Modul 7 Matriks Dan Vector Xii Ipa

7. Siswa mampu memahami konsep yang berkaitan dengan aturan matriks dan vektor serta mengguna-kannya - 1 – dalam pemecahan masalah.

• •

Matriks Vektor

then must yath now’09

Matriks DEFINISI

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.

a b   c d 

A= 

Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A ORDO ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.

a b   c d 

A= 

⇒ ordo matriks A2x3

KESAMAAN MATRIKS Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika a. Ordonya sama b. Elemen-elemen yang seletak sama

Contoh :

2 2   4 4 dan B =    . Jika matriks A sama dengan 5 p + q 5 7 q + 3

Diketahuia dua matriks A = 

matriks B, hitunglah nilai p dan q ! AA==BB

2 2   4 4 5 p + q 5 7 q + 3   =  

⇒

5p + q = 7 ⇒ p = 1 q + 3 = 5 ⇒ q =2

Rasa takut hanya akan menghambat orang untuk maju

MATRIKS TRANSPOS Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.

-2–

then must yath now’09

ad   ⇒ b e At =     c f   3x2

a b c  Α=  d e f  2 x3

PENJUMLAHAN MATRIKS Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama). A

a b  c d   

B

A+B

 p q  = a + p b + q  r s  c + r d + s    

+

PENGURANGAN MATRIKS Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B. A - B = A + (-B)

A

+

a b  c d   

+

B

=

A+B

a + p b + q   p q =  c + r d + s r s    

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

a b  A=  c d 

k .a k .b  ⇒ k.A =    k .c k .d 

Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B

Amxn xBnxo = Cmxo

Aturan perkalian : Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu.

Contoh :

1.

a A= c

b x  dan B =    d y  -3–

then must yath now’09

a AxB =  c

b  x  ax + by  x  =   d   y  cx + dy 

2x2 2x1

=

1x1

2. [ abc]

1x3

 x  y    z 

= [ ax + by + cz ]

3x1

1x1

Ket : Perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB ≠ BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).

Determinan Matriks ordo 2 x 2 Jika

a A= c

b , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai |A| = ad – bc d 

Determinan Matriks ordo 3 x 3

a b  Jika A =  d e  g h

c a f  maka determinan matriks A didefinisikan sebagai : A = d i  g |A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb

b e h

c ab f de i gh

Keterangan: Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama. MATRIKS INVERS

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1).

a c

Jika A = 

b 1  d − b , maka A-1 =  d ad − bc − c a 

Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular. Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular. Sifat A . A-1 = A-1 . A = I Sifat-Sifat 1. 2. 3. 4.

(At)t = A (A + B)t = At + Bt (A . B)t = Bt . At (A-t)-t = A

-4–

then must yath now’09

5. (A . B)-1 = B-1 . A-1 6. A . B = C → |A| . |B| = |C| ax + by = p cx + dy = q

a b  c d   

+

ditulis

 x  p  y =  q     

Untuk menentukan himpunan penyelesaian, selain dengan metode eliminasi dan substitusi dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan matriks, yaitu :

1. Matriks AX = B , maka X = A-1 . B  x 1  d − b  p   y  = ad − bc − c a   q       2. Cara Determinan

Dx ————— = D

x=

pb qd —————— ab cd

Dy ; y = ———— = D

ap cq —————— ab c d 

Contoh :

 2 x + 3y = 9 . Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan 3x + 5y = 14

Diketahui sistem persamaan  cara determinan ! A. {1 , -7} B. {-7 , 1} C. {2 , 4}

D. {4 , 2} E. {-5 , 3}

Jawab :

x=

9 14

Dx = 2 D 3

3 5 3 5

y=

Dy D

=

2 9 3 14 2 3

3 5

-5–

x= ⇒

45 − 42 28 − 27 =3 y = =1 10 − 9 10 − 9

HP = {3, 1}

then must yath now’09

Yakinlah… Setiap anda belajar pasti akan menemukan sesuatu yang baru….

