Modulo-edo (1).docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA

MODELado DE CIRCUITOS ELECTRICOS CON ECUACIONes DIFERENCIALes

CATEDRATICA:

Ing.Ms. David Uscamayta Verastegui PRESENTADO POR:   

MEJIA RAZA, Jose Leonidas PAUCAR ALLPAS, Sharon VASQUEZ CABALLERO, Miguel Angel

HUANCAYO - PERU

2017

INDICE

IQI IQ IQ

I.

INTRODUCCION

………………………………………………………………v

RESUMEN ...................................................................................................................... VI OBJETIVOS.................................................................................................................... VII II.

MARCO TEORICO .................................................................................................... 9

2.1 CORRIENTE ELECTRICA ............................................................................................................... 9 2.1.1 MAGNITUDES ELÉCTRICAS ..................................................................................................... 9 2.1.2 TIPOS DE CORRIENTE ELÉCTRICA ......................................................................................... 11 3.2 Corriente alterna .................................................................................................................. 11 2.2 LEY DE OHM ............................................................................................................................. 11 2.2.1. TIPOS DE CONEXIÓN ........................................................................................................ 13 2.3 INDUCTOR ................................................................................................................................ 13 2.4 CAPACITOR ............................................................................................................................... 15 2.4.1. CAPACITANCIA ................................................................................................................. 15 2.5 LEY DE COULOMB..................................................................................................................... 16 2.6 LEY DE FARADAY ...................................................................................................................... 17 2.7 LEYES DE KIRCHHOFF ............................................................................................................... 17 2.8 LEY DE KIRCHHOFF PARA EL VOLTAJE ...................................................................................... 19 2.9 TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA CIRCUITOS ELECTRICOS ................................................. 20 2.10 CIRCUITO ELECTRICO EN SERIE DEL TIPO LR Y RC .................................................................... 21 2.10.1. CIRCUITO RC .................................................................................................................... 23

III. METODOS Y MATERIALES ..................................................................................... 26 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

METODO .................................................................................................................................. 26 MATERIALES ............................................................................................................................. 26 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL ............................................................................................ 30 DATOS OBTENIDOS .................................................................................................................. 31 CALCULOS................................................................................................................................. 32

IV. DISCUSIÓN DE RESULTADOS ................................................................................. 37 V.

CONCLUSIONES .................................................................................................... 38

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................. 39 VII. ANEXOS ................................................................................................................ 40

ii

iii

I.

INTRODUCCION

En este informe se aprenderá a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico conectado en serie del tipo 𝑅𝐿𝐶 y redes ,también comprenderás con precisión como realizar el análisis de un circuito eléctrico de éste tipo utilizando una metodología de 3 pasos. Utilizaremos la siguiente: Metodología. Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones, Diferenciales Solución de la Ecuación Diferencial, resultante Graficación de la corriente encontrada. Para el Modelado del Circuito Eléctrico, repasaremos las leyes

de

Kirchhoff

vistas

en

el

artículo Circuitos

Eléctricos

Ecuaciones Diferenciales solo que ahora el circuito a estudiar es del tipo RLC.

v

y

RESUMEN El presente trabajo está destinado a conocer la intensidad de corriente en un determinado tiempo. Ahora construimos un circuito el cual consta de un condensador, una resistencia, y una fuente de voltaje y un inductor. También daremos a conocer redes o mallas de RL, formulando un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Después tomamos en cuenta que como es un circuito cerrado el que hicimos, sabemos que la cantidad de voltaje suministrado es igual a la caída voltaje en el resto del circuito. Teniendo en cuenta lo anterior planteamos nuestra ecuación diferencial y partimos de esta para encontrar el modelo matemático que nos de la intensidad de la corriente en cualquier instante de tiempo.

vi

OBJETIVOS



OBJETIVO GENERAL  Obtener el modelo matemático de representar la intensidad de corriente eléctrica en cualquier instante del tiempo



OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Determinar y comparar los tiempos experimentales y teóricos de la intensidad de corriente eléctrica que existe en el sistema.  Utilizar nuestros conocimientos sobre resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden para hallar el modulo matemático requerido.

vii

viii

II. 2.1

MARCO TEORICO

CORRIENTE ELECTRICA La corriente eléctrica es un flujo de electrones en el seno de un material conductor. Este flujo tiene lugar desde un punto con un potencial eléctrico determinado hacia otro con un potencial eléctrico menor. (NAVARRO, 2009) Todos los cuerpos están formados por átomos. Cada átomo está constituido por un núcleo central y por una serie de órbitas. En el núcleo están los protones con carga positiva y los neutrones sin carga eléctrica. En las órbitas están los electrones con carga negativa. Para que las cargas eléctricas estén compensadas el número de electrones tiene que ser igual al número de protones. Los átomos debido a fuerzas externas pueden ganar o perder electrones (ANTONIO, 2008)

2.1.1 MAGNITUDES ELÉCTRICAS Toda corriente eléctrica tiene unas propiedades determinadas que vienen dadas por tres magnitudes fundamentales que están relacionadas entre sí. 

