así, la velocidad es la razón de cambio de la posición de P. Las dimensiones de una derivada se determinan como si fuera una proporción, por lo que las dimensiones de v son (distancia)(tiempo). El marco de referencia usado suele ser obvio, y se llamará simplemente v a la velocidad de P. Sin embargo, recuerde que la posición y la velocidad de un punto pueden especificarse sólo con respecto a un marco de referencia. Observe en la ecuación (13.1) que la derivada de un vector con respecto al tiempo se define exactamente igual que la derivada de una función escalar. Por lo anterior, la derivada de un vector comparte algunas propiedades de la derivada de una función escalar. Se usarán dos de esas propiedades: la derivada con respecto al tiempo, o derivada del tiempo, de la suma de dos funciones vectoriales u y w es
v(t t) v(t) O
v(t t)
v(t t) v(t)
v(t)
Figura 13.3 Cambio en la velocidad de P desde t hasta t ¢t.
d du dw 1u + w2 = + , dt dt dt y la derivada respecto al tiempo del producto de una función escalar f y una función vectorial u es
d1fu2 dt
=
df du u + f . dt dt
P r O
r
La aceleración de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como
v1t + ¢t2 - v1t2 dv , a = = lím ¢t :0 dt ¢t
O (a)
(13.2)
donde v(t ¢t) v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.3). La aceleración es la razón de cambio de la velocidad de P en el tiempo t (la segunda derivada respecto al tiempo del desplazamiento), y sus dimensiones son (distancia)(tiempo)2. Se ha definido la velocidad y la aceleración de P en relación con el origen O del marco de referencia. Se puede demostrar que un punto tiene la misma velocidad y aceleración en relación con cualquier punto fijo en un marco de referencia dado. Sea O un punto fijado de manera arbitraria, y sea r el vector de posición de O a P (figura 13.4a). La velocidad de P relativa a O es v drdt. La velocidad de P
P r O
r R O (b)
Figura 13.4 (a) Vectores de posición de P relativos a O y O. (b) Vector de posición de O relativo a O.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 24
Capítulo 13 Movimiento de un punto
relativa al origen O es v drdt. Se desea demostrar que v v. Sea R el vector de O a O (figura 13.4b), de modo que r r R. Como el vector R es constante, la velocidad de P relativa a O es
v¿ =
dr¿ dr dR dr = = = v. dt dt dt dt
La aceleración de P relativa a O es a dvdt, y la aceleración de P relativa a O es a dvdt. Como v v, a a. Así, la velocidad y aceleración de un punto P relativas a un marco de referencia dado no dependen de la ubicación del punto de referencia fijo usado para especificar la posición de P.
RESULTADOS P
Posición La posición de un punto P en relación con un sistema coordenado específico, o marco de referencia, con origen O puede describirse mediante el vector de posición r de O a P.
r O
Velocidad La velocidad de P relativa a O en el tiempo t es la derivada de la posición r con respecto a t (la razón de cambio de r).
v
dr . dt
(13.1)
Aceleración La aceleración de P relativa a O en un tiempo t es la derivada de la velocidad v con respecto a t (la razón de cambio de v).
a
dv . dt
(13.2)
Un punto tiene la misma velocidad y aceleración relativas a cualquier punto fijo en un marco de referencia dado.
13.2 Movimiento en línea recta ANTECEDENTES Este tipo simple de movimiento se analiza primordialmente para que usted obtenga experiencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin embargo, en muchas situaciones prácticas los ingenieros deben analizar movimientos en línea recta, como el movimiento de un vehículo sobre un camino recto o el movimiento de un pistón en un motor de combustión interna.
Descripción del movimiento Considere una línea recta que pasa por el origen O de un marco de referencia dado. Se supone que la dirección de la línea relativa al marco de referencia está fija (por ejemplo, el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas pasa por el origen y
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13.2 Movimiento en línea recta
tiene una dirección fija en relación con el marco de referencia). Se puede especificar la posición de un punto P sobre una línea recta respecto a O por medio de una coordenada s medida a lo largo de la línea que va de O a P. En la figura 13.5a se define a s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P está a la derecha de O y negativa cuando P está a la izquierda de O. El desplazamiento de P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posición s(t) s(t0), donde s(t) denota la posición en el tiempo t. Al introducir un vector unitario e que es paralelo a la línea y que apunta en la dirección positiva de s (figura 13.5b), es posible escribir el vector de posición de P respecto a O como r se.
P
O
s
s (a) O
P
s
r
e
(b)
Figura 13.5 (a) Coordenada s de O a P. (b) Vector unitario e y vector de posición r.
Como la magnitud y la dirección de e son constantes, dedt 0, por lo que la velocidad de P respecto a O es
v =
dr ds e. = dt dt
Se puede escribir el vector velocidad como v ve, y obtener la ecuación escalar
v =
ds . dt
La velocidad v de un punto P a lo largo de la línea recta es la razón de cambio de su posición s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la línea tangente a la gráfica de s como una función del tiempo (figura 13.6). La aceleración de P respecto a O es
a =
s
v
dv d dv 1ve2 = e. = dt dt dt
1
Al escribir el vector de aceleración como a ae se obtiene la ecuación escalar
a =
dv d 2s . = dt dt 2
La aceleración a es igual a la pendiente en el tiempo t de la línea tangente a la gráfica de v como una función del tiempo (figura 13.7). Con la introducción del vector unitario e, se han obtenido ecuaciones escalares que describen el movimiento de P. La posición queda especificada por la coordenada s, y la velocidad y la aceleración están regidas por las ecuaciones
v =
ds dt
t
t
Figura 13.6 La pendiente de la línea recta tangente a la gráfica de s contra t es la velocidad en el tiempo t.
(13.3) v
y
dv . a = dt
(13.4)
Aplicando la regla de la cadena del cálculo diferencial, es posible escribir la derivada de la velocidad con respecto al tiempo como
a 1
dv dv ds = , dt ds dt con lo que se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que frecuentemente resulta útil:
a =
dv v. ds
(13.5)
t
t
Figura 13.7 La pendiente de la línea recta tangente a la gráfica de v contra t es la aceleración en el tiempo t.
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Capítulo 13 Movimiento de un punto
Análisis del movimiento
O
s
Figura 13.8 La coordenada s mide la posición del centro de masa del camión respecto a un punto de referencia.
En algunas situaciones se conoce la posición s de algún objeto como función del tiempo. Los ingenieros usan métodos como el radar y la interferometría de láser para medir posiciones en función del tiempo. En este caso, con las ecuaciones (13.3) y (13.4) pueden obtenerse por diferenciación la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posición del camión de la figura 13.8 durante el intervalo de tiempo de t 2 s a t 4 s está dada por la ecuación
s = 6 +
1 3 t m, 3
entonces, su velocidad y aceleración durante ese intervalo de tiempo son
v =
ds = t 2 m/s dt
a =
dv = 2t m/s 2. dt
y
Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición, porque la aceleración de un cuerpo se puede determinar mediante la segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actúan sobre él. Cuando se conoce la aceleración, con las ecuaciones (13.3) a (13.5) se pueden determinar por integración la velocidad y la posición. Aceleración especificada como función del tiempo Si la aceleración es una función conocida del tiempo, se puede integrar la relación
dv = a dt
(13.6)
con respecto al tiempo para determinar la velocidad en función del tiempo. Se obtiene
v =
L
a dt + A,
donde A es una constante de integración. Después se puede integrar la relación
ds = v dt
(13.7)
para determinar la posición en función del tiempo,
s =
L
v dt + B,
donde B es otra constante de integración. Para determinar las constantes A y B se necesita información adicional acerca del movimiento, por ejemplo los valores de v y s en un tiempo dado. En vez de usar integrales indefinidas, la ecuación (13.6) puede escribirse como dv a dt
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.2 Movimiento en línea recta
27
e integrar en términos de integrales definidas: v
Lv0
t
dv =
a dt.
Lt0
(13.8)
El límite inferior v0, es la velocidad en el tiempo t0 y el límite superior v es la velocidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral del lado izquierdo de la ecuación (13.8), se obtiene una expresión para la velocidad en función del tiempo: t
v = v0 +
a dt.
Lt0
(13.9)
Se puede escribir la ecuación (13.7) como ds v dt e integrar en términos de integrales definidas, s
t
ds =
Ls0
v dt,
Lt0
donde el límite inferior s0 es la posición en el tiempo t0 y el límite superior s es la posición en un tiempo t arbitrario. Evaluando la integral del lado izquierdo, se obtiene la posición como una función del tiempo: t
s = s0 +
Lt0
v dt.
(13.10)
Aunque se ha mostrado cómo determinar la velocidad y la posición cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo, no es recomendable memorizar resultados como las ecuaciones (13.9) y (13.10). Como se demostrará en los ejemplos, se recomienda que los problemas de movimiento en línea recta se resuelvan usando las ecuaciones (13.3) a (13.5). Se pueden realizar algunas observaciones útiles sobre las ecuaciones (13.9) y (13.10): • El área definida por la gráfica de la aceleración de P como una función del tiempo de t0 a t es igual al cambio en la velocidad de t0 a t (figura 13.9a). • El área definida por la gráfica de la velocidad de P como una función del tiempo de t0 a t es igual al cambio en la posición de t0 a t (figura 13.9b). A menudo estas relaciones pueden usarse para obtener una apreciación cualitativa del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para determinar su movimiento en forma cuantitativa.
v
a
Área v(t) v(t0) t0
t (a)
t
Área s(t) s(t0) t0
t (b)
t
Figura 13.9 Relaciones entre áreas definidas por las gráficas de la aceleración y la velocidad de P, y cambios en su velocidad y posición.
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Capítulo 13 Movimiento de un punto
Aceleración constante En algunas situaciones, la aceleración de un objeto es constante, o casi constante. Por ejemplo, si se deja caer un objeto denso, como una pelota de golf o una roca, y éste no cae muy lejos, la aceleración de este cuerpo es aproximadamente igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Sea la aceleración una constante conocida a0. A partir de las ecuaciones (13.9) y (13.10), la velocidad y la posición como funciones del tiempo son v v0 a0(t t0)
(13.11)
y
s = s0 + v01t - t02 +
1 a 1t - t022, 2 0
(13.12)
donde s0 y v0 son la posición y la velocidad, respectivamente, en el tiempo t0. Observe que si la aceleración es constante, la velocidad es una función lineal del tiempo. A partir de la ecuación (13.5), puede escribirse la aceleración como
a0 =
dv v. ds
Escribiendo esta expresión como v dv a0 ds e integrando, v
Lv0
s
v dv =
Ls0
a0 ds,
se obtiene una ecuación para la velocidad como una función de la posición:
v 2 = v 20 + 2a01s - s02.
(13.13)
Aunque las ecuaciones (13.11) a (13.13) pueden ser útiles cuando la aceleración es constante, no deben ser usadas en otros casos.
RESULTADOS Posición La posición de un punto P sobre una línea recta respecto a un punto de referencia O puede describirse mediante la coordenada s medida a lo largo de la línea desde O hasta P. El desplazamiento de P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio en posición s(t) s(t0), donde s(t) denota la posición en el tiempo t.
Velocidad La velocidad de P respecto a O en el tiempo t es la derivada de la posición s con respecto a t (la razón de cambio de s).
O
P s
v
ds . dt
(13.3)
s
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.2 Movimiento en línea recta
Aceleración La aceleración de P respecto a O en un tiempo t es la derivada de la velocidad v con respecto a t (la razón de cambio de v).
a
dv . dt
(13.4)
a
dv v. ds
(13.5)
Aplicando la regla de la cadena dv dv ds dt ds dt se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que con frecuencia resulta útil. a
Cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo La aceleración puede integrarse con respecto al tiempo para determinar la velocidad como una función del tiempo. A es una constante de integración.
De manera alternativa se pueden usar integrales definidas para determinar la velocidad. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo t0, y v es la velocidad en el tiempo t. Este resultado muestra que el cambio en la velocidad del tiempo t0 al tiempo t es igual al área definida por la gráfica de la aceleración desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.
dv a, dt v
L
a dt A.
v
L v0
t
dv
L t0
a dt, t
v v0
L t0
a dt.
a
Área v(t) v(t0) t0
t
t
Cuando se conoce la velocidad como una función del tiempo La velocidad puede integrarse con respecto al tiempo para determinar la posición como una función de éste. B es una constante de integración.
ds v, dt s
L
v dt B.
