Modul 2 Btk Akar Pangkat Dan Logaritma Xii Ipa

2. Siswa mampu memahami konsep yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.

Pangkat, akar, dan logaritma

contoh:

1. 3pq+q . 32p)/(3pq+p . 32q) = (3pq+q+2p)/(3pq+p+2q) = 3p-q 2. (0,0001)-1 √0,04 = (10-4)-1(0,2) = (104)(0,2) = 2000 3. (0,5)2 + 1/5√32 + 3√0,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25 [ket : 32 = 25 ; 0,125 = (0,5)3 ]

4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka nilai dari : 2p-1/2 - 3p0 + q4/3 = …. 2p-1/2 - 3p0 + q4/3 = 2(24)-1/2 - 3(24)0 + (33)4/3 = 2(2-2) - 3(1) + 34 = 2-1 -3(1) + 81 = 1/2 - 3 + 81 = 78 1/2

“For the things of this word cannot be made known a knowledge of mathemathics”

-1-

then must yath now’09

-2-

then must yath now’09

“Don’t worry about your difficulties in mathematics, I sure,that mind are still greater”

-3-

then must yath now’09

Contoh: 1. Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan ! syarat :

numerus > 0 x² -4x - 5 < 0 (x-5)(x+1) < 0 x = 5 atau x = -1

5

-1

HP = {-1 < x < 5}

1 2.3 log + 4 log 2 2. Sederhanakan : ! 9 3 2 52 log 2. log 5. log 3 1 1 2.(−2).3 log 3 + .2 log 2 −4+ 2. log 3 + log 2 2 2 = -7 =3 = = 2 52 1 1 log 2. log 5. log 3 .3 log 2.2 log 5.5 log 3 2 2 22

−2

3

3. Jika 9log 8 = n Tentukan nilai dari 4log 3 ! 9

log 8 = n

4

log 3 =

⇔

3²

log 2³ = n

⇔

2²

log 3

3 3 2 log 2 = n ⇔ 3log 2 = n 2 3

1 = ²log 3 2 1 1   =  3 2  log 2  1 3    2  2n  3 = n 4 =

4. Jika log (a² / b4) log (a²/b4) log (a/b²)² 2 log ( a/b²) log ( a/b² ) log ³√(b²/a)

= = = = = = = =

Tentukan nilai dari log ³√(b²/a) ! -24 -24 -24 -12 log (b²/a)1/3 1/3 log (b² / a) -1/3 log (a/b²) -1/3 (-12) = 4

-4-

then must yath now’09

Fungsi eksponen : adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Masalah : Menghilangkan logaritma a

log f(x) = alog g(x) → f(x) = g(x)

a

log f(x) = b → f(x) =ab

f(x)

log a = b → (f(x))b = a

Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ≠ 1 dan numerus > 0 ) Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

1.

x

log

1 1 = 100 8 1 8

⇔ x = 10 −2

2.

x

 18 ⇔ x 

8

  = 10 −2  

(

)

8

⇔ x = (10 )

−16

1 log 81 −2. x log 27 +x log 9 + . x log 729 =3 2

⇔x log 81−x log 27 2 +x log 9+x log

⇔ x 3 = 27

729 =3

⇔x log

81.9.27 =3 729

⇔x log 27 =3

⇔ x 3 = 33 ⇔ x = 3

3. ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0 misal :

²log x = p

p² - 2p - 3 = 0 (p-3)(p+1) = 0 p1 = 3 ²log x = 3 x1 = 2³ = 8 p2 = -1 ²log x = -1 x2 = 2-1 = 1/2

-5-

then must yath now’09

Bilangan pokok a > 0 ≠ 1 Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a>1 log f(x) > b → f(x) > ab a log f(x) < b → f(x) < ab

0 b → f(x) < ab a log f(x) < b → f(x) > ab

a

a

(tanda tetap)

(tanda berubah) syarat f(x) > 0

Contoh: Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan

2.