La tensión, voltaje o potencial eléctrico (V): De un punto de un circuito nos informa de su nivel de energía. Los electrones se moverán siempre desde un punto con un potencial alto hacia un punto con potencial bajo. Entre los polos de una pila hay una diferencia de potencial eléctrico que hace que, al conectarlos con un conductor, los electrones viajen del polo con mayor potencial (el positivo) hacia el polo con un potencial menor (el negativo). La unidad con que medimos el voltaje es el voltio (V) Si tenemos una pila de 4.5 𝑉, supondremos que el polo positivo tiene un potencial eléctrico (o una tensión o voltaje) de 4.5 𝑉 y que el negativo está a un potencial (o tensión o voltaje) de cero voltios.



La resistencia (𝑅) de un receptor e la oposición o dificultad que ésta opone a que la corriente eléctrica pase a su través (a que los electrones lo atraviesen). La resistencia se mide en ohmios (Ω).



La intensidad (𝐼) de corriente es la cantidad de electrones (carga eléctrica) que circula en un segundo. La unidad de medida de intensidad es el amperio (𝐴).

En general: Los circuitos eléctricos son sistemas por los que circula una corriente eléctrica. Un circuito eléctrico este compuesto por los siguientes elementos:

2.1.2 TIPOS DE CORRIENTE ELÉCTRICA 3.1

Corriente continua Los circuitos conectados a una

pila o a una batería son ejemplos de circuitos de corriente continua. El voltaje permanece constante durante un intervalo de tiempo.

3.2

Corriente alterna La corriente es alterna cuando la

intensidad cambia cíclicamente su sentido de circulación, a causa de que el voltaje cambia de valor y de signo. El ejemplo más típico es el de la corriente de la red eléctrica, que varía según una onda senoidal, repitiendo su ciclo 50 veces cada segundo.

2.2

LEY DE OHM

Un conductor eléctrico es aquella sustancia que permite el paso de la corriente a su través. Es aislante cuando no la deja pasar. Se define intensidad de corriente I (amperio, A) como el número de cargas Q (culombio, C) por cada segundo que atraviesa una sección perpendicular de conductor. Para mover las cargas es necesario realizar un trabajo, denominamos potencial (voltio, V) al trabajo realizado por cada unidad de carga. El trabajo depende de la resistencia R (ohmio, Ω) u oposición que opone el conductor. El potencial también se llama tensión, diferencia de potencial (ddp) o voltaje. Ohm relacionó estas tres magnitudes mediante la ley que lleva su nombre:

𝑰 = 𝑽/𝑹

(2.1)

El paso de la corriente se detecta con un aparato llamado galvanómetro, que además puede medir el potencial (voltímetro) o la intensidad (amperímetro). Todo conductor atravesado por una corriente 𝐼 requiere una diferencia de potencial 𝑉 entre sus extremos. El valor de la resistencia R se deduce aplicando la ley de Ohm después de medir 𝑉 e I.

𝑹 = 𝑰/𝑽

(2.2)

Gráficamente se obtiene la resistencia tras representar los pares de valores (𝐼, 𝑉). El valor de la pendiente corresponde a la resistencia

2.2.1. 

TIPOS DE CONEXIÓN SERIE: Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie cuando al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, todas ellas son recorridas por la misma corriente. La resistencia total (𝑅𝑇) del circuito es igual a la suma de todas las resistencias.

𝑹𝑻 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 + … + 𝑹𝒏



(2.3)

PARALELO: Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando tienen dos terminales comunes de modo que al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, todas las resistencias tienen la

misma caída de tensión.

𝑹𝑻 = 2.3

𝑹𝟏 .𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐

(2.4)

INDUCTOR

Una bobina o inductor es un componente pasivo de un circuito eléctrico que, debido al fenómeno de la autoinducción, almacena energía en forma de campo magnético.

Un inductor está constituido normalmente por una bobina de material conductor, típicamente alambre o hilo de cobre esmaltado. Existen inductores con núcleo de

aire o con núcleo de un material ferroso, para incrementar su inductancia. La bobina almacena energía eléctrica en forma de campo magnético cuando aumenta la intensidad de corriente, devolviéndola cuando ésta disminuye. Matemáticamente se puede demostrar que la energía,

𝜺

almacenada por una

bobina con inductancia L, que es recorrida por una corriente de intensidad I, viene dada por:

𝟏

𝜺 = 𝑳𝑰𝟐

(2.5)

𝟐

Una variación de la intensidad de corriente ( ⅈ(𝑡) = ∆𝐼/∆𝑡) dará como resultado una variación del campo magnético y, por lo mismo, un cambio en el flujo que está atravesando el circuito. De acuerdo con la Ley de Faraday, un cambio del flujo, origina una fuerza electromotriz auto inducida. Esta fuerza electromotriz, de acuerdo con la Ley de Lenz, se opondrá a la causa que lo origina, esto es, la variación de la corriente eléctrica, por ello suele recibir el nombre de fuerza contralectromotriz. Su valor viene dado por la siguiente ecuación diferencial: (.H.Gerrish, 2011)