-6–

then must yath now’09

VEKTOR

-7–

then must yath now’09

Contoh : 1. Titik A(3 , 0 , 6) dan B(0 , 3 , -3), titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 2 maka koordinat titik P adalah .... A. (3 , 1 , 5) D. (1 , 2 , 3) B. (1 , 3 , 4) E. (3 , 2 , 1) C. (2 , 1 , 3) Jawaban C

p=

n. A + mB 2.( 3,0,6 ) + 1( 0,3,−3) ( 6,0,12) + ( 0,3,−3) ( 6 + 0 ) , ( 0 + 3) , (12 − 3) = = = = ( 2,1,3) m+n 1+ 2 3 3

SOAL LATIHAN MATRIKS

1. Diketahui

matriks

A

=

 a 4    2b 3c 

dan

B

=

 2c − 3b 2a + 1   . Nilai c yang memenuhi A = 2B adalah b + 7   a

a. -2

b. 3 c. 5

d. 8

e. 10

 − 6 9 − 15   dan B = 2. Diketahui matriks A =   3 − 6 12   2 −3 5    . Nilai k yang memenuhi A = kB adalah  − 1 2 − 4 .....

a. 3

b. -3 c. -1

d.

1 3

3. Diketahui matriks A = A2 adalah ......

 16  a. 1  4  − 16 b.  1   4

4  4  4  − 4 

e. -

1 3

− 4 2   1  − 2  . Hasil dari matriks   2 

c.

 17 − 12    − 3 5 

e.

 15 − 4     − 1 − 3

d.

 17 12     3 5

-8–

then must yath now’09

1 1 2 3    3 4. Hasil kali dari   4 5 6  5   22 28   64 28    a.  c.   49 64   49 22   22 49   b.   28 64 

2  4  =...... 6  d.

 x+ y

 2 8 18     4 15 30   1 4 6   e.   4 15 30 

5. Diketahui matriks A =   y

x   dan B = x − y 

6. Diketahui

1 x 2     1 0 − 1 . 2 4 1   

  1  − 2y

−

1  x 2 . 3 

Jika AT menyatakan matriks traspos dari A, maka persamaan AT = B dipenuhi untuk x = ........ a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2

matriks

A

=

Jika

matriks

merupakan matriks singular, maka nilai x adalah ..... a. -6 b. -4 c. 0 d. 4 e. 6

 2 x  1 − 2  , B =   dan C 7. Diketahui matriks A =   y 0 3 4   − 1 − 8  . Nilai x + y yang memenuhi AB = C =   1 − 2 adalah ..... a. -2 b.-1

8. Diketahui

c. 0 A =

d. 1

e. 2

 2 0   dan B =  0 2

 5 6   dan 7 8

pernyataan berikut : 1. A2 = 2A 2. AB = BA 3. AB = 2B 4. BAB = 2B2 Dari pernyataan tersebut yang benar ...... a. 1 dan 2 c. 1,2, dan 3 d. 1,2,3, dan 4 b. 1 dan 3 e. 2,3, dan 4

9. Diketahui matriks A = Hasil dari A2 + B = .....  4 14   5 − 2  a.  5 1 5  c.  2 6   4 

 − 28 14   − 3   4 

b.  5 1

− 4 2   1  − 2  dan B =   2 

 − 12 10   . 1   5

 5 22   8 6 

d. 

3 e.  4 

-9–

6   − 2 

then must yath now’09

10. Diketahui matriks

 4 3  x  12      =   .  3 2  y  7

Nilai x + y = ....... a. -11 b. 10 c. -5 d. 5

e. 11

11. Diketahui f(x) = x2 – 2x dan A = Nilai f(A) adalah .......

−1 a.  3  1 b.  − 3

0  0  0  0 

c.

 −1 0    0 3

d.

