Modulo De Matematica I.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTA DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA

Dra. DIANA JUDITH QUINTANA SANCHEZ Dr. LUIS VICENTE MEJIA ALEMAN

2019

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

INTRODUCCIÓN La Ingeniería es una disciplina enfocada al dominio de la Ciencia y Tecnología necesarias para planificar, analizar, diseñar, construir, operar, mantener, evaluar y optimizar procesos de diversa índole con énfasis en actividad humana. Sabemos que existe un continuo flujo de ideas y problemas de ingeniería que, a su vez, han estimulado y a veces iniciado ciertas ramas de las matemáticas, pero es necesario destacar que es la Matemática el soporte científico del cual se sirven ciencias como la ingeniería, la física, la biología entre otras. La matemática es de gran importancia en la formación académica del futuro ingeniero debido a que constituyen la base de un buen razonamiento y si buscamos una línea de acción de la matemática y la ingeniería no demoraríamos en precisar que es la modelización de procesos donde se resalta su presencia pues su participación es inmediata tanto en la formulación de modelos como en el desarrollo de las herramientas necesarias para resolverlos. Considerando lo anteriormente expuesto es que trabajaremos la asignatura de Matemática I pensando en potenciar en ustedes, jóvenes estudiantes, capacidades propias del área de Matemática como:  El razonamiento y demostración  La interpretación de gráficos y expresiones simbólicas  La resolución de problemas Se convierte así, en labor primordial, presentar los medios necesarios para la adquisición de ciertas destrezas como: Identificación, organización e interpretación de información, asimismo el análisis, inferencia, evaluación y aplicación de fundamentos teóricos a situaciones reales. Finalmente el logro de los objetivos de esta asignatura se verá reflejado, y podrá ser evaluado en la eficiencia que demuestren para resolver situaciones de la vida real.

Diana J. Quintana Sánchez

-2–

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

CAPITULO I FUNCIONES

COMPETENCIA: Representa y modela a través de fórmulas algebraicas las funciones elementales, aplicadas a situaciones de la vida cotidiana, fenómenos físicos, químicos, económicos y tecnológicos; reconociendo la relación entre el lenguaje gráfico y el numérico para una mejor comprensión de la realidad.

Capacidades: 1. Comprende el concepto de función y reconoce sus principales características. 2. Grafica adecuadamente una función reconociendo sus características. 3. Resuelve problemas elementales en los que intervienen diversos tipos de funciones. 4. Utiliza procedimientos analíticos y experimentales para definir funciones. 5. Describe representaciones gráficas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. 6. Utiliza funciones como modelos para expresar situaciones reales.

Actitudes: 1. Demuestra precisión, orden y claridad en el tratamiento de datos. 2. Valora la importancia de las funciones en el análisis de situaciones reales.

Diana J. Quintana Sánchez

-3–

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

FUNDAMENTO TEORICO 1. PAR ORDENADO.- Ente matemático que consiste en un par de elementos que están ordenados. NOTACIÓN.- Un par ordenado se simboliza escribiendo sus elementos entre paréntesis y separándolos por medio de una coma  a , b  . Propiedad: Si

 a, b    c, d   a  c  b  d

 5, 2 x  3 y    3 x  y,7 

Ejemplo: Si

, hallar los valores de x y y .

2. PRODUCTO CARTESIANO.- Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío. Si

a  A y b  B , entonces el conjunto de todos los pares ordenados de la forma  a , b  se

llama Producto Cartesiano de los conjuntos A, B (en ese orden) y se simboliza por AxB . Es decir: AxB  Ejemplo: Si A  1,2,3



 a, b  / a  A  b  B B  3,4 Hallar: AxB y BxA

3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.- Sean A y B diferentes del vacío , llamaremos función de A en B a toda relación f  AxB que cumple con la condición: 

De que a cada objeto de un conjunto le corresponde un único objeto del segundo conjunto. Otra forma de presentar la condición anterior es la siguiente: 

No existen dos pares ordenados distintos tienen el mismo primer elemento. Matemáticamente tenemos:

 x, y   f   x, z   y  z

x  Dom ( f ), ! y  Ran( f ) /( x , y )  f  y  f ( x )

Es decir: Gráficamente.-

f A

Dom f

B

x

Diana J. Quintana Sánchez -4– Conj. de partida

y=f(x)

Ran f

Luis V. Mejía Alemán Conj. de llegada

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Ejemplo1.- ¿Cuáles de los siguientes esquemas constituyen una función? f A

f

A

B

B

x1

y1

X

f

f A

y1

x2

y2

x5

y3

x4

y4

Ejemplo2.- Sean los conjuntos:

B

A

B

x1

x3

y1

x2

y2

x3

x1

y1

x2

y3

y2 y4

A  1, 2,3  B  2, 4, 6 establecer cuáles de los

siguientes diagramas representan funciones:

A

B

A

B

A

2

1

2

1

2

2

4

2

4

2

4

3

6

3

6

3

6

Fig 1

Fig 2

NOTACIÓN.- Decir que

Fig 3

f es una función de A en B, se denota por:

f : A B

f o por A :  B

SIMBOLOGÍA.- Una función se denotará por letras tales como: OBSERVACIONES.- Sea



f , g , h, F , G , H , etc

f es una función de A en B, entonces:

Domf  D f   x  A / ! y  B  y  f ( x ) Es el conjunto de todas las primeras componentes



B

1

de los pares ordenados de f .

Ran( f )  R f   y  f ( x )  B / x  A , rango o recorrido de f es el conjunto de todas las segundas componentes.

Diana J. Quintana Sánchez

-5–

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

 

Matemática I

Al conjunto A se le llama conjunto de partida o de Pre-imágenes mientras que al conjunto B se le llama conjunto de llegada. Sabemos que la regla de relación y  f ( x ) significa que f transforma x en y , a

f ( x ) le llamaremos regla de correspondencia y se lee “y e igual a f de x” ó “y e igual f en x”, además decimos que:

a.

y es la imagen de x, mediante la función f.

b.

x es la Pre-imagen de y, mediante la función f.

c.

y depende de x, es decir y es la variable dependiente, x es la variable independiente. Muchas situaciones de la vida real se pueden describir mediante funciones. Por 2 ejemplo, el área A de un círculo en función de su radio r . A   r , A es un

r es la variable independiente y A , la variable

función de r . En este caso, dependiente. d.

Según lo anterior, la función f puede escribirse como:

f   x , y  / y  f  x  , x  Dom( f ) ó f 

 x, f  x    AxB / x  Dom( f )  A

EJERCICIOS Nº 1 1. Hallar

" a " para que el conjunto de pares ordenados sea una función. Indica su dominio





y su rango. f  1, 2  ,  1, a  ,  2,3 ,  1, 4  ,  3,3  2. Hallar

"a"

y

"b "

para

f

que

sea

una

función.

f   3, 2a  3b  ,  1,5  ,  a  b,3 ,  6,7  ,  3, 4  ,  2, 2a  b  ,  2, 4  3. Hallar los valores de a y b para que uno de los conjuntos de pares ordenados sea una función, y determinar la función en cada caso:





 g   4,3 ,  5, 3 ,  4, a



  ,  5, a  b  ,  a

  b, a  ,  b

f  1,8 ,  2, 3 , 1, a 2  b2 ,  1, a  b  , a 2  b, a , b  a 2 , b 2

 b2

4. En A  1, 2,3, 4 se definen las funciones

2

2

 a2 , b



f  1,1 ,  2,3 ,  4, 2  ,  3,3 ,  4, m  y

2 g ( x)  mx  bx  c si f (1)  g (1); g (2)  4 Hallar Rang ( g ) .

5. Para A  1, 2,3 , B  3, 4,5 sean

Diana J. Quintana Sánchez

-6–

f y g dos aplicaciones de A en B tales que:

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

f  1,3 ,  2, 4  ,  a, b 

g   3,3 ,  2, 4  ,  c, d  .

y

Si x  A, f  x   x ;

Rang  f   B, y g 1  3 . Hallar el valor de:  b  a    c  d  2 f ( x)  x  7 , calcular:

6. Evaluación de funciones.- Para la función definida por

7. Hallar

f ( x  x)  f ( x) , x  0 x

f (b  1),

f (3a),

los

f (2) 

valores

de

a,

b

y

dar

la

f ( x) 

función

xb a  x2

tal

que

4 2 , f (3/ 2)  3 5

8. Hallar las incógnitas a fin de que la función esté definida:

a)

f ( x)  x  a; f ( 2)  3

b)

f ( x)  ax  b; f (1)  2  f (2)  2

c)

f ( x)  x  bx  c, f (1)  1, f ( 1)  1

d)

f ( x)  x  ax  bx  2, f (1)  1, f (2)  5

2

3

2

9. Sea A   x  R / 0  x  5 , ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son funciones de A en A?

R1   x, y   A  A / x  2

R2   x, y   A  A / y  2

R3   x, y   A  A / y  x  5

R4 

 x, y   A  A / x  y  2

10. Sean A  2, 4,6,8,10 y B  a, b, c, d , e , ¿Cuáles de los siguientes conjuntos definen funciones de A en B?

C   2, a  ,  4, c  , 10, c  , 8, e  ,  6, e 

D  10, a  ,  6, b  ,  2, a  ,  6, e  ,  4, d 

E   6, b  ,  4, a  ,  8, a  , 10, e 

F   2, b  ,  4, e  ,  6, a 

G  10, b  ,  8, b  ,  4, b  ,  2, b  ,  6, b 

Diana J. Quintana Sánchez

-7–

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

ESTUDIO Nº 1 Indicaciones: El estudio Nº1, así como otros que se presentan en este capítulo, son pequeñas lecciones, cuyo desarrollo será asignado a los alumnos para realizarlo en casa. Se sugiere su realización inmediata a la clase para así poder enlazar el conocimiento a los recibidos en el aula.

TEMA: FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN Las funciones se pueden expresar de las siguientes formas: 1. Mediante tablas Ejemplo 1.- La siguiente tabla proporciona los dividendos por acción ordinaria de General Mills Durante los años 1987 a 1994. El tiempo en años se representa por t , correspondiendo

t  0 a 1990, y los dividendos se representan por y en dólares. Analizar el significado de los valores negativos en el dominio.

t y

-3 1,25

-2 1,63

-1 2,53

0 2,32

1 2,87

2 2,99

3 3,1

4 2,95

Fuente: General Mills 1994 Annual Report

Ejemplo 2.- La tabla muestra el índice de Precios al Consumo ( 1982 – 84 =100) en una selección de varios años. AÑO IPC

1970 38,8

1975 53,8

1980 82,4

1985 107,6

Fuente: Bureau of Labor Statistics

Diana J. Quintana Sánchez

-8–

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Ejemplo 3.- La siguiente tabla muestra el número medio de acres por granja en los Estados Unidos en una selección de varios años. AÑO 1950 ACRES 213

1960 297

1970 374

1980 426

1990 461

1994 478

Fuente: U.S. Department of Agriculture.

En general, a través de una tabla es posible resumir mucha información a la vez es posible interpretarla ya que el tenerla ordenada nos permite una mejor lectura de ella.

2. Mediante gráficas Ejemplo 1.- Considerando el ejemplo 1 del apartado anterior, tenemos: 7000

Población

6000 5000 4000 3000

2000 1000 0 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 1990 Años

p

Ejemplo 2.- La gráfica describe el porcentaje de luz que pasa por x cristales sucesivos sabiendo que un cristal obstruye el 3% de la luz que pasa a través de él.

yy = 100*e^(-0.03*x)

x

10

Diana J. Quintana Sánchez

20

30

40

50

-9–

60

70

80

90

100

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

3. Mediante fórmulas

f ( x)

x Ejemplo 1.- Si tenemos la función

y

f ( x)  x  5 obtendremos los siguientes resultados:

3 -7 0

8 -2 5

f ( x)  x  5

Ejemplo 2.-Un modelo para las temperaturas máximas de Honolulu es:

 t  H (t )  84.4  4.28Sen   3.86   6  Ejemplo 3.- (OPTICA).- Un cristal obstruye el 3% de la luz que pasa a través de él, el porcentaje ecuación:

p de luz que pasa por x cristales sucesivos está dado aproximadamente por la p  100e

0.03 x

.

Ejemplo 4.- La concentración de un fármaco en la sangre por vía intramuscular viene dado por:





2

C  3t  t / 50  t

3

t horas después de ser inyectado



Ejemplo 5.- Una empresa fabrica magnetófonos portátiles estima que el beneficio producido por la venta de un modelo particular es: 3

2

P  76 x  4.83x  320, 0  x  60 Donde P es el beneficio en dólares y x el gasto en publicidad en decenas de miles de dólares.

FIN DEL ESTUDIO Diana J. Quintana Sánchez

- 10 –

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

4. DETERMINACIÓN DE UNA FUNCIÓN.- Una función está bien determinada o definida cuando se conoce su regla de correspondencia y su dominio. Ejemplo.- Sean A  3, 2,0,6,4,11 y B  R. Hallar x e y para que el conjunto de pares ordenados

f   2,4  ,( 3,1),(0, 3 x  2 y ),( 2, 2 x  y ),(2 x  y,4),(6,7),(0,5),(3 x  y , x  y ) sea una función de A en B. Indicar su dominio y rango. 5. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.- Sea f una función de A en B.