𝑬=−

𝒅𝝓 𝒅𝒕

=−

𝒅𝒊 𝒅𝒕

(2.6)

donde, el signo menos indica que se opone a la causa que lo origina. La bobina ideal puede referirse a partir de la ecuación siguiente:

𝒖(𝒕) = 𝑳

𝒅𝒊 𝒅𝒕

(2.7)

donde, 𝐿 es la inductancia, 𝑢(𝑡) es la función diferencia de potencia aplicada a sus bornes e ⅈ(𝑡) es la intensidad resultante que circula.(.H.Gerrish, 2011)

2.4

CAPACITOR

Las resistencias disipan la energía, los capacitores e inductores la almacenan. Un capacitor es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo eléctrico Están compuestos por dos placas conductoras separadas por un material aislante (o dieléctrico). El dieléctrico puede ser aire, cerámica, papel o mica. Sus símbolos se representan así:

Cuando una fuente de tensión 𝑣 se conecta al capacitor deposita una carga positiva 𝑞 en una placa y una carga negativa – 𝑞 en la otra. Se dice que el capacitor almacena carga eléctrica. La cantidad de carga almacenada es directamente proporcional a la tensión aplicada:𝑞 = 𝐶𝑣 es la cte. de proporcionalidad conocida como capacitancia, medida en farad (𝐹).

2.4.1.

CAPACITANCIA

Un capacitor consiste de dos conductores a y b llamados placas. Se supone que están completamente aislados y que se encuentran en el vacío. Se dice que un capacitor está cargado si sus placas tienen cargas iguales y opuestas, +𝑞 𝑦 − 𝑞.

Cuando se mencione a la carga, q, de un capacitor se considera a la magnitud de la carga de cualquiera de las placas. Un capacitor puede adquirir carga eléctrica si se conecta a las terminales de una batería. Puesto que las placas son conductoras, entonces son equipotenciales, y la diferencia de potencial a través de las placas será la misma que la de la batería. Por conveniencia, a la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas se le llama 𝑉. La carga y la diferencia de potencial en un capacitor se relacionan por

𝒒 = 𝑪𝑽

(2.8)

donde C es una constante de proporcionalidad llamada capacitancia. La unidad de medida de la capacitancia en el SI es el farad (abreviado F). 1 𝑓 𝑎𝑟𝑎𝑑 = 1𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏/𝑣𝑜𝑙𝑡

(2.9)

El cálculo de la capacitancia: 1. se supone una carga q en las placas 2. se calcula el campo eléctrico E entre las placas en términos de su carga, usando la ley de Gauss 3. una vez conocido 𝐸, se calcula la diferencia de potencial V entre las placas 4. se calcula C a partir de 𝐶 = 𝑞/𝑉. El cálculo del campo eléctrico: de acuerdo con la ley de Gauss (ver la figura)

2.5

LEY DE COULOMB

La caída de voltaje 𝑉𝑎𝑏 cuando la corriente fluye de “a” a “b” a través de un capacitor es proporcional a la carga en el capacitor: (Moises Lazaro, 2010) 𝑉𝑎𝑏 =

1 × 𝑞(𝑡) 𝐶 𝑡

1

= {𝑞(𝑡0) + ∫𝑡0 𝐼(𝑠) 𝑑𝑠} 𝐶 𝑞



Cuando 𝐼(𝑠) = 0 ;se tiene 𝑉𝑎𝑏 = 𝐶



Cuando 𝑞(𝑡0) = 0 ;se tiene 𝑉𝑎𝑏 = ∫ 𝐼𝑑𝑡

La constante C recibe el nombre de capacitancia del capacitor.

(2.11)

2.6

LEY DE FARADAY La caída de voltaje 𝑉𝑎𝑏 a través de un. inductor es proporcional a la tasa de cambio de la corriente: (Moises Lazaro, 2010) 𝑑𝐼

𝑉𝑎𝑏 = 𝐿 × 𝑑𝑡

(2.12)

Cunado L se denomina inductancia del inductor.

2.7

LEYES DE KIRCHHOFF

Estas leyes no representan ninguna idea nueva para los principios de la física, vistos hasta ahora. Son consecuencia de dos leyes fundamentales: la conservación de la carga eléctrica y la conservación de la energía. En el experimento anterior enunciamos las dos leyes de Kirchhoff. La primera establece que la suma algebraica de las corrientes que pasan por un nodo es cero. Aunque no hemos definido la corriente eléctrica, podemos decir que es el transporte de carga. Esto significa que ningún nodo guarda, destruye, o crea carga. Recordemos que en el primer experimento hablamos de las propiedades de la carga eléctrica y entre ellas mencionamos su conservación, así que la primera ley de Kirchhoff es una manifestación de esta propiedad. La segunda ley afirma que la suma algebraica de los voltajes alrededor de un lazo cerrado es cero. Esto significa que la energía que entrega la batería es usada en su totalidad por el circuito. La batería, o cualquiera de los elementos de circuito, no crean, ni destruyen energía, sólo la transforman. A final de cuentas, la energía se degrada en calor y se disipa en el ambiente. Vamos a mostrar cómo estas dos leyes nos permiten analizar cualquier circuito y establecer los valores de las corrientes que circulan por sus elementos

