Modul 4 Pertidaksamaan Xii Ipa

Modul kelas XII PAI

-1–

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI 4. Siswa mampu memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pertidaksamaan kuadrat, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.

Pertidaksamaan

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan : a > b ; a = b atau a < b

1. a > b → a - b > 0 a=b→ a-b=0 a
prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif

2. a + b < c → a + b - c < 0 atau c-a-b>0 3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama a
{

a+c
4. Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama a
}

c>0

ac < bc

{

→

a/c < b/c

5. Tanda tetap

6. Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama a
}

d<0

→

ad > bd

{

TANDA a/d > b/d BERUBAH

7. Pangkat Genap a>0;b>0 a
}

a² < b²

→ TETAP

}

→

TANDA

a² > b²

-2–

TANDA BERUBAH

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI 8. Pangkat Ganjil

{

a
a³ < b³ a 5 < b5 a 7 < b7

→ TANDA TETAP

9. Kebalikan a>0;b>0

} }

a
→

1/a > 1/b

TANDA BERUBAH

→

1/a > 1/b

TANDA BERUBAH

Garis Bilangan Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu. Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya. Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval. Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.

Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan Andaikan a < b contoh : 1. UNTUK BATAS TUNGGAL f(x) = (x - a) (x - b) f(x) < 0 untuk a < x < b f(x) > 0 untuk x < a atau x > b HAL KHUSUS Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut:

(+)

|

(-)

|

(+)

-3–

Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut :

(-)

|

(+)

|

(-)

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI 2. UNTUK BATAS RANGKAP f(x) = (x - a)² (x - b)

(-)

||

a

|

f(x) = (x - a) (x - b)²

(+)

(-)

|

-

b

a

f(x) < 0 untuk x < b ; x ≠ a

f(x) < 0 untuk x < a

f(x) > 0 untuk x > b

f(x) untuk x > a ; x

||

(+) b

≠b

Ket : bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.

Jenis-Jenis Pertidaksamaan A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU) Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x. Penyelesaian: Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta. Contoh : 2x - 3 > 5 → 2x > 5 + 3 ijgeiirjirijrigir j 2x > 8 gehghhejehh2x > 2

2

2

B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)

Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar. Penyelesaian: • Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang. (Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya). • Kuadratkan kedua ruasnya. (tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif). • Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1) syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif ( ≥ 0)...(2) (pembicaraan adalah mengenai bilangan riil) • Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.

Jangan pernah berkata “matematika susah” Hati-hati ! karena “UCAPAN ADALAH DO’A”

-4–

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI Contoh: 1. √(x-2) < 2 → kuadratkan x-2<4 x<6 → syarat : x-2≥0 x≥2

2

2. √(-x + 3) - √(2x + 1) > 0 seimbangkan √(-x+3) > √(2x+1) → kuadratkan -x + 3 > 2x + 1 3x < 2 x < 2/3 → syarat : -1/2 -x + 3 ≥ 0 → x ≤ 3 dan 2x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1/2

6

HP = {2 ≤ x < 6}

2/3

HP = {-1/2 ≤ x < 2/3} C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA) Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya : ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a

≠ 0.

Penyelesaian: • • • • • •

Jadikan ruas kanan = 0 Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran) Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier. Tetapkan nilai-nilai nolnya Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan (bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +, bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

contoh: x² + x - 2 > 0 (x + 2) (x - 1) > 0

-2

1

HP = {x < -2 atau x > 1} D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x. Penyelesaian: a. Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0 (ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak) b. Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan. c. Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. d. Syarat: penyebut pecahan > 0

-5–

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI

contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari :

( 2 x + 7) ( x − 1) -1 ≤ 0 ( 2 x + 7 ) ( x − 1) ( x − 1) - x − 1

( 2 x + 7) ( x − 1)

≤1 -8

≤ 0

⇔

syarat : penyebut (x-1) ≠ 0 x ≠1

( x − 8) x −1

≤0

1

Jadi HP = − 8 ≤ x < 1

E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3) Penyelesaian: •

Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap. Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.

•

Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.

contoh:

1 ) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0 2 1 (x ) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0 2 1 x1 = , x2 = 4, x3 = 1, x4 = 3 2

1. (x -

x<

2.

