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Módulo de matemática

MÓDULO DE MATEMÁTICA

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.” Albert Einstein.

“La vida te pone retos para que conozcas el potencial que tienes, para que te veas obligado a sacar la mejor versión de ti” Irene Villa

“Mas alla de las matematicas existen numeros imaginable y sustentables llamados vida, la cual no tiene notas pero lleva mas aprendizaje que cualquier asignatura cursada”

ii

TABLA DE CONTENIDO Pág. 1.

2

Introducción a los Números Reales................................................................................ 1 1.1

Números naturales ................................................................................................... 2

1.2

Números enteros ...................................................................................................... 2

1.3

Números racionales ................................................................................................. 3

1.4

Números irracionales ............................................................................................... 3

1.5

Números reales ........................................................................................................ 3

1.6

Propiedades de los nueros reales ............................................................................. 4

1.7

Operaciones de los números reales ......................................................................... 4

1.8

Potenciación: ........................................................................................................... 8

1.9

Radicación: .............................................................................................................. 9

1.9

Racionalización ..................................................................................................... 10

Números Imaginarios ................................................................................................... 14 2.1

Potencia i ............................................................................................................... 14

2.2 Propiedades de los números imaginarios ................................................................... 15 3

Números Complejos ..................................................................................................... 16 3.1

Representación en el plano cartesiano .................................................................. 16

3.2

Operaciones entre números complejos .................................................................. 19 .............................................................................. 21

1.

2.

Ecuaciones.................................................................................................................... 21 1.1

Conjunto solución.................................................................................................. 21

1.2

Ecuaciones de primer grado de una incógnita....................................................... 21

1.3

Principios para resolver ecuaciones de primer grado ............................................ 22

1.4

Ecuaciones racionales de primer grado ................................................................. 24

Intervalos Reales .......................................................................................................... 26 2.1 Intervalos. ................................................................................................................... 26 2.2

3.

Tipós de intervalos ................................................................................................ 27

Desigualdades e Inecuaciones. ..................................................................................... 28 3.1 Desigualdades ............................................................................................................ 28 3.2 Inecuaciones ............................................................................................................... 28 2.3 Solución de inecuaciones de primer grado................................................................. 31 2.4 Inecuaciones con valor absoluto ................................................................................ 31 ...................................................................................... 34

iii

1.

Sistemas Coordenados ................................................................................................. 34 1.1 Distancia entre dos puntos ......................................................................................... 35 1.2 Producto cartesiano .................................................................................................... 35

2.

Relaciones y Funciones ................................................................................................ 36 2.1 Relación...................................................................................................................... 36 2.2 Función ....................................................................................................................... 36 ........................................................... 40

1.

2.

Funciones Polinómicas................................................................................................. 40 1.1

Función constante .................................................................................................. 40

1.2

Función lineal ........................................................................................................ 41

1.3

Función afín a la lineal .......................................................................................... 41

1.4

Definición de pendiente ........................................................................................ 42

1.5

Forma de punto pendiente para la ecuación de una recta...................................... 44

1.6

Análisis de graficas .............................................................................................. 45

1.7

Forma general para la ecuación de una recta ....................................................... 48

Sistemas de Ecuaciones Lineales ................................................................................. 49 2.1 Método gráfico (intercepción de dos rectas) .............................................................. 49 2.2 Método de sustitución ................................................................................................ 51 2.3 Método de igualación ................................................................................................. 53 2.4 Método de reducción o eliminación ........................................................................... 55 2.5 Método de cramer (determinantes) ............................................................................ 57 .................................................................. 59

1.

Función cuadrática ....................................................................................................... 59

2.

Solución de ecuaciones cuadráticas ............................................................................. 61

3.

2.1

Factorización simple: ............................................................................................ 62

2.2

Completando el cuadrado ...................................................................................... 62

Formula Cuadrática ...................................................................................................... 64

iv

1. INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES

1

Los números reales esta conformados por varios subconjunto de numéricos y la unión de ellos conforman los números reales, los cuales son:

1.1 NÚMEROS NATURALES Surgen de la interacción del ser humano con la naturaleza. Sirven para contar. Simbólicamente: ℕ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9, … … … } Gráficamente:

1.2 NÚMEROS ENTEROS Surgen de la necesidad de efectuar cualquier tipo de saturación entre naturales. Simbólicamente: ℤ = {… … … . . −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7, … … … } Gráficamente:

Ley de los signos:

2

1.3 NÚMEROS RACIONALES Surgen por la necesidad de efectuar cualquier tipo de división entre enteros. 𝑎

Simbólicamente: ℚ = {𝑏 , 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑦 𝑏 ≠ 0 } Pueden expresarse como decimales exactos, decimales periódicos puros y decimales periódicos mixtos.

Gráficamente:

1.4 NÚMEROS IRRACIONALES Surgen de los números decimales no periódicos al colocarlos en la recta numérica los completan. 𝑎

Son números que no se pueden expresar de la forma 𝑏 , con 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0 El conjunto de los números irracionales se denota con el símbolo I

1.5 NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales surge de la unión

de

los

números

racionales

e

irracionales, el cual se denota con el símbolo R Simbólicamente: ℝ = ℚ ∪ 𝐼

3

1.6 PROPIEDADES DE LOS NUEROS REALES Los números reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, lo que significa que la suma o multiplicación de números reales da como resultado otro número real. De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades:

Ley de Tricotomía 𝑆𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠: 𝑎 > 𝑏𝑎 < 𝑏𝑎 = 𝑏 Propiedad Transitiva 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑠𝑖 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑏 > 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑎 > 𝑐 Propiedad aditiva 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑠𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 Propiedad multiplicativa 𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 𝑏, 𝑠𝑖 𝑐 > 0 (𝑐 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐. 𝑠𝑖 𝑐 < 0 (𝑐 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐.

1.7 OPERACIONES DE LOS NÚMEROS REALES Adición:

4

En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o adición. La suma o adición de números reales se efectúa sólo si los signos de los números son iguales.

Multiplicación:

5

La multiplicación es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces. Una multiplicación se representa con los símbolos, “” “⋅” o “( )”.

