Modul 11 Limit Dan Turunan Xii Ipa

11. Siswa mampu memahami limit dan Turunan dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.

-1–

- Limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri - Turunan fungsi - Nilai ekstrem dan aplikasinya

then must yath now’09

LIMIT Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai batas) dari f(x) tersebut. Contoh: Untuk x mendekati tak berhingga, maka f ( a ) =

lim x →∞

2 =0 x

2 akhirnya akan mendekati 0 ditulis : x

0 ∞ ,∞ − ∞ 0 ∞

Hasil yang harus dihindari : , TEOREMA

=c 1. Jika f(x) = c maka lim x →a

f ( x ) = F dan lim g ( x ) = G maka berlaku : 2. Jika lim x →a x→a f ( x ) = [ f ( x ) ± g ( x ) ] = lim± lim g ( x ) = F ± G a. lim x →a x→ a x →a

k . f ( x ) = k . lim f ( x ) = k .F c. lim x→a x →a

f ( x ) = [ f ( x ).g ( x ) ] = lim . lim g ( x ) = F .G b. lim x→a x →a x →a

d. lim x→a

f ( x) F f ( x ) lim = x→a = g ( x ) lim g ( x ) G x→a

LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI 1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud. Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya. 2. Bila (*) maka usahakan diuraikan. Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :

0 a ∞ a = 0, = ∞, = ∞, = 0, ∞ ± a = ∞ (a = konstanta) a 0 a ∞ KETENTUAN Untuk x <<< ( x → 0 ) maka sin x ≈ x (x <<< kecil sekali ; ≈ setara

sin x lim =1 x →0 x

x lim =1 x →0 sin x

tan x lim =1 x →0 x

) x lim =1 x →0 tan x

PERLUASAN

sin ax a = x →0 bx b

lim

tan ax a = x →0 bx b

ax a = x →0 sin bx b

lim

lim

-2–

ax a = x →0 tan bx b

lim

then must yath now’09

lim x →0

sin ax a = sin bx b

lim x →0

tan ax a = tan bx b

lim x →0

sin ax a = tan bx b

lim x →0

tan ax a = sin bx b

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk mengubah fungsi: cos x = sin (90° - x)

cos ax = 1- 2 sin²

ctg x = tg (90° - x)

cos²x = 1 - sin²x

1 ax 2

sin ax = 2 sin

1 1 ax cos ax 2 2

HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... x → ∞ pxn + qxn-1 + ...

=

∞ untuk m > n ; a untuk m =n ; p 0

lim ax + bx + c − dx + ex + f 2

2

x →∞

lim ax + b − cx + d x →∞

untuk m < n

∞ untuk a > d ; b−e

untuk m =n ;

2 a -∞ untuk a < d ∞ υντυκ α > χ ; 0 υντυκ α = χ ; −∞ υντυκ α < χ

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar. DALIL L'HOPITALS Jika fungsi f dan g terdiferensir pada titik x= a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) =

lim x →∞

f ( x) f ( x) f ( x ) lim = x →a = g ( x ) lim g ( x ) g ( x )

∞ maka :

x →a

CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR 2 1. lim x − 5 x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0 x →3

3x − 2 ∞ = (jawaban salah !) x →∞ 2 x + 1 ∞

2. lim

Jawaban yang benar : karena variabel berpangkat sama, maka ambil saja koefisiennya sebagai jawaban! Jadi hasilnya =

3 2

x2 − x −1 ∞ = (jawaban salah !) x →∞ 10 x + 9 ∞

3. lim

Jawaban yang benar : karena variabel pada pembilang pangkat lebih besar dari pangkat variabel penyebut, maka jawabannya = ∞

4. lim x →2

x 2 − 3x + 2 0 = (jawaban salah !) x 2 − 5x + 6 0

Jawaban yang benar :

( x −1)( x − 2) ( x − 3)( x − 2)

=

( x −1) ( x − 3)

=

( 2 −1) ( 2 − 3)

= −1

atau langsung gunakan teori Differensial (DALIL L'HOSPITAL) -3–

then must yath now’09

x 3 − 3 x 2 + 3x − 1 0 = (jawaban salah !) x →1 0 x 2 − 5x + 6 Jawaban yang benar langsung gunakan teori Differensial (DALIL L'HOSPITAL) :