1. ²log(x² - 2x) < 3

1/2

log (x² - 3) < 0 a = 1/2 (0 < a < 1) → Hilangkan log → Tanda berubah x < - 2 atau x > 2

a = 2 (a>1) → Hilangkan log → Tanda tetap - 2 < x < 0 atau 2 < x < 4

a. (x² - 3) > (1/2)0 x² - 4 > 0 (x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2

a. x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4

b. syarat : x² - 3 > 0 (x - √3)(x + √3) > 0 x < √3 atau x > √3

b. syarat : x² - 2 > 0 x(x-2) > 0 x < 0 atau x > 2 Persamaan Eksponen

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah). [Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst]. BENTUK-BENTUK :

A. af(x) = ag(x) → f(x) = g(x) Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan. contoh : 2 SUKU → SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI √(82x-3) = (32x+1)1/4 (23)(2x-3)1/2 = (25)(x+1)1/4 2(6x-9)/2 = 2(5x-5)/4 (6x9)/2 = (5x-5)/4 24x-36 = 10x+10 14x = 46 x = 46/14 = 23/7





  

 



            







   



    



  

 

      

 



3 SUKU → GUNAKAN PEMISALAN

-6-

then must yath now’09

1. 22x + 2 - 2 x+2 + 1 = 0 2

2x

2

2. 3x + 33-x - 28 = 10

x

3x + 33/3x - 28 = 10 misal : 3x = p p + 27/p - 28 = 0 p² - 28p + 27 = 0 (p-1)(p-27) = 0 p1 = 1 → 3x = 30 x1 = 0 p2 = 27 → 3x = 33 x2 = 3

2 .2 - 2 .2 + 1 = 0 Misalkan : 2x = p 22x = (2x)² = p² 4p² -4p + 1 = 0 (2p-1)² = 0 2p - 1 = 0 p =1/2 2x = 2-1 x = -1

B. af(x) = bf(x) → f(x) = 0 Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0. Contoh:

1. 3x²-x-2 = 7x²-x-2 x² - x -2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = -1 C. af(x) = bf(x) → f(x) log a = g(x) log b

Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma. Contoh:

1. 4x-1 = 3x+1 (x-1)log4 = (x+1)log3 xlog4 - log4 = x log 3 + log 3 x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4 x (log4 - log3) = log 12 x log 4/3 = log 12 x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12 D. f(x)

g(x)

= f(x)

h(x)

→ Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau beberapa kemungkinan. 1. Pangkat sama g(x) = h(x)

2. Bilangan pokok f(x) = 1

ket: 1g(x) = 1h(x) = 1

Orang yang baik bukannya yang tak pernah melakukan kesalahan, tapi yang pernah berbuat salah dan memperbaikinya……* mustyath’09

-7-

then must yath now’09

3. Bilangan pokok f(x) = -1 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau keduaduanya harus ganjil. ket : g(x) dan h(x) Genap : (-1)g(x) = (-1)h(x) = 1 g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)g(x) = (-1)h(x) = -1

4. Bilangan pokok f(x) = 0 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif. ket : g(x) dan h(x) positif → 0g(x) = 0h(x) = 0 Contoh: (x² + 5x + 5)3x-2 = (x² + 5x + 5)2x+3

1. Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 → x1 = 5

2. Bilangan pokok = 1

x² + 5x + 5 = 1 x² + 5x + 4 = 0 → (x-1)(x-4) = 0 → x2 = 1 ; x3 = 4

3. Bilangan pokok = -1

x² - 5x + 5 = -1 x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 → x = 1 ; x = 4 g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ≠ (-1)7 g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1

Bilangan pokok = 0 x² - 5x + 5 = 0 → x5,6 = (5 ± √5)/2 kedua-duanya memenuhi syarat, karena : g(2 1/2 ± 1/2 √5) > 0 h(2 1/2 ± 1/2 √5) > 0 Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah : HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 √5} Bilangan Pokok a > 0

