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COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS DE ARMADO PARA EL ANALISIS SISMICO NO LINEAL

CONCRETO

Curso organizado para el 20 CONIC 2018 por CIPLIMA Capítulo de Ingeniería Civil

MODULO 1 Mario E. Rodríguez, Abril 11, 2018 MODULO 1. COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE MATERIALES EN CONCRETO REFORZADO, DIAGRAMAS ESFUERZO–DEFORMACIÓN 1.1 DIAGRAMAS ESFUERZO–DEFORMACIÓN DE CONCRETO NO CONFINADO Y CONFINADO (MODELOS DE MANDER. PARK Y PRIESTLEY).

1.1.1 CONCRETO NO CONFINADO MODULO DE ELASTICIDAD DEL CONCRETO Y DEFORMACIÓN εc, EL módulo de elasticidad del concreto, Ec, es un parámetro relevante para el cómputo de diferente respuestas de un elemento estructural de concreto reforzado. Existen diversas propuestas para el cómputo de este parámetro. Por ejemplo el ACI 318-14 especifica para concretos con peso específico, wc, entre 1440 y 2560 kg/m3: E c  w c1.5 0.043

fc,

(MPa)

(1)

Para concretos de peso normal el ACI 318-14 especifica E c  4700

fc,

(MPa)

(2)

Carrasquillo et al. (1981) han propuesto para concretos de peso normal: E c  3320

fc,  6900  

MPa

(3)

En México recientemente se ha efectuado ensayes de cilindros de concreto en compresión para conocer las características de las curvas esfuerzo-deformación de concretos producidos en el país. La Fig 1 muestra resultados de mediciones de Ec para concretos producidos en diversas regiones de México, así como resultados de los valores calculados con el ACI 31814, Ec (2); NTCCR 2017 (México) y Carrasquillo et al. (1981), Ec (3).

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2   

Figura 1- Módulos de elasticidad de concretos medidos en México y calculados Deformación εc, La deformación del concreto sin confinar en compresión correspondiente a f’c , εc, , ha sido estudiada por diversos autores. Por ejemplo, Collins y Mitchell (1991) han propuesto εc, 

fc, n     Ec n  1

 

 

 

 

(4)

 

(5)

donde para concretos de peso normal n  0.8 

fc,     17

 

 

 

f’c en la ec (5) está en MPa De Nicolo, Pani y Pozzo (1994) evaluaron resultados experimentales para concretos entre 10 MPa y 100MPa, y propusieron la siguiente expresión para εc, : εc,

fc,  0.00076  [(0.626 *  4.33)*10 7 ]0.5     f

(6)

en la Ec (6) f*= 1 MPa y f’c está en MPa Una aproximación simplificada de estos resultados para f’c entre 20 MPa y 80 MPa es: εc, 

50 , 5000   fc  3 3

 

 

 

 

(7)

donde f’c está en MPa.

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3   

La Fig 2 muestra valores de εc, medidos en los ensayes comentados para la Fig 1, así como los valores correspondientes calculados con las expresiones anteriores. Se aprecia que la expresión aproximada de De Nicolo et al. (1994) es la que mejor se ajusta a los resultados medidos.

Figura 2. Valores de medidos en ensayes en México y valores calculados.

Concretos con intervalos amplios de resistencias La Fig 3 muestra curvas esfuerzo-deformación de concreto no confinados con resistencias f’c aproximadamente igual a 34, 58 y 76 MPa, producidos con agregados calizos (Carrasquillo et al., 1981). Se nota que el incremento en la resistencia del concreto produce una caída de la curva esfuerzo-deformación más brusca, es decir el comportamiento es más frágil, además, la Fig 3 mmuestra que el valor de εc, aumenta con f’c.

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4   

Figura 3. Curvas típicas de concretos con diferentes resistencias f’c (adaptado de Carrasquillo et al., 1981)

CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN DEL CONCRETO EN COMPRESIÓN SIN CONFINAR En el estudio de estructuras de concreto reforzado es necesario definir la curva esfuerzodeformación del concreto confinado y sin confinar, fc - εc. La Fig 4 muestra una curva típica esfuerzo deformación del concreto sin confinar expresada en forma adimensional con la relación fc/f’c para los esfuerzos, y εc/ε’c para las deformaciones, donde fc y εc son el esfuerzo y deformación del concreto en cualquier punto de la curva, f’c es la resistencia en compresión especificada del concreto, y ε’c es la deformación del concreto cuando éste alcanza el valor f’c.

Figura 4. Curva esfuerzo-deformación del concreto sin confinar La Fig 4 muestra la curva esfuerzo-deformación para el concreto no confinado propuesto por Park y Paulay (1975). En ella se aprecia que para esfuerzos menores que f’c la curva es una del tipo cuadrática, cuya expresión es igual a: Mario E. Rodriguez, Curso Analisis no lineal, 20CONIC 2018, Abril 2018   

5   

fc 

fc,

 2 ε  ε 2   ,c   c,      εc  εc  

 

 

 

(8)

Si se define el módulo de elasticidad del concreto, Ec, como la pendiente de la curva de la Fig 3 cuando c =0, Ec sería igual a la derivada de la Ec (8) cuando c =0, lo que lleva a: Ec  2

fc,   εc,

 

 

 

 

 

(9)

El valor experimental de Ec se obtiene (ACI 318-14) como la secante de la curva esfuerzodeformación al punto de la curva don del esfuerzo es 0.45 f’c. La Ec (9) indica que la deformación εc, para el modelo de curva esfuerzo-deformación propuesto por Park y Paulay (1975) queda expresada por: εc,  2

fc,   Ec

 

 

 

 

 

(10)

Se define el modulo secante Esec, como se muestra en la Fig 5, y se expresa como: E sec 

fc,   εc,

 

 

 

 

 

(11)

De las ecs (9) y (11) se encuentra que para el caso en estudio Ec=2Esec.