5. lim

3 x 2 − 6 x + 3 3(1) − 6(1) + 3 0 = = =0 2x − 5 2(1) − 5 −3 2

6. lim− x →2

x 2 + x − 3x 0 = (jawaban salah !) x−2 0

Jawaban yang benar : Hilangkan tanda akar dengan mengalikan bentuk sekawan

(

)

x 2 + x − 3x x 2 + x + 3x x 2 + x − 3x x 2 − 2x . = lim− = lim− x →2 x−2 x 2 + x + 3 x x →2 ( x − 2). x 2 + x + 3 x x →2 ( x − 2 ). x 2 + x + 3 x x( x − 2 ) x 2 2 1 − = lim− =− =− =− 6 = lim 2 2 2 x →2 6 2 6 ( x − 2 ). x + x + 3 x x → 2 . x + x + 3 x 2 + 2 + 3.2 lim−

atau langsung gunakan Differensial (DALIL L'HOSPITAL)

(

)

(

3x − 9 x 2 + 4 x = lim 9 x 2 − 7. lim x →∞ x →∞

(

))

9x 2 + 4x =

9−4 2 9

=

5 ingat hal khusus di atas ! 6

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1.

lim x →0

sin 2 x 2 = tan 3x 3

1 − cos 2 x 2 sin 2 x 2 sin x. sin x sin x = lim = lim = lim = lim tan x = tan 0 0 = 0 x →0 x → 0 x → 0 x → 0 sin 2 x sin 2 x 2 sin x. cos x cos x x →0 2. 1 1 1 1 1 1 1 2 sin 2 x 2 sin x. sin x 2 sin x sin x 2. 1 − cos x 3. 2 = lim 2 2 = lim 2 . 2 = 2 . 2 = 1.1 = 1 lim = lim 2 2 2 x →0 x →0 x →0 x →0 3x x 3 1 3 2 6 3x 3x 3x atau langsung gunakan DALIL L'HOPITALS 1 1 2 cos ( x + a ). sin ( x − a ) sin x − sin a 1 1 1 4. 2 2 lim = lim = lim 2 cos ( x + a ). = cos .2a = cos a x→a x →a x →a x−a x−a 2 2 2 atau langsung gunakan DALIL L'HOPITALS lim

TURUNAN

-4–

then must yath now’09

Jawab : a. u = (2x2 - 3) v = 3x - 2 u’ = 4x v’ = 3 f’(x) = u’.v + u.v’ = 4x.(3x – 2) + (2x2 – 3).3 = 12x2 – 8x + 6x2 - 9 = 18x2 – 8x - 9

b. u = (3x2 - 5) u’ = 6x

v = 2x + 3 v’ = 2

c. f’(x) = 9.(2x – 5).(x2 – 5x + 6) = (18x – 45). (x2 – 5x + 6)

Dimana ada kemauan, disitu ada

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

-5–

then must yath now’09

Contoh :

-6–

then must yath now’09

Jawab : 1. a. titik stationer didapat dari f’(x) = 0, atau y’ = 0 y’ = 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = -1, ⇔ x = −

1 2

b. y’ = 3x2 + 6x - 9 = 0 ⇔ (3x + 9)(x – 1)= 0, ⇔ x1 = 3 atau x2 = 1 c. silahkan dicoba.

2. a. y’ = 3x2 – 6x = 0 ⇔ y’’ = 6x – 6 = 0 ⇔ x = 1

karena y’’ > 0, maka fungsi memiliki titik balik minimum b. silahkan dicoba.

3. a. y’ = 4x3 – 4x ⇔ y’’ = 12x2 – 4 = 0 ⇔ x2 =

1 1 ⇔x = ± 3 3

nilai x substitusikan ke y, menjadi :

1 4 1 4 ,y= nilai maximum = 3 ⇔ 3 3 3 9 1 4 1 4 jika x = ,y=nilai minimum =− 3 ⇔ 3 3 3 9 jika x =

b. silahkan dicoba.

SOAL LATIHAN

LIMIT

-7–

then must yath now’09

1.

2.

lim 3− x + 7 = .... x → 2 x2 + x − 6 1 A. C. 0 30 1 B. 11 1+ x − 1− x = .... x

lim x→0 A. -2 B. -1

3.

4.

C. 1

x3 − 2x + 5

lim

8x 3 − 27

2x3 − 7 C.

x→3

4x 2 − 9

2

5.