≠1

Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a>1

0
af(x) rel="nofollow"> ag(x) → f(x) > g(x) af(x) < ag(x) → f(x) < g(x)

af(x) > ag(x) → f(x) < g(x) af(x) < ag(x) → f(x) > g(x)

(tanda tetap)

(tanda berubah)

-8-

then must yath now’09

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1. Misal : 1/8 = (1/2)3 = 2-3 Contoh:

2. 32x - 4.3x+1 + 27 > 0 (3x)² - 4.31.3x + 27 > 0 misal : 3x = p p² -12p + 27 > 0 (p - 9)(p - 3) > 0 p < 1 atau p > 9 3x < 31 3x > 3² x < 1 atau x > 2

1. (1/2)2x-5 < (1/4)(1/2x+1) (1/2)

2x-5

< (1/2)

2(1/2x+1)

Tanda berubah (0 < a < 1) 2x - 5 > x +2 x>7

SOAL LATIHAN

49 x ( 25)

− 12

=…

a. 53 b. 35 c. 1,8

1

d. 1,6 e. 1,4

Bentuk pangkat dari1080 = …. 3 3 3 3 2 a. 2 . 3 . 5 d. 2 . 3 . 5

2 3 . 32 . 5 2 2 2 2 c. 2 . 3 . 5

2

2

  3

4  = ...  a. 1 b. 2 c. 3

[

(

d.

− p − p . − p −3 4

a. b. c.

  

b.

( 2mn ) 2 ( 3mn) 2

3 1 + 2   15 

2

−3

e.

8

d. e.

-p6 p6

d.

( 2mn ) −3

=…

= ...

2mn

3 2 x 0,04

)]

4

−1

a. c.

6

-2

-p -p7 p7

 8m −9 .n −2  −6  64m .n 5

2 2 e. 2 . 3 . 5

b.

e.

( 2mn ) 3

= ...

-9-

then must yath now’09

a. 32 b. 3 c. 1

d. e.

3-1 3-2

d. e.

4 5

4 3 x ( 3,5) =… 42 x 72 2

7

a. 1 b. 2 c. 3 2

8

2

3 5 2  3   x  −  − 3 : = ... 2 8 3  4 a. 1 b. 0,85 c. 0,54

( ) .( p )

pa. pa 9

1− a

1+ a a

d.

-0,25 e. -0,35

= ...

a.

p

2a

d.

p a +1

b.

p 2 a +1

e.

p 3a

c.

pa

2

+a + 2

4

10

 a −4 b 2 c   −6 3  = ...  ab c  a 20 a. b 32 c 8 b.

c8 a 20 b 32

c.

a 32 b 20 c 8

d.

b 32 a 20 c 8

e.

a8 b 20 c 32

10 4 + 10 2 + 10 0 + 10 −2 + 10 −4 = ... a. 0 b. 1 c. 11,11

11

4 n +1 − 2 2 n +1 =… 4n a. 0 b. 1 c. 2

12

(

d. e.

101,101 10101,0101

d. e.

3 4

)

3 2 + 18 − 50 = ... 13

a.

3 6

d.

b.

2 6

e.

c.

6

0

6 - 10 -

then must yath now’09

2− 6 2+ 6 14

( 15

= ...

a.

10 - 4 6

d.

5-2 6

b.

5-2 6

e.

-5 + 2 6

c.

0,2 + 0,1 6

a+3 + a−3

)

2

= ...

a.

2a + 2 a 2 + 9

d.

b.

2a + 2 a 2 − 9 e.

2a

c.

2a -

a2 − 9

24 + 54 − 150 96 a.

16

-2 6

b. 0 c. 1

[8 ]

1 3 − 3 9

d.

2 3

= ...

(

4

18

= ...

e.

a. -2 b. -0,5 c. 0,5

17

 23  2   .6 :  34   

d.