6

TALLER 1 1. En una caja hay 24 refrescos, ¿cuántos refrescos habrá en 9 cajas? 2. Se van a sembrar en un terreno 25 filas, cada una con 30 árboles, ¿cuántos árboles se van a plantar en total? 3. Rafael tiene 8 piezas de tela de 12 metros cada una, pretende vender a $10 el metro, ¿cuánto dinero puede obtener por la venta de todas las piezas? 4. ¿Cuántos minutos hay en una semana, si una semana tiene 7 días, cada día tiene 24 horas y cada hora 60 minutos? 5. En un vecindario hay 28 edificios, cada uno tiene 12 departamentos, ¿cuántos departamentos hay en el vecindario? 6. Una cuenta de ahorro tiene un saldo de $2 500, si se efectúa un retiro de $1 500 y se cobra una comisión de $7 por disposición ¿cuánto queda disponible en la cuenta? 7. Un rollo de tela tiene una longitud de 40 metros, el lunes se vendieron 3, el martes 8, el miércoles 5 y el jueves 6, ¿cuántos metros de tela quedan para vender el resto de la semana? 8. Un atleta debe cubrir una distancia de 10 000 metros, si recorre 5 850, ¿qué distancia le falta recorrer? 9. Juan solicitó un préstamo de $20 000: el primer mes abonó $6 000, el segundo $4 000, y en el tercero $5 500, ¿cuánto le falta pagar para cubrir su adeudo? 10. La edad de Abigail es de 31 años, la de Mario es de 59 y la diferencia de las edades de Carmen y Clara es de 37 años, ¿en cuánto excede la suma de las edades de Abigail y Mario a la diferencia de las de Carmen y Clara? 11. Un automóvil realiza un viaje en tres etapas para ir de una ciudad a otra: en la primera etapa recorre 210 kilómetros, en la segunda 180 y en la última 360; ¿qué distancia existe entre las ciudades? 12. Una editorial publica 12 000 ejemplares de un libro de álgebra, 8 000 de uno de geometría analítica y 10 700 de uno de cálculo diferencial e integral, ¿cuántos libros de las tres áreas publica en total?

7

1.8 POTENCIACIÓN: Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indique el exponente. De lo anterior se define:

Ejemplos

8

1.9 RADICACIÓN: Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de radicando. Para lo anterior se define:

9

EXPONENTES RADICALES Sea

𝒎 𝒏

un número racional, donde 𝒏 es un entero positivo mayor a 1. Si 𝒂 es un número real 𝑁

tal que √𝑎 existe, entonces: 1. 𝑎

1⁄ 𝑛

2. 𝑎

𝑚⁄ 𝑛

= ( √𝑎)

3. 𝑎

𝑚⁄ 𝑛

= (𝑎

𝑛

= √𝑎 𝑛

𝑚

𝑛

= √𝑎𝑚

1⁄ 𝑚 𝑛)

= (𝑎 𝑚 )1⁄ 𝑛

1.9 RACIONALIZACIÓN Racionalizar es representar una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el numerador, cuyo numerador o denominador sea un número racional respectivamente.

10

 Racionalización del denominador. Dada una expresión de la forma 𝑛

𝑐

√𝑎𝑚

, se racionaliza

de la siguiente manera:

Ejemplos:

 Racionalización de un denominador binomio. Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio 𝑎 ± 𝑏y alguno o ambos elementos tienen una raíz cuadrada, se multiplica por el conjugado del binomio 𝑎 ± 𝑏.

11

Ejemplos:

12

TALLER 2 I.

II.

Racionaliza los siguientes denominadores:

Racionaliza el numerador en los siguientes radicales:

13

2 NÚMEROS IMAGINARIOS Rene Descartes (Francia, 1596-1650), que bautizo con el nombre de imaginarios a los nuevos números, apunto también que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque números no reales podían ser alguna de ellas

2.1 POTENCIA i Los antiguos algebristas, operaron con expresiones en las que aprecia √−1. Leibniz en el siglo XVII, todavía decía que √−1 era “una especie de anfibio entre el ser y la nada”

Los números imaginarios es un conjunto de características especiales que contiene a los números radicales negativos con índice par, los cuales se llaman números imaginarios a la unidad patrón, representada por la potencia i, definida por: √−1 = 𝑖 Un número imaginario se denota por 𝑏𝑖, donde: 𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑖 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo Ejemplo: √−4 = √4 × √−1 = 2𝑖

14

Ejercicios: √−9 = √−16 = √−64 = √−625 = √−81 = √−100 =

2.2 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada: 1) 𝑖 0 = 1 2) 𝑖 1 = 𝑖 3) 𝑖 2 = −1 4) 𝑖 3 = −𝑖 5) 𝑖 4 = 1 Nota 1: si 𝑖 𝑛 , con 𝑛 > 2 es impar, entonces 𝑖 𝑛 = −𝑖 Nota 2: si 𝑖 𝑛 , con 𝑛 > 2 es par, entonces 𝑖 𝑛 = 1 EJERCICIOS: 𝑖8 = 𝑖 31 = 𝑖 27 = 𝑖5 =

15

3 NÚMEROS COMPLEJOS Al número 𝑎 + 𝑏𝑖 le llamamos número complejo. El número 𝑎 se llama parte real del número complejo. El número 𝑏 se llama parte imaginaria del número complejo.  Si 𝒃 = 𝟎 el número complejo se reduce 𝑎 un número real ya que 𝒂 + 𝟎𝒊 = 𝒂.  Si 𝒂 = 𝟎 el número complejo se reduce a 𝒃𝒊, y se dice que es un número imaginario puro. Simbólicamente: ℂ = {𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}

 Los números complejos 𝒂 + 𝒃𝒊 𝑦 − 𝒂 − 𝒃𝒊 se llaman opuestos.  Los números complejos 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝑦 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 se llaman conjugados.  Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

3.1 REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 se representa: Por el punto (𝒂, 𝒃), que se llama su afijo.

16

Representación vectorial

17

Ejercicio: Dados los números complejos, represéntalos como puntos y grafícalos en el plano, luego traza un vector del el origen. 1. 3 + 2𝑖 = 𝑃(3,2) 2. 2 + 4𝑖 = 3. 1 + 5𝑖 = 4. −2 + 7𝑖 = 5. −3 − 2𝑖 = Y

X

-X

-Y

18

3.2 OPERACIONES ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS A continuación desarrollaremos las cuatro operaciones básicas como son: i.