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Capítulo 13 Movimiento de un punto
Pueden usarse integrales definidas para determinar la posición. Aquí, s0 es la posición en el tiempo t0, y s es la posición en el tiempo t. Este resultado muestra que el cambio en la posición del tiempo t0 al tiempo t es igual al área definida por la gráfica de la velocidad desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.
s
L s0
t
dv
L t0
v dt,
s s0
t v dt.
Lt0
v
Área s(t) s(t0) t0
t
t
Cuando la aceleración es constante Suponga que la aceleración es una constante a a0. Las ecuaciones (13.3) a (13.5) pueden integrarse para obtener estos resultados convenientes para la velocidad v y la posición s en el tiempo t. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo t0, y s0 es la posición en el tiempo t0.
Ejemplo activo 13.1
v v0 a0(t t0),
(13.11)
1 a0(t t0)2, 2 v2 v20 2a0(s s0). s s0 v0(t t0)
(13.12) (13.13)
Aceleración que es una función del tiempo ( Relacionado con el problema 13.12) La aceleración (en m/s2) del punto P mostrado respecto al punto O está dada como una función del tiempo por a 3t2, donde t está en segundos. En t 1 s, la posición de P es s 3 m y en t 2 s, la posición de P es s 7.5 m. ¿Cuál es la posición de P en t 3 s? O
P
s
s
Estrategia Debido a que la aceleración está dada como una función del tiempo, ésta puede integrarse para obtener una ecuación para la velocidad en función del tiempo. Después se puede integrar la velocidad para obtener una ecuación para la posición en función del tiempo. Las ecuaciones resultantes contendrán dos constantes de integración. Estas expresiones pueden evaluarse usando los valores dados de la posición en t 1 s y t 2 s.
13.2 Movimiento en línea recta
Solución
Integre la aceleración para determinar la velocidad como una función del tiempo. A es una constante de integración.
Integre la velocidad para determinar la posición como una función del tiempo. B es una constante de integración.
Use las posiciones conocidas en t 1 s y en t 2 s para determinar A y B, obteniendo A 0.75 y B 2.
dv 3t2, dt v t3 A. a
ds t3 A, dt 1 s t4 At B. 4
v
1 4 (1) A(1) B, 4 1 s t2 s 7.5 (2)4 A(2) B. 4 s t1 s 3
1 s t4 0.75t 2 : 4 1 s t3 s (3)4 0.75(3) 2 24.5 m. 4
Determine la posición en t 3 s.
Problema de práctica La aceleración (en pies/s2) del punto P respecto al punto O está dado como una función del tiempo por a 2t, donde t está dado en segundos. Cuando t 3 s, la posición y la velocidad de P son s 30 pies y v 14 pies/s. ¿Qué valores tienen la posición y la velocidad de P en t 10 s?
O
P s
Respuesta: s 389 pies, v 105 pies/s.
s
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Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.2
Movimiento en línea recta con aceleración constante ( Relacionado con el problema 13.1) Los ingenieros que prueban un vehículo que debe lanzarse por paracaídas estiman que la velocidad vertical del automóvil al tocar el suelo será de 6 m/s. Si sueltan el vehículo desde el bastidor de prueba mostrado, ¿a qué altura h se debe soltar para simular la caída con paracaídas?
h
Estrategia Si la única fuerza significativa que actúa sobre un objeto cerca de la superficie de la Tierra es su peso, la aceleración del objeto es aproximadamente constante e igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Por lo tanto, se supone que la aceleración del vehículo durante su corta caída es g 9.81 m/s2. Se pueden integrar las ecuaciones (13.3) y (13.4) para obtener la velocidad y la posición del vehículo como funciones del tiempo y después usarlas para determinar la posición del vehículo cuando su velocidad es igual a 6 m/s. Solución Sea t 0 el tiempo en el que el vehículo se suelta, y sea s la posición del fondo de la plataforma que soporta al vehículo respecto a su posición en t 0 (figura a). La aceleración del vehículo es a 9.81 m/s2. De la ecuación (13.4),
dv = a = 9.81 m/s 2. dt Integrando, se obtiene v 9.81t A, donde A es una constante de integración. Como el vehículo se encuentra en reposo al soltarlo, v 0 cuando t 0. Por lo tanto, A 0, y la velocidad del vehículo en función del tiempo es v 9.81t m/s.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.2 Movimiento en línea recta
s
a) La coordenada s mide la posición del fondo de la plataforma respecto a su posición inicial.
Se sustituye este resultado en la ecuación (13.3) para obtener
ds = v = 9.81t dt y se integra, de donde resulta s 4.91t2 B. La posición s 0 cuando t 0, por lo que la constante de integración B 0, y la posición en función del tiempo es s 4.91t2. De la ecuación para la velocidad como una función del tiempo, el tiempo necesario para que el vehículo alcance 6 m/s es
t =
v 6 m/s = = 0.612 s. 9.81 m/s 2 9.81 m/s 2
Sustituyendo este tiempo en la ecuación para la posición en función del tiempo, se obtiene la altura h requerida: h 4.91t2 4.91(0.612)2 1.83 m.
Razonamiento crítico Observe que la altura h, desde la cual debe soltarse el vehículo, podría haberse determinado de una manera más simple usando la ecuación (13.13), que relaciona la velocidad con la posición.
v2 v20 2a0(s s0): (6 m/s)2 0 2(9.81 m/s2)(h 0). Al resolver, se obtiene h 1.83 m. Pero resulta esencial recordar que las ecuaciones (13.11) a (13.13) son aplicables sólo cuando la aceleración es constante, como en este ejemplo.
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Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.3
Solución gráfica de un movimiento en línea recta ( Relacionado con el problema 13.26) El guepardo, Acinonyx jubatus, puede correr a 75 mi/h. Si se supone que la aceleración del animal es constante y que alcanza su velocidad máxima en 4 s, ¿qué distancia podrá recorrer en 10 s?
Estrategia La aceleración tiene un valor constante durante los primeros 4 s y después es cero. Se puede determinar la distancia recorrida durante cada una de esas “fases” del movimiento y sumarlas para obtener la distancia total recorrida. Esto se hará de manera analítica y gráfica.
Solución La velocidad máxima en pies por segundo es
75 mi/h = 175 mi/h2a
1h 5280 pies ba b = 110 pies/s. 1 mi 3600 s
Primer método Sea a0 la aceleración durante los primeros 4 s. Se integra la ecuación (13.4) y resulta v
t
dv =
L0
a0 dt,
L0
v
t
0
0
c v d = a0 ct d , v - 0 = a01t - 02, de donde se obtiene la velocidad en función del tiempo durante los primeros 4 s: v a0 t pies/s. Cuando t 4 s, v 110 pies/s; entonces a0 1104 27.5 pies/s2. Por lo tanto, la velocidad durante los primeros 4 segundos es v 27.5t pies/s. Ahora se integra la ecuación (13.3), s
L0
t
ds = s
L0
27.5t dt,
cs d = 27.5c 0
t2 t d , 2 0
s - 0 = 27.5a
t2 - 0b , 2
y se obtiene la posición como función del tiempo durante los primeros 4 s: s 13.75t 2 pies.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.2 Movimiento en línea recta
En t 4 s la posición es s 13.75(4)2 220 pies. De t 4 s a t 10 s, la velocidad v 110 pies/s. Se escribe la ecuación (13.3) como ds v dt 110 dt y se integra para determinar la distancia viajada durante la segunda fase del movimiento, s
L0
10
ds =
L4
110 dt,
s
10
0
4
cs d = 110c t d , s - 0 = 110110 - 42, obteniendo s 660 pies. La distancia total que viaja el guepardo en 10 s es 220 pies 660 pies 880 pies, o 293 yd. Segundo método En la figura a se dibuja la gráfica de la velocidad del guepardo en función del tiempo. La aceleración es constante durante los primeros 4 s de su movimiento, por lo que su velocidad es una función lineal del tiempo desde v 0 en t 0 hasta v 110 pies/s en t 4 s. La velocidad es constante durante los últimos 6 s. La distancia total recorrida es la suma de las áreas durante las dos fases del movimiento:
v (pies/s)
–12 (4 s)(110 pies/s) (6 s)(110 pies/s) 220 pies 660 pies 880 pies.
El área es igual a la distancia recorrida de t 0 a t 10 s. 110
0
0
10
4
t (s)
(a) Velocidad del guepardo en función del tiempo.
Razonamiento crítico Observe que en el primer método se usaron integrales definidas en vez de indefinidas para determinar la velocidad y posición del guepardo en función del tiempo. Se sugiere resolver este ejemplo usando integrales indefinidas y comparar los resultados de ambos métodos. El uso de integrales definidas o indefinidas es una cuestión de preferencia personal, pero es necesario estar familiarizado con ambos procedimientos.
35
36
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas Los siguientes problemas implican movimiento en línea recta. El tiempo t está en segundos a menos que se indique otra cosa. 13.1 En el ejemplo 13.2 suponga que el vehículo se deja caer desde una altura h 6 m. a) ¿Qué valor tiene la velocidad descendente 1 s después de soltar el vehículo? b) ¿Qué valor tiene la velocidad descendente justo antes de llegar al suelo? 13.2 La fresadora que se muestra en la figura está programada de modo que durante el intervalo de tiempo desde t 0 hasta t 2 s, la posición de su cabeza (en pulgadas) está dada como una función del tiempo por s 4t 2t 2. ¿Cuál es la velocidad (en pulg/s) y la aceleración (en pulg/s2) de la cabeza cuando t 1 s?
13.3 En un experimento para estimar la aceleración debida a la gravedad, un estudiante deja caer una pelota a una distancia de 1 m sobre el piso. Su compañero de laboratorio mide el tiempo que la pelota tarda en caer y obtiene una estimación de 0.46 s. a) ¿Cuál es su estimación de la aceleración debida a la gravedad? b) Sea s la posición de la pelota respecto al piso. Usando el valor de la aceleración debida a la gravedad obtenida por los estudiantes, y suponiendo que la pelota se suelta en t 0, determine s (en m) como una función del tiempo.
s
s
Problema 13.2
s0
Problema 13.3
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW Problemas 13.4 La posición del bote que se muestra en la figura durante el intervalo de tiempo desde t 2 s hasta t 10 s está dada por s 4t 1.6t2 0.08t3 m. a) Determine la velocidad del bote y la aceleración en t 4 s. b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bote durante este intervalo de tiempo y cuándo ocurre?
37
13.7 La posición de un punto durante el intervalo de tiempo desde t 0 hasta t 3 s es s 12 5t2 t3 pies. a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo, y en qué momento ocurre? b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima? 13.8 La manivela giratoria que se muestra en la figura ocasiona que la posición del punto P como una función del tiempo sea s 0.4 sen(2pt) m. a) Determine la velocidad y la aceleración de P en t 0.375 s. b) ¿Cuál es la magnitud máxima de la velocidad de P? c) Cuando la magnitud de la velocidad de P es máxima, ¿cuál es la aceleración de P? 13.9 Para el mecanismo del problema 13.8, dibuje gráficas de la posición s, la velocidad v y la aceleración a del punto P como funciones del tiempo para 0 t 2 s. Usando sus gráficas, confirme que la pendiente de la gráfica de s es cero en los tiempos para los cuales v es igual a cero y que la pendiente de la gráfica de v es cero en los tiempos para los cuales a es igual a cero.
Problema 13.4 13.5 El cohete que se muestra en la figura parte del reposo en t = 0 y viaja hacia arriba en línea recta. Su altura sobre el suelo como una función del tiempo puede aproximarse por s bt2 ct3, donde b y c son constantes. En t 10 s, la velocidad del cohete y la aceleración son v 229 m/s y a 28.2 m/s2. Determine el tiempo en el que el cohete alcanza la velocidad supersónica (325 m/s). ¿Cuál es la altura cuando esto ocurre?
P s
Problemas 13.8/13.9 13.10 Un sismógrafo mide el movimiento horizontal del terreno durante un sismo. Al analizar los datos, un ingeniero determina que para un intervalo de 10 segundos comenzando en t 0, la posición se puede expresar aproximadamente con s 100 cos(2pt) mm. ¿Cuáles son a) la velocidad máxima y b) la aceleración máxima del terreno durante el intervalo de 10 segundos? 13.11 En una operación de ensamblaje, el brazo de robot mostrado se mueve a lo largo de una línea recta. Durante un intervalo de tiempo de t 0 a t 1 s, su posición está dada por s 30t2 20t3 mm. a) Determine la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo. b) ¿Qué valores tienen la posición y la aceleración cuando la velocidad es máxima? s
s
Problema 13.5 13.6 La posición de un punto durante el intervalo de tiempo 1 desde t 0 hasta t 6 s está dada por s –2 t3 6t2 4t m. a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo y en qué momento ocurre? b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima?