Si A y B  R  f es una función real de variable real. 6. FUNCIÓN CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA.- Una función de la forma:

 f1 ( x) ,x  A1  Domf1 , donde A1  A2     f 2 ( x) x  A2  Domf 2 , donde A2  A3   . con: f ( x)   . .  

Domf  Domf1  Domf 2  ... Rangf  Rangf1  Rangf 2  ...

Ejercicio: Observe las siguientes funciones y diga ¿Cuántas reglas de correspondencia tiene esta función?

Diana J. Quintana Sánchez

- 11 –

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

 x2  6 2  x  5  b) f ( x)   x  2 5  x  7 3x x7 

 x2  4 ,x  2  a) f ( x )   x  2 5 ,x  2 

ESTUDIO Nº 2 TEMA: FUNCIÓN PAR E IMPAR La función y  f ( x) es par si

f ( x)  f ( x) . Una función par es siempre simétrica respecto al

eje Y . b) f  x   cos x

2

Ejemplo: a) f ( x) 

x 4 4



3

 

2

y = cos(x)

1

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5













–1



–2



–3



–4









Ahora si deseas verificar que se cumpla la condición f ( x)  f ( x) tenemos que reemplazar en la función la variable x por  x y efectuar las operaciones algebraicas hasta obtener la igualdad.

f ( x) 

f (  x)

x 4 

  x 2  4

x2  4 

x2  4

2

f ( x)   f ( x) Una función impar es siempre simétrica

La función y  f ( x) es impar si respecto al Origen. Ejemplo: a) f ( x)  x

b) f  x   senx

3



4

- 12 –

Diana J. Quintana Sánchez 3

 V. Mejía Alemán Luis 

2

y = sin(x) 1

–4

–3

–2

–1

1 –1

–2

2

3

4

5











 







Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Para este caso tenemos la condición f ( x)   f ( x) de modo que:

  x 3    x 3  x3

  x3

En el primer miembro de la igualdad tenemos que una base negativa elevada a una potencia impar resulta negativa, en el segundo miembro tenemos que el signo negativo precede a la potencia con lo cual el resultado es negativo. EJERCICIOS En los siguientes problemas diga si cada función es par, impar o de ninguno de estos tipos, sin trazar la gráfica.

a)

f ( x)  4 x

3

b) f ( x )  3 x

c) f ( x ) 

1 x

e) f ( x) 

x x 1 2

f) f ( x ) 

x

3

3x  9 2

2

d) f ( x )  2 x  x 4

2

g) f ( x )  x  x

FIN DEL ESTUDIO

Diana J. Quintana Sánchez

- 13 –

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

7. FUNCIONES ESPECIALES 1. Función Constante.-Sea

f una función. Decimos que es una función constante si se

encuentra definida por:

f  ( x, y ) / y  c, donde c es una cons tan te Y cuyo dominio y rango son respectivamente:

f ( x)  c, con D f  R y R f  c y 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x 5

-1 -2 -3 -4 -5

Graficar: f ( x)  3 1.

4.

2.

f ( x)   2

3.

f ( x) 

1 2

x   2,6

2. Función Identidad.- Sea

f ( x)  5 x  4,7

5.

f ( x)  0.3 x   6, 6.5

6.

f ( x)  4.2 x  1, 2

f una función. Decimos que es una función identidad; si su

regla de correspondencia es

f  x   x , se representa simbólicamente por:

f   x, y  / y  x Además su dominio y rango es:

D f  R f  R . Su

una recta de pendiente igual a 1 que pasa por el origen. Diana J. Quintana Sánchez

- 14 –

Luis V. Mejía Alemán

gráfica es

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

y 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x 5

-1 -2 -3 -4 -5

Graficar: 1.

f ( x)  3 x

2.

f ( x )  8 x

3.

f ( x)  2 x

x  3,6

4.

3 f ( x)  x 5

x   8, 6

f una función. Decimos que es una función lineal; si su regla de

3. Función Lineal.- Sea

correspondencia es f ( x)  ax  b; a, b  R  a  0 , se representa simbólicamente por:

f   x, y  / y  ax  b

donde: D f  R f  R , su gráfica es una recta de

pendiente – a/b.   

y = 2x+3

 















   

Graficar: 1. f ( x)  2 x  5 2. g ( x)  3x  8

Diana J. Quintana Sánchez

3. h( x)  7 x  1 4. f ( x)  8 x  2

2,10

- 15 –

x   3,5 x  7,3

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

4. Función Cuadrática.- Sea

f una función. Decimos que es una función cuadrática; si 2

su regla de correspondencia es: f ( x)  ax  bx  c donde a, b, c  R  a  0 se representa simbólicamente por:

f 

 x, y  / y  ax

2



 bx  c donde a, b, c  R  a  0

Su gráfica es una curva llamada parábola. 2

Si y  ax  bx  c

, entonces

2 2  b b  b y  a  x2  x  2   c  2  a 4a  4a  2

b 4ac  b  y  a x    a 4a 

2

 b 4ac  b 2   b  b   ,  ó V  , f    2a  4 a  2a  2a    

Luego el vértice de la parábola es: V 

Y

k

4ac  b 4a

Y

2

k

2

X

b 2a

 Si

4ac  b 4a

b 2a

a  0

 Si

X

a  0

Su dominio es R y su rango R f   k ;   ó R f   , k  Graficar y hallar el rango de las siguientes funciones: 2

1.

f ( x)  2 x  3 x  2

2.

f ( x)   x  8 x  4

3.

f ( x)  3 x  x  5

2

2

f una función. Decimos que es una función raíz

5. Función Raíz cuadrada.- Sea

cuadrada; si su regla de correspondencia es f ( x)  cuadrada por: f  Diana J. Quintana Sánchez

 x, y  / y 

y = sqrt(x)

x . Denotamos la función raíz



x , x  0,   . Con D f   0,   ; R f   0,   . y - 16 –

Luis V. Mejía Alemán

4 3 2 1 x

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

f una función. Decimos que es una función valor

6. Función Valor Absoluto.- Sea

 x si x  0  x si x  0

absoluto; si su regla de correspondencia es f ( x)  x . Donde x   Denotamos la función valor absoluto por: f 

 x, y  / y  x , x  R .

Con D f  R

R f   0,   . y

y = abs(x) 4 3 2 1

–4

–3

–2

x

–1

1

2

3

4

5

–1 –2 –3 –4 –5

 1 ; si x  0  7. Función signo.- La función signo se define como sgn( x)   0 ; si x  0  1 ; si x  0  Gráficamente 2 1.5

x0

1 0.5 -3

-2

-1

1

2

3

-0.5 -1

x0

-1.5 -2

Diana J. Quintana Sánchez

- 17 –

Luis V. Mejía Alemán

;

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

8. Función mayor entero.-La función mayor entero se denota como [ x ] unos corchetes dobles y se define como el mayor entero menor o igual a x . Es decir, x  n  n  x  n  1 ; n  Z . Gráficamente: 2

f ( x)  x

-3

-2

1

-1

1

2

3

-1

-2

-3

Observe que el dominio es todo

R

pero el rango es

Z

.

9. Funciones Racionales.- Una función racional es una función de la forma: R ( x ) 

p( x) q ( x)

donde p y q son funciones polinomiales y q no es el polinomio cero. El dominio de la función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos donde el denominador q sea cero. Ejemplos:

x2 (fig1) x3 1 b) y  f ( x )  (fig.2) x a) y  f ( x ) 

y = 1/x

y

y = (X+2)/X+3

4

15

3

10

2

1

5

–15

–10

x

–5

5

10

–4

–3

–2

–1

1

2

3

15 –1

Fig.1

fig.2

–5

–2

–10 –3

–15 –4

–20

Ejemplos.-

Diana J. Quintana Sánchez

- 18 –

Luis V. Mejía Alemán

4

5

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

2x  4 a) El dominio de la función R( x)  consiste en todos los números reales x5 2

excepto –5. b) El dominio de la función

R( x) 

1 x 4 2

consiste en todos los números reales

excepto – 2 y 2.

x  2 c) El dominio de la función R ( x)  consiste en todos los números reales. 3 2

x 1 d) El dominio de la función R( x)  consiste en todos los números reales x 1 2

excepto 1.

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES 1. Un afiche de forma rectangular, está diseñado de tal forma que el área impresa sea de 20cm de ancho por 30cm de largo y las márgenes sean iguales. a) Represente geométricamente la situación. b) Represente el área total de las márgenes como suma de áreas. c) Determine el polinomio que representa dicha área. 2. En un terreno cuadrado de lado b se cultiva papa en un área de 𝑎𝑥𝑏 𝑚2 y cebada en otra área de (𝑏 − 𝑎)𝑥𝑎 𝑚2 . a) Ilustre gráficamente el área que queda sin cultivar. b) Encuentre la expresión algebraica en forma factorizada del terreno que queda sin cultivar. c) Si b es el triple de a y se desea colocar aspersores para riego en el terreno de la papa, de que radio deben conseguirse los aspersores, de tal forma que no se pierda una gota de agua? d) ¿Cuántos aspersores se deben comprar? e) Quedan algunos sectores del sembrado de papa sin riego? En caso afirmativo encuentre el polinomio que representa dicha área. Recuerde que los aspersores cubren áreas circulares y que el área del círculo es 𝜋𝑟 2 3. Alfonso y Bernardo parte en bicicleta de un punto P al mismo tiempo y en direcciones que forman un ángulo recto entre sí. Bernardo se desplaza a 7 Km/h más rápido que Alfonso. Después de tres horas se encuentran a 39Km de distancia uno del otro. ¿Cuál es la velocidad de cada uno de ellos? Diana J. Quintana Sánchez

- 19 –

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

4. Usted desea sembrar pasto en una zona rectangular de tal forma que el largo tenga 10 metros más que su ancho colocando alrededor de él una zona de flores de 3 pies de ancho. Encuentre las dimensiones de la zona con pasto si el área de la zona de flores es de 80 metros cuadrados. 5. Margarita está estrenando casa tiene un patio de 48 x 100 metros y quiere usar la cuarta parte de él para sembrar matas ornamentales. Cuál es el perímetro del jardín si el largo debe ser 40 metros más que su ancho. 6. Una editora de producción de una editorial decidió que las páginas de un libro deberían tener márgenes de una pulgada en las partes superior e inferior y márgenes de media pulgada a los lados. Ella indica que la longitud de la página debe ser de 1 y media vez su ancho y tener un área impresa de exactamente 51 pulgadas cuadradas. Ilustre gráficamente la situación y encuentre las dimensiones de la página. 7. Un rectángulo con un área de 12cm cuadrados se inscribe en un triángulo rectángulo ABC, cuyos catetos miden 6 y 8 cm respectivamente. Cuáles son las dimensiones del rectángulo. 8. La función de oferta de un producto viene dada por la siguiente ecuación 𝑦 = −200 + 1 4

1

𝑝 2 y la de demanda del mismo por la ecuación 𝑦 = 1000 − 𝑝 2, donde p es el número 2

de unidades. Determine el punto de equilibrio.

9. A gráfica representa el plano de un terreno destinado a un parque, el área sombreada corresponde a la zona deportiva y equivale a 4𝑥 2 + 20𝑥 + 25, el área achurada al lago equivale a 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 y el resto de terreno se destinará a jardines. a) Calcular el área total del terreno b) Encuentre la expresión que representa el área destinada a los jardines.

DEPORTES

J A R D I N

JARDIN

LAGO

10.Resolver cada uno de los siguientes problemas y escribir la solución en la casilla correspondiente. A B C Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 una función cuadrática. a) El valor de c si las raíces de 𝑓(𝑥) son 𝑥1 = −7 y 𝑥2 = −3 D E F b) El coeficiente del término lineal en 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 G

H

I

Diana J. Quintana Sánchez

c)

El discriminante de la ecuación 𝑥 2 − 6𝑥 + 4 = 0

d)

La suma de las raíces de la ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 14𝑥 + 48 - 20 –

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

e) Abscisa del punto (x,5) si éste pertenece a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −

24𝑥 + 140 El valor máximo de y en la intersección de las gráficas 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 y

f)

𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 2 g) h)

El máximo valor de la ordenada en la parábola 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 4𝑥 + 6 El valor de la ordenada que no corresponde en la siguiente tabla si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 7

i)

X y

1 12

3 26

5 52

El valor de c si una de las raíces de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 12𝑥 + 𝑐 es x=3

Para control de sus cálculos si las sumas de los tres números en cada fila, en cada columna y en cada diagonal son todos iguales, entonces las soluciones de los problemas son correctas. 11.Si los lados de un trapecio isósceles miden 10 cm cada uno, hallar el área del trapecio en función del cuarto lado. Rpta: 𝐴(𝑥) =

(10−𝑥)√300+20𝑥−𝑥 2 4

12.En un triángulo de 10 unidades de base y altura 6 unidades está inscrito un rectángulo. Expresar la superficie S de dicho rectángulo en términos de la base. 𝑆(𝑥) = 0.6𝑥(10 − 𝑥)

h s b 13.Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 250 cm cúbicos. El material para la base y la tapa cuesta S/3 por 𝑐𝑚2 . Expresar el costo de construcción de la caja como una función de la longitud de su base.

14.Una cierta compañía tiene 700 unidades del artículo A en bodega al principio de cada mes, las ventas de A promedian 35 unidades por día de venta.

a) Encontrar una función que represente el número de unidades en bodegas en cualquier día de ventas de cada mes. b) ¿En qué tiempo se agotará el artículo en la bodega? c) ¿Cuál es la cantidad inventariada cuando han transcurrido 5 días? 15.Encontrar una función

f (x) que exprese el área de un triángulo isósceles en términos del

lado desigual x, sabiendo que la longitud del perímetro es 2. Además hallar su dominio y rango.