(

(3x

1 2

1

3

4

1 atau 1 < x < 3 atau 3 < x < 4 2

)

+x+2 >0 x + 4 x − 12 2

2

)

Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena: D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3 D < 0 dan a > 0 Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi

(

+ >0 x + 4 x − 12 2

)

⇔

+

( x + 6)( x − 2)

>0

⇔ X < -6 atau X > 2

Jangan pernah bertanya “apa yang kamu dapat hari ini”, tapi renungkan “apa yang telah kau lakukan hari -6–

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI

SOAL LATIHAN 1.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat : – 2x2 + 3x – 5 < 0 adalah … A. {x/ x < - 1/3 atau x > 2} B. {x/ - 1/3 < x < 2} C. {x/ x > 0} D. {x/ x = φ } E. {x/ x ∈ R}

2.

Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan 4x − 1 ≤ 2 , adalah … x+2 A. x < - 2 atau x > 2½ B. x < - 2 atau x ≥ 2½ C. - 2 < x < 2½ D. - 2 < x ≤ 2½ E. - 2 ≤ x ≤ 2½

3.

Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan 2 x 2 − 10 x ≤ 0 , adalah … x2 + x − 6 A. x < -3 atau 0 ≤ x < 2 atau x ≥ 5 B. x ≤ -3 atau 0 ≤ x ≤ 2 atau x ≥ 5 C. 3 < x ≤ 0 atau 2 < x ≤ 5 D. 3 < x < 0 atau 2 < x < 5 E. 3 ≤ x ≤ 0 atau 2 ≤ x ≤ 5

4.

Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan 4 − x 2 < x + 2 , adalah … A. x ≤ - 2 atau 0 < x ≤ 2 B. 2 ≤ x < 0 atau x ≥ 2 C. -2 ≤ x ≤ 2 D. 0 ≤ x ≤ 2 E. 0 < x ≤ 2

5.

Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan x+3 ≤ 2 , adalah … 2x − 1 A. x < ½ atau x ≥ 1 B. x ≤ -3 atau x > ½ C. x ≤ -3 atau x ≥ 1 D. 3 ≤ x < ½ E. 3 ≤ x ≤ 1

6.

Pertidaksamaan A. – B. – C. – D. x E. x

x 2 + x − 12 2x2 + 9x + 4

≤ 0 , berlaku untuk …

½ ≤ x<3 ½<x ≤ 3 4<x<-½ < - ½ atau x ≥ 3 ≤ - ½ atau x > 3

-7–

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI

7.

Nilai-nilai x yang memenuhi : x + 2 > adalah … A. − 10 ≤ x ≤ 10 B. x < - 3 atau x > 1 C. 2 ≤ x ≤ 10

10 − x 2

D. 1 < x ≤ 10 E. − 3 < x ≤ 10 8.

Jika

2 5 > , maka … x−3 x+6

A.x < - 6 atau 3 < x < 9 B.- 6 < x < 3 atau x > 9 C. x < - 6 atau x > 9 D. – 6 < x < 9 dan x ≠ 3 E. 3 < x < 9 9.

x 2 + 4x ≥0, x2 +2 maka nilai pecahannya terletak antara …. A. -1 ≥ x ≤ 2 B. -1 ≤ x ≤ 2 C. -1 ≤ x ≥ 2 D. -1 ≥ x ≥ 2 E. -1> x ≤ 2

Jika diketahui pertidaksamaan

10. Jika diketahui suatu pertidaksamaan x2 – 2ax + a + 2 > 0 tidak sama tandanya, maka penyelesaiannya adalah …. A. a ≤ 4 B. a > 3 C. a < 2 D. a > 5 E. a ≥ 6 11. Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan x+3 ≤ 2 , adalah … 2x − 1 A. x < ½ atau x ≥ 1 B. x ≤ -3 atau x > ½ C. x ≤ -3 atau x ≥ 1 D. 3 ≤ x < ½ E. 3 ≤ x ≤ 1 12. Jika suatu pertidaksamaan

x 2 − 3 > 0, maka

penyelesaiannya adalah …. A. – 3 > X > 3 B. – 3 < X < 3 C. – 3 < X > 3 D. – 3 > X < 3 E. -3 ≥ X ≥ 3