Problema 13.11
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición 13.37 Si u 1 rad y dudt 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad de P respecto a O? Estrategia: Se puede escribir la posición de P respecto a O como s (2 pies) cos u (2 pies) cos u,
41
13.39* Si u 1 rad y dudt 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad de P relativa a O?
y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad. 13.38 Si u 1 rad, dudt 2 rad/s y d 2udt 2 0, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración de P respecto a O?
400 mm
200 mm
O
u
s
P
Problema 13.39 2 pies
2 pies
u O P s
Problemas 13.37/13.38
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición ANTECEDENTES Aceleración especificada como función de la velocidad Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicas ocasionan que la aceleración de un objeto dependa de su velocidad (figura 13.10). Suponga que la aceleración es una función conocida de la velocidad; es decir,
dv = a1v2. dt
(13.14)
No es posible integrar esta ecuación con respecto al tiempo para determinar la velocidad, porque a(v) no se conoce como función del tiempo. Sin embargo, se pueden separar variables poniendo los términos que contengan v en un lado de la ecuación y los términos que contengan t en el otro lado:
dv = dt. a1v2
(13.15)
Ahora se puede integrar, de donde se obtiene v
t
dv dt, = Lt0 Lv0 a1v2
(13.16)
Figura 13.10 Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicas dependen de la velocidad del cuerpo. Cuando la velocidad de la bala decrece, la fuerza aerodinámica de arrastre que resiste su movimiento disminuye.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 42
Capítulo 13 Movimiento de un punto
donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. En principio, se puede resolver esta ecuación para la velocidad en función del tiempo, y luego integrar la relación
ds = v dt para determinar la posición en función del tiempo. Usando la regla de la cadena, también se puede determinar la velocidad en función de la posición. Escribiendo la aceleración como
dv ds dv dv v = = dt ds dt ds y sustituyéndola en la ecuación (13.14) se obtiene
dv v = a1v2. ds La separación de variables produce
v dv = ds. a1v2 Integrando, v
s
v dv ds, = a1v2 Ls0 Lv0 es posible obtener una relación entre la velocidad y la posición. Aceleración especificada como función de la posición Las fuerzas gravitatorias y las fuerzas ejercidas por resortes pueden hacer que la aceleración de un cuerpo dependa de su posición. Si la aceleración se conoce como una función de la posición; es decir,
dv = a1s2, dt
(13.17)
no se puede integrar con respecto al tiempo para determinar la velocidad porque a(s) no se conoce como función del tiempo. Además, no es posible separar variables porque la ecuación contiene tres variables: v, t y s. Sin embargo, usando la regla de la cadena
dv dv ds dv v, = = dt ds dt ds la ecuación (13.17) puede escribirse como
dv v = a1s2. ds Ahora se pueden separar variables, v dv a(s) ds,
(13.18)
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición
y se integra: v
Lv0
s
v dv =
Ls0
a1s2 ds.
(13.19)
En principio se puede resolver esta ecuación para la velocidad en función de la posición:
v =
ds = v1s2. dt
(13.20)
Luego es posible separar variables en esta ecuación e integrar para determinar la posición en función del tiempo: s
t
ds dt. = Ls0 v1s2 Lt0
RESULTADOS
Cuando la aceleración se conoce como una función de la velocidad, a a(v).
Separe variables dv a(v): dt dv dt, a(v) e integre para determinar la velocidad como una función del tiempo. O aplique primero la regla de la cadena, dv dv ds dv v a(v), dt ds dt ds Después, separe variables, v dv ds, a(v) e integre para determinar la velocidad como una función de la posición.
Aplique la regla de la cadena, Cuando la aceleración se conoce como una función de la posición, a a(s).
dv dv ds dv v a(s), dt ds dt ds después separe variables, v dv a(s)ds, e integre para determinar la velocidad como una función de la posición.
43
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo activo 13.4
Aceleración que es una función de la velocidad ( Relacionado con el problema 13.40) Después de desplegar su paracaídas de freno, el avión que se presenta en la figura tiene una aceleración (en m/s2) de a 0.004v2, donde v es la velocidad en m/s. Determine el tiempo requerido para que la velocidad del avión se reduzca de 80 m/s a 10 m/s. Estrategia La aceleración del avión se conoce como una función de su velocidad. Si se escribe la aceleración como a dvdt, es posible separar variables e integrar para determinar la velocidad como una función del tiempo. Solución
dv 0.004v2 : dt dv 0.004dt. v2
Separe variables.
v
t
dv 0.004 dt, L80 v2 L0 t 1 v 0.004 t , v 80 0
Integre, definiendo t 0 como el tiempo en el cual la velocidad es de 80 m/s. Aquí v es la velocidad en el tiempo t.
1 1 0.004t. v 80 Despeje t en términos de la velocidad. A partir de esta ecuación, se encuentra que el tiempo requerido para que la velocidad disminuya a 10 m/s es 21.9 s. En la gráfica se muestra la velocidad del avión como una función del tiempo.
t 250
v 80 . 1
1
80 70 60 v (m/s)
44
50 40 30 20 10 0
0
5
10
15
20
21.9
25
30
t (s)
Problema de práctica ¿Qué distancia viaja el avión mientras su velocidad disminuye de 80 m/s a 10 m/s? Respuesta: 520 m.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 46
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.40 En el ejemplo activo 13.4, determine el tiempo requerido para que la velocidad del avión disminuya de 50 m/s a 10 m/s. 13.41 Un ingeniero que está diseñando un sistema para controlar el puntero de un proceso de maquinado, modela el sistema de manera que la aceleración del puntero (en pulg/s2) durante un intervalo de tiempo está dado por a 0.4v, donde v es la velocidad del puntero en pulg/s. Cuando t 0, la posición es s 0 y la velocidad es v 2 pulg/s. ¿Cuál es la posición en t 3 s?
s
Problema 13.41
13.42 La lancha de la figura se mueve a 10 m/s cuando su motor se apaga. Debido a la resistencia aerodinámica, su aceleración subsecuente es a 0.05v2 m/s2, donde v es la velocidad de la lancha en m/s. ¿Cuál es la velocidad de la lancha 4 s después de que se apaga el motor? 13.43 En el problema 13.42, ¿qué distancia recorre la lancha en los 4 s que siguen al apagado del motor?
13.44 Una bola de acero se libera del reposo en un recipiente de aceite. Su aceleración hacia abajo es a 2.4 0.6v pulg/s2, donde v es la velocidad en pulg/s. ¿Cuál es la velocidad hacia abajo de la bola 2 s después de haber sido soltada? 13.45 En el problema 13.44, ¿cuál es la distancia que cae la bola en los primeros 2 s después de haber sido soltada?
Problemas 13.44/13.45
13.46 La mayor profundidad oceánica descubierta hasta ahora se halla en el foso de las Marianas, en el Océano Pacífico occidental. Si se libera una bola de acero en la superficie requiere 64 minutos para llegar al fondo. La aceleración de la bola hacia abajo es a 0.9g cv, donde g 9.81 m/s2 y la constante c 3.02 s1. ¿Cuál es la profundidad del foso de las Marianas en kilómetros? 13.47 La aceleración de un avión regional durante su carrera de despegue es a 14 0.0003v2 pies/s2, donde v es la velocidad en pies/s. ¿Cuánto tiempo tarda el avión en alcanzar su velocidad de despegue de 200 pies/s? 13.48 En el problema 13.47, ¿qué distancia requiere el avión para despegar?
Problemas 13.42/13.43
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 49
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas 13.63 El radio de la Luna de 1738 km. La magnitud de la aceleración debida a la gravedad en su superficie a una distancia s desde su centro es 4.89 * 1012 s2
m/s2.
Suponga que una nave espacial se lanza hacia arriba desde la superficie de la Luna con una velocidad de 2000 m/s. a) ¿Cuál será la magnitud de su velocidad cuando se encuentre a 1000 km sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanzará sobre la superficie de la Luna?
13.65 Suponga que se puede taladrar un túnel recto a través de la Tierra, desde el Polo Norte hasta el Polo Sur, y evacuar el aire. Un objeto liberado desde la superficie caería con aceleración a gsRE, donde g es la aceleración de la gravedad al nivel del mar, RE es el radio de la Tierra y s es la distancia del objeto respecto al centro de la Tierra. (La aceleración debida a la gravedad es igual a cero en el centro de la Tierra y se incrementa linealmente con la distancia desde el centro). ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del objeto cuando éste llega el centro de la Tierra?
13.66* Determine el tiempo en segundos requerido para que el objeto del problema 13.65 caiga desde la superficie de la Tierra hasta su centro. El radio de la Tierra es de 6370 km.
13.64* La velocidad de un objeto sometido sólo al campo gravitacional de la Tierra es
N Túnel
v =
cv20
+
1 1>2 - bd , s s0
1 2gR2E a
s
donde s es la posición del objeto respecto al centro de la Tierra, v0 es la velocidad en la posición s0, y RE es el radio de la Tierra. Usando esta ecuación, muestre que la aceleración del objeto está dada como una función de s por a gRE2 s2.
RE
S
Problemas 13.65/13.66
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas ANTECEDENTES El movimiento de un punto a lo largo de una línea recta puede describirse mediante los escalares s, v y a. Pero si un punto describe una trayectoria curvilínea, respecto a algún marco de referencia, se debe especificar su movimiento en términos de los vectores de posición, velocidad y aceleración. En muchos casos, el movimiento del punto puede analizarse de manera conveniente expresando los vectores en coordenadas cartesianas. Sea r el vector de posición de un punto P respecto al origen O de un marco de referencia cartesiano (figura 13.11). Las componentes de r son las coordenadas x, y y z de P:
y
r xi y j z k.
P (x, y, z)
Los vectores unitarios i, j y k tienen cada uno magnitudes y direcciones constantes respecto al marco de referencia, por lo que la velocidad de P en relación con su marco de referencia es
v =
dy dr dz dx i + j + k. = dt dt dt dt
x O
(13.21) z
Expresando la velocidad en términos de componentes escalares, se obtiene v vx i vy j vz k,
r
j
(13.22)
i
k
Figura 13.11 Sistema coordenado cartesiano con origen en O.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 50
Capítulo 13 Movimiento de un punto
de donde se obtienen ecuaciones escalares que relacionan las componentes de la velocidad con las coordenadas de P:
vx =
dy dx dz , vy = , vz = . dt dt dt
(13.23)
La aceleración de P es
dvy dvz dvx dv i + j + k. = dt dt dt dt
a =
Expresando la aceleración en términos de componentes escalares, a ax i ay j az k,
(13.24)
se obtienen las ecuaciones escalares
ax =
y
v0
u0 x
Figura 13.12 Condiciones iniciales para un problema de proyectil.
dvy dvz dvx , ay = , az = . dt dt dt
(13.25)
Las ecuaciones (13.23) y (13.25) describen el movimiento de un punto respecto a un sistema cartesiano. Observe que las ecuaciones que describen el movimiento en cada dirección coordenada son idénticas en forma a las ecuaciones que describen el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. En consecuencia, a menudo se puede analizar el movimiento en cada dirección coordenada usando los métodos aplicables al movimiento en línea recta. El problema del proyectil es el ejemplo clásico de este tipo. Si un objeto se dispara al aire y la resistencia aerodinámica es insignificante, su aceleración hacia abajo será la aceleración de la gravedad. En términos de un sistema coordenado cartesiano fijo, con su eje y hacia arriba, la aceleración está dada por ax 0, ay g y az 0. Suponga que en t 0, el proyectil se encuentra en el origen y tiene velocidad v0, en el plano xy a un ángulo u0, sobre la horizontal (figura 13.12). En t 0, x 0 y vx v0 cos u0. La aceleración en la dirección x es cero; es decir,
ax =
dvx = 0. dt
Por lo tanto, vx es constante y permanece igual a su valor inicial:
vx =
dx = v0 cos u0. dt
(13.26)
(Este resultado puede parecer poco realista. La razón es que la intuición, con base en la experiencia diaria, considera la resistencia del aire, mientras que el análisis que se presenta aquí no lo hace). Integrando la ecuación (13.26), resulta x
L0
t
dx =
L0
v0 cos u0 dt,
y se obtiene la coordenada x del objeto como una función del tiempo: x (v0 cos u0)t.
