Modul 7 Getaran Lagrange

(Modul 7 – Getaran – Lagrange) SISTEM 2 DERAJAT KEBEBASAN (2DOF - MK) Soal 1 Diketahui sistem dua derajat kebebasan berikut : U1(t)

k m

U2(t)

k

k

m

Diketahui massa =10 kg, konstanta pegas =30 N/m. a. Tentukan persamaan gerak sistem den gan memanfaatkan metode Lagrange! b. Carilah frekuensi pribadinya c. Tentukan rasio amplitudonya d. Analisislah persamaan geraknya e. Apabila massa sebelah kiri bergerak 1meter dari kedudukan setimbang statis dan kemudian dilepaskan, maka tentukan perpindahan massa u 1(t) dan u2(t) Solusi Persamaan umum Lagrange d Ek  Ek  Ed  Ep      Qi .............................................................[1] dt q i q i q i q i Ek adalah energi kinetik(akibat gerakan massa); Ep adalah energi potensial pegas(akibat kerja pegas); Ed adalah energi terbuang sistem(akibat kerja redaman); Kasus ini Ed = 0 Qi adalah gaya luar yg bekerja pada sistem (eksitasi) ; Kasus ini Qi  0 a. Untuk kasus di atas merupakan 2 derajat kebebasan, sehingga persamaan umum Lagra nge dapat dibuat menjadi 2 bentuk, yaitu penurunan terhadap u 1(t) dan u2(t). d Ek  Ek  Ep     0 ............................................................................[2] dt u1 u1 u1 d Ek  Ek  Ep     0 ...........................................................................[3] dt u2 u2 u2 dengan 1 1 2 2 Ek  mu1  .mu 2 ......................................................................................[4] 2 2 1 2 1 1 2 2 Ep  ku1  k u1  u 2   ku 2 .................................................................[5] 2 2 2 Persamaan 4 dan 5 masuk ke pers 2, maka 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2   mu1  mu 2    mu1  mu 2    ku1  k u1  u 2   ku 2  d 2 2 2 2 2   2   2  0 dt u1 u1 u1 .........................................................................................................................[6] d 1 1 1 1 1 1 m.2u1   0   k .2u1  k .2u1  u 2    0 ...........................................[7]  dt  2 2  2  m.u1  ku1  k u1  u 2   0 ................................................................................[8] m.u1  2ku1  ku 2  0 .......................................................................................[9]

Marwan Effendy, ST.MT. – hal 1

Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy

Email : [email protected]

(Modul 7 – Getaran – Lagrange) Persamaan 4 dan 5 masuk ke pers 3, maka 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2   mu1  mu 2    mu1  mu 2    ku1  k u1  u 2   ku 2  d 2 2 2 2 2 2 2      0 dt u 2 u 2 u 2 .......................................................................................................................[10] d 1 1  1 1 1 1 m.2u 2   0   k .2u1  u 2   k .2u 2   0 .....................................[11]  dt  2 2   2    mu 2  k u1  u 2   ku 2  0 ..............................................................................[12] mu2  ku1  2ku 2  0 .....................................................................................[13]

Pers 9 dan 13 jika diurutkan sbb Persamaan gerak 1 m.u1  2ku1  ku 2  0 .....................................................[14] Persamaan gerak 2 mu2  ku1  2ku 2  0 .....................................................[15] b. Andaikan gerakan adalah periodik dan terdiri dari gerakan h armonis dari berbagai amplitudo dan frekuensi. Ambil suatu contoh u  A sin t    . Dari persamaan 14,15 dan dengan memisalkan Simpangan u1  A cost    u 2  B cost    Kecepatan u1   A sin t    u 2   B sin t    2 Percepatan u1   A cost    u2   B 2 cost    Diperoleh  m 2 A cost     2kA cost     kB cost     0 ............................ [16]  m 2 B cost     kA cost     2kB cost     0 ............................ [17]

2k  m A  kB  0 ....................................................................................[18]  kA  2k  m B  0 ..................................................................................[19] 2

2

Pers 18 dan 19 bisa dijadikan satu  2 k  m 2  k   A      0 ....................................................................[20] 2 k  m 2   B   k Nilai A dan B ada jika Determinan = 0  2 k  m 2 k     0 ..........................................................................[21] 2 k  m 2   k 2 2k  m 2 2k  m 2   k   0 .................................................................[22] 4k 2  2km 2  2km 2  m 2 4  k 2  0 ......................................................[23]

  m  2



4



 4km  3k 2

2



  0 ...........................................................................[24]

 4km   4m 2 .3k 2 4km ..........................................................[25]   2m 2 2m 2 2k 16k 2 m 2  12k 2 m 2   ................................................................ [26] m 4m 4 2

1, 2

2

1, 2

2

Marwan Effendy, ST.MT. – hal 2

Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy

Email : [email protected]

(Modul 7 – Getaran – Lagrange)

2k k  ............................................................................................ [27] m m k 30 rad ............................................................................[28]   3 m 10 s

1, 2   2

1 

3k 3.30 rad ...........................................................................[29]  3 m 10 s c. Rasio amplitudo ditentukan dari pers 18 dan 19 A1 k 30    1 ..........................................................[30] 2 2 B1 2k  m1 2.30  10. 3 2 



atau





 



 

2

A1 2k  m1 2.30  10. 3    1 ..........................................................[31] B1 k 30 sedangkan A2 k 30    1 ........................................................... [32] 2 B2 2.30  10.3 2 2 k  m 2