Figura 5 Curva-esfuerzo deformación del concreto sin confinar (Park y Paulay, 1975) Para la zona de la curva de la Fig 5 con deformaciones mayores que εc, , Park y Paulay (1975) sugieren una línea recta que termina en la abscisa cu=0.0038 para un esfuerzo fc=0.85f’c, ver Fig 5. Mander et al. (1988) propusieron una expresión para la curva esfuerzo-deformación para concreto confinado con refuerzo transversal. Para el caso sin confinamiento esta expresión se expresa como: Mario E. Rodriguez, Curso Analisis no lineal, 20CONIC 2018, Abril 2018   

6   

fc 

fc, x r   r  1  xr

 

 

 

 

(12)

 

 

 

 

 

(13)

Ec     E c  E sec

 

 

 

 

(14)

donde x

εc    εc,

y r

La Fig 6 muestra resultados del ensaye a compresión de un cilindro de concreto fabricado en la Ciudad de México, donde f’c =34.6 MPa. Esta Fig también muestra los resultados del modelo de Park y Paulay (1975) antes descrito, para la parte no lineal de este modelo se emplea la Ec (8) con el valor medido εc, =2,050 . Se aprecia que este modelo da en este caso una buena predicción de los resultados experimentales, particularmente en la parte no lineal de la curva.

Figura 6. Curvas esfuerzo-deformación de un cilindro de concreto ensayado en compresión en México, medida y calculadas.

Para aplicar la Ec (12) de Mander et al. (1988) al caso en estudio, se obtuvo de los resultados experimentales para Ec el valor 35,400 MPa, y para Esec con la Ec (11) se encontró el valor 34.6 MPa/2,050µε = 16,865 MPa (µε son unidades de microdeformación=10-6). Con estos valores la Ec (14) lleva a r = 1.91. Los resultados de emplear la Ec (12) para este caso se muestran en la Fig 6. La predicción de la curva en la parte no lineal no es mejor que la obtenida con la expresión de Park y Paulay (1975) pero en la zona descendente de la curva la Ec (12) de Mander et al. (1988) se acerca más a los resultados experimentales que empleando el modelo de Park y Paulay (1975). Mario E. Rodriguez, Curso Analisis no lineal, 20CONIC 2018, Abril 2018   

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REFERENCIAS 1. Park, R y Paulay, T., (1975), Reinforced Concrete Structures, John Wiley & Sons, Inc. 2. Mander, J.B., Priestley, M.J.N., y Park, R. (1988), “Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete”, Journal of Structural Engineering, Vol 114, No8, Agosto, pp 1804-1826. 3. Carrasquillo, R., Nilson, A.H., y Slate, F.O. (1981), “Properties of High Strength Concrete Subject to Short-Term Loads”, ACI Journal, Vol 78, No3, Mayo-Junio, pp 171-178. 4. Collins, M. y Mitchell, D., (1991), “Prestressed Concrete Structures”, Prentice Hall, USA. 5. De Nicolo, Pani, L., y Pozzo, E., (1994), “Strain of concrete at peak compressive stress for a wide range of compressive strengths”, Materials and Structures, 27, pp 206-210

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1.1.2 CONCRETO CONFINADO La Fig 1 muestra un elemento de concreto sometido al esfuerzos de compresión f’cc y en sus caras laterales sometido a los esfuerzos de confinamiento fl, generalmente en aplicaciones prácticas se cumple fl  0.3 fc, . Como resultado de este confinamiento se tiene fcc,  fc, .

Figura 1 Confinamiento en un elemento de concreto Richart et al. (1928) efectuaron ensayes en compresión de cilindros dentro de una cámara de aceite con una presión igual a fl , . Encontró que el fluido aportaba un confinamiento “activo”, es decir que fl , se mantenía constante desde el inicio de la carga axial en el cilindro. Este confinamiento es diferente que el denominado “pasivo”, como es el caso se zunchos o estribos cerrados, los cuales requieren la dilatación del concreto para que ocurra el confinamiento. Richart et al. (1928) encontraron que el esfuerzo de compresión fcc, y el de confinamiento fl , estaba relacionados por:

fcc, fl ,  1  kc , fc, fc

(1)

donde kc=4.1 La Fig 2 muestra la curvas esfuerzo-deformación que se obtendrían para concretos no confinado (línea llena) y confinado (línea punteada).

Figura 2. Curvas esfuerzo-deformación para concretos no confinado y confinado Mario E. Rodriguez, Curso Analisis no lineal, 20CONIC 2018, Abril 2018   

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MODELO DE MANDER et al. (1988)

Figura 3. Modelo de Mander et al. (1988) Mander et al. (1988) propusieron una expresión para fcc, / fc, , la que expresada en la forma de la Ec (1) lleva al siguiente valor de kc: kc 

2.25 fl , fc,

  f,  1  8 l,  1   2   fc  

(6)

En la Ec (6) fl , es el esfuerzo de confinamiento lateral efectivo, que resulta de considerar el volumen de concreto con confinamiento efectivo que se estudia más adelante. La Fig 4 muestra los resultados obtenidos para la relación fcc, / fc, empleando la Ec (1) de Richart et al. (1929) y los obtenidos con la Ec (6) en función de fl , / fc, . Se aprecia que los resultados obtenidos con la Ec (1) de Richart y los de la Ec (6) son semejantes.