1 0   . 3 2  2 4   1 5  3 0  e.   −1 2

 2 3 5   x  adalah matriks 12. Bila matriks A =  4 6 1 − 2 0   singular, maka nilai x = ...... a. -10 b. 10 c. 5 d. 15 e. -5

13. Jika x memenuhi :

 x log a log(2a − 6)    =  log(b − 2)  1  

 log b 1   , maka nilai x = ..........  log a 1

a. 1 14.

b. 2

Nilai

x

c. 4

dari

d. 6

sistem

e. 8

persamaan

 3x + 2 y = 5  2 x − 3 y = 10

dinyatakan dalam matriks adalah ....... 3 5 −3 −2 5 3 2 10 −2 3 10 2 a. x = 3 2 c. x = 3 2 d. x = 3 2 2 −3 2 −3 2 −3

5

2

2

5

10 − 3 b. x = 3 2

− 3 10 e. x = 3 2

2 −3

2 −3

15. Sistem persamaan

 x− y=5 diselesaikan dengan  3x + y = 3

p 1 −1 menggunakan matriks untuk y = 3 1 a. -12 b. -2

c. 4

d. 8

Nilai p =

e. 18

- 10 –

then must yath now’09

TUGAS INDIVIDU 5  1. Jika A=  8 4  a. -4 b. -3

2. Matriks A=

 10  a.  − 1  12   5  b.  − 1 − 9   2  c.  − 15  7 

−1 5 −4 1 26 3 −3 1 8

2 6  3 9  , maka determinan A = ...... 1 7 

c. 3

d. 4

e. 5

1 2 0   . Matriks A’.A = ......  3 − 1 4 12   − 8 16 2     − 4  d.  − 3 9 23   12 8 − 4  16    0  48 − 23 − 12     7 3 −8 e.  8 − 2 1 11 9   9  0 − 4 

3. Hasil kali akar - akar persamaan

3x − 1 3 = 0 x+1 x+ 2

adalah ..... a.

−

2 3

b.

−

4 3

4. Diketahui A = adalah ......

 9  − 8 − 7 b.   60 8 c.   23 a.

−

c.

5 3

2 3

e.

4 3

1 2    . Hasil dari 2a2 – 4A + 5I 4 − 3  

− 4  17  30   − 67  4  12 

d.

5. Diketahui A=

d.

 − 14 60     120 − 134   − 13 52   e.   104 − 117 

1 3    dan matriks tak nol X  4 − 3

sedemikian sehingga AX = 3X. Matriks X = .....

 − 1  a.  3

 3 b.    2

c.

 − 2    5

- 11 –

1   d. 2 4

e.

then must yath now’09

 − 5    − 1  1 2   . Maka An = ..... 0 1  2n − 3n   1 2n    c.  d.   0 1 0 1    

6. Diketahui A=

 2n a.  1 b.

1  0 

 3n 1    0 1  

e.

 1 3n     0 − 1  

t − 4 0 0    t 2  . Jika P matriks  0  0 3 t − 1 

7. Diketahui P =

singular, maka nilai t yang memenuhi =.... a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0

a 8. Jika diketahui d g a. -18 b. -6

b e h

c. 6

c f = -6, adalah ..... i d. 18 e. 72

 x2 x 2    9. Jika matriks  2 1 1  singular, maka nilai x yang    0 0 − 5 memenuhi adalah .... a. -1 dan 3 c. -2 dan 1 b. 0 dan 2 d. 1 dan 3

10.

e. 0 dan -1

1   −1 d  4 − 5  2 − 1  2c   +   =     ,  − b 3 − 3 b   − 4 3   c a + 1

maka nilai a = .... A. –2 B.

−

C.

2 3

D. 2

4 3

E.

