Modul-bahan-ajar.docx

MODUL MATEMATIKA KELAS X SEMESTER I BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

Oleh : Fitrotul ‘Aini 3214113074

APRIL 2013

Kata pengantar ‫بسم هللا الر حمن الر حيم‬

Segala puji bagi Alloh Rabb. Terimakasih atas segala kebaikan, taufiq dan hidayahnya yang mengantarkan penulis hingga terselesaikannya Modul Matematika ini, Bab Akar, pangkat dan trigonometri merupakan salah satu Bab yang harus dikuasai oleh siswa kelas x semester I,agar dapat mempelajari Bab selanjutnya. Karena mempelajari matematika itu bersifat kontinu,harus berkesinambungan dan terurut. Isi dari modul ini terdiri atas 3 Sub Bab yaitu Akar,Pangkat dan Trigonometri dan di lengkapi dengan contoh soal dan latihan-latihan soal untuk aktivitas siswa. Di sisipkan pula Ulangan Harian untuk mengecek seberapa jauh pemahaman siswa.

Dasar penyusunan modul ini adalah

standar isi 2006 (KTSP) dan Standar Kompetensi Lulusan Pendidikan Dasar dan Menengah. Yang sempurna hanya milik Alloh dan segala kekurangan hanyalah milik kita, maka Penulis menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan yang perlu diperbaiki, oleh karenanya saran dan kritik yang bersifat konstruktif sangat diharapkan agar dapat dilakukan perbaikan dalam penyusunan modul yang akan datang. Dan semoga modul ini berguna dan bermanfaat bagi para pembaca khususnya para siswa kelas x semester I. Amiin!

Blitar,

April 2013

Penulis

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

Standar Kompetensi : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat,akar, dan logaritma.

Kompetensi Dasar : 1.1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma. 1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat,akar dan logaritma.

Indikator : 

Mengubah bentuk pangkat negative ke pangkat positif dan sebaliknya.



Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional.



Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.



Mengubah bentuk pangkat kebentuk logaritma dan sebaliknya.

Tujuan pembelajaran : Setelah selesai pembelajaran siswa di harapkan dapat : a. mengubah bentuk pangkat negative kebentuk pangkat positif dan sebaliknya. b. Mengubah bentuk akar kebentuk pangkat dan sebaliknya. c. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional. d. Mengubah bentuk pangkat kebentuk logaritma. e. Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional

BAB I PENDAHULUAN

Deskripsi Dalam modul ini siswa dapat mempelajari tentang bilangan pangkat bulat positif, negatif, rasional, bentuk akar, merasionalkan penyebut, menentukan persamaan pangkat, dan menentukan nilai logaritma.

Prasyarat Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.

Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu siswa lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului

merupakan

prasyarat

untuk

mempelajari

materi

berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan

yang

ada.

Jika

dalam

mengerjakan

soal

menemui

kesulitan,kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. jika mempunyai kesulitan yang tidak dapat dipecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain,

anda

juga

akan

mendapatkan

pengetahuan tambahan.

Tujuan akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan siswa dapat :

 Menghitung bilangan pangkat bulat positif dan negative  Menghitung bilangan pangkat rasional  Menentukan bentuk akar  Merasionalkan penyebut  Menentukan persamaan pangkat  Menentukan nilai logaritma

BAB II PEMBELAJARAN

A. PANGKAT BULAT POSITIF, BULAT NEGATIF, DAN NOL  Pangkat bulat positif Apabila terdapat bilangan real a dan bilangan bulat positif, maka 𝑎𝑛 (bisa dibaca a pangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berulang sebanyak n faktor dari bilangan real a tersebut. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut : 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … .× 𝑎 × 𝑎 n faktor

Pada bilangan 𝑎𝑛 : a = bilangan pokok b = pangkat (eksponen) jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat : 1. 𝑎𝑝 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑝+𝑛 2. 𝑎𝑝 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑝−𝑛 3. (𝑎𝑝 )𝑞 = 𝑎𝑝×𝑞 4. (𝑎 × 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 × 𝑏 𝑝 𝑎 𝑝