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10   

2.5

f'cc / f'c

2 1.5 1 0.5 0

0.05

0.1

Richart

0.15 f'l /f'c

0.2

0.25

0.3

Mander

Figura 4. Resistencia calculada a compresión de un concreto confinado empleando las expresiones de Richart et al. (1929) y Mander et al. (1988). La expresión original para fcc' propuesta por Mander et al. (1988) es:

fcc'





fc'  1.254  2.254  

fl , fl ,  1  7.94 ,  2 ,    fc fc 

 

(6’)

Se puede demostrar que la ec (6) se deriva de la ec (6’). Para fines de diseño Mander et al. (1984) propusieron kc=5.5, lo que lleva a la siguiente expresión para fcc, :

fcc, fl , fl ,  1  5.5 , para ,  0.1 fc, fc fc

(7)

La Fig 5 permite comparar valores de kc propuesto por Richart et al. (1929), y los que se obtendrían con la Ec (6), y la aproximada de diseño Eq (7):

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Figura 5. Parámetro kc en los modelos de Richart et al. (1929) , Mander et al. (1988) y Mander et al. (1984) para la resistencia a compresión de un concreto confinado

La Figura 6 muestra resultados para la relación fcc, / fc, encontrados por Tanaka (1990) en ensayes en compresión de cilindros de concreto confinados con espirales de resistencia media (esfuerzo de fluencia de 161 a 316 MPa) y con espirales de alta resistencia (1151 a 1352 MPa). Estos resultados se comparan con los obtenidos empleando las Ec (1) y la Ec (6) de Mander et al. (1988). Se aprecia que la correlación entre estos resultados son aceptables.

Figura 6. Resultados de ensayes de cilindros de concreto con confinamiento (Tanaka, 1990) y predicción con expresión de Mander et al. (1988) Mario E. Rodriguez, Curso Analisis no lineal, 20CONIC 2018, Abril 2018   

12   

La expresión propuesta por Mander et al. (1988) para el esfuerzo del concreto confinado, fc, está dado por:: fc 

fcc, x r   r  1  xr

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

donde x

εc   εcc,

 

  f'  εcc,  εc, 1  5  cc'  1    fco  

(9)

(10)

y r

Ec     E c  E sec

 

 

 

 

(11)

 

 

(12)

donde de acuerdo con la Fig 3: E sec 

fcc,   εcc,

 

 

 

Se debe observar la analogía de este caso con la del concreto sin confinar. La expresión para fc de Mander et al. (1988) mostrada en la clase anterior para concreto no confinado se obtiene de la ec (8) haciendo en ella fcc'  fc'  y εcc,  εc, , de manera análoga para Esec en la ec (12).  Los modelos anteriores para el cómputo de la resistencia a compresión de secciones confinadas consideran que el confinamiento es el mismo en ambas direcciones, con el valor fl , , cuando se tiene confinamientos diferentes en las direcciones x y y de la sección confinada, con los valores efectivos de esfuerzos de confinamiento f’lx y f’ly, respectivamente, se puede emplear la gráfica de la Fig 7 (Mander et al., 1988). En esta Figura f’l1 es el menor de los esfuerzos f’lx y f’ly .Este caso de confinamiento diferente en las direcciones x y y ocurre generalmente en secciones rectangulares de elementos de concreto con estribos.

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13   

1

1.5

f’cc  / f’c

2

2.5

0.00 0.05

f'l2 = f'l1

f’l2  / f’c 

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0                                      0.1                   0.2           0.3

f’l1  / f’c

Figura 7. Resistencia a compresión de secciones confinadas para el caso de diferentes esfuerzos efectivos de confinamiento en las direcciones x y y (Mander et al., 1988). Ejemplo de uso de la Fig 7: Se tiene un concreto de f’c = 40 MPa, con esfuerzos de confinamiento fl'1 =2.8 MPa  y  fl'2 =6 MPa. Se desea saber el valor de fcc' empleando la Fig 7. Con estos valores se tiene

fl'1 fl'2 =0.07 y =0.15, y con ellos entrando en la Fig 7 se obtiene fc, fc,

fcc' =1.55. fc,

CILINDROS DE CONCRETO CONFINADOS CON BANDAS DE ACERO La Fig 8 muestra un cilindro de concreto confinado con bandas de acero, las bandas son de ancho s y área transversal Ab, con esfuerzo de fluencia fyh. Se estudia el aumento de la resistencia a compresión que se origina por este confinamiento.

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14   

Figura 8. Cilindro de concreto confinado con bandas de acero La Fig 9 muestra el diagrama de cuerpo libre de una sección del cilindro. Se considera que el diámetro de la sección de concreto confinado, ds, se mide a centros de las bandas, por lo que el área de concreto de la sección confinada, Acc, es :

Figura 9- Confinamiento en un cilindro de concreto

Acc  π

ds2 4

(13)

Del equilibrio se obtiene la presión de confinamiento: fl 

2 Ab fyh s ds

(14)

Definición de cuantía volumétrica del refuerzo de confinamiento en una columna circular (ρs) Mario E. Rodriguez, Curso Analisis no lineal, 20CONIC 2018, Abril 2018   

15   

El coeficiente ρs se define como la relación entre el volumen de confinamiento, Vconf, y el volumen del concreto confinado, Vcon:

ρs 

Vconf Vcon



π Ab ds 4 Ab  s ds π ds2 s 4

(15)

De las Ecs (14) y (15) fl 

ρs fyh

(16)

2

CONFINAMIENTO EFECTIVO EN SECCIONES CIRCULARES CONFINADAS CON ESTRIBOS CERRADOS

TRANSVERSALES

La Fig 10a muestra una sección transversal confinada de una columna circular, de diámetro h, con estribos cerrados y refuerzo longitudinal con área total Ast . La separación entre estribos medido a eje del estribo es s, y la distancia libre a cara de estribos es s’. Para deformaciones en compresión mayores que alrededor de 0.004, se pierde el recubrimiento de concreto y el área confinada es

ds2 Acc  π  Ast 4

(17)

La Fig 10b muestra una elevación de la columna en estudio, la que muestra la acción de arco en el confinamiento. Se supone que la forma de este arco es el de una parábola con una pendiente en su extremo de 45º, ver Fig 10b. Debido a este efecto el diámetro de la sección confinada, ds, se reduce a cada lado en la distancia s’/4, ver Fig 10b. Con estas consideraciones, el área efectiva de la sección confinada en una sección transversal a media altura entre estribos consecutivos, Ae, es, ver Fig 10b: 2

d2  s,  Ae  π s  1   4  2d s 

(18)

donde s’ es la distancia a claro libre entre estribos. La Fig 10c muestra las diferentes zonas de confinamiento en una columna circular.