3 2

B. -

3 2

B.

1 2

5 7

D.

1 2

E.

2

D.

1 2

= .... 1 2

C. -

E.

C.

1 2

1 4

3 2

2

D. 0 E. 1

lim 1 − cos 4 x = .... x→0 x sin x A. 6 B. 7

7.

2

= ....

lim sin ( x + 1 − 2) = ... x→3 x−2 A. -

6.

D. 2 E. 3

lim x→∞ 5 A. 7 1 B. 2

A. -

1 11 1 E. − 30 D. −

Nilai

C. 8

D. 10 E. 16

lim 4x 2 = .... x → 0 1 − cos 2 x

A. –2 B. –1 C. 1

D. 2 E. 4

-8–

then must yath now’09

8.

lim 2 x tan x = .... x → 0 1 − cos x

Nilai

A. –4 B. 1 C. 0 9.

lim 1 − cos ( x + 2) = .... x → −2 x 2 + 4x + 4

A. 0

D. 2

1 B. 4

E. 4

1 2

C.

10.

D. 1 E. 4

lim 6 x − sin 2 x = .... x → 0 2 x − 3 sin 4 x 2 1 A. − C. 3 5

D.

B. 0

11.

12.

lim x → −1 2 A. –2 B. –1 C. 0 lim x→0

14.

D. 2 E. 4

4x = .... 1 + 2x − 1 − 2x

A. –2 B. –1 C. 1 15.

D. 4 E. 5

3 2 lim x − 23 x + 1 = .... x →1 ( x − 1) 2 1 A. 0 C. 5 1 B. 3

lim x→4

E. 3

2x + 1 = .... 2 − 4x + 6

A. 1 B. 2 C. 3

13.

1 2

1 7 1 E. 9 D.

3 ax + b − x = , maka nilai a + b = .... 4 x−4 D. 2 E. 3

lim ( ( x + a )( x + b) − x ) = .... x→∞ -9–

then must yath now’09

a−b 2

A.

D.

B. ∞ C. 0

a+b 2

E. a + b

TUGAS INDIVIDU Berikut ini adalah soal – soal limit yang saya ambil dari soal Ujian Nasional tahun 2000 s.d. 2007 Materi Pokok : Limit Aljabar

1. Nilai

Limit x 2 - x - 6 = .... x → 3 4 - 5x + 1

a. – 8 b. – 6 c. 6 d. 8 e.

∞

Soal Ujian Nasional Tahun 2007

2. Nilai

Limit x→6

a. −

1 4

b. −

1 8

3x - 2 − 2 x + 4 = .... x−6

c. 0 d.

1 8

e.

1 4

Soal Ujian Nasional Tahun 2006

3. Nilai dari

Limit x→0

4x = .... 1 - 2x − 1 + 2 x

a. – 2 b. 0 c. 1 d. 2 e. 4 Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004

4. Nilai dari

Limit x (x + 5) − 2x + 1 = .... x→∞

a. 0 b. ¼

- 10 –

then must yath now’09

c. ½ d.

9 4

e.

∞

Soal Ujian Nasional Tahun 2005

5. Nilai

Limit  2 - x 1  −   = .... x → 2  x2 − 4 x − 2

a. – ½ b. – ¼ c. 0 d. ¼ e. ½ Soal Ujian Nasional Tahun 2004

6. Nilai dari

Limit x→0

3x 9+x − 9−x

= ....

a. 3 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15 Soal Ujian Nasional Tahun 2003

7. Nilai

Limit 1 ( y − 2) → 0 y - 2

 1 2  2 − 2  2y - y - 3 y +

  = .... y 

a. – 3 b. – 2 c. – ½ d. 0 e.

∞

Soal Ujian Nasional Tahun 2002

8. Nilai

Limit x+5 + x→∞

2x - 1 = ....

a. – 1 b. 0 c. 1 d. 2 e.

∞

Soal Ujian Nasional Tahun 2001

9.

Limit x2 = .... Nilai x → 0 1− 1+ x2

- 11 –

then must yath now’09

a. 2 b. 0 c. – 1 d. – 2 e. – 3 Soal Ujian Nasional Tahun 2000 Materi Pokok : Limit Trigonometri Limit 1 - cos 2x = .... x → 0 x. tan 1 x 2

10. Nilai

a. – 4 b. – 2 c. 1 d. 2 e. 4 Soal Ujian Nasional Tahun 2007

11. Nilai dari

Limit sin 3x - sin 3x .cos 2x = .... x→0 2 x3

a. ½ b.