Circuitos con dos lazos y varios elementos

Tenemos un circuito con dos lazos. Observe que tiene dos baterías, con voltajes dados, y tres resistencias con sus valores conocidos. En él hemos definido las corrientes 𝐼1, 𝐼2 , 𝑒 𝐼3 , circulando por cada una de las tres resistencias, y son desconocidas. Nuestro propósito es determinar los valores de las corrientes, así como la dirección en que circulan. Aplicamos la ley de las corrientes en el nodo B y obtenemos, 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 + 𝑰𝟑 = 𝟎

(2.13)

Recuerde que habíamos convenido en que las corrientes que entran al nodo son negativas y las que salen, positivas, así que esto explica la diferencia en signos en las variables de la ecuación 1. Por otro lado, como el número de variables desconocidas es tres, necesitamos tres ecuaciones independientes para determinar su valor. La ley de las corrientes nos provee una de esas tres ecuaciones. En seguida veremos que la ley de los voltajes nos proveerá dos ecuaciones adicionales, con lo que completaremos las tres que necesitamos y resolveremos el problema. En la figura 2 hemos re-dibujado el circuito poniendo énfasis en los lazos 1 y 2. Aplicaremos la ley de los voltajes de Kirchhoff a cada lazo, empezando por los nodos A y B respectivamente, y recorriéndolos en dirección de las manecillas del reloj Lazo 1: −𝒗𝑹𝟏 − 𝑽𝟐 − 𝒗𝑹𝟐 + 𝑽𝟏 = 𝟎

(2.14)

Usamos la ley de Ohm para expresar los voltajes 𝒗𝑹𝟏 y 𝒗𝑹𝟐 en función de las corrientes 𝑰𝟏 𝒆 𝑰𝟐 y obtenemos la ecuación 2 −𝑰𝟏 𝑹𝟏 − 𝑽𝟐 − 𝑰𝟐 𝑹𝟐 + 𝑽𝟏 = 𝟎

(2.15)

−𝒗𝑹𝟑 + 𝒗𝑹𝟐 + 𝑽𝟐 = 𝟎

(2.16)

Lazo 2.

Nuevamente usamos la ley de Ohm, esta vez para expresar los voltajes vR3 y vR2 en función de las corrientes 𝑰𝟑 𝒆 𝑰𝟐 y obtenemos la ecuación −𝑰𝟑 𝑹𝟑 + 𝑰𝟐 𝑹𝟐 + 𝑽𝟐 = 𝟎

(2.17)

Note que cuando recorremos un resistor en la misma dirección en la que hemos definido la corriente a través de él, le asignamos un signo negativo al voltaje, como puede verse en el lazo 1 con los voltajes 𝑣𝑅1 Y 𝑣𝑅2 y con el 𝑣𝑅3 en el lazo 2. En cambio, si lo recorremos contra la corriente es positivo, como en el caso del 𝑣𝑅2

a través de la resistencia R2 en el lazo 2. En el caso de las baterías, si las recorremos del negativo al positivo, son subidas, por lo tanto, positivas, como el voltaje V1 en el lazo 1, de lo contrario, serán caídas, negativas, como el voltaje V2 en este mismo lazo l

2.8

LEY DE KIRCHHOFF PARA EL VOLTAJE 1. La suma algebraica de caídas de voltaje alrededor de un camino cerrado es cero, en cualquier instante de tiempo. 2. Para cualquier par de nodos 𝑗 𝑦 𝑘, la caída de voltaje 𝑑𝑒 𝑗 𝑎 𝑘 𝑉𝑗𝑘 es: 𝑉𝑗𝑘 = 𝑉𝑗 − 𝑉𝑘 en cualquier instante de tiempo. Donde 𝑉𝑗 es el voltaje de nodo del nodo j respecto a la referencia, y 𝑉𝑘 es el voltaje de nodo del nodo k respecto a la referencia. 3. Para un circuito conectado una secuencia de nodos 𝐴 − 𝐵 − 𝐷 − ⋯ − 𝐺 − 𝑃, la caída de voltaje en cualquier instante de tiempo es: 𝑽 𝑨𝑷 = 𝑽 𝑨𝑩 + 𝑽 𝑩𝑫 + ⋯ + 𝑽 𝑮𝑷

(2.18)

4. Para un circuito conectado la suma algebraica de voltajes nodo-a-nodo para una secuencia de nodos cerrada es cero en cualquier instante de tiempo Reglas que se han de aplicar para la correcta resolución de cualquier circuito eléctrico 

Corrientes: En cada nodo de un circuito eléctrico, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes



Voltajes: Para cualquier circuito eléctrico cerrado la suma de caídas de tensión de cada componente es nula