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16   

(a)

(b)

(c) Figura 10. Confinamiento en columnas circulares con estribos cerrados

La carga efectiva que resiste la sección confinada, Pcc, se puede obtener como:

Pcc  fcc, Acc  fc, Acc  kc fl Ae

(19)

La que expresada en términos de esfuerzo es: fcc,  fc,  kc fl

Ae Acc

(20)

La relación Ae/Acc se conoce como coeficiente de confinamiento efectivo, ke: ke 

Ae Acc

(21)

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17   

Combinado las Ecs (17), (18) y (21) se tiene:

 s,  1   2d s   ke  (1  ρcc )

2

(22)

donde ρcc es igual a ρcc 

Ast Acs

(23)

donde Acs es el área definida por el diámetro ds. De las Ecs (20) y (21) se define el confinamiento efectivo fl , :

fl ,  ke fl

(24)

De las Ecs (16) y (24):

fl , 

1 ke ρs fyh 2

(25)

Referencias Mander, JB, Priestley, MJN, y Park, R. (1988), “Theoretical Stress-Strain Model for Confined Concrete”, Journal of Structural Engineering, Vol 114, No 8, pp1804-1826 Mander, JB, Priestley, MJN, y Park, R. (1984), “Seismic design of bridge piers”, Research Report No 84-2, University of Canterbury, New Zealand. Richart, FE, Brandtzaeg, A., y Brown, R.L. (1928) “A study of the failure of concrete under combined compressive stress”, Bulletin 185, University of Illinois Engineering Experimental Station, Champaign, Illinois. Tanaka, J. y Park, R. (1990), “Effect of Lateral Confining Reinforcement on the Ductile Behaviour of Reinforced Concrete Columns”, Report 90-2, University of Canterbury, New Zealand.

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1.2 CONFINAMIENTO EFECTIVO EN SECCIONES TRANSVERSALES DE COLUMNAS RECTANGULARES CONFINADAS CON ESTRIBOS CERRADOS La Fig 1 muestra un ejemplo de estribos cerrados permitidos por el ACI 318 en columnas rectangulares. Se aprecia que esta normativa permite dobleces alternados en extremos de ganchos con un ángulo de 90º, esta práctica no es recomendable, otras normativas como las de la CDMX especifican un ángulo mínimo del gancho de 135º.

Figura 1. Estribos y ganchos en columnas rectangulares de acuerdo con el ACI 318 La Fig 2(a) muestra una sección rectangular con estribos cerrados y ganchos. Se muestra para la sección transversal de la columna, el efecto de arco horizontal en forma de parábola, que se forma entre barras de refuerzo longitudinales que tienen restringido el desplazamiento lateral por el efecto de ganchos individuales, o de ganchos a 135º o esquinas de estribos cerrados. La Fig 2 (b) también muestra una elevación de parte de la columna, con el efecto del arco vertical, el que también se supone tiene forma de parábola, este efecto es del mismo tipo anteriormente comentado para columnas circulares. También la Fig 2(a) muestra en achurado de manera esquemática el efecto que resulta de la combinación del efecto de arco horizontal y vertical, lo cual llevaría a la formación del área efectiva de concreto confinado, Ae.

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19   

(a) Efecto de arco horizontal combinado con el efecto de arco vertical

b) Efecto de arco vertical Figura 2. Ilustración del efecto de arco horizontal y vertical en una sección confinada de una columna rectangular La Fig 3 muestra la sección transversal de una columna rectangular con un área de refuerzo longitudinal, Ast, con estribos cerrados y ganchos, las dimensiones de la sección confinada, medida a centros de estribos, son iguales a hx y hy, en las direcciones x y y, respectivamente. La distancia a cara de barras de refuerzo longitudinal con movimientos en el plano restringidos es wi, como en el caso de la columna circular, se forma una parábola con pendiente en uno de sus extremos igual a 45º, la que forma un área de concreto sin confinar 2 igual a  w i  / 6 .

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Figura 3. Areas confinadas en una columna rectangular con refuerzo transversal El área de la sección confinada, Acc, es :

Acc  hx hy  Ast

(1)

ó

Acc  hx hy 1  ρcc 

(2)

donde cc es la cuantía definida por la relación Ast / (hx hy) El área efectiva por el efecto de arco horizontal, Aeh, es:

wi, 

2

Aeh  Acc 

(3)

6

La ec (18) de la clase 2 era: 2

ds2  s,  Ae  π  1   4  2d s 

(4)

Si se toma en cuenta el efecto de arco vertical, este efecto reduce el área de manera análoga 2

 s,  a la reducción que da la Ec (4), pero en ella en lugar del término  1   , éste se  2ds 

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 s,   s,   reemplaza por el factor  1  1  . El área efectiva Ae se obtiene combinando este   2 2 h h x   y   factor del efecto de arco vertical y el efecto de arco horizontal dado por la Ec (3), lo que lleva a:

 Ae   hx hy   

wi, 

2

6

 ,  1  s   2hx 

 s,  1     2hy

  