2 3

c.

3 2

d. 2 e. 3 Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004

12. Nilai dari

Limit tan 2x. cos 8x - tan 2x = .... x→0 16 x3

a. – 4 b. – 6 c. – 8 d. – 16 e. – 32 Soal Ujian Nasional Tahun 2005 13.

Limit 1 - cos 2 (x - 2) = .... x → 0 3 x 2 − 12 x + 12

a. 0 b. c.

1 3 1 3

d. 1

- 12 –

then must yath now’09

e. 3 Soal Ujian Nasional Tahun 2004

14. Nilai dari

Limit x -π = .... x → 0 2 ( x − π ) + tan ( x − π )

a. – ½ b. – ¼ c. ¼ d.

1 3

e.

2 5

Soal Ujian Nasional Tahun 2003

15. Nilai

Limit cos 3x - cos x = .... π sin 2x . cos 2x x→ 2

a. – 2 b. – 1 c. 0 d. ½ e. 2 Soal Ujian Nasional Tahun 2002

16. Nilai

Limit 4x 2 = .... x → 0 1 − cos 2x

a. – 1 b. 0 c. 1 d. 2 e.

∞

Soal Ujian Nasional Tahun 2001

17. Nilai

Limit sin 2x = .... x → 0 3 − 2x + 9

a. 3 b. 1 c. 0 d. – 3

e. – 6

Soal Ujian Nasional Tahun 2000 TURUNAN

1.

Jika garis y = -x menyinggung kurva y = a +

1 , di x

kuadran IV, maka nilai a sama dengan … A. -2 D. 2 B. -1 E. 3

- 13 –

then must yath now’09

C. 1

2.

Garis y = 4x + 1 menyinggung kurva y = ax2 + bx di titik berabsis 2. Dengan demikian nilai b yang memenuhi adalah … A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3

3.

Garis yang menyinggung kurva y = ½ x2 + 2x + ½ membentuk sudut 450 dengan sumbu x positif. Persamaan garis singgung tersebut adalah … A. y = x – 1 D. y = x + 2 B. y = x E. y = ½ x + 2 C. y = x + 1

4.

Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 2x + 1 yang sejajar dengan garis 2x – y + 7 adalah … A. y = 2x – 1 D. y = -2x – 1 B. y = 2x – 2 E. y = -2x – 2 C. y = 2x – 3

5.

Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 + x + 1 yang tegak lurus dengan garis x + 5y + 7 = 0 adalah … A. y = 5x – 1 B. y = 5x C. y = 5x + 1 1 21 5 5 1 21 E. y = - x – 5 5

D. y = - x +

6.

Sebuah kurva mempunyai persamaan y = x2 + ax + b. Garis y = 2x menyinggung kurva di titik (2, 4). Dengan demikian nilai b = … A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3

7.

Kurva y = a x +

b x

melalui titik A(4, 8). Garis

singgung kurva di titik A tegak lurus dengan garis 2x + y – 1 = 0. Dengan demikian nilai (a + b) sama dengan … A. -14 D. 7 B. -2 E. 12 C. 2

8.

Kurva y = 2x2 – 3x + 1 bersinggungan dengan garis y = 5x – 5. Persamaan garis normalnya adalah … A. 5x – y = 0 B. x – 5y – 1 = 0 C. x + 5y – 1 = 0 D. x – 5y + 23 = 0 E. x + 5y – 27 = 0

- 14 –

then must yath now’09

9.

Diketahui kurva y = 3x2 – 2x + 4 dan garis normalnya adalah x + 4y – 21 = 0. Garis singgung yang bersesuaian adalah … A. y = 4x – 1 B. y = 4x + 1 17 4 17 D. y = -¼ x 4

C. y = ¼ x +

E. y = -4x + 9

10. Gradien garis singgung kurva y = x3 + 3x – 1 sama

dengan 6. Jika titik singgung dilalui oleh parabola y = x2 + 2 maka ordinat titik singgung sama dengan … A. -5 D. 5 B. 2 E. 11 C. 3 1

11. Persamaan garis singgung kurva y = 3x + x pada titik singgung (1, 2) adalah … A. y = 2x D. y = 4x – 2 B. y = 2x – 4 E. y = 4x – 6 C. y = 4x

12. Kurva y = a -

1 bersinggungan dengan garis y = x2

¼ x + 7. Dengan demikian nilai a sama dengan … A. 7 22 3 15 C. 2

B.