2.9

TRANSFORMADA ELECTRICOS

DE

LAPLACE

PARA

CIRCUITOS

Las variables v(t) e i(t) son "variables temporales', es decir, se miden en el dominio temporal, en un instante de tiempo particular, usando voltímetros y amperímetros, o pueden visualizarse en un osciloscopio. Podemos así obtener información sobre las mismas a partir de un trabajo experimental. Por lo tanto, independientemente del método que usemos para resolver un problema, veremos o interpretaremos mejor el resultado final en función de lo que ocurra en el dominio temporal. Para llegar a la solución podremos, sin embargo, dejar el dominio temporal por un tiempo, y retornar luego a él para interpretar los resultados (LAZARO, edicion 2013) a transformada de Laplace de la función 𝑓(𝑡) 𝑑𝑒𝑓ⅈ𝑛ⅈ𝑑𝑎 𝑒𝑛 [0, ∞) esta dada por: ∝

𝑳 {𝒇(𝒕)} = ∫𝝈 𝒇(𝒕)𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 = 𝑭(𝒔)

(2.19)

Debido a que los límites de integración son 𝑡 = 0 𝑦 𝑡 = ∞, la 𝐿-transformada de f(t) no es una función del tiempo sino de s, la cual se introduce a través del factor e-st. La variable 𝑠 se denomina variable frecuencia compleja. La función transformada, 𝐹(𝑠), es una función en el dominio de la frecuencia compleja, o, más brevemente, en el dominio frecuencial. Designaremos las funciones en el dominio temporal con minúscula, 𝑓 y en el dominio frecuencia con mayúscula 𝐹. Consideremos la ecuación diferencial de 2º orden lineal a coeficientes constantes: 𝒂𝟐

𝒅𝟐 𝒇(𝒕) + 𝒅𝒕𝟐

𝒂𝟏

𝒅𝒇(𝒕) + 𝒅𝒕

𝒂𝟎 𝒇(𝒕) = 𝒈(𝒕)

(2.20)

Los factores a y 𝑔 (𝑡) son conocidos, y el problema consiste en hallar la solución de la ecuación, o sea 𝑓(𝑡). Suponemos que 𝑔(𝑡) 𝑦 𝑓(𝑡) son L-transformables, con 𝐺(𝑠) 𝑦 𝐹(𝑠) sus transformadas. Mediante las reglas dadas anteriormente, transformaremos la ecuación anterior:

Luego, la ecuación diferencial( 2.24)se ha transformado en la ecuación algebraica que puede resolverse para la transformada de la solución deseada.

𝑭(𝒔) =

𝑮(𝒔)+𝒂𝟐 [𝒔(𝒇𝟎)+𝒇¨´(𝟎)]+𝒂𝟏 𝒇(𝟎) 𝒂𝟐 𝒔𝟐 +𝒂𝟏 𝒔+𝒂𝟎

𝒇(𝒕) = 𝑳−𝟏 {𝑭(𝒔)} = 𝑳−𝟏 {

2.10

𝑮(𝒔)

𝒂𝟐

𝒔𝟐+𝒂

𝟏 𝒔+𝒂𝟎

}

CIRCUITO ELECTRICO EN SERIE DEL TIPO LR Y RC

(2.21)

(2.22)

Primeramente, obtengamos los modelos para el circuito representado en la figura Dicho modelo matemático proviene de las leyes de Kirchhoff: 1. La suma de las corrientes hacia (o desde) cualquier punto es cero. ley de nodos 2. Alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de las caídas de voltaje instantáneas en una dirección específica, es cero. ley de mallas En este caso, como queremos encontrar un valor (la corriente ⅈ(𝑡)), en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la ley de mallas. Para

esto

recordamos

como

representamos

matemáticamente,

en

circuitos eléctricos, a los Inductores y las Resistencias, así como las definiciones de caídas de voltaje para cada elemento: TABLA DE CAIDAS DE VOLTAJE PARA CADA ELEMENTO DEL CIRCUITO DESCRITO EN LA FIGURA EN FUNCION DE LA CORRIENTE Y LA CARGA

Entonces, aplicando la ley de mallas de Kirchhoff al circuito de la Figura , para las caídas de voltaje en función de la corriente ⅈ(𝑡), tenemos: 𝒅𝒊

𝑳 𝒅𝒕 + 𝒊𝑹 = 𝑬(𝒕)

(2.23)

Donde: 𝐿 𝑌 𝑅 son

constantes

conocidas

como

resistencia, respectivamente. La corriente ⅈ(𝑡)

la

inductancia

y

la

se llama también respuesta

del sistema. En realidad esta ecuación (2.27) no es más que la ecuación (2.28) del artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales sin la caída de voltaje que genera el capacitor; dicha ecuación es:

𝑳

𝒅𝒊 𝒅𝒕

+ 𝑹𝒊 +

𝟏 𝑪

𝒒 = 𝑬(𝒕)

(2.24)

Se menciona esto porque es importante tomar en cuenta que una vez modelado un circuito en serie del tipo RLC, las versiones de circuitos en serie del tipo LR 𝑦 RC, son simplemente contracciones de la ecuación (2.28) Es importante hacer notar que en la ecuación aparecen 2 variables dependientes ⅈ 𝑦 𝑞 por lo que para poder resolverla con los métodos para ecuaciones lineales ordinarias es necesario adecuarla a la forma de una ecuación diferencial lineal ordinaria, la cual contiene una sola variable dependiente, lo cual se hace evidente al ver la ecuación en su forma estándar: 𝒅𝟐 𝒚