16.El flete aéreo de un kilogramo de mercadería cuesta S/.3 000 transportándolo 300 kilómetros y S/. 5 000 transportándolo 800 kilómetros, encontrar:

Diana J. Quintana Sánchez

- 21 –

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

a) b) c)

Matemática I

Una función lineal que determine el costo del transporte aéreo, si los datos dados representan la política usual de costos. El costo de transportar un kilogramo por 1 300 kilómetros. El número de kilómetros, sabiendo que el costo de transporte de un kilogramo importó: S/.11 800.

8. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.- Si f es una función real de variable real, entonces la gráfica de f ó grafo de f es la representación geométrica de los pares ordenados de la función. Es decir: grafo( f ) 

 x, y  / y  f ( x), x  D  donde los pares ordenados se consideran f

2

como puntos en el plano R . La variable x representa al eje X (eje de abscisas) mientras

y  f ( x ) al eje Y (eje de ordenadas). Ejemplo: Graficar la función g con dominio R y regla de correspondencia

g( x ) :

 x  2

2

 4  y  4

Gráfico elaborado en Mathematica Observaciones: 1. Es importante conocer la gráfica de una función, porque de esta manera es más fácil conocer su comportamiento o sus características. 2. La gráfica de toda función tiene la siguiente propiedad, cuando se traza una recta vertical por cualquier punto de su dominio interfecta a la curva solamente en un punto.

Diana J. Quintana Sánchez

- 22 –

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

5

4

4

2

3 2

-4

1 -4

-2

1

2

4

2

4

-2 2

-1

2

-2

4

3

-4

4

3 2.5 2 1.5 1 0.5

5

-2 -4 -4

-6

-2 -0.5

Gráficos Elaborados en Mathematica 9. GRÁFICO DE FUNCIONES A PARTIR DE GRÁFICA DE FUNCIONES YA CONOCIDAS – TECNICAS DE GRAFICACIÓN RECORDEMOS:

 x, y 

La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y 

en el plano cartesiano

f ( x) . A continuación, se tiene la gráfica de

funciones de uso frecuente.

y 4

y 4

y 4

y 4

3

3

3

3

2

2

2

2

Y=x^2

1 -4 -3 -2 -1

1

2

3

Y=x^2

1 4

x

-4 -3 -2 -1

1

2

3

Y=x^3

1

4

x

-4 -3 -2 -1

1

2

3

1 x

4

-4 -3 -2 -1

1

-1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-2

-3

-3

-3

-3

-4

-4

-4

-4

y 4

y 4

y 4

y 4

3

3

2

2 y = abs(x)

1 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

x

3 y = Log(x)

2

1 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1

4

x

1 1

2

3

4

x

-4 -3 -2 -1

1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-2

-3

-3

-3

-3

-4

-4

-4

-4

- 23 –

3

y = sqrt(x)

2

-1

Diana J. Quintana Sánchez

2

3 y = sqrt(1-x^2)

1 x

Y=1/X

2

Luis V. Mejía Alemán

3

4

x

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Gráficos elaborados en Winplot

REGLA1: La gráfica de la función y  f ( x)  c , se obtiene a partir de la gráfica de la función

y  f ( x) mediante el desplazamiento de esta a lo largo del eje Y, “c” unidades hacia arriba si

c  0 , ó c unidades hacia abajo si c  0 .

Ejemplo: Graficar las siguientes funciones: a)

y  x2  2 , y  x2

3 3 b) y  x3  2 , y  x  3 , y  x

Solución y 4

y 4

y = x^2+2

y = x^3+3

3

3

2

2 y = x^2

1

1

y = x^3

-4 -3 -2 -1

1

2

3

x

4

-4 -3 -2 -1

1

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

2

3

4

x

y = x^3-sqrt(2)

Gráficos elaborados en Winplot REGLA 2: A partir de la gráfica de la función y  f ( x) ,

se

obtiene

la función

y  f ( x  a) ,

desplazando a lo largo del eje X “a” unidades hacia la derecha si a > 0; y a unidades hacia la izquierda si a < 0. Ejemplo: Graficar las siguientes funciones: a)

b) y 

y  x2 , y  x

1 1 , y x2 x

Solución y 4

y = abs(x)

y = 1/(x+2)

3

3

2

2

1 -4 -3 -2 -1

Diana J. Quintana Sánchez

y 4

1

y = abs(x-2)

1

2

3

4

x

-4 -3 -2 -1

1

-1

-1

-2

-2

-3 -4

- 24 –

y = 1/x

2

-3 Luis V. Mejía Alemán -4

3

4

x

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Gráficos elaborados en Winplot

REGLA 3: La gráfica de la función y   f ( x ) se obtiene a partir de la gráfica de la función y  f ( x) mediante la reflexión directa respecto al eje x.

Ejemplos: Graficar las siguientes funciones: a)

y   x2 , y  x2

b) y   log( x  2) , y  log( x  2)

Solución: y 4

y 4

3

3

2

2

y = x^2

1 -4 -3 -2 -1

1

y = -log(x-2)

1

2

3

4

x

-4 -3 -2 -1

-1

1

2

3

4

x

-1

y = log(x-2)

y = -x^2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

Gráficos elaborados en Winplot REGLA 4: La gráfica de la función y  f (  x ) se obtiene a partir de la gráfica de la función y  f ( x) , mediante la reflexión directa respecto al eje Y . Ejemplos: Graficar las siguientes funciones: a)

x x b) y  2 , y  2

y  x , y  x

Solución: y 4 y = sqrt(-x)

y 4

3

3 y = sqrt(x)

2

2 y = 2exp(x)

1 -4

-3

-2

-1

Diana J. Quintana Sánchez

1 -1

2

3

4

x

- 25 –

-4

-3 -2

1

-1

y = 2exp(-x)

1 2 3 4 Luis-1V. Mejía Alemán

-2

-2

-3

-3

-4

-4

x

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Gráficos elaborados en Winplot REGLA 5: La gráfica de la función y  kf ( x) se obtiene a partir de la gráfica de la función y  f ( x) , mediante el estiramiento de éste k veces si k > 1; y se contrae K veces hacia el eje X si 0 < k < 1. Ejemplos: Graficar las siguientes funciones: 2 2 a) y  2 x , y  x , y 

1 2 x 3

3 3 b) y  3 x , y  x , y 

1 3 x 3

Solución:

y 4

y 4

y = 3 X ^3

y = 2x^2

3

3

y = x^2

2

2 1 -4 -3 -2 -1

y = x^3

1

2

3

4

x

y = (1/2)x^3

1

y = (1/3)x^2

-4

-3 -2

-1

1

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

2

3

Gráficos elaborados en Winplot

Diana J. Quintana Sánchez

- 26 –

Luis V. Mejía Alemán

4

x

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

EJERCICIOS Nº 2 1. Utilice la gráfica de la función y  x . Escriba la función cuya gráfica tenga las siguientes 3

modificaciones: a. Recorrida hacia la derecha 4 unidades. b. Recorrida hacia arriba 4 unidades. c. Reflejada con respecto al eje y. d. Alargada en forma vertical por un factor de 4. e. Recorrida hacia la izquierda en 4 unidades. f. Recorrida hacia abajo en 4 unidades. g. Reflejada con respecto al eje x. h. Alargada en forma horizontal por un factor de 4. 2. Hallar el dominio y rango de la función a. f ( x)  x  3  1

2

b.

1 x  , 1  1,  f ( x)   -1 x   1,1

f ( x) 

f y trazar su gráfica: k.

f ( x)  2 x  4 x  2

l.

f ( x)  x  6 x  1

m.

f ( x)  x  4

2

2

 x  1 x  1

c.

x 1

f ( x)  2 x  1  x

d. e.

f ( x)  x  2  3

f.

f ( x)   5  x  1

g.

f ( x)   2  x  1

h.

f ( x)  x  3  4

i.

f ( x)   x  4  1

j.

f ( x)  2 x  4 x  2

2

Diana J. Quintana Sánchez

- 27 –

Luis V. Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

3. Identifique el rango de las siguientes funciones:

a)

y  2x

b)

y  5 x

1 x  4

y  x 2 d ) y  3x  2 -2  x  2

c)

4. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a)

f ( x) 

e)

y

5 x5

b)

x x  36

f)

2

y  4 x 2  7 x  19

c)

y

5

6x  x  5 x  9 

g)

y

6 x  x  9

y

x

d)

y  t 5

h)

y

d)

y  3x  12

7 x  x  4

5. Determine los dominios en las siguientes funciones:

a)

e)

f ( x) 

y

x2 x 1

x2 x3  x

b)

f)

y  5x2  2

c)

y

x4 x3  4 x

g)

y

y

1 x 4 2

x2 x2  1

h)

y  3x  12

6. Hallar el dominio de las siguientes funciones.

a) y  x 2  2 x  8

b) y  x 2  6 x  5

7. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

5 x2 6x  1 6) y  2x  4 1) y 

x2 4 3) y  x 5 x3 2 7) y  x5

2) y 

4) y 

3x  2 4x  6

5) y 

6 x4

8. Elabora las gráficas de las funciones dadas a continuación:

1) y  4 x  8

2) y  1/ 2 x  6

3) y  2 x  4

4) y  1/ 4 x  2

5) y  3x  9

6) y  3x

7) y   x  5

8) y  2

9) y  5  x 2

10) y  x 2  6 x  9

11) y  x 2  2 x  8

12) y  x 2  10 x  25

9. Relacione cada gráfica con una de las siguientes funciones:

Diana J. Quintana Sánchez

28

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

a) y  x  2

b) y   x  2

2

f) y    x  2  j) y  2 x 2

Diana J. Quintana Sánchez

Matemática I

2

2

g) y  x  2

k) y  2 x

c) y  x  2

d) y   x  2 e) y   x  2 

h) y   x  2

i) y  2 x

2

2

l) y  2 x

29

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

10. GRAFICO DE FUNCIONES La representación gráfica de las funciones puede realizarse en las siguientes etapas: 1. Dominio de definición o campo de de existencia Conjunto de números reales para los cuales está definida la función. Si el dominio es la unión de un número finito de intervalos, Dom( f )  I1  I 2  I 3  ...I n1  I n , conviene estudiar el comportamiento de la función en los extremos de los mismos.

2. Periodicidad Una función es periódica cuando su forma se repite cada cierto intervalo de valores. Se llama periodo a la ''distancia'' entre dos valores consecutivos.

T Función periódica de periodo T Matemáticamente

diremos

que

la

T  R   x  R / x es positivo, distinto de 0

 x  T  Dom f  .

f ( x)

función

* 

es

periódica

si

f  x  T   f  x

talque

Basta dibujar la gráfica en el intervalo

 0,T 

existe con

y completarla por

periodicidad. Ejemplo:

Demostrar que: y  Sen( x) es función de periodo 2 Sen( x  2 )  Sen( x) Sen( x)Cos (2 )  Sen(2 )Cosx  Sen( x) Sen( x)  Sen( x) Gráficamente:

 

      

















  

Diana J. Quintana Sánchez

30

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Grafica realizada en Winplot 3. Cortes con los ejes Dos tipos de puntos solución especialmente útiles son aquellos cuya coordenada x o y se anula. Tales puntos se denominan intersección con los ejes por que son los puntos en que la gráfica corta (se intercepta con) el eje X o el eje Y . Un punto del tipo

 a,0 

es una x -intersección de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de

ésta, lo mismo para un punto del tipo  0,b  . Para determinar las intersecciones de una gráfica hacemos lo

siguiente:

OX : Resolver el sistema y  f ( x); y  0 b) Con el eje OY : Resolver el sistema y  f ( x); x  0 a) Con el eje

Ejemplo: Determinar los puntos de intersección de la ecuación y  x  4 x . 3

Solución: Con el eje Y hacemos x = 0 así tenemos y = 0 Con eje X hacemos y = 0 Así tenemos:

x3  4 x  0





x x2  4  0 x  x  2  x  2   0  x  0; x  2; x  2             















    

Gráfico elaborado en Winplot

Por lo tanto los puntos de intersección con los ejes son:  2, 0  ;  0, 0  ;  2, 0 

Diana J. Quintana Sánchez

31

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

4. Simetrías Los tres tipos siguientes de simetría pueden servir de ayuda para dibujar la gráfica de una ecuación.  Simetría respecto al eje Y: Si el reemplazar la variable x por  x la función no cambia. Además se afirma que la función es par.  Simetría respecto al eje X: Si el reemplazar la variable y por  y la función no cambia.

 x, y 

 Simetría respecto al origen: Si el reemplazar las variables

por

  x,  y 

la

función no cambia. Además se afirma que la función es impar.