(5)

EL factor ke se define como la relación entre Ae y Acc, con las Ec (2) y (5), lo que lleva a:

A 1 ke  e  Acc 1  ρcc



n  , 2    wi   , ,    1  i 1  1  s  1  s   6 hx hy   2hx   2hy     

 



(6)

La Fig 4 muestra que en secciones rectangulares con estribos y/o ganchos, la presión de confinamiento puede ser diferente en x y y. En el caso de la dirección y, la Fig 4 muestra la fuerza de tracción resistente de los estribos con área total Ashy en la cara de dimensión hx s es Ashy fyh , y la fuerza causada por la presión de confinamiento es fly hx s . Del equilibrio de estas fuerzas se tiene:

fly 

Ashy fyh hx s

(7)

Figura 4. Presión de confinamiento en una columna rectangular con estribos cerrados

Con un procedimiento análogo como muestra la Fig 4, en la dirección x se obtiene:

flx 

Ashx fyh hy s

Se definen la cuantías ρx y ρy : Mario E. Rodriguez, Curso Analisis no lineal, 20CONIC 2018, Abril 2018   

(8)

22   

ρx 

Ashx hy s

ρy 

Ashy hx s

(9)

(10)

De la combinación de las Ecs (7) a (10):

flx  ρx fyh

(11)

fly  ρy fyh

(12)

De acuerdo con la ec (24) el confinamiento efectivo fl , está dado por:

fl ,  ke fl

(13)

De las Ecs (11) a la Ec (13) se tienen los esfuerzos de confinamiento efectivos flx, y fly, :

flx,  ke ρx fyh

(14)

fly,  ke ρy fyh

(15)

donde ke está dado por la Ec (6). La cuantía volumétrica del refuerzo transversal en una columna rectangular con estribos, ρs , se define como:

ρs  ρx  ρy La Fig 5 muestra las áreas de concreto con confinamiento efectivo.

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(16)

23   

Figura 5 Confinamiento efectivo (Presland y Restrepo, 2001) La Fig 6 muestra figuras del confinamiento efectivo en 3D.

Figura 6. Vista en 3D del confinamiento efectivo (Moehle, 2015)

PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO PARA VALUAR LA EFICIENCIA DEL CONFINAMIENTO Existen otras propuestas para el factor Ke . Para una columna circular confinada de diámetro D y separación de estribos s se ha propuesto (Moehle, 2015): Ke  1 

s bc

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(17)

24   

Basado en el concepto de la Ec 17, la Fig 7 muestra valores de Ke para varias configuraciones y espaciamiento de refuerzo de confinamiento. Se debe observar que para la columna circular se está graficando la expresión lineal propuesta para Ke por Iyengar et al. (1970), quien encontró que cuando la separación de estribos en columnas circulares era aproximadamente igual al diámetro de las sección confinada de la columna, el confinamiento era prácticamente nulo. Este factor lleva a reducciones del confinamiento efectivo algo mayores que el que se obtendría con la siguiente expresión para Ke vista en la clase 2 para el efecto del confinamiento en columnas circulares:

 s,   1   2d s  ke   (1  ρcc )

2

(18)

Figura 7 Coeficiente de confinamiento efectivo en varios casos de columnas El coeficiente de confinamiento efectivo propuesto es

Ke 

nl  2  s  1   nl  bc 

(19)

nl es el número de barras longitudinales que tienen restricción de movimiento por esquinas de estribos o ramas. bc es el ancho de la sección confinada medida a exterior del refuerzo transversal. Por ejemplo para el caso de la quinta columna de la Fig 7, nl=4, y para la segunda columna nl=16, lo que para este último caso el confinamiento efectivo respecto al primer caso aumenta de manera considerable con un valor de 3.5 veces.

PROCEDIMIENTO DEL ACI 318-14

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25   

kf aumenta cuando f’c> 70 MPa Las expresiones (c) y (f) apareen por primera vez en 2014 en el ACI 318. Ach=bc dc (dimensiones de la sección confinada medida a exterior del refuerzo transversal)

Referencias Iyengar K.T., Desay, P., y Reddy, K.N. “Stress-Strain Characteristics of Concrete Confined by Steel Binders”, Concrete Research, V 22, No 72, 173-184. Presland, R., y Restrepo, J. (2001), “Seismic Performance of Retroffited Reinforced Concrete Bridge Piers”, University of Canterbury, Nueva Zelandia, Research Report 2001-3.

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26   

1.3 ACERO DE REFUERZO (MODELOS MONOTÓNICO Y CÍCLICO) INTRODUCCIÓN En estructuras de concreto reforzado es relevante conocer el comportamiento del acero de refuerzo, dado que es parte fundamental en la respuesta de un elemento de concreto reforzado a todo tipo de acción, particularmente en el caso de acciones sísmicas. En lo que sigue se evalúa este comportamiento tanto en el estado monotónico de cargas como en el caso cíclico típico de acciones sísmicas. Es necesario hacer énfasis en reconocer la variabilidad de las propiedades mecánicas del acero de refuerzo, lo que también se evalúa en esta sección. CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN DE ACEROS DE REFUERZO Es común que en los procedimientos de diseño de estructuras de concreto se considere que la curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo es del tipo elastoplástico, es decir se ignora las características reales de la curva esfuerzo-deformación del acero. Este es el caso del ACI 318-14 y anteriores. En esta normativa, para el diseño por capacidad de elementos de concreto reforzado en zonas sísmicas, se considera un incremento de la capacidad resistente a fluencia del acero, para lo cual se emplea el factor 1.25, con el fin de tomar en cuenta dos factores, la relación de la resistencia a fluencia medida a la especificada, así como el efecto cíclico de las cargas y el incremento de resistencia debido al endurecimiento por deformación. CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN MONOTÓNICA TÍPICA DE ACEROS DE REFUERZO