−

2 3

 x+y 2   2 -1   , dan  , B =  11. Diketahui matriks A =  y   3  1 4   7 2  C =  . Apabila B – A = Ct, dan Ct = transpose  3 1  matriks C, maka nilai x.y = …. A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30

- 12 –

then must yath now’09

Soal Ujian Nasional tahun 2007

12. Diketahui

matriks

 3 0  A= ,  2 5 

 x -1   , B =   y 1 

dan

 0 -1  C =  , At adalah transpose dari A. Jika At . B =  - 15 5  C maka nilai 2x + y = …. A. – 4 B. – 1 C. 1 D. 5 E. 7 Soal Ujian Nasional tahun 2006

13. Matriks X berordo ( 2 x 2 ) yang memenuhi 1 2   4 3   X=  adalah …. 3 4    2 1  -6 -5   A.   5 4   5 -6   B.   4 5   -6 -5   C.   4 5   4 -2   D.   -3 1   12 - 10   E.   - 10 - 8  Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004  14. Diketahui matriks A = 

1 2   3 -2   , dan P(2x2). , B = 3 5  1 4    Jika matriiks A x P = B, maka matriks P adalah ….  13 - 18   A.   - 8 10   21 - 8   B.   -7 2   - 13 18   C.   8 - 10   - 21 8   D.   7 -2   5 6   E.   14 12  Soal Ujian Nasional tahun 2005  4 3   a b   16 3    = .  1 2   c d   9 7 

15. Diketahui hasil kali matriks  Nilai a + b + c + d = …. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

- 13 –

then must yath now’09

Soal Ujian Nasional tahun 2003

16. Diketahui

matriks

 4 -9 A =   3 - 4p

  , 

 5p - 5 B=  1 3

 , 

dan

 - 10 8   , Jika matriks A – B = C–1, nilai 2p = …. C =   - 4 6p  A. – 1 B. –½ C. ½ D. 1 E. 2 Soal Ujian Nasional tahun 2001  17. Diketahui matriks A = 

2 3   6 12   dan A2 = , B =  - 4 - 10   -1 - 2  xA + yB. Nilai xy = …. A. – 4 B. – 1 C. – ½ D. 1½ E. 2 Soal Ujian Nasional tahun 2000 VECTOR

1.

Diketahui titik A(7 , 4 , -1), B(2 , 4 , 9) dan C(1 ,  3 , 2). Jika P terletak pada AB dengan AP : PB =

  PC + AB = ....  − 13   − 5     C.  − 2  D.  0   8   10       5    E.  0   −10   

2 : 3, maka vektor 2

 − 4   A.  − 1   −1    − 9   B.  − 1   9    2.

Jika titik A(2 , 8 , 1), B(3 , 9 , 1) dan C(2 , 9 , 1).  Nilai tangen sudut yang dibentuk oleh vektor AB

 AC sama dengan .... 1 A. 1 C. 2 1 B. 2 2 1 C. 2 dan

D. -

1 2

2

E. -1

- 14 –

then must yath now’09

3.

0  2        Sudut antara a =  x  dan b =  1  adalah 450.  −1  − 2     Maka nilai x sama dengan ... A. 2

C.

B. 1

4.

−

1 7

D. -1 E. -2

1    Jika panjang proyeksi vektor a =  3  pada  2   p    11 vektor b =  0  sama dengan maka nilai p 5  4   adalah .... A. -

C.

14

−

7 3

D. 3

B. -3 5.

   a = 6 i - 2 j - 4 k dan    k . Proyeksi orthogonal a pada b 2 1  2  j i k A. + D. 4 i 3 3 3 1   j i B. + - k E. 6 i 2 Diketahui

C. 2

6.

E.

i

 j

-2

  b = 2i + j - 2 adalah ....  j

+2 +3

 j

 k

-4 -6

 k

 k

Jika A(2 , -1 , 4), B(3 , 0 , 4) dan C(2 , 0 , 5). Jika     AB = p dan AC = q maka besar sudut antara vektor A. 300 B. 600 C. 900

7.

+

14

  p dan q adalah ....

