Modulo Instructivo De Calculo I 2016 - A.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA MATALURGICA

MODULO INSTRUCTIVO DEL CURSO DE CALCULO I PERIODO ACADEMICO 2016 - A

SEMESTRE ACADEMICO I

DURACION DE 04 DE ABRIL AL 29 DE JULIO DEL 2016

DOCENTE RESPONSABLE

MG. EUSEBIO ROQUE HUAMÀN

OBJETIVO GENERAL Al término de la asignatura, el alumno será capaz de: Explicar y resolver problemas con los conocimientos adquiridos después de haber desarrollado los temas y estar capacitado para resolver problemas metalúrgicos.

SUMILLA El curso comprende el área de formación general, tiene el propósito de fomentar en el alumno el uso de las técnicas del cálculo diferencial, se propone desarrollar aspectos de: Límites, Continuidad, Derivación de funciones de una variable, Máximos y mínimos, Trazado de curvas, Aplicaciones de la derivada, con el propósito de analizar y resolver problemas empleando métodos lógicos. UNIDAD I: LÍMITES: OBJETIVO ESPECÍFICO: Elaborar alternativas de solución de acuerdo a los conceptos básicos de límites de una función, límites unilaterales. Límites al infinito y límites infinitos. SEMANA No. 01 SESIÓN 01: Definición de límites de una función, teoremas, límites unilaterales, límites al infinito, limites infinitos. INTRODUCCIÓN: Un tema central en el estudio del Cálculo es el concepto de límite. A medida que avance

el curso se notará que éste concepto aparece en la definición de los

conceptos más importantes del cálculo. Para ir en búsqueda de una definición del límite, exploremos la siguiente situación. En la gráfica abajo se observa que los valores que toma una función f(x) en un intervalo abierto (c – δ, c + δ) se va aproximando a un punto denominado c por ambos lados (izquierda y derecha). Así el límite de f(x) es L cuando x tiende a c.

(c, L)

DEFINICION DE LÍMITES DE UNA FUNCION: Sea 𝑓(𝑥) una función definida en un intervalo abierto que contiene a c, y L es un número real (𝑅). Entonces:

lim 𝑓(𝑥 ) = 𝐿

𝑥→𝑐

Esto quiere decir que para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0, de manera que

0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. Lo más importante para recordar en esta definición es que al emplear la notación lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 se está afirmando que existe un límite de la función cuando x se

𝑥→𝑐

acerca arbitrariamente a c y que ese límite es L. Tenemos a nuestra disposición tres métodos que nos permiten encontrar los límites de una función en un intervalo abierto. Esto son el método numérico, el método gráfico y el método algebraico. Te invito a explorar cada uno de estos tres métodos. Para explicar en nuestra clase tocaremos el método numérico, el método grafico se los dejo a ustedes para que puedan investigar señores alumnos y el método algebraico se desarrollara empleando los algoritmos algebraicos para calcular el límite de una función dada, pero antes de esto tenemos que conocer y discutir los teoremas respectivos de límites. Método Numérico: Este método permite estimar el límite de una función al evaluar el comportamiento de la misma en varios puntos cercanos a 𝑥 = 𝑐, en dos conjuntos de valores de x, uno que se acerque por su izquierda y otro que se acerque por su derecha para estimar el límite. Veamos los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: Evalúa la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 en varios puntos cercanos a 𝑥 = 2 y utilizar los resultados para estimar el límite. Construye una tabla de valores cercanos a 𝑥 = 𝑐, en este caso 𝑥 = 2. Recuerda asignar valores que se acercan tanto a la izquierda y derecha de c. 𝑥

1,9

1,99

1,999

2

2,001

2,01

2,1

𝑓(𝑥)

4,61

4,9601

4,996001

¿?

5,004001

5,0401

5,41

En la tabla de valores se observa que tanto por la izquierda y por la derecha cuando 𝑥 = 2 es 5. Entonces se dice que el límite de 𝑓(𝑥) cuando x tiende a 2 es 5. En la notación lim 𝑓(𝑥) = 5. 𝑥→2

𝑥 2 −7𝑥+12

Ejemplo 2: Evalúa la función 𝑓(𝑥) =

𝑥−5

en varios puntos cercanos a

𝑥 = 5 y utilizar los resultados para estimar el límite. √𝑛+3−√3 𝑛 𝑛→0

Ejemplo 3: Evalúa la función lim

Ejemplo 4: Evalúa la función 𝑓(𝑥) =

5 𝑥2

en varios puntos cercanos a 𝑥 = 0 y

utilizar los resultados para estimar el límite. TEOREMAS SOBRE LÍMITES: Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones tales que: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 y 𝐥𝐢𝐦 𝒈(𝒙) = 𝑴 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

Entonces: 1. lim 𝑐 = 𝑐, constante 𝑥→𝑎

2. lim [𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐 [lim 𝑓(𝑥)] = 𝑐𝐿 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

3. lim 𝑥 = 𝑎 𝑥→𝑎

4. lim [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

5. lim [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥). lim 𝑔(𝑥) = 𝐿. 𝑀 𝑥→𝑎

6.