-8–

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI 13. Bilangan real x yang memenuhi

3 x −2 <x x

adalah …. A. 0 < x > 1 atau x > 2 B. 0 > x > 1 atau x > 2 C. 0 < x < 1 atau x > 2 D. 0 > x < 1 atau x > 2 D. 0 < x > 1 atau x < 2 14. Jika (x2 – x – 2)(x2 + x – 6) < 0, maka nilai x yang memenuhi adalah … A. x > - 1 B. x < - 3 C. – 1 < x < 2 D. – 3 < x < 2 E. – 3 < x < - 1

x 2 + x −12 ≤ 0 , berlaku untuk 2x2 + 9x + 4 ½ ≤ x<3 ½<x ≤ 3 4<x<-½ < - ½ atau x ≥ 3 ≤ - ½ atau x > 3

15. Pertidaksamaan A. – B. – C. – D. x E. x

TUGAS INDIVIDU 16. Jika

2 5 > , maka … x −3 x +6

A. x < - 6 atau 3 < B. - 6 < x < 3 atau C. x < - 6 atau x > D. – 6 < x < 9 dan E. 3 < x < 9

x<9 x>9 9 x ≠ 3

17. Sepotong kawat sepanjang x cm hendak dibentuk persegi. Agar luasnya lebih besar daripada kelilingnya (secara numerik), maka nilai x yang memenuhi adalah … A. x > 16 B. x > 14 C. x > 10 D. x > 6 E. x > 4 18.

Himpunan penyelesaian dari : 2x2 + 5x – 3 ≥ 0 adalah ….

1 atau 3 2 1 B. - atau 3 2 1 C. atau -3 2 A.

-9–

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI 1 atau –3 2 1 E. atau –2 3 D. -

19. Jumlah 2 bilangan adalah 40. Lima kali bilangan pertama adalah 38 lebihnya dari bilangan kedua. Dua bilangan tersebut berturut – turut …. A. 27 dan 13 B. 23 dan 17 C. 13 dan 27 D. 17 dan 23 E. 25 dan 15 20. Batasan x yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 6x + 8 > 0 adalah …. A. x < 2 atau x > 6 B. x < -2 atau x > 4 C. x < 2 atau x > 4 D. x < -4 atau x > 2 E. 2 < x < 4 21. Himpunan penyelesaian dari

A. x ≥ 10 B. x ≥ 2,5 C. x ≥ 0,4 D. x ≤ 10 E. x ≤ 2,5

2 x − 5 ≥ 5 adalah

22. Jika diketahui suatu 2X – 1 < X + 1 < 3 - X, maka penyelesaiannya adalah …. A. {x x ≤ 1} B. {x x ≥ 1} C. {x x ≠ 1}

D. {x x < 1} E. {x x > 1}

23. Jika diketahui pertidaksamaan

13 x +39 <0 , x +12

maka himpunan penyelesaiannya adalah …. A. -5 > x < -14 B. -4 < x > -13 C. -3 > x > -12 D. -2 < x > -11 E. -1 > x < -10

24. Suatu pertidaksamaan berlaku untuk …. 1 A. − < x ≤ 6 2 1 B. − < x ≤ 5 2

x 2 + x −12 ≤0 akan 2 x 2 +9 x +4

- 10 –

then must yath now’09

Modul kelas XII PAI 1 < x ≤4 2 1 D. − < x ≤ 3 2 1 E. − < x ≤ 2 2

C. −

25. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Ketinggian peluru yang dicapai (dalam meter) diberikan sebagai h(t) = 35t - t2 . Lama waktu peluru pada saat berada pada ketinggian tidak kurang dari 300 meter adalah … det A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 25

Menurut penelitian Jhon Deamman, ahli psikologi dari Amerika Serikat: “Apabila seseorang tidur melebihi batas maksimal(orang dewasa maksimal 8 jam sehari semalam) maka neutron dalam otak perlahan-lahan namun pasti akan mati”. Jika hal tersebut berlarut-larut, maka akibatnya otak tidak akan berfungsi dengan baik dan akan membeku… Believe it Or

- 11 –

then must yath now’09