Adición y sustracción de números complejos: la adición y sustracción de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.  (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖  ( 𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖 ( 𝟓 + 𝟐 𝒊) + ( − 𝟖 + 𝟑 𝒊) − (𝟒 − 𝟐𝒊 ) = ( 𝟓 − 𝟖 − 𝟒 ) + (𝟐 + 𝟑 + 𝟐 ) 𝒊 = −𝟕 + 𝟕𝒊

ii.

Multiplicación de números complejos: el producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que 𝑖 2 = −1. ( 𝑎 + 𝑏𝑖) · (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 ( 𝟓 + 𝟐 𝒊) · ( 𝟐 − 𝟑 𝒊) = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟓𝒊 + 𝟒𝒊 − 𝟔 𝒊 𝟐 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟏𝒊 + 𝟔 = 𝟏𝟔 – 𝟏𝟏𝒊

iii.

División de números complejos: el cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste. 𝒂 + 𝒃𝒊 (𝒂 + 𝒃𝒊). (𝒄 − 𝒅𝒊) 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅 𝒃𝒄 − 𝒂𝒅 )+( 𝟐 )𝒊 = =( 𝟐 𝟐 𝒄 + 𝒅𝒊 (𝒄 + 𝒅𝒊). (𝒄 − 𝒅𝒊) 𝒄 +𝒅 𝒄 + 𝒅𝟐 Ejemplo: (𝟐)(𝟏) − (−𝟐)(𝟑) 𝟑 + 𝟐𝒊 (𝟑 + 𝟐𝒊). (𝟏 + 𝟐𝒊) (𝟑)(𝟏) + (𝟐)(−𝟐) ) = =( + ( )𝒊 𝟏 − 𝟐𝒊 (𝟏 − 𝟐𝒊). (𝟏 + 𝟐𝒊) 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟐𝟐 =

𝟑−𝟒 𝟐+𝟔 𝟏 𝟖 + 𝒊=− + 𝒊 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓

19

TALLER 3 1. Dados los números complejos, represéntalos como puntos y grafícalos en el plano, luego traza un vector del el origen. a. 3 + 5𝑖 = b. 2 − 2𝑖 = c. −1 + 65𝑖 = d. −2 − 7𝑖 = e. 4 + 2𝑖 = f. −3 + 2𝑖 =

2. Realizar las siguientes adiciones y sustracciones de números complejos a. (4 + 5𝑖 ) + (8 − 4𝑖) b. (2 + 6𝑖 ) + (6 − 3𝑖) c. (4 − 5𝑖 ) − (8 − 4𝑖) d. (5𝑖 ) − (2 − 2𝑖) e. (3 − 6𝑖 ) − (8 − 4𝑖) f. (4 + 3𝑖 ) + (3 + 4𝑖)

3. Realizar las siguientes multiplicación de números complejos a. (4 + 5𝑖 ). (8 − 4𝑖) b. (3 + 2𝑖 ). (2 + 4𝑖) c. (𝑖 ). (−8 − 4𝑖) d. (4𝑖 ). (2 − 2𝑖)

4. Realizar las siguientes divisiones de números complejos a.

(4 + 5𝑖 ) ⁄(8 − 4𝑖 )

b.

(2𝑖 ) ⁄(4 + 6𝑖 )

c.

(4 + 2𝑖 ) ⁄(4 + 3𝑖 )

20

1. ECUACIONES Una ecuación (concepto derivado del latín equation) constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el ejercicio. Se conoce como miembros a cada una de las expresiones algebraicas que permiten conocer los datos (es decir, los valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descubierto) vinculados a través de diversas operaciones matemáticas.

1.1 CONJUNTO SOLUCIÓN El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores numéricos que hacen verdadera la ecuación, es decir, la convierten en una igualdad numérica.

1.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO DE UNA INCÓGNITA Son igualdades en las que se tiene sólo una incógnita. Esta incógnita está representada por una letra o algún otro símbolo. Las ecuaciones de primer grado suele llamárseles también ecuaciones lineales, pues su gráfica es una línea recta.

21

Propiedades de Uniformidad de la Igualdad. Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒: i.

𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

ii.

𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐

iii.

𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐

iv.

𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐 =

𝑎

𝑏 𝑐

De las anteriores igualdades se deduce la ecuación. 𝑎𝑥 − 𝑏 = 0 𝑎𝑥 − 𝑏 + 𝑏 = 0 + 𝑏 𝑎𝑥 = 𝑏

1.3 PRINCIPIOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO 𝑥 − 7 = −3 𝑥 − 7 + 7 = −3 + 7 𝑥=4 i.

Agrupar y reducir los términos semejantes que haya en los dos miembros de la ecuación.

ii.

Efectuar las operaciones indicadas en los miembros de la ecuación (suprimir paréntesis)

iii.

Usando las propiedades de la igualdad pasar las variables (incógnitas) a un solo miembro o lado y las constantes (valores numéricos) a l otro miembro

iv.

Solucionar la ecuación de primer grado así obtenida

v.

Verificar el resultado en la ecuación original

Ejemplos: resolver las siguientes ecuaciones

22

a. x+5=8

b. 3(𝑥 + 2) = 5(𝑥 − 6)

c. 2(𝑎 + 3) = −2

23

1.4 ECUACIONES RACIONALES DE PRIMER GRADO 1 2 1 𝑥− = 2 3 5 1 2 3 1 2 𝑥− + = + 2 3 3 5 3 1 3 + 10 𝑥= 2 15 1 13 𝑥= 2 15 𝑥 = 2. ( 𝑥=

13 ) 15

26 15

Una ecuación es racional cuando los coeficientes y los términos constantes son números racionales.

24

TALLER 4 De los ejercicios del 1 al 6 al resolver las siguientes ecuaciones.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

En los puntos 7 al 9 realizar los ejercicios de aplicación de las ecuaciones

7. El salario básico de un profesor es de $40 por hora, pero recibe un tanto y medio de esta cuota por cada hora cuando rebasa las 40 horas por semana. Si el cheque que recibe es de $2 800, ¿cuántas horas de tiempo extra trabajó durante la semana?

