Modul Limit.pdf

Ringkasan Materi :

Tips Penyelesaian limit untuk x → a : i. setiap soal limit untuk x → a langkah pertama selalu ganti saja x dengan a, apabila hasilnya

Kasus I : x → a ( x mendekati bilangan tertentu ) ada 2 bentuk Bentuk I : lim x a

f ( x)  f ( a )

ada ( bukan

Contoh : ( 1 ). lim (2 x 2  4)  2.(2) 2  4  2.4  4  8  4  4

hasilnya

x 2

ii.

x 2  9 32  9 9  9 0 ( 2 ). lim    0 x 3 x  2 32 1 1

0 ) maka itulah hasilnya, dan jika 0

0 , maka adakan penyederhanaan. 0

Cara singkat yang dapat ditempuh jika

Secara singkat kita katakan bahwa limit - limit pada bentuk

0 adalah dengan cara menurunkan 0 1 1 Jadi lim f ( x)  lim f ( x)  f (a) dst

I adalah limit yang selesai cukup dengan disubtitusikan

Contoh :

Bentuk II :

f(a) =

x a

lim f ( x)  f (a)

lim

x a

x 3

Dalam bentuk ini

lim f ( x) tidak dapat dicari dengan

iii.

xa

mengganti ( mensubtitusi ) x dengan a, sebab nilai

0

1 9 6 1 Bentuk  9  , dan  6   0 0 0

0 adalah bilangan taktentu/ tak terdefinisi 0

menyederhanakan baik melalui faktorisasi atau

Bedakan antara bentuk – bentuk 0 , 0 , 0 1 9 6 dengan bentuk 1 , 9 ,  6 Bentuk 0  0  0  0 , tetapi

0

Untuk menyelesaikan langkahnya adalah dengan

x2  9 2x = lim  lim 2 x  2.3  6 x  3 x3 1 x3

0 0

f (a) akan berupa bilangan tak tentu ( yaitu 0 ) Ingat ! bahwa

x a

Kasus II : x → ∞ ( x mendekati tak hingga ) ada 2 bentuk Bentuk I :

mengalikan dengan sekawannya

lim ( ax 2  bx  c  px 2  qx  r ) x 

Untuk bentuk ini kita pakai saja cara praktis ,

Contoh :

( i ). Jika p  a, lim ( ax 2  bx  c  ax 2  qx  r ) = b  q

x2  9 lim x 3 x  3

x 

Pada soal ini apabila x diganti 3, maka hasilnya adalah :

32  9 9  9 0   yang merupakan bilangan tak tentu 33 0 0

2 a

( ii ). p  a, lim ( ax 2  bx  c 

px 2  qx  r ) = ∞

( iii ). p  a, lim ( ax 2  bx  c 

px 2  qx  r ) = - ∞

x 

http://matematrick.blogspot.com

x 

sebab

0 hasilnya bisa 1, bisa 2, 3, dll, dan ini bukan 0

Bentuk II :

jawaban, maka perlu diadakan penyederhanaan yaitu

Cara Praktis :

dengan proses faktorisasi

lim x 3

ax m  bx m1  ... x  px n  qx n 1  ...

lim

x2  9 ( x  3).( x  3)  lim  lim ( x  3)  3  3  6 x 3 x  3 x3 x3

( i ). Jika m = n, maka hasilnya =

a p

( ii ). Jika m < n, maka hasilnya = 0 Jadi

lim x 3

x2  9 =6 x3

( iii ). Jika m > n, maka hasilnya = ∞ Contoh Soal : 1.

 x 2  2 x  15   = .... lim  x 3 x3   a. -8

d. 2

b. -2

e. 8

c. 0

Penyelesaian : 2 Jelas jika x diganti -3 maka hasilnya = (3)  2.(3)  15 33

Paket Soal 18 : Kelompok x → a

= 9  6  15  15  15  0 0 0 0

1.

Maka harus disederhanakan atau turunkan saja :

 x 2  2 x  15  2x  2  = lim lim   2.(3)  2  6  2  8 x 3 x 3 1 x  3   Jadi jawabannya A.

2. Nilai

lim

x 

2.



 x( x  2) 

2x 2  8  .... x 2 x  2 lim

a.