𝒅𝒚

𝒂𝟐 (𝒙) 𝒅𝒙𝟐 + 𝒂𝟏 (𝒙) 𝒅𝒙 + 𝒂𝟎 (𝒙)𝒚 = 𝒈(𝒙)

(2.25)

La forma estándar anterior representa una ecuación diferencial de 2º orden, donde su única variable dependiente es 𝑦 y su variable independiente es 𝑥. Utilizo la forma estándar de una ecuación diferencial línea ordinaria de 2º orden por que al adecuar la ecuación (2.28) a una ecuación diferencial lineal ordinaria da como resultado una ecuación de lineal ordinaria de 2º orden, ya que la relación que se necesita para sustituir una de las variables independientes eleva el orden de la ecuación (2.28), al ser una diferencial. Es decir, la ecuación que relaciona a las variables dependientes ⅈ(𝑡) 𝑦 𝑞(𝑡) en la ecuación (2.28) para convertirse en una ED de 2o Orden, es una ecuación diferencial. Dicha ecuación diferencial que relaciona a las variables dependientes ⅈ(𝑡) 𝑦 𝑞(𝑡) en su forma de derivada es: (BADAJOS, 24 de noviembre de 20117)

𝒊=

𝒅𝒒 𝒅𝒕

(2.26)

2.10.1. CIRCUITO RC Considere el circuito de la figura la que contiene una batería, un resistor y un capacitor, un voltímetro y un interruptor S. Cuando S se coloca en la posición 1, el capacitor se carga rápidamente al potencial V1, de la batería, la magnitud de la carga q, en cualquiera de las placas del condensador es.

𝒒 = 𝑪. 𝑽𝟏

(2.27)

Cuando S se coloca en la posición 2, la situación inicial es la mostrada en la figura 1b, la diferencia de potencial a través del capacitor también aparece a través de la rama voltímetro resistor, produciendo una corriente en esta rama. Esta corriente descarga al capacitor, lo cual disminuye la diferencia de potencial entre las placas con lo cual decrece la corriente. Entonces 𝑞(𝑡) decrece rápidamente al comienzo y más lentamente a continuación. También la corriente eléctrica tiene un valor inicial relativamente grande, pero va decreciendo al transcurrir el tiempo y tiende a cero a medida que el capacitor se va descargando. La ecuación que indica el comportamiento de la carga en el tiempo está dada por: 𝟏

𝒒(𝒕) = 𝒒𝟎 𝒆𝒙𝒑(− 𝑹𝑪 )

(2.28)

Donde 0 q es una constante cuyo valor corresponde a la carga del condensador en el instante 𝑡 = 0(𝑠). O sea, 𝑞0 = 𝑞 (0) . Así que la carga en el capacitor varía con el tiempo como se muestra en la figura Las escalas muestran valores de las razones

𝑞(𝑡) 𝑞0

𝑦

𝑡 𝑅𝐶

más bien que 𝑞(𝑡) 𝑦 𝑡.

Esto tiene la ventaja que las razones indicadas son adimensionales, esto es, son números puros, sin unidades. El comportamiento exponencial de las cargas en las placas del capacitor viene del hecho de que la rapidez con que disminuye la carga en el capacitor en un instante

es proporcional a la carga en él en ese instante. Para llegar a esta conclusión se puede razonar de la siguiente manera: La carga que fluye por la resistencia va desde una placa a la otra. La intensidad de corriente que circula hace disminuir la carga en el capacitor. En el intervalo de tiempo 𝑑𝑡 la cantidad de carga que pasa por el resistor es ⅈ(𝑡) 𝑑𝑡. Se tendrá la relación: (RIVEROL, 20014)

(2.29)

(2.30)

III. 3.1.

3.2.

METODOS Y MATERIALES

METODO 

Método experimental



Método de trabajo colectivo



Método descriptivo

MATERIALES

 Batería (12-15v)

 GResistencias:  2kΩ  240 Ω  300 Ω  10 Ω

 Inductor  100mH

 Capacitor  1µF

 Baquelita

 Taper

 Cautín

 Taladro

 Papel fotográfico

 Esponja metálica

 Acido férrico

 Plancha

 Multímetro

3.3.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Realizamos el circuito en PCB Wizard e imprimimos en el papel fotográfico. 2. Impreso ya el circuito pasamos a colocarlo encima de la baquelita sobre un papel, lo aseguramos con cinta adhesiva y pasamos a plancharlo por 5 a 10 minutos. 3. Planchado ya la baquelita impresa con el circuito pasamos a ponerlo en el taper, vaciar el ácido férrico y agitarlo unos 15-25 minutos después de que se remoje la baquelita pasamos a limpiarlo con la esponja metálica hasta que salga toda la tinta y solo quede el circuito. 4. Después de ya tener solo la baquelita y el circuito impreso en ella pasamos a agujerar la baquelita con un taladro broca 12. 5. Teniendo ya la baquelita con los agujeros pasamos a colocar los elementos que irán en el circuito y los soldamos con el cautín. 6. Teniendo ya todos los elementos en la baquelita con un multímetro pasamos a ver si hay intensidad de corriente.