7. 8.

𝑥→𝑎

1

lim

𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)

lim

𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)

=

1 lim 𝑔(𝑥)

=

𝑥→𝑎

lim 𝑓(𝑥)

= 𝑥→𝑎

lim 𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎

=

𝑥→𝑎

1 𝑀 𝐿 𝑀

, 𝑆𝑖 𝑀 ≠ 0 , 𝑆𝑖 𝑀 ≠ 0

lim [𝑓(𝑥)]𝑛 = lim 𝑓(𝑥 )𝑛 = 𝐿𝑛

𝑥→𝑎

𝑛

𝑥→𝑎

𝑛

𝑛

9. lim √𝑓(𝑥) = √ lim 𝑓(𝑥) = √𝐿; donde 𝐿 ≥ 0 y n cualquier entero positivo 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 o 𝐿 < 0 y n cualquier entero positivo impar. LIMITES UNILATERALES: 

El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a

𝒂

por la izquierda se representa:

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎−



El límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a

𝒂

por la derecha se representa

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎+

El límite de 𝑓(𝑥) ∃ si solo si los limites laterales son iguales. Es decir:

𝐥𝐢𝐦𝒇(𝒙) ∃ ↔ 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) PRINCIPIO DE LA EXISTENCIA 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

Ejemplos: Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 Consideremos una secuencia de valores de x que se aproximan a 2 por la izquierda así como sus imágenes. 𝑥 𝑓(𝑥)

1,9 3,61

1,92 3,686

1,96 3,842

1,98 3,92

1,99 3,96

1,998 3,992

Podemos observar que las imágenes se aproximan a 4. Diremos que

lim 𝑓(𝑥) = 4

𝑥→2−

Consideremos ahora una secuencia de valores de x que se aproximan a 2 por la derecha así como sus imágenes. 𝑥 𝑓(𝑥)

2,3 5,29

2,2 4,84

2,1 4,41

2,01 4,04

2,001 4,004

2,0001 4,0004

Podemos observar que las imágenes se aproximan a 4. Diremos que

lim 𝑓(𝑥) = 4

𝑥→2+

El ejemplo que hemos considerado define los límites laterales de la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 en el punto x=2. Por

lo

tanto:

𝐥𝐢𝐦𝒇(𝒙) ∃ ↔ 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟐

𝒙→𝟐

𝒙→𝟐

PRINCIPIO

DE

LA

EXISTENCIA Diremos que

lim 𝑓(𝑥 ) = 𝐿

𝑥→𝑐

si existen sus dos límites laterales y además

coinciden. LIMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO: 

EL INFINITO (∞) Propiamente hablando no es un número real, expresa la representación de un valor “extremadamente” grande o que crece indefinidamente hacia un límite

mayor que cualquier numero por muy grande que este sea. Solo es un símbolo de carácter posicional, no es algebraico ni numérico. Todos los límites hasta ahora estudiados expresados por la forma lim 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝑥→𝑎

tanto el punto 𝒂 donde tratamos de calcular el límite, como el límite 𝑳, son números reales. Es decir todas las operaciones realizadas están en los números reales. Podemos formar un nuevo sistema numérico construido por los números reales y los símbolos + ∞

y - ∞, el cual llamaremos

“sistema ampliado de los números reales”. Este nuevo sistema cumple las siguientes reglas: 

FORMAS DETERMINADAS Cuando su cálculo puede ser posible directa (reemplazo directo) o indirectamente (mediante transformaciones) entre ellos tenemos: i)

𝑎 + (+∞) = ∞

iv)

𝑎. (+∞) = −∞ 𝑠𝑖 𝑎 < 0

ii)

𝑎 + (−∞) = −∞

v)

(+∞). (+∞) = ∞

iii)

𝑎. (+∞) = ∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0

vi)

(+∞) + (+∞) = +∞

vii)

Siendo 𝒂 una constante no nula.