8. Se desea repartir $210 en monedas de $20, $10 y $5, de tal forma que el número de monedas de cada denominación sea el mismo. ¿Cuántas monedas se necesitan de cada denominación?

9. Se tienen 18 onzas de una mezcla de agua hervida y leche de fórmula al 20%. Si se desea una mezcla al 15% de leche de fórmula, ¿cuántas onzas de agua hervida hay que agregar?

25

2. INTERVALOS REALES 2.1 INTERVALOS. Es un conjunto entre dos números reales específicos llamados límites o extremos del intervalo. Un intervalo real se representa de la siguiente forma:

a

b

Extremo inferior

Extremo superior

Observacion: la ley de tricotomía es una propiedad de algunos conjuntos ordenados, por la cual todos sus elementos son comparables entre sí. Simbologia

Nombre

>

Mayor que

<

Menor que

≥

Mayor o igual que

≤

Menor o igual que

26

2.2 TIPÓS DE INTERVALOS

27

3. DESIGUALDADES E INECUACIONES. 3.1 DESIGUALDADES Una desigualdad es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Puede ser el caso que una cantidad sea menor que (<), menor que o igual a (≤), mayor que (>) o mayor que o igual a (≥) otra cantidad. Ejemplos: 3>2 8≤9 5<8 Propiedades de Desigualdades

3.2 INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la cual aparecen términos desconocidos llamados incógnitas. Solucionar una inecuación es encontrar los valores de reales que satisfacen la desigualdad o inecuación. Ejemplos:

28

Inecuación

Inecuación

Intervalo de la desigualdad

Intervalo de la desigualdad

29

TALLER 1. Dados −7 < −3 , determine la desigualdad obtenida si a. se suma 5 a ambos lados b. se resta 4 de ambos lados c. ambos lados se multiplican por d. ambos lados se multiplican por

2. Dados 4 > −5, determine la desigualdad obtenida si a. se suma 7 a ambos lados b. se resta _5 de ambos lados c. ambos lados se dividen entre 6 d. ambos lados se dividen entre

3. Exprese la desigualdad como intervalo y trace su gráfica. a. 𝑥 < −2 b. 𝑥 ≥ 4 c. −2 < 𝑥 ≤ 4 d. 3 ≤ 𝑥 ≤ 7 e. 5 > 𝑥 ≥ −2

4. Exprese el intervalo como desigualdad en la variable x. a. (−5,8] b. [−4, −1] c. [4, ∞) d. (−∞, −4) e. [0,4]

30

2.3 SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO. Para solucionar una inecuación lineal o de primer grado se utilizan las propiedades de las desigualdades.

7 7 (− , ∞) = {𝑥 ∈ ℛ| − < 𝑥 < ∞} 3 3 Ejercicios: resuelve las desigualdades: a. 𝑥 + 2 > 1 b. 4𝑥 − 3 ≤ 2𝑥 + 5

2.4 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Propiedades del valor Absoluto

31

Ejemplo 1:

(2.5, 3.5) = {𝑥 ∈ 𝑅|2.5 < 𝑥 < 3.5}

Ejemplo 2:

(−∞, −6) ∪ (3, ∞) a. |2𝑥 + 5| < 4 b. |7𝑥 + 2| > −2

32

TALLER 4 1. Resuelva la desigualdad y exprese las soluciones en términos de intervalos siempre que sea posible. a.

b.

c.

d.

e.

f.

2. Resuelva la desigualdad, y exprese las soluciones en términos de intervalos siempre que sea posible. a. −5 ≤

4−3𝑥 2

<1

b. 𝑥 − 1 ≥ 0 c. 4 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 6 2−3𝑥

d. |

5

|≥2

e. 2|−11 − 7𝑥 | − 2 ≥ 1 3. Ejerció de aplicación: Un fabricante de lámparas vende exclusivamente a mayoristas en su sala de exhibición. Los gatos generales, incluyendo salarios, costos de planta y renta de la sala, son de $600.000. Si cada lámpara se vende en $168.000, y el material utilizado en su producción cuesta $44.000, ¿Cuántas lámparas deberán producirse y venderse cada semana para que el fabricante obtenga utilidades?

33

1. SISTEMAS COORDENADOS Son marcos de referencia para analizar y representar eventos de distintos índoles, como son los matemáticos, físicos, químicos, economicos, sociales, etc. i.

MARCO DE REFERENCIA EN UNA DIMENSIÓN (RECTA REAL)

Es una línea, que representa el valor o intervalos de valores y se llama recta real.

I.

MARCO DE REFERENCIA EN DOS DIMENSIONES (PLANO CARTESIANO) Es un plano formado por dos rectas reales llamadas ejes, los cuales son perpendiculares y generalmente se representan variable

es

como una

𝑥 𝑒 𝑦. Cada

dimensión, así

escribimos ℝ2 o bidimensional.El plano bidimensional o ℝ2 es la región formada por el conjunto de puntos o parejas ordenadas (x, y) ℝ2 = {(𝑥, 𝑦)/ (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}

Abscisa Ordenada

34

1.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

1.2 PRODUCTO CARTESIANO Cuando se tienen dos conjuntos diferentes a vacío, en este caso 𝐴 𝑦 𝐵, se define el producto, denotado como 𝐴 × 𝐵, de la siguiente forma: 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵} Ejemplo: hallar el producto cartesiano de 𝐴 × 𝐵 𝑦 𝐵 × 𝐴 𝐴 = {1, 2, 3} 𝑦

𝐵 = {𝑎, 𝑒}

𝐴 × 𝐵 = {(1, 𝑎), (1, 𝑎)(2, 𝑎), (2, 𝑒), (3, 𝑎), (3, 𝑒)} 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 1), (𝑎, 2)(𝑎, 3), (𝑒, 1), (𝑒, 2), (𝑒, 3)}

35

2. RELACIONES Y FUNCIONES 2.1 RELACIÓN Si A y B son conjuntos no vacíos, con 𝐴 , 𝐵 ∈ ℝ, entonces cualquier subconjunto de 𝐴 × 𝐵 se denomina relación. Ejemplo: 𝑅 𝑒𝑛 𝐴 × 𝐵, 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = {1, 2} 𝑦 𝐵 = {4, 5, 6} 𝐴 × 𝐵 = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6)} 𝐴 × 𝐵 ⊇ 𝑅 = {(1,4)(2,5)

A

B

4 1 5 2 6

Ejercicio: Encontrar todos los elementos del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 y armar o definir tres relaciones del producto cartesiano y graficarlas, con los conjuntos 𝐴 = {2, 3, 4, 5}; 𝐵 = {8, 10}

2.2 FUNCIÓN Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una correspondencia que asigna a cada elemento x de A exactamente un elemento y de B. Nota: Una función es una relación que asocia un elemento de A, con un único elemento de B.