Ejemplo: Determinar cuál de las gráfica es simétrica respecto al eje X , Y u origen. Y

Y

Y

(-x,y)

(x,y)

(x,y) (x,y) X

X

X

(-x,-y)

(x,-y)

5. Continuidad Una función es continua en un intervalo, cuando al graficarla, su curva se realiza mediante un trazo interrumpido, esto es la variable independiente puede tomar cualquier valor. Ejemplos: y 4

y 4

y 4

3

3

3

2

2

2

1

1

-4 -3 -2 -1

1

2

3

4

x

-4 -3 -2 -1

1 1

2

3

4

x

-4 -3 -2 -1

1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

-4

-4

-4

Fig1

Diana J. Quintana Sánchez

Fig2

2

3

4

x

Fig3

32

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

En su definición simple, una función es discontinua, cuando al trazar su gráfica, ésta presenta saltos o interrupciones. y 4

y 4

y 4

3

3

3

2

2

2

1

1

-4 -3 -2 -1

1

2

3

4

x

-4 -3 -2 -1

1 1

2

3

4

x

-4 -3 -2 -1

1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

-4

-4

-4

Gráficos elaborados en Winplot Fig5

Fig4

2

3

4

x

Fig6

6. Asíntotas Si f ( x ) tiende al infinito cuando x tiende a C , se dice que la recta x  C es una asíntota vertical de la gráfica de f ( x ) . Ejemplo: Determina las asíntotas en las siguientes funciones:

a) f ( x) 

1 2( x  1)

b) f ( x) 

x2  1 x2  1

c) f ( x) 

cos( x) sen( x)

Ver las gráfica en apartado anterior Fig. 4, 5,6. 7. Crecimiento y decrecimiento Una función es creciente cuando al aumentar el valor de '' x '' aumenta el valor de '' y ''. Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de '' x '' disminuye el valor de '' y ''.

Función creciente

8.

Función decreciente

Máximos y mínimos Una función tiene un máximo local o relativo en un punto cuando la función pasa de ser creciente a decreciente. Una función tiene un mínimo local o relativo cuando pasa de decreciente a creciente. El mayor de todos los máximos se le llama máximo absoluto, y al menor de todos los mínimos se le llama mínimo absoluto.

Diana J. Quintana Sánchez

33

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Máximo absoluto Máximo relativo

Mínimo relativo Mínimo absoluto

EJERCICIOS Nº 3 1. En los problemas del 1 al 8, aparece la gráfica de una función. Utilice para determinar: a) Su dominio y su rango, los intervalos donde es creciente, decreciente o constante. b) Si es par, impar o de ninguno de estos tipos y las intersecciones con los ejes, si existen.

Diana J. Quintana Sánchez

34

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

2. En los problemas del Bloque I y II, determine si la gráfica es una función mediante el criterio de la recta vertical. Si lo es, utilice la gráfica para encontrar: a)

Su dominio y su rango.

Diana J. Quintana Sánchez

35

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

b)

Las intersecciones con los ejes, si existen.

c)

Cualquier simetría con respecto a los ejes x, y o al origen.

Bloque I

Diana J. Quintana Sánchez

36

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Bloque II

Diana J. Quintana Sánchez

37

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

3. Graficar las siguientes funciones con varias reglas de correspondencia:

1.

2.

 2 x  1  f ( x)  1 2 x  1 

x  1 -1  x  1

9.

x 1

1  2 1- x   2 f ( x)   x 2  x  

 2x-1 si x  0   x si x  0

10. f ( x)  

x  1

11. f ( x)  x  4

-1  x  1

12. f ( x) 

x 1

4.

5.

  x  3 si x   4,0 h( x )     x  2 si x  0,5

 x 2 si 0  x  3 h( x )   4 si 3  x  6

8.

3x-2 si 0  x  2 f ( x)   1-x si 2<x  5

x<3

 x  3

x3

 x 2 +3

x<4

15. f ( x)  

x4

 x-3

x si x   2, 2   16. h( x)   2  x  5 si x   6,9 

 x  1 -2  x  1

17. f ( x)   2

 x  2

1- x si x  , 2 h( x )   2 x si x  5, 

7.

 x 2  1

14. f ( x )  

 x  2 x si x   4, 2   f ( x)   1 si x   2,6   2x  5  x3 si x   0,3 g ( x)   si x   3,8 3

6.

x 3

13. h( x)   x  3

2

3.

 x  1 si x  1,6  f ( x )  1  x si x   3,0    2

x 1

 x  5 si x   5, 1  x si x  6,3  

18. h( x)  



- x  2 si x  2 3,  

19. h( x)  

2   x  32

si x   3, 2

20. f ( x)  4  x si x  3

4. Hallar la gráfica de la función f ( x)  5.

4

3

2

x  5x  5x  5x  6 x2  4 x  3

Dada la gráfica hallar la regla de correspondencia:

C

 0, 2 

A

B

45º

45º

45º

2

Diana J. Quintana Sánchez

2

2, 0



38

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

11. FUNCIÓN INYECTIVA Dada f : A  B se dice que es inyectiva si para cada x1 , x2  Domf , distintos x1  x2 sus imágenes son distintas: f ( x1 )  f ( x2 ) ó f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 . Gráficamente, en el plano

XY una función es inyectiva si toda recta horizontal L corta a la gráfica a lo más en un punto. Ejemplo1: Sea la función f ( x) 

x 2  2  3  1 , x  [2,  . Demostrar que la función es

inyectiva. Solución:

x12  2  3  1 

x 22  2  3  1

Cancelando, elevando al cuadrado y aplicando la definición de valor absoluto, tenemos que:

x12  2  3  x 22  2  3 Para eliminar el valor absoluto “externo” analicemos lo siguiente, como lo que está dentro del valor absoluto siempre es positivo entonces nos queda simplemente:

x12  2  3  x 22  2  3 , simplificando

x12  2  x 22  2 Para eliminar este valor absoluto partamos del dominio

x  [2,   x  2 elevando al cuadrado

x2  4  x2  2  2 esto significa que x 2  2 siempre es positivo, luego

x12  2  x22  2 finalmente,

x12  x22  x1  x2  x1  x2

Por tanto la función es inyectiva.

Diana J. Quintana Sánchez

39

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Ejemplo2.- Demostrar que la función h( x ) 

x2 2 x4

; x   8, 4 es inyectiva.

Solución: Como x   8, 4 entonces los dos valores absolutos (que aparecen en el numerador y denominador) son negativos, luego

( x  2)  2 x 4  1 ( x  4) x4 x4 Reemplazando,

1

4 4 1 1 1    x2  4  x1  4 x1  4 x2  4 x1  4 x2  4

Finalmente Luego, se cumple que si

x1  x2

h( x1 )  h( x2 )  x1  x2 ,

por tanto la función

h(x)

es

inyectiva.

 x2 2 ; si x   8, 4   x4 Ejemplo3.- Sea h( x )   Probar que esa función así definida 10 x   x 2  3 ; si x   1,1 es inyectiva. Solución: Para demostrar la inyectividad de una función como h ( x ) que está definida por dos funciones más se deberá primero demostrar la inyectividad de cada una de ellas, en segundo lugar se deberá probar que en su conjunto la función h ( x ) es inyectiva. Esta última demostración puede hacerse de dos formas, una de ellas es que si demostramos que el Ran(h1 )  Ran(h2 )   entonces habremos demostrado que la función h( x ) es inyectiva, la otra forma es vía la condicional: Si x1  x2  h( x1 )  h( x2 ) , es decir que en este caso deberíamos tomar un elemento de cada dominio de la función y verificar que las imágenes son diferentes para saber que en su conjunto h ( x ) es inyectiva. Para entender mejor lo expuesto veamos el siguiente gráfico.

Diana J. Quintana Sánchez

40

Luis V Mejía Alemán

Ran( f 2 )

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

10

   8

y  x  4,

 4  2   

x  3.5,6

Ran( f1 )

6

1

-2

2

3

-4

4

5

6

x  0,3

y  x  2; 2

Ran( f1 )  Ran( f 2 )  

Observamos que la función en su conjunto es inyectiva – trazando una recta paralela al eje X, esta recta corta a la gráfica en un solo punto – además Ran( f1 )  Ran( f 2 )   , por tanto ésta última condición analítica satisface la demostración de la inyectividad. Ya anteriormente se demostró que las dos funciones son inyectivas, faltará ahora demostrar que en su conjunto la función es inyectiva. Para ello hallemos el rango de cada función. Sea h1 ( x) 

x2 2

con x  [ 8, 4 , o equivalentemente h1 ( x)  1 

x4

4 ; x  [ 8, 4 . x4

8  x  4  4  x  4  0 , 1 1 4 4 4     1     1     2 1 . 4 x4 x4 x4 x4 Por tanto el rango de la función es Ran  h1   [2,  . A

partir

de

Y

para

la

su

dominio

segunda

tenemos

h2 ( x) 

función

10 x x2  3

;

x   1,1 ,

tenemos

luego

que

1  x  1  1  0  x  1  0  x 2  1  3  x 2  3  2 , luego, 1 1 1 1 1 1  2    2  3 x  3 2 2 x  3 3 Además, 1  x  1 , entonces 10  10 x  10 La dificultad radica en que no podemos multiplicar estas desigualdades. ¿Por qué? Entonces vayamos por otro camino. Descompongamos en fracciones parciales h2 ( x) . Para nuestro caso, tenemos que:

10 x x 3 2



A x 3



B x 3



( A  B) x  A 3  B 3

 x  3  x  3 

Resolviendo la identidad tenemos que A  5 y B  5 , luego,

10 x x 3



5

Diana J. Quintana Sánchez

x 3



5

x 3 1 1 1 1  x  1  1  3  x  3  1  3    1  3 x  3 1  3 2

41

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

1 1  3



1 x 3



1 1 3



1 1 3



1



x 3

1 1  3

También,

1

1  x  1  1  3  x  3  1  3 

1



1



1  3 x  3 1  3 1 1 1 1 1 1      1  3 x  3 1  3 1  3 x  3 1  3

Sumando ambas desigualdades,

1 1 3



1 1 3 5

1 3





1 x 3 5

1 3





1 x 3 5

x 3





1 1  3 5

x 3



1



1  3 5

1  3



5 1  3

55 3 5 3 5 5 5 5 3  5 5  5 3      2 2 2 2 x 3 x 3

5 

5 x 3



5 x 3

5

Luego el rango de la función h2 ( x) es Ran(h2 )   5,5 Entonces, como Ran(h1 )  Ran(h2 )   se dice que la función h ( x ) no es inyectiva a pesar de que por separado las funciones h1 ( x)

Ejercicio.-Determine si la función f ( x ) 

b  b 2  4ac y h2 ( x) son inyectivas. 2a x1 es inyectiva, tal que Dom( f )  R  1 . x 1

12. FUNCIÓN SURYECTIVA Dada f : A  B es suryectiva si el rango de

f coincide con el conjunto de llegada es decir:

Ran( f )  B Ejemplo3.- Determine si la función f :  1, 2  1, 4 / f ( x)  x es suryectiva. 2

13. FUNCIÓN BIYECTIVA Dada f : A  B , es biyectiva si es inyectiva y suryectiva.

Diana J. Quintana Sánchez

42

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Ejemplo 1: Sea la función

f definida como:

 105  f :  2,0   , 12  8   x 

f ( x)  y  2 x 2  3 x  12

Demostrar que dicha función es biyectiva. Solución: Para demostrar que esta función es biyectiva deberá demostrarse primero que esta es inyectiva. Si fuese así se demostrará luego la sobreyectividad. Finalmente si cumple las dos condiciones se dirá que la función es biyectiva. Veamos entonces si la función es inyectiva, para ello primero completamos cuadrados, dando lugar a la siguiente ecuación:

3   y  2 x 2  3x  12  2  x 2  x   12 2   2

2

3  18 3  105   y  2  x     12  2  x    4  16 4 8   Así obtenemos: 2

3  105  y  2 x    4 8  Ahora probaremos la inyectividad: Si f ( x1 )  f ( x2 ) entonces x1  x2 Entonces, de la función tenemos 2

2

3  105 3  105   2  x1     2  x2    4 8 4 8   2

Simplificando nos queda:

3  3   x1     x2   4  4 

2

Extrayendo raíz cuadrada tenemos por definición el valor absoluto de ambos miembros:

x1 

3 3  x2  4 4

Para desaparecer el valor, debemos tener en cuenta que si x   2,0 entonces

2  x  0  2  Luego

x

3 4

3 3 3 11 3 3  x 0    x   4 4 4 4 4 4

es negativo, entonces por definición de valor absoluto escribiremos:

3 3     x1      x2   4 4   Haciendo simplificaciones menores, nos queda x1  x2 . Por tanto la función es inyectiva.

Diana J. Quintana Sánchez

43

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Ahora probemos si la función es sobreyectiva,

Como x   2,0  2  x  0 , partimos de esta última desigualdad y trataremos de llegar a la función resultante al completar cuadrados.

2  x  0  2 

3 3 3 11 3 3  x 0   x  4 4 4 4 4 4 2

2

11 3 3 3 9 3 9   0 x   0   x     0  2 x    4 4 4 4  16 4 8   2



105 3  105   2 x     12 8 4 8 

Como vemos el rango es justamente este intervalo por tanto la función es sobreyectiva. Finalmente se concluye que la función es biyectiva. Ejercicio.- La función

f : R  R , tal que, f ( x )  3 x  4 es biyectiva.

14. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La composición de funciones es otra operación del álgebra de funciones que consiste en forma una nueva función a partir de las que ya se tiene. Sean las funciones f : A  R  B  R y g : B  R  C  R la composición de g con f

f y se lee “la composición de g con f ”. Gráficamente,

se denota como g

f

A

g

B

Domf

Ranf Domg

x

f (x)

C

g( f (x))

 g  f (x) De la gráfica podemos sacar valiosas conclusiones que servirán para la solución de ejercicios. Así tenemos que: 1) La función compuesta existe si Ranf  Domg   . 2) Dom  g

f  x    x / x  Domf  f ( x)  Domg

Diana J. Quintana Sánchez

44

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Así, vemos que si f ( x ) no pertenece a Ranf  Domg entonces no podremos llevar esta función al Rang y por tanto no existiría la función compuesta.

g

La regla de correspondencia de esta composición se define como Nota Para

f

f  x   g  f  x   .

g  x   f  g  x   , tenemos que

Dom  f

g    x / x  Domg  g ( x)  Domf 

Ejemplo1.- Sean las funciones f ( x)  x  3 y g ( x)  2 x  3 . Determinar

f

g

f  x  y

g  x  .

Solución: Para  g

f  x  :

Como el dominio de ambas funciones es

R , entonces

Dom  g f  x    x / x  R  x  3  R   x / x  R

luego, como el dominio existe, entonces

g Para

f

f  x   g  f  x    g  x  3   2 x  3  3

g  x  : Dom  f

g  x    x / x  R   2 x  3  R   x / x  R

luego, como el dominio existe, entonces

f

g  x   f  g  x    f  2 x  3  2 x  3  3  2 x

Ejemplo2.- Sean las funciones f ( x) 

x  3  1 y g ( x) 

1 x 1 3

. Determinar  g

f  x  .

Solución: Para  g

f  x  :

Hallemos el dominio de

g f

:



Dom  g f  x   x / x  Domf 

Diana J. Quintana Sánchez

45

x  3  1  Domg



Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Factorizando la función

Matemática I

1

g , tenemos

x 1 3



1

 x  1  x2  x  1

, luego como el

discriminante del segundo factor es negativo entonces la expresión cuadrática siempre será positiva. En consecuencia Domg  R  {1} . Ahora para hallar el dominio de la función f , tenemos que x  3  1  0 . Resolviendo,

x  3  1   x  3  1   x  3  1  x  4  x  2 . Luego Domf  R   2, 4 . Por tanto,



Dom  g f  x   x / x  R   2, 4 



x  3  1  R  {1}

Para resolver la segunda parte habrá que tener en cuenta las siguientes tres desigualdades, donde la solución para las dos primeras inecuaciones es vacía, pero la tercera desigualdad si tiene solución.

x  3  1  1   1 

x  3 1  0 

x  3 1  0

Veamos la tercera solución:

x  3  1  0  x  3  1  0  x  3  1  x  3  1  x  3  1  x  4  x  2 , es decir, x ,2   4,  , ó equivalentemente x  R   2, 4 Luego el dominio de la composición será:

Dom  g f  x    x / x  R   2, 4  x  R   2, 4  {x / x  R   2, 4 } . Finalmente,

g

f  x   g





x  3 1 

1 x  3 1 1

, con x  R   2, 4 .

Ejemplo3.Sean las funciones f ( x) 

x  3 y g ( x)  x  1 . Determinar  f g  x  .

Solución: Para

f

g  x  :

Domf  R , ya que x  3  0 para todo x  R . Domg  x  1 Luego,

Dom  f

g  x    x / x  Domg  g ( x)  Domf 





Dom  f g  x   x / x [1,   x  1 , 

Diana J. Quintana Sánchez

46

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

de  

Matemática I

x  1      0  x  1   , elevando al cuadrado y restando 1, tenemos, 1  x   , ó equivalentemente, x  [1,  .

Por tanto,

Dom  f

g  x    x / x [1,   x [1,   x [1, 

Como existe el dominio de la composición, entonces podemos calcular ésta:

f

g  x   f





x 1 

x  1  3 , con x  [1, 

Ejemplo4.Sean las funciones

f

f ( x)  3x  1, x  8,7 y g ( x)  x 2  6 x, x [1,3 . Determinar

g  x  si existe.

Solución:

Dom  f

g    x / x  Domg  g ( x)  Domf 





 x / x [1,3  x 2  6 x 8,7

   x / x [1,3  1   x  3



 x / x [1,3  8   x  3  9  7 2

2



 16

  x / x  [1,3  1   x  3  4

  x / x [1,3  2  x  1 Dom  f

g    x / x [1,1  

Luego,

f



 



g  x   f  g  x    f x 2  6 x  3 x 2  6 x  1  3x 2  18x  1; x [1,1

15. FUNCIÓN INVERSA Sea f una función uno a uno y  f ( x) . La inversa de f , denotada f tal que f

1

 f  x   x para todo

Además Dominio de f

1

1

, es una función

x en el dominio de de f 1 .

= Rango de f

y

Rango f

1

= Dominio de f

Veamos la siguiente interpretación geométrica:

Sea  a1 , b1  un punto en la gráfica de una función uno a uno

Y

Diana J. Quintana Sánchez

yx

y  f ( x)

 a3 , b3   a2 , b2   a1, b1 

f definida por y  f ( x) .

y  f 1  x 

 b3 , a3 47  b2 , a2 

Luis V Mejía Alemán

X

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

b1, a1  es un punto en la gráfica de 1 f . La relación que existe entre los puntos  a1, b1  de f y  b1, a1  de

Entonces b  f ( a ) . Esto significa que a  f la función inversa

1

(b) , así

1

f aparece en la figura, el segmento que une ambos punto es perpendicular a la recta y  x y esta es su recta bisectriz. Esto implica que un punto es la reflexión respecto al otro. Teorema.- La gráfica de una función f y su inversa f

1

son simétricas respecto a la recta

yx . Ejemplo1.- Veamos las siguientes funciones:

y  x ; y  2 x  1 . Gráficamente o

analíticamente comprobamos que ambas funciones son inyectivas. Si intercambiamos las variables de ambas ecuaciones, obtenemos lo siguiente: x 

y;

x  2 y  1 . Graficando:

4

3.5

yx

y  2x  1 x

y

3

2.5

y x

2

1.5

x  2y 1

1

0.5

1

2

3

4

Gráficos elaborados en Mathematica Observamos que las pares de funciones y 

x , x  y y y  2 x  1 , x  2 y  1 son

“reflejo” una de otro por una recta y  x . A este tipo de funciones se les llama funciones inversas.

Diana J. Quintana Sánchez

48

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Aún más, despejando y para cada una de las funciones tenemos que si f ( x) 

g ( x)  x 2 , x   0,  y j ( x)  2 x  1 , k ( x) 

g Luego,

f

x 1 , tenemos que 2

  f  x   g  f  x    g  x    x 

g  x   f  g  x    f x 2  x 2  x  x

f

x,

2

( x  0)

x

g  x    g f  x   x

Igualmente,

Luego,

j

j

 x 1   x 1 k  x   j  k  x    j    2  1  x  2   2 

k

j  x   k  j  x    k  2 x  1 

 2 x  1  1  x 2

k  x    k j  x   x





Ejemplo2.- Sea la función f ( x)  1  x x  1  1  x . Hallar f * si existe. Solución: Veamos primero si la función es inyectiva. Hallemos el dominio de f : 1  x  0  x  1  0 , entonces x  1   x  1 . Luego f ( x)  1  x   x  1  1  x   2 1  x , por tanto Domf  x  1 .

f ( x1 )  1  x1  x1  1  1  x1   f ( x2 )  1  x2  x2  1  1  x2  2 1  x1  2 1  x2 



1  x1

  2

1  x2



2

 1  x1  1  x2

como 1  x1   x1  1 y 1  x2   x2  1 , entonces x1  x2 . Entonces como la función es inyectiva, por tanto existe su función inversa.

f ( x)  2 1  x  f 2 ( x)  4(1  x)  x  1 

f 2 ( x) 4

Haciendo el cambio de variable, tenemos la función inversa: y  1 

x2  f * ( x) 4

16. FUNCIONES TRASCEDENTALES 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL 

Sea a  R  a  1  una función f denotada por exp a , se llama función exponencial de base a si y sólo si:

f 

 x, y  / f ( x)  a , x  R o bien exp   x, y  / exp

Diana J. Quintana Sánchez

x

a

49

a

 x   a x , x  R Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Donde: Domf  , 

y

Ranf   0,   .

Observaciones:  Es inyectiva si a  0 y a  0 ie: si x1, x2  f

y a

x1

a

x2

 x1  x2

 Es creciente si a  1 y a  1 ie: si x1 , x2  f  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Es decreciente si 0  a  1 ie: si x1 , x2  f Observar los siguientes ejemplos:

 x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

1 y y  2

x

y2 ¨







 

  







x

y = 2^x 





y = 1/2^x

 

































Gráficos elaborados en Winplot

EJERCICIOS Nº 4 1. Utilice Winplot, y las técnicas de graficación para graficar las siguientes funciones:

a)

d)

x

y 3

y  5e

b)

x

x

y 3

e)

c)

y2

y  2e

x/2

d) y 

 

1 x 3 3

e)

y2

x 3

x / 2

2. Resolver los siguientes problemas de aplicación: RECUPERACIÓN DE UNA HERIDA.- La recuperación normal de una herida se puede modelar mediante una función exponencial. Si A0 representa el área original de la herida y A es el área de la herida después de n días, entonces la fórmula

A  A0e

0.35n

describe el área de una herida en el n-ésimo día después de la lesión, si no hay infecciones que retarden la recuperación. Suponga que una herida tiene un área inicial de 1 centímetro cuadrado. Si hay un proceso de recuperación, a) ¿Cuánto medirá el área de la herida después de 3 días? b) ¿Cuánto medirá después de 10 días?

Diana J. Quintana Sánchez

50

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

0.4h

ADMINISTRACIÓN DE MEDICAMENTOS.- La fórmula D  5e sirve para determinar el número de miligramos de cierto medicamento en el flujo sanguíneo de un paciente, h horas después de su administración. ¿Cuántos miligramos estarán presentes después de 1 hora? ¿Y después de 6 horas?

2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Recordar: Toda función inyectiva tiene inversa. Así la función logaritmo es la función inversa de la exponencial. Definición.- La función logarítmica de base a, donde a  0

 a  1 , se denota

y  log a x y se lee: “ y es el logaritmo base a de x ” y se define como:

y  loga x  x  a y Ejemplo: si y  log3 x  3  x y



1.2  m 



log e b  3 

así si x  3, y  2  9  32 luego2  log3 9

3

Como la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial su dominio y rango serán el rango y dominio de la función exponencial respectivamente. Es decir:

DomExpa  x   DomLoga x  R y RangExpa  x   RangLoga x  0,  Ejercicios: Hallar el dominio y rango de: a) f ( x )  log 2  1  x 

b)

 1 x  g( x )  log 5    1 x 

GRAFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Dado que la función exponencial y logarítmica son inversas entre sí, entonces la gráfica de la función logarítmica y  log a x es la reflexión con respecto a la recta y  x de la gráfica de la función exponencial. Así tenemos:

Diana J. Quintana Sánchez

51

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I



 

y = log(x)

y = log(x-1)





























































y = LOG(X)-2













 











































y = -log(x)









 









 







y = LOG(X)+3

y = log(x+2) 

 









Gráficos elaborados en Winplot EJERCICIOS Nº 5 1. En los siguientes ejercicios emparejar cada función con su gráfica

f ( x )  log( x )  2

a)

b) f ( x )  log( x  1)

2

c) f ( x )   log( x ) 2

4

6

8

4

6

10

12

14

-2

-4

-6

8 2.5

6 2

4 2

1.5

2 2

4

6

Diana J. Quintana Sánchez

8

10

12

14

8

10

12

14

-2

52

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Gráficos elaborados en Mathematica 2. En los siguientes ejercicios, esbozar la gráfica de la función y describir su dominio.

a ) f ( x )  3log x

b) f ( x )  log 2 x

c) f ( x )  log( x  1) d ) f ( x )  2log x e) f ( x )  2  log( x )

3. FUNCIÓNES TRIGONOMÉTRICAS Función Seno.- y  Sen( x ) Dominio: Rango:

R ó



-,

 

 1,1

y = sin(x)

2 Período: Es continua: x  R



 

Máximo Valor: 1 para  x 

























  2k  k  R 2 

 

    2 k  k  R 2   sen (  x )   senx Es impar: Mínimo valor: -1 para  x  



La función no es monótona en todo su dominio: Crece en cada intervalo:

      2  2 k ; 2  2 k   k  R   

3



Decrece en cada intervalo   2k ;  2 k  k  R 2 2  Función Coseno.- y  Cos ( x) Dominio: Rango:

R ó

-,



 1,1

2 Período: Es continua: x  R Máximo Valor: 1 x  2k , k  R Mínimo valor: -1 x  (2k  1) , k  R

 

y = cos(x) 











Es par: cos( x)  cos x



La función no es monótona en todo su dominio:



Crece en cada intervalo:



   2k ;2k  k  R Decrece en cada intervalo  2k ;  2k  1   k  R

Diana J. Quintana Sánchez





53

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I



Función Tangente.- y  Tg ( x ) Dominio: Rango: Período:



  R   2k  1  , k  R 2  R

  



















 

Es discontinua x   2k  1





 , k  R asíntotas 2



No existen valores máximo y mínimo. Es impar:

y = tan(x)



tg ( x)  tgx

La función no es monótona en todo su dominio: Crece en cada intervalo:





 k ;

2

 2

 k ; k  R 

Función Cotangente.- y  Ctg ( x ) Dominio: Rango: Período:



R  k  , k  R



R





Es discontinua x  k  , k  R asíntotas



















No existen valores máximo y mínimo. Es impar: ctg (  x )  ctgx

 

La función no es monótona en todo su dominio: Decrece en cada intervalo:

y = cot(x)

k ;(k  1) ; k  R



Función Secante.- y  Scs ( x) Dominio:

  R   2k  1  , k  R 2 

Rango:

R  1,1

Período:

2

  

1



 

Es discontinua x   2k  1







 , k  R asíntotas 2





y = sec(x) 







 

No existen valores máximo y mínimo.