A2 B2

2

  2k  m   2.30  10.3  2

2

k

30

2

 1 ........................................................... [33]

d. Penyelesaian umum persamaan gerakan terdiri dua gerakan harmonis dengan frekuensi 1 dan  2 . Oleh karena itu gerakan massa dinyatakan

   B cos

 3t     B

u1 t   A1 cos1t   1   A2 cos 2 t   2   A1 cos 3t   1  A2 cos3t   2  [34]

u 2 t   B1 cos1t   1   B2 cos 2 t   2 1 1 2 cos 3t   2  [35] Dari pers 30 dan 32 diperoleh A1=B1 sedangkan A2=-B2, sehingga pers 34 dan 35 menjadi u1 t   A1 cos 3t   1  A2 cos3t   2  ........................................................[36]

 u t   A cos  2

1

 3t     A cos3t   1

2

2

 .......................................................[37]

e. Ke empat konstanta pers 36 dan 37 dievaluasi dengan empat buah kondisi awal, yaitu u1 0   1 , u 2 0   0 , u1 0   0 , dan u 2 0   0 . Untuk  1   2  0 maka









u1 t   A1 cos 3t   1  A2 cos3t   2  ........................................................[38] 1  A1 cos 0  A2 cos 0 , shg 1  A1  A2 u 2 t   A1 cos 3t   1  A2 cos3t   2  .......................................................[39] 0  A1 cos 0  A2 cos 0 , shg A1  A2





u1 t    A1 3 sin 3t   1  A2 3 sin 3t   2  ................................................[40] 0   A1 3 sin 0  A2 3 sin 0





u 2 t    A1 3 sin 3t   1  A2 3 sin 3t   2  ................................................[41] 0   A1 3 sin 0  A2 3 sin 0 1 A1  A2  ...................................................................................................[42] 2 Maka gerakan massa adalah 1 1 u1 t   cos 3t  cos 3t .............................................................................[43] 2 2 1 1 u 2 t   cos 3t  cos 3t .............................................................................[44] 2 2

Marwan Effendy, ST.MT. – hal 3

Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy

Email : [email protected]

(Modul 7 – Getaran – Lagrange) Soal 2 Diketahui sistem dua derajat kebebasan didapatkan sbb : U1(t)

k m c

U2(t)

k

k

m c

c

Diketahui massa =10 kg, konstanta pegas =30 N/m. a. Tentukan persamaan gerak sistem den gan memanfaatkan metode Lagrange! b. Carilah frekuensi pribadinya Solusi 2 Persamaan umum Lagrange d Ek  Ek  Ed  Ep      Qi .............................................................[1] dt q i q i q i q i a. Untuk kasus di atas merupakan 2 derajat kebebasan, sehingga persamaan umum Lagrange dapat dibuat menjadi 2 bentuk, yaitu penurunan terhadap u 1(t) dan u2(t). d Ek  Ek  Ed  Ep      0 ............................................................ [2a] dt u1 u1 u1 u1 d Ek  Ek  Ed  Ep      0 ............................................................ [2b] dt u2 u2 u2 u2 dengan 1 1 2 2 Ek  mu1  mu 2 .................................................................................... [3a] 2 2 1 2 1 1 2 2 Ep  ku1  k u1  u 2   ku 2 ............................................................... [3b] 2 2 2 1 2 1 1 2 2 Ed  cu1  cu1  u2   cu2 .................................................................[3c] 2 2 2 Persamaan 3a, 3b dan 3c masuk ke pers 2a, maka 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2  mu  .mu 2    mu1  .mu 2    cu1  cu1  u 2   cu 2    ku1  k u1  u 2   ku2  d  2 1 2 2 2 2 2 2   2   2   2  0 dt u1 u1 u1 u1

.........................................................................................................................[4] d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m.2u1   0   c.2u1  c.2u1  u 2     k .2u1  k .2u1  u 2    0 [5]  dt  2 2 2  2  2  m.u1  cu1  cu1  u 2   ku1  k u1  u 2   0 .....................................................[6] m.u1  2cu1  cu 2  2ku1  ku 2  0 ...................................................................[7]

Marwan Effendy, ST.MT. – hal 4

Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy

Email : [email protected]

(Modul 7 – Getaran – Lagrange)

Persamaan 3a, 3b dan 3c masuk ke pers 2a, maka 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2  mu  .mu 2    mu1  .mu 2    cu1  cu1  u 2   cu 2    ku1  k u1  u 2   ku2  d  2 1 2 2 2 2 2 2   2   2   2  0 dt u 2 u 2 u 2 u 2

.........................................................................................................................[8] d 1 1 1  1  1 1 1 1 1 1 m.2u 2   0   c.2u1  u 2   c.2u 2    k .2u1  u 2   k .2u1   0  dt  2 2 2 2 2      m.u2  cu1  u 2   cu 2  k u1  u 2   ku 2  0 .................................................[10] m.u2  cu1  2cu2  ku1  2ku2  0 ...................................................................[11]

[9]

Pers 7 dan 11 jika diurutkan sbb, dan inilah solusinya Persamaan gerak 1 m.u1  2u1  cu 2  2ku1  ku 2  0 ................................. [12a] Persamaan gerak 2 m.u2  cu1  2cu2  ku1  2ku2  0 .................................[12b] b. Frekuensi pribadi ditentukan ketika tidak dipasang redaman, shg jawaban sama dng no 1

1 

k 30 rad   3 .......................................................................... [13a] m 10 s

2 

3k 3.30 rad  3 .........................................................................[13b] m 10 s

Marwan Effendy, ST.MT. – hal 5

Homepage : http://blog.ums.ac.id/effendy

Email : [email protected]