36

Ejemplos:

37

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN El Dominio; son todos los posibles valores que admite la variable independiente (Abscisa) 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑥 El Rango; son todas las imágenes de los elementos del dominio. 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )/ 𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 ∈ 𝑋 Ejemplo:

38

TALLER 5 1. De los siguientes enunciados marque con una F si es falso o con una V si es verdadero: a. Toda función es una relación, pero no toda relación es función

( )

b. Una relación es un subconjunto de un producto cartesiano

( )

c. Una función son todas las parejas ordenadas de un producto cartesiano

( )

d. Un producto cartesiano es un conjunto de parejas ordenadas sin orden

( )

2. Los conjuntos A y B, están conformados de la siguiente forma: 𝐴 = {2, 3, 4,5}; 𝐵 = {8, 10} a. Realizar el producto cartesiano de 𝐴 × 𝐵 𝑦 𝐵 × 𝐴. b. Graficar las parejas ordenas de cada producto cartesiano en el plano (plano cartesiano). c. Determinar una relación de 𝐴 × 𝐵, que a su vez sea función, y 𝐵 × 𝐴 que sea relación y no función

3. Determinar en cada caso, si el conjunto de parejas ordenadas corresponde a una función del conjunto X en el conjunto Y (𝑓: 𝑋 → 𝑌). Justifique su respuesta a. 𝑋 = {1,2,3,4,5}

𝑌 = {0,1,2,3,4,5}

𝑝𝑎𝑟𝑒𝑗𝑎𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 ℎ = {(1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0)} b.

𝑋 = {1,2,3,4,5}; 𝑌 = {2,4,26,8} 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑗𝑎𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑔 = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

c. 𝑋 = {1,2,3,4,5}

𝑌 = {5,10,15,20,25}

𝑝𝑎𝑟𝑒𝑗𝑎𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑓 = {(1,5), (1,10), (2,15), (3,20), (4,25), (5,25)} 4. 𝑠𝑒𝑎 𝑀 = {0,1,2,3,4,5,6} 𝑦 𝑁 = {0,2,4,6,8,10,12,14}, determinar si cada conjunto corresponde a una función de M en N (𝑓: 𝑀 → 𝑁). Justifique cada respuesta. a. 𝐶 = {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), (6,12)} b. 𝐶 = {(0,0), (2,2), (4,4), (6,5)} c. 𝐶 = {(0,0), (1,2), (2,14), (0,8), (4,8), (5,10), (6,12)}

39

1. FUNCIONES POLINÓMICAS Son funciones que tienen la forma 𝑝(𝑥 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 +. … … . +𝑎𝑛 𝑥𝑛 , donde 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 . … … +𝑎𝑛 , son números reales.

Nota: el dominio de las funciones polinómicas son los números reales. 𝑓: ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) = 𝑝(𝑥 ), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝(𝑥 )𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜.

1.1 FUNCIÓN CONSTANTE Se

llama

función

constante

a

aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma 𝑓 (𝑥 ) = 𝑘, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ

40

1.2 FUNCIÓN LINEAL Es una función de la forma 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) = 𝑚𝑥 se conoce como una función lineal, donde m es su pendiente o la razón de cambio de 𝑦 respecto a 𝑥. Su grafica es una línea recta que pasa por el origen.

1.3 FUNCIÓN AFÍN A LA LINEAL La función lineal afín se define por la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 se llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. su grafica no pasa por el origen y 𝑏 ≠ 0.

Ejemplo 1: dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3, realizar   

La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Graficar la función. ¿Qué tipo de función es?

Ejemplo 2: dada la función 𝑓(𝑥) = 4, realizar   

La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Graficar la función. ¿Qué tipo de función es?

Ejemplo 3: dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥, realizar   

La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Graficar la función. ¿Qué tipo de función es?

41

1.4 DEFINICIÓN DE PENDIENTE Sea 𝑙 una recta que no es paralela al eje 𝑦 y sean 𝑝1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑝2 (𝑥2 , 𝑦2 ) puntos distintos en 𝑙. La pendiente m de 𝑙 es 𝑦2 − 𝑦1 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 Si 𝑙 es la paralela al eje 𝑦, entonces la pendiente no está definida

Solución

42

43

1.5 FORMA DE PUNTO PENDIENTE PARA LA ECUACIÓN DE UNA RECTA. Una ecuación para la recta que pasa por el punto (𝑥1 , 𝑦1 ) con pendiente m es 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )

44

1.6 ANÁLISIS DE GRAFICAS Analiza la situación y contesta las preguntas de la 1 a la 5 Una sucursal de la compañía de viajes Brasilia S.A, abre a las 6 a.m. y cierra a las 6 p.m. Se ido contando el número de personas que hay en el interior de la sucursal en el tiempo que dura abierto. Los datos se han representado en la siguiente gráfica:

1. ¿Cuántas horas permanece abierto el sucursal? 2. ¿Qué variable se ha representado en el eje de las abscisas (x)? 3. ¿Qué variable se ha representado en el eje de las ordenadas (y)? 4. ¿Entre qué horas la gráfica es constante? 5. ¿Cuántas personas hay en el sucursal cuando lleva diez horas abierto? 6. ¿a qué hora hay más personas en el sucursal?