Es impar:

scs (  x )  csc x



La función no es monótona en todo su dominio:

Diana J. Quintana Sánchez

54

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Crece en cada intervalo:

      2k ;  2k  1 2  ó   2k  1 2 ;  2k  1   , k  R      

Decrece en cada intervalo: (2k  1) ;2k 

 

3  ó  2k   ;  2k  2    , k  R  2  2 

Función Cosecante.- y  Csc ( x ) Dominio:

R  k  , k  R

Rango:

R  1,1

Período:

2

  

Es discontinua x  k  , k  R asíntotas y = csc(x) No existen valores máximo y mínimo. Es impar: Csc( x)  Cscx



















 

La función no es monótona en todo su dominio:

 

Crece en cada intervalo:

3      2  2k ;  2k  1   ó   2k  1  ;2k  2  , k  R      

Decrece en cada intervalo:  2k 



   ;2k  ó  2k ;2k   , k  R 2 2  

EJERCICIOS Nº 6 Graficar las siguientes funciones y analizar las trasformaciones que se presentan en la gráfica con respecto a la gráfica de la función original.

2.

y  senx y  sen 2 x

11.

3.

y  sen( x / 2)

12.

) 6 y  2  3senx

4.

y  2Cos (5 x)

13.

y  7tgx

5.

y  3Ctg ( x / 2) en 2 ,2

14.

y  13  Cscx en R  k 

6.

y  2  cos x

7.

y  1  2 sen3 x

15.

   k   y  Csc  9 x   en R     4   9 36 

8.

y  5  ctgx

9.

y  sen( x 

10.

y  2cos( x  ) 4

1.

Diana J. Quintana Sánchez

 2

y  tg ( x 



)



55

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Sea 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → 𝐵 ⊆ ℝ tal que 𝑥 → −√1 − 𝑥 2 . Determine los máximos conjuntos A y B de modo que la función inversa de 𝑓 exista. Defina explícitamente 𝑓 −1 (𝑥). Solución: i. Trabajemos gráficamente la función de modo que podamos determinar los conjuntos A y B para la función inversa exista:

Diana J. Quintana Sánchez

56

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

𝑦 = −√1 − 𝑥 2 ≤ 0 entonces 𝑦 2 = 1 − 𝑥 2 , 𝑦 ≤ 0 así 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1, 𝑦 ≤ 0, lo cual representa una semicircunferencia de centro en el punto (0,0) y radio igual a 1. Sabemos que

y

y = -sqrt(1-xx)



x 









Gráfico elaborado en Wimplot Es claro que no es inyectiva, ya que por ejemplo: 𝑓(−1) = 𝑓(1) = 0 pero −1 ≠ 1 Redefinimos para lo que será un nuevo dominio 𝐷𝑜𝑚𝑓 = [0,1] y rectificamos el rango, así 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑓 =

[−1,0] y



x 









Gráfico elaborado en Wimplot

Ahora 𝑓: [0,1] → [−1,0] tal que 𝑥 → 𝑓(𝑥) = −√1 − 𝑥 2 es biyectiva, los máximos conjuntos son: 𝐴 = [0,1] 𝑦 𝐵 = [−1,0]. ii. Como 𝑦 = −√1 − 𝑥 2 entonces – 𝑦 = √1 − 𝑥 2 → 𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 así 𝑥 = ±√1 − 𝑦 2 pero 𝑥 ≥ 0

(𝑥 ∈ [0,1]) por lo tanto 𝑥 = +√1 − 𝑦 2 . Luego 𝑓 −1 : [−1,0] → [0,1] tal que𝑥 → 𝑓 −1 (𝑥) = √1 − 𝑥 2

2.

Hallar el dominio,rango de la siguiente función:𝑓(𝑥) =

𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥−2 𝑥+1 {

, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−3,2[

8 − 2𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [2,4[

Solución: i.

Para determinar el dominio de la función veamos lo siguiente: estamos trabajando con los intervalos [−3,2[ ∪ [2,4[ lo cual es igual a [−3,4[, pero si observamos la primera regla de correspondencia,

Diana J. Quintana Sánchez

57

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

podemos darnos cuenta de que esta función no está definida para 𝑥 = −1 con lo cual el dominio debe ser 𝐷𝑜𝑚𝑓 = [−3,4[ − {−1}. ii.

3.

Para determinar el rango de la función, podemos simplificar la primera función así se tiene:𝑓1 = 𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥−2 𝑥 2 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−3,2[ = (𝑥 2 − 2) luego 𝑓(𝑥) = { 𝑥+1 8 − 2𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [2,4[ Graficar: 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 2| − |𝑥 − 1| Solución: Quitamos las barras del valor absoluto para lo cual analizamos el signo de (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) en la recta numérica real.

|𝑥 + 2| = 0 ⟶ 𝑥 = −2 } Puntos críticos los cuales dividen a la recta real en los intervalos: ]−∞, ∞[ = |𝑥 − 1| = 0 ⟶ 𝑥 = 1 ]−∞, −2[ ∪ [−2,1] ∪ [1, ∞[ a. Si 𝑥 ∈ ]−∞, −2] : 𝑥 + 2 < 0 → |𝑥 + 2| = −(𝑥 + 2) = −𝑥 − 2

𝑥 < −2 → 𝑥 − 1 < −3 < 0 → |𝑥 − 1| = −𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 2 − (−𝑥 + 1) = − 𝑥 − 2 + 𝑥 − 1 = −3 → 𝑔(𝑥) = −3 … (1) b. Si 𝑥 ∈ [−2,1]: 𝑥 + 2 ≥ 0 → |𝑥 + 2| = 𝑥 + 2

−2 ≤ 𝑥 ≤ 1 → −3 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 0 → |𝑥 − 1| = −𝑥 + 1 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 − (−𝑥 + 1) = 2𝑥 + 1 → 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 … (2) c. Si 𝑥 ∈ ]1, ∞[: 𝑥 > 1 → 𝑥 + 2 > 3 > 0 → |𝑥 + 2| = 𝑥 + 2

𝑥 − 1 > 0 → |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1 Luego 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 − (𝑥 − 1) = 3 → 𝑔(𝑥) = 3 … (3) De (1), (2) y (3):

−3 ; 𝑥 ∈ ]−∞, −2[ 𝑔(𝑥) = {2𝑥 + 1 ; 𝑥 ∈ [−2,1] 3 ; 𝑥 ∈ ]1, ∞[ Del gráfico: 𝐷𝑜𝑚𝑔 = ℝ y 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑔 = [−3,3] Y 3

-2

1

X

-3

4.

Graficar la siguiente función: 𝑓(𝑥) =

Diana J. Quintana Sánchez

𝑥 𝑥 2 +𝑥+1

58

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Solución: Asíntota vertical: No existe pues: 𝑥 2 + 𝑥 + 1 > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ Asíntota Horizontal: Sea: 𝑦 =

𝑦=

−𝑦+1±√−3𝑦 2 −2𝑦+1 2𝑦

𝑥 𝑥 2 +𝑥+1

→ 𝑦𝑥 2 + (𝑦 − 1)𝑥 + 𝑦 = 0

→ 𝑦 = 0 es la asíntota horizontal (eje X). 1 3

Además para que 𝑥 sea real se debe tener: −3𝑦 2 − 2𝑦 + 1 ≥ 0 → 𝑦 ∈ [−1,0[ ∪ ]0, ] 1 3

Pero viendo en la ecuación original 𝑦 = 0 cuando 𝑥 = 0 entonces el rango es [−1, ] No tiene asíntota oblicua luego la gráfica es: y

y = x/(xx+x+1)    

x 

















    

5.

1; 𝑥 ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1, ∞[ [−1,1] −1;

Graficar la función: 𝑓(𝑥) = { Solución:

La función se puede descomponer en dos funciones parciales (por comodidad) y cada una de ellas es una función constante definida en su propio dominio.

𝑓1(𝑥 ) = 1; 𝑥 ∈ ]−∞; −1[ ∪ ]1, +∞[ 𝑓2 (𝑥 ) = −1; 𝑥 ∈ [−1,1] Luego el dominio es: 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ ∧ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑓 = {1; −1} Y

1 -1

1

X

-1

6.

Graficar: 𝑦 =

(𝑥+1)|𝑥−1| 𝑥−1

Diana J. Quintana Sánchez

59

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Solución: (𝑥+1)(𝑥−1)

;

𝑥−1 Aplicando la definición de valor absoluto. Se tiene: 𝑦 = {−(𝑥+1)(𝑥−1) 𝑥−1

𝑥−1>0 ;

𝑥−1<0

𝑥 − 1 ≠ 0 de lo contrario haría cero el denominador. Así la grafica resulta: Y

2

-1

1

X

-1 -2

Para una función con regla de correspondencia igual a: 𝑦 = {

𝑥 + 1; 𝑥 > 1 con dominio igual a todos −𝑥 − 1; 𝑥 < 1

los reales y 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑦 = ]−2, ∞[

7.

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 una función cuyo dominio es 𝐷𝑜𝑚𝑓 = [−4, −2] ∪ [−1,1]. Determinar su rango. Solución: A partir del dominio de la función, construimos la regla de correspondencia:

𝐷𝑜𝑚𝑓 = [−4, −2] ∪ [−1,1] ⟶ −4 ≤ 𝑥 ≤ 2 ∨ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 → 4 ≤ 𝑥 2 ≤ 16 ∨ 0 ≤ 𝑥 2 ≤ 1 ⟶ 3 ≤ 𝑥 2 − 1 ≤ 15 ∨ 1 ≤ 𝑥 2 − 1 ≤ 0 ⟶ 3 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 15 ∨ 1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 0 Luego 𝑓 (𝑥 ) ∈ [3,15] ∪ [−1,0] ⟶ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑓 (𝑥 ) = [−1,0] ∪ [3,15] 8.

Hallar el rango de la función cuya regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 +3 𝑥 2 +2

Solución:

𝑓(𝑥) =

𝑥 2 +3 𝑥 2 +2

luego

𝜖ℝ

𝑥 2 +2+1 1 = 1+ 2 ; 𝑥 2 +2 𝑥 +2 ⟷ 𝑥2 ≥ 0 ⟷ 𝑥2 + 2 ≥

=

3 2

2⟷0<

1 𝑥 2 +2

1 2

≤ ↔1<1+

1 𝑥 2 +2

≤

3 2

3 2

↔ 1 < 𝑓(𝑥) ≤ ∴ 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 〈1, ]

9.

Graficar: ℎ(𝑥) = ||𝑥 − 1| − 𝑥| Solución: Quitando las barras, aplicando la definición de valor absoluto:

Diana J. Quintana Sánchez

60

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

|(𝑥 − 1) − 𝑥 |, 𝑥 − 1 ≥ 0 1; 𝑥 ≥ 1 ℎ (𝑥 ) = { → ℎ (𝑥 ) = { |−2𝑥 + 1|; 𝑥 < 1 |−(𝑥 − 1) − 𝑥 |, 𝑥 − 1 < 0 Trabajando ℎ (𝑥 ) = |−2𝑥 + 1|; 𝑥 < 1 → ℎ(𝑥 ) = |2𝑥 − 1|; 𝑥 < 1 Si 𝑥

1

< 2 → 2𝑥 − 1 < 0

… (𝑎 ) |2𝑥 − 1| = −2𝑥 + 1

Si

1 2

≤ 𝑥 < 1 → 0 ≤ 2𝑥 − 1 < 1 … (𝑏)

|2𝑥 − 1| = 2𝑥 − 1 1 ; 𝑥≥1 1 En conclusión: ℎ(𝑥 ) = { −2𝑥 + 1 ; 𝑥 < 2 Donde el dominio es ℝ y el rango es: [0; +∞[ 1 2𝑥 − 1; 2 ≤ 𝑥 < 1

Y

1

1/2

1

X

10. Hallar el mayor valor entero M en.𝑀 ≤ 1 − 6𝑥 + 𝑥 2 ; ∀𝑥 ∈ ℝ

Solución: Trabajando con la desigualdad:

𝑀 ≤ 1 − 6𝑥 + 𝑥 2 → 𝑀 ≤ 1 − 9 + 9 − 6𝑥 + 𝑥 2 → 𝑀 ≤ −8 + (3 − 𝑥 )2 Pero: (3 − 𝑥 )2 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ luego −8 + (3 − 𝑥 )2 ≥ −8 𝑀 ≤ −8 ≤ −8 + (3 − 𝑥 )2 ; ∀𝑥 ∈ ℝ De aquí el mayor valor que puede tomar M es -8.