(13.27)
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
51
Así se ha determinado la posición y la velocidad del proyectil en la dirección x como funciones del tiempo sin considerar el movimiento en las direcciones y o z. En t 0, y 0 y vy v0 sen u0. La aceleración en la dirección y es
ay =
dvy dt
= - g.
Integrando, se obtiene vy
t
Lv0 sen u0
dvy =
L0
- g dt,
de donde se sigue que
vy =
dy = v0 sen u0 - gt. dt
(13.28)
Al integrar esta ecuación, resulta y
L0
t
dy =
L0
1v0 sen u0 - gt2 dt,
y se encuentra que la coordenada y en función del tiempo es
y = 1v0 sen u02t - 12gt2.
(13.29)
Observe en este análisis que se obtienen la misma velocidad y la misma posición vertical lanzando el proyectil hacia arriba con velocidad inicial v0 sen u0 (figuras 13.13a y b). El movimiento vertical es completamente independiente del movimiento horizontal. Despejando t de la ecuación (13.27) y sustituyendo el resultado en la ecuación (13.29), se obtiene una ecuación que describe la trayectoria parabólica del proyectil:
y = 1tan u02x -
g 2v20
cos2 u0
x 2.
(13.30)
y
x x
x
x
x (a)
x (b)
Figura 13.13 (a) Posiciones del proyectil en intervalos de tiempo ¢t iguales. La distancia ¢x v0(cos u0) ¢t. (b) Posiciones en intervalos de tiempo ¢t iguales de un proyectil, dada una velocidad vertical inicial igual a v0 sen u0.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 52
Capítulo 13 Movimiento de un punto
RESULTADOS y P (x, y, z) r
O
x
z
Las componentes del vector de posición de un punto P respecto al origen O de un sistema coordenado cartesiano son las coordenadas x, y, z de P.
r xi yj zk.
Componentes cartesianas de la velocidad de P respecto al marco de referencia.
vx
dx dy dz , vy , vz . dt dt dt
(13.23)
Componentes cartesianas de la aceleración de P respecto al marco de referencia.
ax
dvy dvz dvx , ay , az . dt dt dt
(13.25)
La forma de las ecuaciones que describen el movimiento en cada dirección coordenada es idéntica a la de las ecuaciones que describen el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. En consecuencia, el movimiento en cada dirección coordenada puede analizarse usando los métodos para el movimiento rectilíneo.
Ejemplo activo 13.6
Análisis del movimiento en términos de componentes cartesianas ( Relacionado con el problema 13.67) Durante un vuelo de prueba, un helicóptero parte del reposo en t 0 en el origen del sistema de coordenadas mostrado y se mueve en el plano x–y, los acelerómetros montados a bordo indican que sus componentes de aceleración (en m/s2) durante el intervalo del tiempo de t 0 a t 10 s son ax 0.6t, ay 1.8 0.36t, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del helicóptero en t 6 s?
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
y
x
Estrategia Se puede analizar de manera independiente el movimiento en cada dirección coordenada, integrando cada componente de la aceleración para determinar las componentes de la velocidad en función del tiempo. Solución
Integre la componente x de la aceleración para determinar la componente x de la velocidad en función del tiempo.
dvx 0.6t, dt vx t dvx 0.6 t dt, L L 0 0 ax
vx 0.3t2. Evalúe la componente x de la velocidad en t 6 s.
Integre la componente y de la aceleración para determinar la componente y de la velocidad en función del tiempo.
vx t6 s 0.3(6)2 10.8 m/s.
ay vy
L 0
dvy dt
1.8 0.36t,
t
dvy (1.8 0.36t) dt, L 0 vy 1.8t 0.18t2.
Evalúe la componente y de la velocidad en t 6 s.
vy t6 s 1.8(6) 0.18(6)2 4.32 m/s.
|v|t6 s vx2 vy2 Calcule la magnitud de la velocidad en t 6 s.
2 2 (10.8 m/s) (4.32 m/s)
11.6 m/s Problema de práctica Determine el vector de posición del helicóptero en t 6 s respecto a su posición en t 0. Respuesta: rt 6 s 21.6i 19.4j (m).
53
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 54
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problema de un proyectil ( Relacionado con el problema 13.69)
Ejemplo 13.7
El esquiador mostrado en la figura deja la superficie inclinada 20° a 10 m/s. a) Determine la distancia d hasta el punto donde aterriza. b) ¿Cuáles son las magnitudes de sus componentes de velocidad paralela y perpendicular a la superficie inclinada a 45° justo antes de aterrizar?
20 3m
Estrategia a) Si se ignora el arrastre aerodinámico y se trata al esquiador como un proyectil, puede d
45
determinarse su velocidad y posición en función del tiempo. Usando la ecuación que describe la superficie recta sobre la que el esquiador aterriza, se pueden relacionar sus coordenadas horizontal y vertical en el impacto y, consecuentemente, obtener una ecuación para el tiempo en el cual aterriza. Al conocer el tiempo, es posible determinar su posición y velocidad. b) Se puede determinar la velocidad paralela y perpendicular a la superficie inclinada a 45° usando el resultado de que la componente de un vector U en la dirección de un vector unitario e es (e ⴢ U)e. Solución
y
a) En la figura a se introduce un sistema coordenado con su origen en el punto donde
el esquiador despega. Sus componentes de velocidad en ese instante (t 0) son 20
vx 10 cos 20° 9.40 m/s
x
y
3m
vy 10 sen 20° 3.42 m/s.
e
La componente x de la aceleración es cero, por lo tanto vx es constante y la coordenada x del esquiador en función del tiempo es
d
x 9.40t m.
45
La componente y de la aceleración es (a)
ay =
dvy dt
= - 9.81 m/s2.
Integrando para determinar vy como una función del tiempo, se obtiene vy
t
L-3.42
dvy =
L0
- 9.81 dt,
de donde resulta que
vy =
dy = - 3.42 - 9.81t m/s. dt
Se integra esta ecuación para determinar la coordenada y como una función de tiempo. Se tiene y
L0
t
dy =
L0
1 - 3.42 - 9.81t2 dt,
de donde
y 3.42t 4.905t2 m.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
La pendiente de la superficie sobre la cual aterriza el esquiador es 1, por lo que la ecuación lineal que la describe es y (1)x A, donde A es una constante. En x 0, la coordenada y de la superficie es 3 m, entonces A 3 m y la ecuación que describe la superficie inclinada a 45° es
y x 3 m. Al sustituir las ecuaciones obtenidas para x e y como funciones del tiempo en esta ecuación, se obtiene una expresión para el tiempo en el cual aterriza el esquiador:
3.42t 4.905t2 9.40t 3. Despejando t, se obtiene t 1.60 s. Por lo tanto, sus coordenadas cuando el esquiador aterriza son
x 9.40(1.60) 15.0 m y
y 3.42(1.60) 4.905(1.60)2 18.0 m, y la distancia d es
d = 2115.022 + 118.0 - 322 = 21.3 m. b) Las componentes de la velocidad del esquiador justo antes de aterrizar son
vx 9.40 m/s y
vy 3.42 9.81(1.60) 19.1 m/s, y la magnitud de su velocidad es ƒ v ƒ = 219.4022 + 1-19.122 = 21.3 m/s. Sea e un vector unitario paralelo a la pendiente sobre la que aterriza (figura a):
e cos 45°i sen 45°j. La componente de la velocidad paralela a la superficie es (e ⴢ v)e [(cos 45°i sen 45°j) ⴢ (9.40i 19.1j)]e
20.2e (m/s). La magnitud de la velocidad del esquiador paralela a la superficie es 20.2 m/s. Por consiguiente, la magnitud de su velocidad perpendicular a la superficie es
2 ƒ v ƒ 2 - 120.222 = 6.88 m/s. Razonamiento crítico La clave para resolver este problema fue que se conocía la aceleración del esquiador. Al saber cuál era la aceleración, se pudieron determinar las componentes de su velocidad y su posición como funciones del tiempo. Observe cómo se determinó la posición en la que el esquiador aterrizó sobre la pendiente. Se supo que al instante de aterrizar, sus coordenadas x e y especifican un punto sobre la línea recta que define la superficie de la pendiente. Al sustituir su coordenadas x e y como funciones del tiempo en la ecuación para la línea recta que define la pendiente, fue posible resolver el tiempo en el que aterrizó. Conociendo el tiempo, se pudo determinar su posición y velocidad en ese instante.
55
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 56
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.67 En una segunda prueba, las coordenadas de posición (en m) del helicóptero del ejemplo activo 13.6 están dadas como funciones del tiempo por x 4 2t, y 4 4t t 2. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del helicóptero en t 3 s? b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del helicóptero en t 3 s? 13.68 En términos de un marco de referencia particular, la posición del centro de masa del F-14 en el instante mostrado (t 0) es r 10i 6j 22k (m). La velocidad de t 0 a t 4 s es v (52 6t)i (12 t2)j (4 2t2)k (m/s). ¿Cuál es la posición del centro de masa del avión en t 4 s?
13.71 Inmediatamente después de que la pelota de golf mostrada despega del piso, sus componentes de velocidad son vx 0.662 m/s y vy 3.66 m/s. a) Determine la distancia horizontal desde el punto donde la pelota despegó del piso hasta el punto donde lo golpea de nuevo. b) La pelota despega del piso en x 0, y 0. Determine la coordenada y de la pelota como una función de x. (La función parabólica que se obtendrá se muestra superpuesta sobre la fotografía de la pelota).
y
Problema 13.68
x Problema 13.71
13.69 En el ejemplo 13.7, suponga que el ángulo entre la horizontal y la pendiente sobre la cual aterriza el esquiador es de 30° en vez de 45°. Determine la distancia d hasta el punto donde aterriza. 13.70 Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con velocidad inicial v0 20 m/s. Determine su alcance R si a) u0 30°, b) u0 45° y c) u0 60°. y
13.72 Suponga que usted está diseñando un mortero para lanzar una cuerda de salvamento desde un guardacostas a un buque en zozobra. La cuerda está unida a un peso que es lanzado por el mortero. Ignore la resistencia aerodinámica y el peso de la cuerda para su análisis preliminar. Si desea que la cuerda alcance un buque que se encuentra a 300 pies cuando el mortero se dispara a 45° sobre la horizontal, ¿cuál es la velocidad inicial en la boca del mortero requerida? 13.73 En el problema 13.72, ¿cuál es la altura máxima sobre el punto de disparo que alcanza el peso?
v0
u0 x R
y 45
x
Problema 13.70 Problemas 13.72/13.73
$JOFNÈUJDBEFQBSUJDVMBT En este capítulo se inicia el estudio del movimiento. Aquí no se tiene interés en las propiedades de los objetos ni en las causas de sus movimientos; el objetivo consiste sólo en describir y analizar el movimiento de un punto en el espacio. Después de definir la posición, velocidad y aceleración de un punto, se considera el caso más sencillo: el movimiento a lo largo de una línea recta. Posteriormente se muestra la manera en que el movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria arbitraria se expresa y analiza usando diversos sistemas coordenados.