45

TALLER 6 1. En cada caso hallar la imagen perdidas. a. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 6;

cuando x vale 𝑓 (3) 𝑓(−4) 𝑓 (9)

b. 𝑔(𝑥 ) = 5;

cuando x vale 𝑔(4) 𝑔(−5) 𝑔(2)

c. ℎ(𝑥 ) = −𝑥 + 6; cuando x vale ℎ(2) ℎ(−2) ℎ(4) d. 𝑓 (𝑥 ) = −𝑥 + 8;

cuando x vale 𝑓 (−8) 𝑓 (5) 𝑓 (12)

2. Dada la función 𝑓 (𝑥 ) = 4𝑥, realizar: a. La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 b. Graficar la función. c. Encontrar su dominio y su rango d. ¿Qué tipo de función es?

3. Dada la función 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 3, realizar a. La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 b. Graficar la función. c. Encontrar su dominio y su rango. d. ¿Qué tipo de función es?

4. Dada la función 𝑓 (𝑥 ) = 2, realizar: a. La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 b. Graficar la función. c. Encontrar su dominio y su rango d. ¿Qué tipo de función es?

46

Analiza la situación y contesta las preguntas de la 5 a la 14 El éxito que queda en el centro comercial Gran Plaza del Sol, abre a las 10 de la mañana hasta las 10 de la noche. Se ido contando el número de personas que hay en el interior del supermercado en el tiempo que dura abierto. Los datos se han representado en la siguiente gráfica:

5. ¿Cuántas horas permanece abierto el supermercado? 6. ¿Qué variable se ha representado en el eje de las abscisas (Eje X)? 7. ¿Qué variable se ha representado en el eje de las ordenadas (Eje Y)? 8. ¿Cuántas personas entran al abrir el supermercado? 9. ¿Entre qué horas la gráfica es constante? 10. ¿Cuántas personas hay en el supermercado cuando lleva seis horas abierto? 11. ¿A qué hora hay más personas en el supermercado? 12. En el tramo de dieciséis a diecinueve horas la gráfica es: 13. En el tramo de trece a catorce horas la gráfica es: 14. En el tramo de veinte a veintiún horas la gráfica es:

47

1.7 FORMA GENERAL PARA LA ECUACIÓN DE UNA RECTA La gráfica de una ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 es una recta y, recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

48

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Conjunto Solución: Una solución al sistema corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que al remplazarlas en las ecuaciones se satisface la igualdad. Expresaremos las soluciones de un sistema de ecuaciones como pares ordenados (x, y) según sea el caso.

2.1 MÉTODO GRÁFICO (INTERCEPCIÓN DE DOS RECTAS) Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico debemos de: 4𝑥 + 3𝑦 = 22 Sea el sistema: { 2𝑥 + 5𝑦 = 18 Primero, se despeja la incógnita y para escribirlo en la forma de una ecuación principal, como sigue: 𝐿1 ∶ 𝑦 = – 3𝑥 + 4 𝐿2 𝐿2 : 𝑦 = 2𝑥 – 1 Para trazar las rectas, se asignan dos valores distintos a 𝑥, 𝑦 se calcula el correspondiente valor de y, en cada caso. Se marcan estos dos puntos en el plano cartesiano. Luego, se traza la recta que pasa por estos dos puntos, y se repite el procedimiento para la otra ecuación. En este caso, en la primera ecuación, si 𝑥 = 0, entonces 𝑦 = 4, esto corresponde al punto 𝐴(0, 4). Por otro lado, si 𝑥 = 2, entonces 𝑦 = – 2, que corresponde al punto 𝐵(2, – 2). De la misma manera, en la segunda ecuación, si x = 0, entonces y = –1; esto corresponde al punto 𝐶(0, – 1). si 𝑥 = 2, entonces 𝑦 = 3, que corresponde al punto 𝐷(2, 3). Con esto se pueden graficar ambas rectas como lo muestra el siguiente grafico Las rectas se intersecan en el punto 𝐸(1, 1). Entonces, 𝑥 = 1, 𝑦 = 1 es solución del sistema. Ejemplos Resolver los siguientes ejercicios por medio del método gráfico. 𝑥−𝑦 =1 1. { 𝑥+𝑦 =7 5𝑥 + 2𝑦 = 16 2. { 4𝑥 + 3𝑦 = 10

49

TALLER 7 Resolver los siguientes ejercicios por medio del método gráfico. 𝑥+8= 𝑦+2 1. { 𝑦−4= 𝑥+2 2𝑥 + 5𝑦 = 29 2. { 4𝑥 + 7𝑦 = 99 4𝑥 + 5𝑦 = −32 3. { 3𝑥 − 5𝑦 = 11 2𝑥 − 4𝑦 = 5 4. { 𝑥−𝑦 =6 𝑥+𝑦 = 9 𝑥 − 𝑦 = −1 { 5. 𝑥 − 2𝑦 = −6 2𝑦 − 𝑥 = −4 6. { 𝑥 − 𝑦 = 1 4𝑥 − 5𝑦 = 7 3𝑥 − 2𝑦 = −9 7. { 2𝑥 + 𝑦 = 1 𝑥 − 2𝑦 = −13

50

2.2 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Ejemplo: Resolver el sistema

𝑃𝑎𝑠𝑜 1 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑥, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 1 − 𝑦. 𝑃𝑎𝑠𝑜 2 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑥 = 1 − 𝑦, 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 − 𝑦 = 1 (1 − 𝑦) − 𝑦 = 1 𝑃𝑎𝑠𝑜 3 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟: (1 − 𝑦) − 𝑦 = 1 1 − 2𝑦 = 1 1 − 1 = 2𝑦 0 = 2𝑦, 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 = 0. 𝑃𝑎𝑠𝑜 4 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎, 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑜 1, 𝑥 = 1 − 𝑦. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 1 − (0) 𝑥 = 1. 𝑃𝑎𝑠ó 5 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠: 𝑥 = 1 𝑦 = 0 El método de sustitución trabaja de la siguiente manera: i.

De la primera ecuación se despeja una incógnita, digamos x.

ii.

Se sustituye la incógnita despejada en la segunda ecuación.

iii.

Se reduce la segunda ecuación, y se encuentra el valor de y.

iv.

Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuación del paso 1, y se encuentra x.