11. Graficar: 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 +1 𝑥

Solución:

Diana J. Quintana Sánchez

61

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Asíntota Vertical: 𝑥

Matemática I

= 0 (𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌)

Asíntota Horizontal:

𝑓 (𝑥 ) =

𝑥 2 +1 𝑥

→ 𝑥 2 − 𝑦𝑥 + 1 = 0 luego 𝑥 =

𝑦±√𝑦 2 −4

como

2

2 ≠ 0no existe

asíntota horizontal. Hallamos la extensión de y: 𝑦 2

− 4 ≥ 0 → 𝑦 ≤ −2 ∧ 𝑦 ≥ 2 𝑦 ∈ ]−∞; −2] ∪ [2: ∞[

Asíntota Oblicua: Sea 𝑦

= 𝑚𝑥 + 𝑏 la asíntota oblicua. 𝑥2 + 1 𝑚𝑥 + 𝑏 = → (𝑚 − 1)𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 1 = 0 𝑥 Igualando coeficientes que contienen a 𝑚 y 𝑏 a cero: 𝑚 − 1 = 0 → 𝑚 = 1; 𝑏 = 0 Luego: 𝑦 = 𝑥 es la asíntota oblicua. Del gráfico: 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ − {0} y 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑓 = ]−∞; −2] ∪ [2; +∞[ La función toma su máximo en 𝑥 = −1 y su mínimo en 𝑥 = 1

y

y = (xx+1)/x y = x    

x 

















    

Gráfico elaborado en Wimplot Y

12. Sea la función “F” descrita por el gráfico adjunto: Elaborar el gráfico que describe F ( 2  x ) F(x)

Solución: X

Sea G( x )  F ( 2  x )  G( x )  f ( ( x  2)) Conociendo la gráfica de F , entonces la gráfica de y  F (  x ) es la simetrización de aquella con respecto al eje Y. (Fig. 1)

Diana J. Quintana Sánchez

62

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Si a ésta la desplazamos horizontalmente 2 unidades, obtenemos la gráfica de F ( ( x  2)) , que es la que pide el problema (Fig.2).

Y

Y

Y= F(-x)

Y= F(-(x-2))=F(2-x) 2 X

X

Fig.2

Fig.1

13. Determinar el valor de k para el cual el punto máximo de la gráfica de f ( x)  2k  3x  5x 2 tiene el mismo valor para las coordenadas X e Y. Solución: Ordenando la regla de correspondencia de la función f ( x)  5x2  3x  2k y como a  5  a  0  , f tiene un máximo, x  Dom( f )  R . Según el enunciado del problema, si V es el punto donde se encuentra el máximo de f , entonces las coordenadas de V deben ser iguales, es decir:

 b   b  V  ,     2b   2a 4a  2a 4a  2(3)  (3)2  4( 5)( 2k )  6  9  40k k 

3 40

14. Usar las técnicas de graficación para las funciones: 1.

f ( x)  4  x

2. f ( x )  4  x

3

f ( x)  x  2  4

Tabla de valores x

0

4

8

y

4

0

4

y y = abs(4-x) 





Diana J. Quintana Sánchez

 

Luis V Mejía Alemán

63















x 

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Tabla de valores x

-4

0

4

y

0

4

0

y

y = 4-abs(x)



















x 











Tabla de valores x

0

2

4

y

6

0

6

y

y = abs(x-2)+4 















Diana J. Quintana Sánchez



 







64

x 

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

15. Graficar las siguientes función: f ( x )  x  x  1

Tabla de valores x

-2

0

1

3

y

5

1

1

5

y

y = abs(x)+abs(x-1) 

























x 



16. Sea la función g ( x)  3x  x 2  4 ; x   4, 4 . Hallar g * si existe y graficar. Solución: En este caso

g

es la diferencia de dos funciones que son crecientes, es decir, esta función la podemos

escribir como la diferencia de dos funciones:

g ( x)  h( x)  f ( x) , donde h( x )  3 x y f ( x)  x 2  4 . Así vemos, que estas dos funciones son crecientes en todo su dominio por tanto este tipo de funciones también son inyectivas, luego poseen inversa. Calculemos la inversa de esta función. Despejemos x ; para ello sea y  g ( x ) , entonces

y  3x  x 2  4  3x  y  x 2  4   3x  y   2

Diana J. Quintana Sánchez

65



x2  4



2

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

  3x  y   x 2  4 2

como x  4,4  4  x  4  4  0  x  4  0  x2  16  4  x2  4  20 Entonces, x 2  4 es positivo,

  3x  y   x2  4  9 x2  6 xy  y 2  x2  4  8x2  6 xy  4  y 2 2

2

3  9 2 4  y2    x  y  y  x 8  64 8  Haciendo el cambio de variable: y  Así, g * ( x) 

y 2  32  3 y 8

x 2  32  3x que es la función inversa de g . 8

x 2  32  3x . 8

Veamos la gráfica.

yx

4

g * ( x) 

-4

3x  x 2  32 8

2

-2

2

4

g( x)  3x  x 2  4

-2

-4

17. Dadas las funciones f ( x)  ax  3 ; a  0 , x  R y g ( x)  3 x  7 , x  R . Calcular el valor de “ a ” tal que





satisface la siguiente condición: f * g *  ax  

2ax 2  . 5 3a

Solución: Como en el caso anterior las dos funciones son estrictamente crecientes por tanto poseen inversas. De

x3 x7 y g * ( x)  . De la condicional: a 3 ax  7 3 ax  7 2ax 2   3 f *  g *  ax    f *      a 5 3a  3  ax  2 2ax 2   Resolviendo la ecuación: 3a 5 3a esta forma: f * ( x) 

Diana J. Quintana Sánchez

66

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

ax   2ax  3a 5 5 a 6 18. Hallar la inversa de la siguiente función:

  x 2 ; x ,0  h( x )    1  ; x 0,   x Solución: Habrá que determinar primero si la función h es inyectiva, para ello se probará independientemente que cada función sea inyectiva y finalmente si lo anterior fuese cierto faltará probar que en su conjunto h es inyectiva. Veamos: Sea f ( x)   x2 ; x ,0 , probaremos que si f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 . De esta forma:  x12   x22 

x12  x22  x1  x2 pero x ,0 , entonces  x1   x2  x1  x2 ,

por tanto f es inyectiva. Sea g ( x) 

1 x

; x   0,  , probaremos que si g ( x1 )  g ( x2 )  x1  x2 . 2

De

esta

forma:

1 x1



2

 1   1  1 1           x1 x2 x2  x1   x2 

1

pero

x   0,  ,

entonces

1 1   x1  x2 , por tanto g es inyectiva. x1 x2 Ahora probaremos que h en su conjunto es inyectiva, para ello emplearemos la transposición de la definición inicial de la inyectividad, es decir, Si x1  x2  h( x1 )  h( x2 ) ………………..(*) Sea x1  Domf y x2  Domg ; es decir x1  x2 . 2 2 Si x1  Domf  x1  0  x1  0   x1  0  h( x1 )  0 . ……….….()

Si x2  Domg  x2  0  De y ():

1 1 0  0  h( x2 )  0 ………….() x2 x2

h( x1 )  h( x2 )

Luego se cumple (*); por lo tanto h es inyectiva. Como h es inyectiva, entonces existe su inversa. Sea f ( x)   x 2 ; Domf  ,0 ; Ranf  ,0

y   x2  x2   y  x   y como x  0   x   y  x    y .

Diana J. Quintana Sánchez

67

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

Haciendo el cambio de variables: f *( x)    x ; Domf *  Ranf  ,0 . Sea g ( x) 

1

y

1

x

x

; Domg   0, ; Rang   0,  .

 y2 

1 1  2  x. x y

Haciendo el cambio de variable: g *  x  

1 ; Domg*  Rang   0,  . x2

Por lo tanto:

   x ; x  ,0  h * ( x)    1  ; x   0,   x2

EJERCICIOS PROPUESTOS

x  x6 es x   a , b  c .Calcular " a  b  c " 2 7 x  x  12 2

1. Si el dominio de g ( x ) 

2x  x  1 y g( x )  x  3  x , hallar la suma de los valores enteros 2 x  3x 2

2. Dadas las funciones: f ( x )  positivos de Dom ( f )  Ran( g ) 3. Dadas

f ( x) 

las

siguientes

funciones

de

variable

real

cuya

regla

de

correspondencia

son:

x1 ; g ( x )  3  x  1 , hallar Domf ( x )  Ran g ( x ) x2

4. ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar la siguiente función: f ( x )   x  10 x  21 , de dominio real? 2

5. Encontrar la función lineal tal que: f (2)  3



f (3)  2 f (4)

6. Analizar la siguiente función conocida como Diente de Sierra, la cual está determinada por:

y  f ( x) 

b  x  na  ; x   na ,(n  1)a , a  0, n  R0 a

7. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función definida por:

 x 2  1, x3 f ( x)     x  3, x  3 8. Sea

f una función definida por f ( x ) 

xb tal que f ( 2)  4 / 3 , f (3 / 2)  2 / 5 . Hallar el 2 a x

dominio, rango y trazar la gráfica. Diana J. Quintana Sánchez

68

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

 3  18 36   2  x  c . Hallar el dominio, rango, trazar la gráfica y el valor mínimo de f ,  x x

9. Dada la función f  sabiendo que

f (4)=7

10. Encontrar el dominio, rango y trazar la gráfica de f ( x ) 

  

11. Hallar el dominio y rango de la función: f   x ,

x  x 1

  2  / x  4 x  4  0  x 4 



x



x  5x  5x  5x  6 Sea la función definida por: f ( x )  2 x  4x  3 4

12.

3

2

  x 2  3, x  4  13. Sea g ( x )   x , y  / y    . Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función g.   x  3, x  4 

 x 1    x 2

14. Graficar la función f ( x )  sgn 

15. Si el gráfico de una función está representado en la figura adjunta, hallar su regla de correspondencia. 16. Hallar

el

rango

y

trazar

la

gráfica

de

la

función

definida

por:

 x2  1  2 f ( x )  9  x .sgn   , donde D f  3, 3    x  x  x

17. Sea f la función definida por la regla de correspondencia f ( x ) 

x x

. Hallar el dominio, rango y

trazar la gráfica.

18. Graficar las siguientes funciones indicando su dominio y rango. a)

f ( x)  x  2  x  1



b) f ( x )  x  x



2

 x

c) x  x 2

2

 x4   . Hallar las gráficas de f ( x ) e indicar su dominio y rango. 2  x 4

19. Sea f ( x )  sgn 

20. Una isla se encuentra a dos millas del punto más cercano de una costa recta. Un poblado está a doce millas desde el punto P. a) Si una persona puede remar a una velocidad de 3 millas por hora y caminar 5 millas por hora, exprese el tiempo T que tardaría en ir de la isla al poblado como función de la distancia x de P hasta donde esa persona deja anclado el bote en que llegó a la costa. b) ¿Cuánto tiempo tardará la persona en ir de la isla al poblado si deja anclado el bote a 4 millas de P? c) ¿Y si lo deja anclado a 8 millas de P?

Diana J. Quintana Sánchez

69

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

x

si

x3

6  x si

x3

21. Trace la gráfica de la siguiente función f  x   

22. Una fábrica de frituras tiene costos fijos diarios de $ 1800. Además, cuesta 50 centavos producir cada bolsa de frituras. Una bolsa de frituras se vende a $ 1.20. a) Encuentre la regla de la función de costo c  x  que da el costo diario total de producir x bolsas de frituras. b) Encuentre la regla de la función de ingreso r  x  que da el ingreso directo por vender x bolsas de frituras. c) Encuentre la regla de la función de ganancia p  x  que da la ganancia diaria al vender x bolsas de frituras. 23. Un servicio de mecanografiado cobra $ 3 más $ 7 por hora o fracción de hora. Trace la gráfica de los pares ordenados (horas, costo). 24. Suponga que las ventas de una guitarra eléctrica satisfacen la relación S  x   300 x  2000 , donde

S  x  representa el número de guitarras vendidas en el año x , con x  0 correspondiente al año 1987. Encuentre las ventas en cada uno de los siguientes años. a) 1987 b) 1991 c) El fabricante necesitaba vender 4000 guitarras para el año 1996 a fin de pagar un préstamo. ¿Alcanzaron las ventas esa meta? d) Encuentre la razón de cambio anual de las ventas.

25. La tasa de natalidad en Estados Unidos fue de 14.0 (por millar) en 1975 y de 16.7 en 1990. Suponga que la tasa de natalidad cambia linealmente. a) Encuentre una ecuación para la tasa de natalidad en Estados Unidos como una función lineal de tiempo t , donde

t se mida en años desde 1975.

b) La tasa de natalidad en Israel en 1990 fue de 22.2. ¿En qué año será la tasa en Estados Unidos por lo menos tan grande (suponiendo que continúa la tendencia lineal)? 26. El administrador de un edificio con 16 departamentos descubrió que cada incremento de $40 en la renta mensual trae como consecuencia un departamento vacío. Todos los departamentos se rentarán a $500 mensuales. ¿Cuántos incrementos de $40 producirán un ingreso máximo mensual para el edificio? 2 27. Suponga que el precio y la demanda de un artículo están relacionados por p  150  6q , función de

demanda, donde p es el precio en dólares y q el número de artículos demandados en cientos. El precio 2 y la oferta están relacionados p  10q  2q , función de oferta, donde q es el número de artículos

ofrecidos (en cientos). Encuéntrese la demanda y oferta de equilibrio y el precio de equilibrio.