D. 1200 E. 1800

Titik A(-1 , 3 , 1), B(1 , 6 , 7), C(0 , 2 , 5) dan D(1 ,

x     4 , 10). Jika vektor  y  tegak lurus AB dan C D , 1   maka nilai x dan y berturut-turut adalah .... A. 3 dan 4 D. –4 dan 3 B. 3 dan -4 E. 4 dan -3 C. –3 dan -4 8. Titik A(3 , 0 , 6) dan B(0 , 3 , -3), titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 2 maka koordinat titik P

- 15 –

then must yath now’09

adalah .... A. (3 , 1 , 5) B. (1 , 3 , 4) C. (2 , 1 , 3) 9.

D. (1 , 2 , 3) E. (3 , 2 , 1)

      a = 2 i - 6 j - 3 k dan b = 4 i + 2 j - 4 k .   Maka panjang proyeksi a pada b adalah .... 3 A. D. 1 4 4 4 B. E. 3 3 3 C. 4 Jika

10. Diketahui segitiga ABC, A(1 , 2 , 3), B(2 , 3 , 1)dan C(3 , 1 , 2). Z adalah titik berat segitiga ABC, maka panjang AZ = .... A. D. 6 2 B. C.

E.

3 5

14

TUGAS INDIVIDU 11. Diketahui P(1 , 7 , 0), Q(-2 , 4 , 3), S(2 , 8 , 5) dan R membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2, maka sudut PRS adalah .... A. 00 D. 600 0 B. 30 E. 900 0 C. 45





12. Vektor posisi titik A dan titik B adalah a dan b . Jika C pada AB sehingga AB : AC = 3 : 1, maka vektor posisi c adalah ....

1   (2 a - b ) D. 3   1 B. (2 b - a ) E. 3  1  C. (2 a + b ) 3    13. Jika  a  = 4,  b  = 2 dan  a   a - b  = .... A.

A. 2 B. 3 C. 2

D. 4 E. 3

 1  (2 b + a ) 3  1  (a - 3b ) 3

+

 b  = 2 7 , maka 

2

3

14. Diketahui :

   a = -2 i + j - 3 k    b = -3 i - j + 2 k    c = -2 i - j + k - 16 –

then must yath now’09

   d = 3 i + j - 2k Dari vektor-vektor di atas yang saling tegak lurus adalah .... A. c dan d D. a dan c B. b dan d E. a dan b C. a dan d 15. Sudut antara

      a = i - j + 2 k dan b = i + p j + k

adalah 300, maka nilai p adalah .... A. 2 D. 0 B. E. –1 3 C. 1 16. Proyeksi vektor

    a = i + 2 j - 3 k pada vektor b = 5

  i - 4 j - 2 k adalah ....  5   − 5 1  1  A.  − 4  C.  4  2  5   2   − 2 2 1   B. 4 4   −1

17. Ditentukan

 4  1  D. -  − 2  2   3   − 4 1  E. -  2  3   − 3

      a = n i + n j - k , b = - i + n j + 2k

dan sudut kedua vektor adalah 900 maka nilai n adalah A. –2 atau -1 D. –1 atau 3 B. –2 atau 1 E. 1 atau 3 C. –1 atau 2 18.

Jika titik A(1 , 1 , 2), B(2 , 2 , 5) dan C(4 , 4 , 11) adalah kolinier, maka AB : BC adalah .... A. 1 : 2 D. 3 : 1 B. 1 : 3 E. 3 : 2 C. 2 : 1

19.

Segitiga ABC, titik A(2 , -1 , 1), B(3 , 0 , 0) dan C(0 , 3 , 3)adalah segitiga siku-siku di titik A, maka jarak titik A ke garis BC adalah .... 4 A. C. D. 2 3 3 3 6 2 B. E. 4 3 3 6

20.

Diketahui P(6 , 7 , -6), Q(5 , 7 , -4) dan R(3 , 7 , -5) merupakan suatu segitiga maka luasnya adalah .... 5 A. 5 satuan luas D. satuan luas 2 5 5 5 B. satuan luas E. satuan luas 2 2 10 C.

10 satuan luas

Orang yang bijak adalah mereka yang tahu… - 17 – then must yath now’09 Kapan saatnya berbuat dan kapan

- 18 –

then must yath now’09