𝑎 =∞ 𝑥→0 𝑥

𝑎 =∄ 0

lim

(no está definida o no existe)

𝑥 =0 𝑥→0 𝑎

0 =0 𝑎 𝑎 =0 ∞ ∞ =∞ 𝑎 𝑥 lim =∞ 𝑥→∞ 𝑦 𝑦→0

lim

𝑎 =0 𝑥→∞ 𝑥 𝑥 lim = ∞ 𝑥→∞ 𝑎 lim

También



lim

𝑥

𝑥→0 𝑦 𝑦→∞

=0

FORMAS INDETERMINADAS Se dice de aquellas expresiones que para un valor de su(s) variable(s) adoptan cualquier valor, o en todo caso no es posible hacer su cálculo. Entre los cuales tenemos: 𝟎 ; 𝟎



∞ ; ∞

𝟎. ∞;

∞ − ∞;

𝟏∞ ;

ESTUDIO DE LAS FORMAS INDETERMINADAS

𝟎𝟎

FORMA:

𝟎 𝟎

Si la fracción:

𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)

para 𝑥 = 𝑎, toma la forma

𝟎 𝟎

, es preciso transformarla para

“levantar la indeterminación”; es decir simplificar al factor que hace indeterminada a la expresión. En este caso habría que encontrar al factor (𝑥 − 𝑎). -

Para ello se utilizan criterios de factorización o racionalización, según se requiere el caso, para encontrar al factor (𝑥 − 𝑎) que es el que hace indeterminada la expresión.

-

Seguidamente se simplifica el factor (𝑥 − 𝑎)

-

Se evalúa la expresión resultante para 𝑥 = 𝑎

-

Si persiste la forma

𝟎 𝟎

se repiten los procedimientos anteriores hasta lograr

una forma determinada. FORMA: ∞ − ∞ Mediante transformaciones adecuadas conviene llevarlas a la forma equivalente 0/0 ya estudiada anteriormente y aplicar las técnicas conocidas para levantar la indeterminación. FORMA:

∞ ∞

Si la fracción:

𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)

cuando 𝑥 → ∞ toma la forma indeterminada

∞ ∞

y en

consecuencia queremos hacer factible su cálculo, la regla es dividir numerador y denominador entre la variable 𝒙 elevado a su mayor exponente, pudiendo entonces ocurrir los siguientes casos: -

Si el grado del numerador es igual al del denominador, el límite estará expresado por el cociente de los coeficientes de mayor grado.

-

Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el límite será cero (0).

-

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador el limite será infinito (∞).

FORMA: 𝟎. ∞ Esta forma resulta al tener 𝐹 = 𝑓. 𝑔 y se quiere calcular: lim 𝑓(𝑥), siendo 𝑓(𝑎) = 𝑥→𝑎

0 y 𝑔(𝑎) = ∞ (o viceversa) luego es posible transformar la expresión a la forma “0/0” ó “∞/∞" ya estudiadas, si hacemos.

𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) =

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 1 1 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)

Entonces:

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 1 𝑥→𝑎 1 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)

lim 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

SESIÓN 02: Resolución de ejercicios y problemas

Aplicando la definición Demostrar que: 1. lim(5𝑥 + 2) = 7

de

𝑥→1

2. lim

𝑥→−2

3

√𝑥−1 𝑥→1 √𝑥−1

15. lim 4

4

16. lim

4

17. lim

= −1 3𝑥+2

3. lim

límite.

𝑥→−2 2𝑥+3

= −4

𝑥+3

4. lim 𝑥−3 = 4 𝑥→5

𝑥

5. lim 2𝑥 2 −5𝑥+2 = −1 𝑥→1

Resolver los siguientes limites

𝑥 3 −2𝑥 2 −4𝑥+8 3𝑥 2 +3𝑥−6

𝑥→−2

𝑥 2 −(𝑎−1)𝑥−𝑎

𝑥→𝑎 𝑥 2 −(𝑎−2)𝑥−2𝑎 2

18. lim (

𝑥→2 3𝑥−6

−

2 2𝑥 2 −5𝑥+2

)

√𝑥+√4𝑥+5−√3𝑥+13 𝑥−1 𝑥→1

19. lim

√3𝑥−2+√𝑥−√5𝑥−1 √2𝑥−1−√𝑥 𝑥→1

20. lim 6. lim(3𝑥 2 − 4𝑥 + 1) 𝑥→2

7. lim 6𝑥 3 − 9𝑥 2

21. lim

𝑥 3 +3𝑥 2 −𝑥−4

𝑥→−∞ 2𝑥 3 −𝑥 2 +6𝑥

𝑥→−3

8. lim

2𝑥 2 −4𝑥

𝑥→2 5𝑥−3

9.

lim

𝑥 2 −25

𝑥→−5 𝑥+5

10. lim

𝑎2 −8𝑎+15

𝑎→3

𝑎2 −9

11. lim √6𝑥 2 − 7𝑥 − 1

5𝑥 2 −3

22. lim

𝑥→∞ 7𝑥 4 −𝑥 3 +2𝑥−1

23. lim

𝑥 5 −1

𝑥→∞ 𝑥 3 −2𝑥+5

24. lim

5𝑥+√3𝑥 2 +√36𝑥 4 −5

𝑥→∞ 2𝑥+√2𝑥 2 +√4𝑥 4 −7 1

𝑥→2

25. lim √𝑥 (√2𝑥 − 𝑥)