Las líneas muestran las trayectorias seguidas por partículas subatómicas que se mueven en un campo magnético. Las partículas con trayectorias curvas tienen tanto componentes de aceleración tangenciales como normales.
an
at
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 22
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.1 Posición, velocidad y aceleración ANTECEDENTES Si alguien observa a la gente que se encuentra dentro de una habitación, por ejemplo un grupo de personas en una fiesta, podrá percibir las posiciones en relación con la habitación. Algunas personas estarán en el fondo de la habitación, otras en medio del cuarto, etcétera. La habitación es su “marco de referencia”. Para precisar esta idea se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas con sus ejes alineados con las paredes del cuarto como en la figura 13.1a y especificar la posición de una persona (en realidad, la posición de algún punto de la persona, por ejemplo su centro de masa) indicando las componentes del vector de posición r en relación con el origen del sistema coordenado. Este sistema de coordenadas es un marco de referencia conveniente para los objetos en la habitación. Si alguien está sentado en un avión, podrá percibir las posiciones de los objetos dentro del avión en relación con éste. En tal caso, el interior del avión es su marco de referencia. Para especificar de manera precisa la posición de una persona dentro del avión, se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas que esté fijo en relación con el avión y mida la posición del centro de masa de una persona especificando las componentes del vector de posición r en relación con el origen (figura 13.1b). Un marco de referencia es simplemente un sistema coordenado que es adecuado para especificar posiciones de puntos. Se recomienda familiarizarse por lo menos con las coordenadas cartesianas. En este capítulo se analiza otro ejemplo y a lo largo del libro se continúa el estudio de los marcos de referencia. Se puede describir la posición de un punto P en relación con un marco de referencia dado con origen O mediante el vector de posición r desde O hasta P (figura 13.2a). Suponga que P está en movimiento respecto al marco de referencia escogido, de manera que r es una función del tiempo t (figura 13.2b). Lo anterior se expresa mediante la notación r r(t). La velocidad de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como v =
r1t + ¢ t2 - r1t2 dr = lím , ¢t : 0 dt ¢t
(13.1)
y
x r
O
z (a) y
Figura 13.1 Marcos de referencias convenientes para especificar posiciones de objetos (a) en una habitación; (b) en un avión.
O
r x
z (b)
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.1 Posición, velocidad y aceleración P
23
P
r O
O (a)
(b) P(t t) r(t t) r(t)
r(t t)
P(t)
Figura 13.2 (a) Vector de posición r de P respecto a O. (b) Movimiento de P respecto al marco de referencia. (c) Cambio en la posición de P de t a t ¢t.
r(t) O (c)
donde el vector r(t ¢t) r(t) es el cambio de posición, o desplazamiento de P, durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.2c). Así, la velocidad es la razón de cambio de la posición de P. Las dimensiones de una derivada se determinan como si fuera una proporción, por lo que las dimensiones de v son (distancia)(tiempo). El marco de referencia usado suele ser obvio, y se llamará simplemente v a la velocidad de P. Sin embargo, recuerde que la posición y la velocidad de un punto pueden especificarse sólo con respecto a un marco de referencia. Observe en la ecuación (13.1) que la derivada de un vector con respecto al tiempo se define exactamente igual que la derivada de una función escalar. Por lo anterior, la derivada de un vector comparte algunas propiedades de la derivada de una función escalar. Se usarán dos de esas propiedades: la derivada con respecto al tiempo, o derivada del tiempo, de la suma de dos funciones vectoriales u y w es
v(t t) v(t) O
v(t t)
v(t t) v(t)
v(t)
Figura 13.3 Cambio en la velocidad de P desde t hasta t ¢t.
d du dw 1u + w2 = + , dt dt dt y la derivada respecto al tiempo del producto de una función escalar f y una función vectorial u es
d1fu2 dt
=
df du u + f . dt dt
P r O
r
La aceleración de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como
v1t + ¢t2 - v1t2 dv , a = = lím ¢t :0 dt ¢t
O (a)
(13.2)
donde v(t ¢t) v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.3). La aceleración es la razón de cambio de la velocidad de P en el tiempo t (la segunda derivada respecto al tiempo del desplazamiento), y sus dimensiones son (distancia)(tiempo)2. Se ha definido la velocidad y la aceleración de P en relación con el origen O del marco de referencia. Se puede demostrar que un punto tiene la misma velocidad y aceleración en relación con cualquier punto fijo en un marco de referencia dado. Sea O un punto fijado de manera arbitraria, y sea r el vector de posición de O a P (figura 13.4a). La velocidad de P relativa a O es v drdt. La velocidad de P
P r O
r R O (b)
Figura 13.4 (a) Vectores de posición de P relativos a O y O. (b) Vector de posición de O relativo a O.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 24
Capítulo 13 Movimiento de un punto
relativa al origen O es v drdt. Se desea demostrar que v v. Sea R el vector de O a O (figura 13.4b), de modo que r r R. Como el vector R es constante, la velocidad de P relativa a O es
v¿ =
dr¿ dr dR dr = = = v. dt dt dt dt
La aceleración de P relativa a O es a dvdt, y la aceleración de P relativa a O es a dvdt. Como v v, a a. Así, la velocidad y aceleración de un punto P relativas a un marco de referencia dado no dependen de la ubicación del punto de referencia fijo usado para especificar la posición de P.
RESULTADOS P
Posición La posición de un punto P en relación con un sistema coordenado específico, o marco de referencia, con origen O puede describirse mediante el vector de posición r de O a P.
r O
Velocidad La velocidad de P relativa a O en el tiempo t es la derivada de la posición r con respecto a t (la razón de cambio de r).
v
dr . dt
(13.1)
Aceleración La aceleración de P relativa a O en un tiempo t es la derivada de la velocidad v con respecto a t (la razón de cambio de v).
a
dv . dt
(13.2)
Un punto tiene la misma velocidad y aceleración relativas a cualquier punto fijo en un marco de referencia dado.
13.2 Movimiento en línea recta ANTECEDENTES Este tipo simple de movimiento se analiza primordialmente para que usted obtenga experiencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin embargo, en muchas situaciones prácticas los ingenieros deben analizar movimientos en línea recta, como el movimiento de un vehículo sobre un camino recto o el movimiento de un pistón en un motor de combustión interna.
Descripción del movimiento Considere una línea recta que pasa por el origen O de un marco de referencia dado. Se supone que la dirección de la línea relativa al marco de referencia está fija (por ejemplo, el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas pasa por el origen y
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 25
13.2 Movimiento en línea recta
tiene una dirección fija en relación con el marco de referencia). Se puede especificar la posición de un punto P sobre una línea recta respecto a O por medio de una coordenada s medida a lo largo de la línea que va de O a P. En la figura 13.5a se define a s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P está a la derecha de O y negativa cuando P está a la izquierda de O. El desplazamiento de P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posición s(t) s(t0), donde s(t) denota la posición en el tiempo t. Al introducir un vector unitario e que es paralelo a la línea y que apunta en la dirección positiva de s (figura 13.5b), es posible escribir el vector de posición de P respecto a O como r se.
P
O
s
s (a) O
P
s
r
e
(b)
Figura 13.5 (a) Coordenada s de O a P. (b) Vector unitario e y vector de posición r.
Como la magnitud y la dirección de e son constantes, dedt 0, por lo que la velocidad de P respecto a O es
v =
dr ds e. = dt dt
Se puede escribir el vector velocidad como v ve, y obtener la ecuación escalar
v =
ds . dt
La velocidad v de un punto P a lo largo de la línea recta es la razón de cambio de su posición s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la línea tangente a la gráfica de s como una función del tiempo (figura 13.6). La aceleración de P respecto a O es
a =
s
v
dv d dv 1ve2 = e. = dt dt dt
1
Al escribir el vector de aceleración como a ae se obtiene la ecuación escalar
a =
dv d 2s . = dt dt 2
La aceleración a es igual a la pendiente en el tiempo t de la línea tangente a la gráfica de v como una función del tiempo (figura 13.7). Con la introducción del vector unitario e, se han obtenido ecuaciones escalares que describen el movimiento de P. La posición queda especificada por la coordenada s, y la velocidad y la aceleración están regidas por las ecuaciones
v =
ds dt
t
t
Figura 13.6 La pendiente de la línea recta tangente a la gráfica de s contra t es la velocidad en el tiempo t.
(13.3) v
y
dv . a = dt
(13.4)
Aplicando la regla de la cadena del cálculo diferencial, es posible escribir la derivada de la velocidad con respecto al tiempo como
a 1
dv dv ds = , dt ds dt con lo que se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que frecuentemente resulta útil:
a =
dv v. ds
(13.5)
t
t
Figura 13.7 La pendiente de la línea recta tangente a la gráfica de v contra t es la aceleración en el tiempo t.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 26
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Análisis del movimiento
O
s
Figura 13.8 La coordenada s mide la posición del centro de masa del camión respecto a un punto de referencia.
En algunas situaciones se conoce la posición s de algún objeto como función del tiempo. Los ingenieros usan métodos como el radar y la interferometría de láser para medir posiciones en función del tiempo. En este caso, con las ecuaciones (13.3) y (13.4) pueden obtenerse por diferenciación la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posición del camión de la figura 13.8 durante el intervalo de tiempo de t 2 s a t 4 s está dada por la ecuación
s = 6 +
1 3 t m, 3
entonces, su velocidad y aceleración durante ese intervalo de tiempo son
v =
ds = t 2 m/s dt
a =
dv = 2t m/s 2. dt
y
Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición, porque la aceleración de un cuerpo se puede determinar mediante la segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actúan sobre él. Cuando se conoce la aceleración, con las ecuaciones (13.3) a (13.5) se pueden determinar por integración la velocidad y la posición. Aceleración especificada como función del tiempo Si la aceleración es una función conocida del tiempo, se puede integrar la relación
dv = a dt
(13.6)
con respecto al tiempo para determinar la velocidad en función del tiempo. Se obtiene
v =
L
a dt + A,
donde A es una constante de integración. Después se puede integrar la relación
ds = v dt
(13.7)
para determinar la posición en función del tiempo,
s =
L
v dt + B,
donde B es otra constante de integración. Para determinar las constantes A y B se necesita información adicional acerca del movimiento, por ejemplo los valores de v y s en un tiempo dado. En vez de usar integrales indefinidas, la ecuación (13.6) puede escribirse como dv a dt
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.2 Movimiento en línea recta
27
e integrar en términos de integrales definidas: v
Lv0
t
dv =
a dt.
Lt0
(13.8)
El límite inferior v0, es la velocidad en el tiempo t0 y el límite superior v es la velocidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral del lado izquierdo de la ecuación (13.8), se obtiene una expresión para la velocidad en función del tiempo: t
v = v0 +
a dt.
Lt0
(13.9)
Se puede escribir la ecuación (13.7) como ds v dt e integrar en términos de integrales definidas, s
t
ds =
Ls0
v dt,
Lt0
donde el límite inferior s0 es la posición en el tiempo t0 y el límite superior s es la posición en un tiempo t arbitrario. Evaluando la integral del lado izquierdo, se obtiene la posición como una función del tiempo: t
s = s0 +
Lt0
v dt.
(13.10)
Aunque se ha mostrado cómo determinar la velocidad y la posición cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo, no es recomendable memorizar resultados como las ecuaciones (13.9) y (13.10). Como se demostrará en los ejemplos, se recomienda que los problemas de movimiento en línea recta se resuelvan usando las ecuaciones (13.3) a (13.5). Se pueden realizar algunas observaciones útiles sobre las ecuaciones (13.9) y (13.10): • El área definida por la gráfica de la aceleración de P como una función del tiempo de t0 a t es igual al cambio en la velocidad de t0 a t (figura 13.9a). • El área definida por la gráfica de la velocidad de P como una función del tiempo de t0 a t es igual al cambio en la posición de t0 a t (figura 13.9b). A menudo estas relaciones pueden usarse para obtener una apreciación cualitativa del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para determinar su movimiento en forma cuantitativa.
v
a
Área v(t) v(t0) t0
t (a)
t
Área s(t) s(t0) t0
t (b)
t
Figura 13.9 Relaciones entre áreas definidas por las gráficas de la aceleración y la velocidad de P, y cambios en su velocidad y posición.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 28
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Aceleración constante En algunas situaciones, la aceleración de un objeto es constante, o casi constante. Por ejemplo, si se deja caer un objeto denso, como una pelota de golf o una roca, y éste no cae muy lejos, la aceleración de este cuerpo es aproximadamente igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Sea la aceleración una constante conocida a0. A partir de las ecuaciones (13.9) y (13.10), la velocidad y la posición como funciones del tiempo son v v0 a0(t t0)
(13.11)
y
s = s0 + v01t - t02 +
1 a 1t - t022, 2 0
(13.12)
donde s0 y v0 son la posición y la velocidad, respectivamente, en el tiempo t0. Observe que si la aceleración es constante, la velocidad es una función lineal del tiempo. A partir de la ecuación (13.5), puede escribirse la aceleración como
a0 =
dv v. ds
Escribiendo esta expresión como v dv a0 ds e integrando, v
Lv0
s
v dv =
Ls0
a0 ds,
se obtiene una ecuación para la velocidad como una función de la posición:
v 2 = v 20 + 2a01s - s02.
(13.13)
Aunque las ecuaciones (13.11) a (13.13) pueden ser útiles cuando la aceleración es constante, no deben ser usadas en otros casos.