3.4.

DATOS OBTENIDOS

3.5.

CALCULOS 𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼3 250𝐼1 + 10−1 𝐼2′ = 15 250𝐼1 + 500𝐼3 + 10−1 𝐼3′ = 15

𝐼2′ = 150 − 2500𝐼2 − 2500𝐼3 𝐼3′ = 150 − 2500𝐼2− 7500𝐼3 Aplicando Laplace al sistema: 𝐼2 (0) = 0 𝐼3 (0) = 0 ℒ{𝐼2′ } = ℒ{150 − 2500𝐼2 − 2500𝐼3 } ℒ{𝐼3′ } = ℒ{150 − 2500𝐼2− 7500𝐼3 }

𝑆𝐼2 (𝑠) − 𝐼2 (0) =

150 − 2500𝐼2 (𝑠) − 2500𝐼3 (𝑠) 𝑠

𝑆𝐼3 (𝑠) − 𝐼3 (0) =

150 − 2500𝐼2 (𝑠) − 7500𝐼3 (𝑠) 𝑠

(2500)𝐼3 (𝑠) + (𝑠 + 2500)𝐼2 (𝑠) =

150 𝑠

(𝑠 + 7500)𝐼3 (𝑠) + (2500)𝐼2 (𝑠) =

150 𝑠

Luego Aplicando Cramer:

𝐼3 (𝑠)

150 𝑠 + 2500 | 𝑠 | 150 150 2500 (−𝑠) 𝑠 𝑠 = = 2 2500 𝑠 + 2500 | | 2500 − (𝑠 + 2500)(𝑠 + 7500) 𝑠 + 7500 2500

=

−𝑠 2

−

−150 150 = 5 128033 21967 − 125 × 10 (𝑠 + ) (𝑠 + ) 15 15

104 𝑠

Por fracciones parciales:

𝐴 (𝑠 + Cuando

𝑠=−

21967 128033 ) + 𝐵 (𝑠 + ) = 150 15 15

128033 15

𝐴 (−

128033 21967 + ) + 𝐵(0) = 150 15 15 𝐴=−

Cuando

𝑠=−

2250 106066

219667 15

𝐴(0) + 𝐵 (−

219667 128033 + ) = 150 15 15 𝐵=

2250 106066

Entonces:

𝐼3 (𝑠)

2250 − 106066

2250 106066 = + 128033 21967 (𝑠 + ) (𝑠 + ) 15 15

Aplicamos transformada inversa:

ℒ −1 {𝐼3 (𝑠) } = −

2250 −1 1 2250 −1 1 ℒ { ℒ { }+ } 128033 21967 106066 106066 𝑠+ 𝑠+ 15 15

𝐼3 (𝑡) = − 𝐼3 (𝑡) =

Luego Aplicando Cramer:

2250 −128033(𝑡) 2250 −21967 15 𝑒 + 𝑒 15 106066 106066 21967(𝑡) 128033(𝑡) 2250 ( 𝑒 − 15 − 𝑒 − 15 ) 106066

150 𝑠 | | 150 150 𝑠 + 7500 𝑠 𝑠 (−𝑠 − 5000) = = 2 2500 𝑠 + 2500 | | 2500 − (𝑠 + 2500)(𝑠 + 7500) 𝑠 + 7500 2500 2500

𝐼2 (𝑠)

150 150(𝑠 + 5000) 𝑠 (−𝑠 − 5000) = = 2 4 5 128033 21967 −𝑠 − 10 𝑠 − 125 × 10 𝑠 (𝑠 + ) (𝑠 + ) 15 15 Por fracciones parciales: 𝐴 (𝑠 +

128033 21967 21967 128033 ) (𝑠 + ) + 𝐵𝑠 (𝑠 + ) + 𝐶𝑠 (𝑠 + ) = (𝑠 + 5000) 15 15 15 15

Cuando

𝑠=0 𝐴 (0 +

128033 21967 ) (0 + ) = 5000 15 15 𝐴 = 3.999 × 10−4

Cuando

𝑠=−

128033 15

𝐵×−

128033 128033 21967 128033 (− + ) = (− + 5000) 15 15 15 15 𝐵 = −58.5 × 10−6

Cuando

𝑠=−

219667 15

𝐶×−

219667 219667 128033 219667 (− + ) = (− + 5000) 15 15 15 15 𝐶 = −3.41 × 10−4

Entonces: 𝐼3 (𝑠) =

(150)3.999 × 10−4 (150) − 58.5 × 10−6 (150) − 3.41 × 10−4 + + 128033 21967 𝑠 (𝑠 + ) (𝑠 + ) 15 15

Aplicamos transformada inversa:

ℒ −1 {𝐼2 (𝑠) } = 150 [ 3.999 × 10

−4 −1 1 ℒ { } − 58.5

× 10−6 ℒ −1 {

𝑠

1 1 −4 } −3.41 × 10 ℒ −1 { }] 128033 21967 𝑠+ 𝑠+ 15 15 128033(𝑡) 15 −3.41 ×

𝐼2 (𝑡) = (150) [3.999 × 10−4 − 58.5 × 10−6 𝑒 − 𝐼3 (𝑡) =

10−4 𝑒 −

21967(𝑡) 15 ]