𝑎𝑝

5. (𝑏 ) = 𝑏𝑝 , 𝑏 ≠ 0

Catatan :  Jika n=1 maka 𝑎𝑛 = 𝑎1 = 𝑎  Jika n = 0 maka : 𝑎0 = 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 ≠ 0 𝑎 = 0, maka 00 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖

 Pangkat bulat negatif Misalkan 𝑎 𝜀 𝑹 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎−𝑚 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑎𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎

1 a0  m  a 0m  a m m a a m Jadi a 

𝑎𝑚 =

1 atau am 1 𝑎 −𝑚

Contoh :

1. Sederhanakan (a3b6c4)2 Jawab: (a3b6c4)2 = a3.2b6.2c4.2 = a6b12c8 2. Tentukan nilai x dari persamaan eksponen berikut: 1 𝑥+1

(2)

= 64

Jawab : 1 𝑥+1 2

( )

= 64

2−1(𝑥+1) = 26

2−1𝑥−1 = 26 −𝑥 − 1 = 6 𝑥 = −1 − 6 = −7 3. Nyatakan dengan eksponen positif : 5 a. a 

b.

1 a5

12a 2 4b 5  2 3b 5 a

Latihan Soal!!! Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas! 1. Sederhanakan :





a. a 3 .b 4 .c 6 . a.b 3 .c 2  x 5 y 6 b.  3 2  x y

c.

  

3

2

5

27 p 5 q 3 9 p 6 q 4

 2  13  a b  d.  2   a  3 b 1    2.

  





3 2

Tentukan nilai dari : a. 643 25 1

1 3

64 .9

b.





3 2

2

64 3 .9 2

1 2

3.

4.

Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif a.

x 1  y 2 x  2  y 1

b.

a 2  a 1  a 0 a  4  a 3  a  2

Hitunglah :

3 4



2 3

1  3

16  8.16

27  6.27

1 2

5 3

B. BENTUK AKAR

Bentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah akar yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Contoh :

3 , 5 , 8 , dsb

Sifat-sifat bentuk akar :

ab  a . b

1.

2.

a a  b b

3.

a ( b  c )  ab  ac

4. m a  n a  (m  n) a 5.

m a  m b  m( a  b ) a. a  a

6.

m

7.

n

am  a n 1

8.

a  a2

9. √𝑎 + √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎𝑏

10. √𝑎 − √𝑏 = √(𝑎 + 𝑏) − 2√𝑎𝑏 Contoh : Sederhanakanlah : 1. 2 162  2 81.2  2.9 2  18 2 2. 108  48  36.3  16.3  6 3  4 3  10 3

5. 4 20  2 45  4 4.5  2 9.5  4.2 5  2.3 5  8 5  6 5 6. 4 6 ( 3  5 2 )  4 18  20 12  4 9.2  20 4.3  12 2  40 3 7. (3 2  6 )(3 2  6 )  (3 2 ) 2  3 12  3 12  ( 6 ) 2 = 18  6  12

 MERASIONALKAN PENYEBUTPECAHAN BENTUK AKAR 1. Pecahan Bentuk 𝑎

Bentuk

√𝑏

𝑎 √𝑏

dirasionalkan penyebutnya dengan cara baik pembilang

maupun penyebut di kalikan dengan √𝑏, sehingga diperoleh :

𝑎 √𝑏

=

𝑎

𝑥

√𝑏

√𝑏 √𝑏

=

𝑎√𝑏 𝑏

Contoh :

6 2



6 2

.

2 2

6 2 3 2 2



𝑎

2. Pecahan berbentuk 𝑏+ Pecahan bentuk

𝑎

√𝑐

𝑎 𝑏−√𝑐

dan 𝑏−

√𝑐

dapat di rasionalkan penyebutnya yang masih

mengandung akar dengan mengalikan pembilang n penyebut dengan sekawannya dari 𝑏 + √𝑐 yaitu 𝑏 − √𝑐 . Demikian bentuk dengan sekawannya 𝑏 + √𝑐 Contoh : 3

= 6+√3

3 (6+√3)

(6−√3)

× (6−√3) =

3. Pecahan Bentuk Contoh :

𝑎 √𝑏+√𝑐

3(6+√3) 36−3

dan

=

𝑎 √𝑏−√𝑐

3(6+√3) 6−√3) 33

=

11

𝑎 𝑏−√𝑐

dikalikan

6



5 2

6 5 2

.