0

La Fig 1 muestra una curva esfuerzo-deformación típica de aceros de refuerzo considerando un comportamiento monotónico. Las zonas de esta curva son las siguientes: s

y

s

    , donde  es la deformación de la barra de refuerzo. Si el módulo de elasticidad del acero es Es, el esfuerzo en este intervalo de deformaciones es               (1)       Zona de fluencia: ocurre en el intervalo      , en el que  es la deformación del acero correspondiente al inicio de la zona de endurecimiento por deformación (Fig 1). El esfuerzo en esta zona se evalúa como    (2)

1) Zona elástica: ocurre en el intervalo

s

Es

fs

h s

h s

s

y

fy

fs

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27   

 

Figura 1. Curva esfuerzo-deformación monotónica típica de una barra de refuerzo

u s

2) Zona de endurecimiento por deformación: en el modelo que aquí se emplea se considera que la deformación última,  , es la correspondiente a la ruptura de la barra, y en modelo simplista que aquí se emplea se considera que corresponde al esfuerzo máximo alcanzado en la barra, . Esta zona se ubica en el intervalo hay una zona descendente de la curva      . En realidad a partir de esfuerzo-deformación; sin embargo, aquí se considera que esta zona no es de importancia. La curva esfuerzo-deformación de acero de refuerzo que aquí se comenta depende de la longitud en la que se mide el cambio de longitud. Por ejemplo el valor de la deformación su definida con la norma ASTM del tipo de barra que se ensaya en tracción sería la correspondiente a la fractura de la barra medida en la longitud de 200 mm como se aprecia en la Fig 2, identificada como caso B. Si las longitudes de medición son diferentes, como los casos A y C en la Fig 2, la forma de la curva esfuerzo-deformación cambia. Para propósitos de empleo de estas curvas, en adelante su se refiere al punto de la curva del caso en tracción correspondiente al inicio del decremento de la carga actuante en la barra. u

fs s u f

u s

s

h s

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28   

a) Longitudes de medición en barra

b) Curvas esfuerzo-deformación

Figura 2. Longitudes de medición de deformaciones en ensayes a tracción de barras y curvas correspondientes esfuerzo-deformación. MODELOS MATEMATICOS PARA COMPORTAMIENTO MONOTONICO DE ACEROS DE REFUERZO GRADO 420MPa

y

r



1

y

 

u s





1

u

fsf

Existen diferentes modelos para representar de manera analítica la curva esfuerzodeformación de barras de refuerzo en condición de carga monotónica, los que se describen en lo que sigue. a) Modelo de curva bilineal La Fig 3 muestra la curva bilineal de este modelo, para definir esta curva se requieren los parámetros fy, fsu, su, Es, η y r. En la parte inelástica de la curva, para s >y la pendiente de la recta es rEs. La ventaja de este modelo es que es sencillo, da resultados aceptables para s <ηsu , pero tiene el inconveniente que los esfuerzos inelásticos no son realísticos ya que son siempre crecientes, además que no representa bien la zona de fluencia constante. El parámetro r se pude definir como: (3)

El parámetro η está alrededor del intervalo 0.5 a 0.6.

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29   

Figura 3. Modelo bilineal

u

fs , fy

y

s

,s

s E r

Es

n i m

fs

b) Modelo trilineal La curva esfuerzo deformación de este modelo está dada por: ︵   ︶  ︶  ︵  (4)      

Este modelo, Fig 4, tiene la ventaja que es sencillo con mejor representación de la curva completa, pero como en el caso anterior no representa bien la zona de fluencia constante

Figura 4. Modelo trilineal

fy

s

     ︶       u s

h s

u s

︵ 

u fs

u fs

fs



P

c) Modelo de Mander (1983) La zona de endurecimiento por deformación se define mediante la expresión (Mander, 1983):  

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(5) 

30   



h

Es

fs s dd

h s

s

s

El parámetro P propuesto por Mander (1983) se define diferenciando la Ec (5) respecto a  y haciendo    , con lo que se obtiene

    

 

 

 

fy

h s

u

fs

u s

h

Es

P

(6) Donde Esh representa la pendiente de la curva al inicio de la zona de endurecimiento por deformación. Con las Ecs (5) y (6) se obtiene   (7)   Aun cuando la Ec (7) lleva a una buena correlación entre resultados experimentales y analíticos (Mander, 1983), un inconveniente del empleo de Esh es que variaciones pequeñas de valores experimentales que se empleen pueden llevar a cambios importantes en los valores de P, por lo que es más sencillo y con mejor precisión emplear los datos de un punto de la ︵  ︶ , con curva esfuerzo-deformación en la zona de endurecimiento por deformación lo cual empleando la Ec 5 se obtiene:   (8)      La inspección de las Ecs que definen fs en los diferentes intervalos de  para el modelo de Mander indican que hay cinco parámetros básicos que permiten definir fs y son: fy , fsu , εsh, εsu, Es, y P . Como P y Esh están relacionados, se podría usar Esh como sexta variable; sin embargo, por las razones arriba mencionadas se sugiere emplear P definido con la Ec (8).  