Es posible cambiar de incógnita. Ejemplos: 2𝑥 + 5𝑦 = 29 1. { 4𝑥 + 7𝑦 = 99

4𝑥 + 5𝑦 = −32 2. { 3𝑥 − 5𝑦 = 11

3. {

2𝑥 − 4𝑦 = 5 𝑥−𝑦 =6

51

TALLER 8 Resolver los siguientes ejercicios por medio del método sustitución. 3𝑥 + 2𝑦 = 2 1. { 2𝑥 + 𝑦 = 3 𝑥 − 𝑦 = −1 2. { 2𝑥 − 3𝑦 = 5 𝑥+𝑦 =1 3. { 𝑥−𝑦 =1 𝑥−𝑦 =1 4. { 𝑥+𝑦 =7 5𝑥 + 2𝑦 = 16 5. { 4𝑥 + 3𝑦 = 10

Ejercicios de aplicación 6. Un hombre rema ocho millas en un río contra corriente durante dos horas y de regreso hace una hora. Encuentra las velocidades de la corriente y del hombre remando en aguas tranquilas.

52

2.3 MÉTODO DE IGUALACIÓN Ejemplo: Resolver el sistema

𝑃𝑎𝑠𝑜 1 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎 𝑥, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑥 = 1 − 𝑦 𝑥 = 1 + 𝑦 𝑃𝑎𝑠𝑜 2 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟: 1 − 𝑦 = 1 + 𝑦. 𝑃𝑎𝑠𝑜 3 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟: 1 − 𝑦 = 1 + 𝑦 0 = 2𝑦 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 = 0. 𝑃𝑎𝑠𝑜 4 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎, 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑜 1, 𝑥 = 1 − 𝑦. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 1 − (0) = 1. 𝑃𝑎𝑠𝑜 5 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠: 𝑥 = 1 𝑦 = 0 El método de igualación trabaja de la siguiente manera: i. Despejamos de ambas ecuaciones una incógnita, digamos x. ii.

Igualamos ambos despejes.

iii.

Despejamos, entonces a y de la ecuación obtenida del paso anterior.

iv.

Obtenemos a x, al sustituir y, en cualquier ecuación obtenida del paso 1.

Ejemplos: 𝑥+8= 𝑦+2 1. { 𝑦−4= 𝑥+2

𝑥+𝑦 =2 2. { 3𝑥 + 𝑦 = 8

3. {

3𝑥 − 4𝑦 = 1 4𝑥 − 2𝑦 = 8

53

TALLER 9 Resolver los siguientes ejercicios por medio del método igualación. 2𝑥 + 4𝑦 = 20 1. { 8𝑥 − 2𝑦 = 8 4𝑥 − 3𝑦 = −1 2. { 2𝑥 − 2𝑦 = 2 4𝑥 + 2𝑦 = 9 3. { 2𝑥 − 𝑦 = 3 5𝑥 − 𝑦 = 4 4. { 𝑥+𝑦 = 2 6𝑥 + 𝑦 = 20 5. { 𝑥 − 2𝑦 = −1

Ejercicios de aplicación 6. El cuádruplo de un número excede en seis al triple del otro; mientras que el óctuplo del primero es 22 unidades menos que el séptuplo del segundo. Determina ambos enteros.

54

2.4 MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN Ejemplo: Resolver el sistema

𝑃𝑎𝑠𝑜 1 𝑂𝑏𝑠é𝑟𝑣𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎𝑠 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑖 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 2𝑥 = 2, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1. 𝑃𝑎𝑠𝑜 2 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑥 = 1, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎: (1) + 𝑦 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 = 0. 𝑃𝑎𝑠𝑜 3 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠: 𝑥 = 1 𝑦 = 0 El método de igualación trabaja de la siguiente manera: i.

Se observan las ecuaciones, si tenemos los “mismos” 𝑥, (𝑦) en la primera que en la segunda con signo contrario, si no, entonces buscamos un número real tal que al multiplicar una ecuación por ese número r obtengamos los mismos 𝑥, (𝑦) en ambas ecuaciones con signo contrario.

ii.

Observación: si multiplicamos una ecuación por un número real 𝒓, la solución del sistema no cambia.

iii.

Posteriormente sumamos ambas ecuaciones, y así reducimos nuestro sistema a una sola ecuación con 𝑥 𝑜 𝑦.

iv.

Despejamos ese 𝑥 𝑜 𝑦

Ejemplos: 𝑥 + 4𝑦 = 5 1. { 𝑥 − 2𝑦 = −1

𝑥+𝑦 = 2 2. { 2𝑥 − 𝑦 = 1

3𝑥 − 4𝑦 = −10 3. { 4𝑥 + 𝑦 = 12

55

TALLER 10 Resolver los siguientes ejercicios por medio del método Eliminación. 𝑥 − 2𝑦 = 1 1. { 3𝑥 + 3𝑦 = 12 𝑥−𝑦 =3 2. { 𝑥 − 6𝑦 = −2 4𝑥 + 2𝑦 = 9 3. { 2𝑥 − 𝑦 = 3 𝑥+𝑦 =3 4. { 5𝑥 − 3𝑦 = 7 5𝑥 + 2𝑦 = 7 5. { 4𝑥 − 6𝑦 = −2

Ejercicios de aplicación 6. Guillermo invirtió parte de su dinero al 22% y el resto al 15%. El ingreso por ambas inversiones fue de $3,000.00; si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso hubiera sido de $2,940.00. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?