RESULTADOS Posición La posición de un punto P sobre una línea recta respecto a un punto de referencia O puede describirse mediante la coordenada s medida a lo largo de la línea desde O hasta P. El desplazamiento de P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio en posición s(t) s(t0), donde s(t) denota la posición en el tiempo t.
Velocidad La velocidad de P respecto a O en el tiempo t es la derivada de la posición s con respecto a t (la razón de cambio de s).
O
P s
v
ds . dt
(13.3)
s
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.2 Movimiento en línea recta
Aceleración La aceleración de P respecto a O en un tiempo t es la derivada de la velocidad v con respecto a t (la razón de cambio de v).
a
dv . dt
(13.4)
a
dv v. ds
(13.5)
Aplicando la regla de la cadena dv dv ds dt ds dt se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que con frecuencia resulta útil. a
Cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo La aceleración puede integrarse con respecto al tiempo para determinar la velocidad como una función del tiempo. A es una constante de integración.
De manera alternativa se pueden usar integrales definidas para determinar la velocidad. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo t0, y v es la velocidad en el tiempo t. Este resultado muestra que el cambio en la velocidad del tiempo t0 al tiempo t es igual al área definida por la gráfica de la aceleración desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.
dv a, dt v
L
a dt A.
v
L v0
t
dv
L t0
a dt, t
v v0
L t0
a dt.
a
Área v(t) v(t0) t0
t
t
Cuando se conoce la velocidad como una función del tiempo La velocidad puede integrarse con respecto al tiempo para determinar la posición como una función de éste. B es una constante de integración.
ds v, dt s
L
v dt B.
29
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 30
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Pueden usarse integrales definidas para determinar la posición. Aquí, s0 es la posición en el tiempo t0, y s es la posición en el tiempo t. Este resultado muestra que el cambio en la posición del tiempo t0 al tiempo t es igual al área definida por la gráfica de la velocidad desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.
s
L s0
t
dv
L t0
v dt,
s s0
t v dt.
Lt0
v
Área s(t) s(t0) t0
t
t
Cuando la aceleración es constante Suponga que la aceleración es una constante a a0. Las ecuaciones (13.3) a (13.5) pueden integrarse para obtener estos resultados convenientes para la velocidad v y la posición s en el tiempo t. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo t0, y s0 es la posición en el tiempo t0.
Ejemplo activo 13.1
v v0 a0(t t0),
(13.11)
1 a0(t t0)2, 2 v2 v20 2a0(s s0). s s0 v0(t t0)
(13.12) (13.13)
Aceleración que es una función del tiempo ( Relacionado con el problema 13.12) La aceleración (en m/s2) del punto P mostrado respecto al punto O está dada como una función del tiempo por a 3t2, donde t está en segundos. En t 1 s, la posición de P es s 3 m y en t 2 s, la posición de P es s 7.5 m. ¿Cuál es la posición de P en t 3 s? O
P
s
s
Estrategia Debido a que la aceleración está dada como una función del tiempo, ésta puede integrarse para obtener una ecuación para la velocidad en función del tiempo. Después se puede integrar la velocidad para obtener una ecuación para la posición en función del tiempo. Las ecuaciones resultantes contendrán dos constantes de integración. Estas expresiones pueden evaluarse usando los valores dados de la posición en t 1 s y t 2 s.
13.2 Movimiento en línea recta
Solución
Integre la aceleración para determinar la velocidad como una función del tiempo. A es una constante de integración.
Integre la velocidad para determinar la posición como una función del tiempo. B es una constante de integración.
Use las posiciones conocidas en t 1 s y en t 2 s para determinar A y B, obteniendo A 0.75 y B 2.
dv 3t2, dt v t3 A. a
ds t3 A, dt 1 s t4 At B. 4
v
1 4 (1) A(1) B, 4 1 s t2 s 7.5 (2)4 A(2) B. 4 s t1 s 3
1 s t4 0.75t 2 : 4 1 s t3 s (3)4 0.75(3) 2 24.5 m. 4
Determine la posición en t 3 s.
Problema de práctica La aceleración (en pies/s2) del punto P respecto al punto O está dado como una función del tiempo por a 2t, donde t está dado en segundos. Cuando t 3 s, la posición y la velocidad de P son s 30 pies y v 14 pies/s. ¿Qué valores tienen la posición y la velocidad de P en t 10 s?
O
P s
Respuesta: s 389 pies, v 105 pies/s.
s
31
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 32
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.2
Movimiento en línea recta con aceleración constante ( Relacionado con el problema 13.1) Los ingenieros que prueban un vehículo que debe lanzarse por paracaídas estiman que la velocidad vertical del automóvil al tocar el suelo será de 6 m/s. Si sueltan el vehículo desde el bastidor de prueba mostrado, ¿a qué altura h se debe soltar para simular la caída con paracaídas?
h
Estrategia Si la única fuerza significativa que actúa sobre un objeto cerca de la superficie de la Tierra es su peso, la aceleración del objeto es aproximadamente constante e igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Por lo tanto, se supone que la aceleración del vehículo durante su corta caída es g 9.81 m/s2. Se pueden integrar las ecuaciones (13.3) y (13.4) para obtener la velocidad y la posición del vehículo como funciones del tiempo y después usarlas para determinar la posición del vehículo cuando su velocidad es igual a 6 m/s. Solución Sea t 0 el tiempo en el que el vehículo se suelta, y sea s la posición del fondo de la plataforma que soporta al vehículo respecto a su posición en t 0 (figura a). La aceleración del vehículo es a 9.81 m/s2. De la ecuación (13.4),
dv = a = 9.81 m/s 2. dt Integrando, se obtiene v 9.81t A, donde A es una constante de integración. Como el vehículo se encuentra en reposo al soltarlo, v 0 cuando t 0. Por lo tanto, A 0, y la velocidad del vehículo en función del tiempo es v 9.81t m/s.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.2 Movimiento en línea recta
s
a) La coordenada s mide la posición del fondo de la plataforma respecto a su posición inicial.
Se sustituye este resultado en la ecuación (13.3) para obtener
ds = v = 9.81t dt y se integra, de donde resulta s 4.91t2 B. La posición s 0 cuando t 0, por lo que la constante de integración B 0, y la posición en función del tiempo es s 4.91t2. De la ecuación para la velocidad como una función del tiempo, el tiempo necesario para que el vehículo alcance 6 m/s es
t =
v 6 m/s = = 0.612 s. 9.81 m/s 2 9.81 m/s 2
Sustituyendo este tiempo en la ecuación para la posición en función del tiempo, se obtiene la altura h requerida: h 4.91t2 4.91(0.612)2 1.83 m.
Razonamiento crítico Observe que la altura h, desde la cual debe soltarse el vehículo, podría haberse determinado de una manera más simple usando la ecuación (13.13), que relaciona la velocidad con la posición.
v2 v20 2a0(s s0): (6 m/s)2 0 2(9.81 m/s2)(h 0). Al resolver, se obtiene h 1.83 m. Pero resulta esencial recordar que las ecuaciones (13.11) a (13.13) son aplicables sólo cuando la aceleración es constante, como en este ejemplo.
33
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 34
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.3
Solución gráfica de un movimiento en línea recta ( Relacionado con el problema 13.26) El guepardo, Acinonyx jubatus, puede correr a 75 mi/h. Si se supone que la aceleración del animal es constante y que alcanza su velocidad máxima en 4 s, ¿qué distancia podrá recorrer en 10 s?
Estrategia La aceleración tiene un valor constante durante los primeros 4 s y después es cero. Se puede determinar la distancia recorrida durante cada una de esas “fases” del movimiento y sumarlas para obtener la distancia total recorrida. Esto se hará de manera analítica y gráfica.
Solución La velocidad máxima en pies por segundo es
75 mi/h = 175 mi/h2a
1h 5280 pies ba b = 110 pies/s. 1 mi 3600 s
Primer método Sea a0 la aceleración durante los primeros 4 s. Se integra la ecuación (13.4) y resulta v
t
dv =
L0
a0 dt,
L0
v
t
0
0
c v d = a0 ct d , v - 0 = a01t - 02, de donde se obtiene la velocidad en función del tiempo durante los primeros 4 s: v a0 t pies/s. Cuando t 4 s, v 110 pies/s; entonces a0 1104 27.5 pies/s2. Por lo tanto, la velocidad durante los primeros 4 segundos es v 27.5t pies/s. Ahora se integra la ecuación (13.3), s
L0
t
ds = s
L0
27.5t dt,
cs d = 27.5c 0
t2 t d , 2 0
s - 0 = 27.5a
t2 - 0b , 2
y se obtiene la posición como función del tiempo durante los primeros 4 s: s 13.75t 2 pies.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.2 Movimiento en línea recta
En t 4 s la posición es s 13.75(4)2 220 pies. De t 4 s a t 10 s, la velocidad v 110 pies/s. Se escribe la ecuación (13.3) como ds v dt 110 dt y se integra para determinar la distancia viajada durante la segunda fase del movimiento, s
L0
10
ds =
L4
110 dt,
s
10
0
4
cs d = 110c t d , s - 0 = 110110 - 42, obteniendo s 660 pies. La distancia total que viaja el guepardo en 10 s es 220 pies 660 pies 880 pies, o 293 yd. Segundo método En la figura a se dibuja la gráfica de la velocidad del guepardo en función del tiempo. La aceleración es constante durante los primeros 4 s de su movimiento, por lo que su velocidad es una función lineal del tiempo desde v 0 en t 0 hasta v 110 pies/s en t 4 s. La velocidad es constante durante los últimos 6 s. La distancia total recorrida es la suma de las áreas durante las dos fases del movimiento:
v (pies/s)
–12 (4 s)(110 pies/s) (6 s)(110 pies/s) 220 pies 660 pies 880 pies.
El área es igual a la distancia recorrida de t 0 a t 10 s. 110
0
0
10
4
t (s)
(a) Velocidad del guepardo en función del tiempo.
Razonamiento crítico Observe que en el primer método se usaron integrales definidas en vez de indefinidas para determinar la velocidad y posición del guepardo en función del tiempo. Se sugiere resolver este ejemplo usando integrales indefinidas y comparar los resultados de ambos métodos. El uso de integrales definidas o indefinidas es una cuestión de preferencia personal, pero es necesario estar familiarizado con ambos procedimientos.
35
36
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas Los siguientes problemas implican movimiento en línea recta. El tiempo t está en segundos a menos que se indique otra cosa. 13.1 En el ejemplo 13.2 suponga que el vehículo se deja caer desde una altura h 6 m. a) ¿Qué valor tiene la velocidad descendente 1 s después de soltar el vehículo? b) ¿Qué valor tiene la velocidad descendente justo antes de llegar al suelo? 13.2 La fresadora que se muestra en la figura está programada de modo que durante el intervalo de tiempo desde t 0 hasta t 2 s, la posición de su cabeza (en pulgadas) está dada como una función del tiempo por s 4t 2t 2. ¿Cuál es la velocidad (en pulg/s) y la aceleración (en pulg/s2) de la cabeza cuando t 1 s?
13.3 En un experimento para estimar la aceleración debida a la gravedad, un estudiante deja caer una pelota a una distancia de 1 m sobre el piso. Su compañero de laboratorio mide el tiempo que la pelota tarda en caer y obtiene una estimación de 0.46 s. a) ¿Cuál es su estimación de la aceleración debida a la gravedad? b) Sea s la posición de la pelota respecto al piso. Usando el valor de la aceleración debida a la gravedad obtenida por los estudiantes, y suponiendo que la pelota se suelta en t 0, determine s (en m) como una función del tiempo.
s
s
Problema 13.2
s0
Problema 13.3
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW Problemas 13.4 La posición del bote que se muestra en la figura durante el intervalo de tiempo desde t 2 s hasta t 10 s está dada por s 4t 1.6t2 0.08t3 m. a) Determine la velocidad del bote y la aceleración en t 4 s. b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bote durante este intervalo de tiempo y cuándo ocurre?