1 h

fs

s

,h 1

1

u

hfy fs

u

fsfs

g l

P

u s

1 h s

u s

h s

g l

s

PROPIEDADES EN TRACCION ESPECIFICADAS POR NORMATIVAS ACTUALES En Latinoamérica y Estados Unidos existen dos tipos de refuerzo, Grado 420 MPa, que son las empleadas para acero de refuerzo, y son las especificadas por las normas ASTM 615 y ASTM 706. La norma ASTM 615 corresponde a aceros con mayor contenido de carbono que los de la norma ASTM 706, son las que más se emplean, y son menos soldables que estas últimas. Las Tablas 1 y 2 muestran las propiedades en tracción mínimas especificadas por estas normas. El valor de su mínimo mostrado en estas Tablas se mide en una distancia de 200 mm y en ellas se expresan en porcentaje. Tabla 1 Propiedades mínimas en tracción especificadas por las normas ASTM 615 f su min (MPa)

620

f y min (MPa)

420

 su (%) min,  10 a 19mm

9

 su (%) min, 22 a 25mm

8

 su (%) min, 29 a 36mm

7

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31   

Tabla 2 Propiedades mínimas en tracción especificadas por las normas ASTM 706 f su min (MPa) 550*

f y min (MPa)

420

f y max (MPa)

540

 su (%) min, 10 a 19mm

14

 su (%) min, 22 a 36mm

12

*f su no debe ser menor que 1.25f y medido El ACI 318-14, como en versiones anteriores, permite el empleo de aceros Grado 420 MPa que cumplen las normas ASTM 615 y 706; sin embargo, tiene cambios importantes respecto a versiones anteriores. La principal limitación es que para emplear el acero producido con la norma ASTM 615, éste debe cumplir requisitos de deformación especificados por la norma ASTM 706 y mostrados en la Tabla 2. Además, si se emplea el acero de la norma ASTM 615, el ACI 318-14 especifica que el valor de fy medido no debe exceder el especificado en más de 125 MPa, y que la relación fsu/fy de valores medidos debe ser al menos 1.25. ACEROS DE REFUERZO PRODUCIDOS EN MEXICO En México se producen dos tipos de acero, equivalentes a los de la Norma ASTM, ASTM 615 y ASTM 706. El primero corresponde a la norma Mexicana NMX-B-506-CANACERO2011, y se produce con valores especificados de fy iguales a 412 y 510 MPa. El segundo tipo de acero, que se considera soldable, se usa poco en México y es el que sigue la Norma NMXB-457-CANACERO-2013, y se produce con valores de fy iguales a 412 y 550 MPa. VALORES TIPICOS DE LOS PARÁMETROS QUE DEFINEN LA CURVA ESFUERZODEFORMACIÓN DE BARRAS DE REFUERZO PRODUCIDOS EN MEXICO Rodríguez y Botero (1996) estudiaron un total de 100 probetas de barras de refuerzo, obtenidas de manera aleatoria del mercado nacional en 1993, y producidas para cumplir la norma ASTM 615. El estudio tuvo el objetivo de obtener los valores de los parámetros aquí descritos que permiten definir la curva esfuerzo-deformación monotonica. La Tabla 3 muestra los estadísticos encontrados para las barras de diámetros mayores que ½” (12.7mm), la clasificación en barras de diámetros grandes y pequeño se hizo considerando que se encontraron diferencias entre los estadísticos de ambas poblaciones. Tabla 3. ESTADÍSTICOS DE BARRAS ENSAYADAS

f y (MPa) X S CV Per 5% Per 95%

449 16.6 0.037 417 480

 sh 0.0088 0.0022 0.2490 0.0046 0.0130

f su (MPa) 734 19.5 0.027 698 772

 su 0.1171 0.0120 0.1020 0.0941 0.1401

 suu 0.1493 0.0809 0.5420

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P 3.474 0.2646 0.0760 2.966 3.982  

32     

En la Tabla 3 los parámetros X, S y CV corresponden a la media, desviación estándar y coeficiente de variación, respectivamente. El parámetro εsuu corresponde a la fractura del refuerzo medida en la distancia de 200 mm especificada por la norma ASTM 615. Se muestra además los percentiles 5% y 95%. La Fig 5 muestra la curva adimensional esfuerzo-deformación obtenida de resultados de ensayes a tracción a la ruptura de una barra de refuerzo de diámetro 1 ½” producida en México. La misma Fig 5 muestra la curva esfuerzo-deformación obtenida empleando la Ec (5) y los valores de los parámetros necesarios en esta expresión correspondientes a los valores medios mostrados en la Tabla 3. Se aprecia que la predicción de resultados es cercana a los medidos. 2 1.5

fs/fy

1 0.5 0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

 (mm/mm)  Experimental

Prediccion

 

Figura 5. Curvas adimensionales esfuerzo-deformación de una barra de refuerzo de diámetro 1 1/2” experimental y calculada COMPORTAMIENTO CICLICO REVERSIBLE DE BARRAS DE REFUERZO CON CONTENIDO DE CARBONO SEMEJANTES A LOS ESPECIFICADOS EN LAS NORMAS ASTM 615 Y 706 La Fig 6 muestra la curva esfuerzo-deformación de una barra de refuerzo producida para cumplir la norma ASTM 615y ensayada ante cargas axiales cíclicas reversibles, esta barra no pandeó porque su relación de esbeltez fue 2.5 (Rodriguez y Botero, 1998). Se observa que la zona de fluencia constante ocurre solo una vez, los ciclos posteriores ya no presentan esta zona, lo que se conoce con el nombre de efecto Bauschinger. El modelo analítico para representar este comportamiento es bastante complejo y ha sido descrito en detalle por Dodd y Restrepo (1995). Esto se debe a que los ciclos reversibles pueden ocurrir con diferentes escenarios, por ejemplo, ciclo reversible en la zona de fluencia constante, ciclo reversible en la zona de endurecimiento por deformación, ciclo reversible después de otro ciclo reversible.

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33   

ESFUERZO (MPa)

1500 1000 500 0

‐0.15

‐0.1

‐0.05

0

0.05

0.1

0.15

‐500 ‐1000 ‐1500 DEFORMACION

 

Figura 6. Curvas esfuerzo-deformación de una barra corta (relación de esbeltez 2.5) sometida a carga axial cíclica reversible (Rodriguez y Botero, 1998) La Fig 7 muestra el modelo bilineal para el caso de carga cíclica reversible.