5 2 5 2

6.( 5  2 ) 6.( 5  2 )   2.( 5  2 ) 52 3



 PANGKAT PECAHAN 1

1. Pangkat Pecahan Berbentuk 𝑎𝑛 Untuk a bilangan real dan n bilangan asli 𝑛 ≥ 2, maka berlaku: 1

𝑛

𝑎 𝑛 = √𝑎 Contoh : 1

3

53 = √5 𝑝

2. Pangkat pecahan berbentuk 𝑎 𝑞 𝑝

Pangkat pecahan berbentuk 𝑎 𝑞 dapat dinyatakan dengan bentuk akar yaitu sebagai berikut : 𝑝

𝑞

𝑎 𝑞 = √𝑎 𝑝 Contoh : 4

3

73 = √74 3. Mengubah pangkat pecahan negative menjadi pecahan positif Pangkat bulat negative dapat di ubah menjadi pangkat positif dan bentuk akar. Contoh : 2 3

𝑚 𝑥𝑛

−

3 4

2

=

𝑚3 3 𝑛4

3

=

√𝑚2

4

√𝑛3

Latihan soal!!! 1. Sederhanakan : a.

288

b. 75  50  32 c. 2 18  3 12  98 d. ( 7  3 2 )( 7  3 2 )

2.

Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

3 32 2 2 34 2 2 3 2 6

6 3 6 3 3. Diketahui a  5  3  2 dan b  2  5  3 Tentukan a.b 4. Carilah semua nilai x yang memenuhi persamaan-persamaan berikut

3x2  3 3x3 16x3  4 64x4 5. Sederhanakan dan tulis dalam bentuk akar : 

a.

1 2

a .b a 1 .b

2

3 2



b.

2 3

1 2

x .y x 2 . y 3

6. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB = AC = 8 2 dan BC = 8. Tentukan : a. tinggi segitiga dari titik sudut A b. Luas segitiga tersebut

C. LOGARITMA Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui ax=b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang berbentuk x = a log b a : bilangan pokok logaritma dengan a > 0, a  1 b : Numerus , b > 0 x : hasil penarikan logaritma Contoh : * 25 = 32 * 3-4 =

1 81

2

log 32 = 5

3

log

1 =-4 81

Sifat-sifat logaritma Bila a, b, c dan p bilangan real yang memiliki sifat a > 0, b > 0, p > 0 dan p  1, maka berlaku : 1.

p

log b = x ,maka px = b

2.

p

log ab = p log a + p log b

3.

p

log

4.

p

log an = n. p log a

5.

p

log a.a log b.b log c = p log c ; a  1, b  1

6.

a

log b =

p

7.

p

log x =

x

a p = log a - p log b b

p

8. a 9.

am

a

log x

log b log a 1 ; x 1 log p

x

log b n 

10. plog 1 = 0

n a . log b m

11.

plog

p=1

12.

plog

pn = n Contoh :

1. Sederhanakan :

4.12 2 = log 8 = 3 6

a.

2log

4 – 2log 6 + 2log 12 = 2log

b.

3log

4. 2log 125. 5log 81 = 3log 22. 2log 53. 5log 34 = 2. 3log 2. 3.2log 5. 4. 5log 3 = 2.3.4. 3log 2. 2log 5. 5log 3 = 24. 3log 3 = 24

c. 36

6

log 3

d. log 5 

 36

4

36

log 9

1  log 10

9

25

1  log 5 10 log 4 100 log 25 log 100

= log 5 + log 4 + log 5 = log 100 = 10 2. Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b Nyatakan dengan a dan b bentuk-bentuk berikut : 3=

24

32 =

32

a.