Diana J. Quintana Sánchez

70

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

28. Laura López es la dueña de la pastelería Tía Ema. Contrató un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus ganancias P ( x ) de la venta de x unidades de pasteles, están dadas por P ( x)  120 x  x 2 ¿Cuántos pasteles se deben vender para maximizar las ganancias?¿Cuál es la ganancia máxima? 29. Sandra Lara hace dulces y los vende. Encontró que el costo por caja para hacer x cajas de dulces esta dado por: c( x)  x 2  10 x  32 . 

¿Cuánto cuesta por caja hacer 2 cajas? ¿4 cajas? ¿10 cajas?



Trace la gráfica de la función de costo C ( x ) y marque los puntos correspondientes a 2,4 y 10 cajas.



¿Qué punto sobre la grafica corresponde al número de cajas que hará el costo por caja tan pequeño como sea posible?



¿Cuántas cajas debe hacer para mantener el costo por caja en un mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo por caja?

30. Las papas fritas generan una ganancia enorme (150 a 300 %) en muchos restaurantes de comida rápida. La gerencia desea, por lo tanto, maximizar el número de bolsas vendidas. Suponga que un modelo matemático que conecta p , la ganancia por día de la venta de papas fritas (en decenas de dólares) y x 2 , el precio por bolsa ( en décimos de dólar), es p  2 x  24 x  8 .



Encuentre el precio por bolsa que conduce a la ganancia máxima.



¿Cuál es la ganancia máxima?

31. el gerente de una tienda de bicicletas ha encontrado que, a un precio (en dólares) de p ( x)  150 

x por 4

bicicleta, se venden x bicicletas. 

Encuentre la expresión para el ingreso total de la venta de bicicletas. (Sugerencia: ingreso=demanda x precio.)



Encuentre el número de bicicletas vendidas que conduce a un ingreso máximo.

32. Encuentre el ingreso máximo. 33. De acuerdo con los datos para los años 1983 – 1994 en Insider Flyer Magazine, el número de millas (en miles de millones) de viajero frecuentes ganada por clientes de varias aerolíneas, pero aun no redimidas en

el

año

x,

puede

ser

f ( x)  0.015 x 4  0.68 x 3  11.33 x 2  20.15 x

aproximado

por

la

función

polinomial.

(3  x  14) , donde x  0 corresponde a 1980.



¿Cuántas millas no redimidas había en 1985? ¿Cuántas en 1990?



Suponga que este modelo permanece válido hasta 2003 (X=23). ¿Cuántas millas de viajero frecuentemente no redimidas hay en 1998? ¿Cuántas en 2000?



Si todas las millas no redimidas en el año 2000 se redimen con vuelos a Nueva York a los Ángeles (cada uno requiere 30,000 millas de viajero frecuente) y cada avión tiene capacidad para 400 personas, ¿Cuántos aviones se necesitarían?

34. un procedimiento para medir el rendimiento cardíaco depende de la concentración de una tintura después de que una cantidad conocida es inyectada enana vena cerca del corazón. En un corazón normal, la Diana J. Quintana Sánchez

71

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

concentración

de

Matemática I

la

tintura

en

el

tiempo

x (en

segundos)

está

dada

por:

g ( x)  0.006 x 4  0.14 x 3  0.053x 2  1.79 x 

Encuentre lo siguiente: g (0);g (1); g (2); g (3).



Trace la gráfica de g ( x) para x  0

35. Al principio del siglo XX la población de venados en la meseta Kaibab en Arizona experimento un rápido incremento porque los cazadores habían reducido el número de de predadores naturales. El incremento de la población agotó los recursos alimentarios y causó eventualmente que la población declinara. Para el período de 1905 a 1930, la población de venados estaba dada aproximadamente por:

D ( x)  0.125 x 5  3.125 x 4  4000 donde x es el tiempo en años a partir de 1905. 

Encuentre lo siguiente: D(0); D(5); D(10); D(15);D(20); D(25).



Dibuje con la ayuda del algún programa la gráfica de D(x).



De la gráfica, ¿En qué periodo de tiempo (entre 1905 y 1930) creció la población?.¿Cuándo era relativamente estable? Y ¿Cuándo decreció?

36. La empresa Superstar televisión comenzó recientemente a dar servicio a la ciudad e Megapolis. Con base en experiencias pasadas, se estimó que el número N ( x) de subscriptores (en miles) al final de x meses es N ( x) 

250 x encuentre el númerod e subscriptores al final de: x6



6 meses.



18 meses.



Dos años.



Dibuje la gráfica de N ( x) .



¿Qué parte de la gráfica es importante para esta situación?



¿Qué es la asíntota horizontal de la gráfica? ¿Qué sugiere esto acerca del número máximo posible de subscriptores que se tendrán?

37. La falla de varios anillo- O en las juntas de campo fue la causa del fatal accidente de la nave espacial Challenger en 1986. los datos de la NASA de 24 lanzamientos con éxito previos al Challenger sugieren que la falla del los anillos- O tuvo que ver con la temperatura durante el lanzamiento por medio de una función similar a N (t ) 

600  7t 4t  100

 50  t  85 donde t es la temperatura (en ºF)

durante el lanzamiento

y N es el número aproximado de anillos – O que fallaron. Suponga que esta función modela exactamente el número de fallas anillos- O que ocurrirán a temperaturas inferiores de lanzamiento (hipótesis que la NASA no hizo). 

¿Tiene N (t ) una asíntota vertical? ¿A qué valor de t se presenta ésta?



Sin dibujarla, ¿Cómo cree que se vería la gráfica a la derecha de la asíntota vertical? ¿Qué sugiere esto acerca del número de fallas de anillos- O que podrían esperarse cerca de esa temperatura? (La temperatura durante el lanzamiento del Challenger fue de 31ºF)

Diana J. Quintana Sánchez

72

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias



Matemática I

Confirme su conjetura trazando la gráfica de N (t ) entre la asíntota vertical y t  85.

38. Efecto de gravedad en la tierra.- Si cae una roca al suelo desde una altura de 20 metros, su altura H (en metros) después de x segundos será aproximadamente de H ( x )  20  4.9 x . 2



¿Cuál será la altura de la roca para x =1 segundo?, ¿para x = 1.1 segundos?, ¿para x =1.2 segundos? y ¿para x =1.3 segundos?



¿Cuándo golpea la roca el suelo?

39. Sean

f y g dos funciones definidas en el mismo intervalo  a , b . Suponga que definimos dos

funciones min( f , g ) y max( f , g ) como sigue:

 f ( x ) si f ( x )  g( x ) min( f , g )    g( x ) si f ( x )  g( x )

 g( x ) si f ( x )  g( x ) max( f , g )    f ( x ) si f ( x )  g( x )

f ( x )  g( x ) f ( x )  g( x )  2 2 si x es racional.

Demuestre que: min( f , g ) 

0 1

40. Considere la ecuación: y  

si x es irracional.

¿Es esta una función?, ¿Cuál es su dominio y

rango?, ¿Es par o impar o de ninguno de estos tipos?, ¿Cómo describiría su gráfica? 41. Análisis del movimiento de un proyectil.- Un proyectil es disparado desde un acantilado. El disparo se hace a 200 pies por arriba del nivel del agua con inclinación de 45º respecto de la horizontal y velocidad de 50 pies por segundo. La altura del proyectil sobre el agua está dada por h( x ) 

32 x 2  x  20 (50)2

donde x es la distancia a la base del acantilado.  Encuentre la altura máxima del proyectil. 

¿A qué distancia de la base del acantilado el proyectil chocará con el agua?

42. Teléfono por tonos.- En un teléfono por tonos cada botón produce un sonido único. El sonido producido es la suma de dos tonos dados por: y  sen2 lt y x  sen 2 ht donde l y h son las frecuencias baja y alta (ciclos por segundo) mostradas en la ilustración. Por ejemplo si Oprime el 7 es y  sen2 (285)t + sen2 (1209)t Escriba este tomo como un producto de senos y/o cosenos. 43. El carbono 14, también conocido como radiocarbono, es una forma radiactiva del carbono que se encuentra en todas las plantas y animales vivos. Después de que una planta o animal muere, el carbono se desintegra con una vida media aproximadamente 5600años. Los científicos pueden determinar la edad de los restos comparando la cantidad de radiocarbono con las cantidades presentes en las plantas y animales vivos. Esta técnica se llama fechado por carbono. La cantidad de radiocarbono presente  (ln 2)(1/ 5600) t después de t años está dada por: y  y0e donde y0 es la cantidad presente en las plantas y animales vivos. Se afirma que una mesa redonda que cuelga en el Castillo de Winchester (Inglaterra) perteneció al Rey Arturo, quien vivió en el siglo V. Un análisis químico reciente mostró que la mesa tenía 91% de la cantidad radioactiva presente en la madera viva. ¿Qué edad tiene la mesa? 44. La intensidad del Sonido se mide en unidades llamadas decibeles. La clasificación en decibeles de un

 i   , donde i es la intensidad del sonido mínima detectada por el  i0 

sonido está dada por D( i )  10 log 

oído humano (el llamado sonido umbral). Encuentre la clasificación en decibeles de cada uno de los Diana J. Quintana Sánchez

73

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

siguientes sonidos cuyas intensidades se dan en. Redondee las respuestas al número entero más cercano. a) Murmullo 115 i0 b) Calle bulliciosa 9 500 000 i0 c) Música de rock 895 000 000 000 i0 d) Avión al despegar 109 000 000 000 000 i0 45. Resolver las siguientes aplicaciones de la función lineal para la administración, economía y ciencias sociales. a) Un electricista cobra $55 por una visita domiciliaria más $30 por hora de trabajo adicional. Exprese el Costo C de llamar a un electricista a su casa Como una función del número de horas x que dure la visita. b) Un autor recibe honorarios por $5 000 más $3.50 por cada libro vendido. Exprese su ingreso R como función del número de libros x vendidos. c) El propietario de un lago para pescar comercialmente abastecido, cobra $10 por pescar y $0.50 por cada libra de pescado. Exprese el costo de pescar C como una función del número de libras de pescado cogidas x. d) Un artista que hace una exhibición recibe $175 por cada cuadro vendido menos $45 por cargo de almacenaje y exhibición. Represente el ingreso R que él recibe en función del número de cuadros vendidos x. 46. Los defensores del medio ambiente han determinado que el nivel promedio de monóxido de carbono en

el aire es Ln( x)  1  0.6n  partes por millón cuando el número de personas es n-miles. Si la población

n(t )  400  30t  0.15t 2

en miles en el momento t es . a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de tiempo. b) Calcule el nivel de monóxido de carbono en t = 5. 47. La población de ranas F calculada en miles en una región dada depende de la población de insectos m en millones; la población de insectos a su vez varía con la cantidad de lluvia r dada en centímetros. Si la población de ranas es F  65 

m /8 y la población de insectos es m(r )  43r  7.5 .

a) Exprese la función de ranas como una función de la lluvia. b) Estime la población de ranas cuando la lluvia es de 1.5 centímetros.

48. El costo de una fábrica es una función del número de unidades producidas C(q); su nivel de producción es una función de tiempo q(t). Exprese el costo de la fábrica como una función de tiempo, dado

1. C (q)  1500  40q

q(t )  16  1/ 4t 2

2. C (q)  q 2 +3q+75

q(t )  8(t  1/ 4)

49. El número de hormigas voladoras A(r ) , en cientos de miles, depende del nivel de lluvia r en centímetros, dado por A(r )  8r  r . Halle el nivel de lluvia que maximiza la población de hormigas voladoras. 2

Diana J. Quintana Sánchez

74

Luis V Mejía Alemán

Universidad Nacional Piura Facultad de Ciencias

Matemática I

MARÍA GAETANA AGNESI (1718-1799)

En las mejores listas de mujeres matemáticas, apenas se llega a 150 nombres, de los cuales sólo diez corresponden a mujeres que vivieron antes del 1900. Una de éstas fue Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799). Nació en Milán, fue una distinguida lingüista, matemática y filósofa. Para más datos, su biografía. Algunos datos sueltos: era la mayor de 21 hermanos (!); a los cinco años hablaba francés, y a los nueve dominaba griego, latín y hebreo; a los veinte, publicó un libro de análisis: cálculo diferencial e integral y ecuaciones diferenciales; era muy religiosa y el padre la inclinó hacia las matemáticas para evitar que se metiera a monja; el Papa Benedicto XIV intentó convencerla de aceptar una cátedra en Bologna; también compuso música: Sonata per il Clavicembalo (Allegro and Menuet), Sonata in G Major, y Allegro ou Presto in A Major, versiones midi Una de sus contribuciones a las matemáticas fue la curva que hoy se conoce como "Bruja de Agnesi", curva 3 a de ecuación y  . La historia del nombre es interesante, el nombre en latino de la curva es “Versoria” 2 2

x a

que significa 'cuerda que rodea una vela'.Pero en su libro, Agnesi confundió la palabra “Versoria” con “Versiera”, otra palabra latina que significa “Abuela del diablo” o “bruja”, de ahí viene el nombre de la curva: La Bruja de Agnesi”

Cuenta Florian Cajori, en su libro de Historia de las Matemáticas, que María Gaetana era sonámbula: “Muchas veces le ocurrió ir sola a su sala de estudio en estado sonámbulo, encender la lámpara y resolver algún problema que había dejado sin terminar estando despierta; por la mañana se sorprendía de ver la solución cuidadosamente explicada en sus cuartillas”. La gráfica para a=2 , a=3 es:  

y = 27/(x^2+9)

  

















y = 8/(x^2+4)    

Diana J. Quintana Sánchez

75

Luis V Mejía Alemán