21967(𝑡) 128033(𝑡) 2250 ( 𝑒 − 15 − 𝑒 − 15 ) 106066

Luego hayamos 𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼3 128033(𝑡)

21967(𝑡) 15

𝐼1 = 3.999 × 10−4 − 58.5 × 10−6 𝑒 − 15 −3.41 × 10−4 ℒ 𝑒 − 21967(𝑡) 128033(𝑡) 2250 + ( 𝑒 − 15 − 𝑒 − 15 ) 106066 −1

128033(𝑡) 2250 𝐼1 = 250 × 3.999 × 10−4 − ( + 250 × 58.5 × 10−6 ) 𝑒 − 15 106066 21967(𝑡) 2250 +( −250 × 3.41 × 10−4 ) 𝑒 − 15 106066

𝐼1 =

21967(𝑡) 128033(𝑡) 400 − (1311/412)𝑒 − 15 + (−18/16589) 𝑒 − 15 4001

GRAFICA DE I1(t) CON RESPECTO AL TIEMPO:

El otro circuito se halla por una ecuación Integrodiferencial: 𝑡

𝐿𝐼(𝑡) ′ + 𝑅𝐼(𝑡) + ∫ 𝐼(𝜏) 𝑑𝑡 = 𝐸 0

𝐿𝑆𝐼(𝑠) + 𝑅𝐼(𝑆) +

1 𝐼(𝑠) 9 = 𝐶 𝑠 𝑠

𝐿𝑆𝐼(𝑠) + 𝑅𝐼(𝑆) +

1 𝐼(𝑠) 9 = 𝐶 𝑠 𝑠

1𝑆𝐼(𝑠) + 300𝐼(𝑆) + 103

𝐼(𝑠) 9 = 𝑠 𝑠

𝐼(𝑠) (𝑆 2 + 300𝑆 + 103 ) = 9 𝐼(𝑠) =

(𝑆 2

9

𝐼(𝑠) = (𝑆 + 9 = 𝐴 (𝑆 + 𝑆=−

9 + 300𝑆 + 103 )

10382 5013 ) (𝑆 + 1487) 35

5013 10382 ) + 𝐵 (𝑆 + ) 1987 35

5013 1987

𝑆=−

9 = 𝐵(293,257)

9 = 𝐴(−243,257)

𝐵 = 0,031 𝐼(𝑡) = −0,031𝑒 −

10382 35

𝐴 = −0,031 10382(𝑡) 35

+ 0,031𝑒 −

5013(𝑡) 1987

IV.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Los resultados obtenidos fueron medidos por un multímetro dándonos pequeñas cantidades por la cantidad de voltaje dada, por la ley de ohm sabemos que la intensidad de corriente es directamente proporcional al voltaje. Los resultados fueron los siguientes:

Tiempo 1 20 40 60 62 80

Intensidad Teorica 0.06ª 0.06ª 0.06ª 0.06ª 0.06ª 0A

Intensidad Practica 0.0596A 0.0596A 0.0596A 0.0596A 0.0596A 0.0596A

Margen de Error 6.66% 6.66% 6.66% 6.66% 6.66% ---------

V. 

El modelo matemático obtenido a partir de los cálculos hechos es: 𝐼1 =



21967(𝑡) 128033(𝑡) 400 − (1311/412)𝑒 − 15 + (−18/16589) 𝑒 − 15 4001

Al comparar los resultados teóricos y experimentales, obtuvimos un margen de error de: |



CONCLUSIONES

0.06 − 0.059 × 100 = 6.66%| 0.06

Se utilizó la teoría dada por el ingeniero a cargo del curso como también los distintos libros de ecuaciones diferenciales, circuitos y transformada de Laplace. También se usó algunos software de simulación de circuitos (PBC Wizard,Liveware)y Matlab.

VI.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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.H.Gerrish, H. (2011). FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD . MEXICO D,F: ELECTRONICA BASICA.

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Andres Cabrerizo, D. M., Anton Bozal, J. L., & Barrio Perez, J. (2008). FISICA Y. España: Editex S.A.

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ANTONIO, H. M. (2008). CIRCUITOS. MADRID: TECNOLOGIAS.

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BADAJOS. ( 24 de noviembre de 20117). APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES. univ. de españa: Dpto de matematicas.

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epec. (s.f.). www.epec.com.ar. Obtenido de https://www.epec.com.ar/docs/educativo/institucional/fichafaraday.pdf

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Garritz, A., Gasque, L., & Martinez, A. (2005). Química Universitaria. Mexico: PRENTICE HALL MEXICO.

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LAZARO. (edicion 2013). resolucion de circuitos aplicando transformada de laplace. madrid: catedra de teoria de circuitos.

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NAVARRO, A. (2009). CIRCUITOS ELECTRICOS. MADRID: 12_25.

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RIVEROL, A. V. (20014). FACTORES INTEGRANTES. MEXICO: ECUACION DIFERENCIAL.

VII.

ANEXOS