Figura 7. Modelo bilineal para el caso de carga cíclica reversible Una manera de considerar de manera burda el efecto Bauschinger es el reducir los valores de la fluencia en las cargas después de la primera fluencia como se muestra en la Fig 8.

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34   

Figura 8. Valores de esfuerzos en la zona de carga después de la primera fluencia COMPORTAMIENTO DE BARRAS DE REFUERZO EMBEBIDAS EN CONCRETO. MODELO DE MENEGOTTO-PINTO (FILIPPOU et al. 1983). La Fig 9.1 (Filippou et al., 1983) muestra las envolventes de momento flexionante en un marco sometido a acciones sísmicas. En el nudo los momentos a caras de vigas son de signo contrario, Fig 9.2.a. La Fig 9.2b muestra el punto A de la curva momento-rotacion, en este punto las barras en tracción tienen deterioro de la adherencia del concreto, y se muestra con zonas sombradas en la Fig 9.2c. Al cambiar de signo de momento, se abren las grietas en las otras barras, Fig 9.2d, En el siguiente cambio de signo de momentos, al inicio del aumento de momento en el punto C, Fig 9.2.b, en el nudo a caras de viga, las grietas mencionadas no se cierran totalmente y existe ahora perdida de adherencia en todas las barras, lo que lleva a deslizamiento de la barra, lo que causa el adelgazamiento de la forma de la curva momentorotacion (pinching effect)

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35   

Figura 9 Comportamiento de un nudo ante acciones sísmicas El modelo de Menegotto-Pinto queda representado por la expresión:

 *  b * 

(1  b) * 1 R R *

1   

(9a )

donde

* 

  r o   r

(9b)

y

* 

 r o  r

(9c )

La ec (9a) representa un cambio de una línea recta con pendiente E0 (modulo de elasticidad) a una línea recta con pendiente E1 (pendiente de la zona de endurecimiento por deformación, Fig 10. Los parámetros σo y ε0 representan el esfuerzo y deformación donde se encuentran dos líneas asintóticas en el intervalo en consideración, punto A en la Fig 10. Los parámetros σr y εr representan el esfuerzo y deformación en el punto donde ocurre el ultimo semiclo reversible con igual signo de esfuerzos, punto B en la Fig 10. El parámetro b es la relación entre E1 y Eo. Los parámetros (ε0, σo) y (εr, σr) se actualizan después de cada deformación reversible.

Figura 10 Modelo de Menegotto y Pinto El parámetro R toma en cuenta el efecto llamado Bauschinger, depende de la diferencia de deformaciones entre el punto donde intersectan la última línea asintótica (punto A en la Fig

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36   

11) y el punto done antes ocurrió la deformación reversible (punto B en la Fig 11). R está dado por:

R  Ro 

a1  a2  

(10)

donde ξ se actualiza en una deformación reversible, Fig 11. Ro es el valor del parámetro R en la primera carga, y a1 y a2 se determinan experimentalmente.

Figura 11. Definición del parámetro R en el modelo de Menegotto-Pinto. La Fig 12 muestra un ejemplo de resultados del modelo de Menegotto-Pinto

Figura 12. Resultados del modelo de Menegotto-Pinto REFERENCIAS -Rodríguez, M, Botero, J.C.(1995). "Comportamiento sísmico de estructuras considerando propiedades mecánicas de aceros de refuerzo mexicanos". Revista Ingeniería Sísmica, Sociedad Mexicana de Ingeniería Sismica. 1995, No 49, pp 39-50. -Rodriguez, M., Botero, J.C (1996). "Aspectos del comportamiento sísmico de estructuras Mario E. Rodriguez, Curso Analisis no lineal, 20CONIC 2018, Abril 2018   

37   

de concreto reforzado considerando las propiedades mecánicas de aceros de refuerzo producidos en Mexico". Publicación de la series del Instituto de Ingeniería, No 575, Enero 1996. -Rodriguez, M y Botero, JC (1998). "Comportamiento de barras de refuerzo sometidas a cargas monotonicas y ciclicas reversibles incluyendo pandeo". Publicación de la series del Instituto de Ingeniería, No 610, Noviembre 1998. -Rodríguez, M, Botero, J.C. (1997) “Evaluación del comportamiento de barras de acero de refuerzo sometidas a cargas monotónicas y ciclicas reversibles incluyendo pandeo”. Revista Ingeniería Sísmica, Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica Vol 56, 9-27 -Norma Mexicana NMX-B-506-CANACERO-2011, “Industria Siderúrgica-Varilla corrugada de acero para refuerzo de concreto- Especificaciones y método de prueba. -Norma Mexicana NMX-B-457-CANACERO-2013, “Industria Siderúrgica-Varilla corrugada de acero de baja aleación para refuerzo de concreto- Especificaciones y método de prueba”. -Dodd, L. L., y Restrepo-Posada, J. I. (1995). ‘‘Model for predicting cyclic behavior of reinforcing steel.’’ J. Struct. Engrg., ASCE, 121(3), 433–445. -Mander, John (1983) , “Seismic Design of Bridges”, PhD Thesis, Department of Civil Engineering, University of Canterbury , New Zealand. Ramberg, W. and Osgood, W. R., “ Description of stress-strain curves by three parameters”. Technical Note No.902, National Advisory Committee for Aeronautics, Washington DC, 1943. Filippou, F. C., Popov, E. P., Bertero, V. V. (1983). "Effects of Bond Deterioration on Hysteretic Behavior of Reinforced Concrete Joints". Report EERC 83-19, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley.

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