16log

b.

9log

1 1 log 3  .2 log 3  a 4 4 5 5 1 5 log 2 5  .3 log 2  . 2  2 2 log 3 2a

Latihan Soal!!!!!!! 1.

Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk logaritma!

a. 101  0,1 b. 16

 34

 18

c. 6 2  6 6 3

2.

Tentukanlah nilai x dari setiap persamaan berikut! 3

a.

2

b.

3.

2

3 4

b.

5

c.

log 321

log 169 log 5 5

Tentukan/sederhanakan nilai logaritma berikut! a.

6

log 4  6 log 9

b.

6

log 72  6 log 12

c. d.

5.

log 8  x

Hitunglah nilai dari: a.

4.

log 3  x

 x 1 a





log  x  1   x 1 log x 2  1

log x 4  3 a log x  7 a log x

Jika 8 log 5  p , tentukan nilai logaritma berikut ! a.

4

log 15

b.

2

log 5

Ujian Harian

Petunjuk!! 

Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar! 1

1. Bentuk sederhana dari

8𝑎8 𝑏 −3 𝑐 2 3

2𝑎3 𝑏 −2 𝑐 2

adalah………..

a. 4𝑎5 𝑏1 𝑐 −1 b. 4𝑎5 𝑏 −1 𝑐 −1 c. 2𝑎5 𝑏 −1 𝑐 −1 d. 2𝑎5 𝑏 −1 𝑐 1 e. 4𝑎 −5 𝑏 −1 𝑐 −1

 12  2  12  4

2. Nilai dari a. b. c.

adalah………

1 2 1 8 1 4

d. 2 e.

1 6

3. Hasil dari 2 28  3 63  5 112 adalah…………

a. 33√2 b. 33√3 c. 33√6 d. 33√7 e. 33√8 4. Bentuk sederhana dari a.

5 9

1

√3 + 9 √21

2 3 adalah………….. 5 7

b. c. d. e.

5 9

1

√3 − 9 √21

1

5

√3 + 9 √21 9 5

1

√21 + 9 √21 9

5 9

1

√3 + 9 √3

5. Nilai dari 𝑎 + 𝑏, 𝑗𝑖𝑘𝑎

√2−√3 √2+√3

= 𝑎√6 + 𝑏 adalah………

a. -5 b. -3 c. 2 d. 3 e. 5 6. Penyelesaian dari 2 x 2  64 adalah………… a. 4 b. 2 c. 6 d. -6 e. -4

1 7. Berapakah nilai x dari 4 x  2     16 

x2

……………………….

a. 4 b. 2 c. -4 d. 16 e. -2 1

8. Bentuk logaritma dari 84 = 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ … … … a. b. c. d.

1 4

x 1 4

8

log x = 8 1

log 8 = 4 log 8 = x 1

log x = 4

8

e.

1

log 4 = x

9. Nilai x yang memenuhi 3 log  19   x adalah……….. a. 3 b. 3−2 c. −2 d. 2−2 e. 2 27

10. Nilai dari a. b.

16

log 9 +

log 2 adalah…………………

1 4 1 2 7

c.

12

d. e.

8 12 11 12

Petunjuk!! Kerjakan semua soal berikut dengan singkat dan jelas!! 1

1

11. Jika 𝑎 = 8 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 243, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 3𝑎 3 × 2𝑏 5 =………………. 2

1

2

12. Nilai dari 27 × (64)2 + (81)4 = (27)3 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ…………….. 13. Bentuk

4 √3+√2

dapat disederhanakan menjadi………….

14. Hitunglah nilai dari

125

log 25 …………………………

15. Jika 4 log 3  p, 9 log8  q ,nyatakan logaritma berikut dalam p dan q. 2

log 3 

3

Catatan Guru

log 64

Nilai

Paraf Guru

Paraf Orang Tua

BAB III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, siswa berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah dipelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga. Tim penyusun modul siswa, 2010. Aspirasi, Surakarta : PT Widya Duta Grafika.