-8

d. 4

b.

-4

e. 8

c.

-2

x 2  5x  6 =… x2  4

Lim x 2

x 2  2  .... a.



1 2

d.

1 4

b.



1 4

e.

1 2

a. ∞ b. 2 c. 1 c. 0

d. 0 e. -1

3. Nilai dari

Penyelesaian : Jelas ini kasus x→∞ bentuk I. Ubah soal menjadi :

lim

x 

 x( x  2) 



x 2  2 = lim

x 

Berarti ini kasus a = p, dengan b = 2 dan q = 0, dan a = p = 1 maka hasilnya adalah

=

x

2

 2x  x 2  2

20 2 1





2 1 2

2 a

4.

8 x 3  3x 2  5 3. lim  .... x  17  5 x  2 x 3

http://matematrick.blogspot.com

a.

1 3

d.

1 8

b.

1 6

e.

1 9

c.

1 7

Jadi jawabannya C

bq

a. -4

d. 4

b. -2

e. ∞

c. 0

5.

Penyelesaian :

  x 2  3x   .... lim  3 2 x 3 x  2 x  15 x   

x 2  2x  8 = .... x4

lim x 4

a.

-6

d. 2

b.

-2

e. 6

c.

0

x 2  5x  6 = .... x 1

Lim x 1

Ubah bentuk soal agar susunan suku – suku pada penyebut dari

a.

5

d. 15

x yang pangkatnya tertinggi :

b.

7

e. 18

c.

9

8 x 3  3x 2  5 8 x 3  3x 2  5 lim = x  17  5 x  2 x 3 x   2 x 3  5 x  17

 lim

Tampak bahwa ini kasus x→∞ bentuk II dengan m = n = 3, maka hasilnya

a p

=

lim

6. Nilai

8  4 2

x 3

3 7

a. 4

d.

b.

3

e. 1 7

c.

2

Jadi jawabannya A

7.

x3 = .... x  x  12 2

Lim x 1

(3x  1) 2  4 = …. x 2  4x  5

a.

0

d. 4

b.

∞

e. 8

c.

2

x2  9 = .... ( UN 2010 ) x 2  5x  6

lim

8. Nilai

x 3

d. 3 2

a. – 6 b. - 3 2 c.

14.

e. 6

b.

5 3 2

c.

5 3 3

limit  4 x 2  2 x  5  x a.

–2

b.



3 2

c.



1 2

d.

1 2

e.

3 2

0

3x  14 x  8 = .... ( UN 2011 ) x 2  3x  4 2

lim

9. Nilai

x 4

a. 4

d. – 2

b. 2

e. – 4

1 2

c.

e.

5 3 6

2 x  22  = .... 

Catatan : soal – soal nomor 1 s.d 7 dapat ditentukan dengan model penurunan.

15. Nilai

Kelompok x→∞

lim

10. Nilai

x



d. -2 12

b. -4 12

e. -2

a. –8

d. 2

b. –4

e. 4

a. -1



c.

1 3

d. 2

b. 0

e. ∞

http://matematrick.blogspot.com

 2x

Lim x 

17. Nilai

2



3 2

2

d.



3 2 4

b.

3 4

2

e.



4 2 3

3 2

Lim x 

a.

 3x

5 3

2

 5x



 3x 2  3 =… d.

5 3 4

Lim x 

4x 2  2x  1 = .... ( UN 2010 ) 3x 2  2

a.

4 3

d. 1 2

b.

3 4

e. 0

c.

3 5

 5x  8  2 x 2  2 x  1 = ….

a.

c. -

13.

e. 1

x 

c. 1

12.

d. 0

1 3

b.

Lim x 2  2 x  5  x 2  2 x  11 = .... a. -2

= ….

3  4x  x 2 16. Nilai Lim = .... x  3 x 2  2 x  3

1 2

-3

x

c. –2

 2 x  1  x  3x  2 adalah .... 2

a. -6 12

c.

11.

x 

2

lim x 2  2 x  3  ( x  3)





18. Nilai lim (5 x  1)  25 x  5 x  7 = …. ( UN 2011 ) x

2

a.

3 2

d. - 1 2

b.

2 3

e. - 3 2

c.

1 2