37
13.7 La posición de un punto durante el intervalo de tiempo desde t 0 hasta t 3 s es s 12 5t2 t3 pies. a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo, y en qué momento ocurre? b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima? 13.8 La manivela giratoria que se muestra en la figura ocasiona que la posición del punto P como una función del tiempo sea s 0.4 sen(2pt) m. a) Determine la velocidad y la aceleración de P en t 0.375 s. b) ¿Cuál es la magnitud máxima de la velocidad de P? c) Cuando la magnitud de la velocidad de P es máxima, ¿cuál es la aceleración de P? 13.9 Para el mecanismo del problema 13.8, dibuje gráficas de la posición s, la velocidad v y la aceleración a del punto P como funciones del tiempo para 0 t 2 s. Usando sus gráficas, confirme que la pendiente de la gráfica de s es cero en los tiempos para los cuales v es igual a cero y que la pendiente de la gráfica de v es cero en los tiempos para los cuales a es igual a cero.
Problema 13.4 13.5 El cohete que se muestra en la figura parte del reposo en t = 0 y viaja hacia arriba en línea recta. Su altura sobre el suelo como una función del tiempo puede aproximarse por s bt2 ct3, donde b y c son constantes. En t 10 s, la velocidad del cohete y la aceleración son v 229 m/s y a 28.2 m/s2. Determine el tiempo en el que el cohete alcanza la velocidad supersónica (325 m/s). ¿Cuál es la altura cuando esto ocurre?
P s
Problemas 13.8/13.9 13.10 Un sismógrafo mide el movimiento horizontal del terreno durante un sismo. Al analizar los datos, un ingeniero determina que para un intervalo de 10 segundos comenzando en t 0, la posición se puede expresar aproximadamente con s 100 cos(2pt) mm. ¿Cuáles son a) la velocidad máxima y b) la aceleración máxima del terreno durante el intervalo de 10 segundos? 13.11 En una operación de ensamblaje, el brazo de robot mostrado se mueve a lo largo de una línea recta. Durante un intervalo de tiempo de t 0 a t 1 s, su posición está dada por s 30t2 20t3 mm. a) Determine la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo. b) ¿Qué valores tienen la posición y la aceleración cuando la velocidad es máxima? s
s
Problema 13.5 13.6 La posición de un punto durante el intervalo de tiempo 1 desde t 0 hasta t 6 s está dada por s –2 t3 6t2 4t m. a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo y en qué momento ocurre? b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima?
Problema 13.11
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición 13.37 Si u 1 rad y dudt 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad de P respecto a O? Estrategia: Se puede escribir la posición de P respecto a O como s (2 pies) cos u (2 pies) cos u,
41
13.39* Si u 1 rad y dudt 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad de P relativa a O?
y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad. 13.38 Si u 1 rad, dudt 2 rad/s y d 2udt 2 0, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración de P respecto a O?
400 mm
200 mm
O
u
s
P
Problema 13.39 2 pies
2 pies
u O P s
Problemas 13.37/13.38
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición ANTECEDENTES Aceleración especificada como función de la velocidad Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicas ocasionan que la aceleración de un objeto dependa de su velocidad (figura 13.10). Suponga que la aceleración es una función conocida de la velocidad; es decir,
dv = a1v2. dt
(13.14)
No es posible integrar esta ecuación con respecto al tiempo para determinar la velocidad, porque a(v) no se conoce como función del tiempo. Sin embargo, se pueden separar variables poniendo los términos que contengan v en un lado de la ecuación y los términos que contengan t en el otro lado:
dv = dt. a1v2
(13.15)
Ahora se puede integrar, de donde se obtiene v
t
dv dt, = Lt0 Lv0 a1v2
(13.16)
Figura 13.10 Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicas dependen de la velocidad del cuerpo. Cuando la velocidad de la bala decrece, la fuerza aerodinámica de arrastre que resiste su movimiento disminuye.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 42
Capítulo 13 Movimiento de un punto
donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. En principio, se puede resolver esta ecuación para la velocidad en función del tiempo, y luego integrar la relación
ds = v dt para determinar la posición en función del tiempo. Usando la regla de la cadena, también se puede determinar la velocidad en función de la posición. Escribiendo la aceleración como
dv ds dv dv v = = dt ds dt ds y sustituyéndola en la ecuación (13.14) se obtiene
dv v = a1v2. ds La separación de variables produce
v dv = ds. a1v2 Integrando, v
s
v dv ds, = a1v2 Ls0 Lv0 es posible obtener una relación entre la velocidad y la posición. Aceleración especificada como función de la posición Las fuerzas gravitatorias y las fuerzas ejercidas por resortes pueden hacer que la aceleración de un cuerpo dependa de su posición. Si la aceleración se conoce como una función de la posición; es decir,
dv = a1s2, dt
(13.17)
no se puede integrar con respecto al tiempo para determinar la velocidad porque a(s) no se conoce como función del tiempo. Además, no es posible separar variables porque la ecuación contiene tres variables: v, t y s. Sin embargo, usando la regla de la cadena
dv dv ds dv v, = = dt ds dt ds la ecuación (13.17) puede escribirse como
dv v = a1s2. ds Ahora se pueden separar variables, v dv a(s) ds,
(13.18)
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición
y se integra: v
Lv0
s
v dv =
Ls0
a1s2 ds.
(13.19)
En principio se puede resolver esta ecuación para la velocidad en función de la posición:
v =
ds = v1s2. dt
(13.20)
Luego es posible separar variables en esta ecuación e integrar para determinar la posición en función del tiempo: s
t
ds dt. = Ls0 v1s2 Lt0
RESULTADOS
Cuando la aceleración se conoce como una función de la velocidad, a a(v).
Separe variables dv a(v): dt dv dt, a(v) e integre para determinar la velocidad como una función del tiempo. O aplique primero la regla de la cadena, dv dv ds dv v a(v), dt ds dt ds Después, separe variables, v dv ds, a(v) e integre para determinar la velocidad como una función de la posición.
Aplique la regla de la cadena, Cuando la aceleración se conoce como una función de la posición, a a(s).
dv dv ds dv v a(s), dt ds dt ds después separe variables, v dv a(s)ds, e integre para determinar la velocidad como una función de la posición.
43
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo activo 13.4
Aceleración que es una función de la velocidad ( Relacionado con el problema 13.40) Después de desplegar su paracaídas de freno, el avión que se presenta en la figura tiene una aceleración (en m/s2) de a 0.004v2, donde v es la velocidad en m/s. Determine el tiempo requerido para que la velocidad del avión se reduzca de 80 m/s a 10 m/s. Estrategia La aceleración del avión se conoce como una función de su velocidad. Si se escribe la aceleración como a dvdt, es posible separar variables e integrar para determinar la velocidad como una función del tiempo. Solución
dv 0.004v2 : dt dv 0.004dt. v2
Separe variables.
v
t
dv 0.004 dt, L80 v2 L0 t 1 v 0.004 t , v 80 0
Integre, definiendo t 0 como el tiempo en el cual la velocidad es de 80 m/s. Aquí v es la velocidad en el tiempo t.
1 1 0.004t. v 80 Despeje t en términos de la velocidad. A partir de esta ecuación, se encuentra que el tiempo requerido para que la velocidad disminuya a 10 m/s es 21.9 s. En la gráfica se muestra la velocidad del avión como una función del tiempo.
t 250
v 80 . 1
1
80 70 60 v (m/s)
44
50 40 30 20 10 0
0
5
10
15
20
21.9
25
30
t (s)
Problema de práctica ¿Qué distancia viaja el avión mientras su velocidad disminuye de 80 m/s a 10 m/s? Respuesta: 520 m.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 46
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.40 En el ejemplo activo 13.4, determine el tiempo requerido para que la velocidad del avión disminuya de 50 m/s a 10 m/s. 13.41 Un ingeniero que está diseñando un sistema para controlar el puntero de un proceso de maquinado, modela el sistema de manera que la aceleración del puntero (en pulg/s2) durante un intervalo de tiempo está dado por a 0.4v, donde v es la velocidad del puntero en pulg/s. Cuando t 0, la posición es s 0 y la velocidad es v 2 pulg/s. ¿Cuál es la posición en t 3 s?
s
Problema 13.41
13.42 La lancha de la figura se mueve a 10 m/s cuando su motor se apaga. Debido a la resistencia aerodinámica, su aceleración subsecuente es a 0.05v2 m/s2, donde v es la velocidad de la lancha en m/s. ¿Cuál es la velocidad de la lancha 4 s después de que se apaga el motor? 13.43 En el problema 13.42, ¿qué distancia recorre la lancha en los 4 s que siguen al apagado del motor?
13.44 Una bola de acero se libera del reposo en un recipiente de aceite. Su aceleración hacia abajo es a 2.4 0.6v pulg/s2, donde v es la velocidad en pulg/s. ¿Cuál es la velocidad hacia abajo de la bola 2 s después de haber sido soltada? 13.45 En el problema 13.44, ¿cuál es la distancia que cae la bola en los primeros 2 s después de haber sido soltada?
Problemas 13.44/13.45
13.46 La mayor profundidad oceánica descubierta hasta ahora se halla en el foso de las Marianas, en el Océano Pacífico occidental. Si se libera una bola de acero en la superficie requiere 64 minutos para llegar al fondo. La aceleración de la bola hacia abajo es a 0.9g cv, donde g 9.81 m/s2 y la constante c 3.02 s1. ¿Cuál es la profundidad del foso de las Marianas en kilómetros? 13.47 La aceleración de un avión regional durante su carrera de despegue es a 14 0.0003v2 pies/s2, donde v es la velocidad en pies/s. ¿Cuánto tiempo tarda el avión en alcanzar su velocidad de despegue de 200 pies/s? 13.48 En el problema 13.47, ¿qué distancia requiere el avión para despegar?
Problemas 13.42/13.43
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 49
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas 13.63 El radio de la Luna de 1738 km. La magnitud de la aceleración debida a la gravedad en su superficie a una distancia s desde su centro es 4.89 * 1012 s2
m/s2.
Suponga que una nave espacial se lanza hacia arriba desde la superficie de la Luna con una velocidad de 2000 m/s. a) ¿Cuál será la magnitud de su velocidad cuando se encuentre a 1000 km sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanzará sobre la superficie de la Luna?
13.65 Suponga que se puede taladrar un túnel recto a través de la Tierra, desde el Polo Norte hasta el Polo Sur, y evacuar el aire. Un objeto liberado desde la superficie caería con aceleración a gsRE, donde g es la aceleración de la gravedad al nivel del mar, RE es el radio de la Tierra y s es la distancia del objeto respecto al centro de la Tierra. (La aceleración debida a la gravedad es igual a cero en el centro de la Tierra y se incrementa linealmente con la distancia desde el centro). ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del objeto cuando éste llega el centro de la Tierra?
13.66* Determine el tiempo en segundos requerido para que el objeto del problema 13.65 caiga desde la superficie de la Tierra hasta su centro. El radio de la Tierra es de 6370 km.
13.64* La velocidad de un objeto sometido sólo al campo gravitacional de la Tierra es
N Túnel
v =
cv20
+
1 1>2 - bd , s s0
1 2gR2E a
s
donde s es la posición del objeto respecto al centro de la Tierra, v0 es la velocidad en la posición s0, y RE es el radio de la Tierra. Usando esta ecuación, muestre que la aceleración del objeto está dada como una función de s por a gRE2 s2.
RE
S
Problemas 13.65/13.66
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas ANTECEDENTES El movimiento de un punto a lo largo de una línea recta puede describirse mediante los escalares s, v y a. Pero si un punto describe una trayectoria curvilínea, respecto a algún marco de referencia, se debe especificar su movimiento en términos de los vectores de posición, velocidad y aceleración. En muchos casos, el movimiento del punto puede analizarse de manera conveniente expresando los vectores en coordenadas cartesianas. Sea r el vector de posición de un punto P respecto al origen O de un marco de referencia cartesiano (figura 13.11). Las componentes de r son las coordenadas x, y y z de P:
y
r xi y j z k.