56

2.5 MÉTODO DE CRAMER (DETERMINANTES) Ejemplo: Resolver el sistema

𝑃𝑎𝑠𝑜 1 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 ∆𝑠 1 1 | = (1)(−3) − (1)(2) = −3 − 2 = −5 ∆𝑠 = | 2 −3 𝑃𝑎𝑠𝑜 2 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑋, 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 ∆𝑥 3 1 | = (3)(−3) − (1)(1) = −9 − 1 = −10 ∆𝑥 = | 1 −3 𝑃𝑎𝑠𝑜 3 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑌, 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 ∆𝑦 1 3 | = (1)(1) − (2)(3) = 1 − 6 = −5 ∆𝑥 = | 2 1 𝑃𝑎𝑠𝑜 4 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥, 𝑦 𝑥=

∆𝑥 −10 = =2 ∆𝑠 −5

𝑦=

∆𝑦 −5 = =1 ∆𝑠 −5

Solución del sistema es (2,1)

Ejemplos: 𝑥 + 2𝑦 = 2 2. { 𝑥 − 𝑦 = −4

𝑥+𝑦 =2 2. { 𝑥 − 2𝑦 = −1

3. {

𝑥−𝑦 = 4 2𝑥 + 𝑦 = 14

57

TALLER 11 Resolver los siguientes ejercicios por medio del método Cramer. 𝑥−𝑦 = 1 1. { 3𝑥 + 3𝑦 = 9 2𝑥 − 𝑦 = 5 2. { 3𝑥 − 6𝑦 = 3 4𝑥 + 2𝑦 = 8 3. { 2𝑥 − 2𝑦 = −2 𝑥+𝑦 = 9 4. { 𝑥 − 𝑦 = −1 𝑥 + 2𝑦 = 10 5. { 4𝑥 − 6𝑦 = 12

Ejercicios de aplicación 6. Si a una solución de ácido al 20%, se agrega otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40% de ácido. ¿Cuántos galones de ácido se tienen de cada solución?

58

1. FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. Su grafica es una parábola. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, 𝑎𝑥 2 es el término cuadrático; 𝑏𝑥 es el término lineal; 𝑐 es el término independiente 𝑎>0

𝑎<0

Máximo

Mínimo Cóncava 𝐷𝑜𝑚 𝑓: ℝ

Convexa 𝐷𝑜𝑚 𝑓: ℝ

4𝑎𝑐 − 𝑏2 4𝑎𝑐 − 𝑏2 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓: ( ,( ∞) 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑓: (−∞, ) Ejercicio: Dada la función 4𝑎 𝑓 𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 2, realizar: 4𝑎

59

Ejercicio: Dada la función 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 2, realizar: 

La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3



Graficar la función.



Encontrar su dominio y su rango



¿Qué tipo de función es? Y

X

-X

-Y

60

El eje de simetría viene dado por la recta: 𝑥 =

−𝑏 2𝑎

El vértice de la parábola tiene por abscisa: 𝑥0 =

−𝑏 2𝑎

La ordenada la determinaremos sustituyendo este valor 𝑥0 en la función. Los puntos de cortes o raíces con el eje de las abscisas vienen dado por los siguientes métodos de solución de ecuaciones cuadráticas.

2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea porque nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:  Factorización Simple  Completando el Cuadrado  Fórmula Cuadrática

61

2.1 FACTORIZACIÓN SIMPLE: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación 𝑥 2 + 2𝑥 – 8 = 0 𝑎 = 1 𝑏 = 2 𝑐 = −8 (𝑥

) (𝑥

) = 0

[𝑥 · 𝑥 = 𝑥2]

( 𝑥 + ) (𝑥 − ) = 0 (𝑥 + 4 ) (𝑥 – 2) = 0 4𝑦 –2

4 + −2 = 2

4 ∗ −2 = −8

𝑥 + 4 = 0

𝑥– 2 = 0

𝑥 + 4 = 0 ∨ 𝑥– 2 = 0 𝑥 = 0– 4 ∨ 𝑥 = 0 + 2 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 2

𝐸𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.

2.2 COMPLETANDO EL CUADRADO En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4𝑥 2 + 12𝑥 – 8 = 0 4 4 4 4

4

62

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0

[Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8

[ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1

=8+1

x2 + 2x + 1 = 9 (

) (

) =9

Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±

x+1= ±3 x = -1 ± 3

[Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3

x = -1 – 3

x=2

x = -4

63

3. FORMULA CUADRÁTICA Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma:

.

Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de

que cumplen con la

expresión, si es que existen. Para resolver estas ecuaciones existe una formula llamada ecuación general de segundo grado, que sirve para hallar las raíces de la abscisa si existen, y viene dado por 𝑥 =

𝑥1 =

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

−𝑏 + √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥2 =

−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

Son (𝑥1 , 0) y (𝑥2 , 0) los puntos de corte con el eje de las abscisa y el eje de la ordenada viene dado por (0, 𝑐)

Ejemplo: dada la ecuación cuadrática 𝑥 2 − 6𝑥 + 5, graficar la ecuación y estudiarla mediante: a. Es cóncava o convexa ¿Por qué? b. Hallar el eje de simetría y dibujarlo c. Hallar el vértice de la función cuadrática d. Encontrar las raíces de la función utilizando la formula general y los puntos de corte con el eje de la abscisa e. Hallar el punto de corte con el eje de la ordenada.

64

TALLER 12 1. En cada caso hallar la imagen perdidas. a. 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 5; b. ℎ(𝑥 ) = 𝑥 2 − 𝑥 + 6;

cuando x vale 𝑔(4) 𝑔(−5) 𝑔(2) cuando x vale ℎ(2) ℎ(−2) ℎ(4)

2. Dada la función Dada la función 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 4𝑥 + 5, realizar: a. La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 b. Graficar la función. c. Encontrar su dominio y su rango d. Es cóncava o convexa ¿Por qué? 3. Dada la función Dada la función 𝑓 (𝑥 ) = −2𝑥 2 + 3𝑥 + 1, realizar: a. La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 b. Graficar la función. c. Encontrar su dominio y su rango d. Es cóncava o convexa ¿Por qué? 4. Dada la función Dada la función 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 2, realizar: a. La tabla de valores de la función con -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 b. Graficar la función. c. Encontrar su dominio y su rango d. Es cóncava o convexa ¿Por qué? 5. Ejemplo: dada la ecuación cuadrática 𝑥 2 − 4𝑥 + 4, graficar la ecuación y estudiarla mediante: a. Es cóncava o convexa ¿Por qué? b. Hallar el eje de simetría y dibujarlo c. Hallar el vértice de la función cuadrática d. Encontrar los puntos de corte con el eje de la abscisa e. Hallar el punto de corte con el eje de la ordenada.

65

6. Dada la gráfica mencione: a. ¿Cuál es su punto de simetría? b. ¿Cuáles son los puntos que cortan al eje x? c. ¿Dónde es creciente y donde es decreciente la gráfica? d. ¿Cuál es su dominio y su rango? e. ¿y mencione si es cóncava o convexa? Justifique su respuesta

66