2 3 36

1

)

−2

a. 212 . 312 d. b. 212. 311 e. c. 312

0,0625 + 19

2a + 6

1 16

e.

2

= ...

211 . 312 211

− ( 0,5) = ... 2

a. 0,75 b. 0,5 c. 0,25

d. e.

0 -0,25

14 − 8 3 = ... 20

a.

4+

b.

4-

c.

8 -

d.

6 6

6 -

8

e. c dan d benar

6

- 11 -

then must yath now’09

TUGAS MANDIRI 1. Jika 3 8x −3 = 4 2 x , maka nilai x adalah A. -4 D. 2 B. -2 E. 4 C. 0 2. Nilai x yang memenuhi b2x + 10 < 7bx dengan b > 1 adalah .... A. x < blog 2 D. blog 2 < x < blog 5 b B. x > log 5 E. x > blog 2 C. x > blog 2 atau x > blog 5 3. Supaya

log

 2−x     2x 2 − x − 3 

mempunyai

nilai haruslah ....

3 atau x > 2 2 3 B. 1 < x < 2 atau x < 2 3 C. < x < 2 atau x < -1 2 A. -1 < x <

D. -3 < x < 1 atau x > 2 E. -

3 < x < 1 ataun x > 2 2

4. Diketahui 3log (2x + 1) = 3log 2x + 1, maka x = ....

1 8 1 B. 6 A.

5.

a

log

C.

1

D.

4

E. 2

1 b 1 1 . log . c log = .... 2 b c a3

A. -6 B. -3 C. 0

6. Jika 3log 5 = x 3

log

A. B. C.

1 2

D. 3 E. 6

dan

3

log 7 = y, nilaia

1 adalah .... 245 2

1 x+y 2 1 x + 2y 2 1 x–y 2

1 (x + y) 2 1 E. x + 2y 2 D.

- 12 -

then must yath now’09

7.

3

log 5 = p dan 15 = ....

5

log 4 = q, nilaia

log

p +1 q +1 pq E. 1− p

pq 1+ p p+q B. pq p +1 C. pq A.

8. Jika 3

4

D.

x - 2y

= =

1 dan 2 81

x - y

– 16 = 0,

maka nilai x + y = .... A. 3 D. 20 B. 16 E. 21 C. 18 9. Jika 2 . 4

x

+2

3 – 2x

1 A. atau 8 2 1 B. atau 4 2 C.

= 17, nilai 2

2x

=

1 1 D. atau 2 2 2 1 E. 2 atau 2 2 2

1 atau 4

10. Persamaan 5 x – 2y + 1 = 25 x – 2y dan 4 = 32 x – 2y + 1 , nilai x.y = .... A. 6 D. 15 B. 8 E. 20 C. 10 x–y+2

11.

12.

2 x +1

1 3 6 A. x > 5 6 B. x < 5 5 C. x > 6 Jika  

>

27 3x −1

D. x < -2 E. x < 2

1 Jika 3 8x + 2 =   adalah ....

, nilai x adalah ....

2

2− x

maka nilai 8x – x2

- 13 -

then must yath now’09

13.

A. 7 B. 12 C. 15

D. 16 E. 33

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

1 adalah .... 16

2 2 4 x − x − 2 . 2 x +3x −10 <

A. x < -5 atau x > -2 B. –2 < x <

5 3

C. x < -2 atau x > D. –5 < x < 2 E. –2 < x < -1

5 3

14. 2 7 x −6 x −16 = 49

Akar-akar persamaan x–3

adalah α dan β, nilai α . β = …. A. 8 D. –10 B. –4 E. –22 C. -8 15. 2

Penyelesaian dari persamaan 2 x −3x − 4 = 4 x + 1 adalah p dan q dengan p > q. Nilai p – q = …. A. –1 D. 6 B. 1 E. 7 C. 5 16. Jika 5log 3 = a dan log 75 = ....