P (x, y, z)
Los vectores unitarios i, j y k tienen cada uno magnitudes y direcciones constantes respecto al marco de referencia, por lo que la velocidad de P en relación con su marco de referencia es
v =
dy dr dz dx i + j + k. = dt dt dt dt
x O
(13.21) z
Expresando la velocidad en términos de componentes escalares, se obtiene v vx i vy j vz k,
r
j
(13.22)
i
k
Figura 13.11 Sistema coordenado cartesiano con origen en O.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 50
Capítulo 13 Movimiento de un punto
de donde se obtienen ecuaciones escalares que relacionan las componentes de la velocidad con las coordenadas de P:
vx =
dy dx dz , vy = , vz = . dt dt dt
(13.23)
La aceleración de P es
dvy dvz dvx dv i + j + k. = dt dt dt dt
a =
Expresando la aceleración en términos de componentes escalares, a ax i ay j az k,
(13.24)
se obtienen las ecuaciones escalares
ax =
y
v0
u0 x
Figura 13.12 Condiciones iniciales para un problema de proyectil.
dvy dvz dvx , ay = , az = . dt dt dt
(13.25)
Las ecuaciones (13.23) y (13.25) describen el movimiento de un punto respecto a un sistema cartesiano. Observe que las ecuaciones que describen el movimiento en cada dirección coordenada son idénticas en forma a las ecuaciones que describen el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. En consecuencia, a menudo se puede analizar el movimiento en cada dirección coordenada usando los métodos aplicables al movimiento en línea recta. El problema del proyectil es el ejemplo clásico de este tipo. Si un objeto se dispara al aire y la resistencia aerodinámica es insignificante, su aceleración hacia abajo será la aceleración de la gravedad. En términos de un sistema coordenado cartesiano fijo, con su eje y hacia arriba, la aceleración está dada por ax 0, ay g y az 0. Suponga que en t 0, el proyectil se encuentra en el origen y tiene velocidad v0, en el plano xy a un ángulo u0, sobre la horizontal (figura 13.12). En t 0, x 0 y vx v0 cos u0. La aceleración en la dirección x es cero; es decir,
ax =
dvx = 0. dt
Por lo tanto, vx es constante y permanece igual a su valor inicial:
vx =
dx = v0 cos u0. dt
(13.26)
(Este resultado puede parecer poco realista. La razón es que la intuición, con base en la experiencia diaria, considera la resistencia del aire, mientras que el análisis que se presenta aquí no lo hace). Integrando la ecuación (13.26), resulta x
L0
t
dx =
L0
v0 cos u0 dt,
y se obtiene la coordenada x del objeto como una función del tiempo: x (v0 cos u0)t.
(13.27)
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
51
Así se ha determinado la posición y la velocidad del proyectil en la dirección x como funciones del tiempo sin considerar el movimiento en las direcciones y o z. En t 0, y 0 y vy v0 sen u0. La aceleración en la dirección y es
ay =
dvy dt
= - g.
Integrando, se obtiene vy
t
Lv0 sen u0
dvy =
L0
- g dt,
de donde se sigue que
vy =
dy = v0 sen u0 - gt. dt
(13.28)
Al integrar esta ecuación, resulta y
L0
t
dy =
L0
1v0 sen u0 - gt2 dt,
y se encuentra que la coordenada y en función del tiempo es
y = 1v0 sen u02t - 12gt2.
(13.29)
Observe en este análisis que se obtienen la misma velocidad y la misma posición vertical lanzando el proyectil hacia arriba con velocidad inicial v0 sen u0 (figuras 13.13a y b). El movimiento vertical es completamente independiente del movimiento horizontal. Despejando t de la ecuación (13.27) y sustituyendo el resultado en la ecuación (13.29), se obtiene una ecuación que describe la trayectoria parabólica del proyectil:
y = 1tan u02x -
g 2v20
cos2 u0
x 2.
(13.30)
y
x x
x
x
x (a)
x (b)
Figura 13.13 (a) Posiciones del proyectil en intervalos de tiempo ¢t iguales. La distancia ¢x v0(cos u0) ¢t. (b) Posiciones en intervalos de tiempo ¢t iguales de un proyectil, dada una velocidad vertical inicial igual a v0 sen u0.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 52
Capítulo 13 Movimiento de un punto
RESULTADOS y P (x, y, z) r
O
x
z
Las componentes del vector de posición de un punto P respecto al origen O de un sistema coordenado cartesiano son las coordenadas x, y, z de P.
r xi yj zk.
Componentes cartesianas de la velocidad de P respecto al marco de referencia.
vx
dx dy dz , vy , vz . dt dt dt
(13.23)
Componentes cartesianas de la aceleración de P respecto al marco de referencia.
ax
dvy dvz dvx , ay , az . dt dt dt
(13.25)
La forma de las ecuaciones que describen el movimiento en cada dirección coordenada es idéntica a la de las ecuaciones que describen el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. En consecuencia, el movimiento en cada dirección coordenada puede analizarse usando los métodos para el movimiento rectilíneo.
Ejemplo activo 13.6
Análisis del movimiento en términos de componentes cartesianas ( Relacionado con el problema 13.67) Durante un vuelo de prueba, un helicóptero parte del reposo en t 0 en el origen del sistema de coordenadas mostrado y se mueve en el plano x–y, los acelerómetros montados a bordo indican que sus componentes de aceleración (en m/s2) durante el intervalo del tiempo de t 0 a t 10 s son ax 0.6t, ay 1.8 0.36t, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del helicóptero en t 6 s?
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
y
x
Estrategia Se puede analizar de manera independiente el movimiento en cada dirección coordenada, integrando cada componente de la aceleración para determinar las componentes de la velocidad en función del tiempo. Solución
Integre la componente x de la aceleración para determinar la componente x de la velocidad en función del tiempo.
dvx 0.6t, dt vx t dvx 0.6 t dt, L L 0 0 ax
vx 0.3t2. Evalúe la componente x de la velocidad en t 6 s.
Integre la componente y de la aceleración para determinar la componente y de la velocidad en función del tiempo.
vx t6 s 0.3(6)2 10.8 m/s.
ay vy
L 0
dvy dt
1.8 0.36t,
t
dvy (1.8 0.36t) dt, L 0 vy 1.8t 0.18t2.
Evalúe la componente y de la velocidad en t 6 s.
vy t6 s 1.8(6) 0.18(6)2 4.32 m/s.
|v|t6 s vx2 vy2 Calcule la magnitud de la velocidad en t 6 s.
2 2 (10.8 m/s) (4.32 m/s)
11.6 m/s Problema de práctica Determine el vector de posición del helicóptero en t 6 s respecto a su posición en t 0. Respuesta: rt 6 s 21.6i 19.4j (m).
53
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 54
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problema de un proyectil ( Relacionado con el problema 13.69)
Ejemplo 13.7
El esquiador mostrado en la figura deja la superficie inclinada 20° a 10 m/s. a) Determine la distancia d hasta el punto donde aterriza. b) ¿Cuáles son las magnitudes de sus componentes de velocidad paralela y perpendicular a la superficie inclinada a 45° justo antes de aterrizar?
20 3m
Estrategia a) Si se ignora el arrastre aerodinámico y se trata al esquiador como un proyectil, puede d
45
determinarse su velocidad y posición en función del tiempo. Usando la ecuación que describe la superficie recta sobre la que el esquiador aterriza, se pueden relacionar sus coordenadas horizontal y vertical en el impacto y, consecuentemente, obtener una ecuación para el tiempo en el cual aterriza. Al conocer el tiempo, es posible determinar su posición y velocidad. b) Se puede determinar la velocidad paralela y perpendicular a la superficie inclinada a 45° usando el resultado de que la componente de un vector U en la dirección de un vector unitario e es (e ⴢ U)e. Solución
y
a) En la figura a se introduce un sistema coordenado con su origen en el punto donde
el esquiador despega. Sus componentes de velocidad en ese instante (t 0) son 20
vx 10 cos 20° 9.40 m/s
x
y
3m
vy 10 sen 20° 3.42 m/s.
e
La componente x de la aceleración es cero, por lo tanto vx es constante y la coordenada x del esquiador en función del tiempo es
d
x 9.40t m.
45
La componente y de la aceleración es (a)
ay =
dvy dt
= - 9.81 m/s2.
Integrando para determinar vy como una función del tiempo, se obtiene vy
t
L-3.42
dvy =
L0
- 9.81 dt,
de donde resulta que
vy =
dy = - 3.42 - 9.81t m/s. dt
Se integra esta ecuación para determinar la coordenada y como una función de tiempo. Se tiene y
L0
t
dy =
L0
1 - 3.42 - 9.81t2 dt,
de donde
y 3.42t 4.905t2 m.
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
La pendiente de la superficie sobre la cual aterriza el esquiador es 1, por lo que la ecuación lineal que la describe es y (1)x A, donde A es una constante. En x 0, la coordenada y de la superficie es 3 m, entonces A 3 m y la ecuación que describe la superficie inclinada a 45° es
y x 3 m. Al sustituir las ecuaciones obtenidas para x e y como funciones del tiempo en esta ecuación, se obtiene una expresión para el tiempo en el cual aterriza el esquiador:
3.42t 4.905t2 9.40t 3. Despejando t, se obtiene t 1.60 s. Por lo tanto, sus coordenadas cuando el esquiador aterriza son
x 9.40(1.60) 15.0 m y
y 3.42(1.60) 4.905(1.60)2 18.0 m, y la distancia d es
d = 2115.022 + 118.0 - 322 = 21.3 m. b) Las componentes de la velocidad del esquiador justo antes de aterrizar son
vx 9.40 m/s y
vy 3.42 9.81(1.60) 19.1 m/s, y la magnitud de su velocidad es ƒ v ƒ = 219.4022 + 1-19.122 = 21.3 m/s. Sea e un vector unitario paralelo a la pendiente sobre la que aterriza (figura a):
e cos 45°i sen 45°j. La componente de la velocidad paralela a la superficie es (e ⴢ v)e [(cos 45°i sen 45°j) ⴢ (9.40i 19.1j)]e
20.2e (m/s). La magnitud de la velocidad del esquiador paralela a la superficie es 20.2 m/s. Por consiguiente, la magnitud de su velocidad perpendicular a la superficie es
2 ƒ v ƒ 2 - 120.222 = 6.88 m/s. Razonamiento crítico La clave para resolver este problema fue que se conocía la aceleración del esquiador. Al saber cuál era la aceleración, se pudieron determinar las componentes de su velocidad y su posición como funciones del tiempo. Observe cómo se determinó la posición en la que el esquiador aterrizó sobre la pendiente. Se supo que al instante de aterrizar, sus coordenadas x e y especifican un punto sobre la línea recta que define la superficie de la pendiente. Al sustituir su coordenadas x e y como funciones del tiempo en la ecuación para la línea recta que define la pendiente, fue posible resolver el tiempo en el que aterrizó. Conociendo el tiempo, se pudo determinar su posición y velocidad en ese instante.
55
ZZZHOVROXFLRQDULRQHW 56
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.67 En una segunda prueba, las coordenadas de posición (en m) del helicóptero del ejemplo activo 13.6 están dadas como funciones del tiempo por x 4 2t, y 4 4t t 2. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del helicóptero en t 3 s? b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del helicóptero en t 3 s? 13.68 En términos de un marco de referencia particular, la posición del centro de masa del F-14 en el instante mostrado (t 0) es r 10i 6j 22k (m). La velocidad de t 0 a t 4 s es v (52 6t)i (12 t2)j (4 2t2)k (m/s). ¿Cuál es la posición del centro de masa del avión en t 4 s?
13.71 Inmediatamente después de que la pelota de golf mostrada despega del piso, sus componentes de velocidad son vx 0.662 m/s y vy 3.66 m/s. a) Determine la distancia horizontal desde el punto donde la pelota despegó del piso hasta el punto donde lo golpea de nuevo. b) La pelota despega del piso en x 0, y 0. Determine la coordenada y de la pelota como una función de x. (La función parabólica que se obtendrá se muestra superpuesta sobre la fotografía de la pelota).
y
Problema 13.68
x Problema 13.71
13.69 En el ejemplo 13.7, suponga que el ángulo entre la horizontal y la pendiente sobre la cual aterriza el esquiador es de 30° en vez de 45°. Determine la distancia d hasta el punto donde aterriza. 13.70 Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con velocidad inicial v0 20 m/s. Determine su alcance R si a) u0 30°, b) u0 45° y c) u0 60°. y
13.72 Suponga que usted está diseñando un mortero para lanzar una cuerda de salvamento desde un guardacostas a un buque en zozobra. La cuerda está unida a un peso que es lanzado por el mortero. Ignore la resistencia aerodinámica y el peso de la cuerda para su análisis preliminar. Si desea que la cuerda alcance un buque que se encuentra a 300 pies cuando el mortero se dispara a 45° sobre la horizontal, ¿cuál es la velocidad inicial en la boca del mortero requerida? 13.73 En el problema 13.72, ¿cuál es la altura máxima sobre el punto de disparo que alcanza el peso?
v0
u0 x R
y 45
x
Problema 13.70 Problemas 13.72/13.73
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