Modul Psg (repaired).pdf

MODUL PSG

PERSAMAAN LINGKARAN Sekolah

: SMK Tunas Bangsa Tawangsari

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Semester

: XI/Gasal

Materi Pokok

: Persamaan Lingkaran

Alokasi Waktu

: 10 x 45 menit (5x tatap muka)

1. persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 Contoh soal 1: Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari – jari 4! Jawab : Karena r =4 maka r2=16 sehingga persamaan lingkarannya x2+y2= 16

Contoh soal 2: Tentukan panjang jari – jari lingkaran apabila diketahui persamaannya 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝟐𝟓 Jawab : Karena r2=25 sehingga r= 25 =5

2. persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :

(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 Contoh soal : Tentukan pusat dan panjangjari-jari lingkaran yang memiliki persamaan (𝑥 − 𝟑)2 + (𝑦 + 𝟏)2 = 𝟏𝟔 ! Jawab : Pusatnya adalah (3,-1) Karena r2=16 sehingga r= 16 =4’ Maka lingkaran tersebut memiliki pusat (3,-1) dan panjang jari-jari 4

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut : Persamaan Lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

𝒙𝟐 + 𝑨𝒙 +

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝑨 ² + 𝒚𝟐 + 𝑩𝒚 + 𝑩 ² + 𝑪 − 𝑨 ² − 𝑩 ² = 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 1 1 (𝑥 + 𝐴)2 + 𝑦 + 𝐵 2 2

2

=

1 2 1 2 𝐴 + 𝐵 −𝐶 4 4

Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran. 𝟏

𝟏

Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah 𝑷 − 𝟐 𝑨, − 𝟐 𝑩 dan jari – jari 𝟏

lingkaran 𝑹 =

𝟒

𝟏

𝑨𝟐 + 𝟒 𝑩𝟐 − 𝑪

Contoh soal : Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika persamaan lingkarannya adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 6 = 0! Jawab : A = 2, B = -6, C = -6 𝟏

-𝟐 𝑨 = -1/2. 2 = -1 𝟏

-𝟐 𝑩 = -1/2. (-6) =3 Maka pusatnya adalah (-1,3) Sementara panjang jari-jari lingkaran tersebut : 𝑹=

𝟏 𝟐 𝑨 𝟒

𝟏 𝟒

+ 𝑩𝟐 − 𝑪

=

𝟏 (𝟐)𝟐 𝟒

𝟏 𝟒

=

𝟏 𝟏 . 𝟒 + 𝟒 . 𝟑𝟔 𝟒

+ (−𝟔)𝟐 − (−𝟔) +𝟔

= 𝟏+𝟗+𝟔 = 𝟏𝟔 =4 Jadi pusat lingkaran tersebut (-1,3) dan panjang jari-jarinya 4

4. Definisi Garis Singgung Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. 5. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut: Persamaan Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Persamaan Garis Singgung 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟 2 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 (𝑦1 − 𝑏) = 𝑟 2 1 1 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 + 𝐴 𝑥 + 𝑥1 + 𝐵 𝑦 + 𝑦1 + 𝐶 2 2 =0

Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran. Contoh soal 1: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝟏𝟑 yang melalui titik (2,-3)! Jawab : Uji titik (2,-3) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 22 + 32 = 4 +9 = 13 Karena hasil 𝑥 2 + 𝑦 2 sama dengan r2 =13 maka titik tersebut terletak pada lingkaran. Dan karena terletak pada lingkaran maka rumus persamaan garis singgung dalam table berlaku : Persamaan garis singgungnya sebagai berikut : 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟 2 (x1=2, y1=-3) 2x +(-3) y = 13 2x -3y =13 Maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut 2x -3y =13 Contoh soal 2: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 41 yang melalui (4,2) Jawab : Uji titik (4,2) (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)2 = (4 + 1)2 + (2 + 2)2 = 52 + 42 = 25 +16 = 41 Karena hasil (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 2)2 sama dengan r2 =41 maka titik tersebut terletak pada lingkaran. Dan karena terletak pada lingkaran maka rumus persamaan garis singgung dalam table berlaku : Persamaan garis singgungnya sebagai berikut : 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 (𝑦1 − 𝑏) = 𝑟 2 (x1=4, y1=2)  𝑥 + 1 𝑥1 + 1 + 𝑦 + 2 (𝑦1 + 2) = 41  𝑥 + 1 4 + 1 + 𝑦 + 2 (2 + 2) = 41 5 𝑥 + 1 + 4 𝑦 + 2 = 41 5 𝑥 + 1 + 4 𝑦 + 2 = 41 5𝑥 + 5 + 4𝑦 + 8 = 41 5𝑥 + 4𝑦 + 5 + 8 = 41 5𝑥 + 4𝑦 + 13 = 41 5𝑥 + 4𝑦 + 13 − 41 = 0 5𝑥 + 4𝑦 − 28 = 0

Maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut 5𝑥 + 4𝑦 − 28 = 0 Contoh soal 3: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, 𝑥 2+𝑦2+2𝑥 + 4 𝑦 − 36 = 0 yang melalui (4,2)! Jawab : Uji titik (4,2) 𝑥 2+𝑦2+2𝑥 + 4 𝑦 − 46 = 42+22+2.4 + 4.2 − 36 = 16+4+8+8-36 = 36-36 =0 Karena hasil 𝑥 2+𝑦2+2𝑥 + 4 𝑦 − 46 sama dengan 0 maka titik tersebut terletak pada lingkaran. Dan karena terletak pada lingkaran maka rumus persamaan garis singgung dalam table berlaku : Persamaan garis singgungnya sebagai berikut : 1

1

𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 + 2 𝐴 𝑥 + 𝑥1 + 2 𝐵 𝑦 + 𝑦1 + 𝐶 = 0 (x1=4, y1=2) 1

1

 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 + 2 𝐴 𝑥 + 𝑥1 + 2 𝐵 𝑦 + 𝑦1 + 𝐶 = 0 1

1

1

1

 4𝑥 + 2𝑦 + 2 2 𝑥 + 4 + 2 4 𝑦 + 2 + 𝐶 = 0  4𝑥 + 2𝑦 + 2 2 𝑥 + 4 + 2 4 𝑦 + 2 − 36 = 0  4𝑥 + 2𝑦 + 𝑥 + 4 + 2 𝑦 + 2 − 36 = 0  4𝑥 + 2𝑦 + 𝑥 + 4 + 2𝑦 + 4 − 36 = 0  4𝑥 + 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑦 + 4 + 4 − 36 = 0 5𝑥 + 4𝑦 − 28 = 0 Maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut 5𝑥 + 4𝑦 − 28 = 0

6. Persamaan Garis Singgung Bergradien m Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah Persamaan Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2

Persamaan Garis Singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟 1 + 𝑚2 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 1 + 𝑚2

Contoh soal 1: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 yang memiliki gradien 2

Jawab : r2 = 5 maka r = 5 sedangkan m=2 Persamaan garis singgung lingkarannya adalah : 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟 1 + 𝑚2  𝑦 = 2𝑥 ± 5 1 + 22  𝑦 = 2𝑥 ± 5 5  𝑦 = 2𝑥 ± 5 Maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut y= 2x +5 dan y =2x - 5

Contoh soal 2: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 10 yang memiliki gradien 3! Jawab : r2 = 10 maka r = 10 sedangkan a=2, b=3 dan m=3 Persamaan garis singgung lingkarannya adalah : (𝑦 − 3) = 𝑚(𝑥 − 2) ± 𝑟 1 + 𝑚2  (𝑦 − 3) = 3(𝑥 − 2) ±

10 1 + 32

(𝑦 − 3) = 3(𝑥 − 2) ± 10 10  𝑦 − 3 = 3 𝑥 − 2 ± 10  𝑦 − 3 = 3𝑥 − 6 ± 10  𝑦 = 3𝑥 − 6 + 3 ± 10  𝑦 = 3𝑥 − 3 ± 10

𝑦 = 3𝑥 − 3 + 10

𝑦 = 3𝑥 − 3 − 10

 y = 3x +7

 y = 3x -13

Maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut y= 3x +7 dan y =3x - 13

7. Panjang Garis SInggung Persekutua Lingkaran Dalam Garis Singgung Persekutuan Dalam lingkaran dirumuskan sebagai berikut : GSPD = 𝑑 2 − (𝑅 + 𝑟)2

GSPD diilustrasikan sebagai berikut :

Gambar 1 : Ilustrasi GSPD

Garis Singgung Persekutuan Luar lingkaran dirumuskan sebagai berikut : GSPL = 𝑑 2 − (𝑅 − 𝑟)2

GSPL diilustrasikan sebagai berikut :

Gambar 1 : Ilustrasi GSPL

Contoh soal 1: Dua lingkaran memiliki jari jari 2 cm dan 1 cm. Sementara jarak pusat keduanya 5 cm, Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dan luarnya!

Jawab : GSPD =

𝑑2 − (𝑅 + 𝑟)2

=

52 − (2 + 1)2

25 − 32 = 25 − 9 = 16 = 4 cm

=

GSPD =

𝑑2 − (𝑅 − 𝑟)2

=

52 − (2 − 1)2

25 − 12 = 24 = 2.2.2.3 = 2 2.3 = 2 6 cm

=

Jadi panjang garis singgung persekutuan dalamnya 4 cm dan garis singgung persekutuan luarnya 2 6 cm

_____ALHAMDULILLAH SELESAI________