12

2+a a+b 2+a B. a (1 + b) 2a C. a+b A.

3

log 4 = b, maka

D.

a+b a (1 + b)

E.

a (1 + b) a+b

17. Penyelesaian persamaan 3log (9x + 18) = 2 + x adalah p dan q, maka p + q = A. 3log 3 D. 3log 216

- 14 -

then must yath now’09

B. C.

3

log 9 log 18

E.

3

3

log 726

18. Jika 9log 8 = 3m. Nilai 4log 3 = ....

1 4m 3 B. 4m 3 C. 2m

m 4 4m E. 4

A.

D.

1 3 = a 2 1

19. Jika 2log maka alog

b3

16

dan

log

= ....

40 3

A. 40

D. −

B. –40

E. 20

C.

b = 5,

40 3

20. Jika

25

log 5

1 4 1 B. 2 A.

C.

2x

= 8, maka nilai x = ..... D. 8 E. 10

6

21. Nilai x yang memenuhi 2 adalah …. A. x > 3 B. x < 3 C. x < 4

x + 5

< 8

x – 1

D. x > 4 E. x > -4

22. Penyelesaian pertidaksamaan 4 1 adalah …. 32 1

A.

x < -1 2

B.

x < 12

C.

x> 2

1

1 – x

<

1

D. x > 3 2 E.

1

x < 32

1

23. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan - 15 -

then must yath now’09

1   2

A. B. C. D. E.

x 2 −x

1 8

<  

x −1

, x ∈ R adalah ….

{x 1 < x < 3, x ∈ R} {x x < -1 atau x > 1, x ∈ R} {x -1 < x < 3, x ∈ R} {x x < 1 atau x > 3, x ∈ R} {x x < -3 atau x > -1, x ∈ R}

24. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 2 x - 4 . 3 x + 1 > -27 adalah …. A. 1 < x < 2 D. x < 1 atau x > 3 B. 2 < x < 9 E. x < 3 atau x > 9 C. x < 1 atau x > 2

25. Nilai x yang memenuhi 9 x - 3 x + 1 + 2 < 0 adalah …. A. 0 < x < 2log 3 B. 0 < x < 3log 2 C. x < 3log 2

D. x > 3log 2 E. x < 2log 3

26. Nilai x yang memenuhi 2log (2x + 7) > 2 adalah ….

7 2 3 B. x > − 2 7 3 C. − <x< − 2 2

7 <x<0 2 3 E. − <x<0 2

A. x > −

D. −

27. 2log (x + 1) ≤ log (x + 4) + log 4. Nilai x yang memenuhi adalah…. A. x ≤ 7 D. –1 ≤ x ≤ 6 B. x > 5 E. x ≥ 6 C. –1 < x ≤ 5

28. Pertidaksamaan 2log (x +

12 ) ≥ 3. Nilai x

x yang memenuhi adalah …. A. x ≤ 2 atau x ≥ 6 B. 1 ≤ x ≤ 2 atau x ≥ 6 C. 0 < x ≤ 2 atau x ≥ 6 D. 2 ≤ x ≤ 6 E. x < 0 atau 2 ≤ x ≤ 6

29. Pertidaksamaan

4

log (x2 – 2x) <

dipenuhi oleh …. A. 1 - 3 < x < 1 +

1 2

3 - 16 -

then must yath now’09

B. 1 -

3 <x< 1+ 3 atau 2 + 3 <x< 4 C. 1 - 3 < x < 2 D. 1 - 3 < x < 0 atau 2 < x < 1+ 3 E. 0 < x < 1 + 3 30. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2log (x + 2) – 2log (x - 5) < 3 adalah A. –3 < x < 6 B. x < -2 atau 5 < x < 6 C. 5 < x < 6 D. x < -2 atau x > 5 E. –3 < x < -2 atau 5 < x < 6

- 17 -

then must yath now’09