√𝑥+1−1 𝑥 𝑥→0

26. lim [ √𝑥−

12. lim

√𝑥+4−3 ) 𝑥→5 √𝑥−1−2

13. lim (

√𝑥−√𝑎+√𝑥−𝑎 √𝑥 2 −𝑎2 𝑥→𝑎

14. lim

𝑥→0

𝑛

𝑥→√𝑛

√𝑛 √

𝑛

+ 1] √𝑥 2 − 𝑛 𝑛

1 27. lim [√1 + √𝑥 − 1] √𝑥 𝑥→∞

SEMANA No. 02 SESIÓN 03: Definición de límites de funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales. DEFINICIÓN DE LÍMITES DE FUNCIONES TRIONOMÉTRICAS Para el cálculo de los límites de funciones trigonométricas se requiere conocer las siguientes propiedades: 1. lim 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑥→0

2. lim 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 1

ó

𝑥→0

𝑆𝑒𝑛 𝑥

3. lim (

𝑥

𝑥→0

)=1

lim

1−𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑥

𝑥→0

ó

lim (

𝑥

𝑥→0 𝑆𝑒𝑛 𝑥

=0

)=1

4. lim 𝑇𝑔 𝑥 = 0 𝑥→0

𝑇𝑔 𝑥

5. lim ( 𝑥→0

𝑥

)=1

ó

lim (

𝑥

𝑥→0 𝑇𝑔 𝑥

)=1

DEFINICIÓN DE LÍMITES DE FUNCIONES TRIONOMÉTRICAS INVERSAS: Para el cálculo de los límites de funciones trigonométricas inversas es necesario recordar las siguientes propiedades: 1. lim 𝑎𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 0

4. lim

𝑥→0

2. lim 𝑎𝑟𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑥→0

3. lim

𝑎𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝑥

𝑥→0

𝑥

𝑎𝑟𝑐 𝑇𝑔 𝑥

𝑥→0

𝜋

𝑥

=1

5. lim 𝑎𝑟𝑐 𝑇𝑔 𝑥 = −

2

𝑥→−∞

=1

6. lim 𝑎𝑟𝑐 𝑇𝑔 𝑥 = 𝑥→+∞

𝜋 2

𝜋 2

DEFINICIÓN DE LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES: 1. 𝑆𝑖 𝑎 > 1:

lim 𝑎 𝑥 = +∞ ;

𝑥→+∞

2. 𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 1:

lim 𝑎𝑥 = 0;

𝑥→+∞

lim 𝑎 𝑥 = 0

𝑥→−∞

lim 𝑎𝑥 = +∞

𝑥→−∞

Teorema Si 𝑓(𝑥) una función definida en un entorno a 𝑥0 tal que 𝑎 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 > 0, entonces existe la función 𝑎 𝑓(𝑥) en el mismo entorno. 1. Si lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑥0

→

lim 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏𝐿

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

+∞ , 𝑆𝑖 𝑎 > 1 = { 1 , 𝑆𝑖 𝑎 = 1 0 , 𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 1

2. Si lim 𝑓 (𝑥) = +∞

→

3. Si lim 𝑓(𝑥) = −∞

→

4. Si lim 𝑓(𝑥) = −∞

→ sin signo determinado, entonces no existe lim 𝑎 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

𝑥→𝑥0

lim 𝑎

𝑥→𝑥0

0 , 𝑆𝑖 𝑎 > 1 lim 𝑎 𝑓(𝑥) = { 1 , 𝑆𝑖 𝑎 = 1 𝑥→𝑥0 +∞ , 𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 1 𝑥→𝑥0

SESIÓN 04: Resolución de ejercicios y problemas Resolver los siguientes limites 𝜋

1.

2.

3. 4. 5. 6. 7.

8.

9.

lim

𝑆𝑒𝑛(𝑥− 3 ) 𝜋

𝜋 𝑥→ 3 𝑇𝑔(𝑥− 3 )

𝐶𝑜𝑠 2𝑥

lim𝜋 (

𝑥→ 4 𝐶𝑜𝑠 𝑥−𝑆𝑒𝑛 𝑥

lim

𝑆𝑒𝑛 2𝑥 𝑥

𝑥→0

lim

𝑆𝑒𝑛 7𝑥 9𝑥

𝑥→0

lim

𝑆𝑒𝑛 8𝑥 3𝑥

𝑥→0

lim

𝑥→0

lim𝜋

𝑇𝑔 𝜋𝑥 2𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝜋

𝑥→ 2 2 −𝑥

lim𝜋

𝐶𝑜𝑠 3𝑥

𝑥→ 2 𝐶𝑜𝑠 5𝑥

)