D. E.

23 3 31 4

x2 − a bersinggungan dengan garis x y = bx – 2 di titik berabsis 1 maka nilai a = … A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3 Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 3x2 + 3x + 1 pada titik (2, 27) adalah … A. y = 27x - 27 B. y = 27x + 27 C. y = 27x D. y = 3x – 27 E. y = 3x + 21

13. Jika kurva y =

14.

15. Misal titik potong garis y = 2x + 1 dengan y = 3x – 5 merupakan titik singgung kurva y = x3 – 6x2 dengan demikian gradien garis g sama dengan … A. 6 D. 56 B. 36 E. 72 C. 42

16. Misal garis singgung kurva y = 2x2 +

- 15 –

1 sejajar x2

then must yath now’09

dengan garis 2x – y + 7 = 0. Persamaan garis singgung tersebut adalah … A. 2x – y + 1 = 0 B. 2x – y + 2 = 0 C. 2x – y + 3 = 0 D. X – 2y + 1 = 0 E. X – 2y + 2 = 0

17. Garis singgung kurva y = x2 + 2x + 1 tegak lurus

dengan garis 4y – x – 12 = 0. Dengan demikian persamaan garis singgung kurva tersebut adalah … A. y + 4x + 16 = 0 B. y + 4x – 16 = 0 C. y – 4x + 16 = 0 D. 4y + x – 16 = 0 E. 4y + x + 16 = 0

18. Garis g : ax + b dan garis h : y = 2x + 7 saling sejajar. Garis g menyinggung kurva y = x x - x. Nilai a + b = … A. -2 D. 6 B. 0 E. 8 C. 2

19. Misal parabola y = x2 + 3x + b bersinggungan dengan garis y = mx + 1. Jika titik singgungnya terletak pada sumbu simetri parabola y = x2 – 2x + 7, maka nilai b = … A. 1 D. 4 B. 2 E. 5 C. 3

20. Persamaan garis singgung di titik dengan x = 2 pada 27 adalah ... 5x − 1 5x + 2y – 28 = 0 x + 2y – 20 = 0 5x – 2y – 8 = 0 x – 2y + 16 = 0 2x – y + 5 = 0

kurva y = A. B. C. D. E.

TUGAS INDIVIDU 1.

Sebuah benda berputar pada sumbunya. Pada waktu t setiap jari-jari roda itu sudah menjalani sudut sebesar ω = 72t – 3t2. Laju perubahan kecepatan sudutnya ... F. selalu makin tinggi G. selalu makin rendah

- 16 –

then must yath now’09

H. makin tinggi hanya pada t < 12 I. makin rendah hanya pada t > 12 J. paling tinggi pada t = 24

2.

Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan membentuk segitiga di kuadran pertama dengan luas terkecil adalah ... 3 K. y – 3 = (x – 2) 2 3 L. y – 3 = - (x – 2) 2 2 M. y – 3 = (x – 2) 3 2 N. y – 3 = - (x – 2) 3 1 O. y – 3 = (x – 2) 3

3.

Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t 1 diberikan oleh fungsi s(t) = - t3 + 3t2 – 5t. 3 Kecepatan tertinggi mobil dicapai pada waktu t = ... P. 5 D. 2 Q. 4 E. 1 R. 3

4.

Diketahui f(x) = 3x2 – 5x + 2 dan g(x) = x2 + 3x – 3. Jika h(x) = f(x) – 2 g(x), maka h1(x) adalah ... S. 4x - 8 D. 2x - 11 T. 4x - 2 E. 2x + 1 U. 10x - 11

5.

6.

 3 Jika f(x) =  2x + x3  6 27 V. 8x - 3 x x x 6 27 W. 8x - 3 + x x x 12 27 X. 8x - 4 x x x 6 27 Y. 8x - 4 x x x 6 27 Z. 8x - 4 + x x x

  , maka f1(x) = ...  

1 3 3 2 x - x + 2x mempunyai garis 3 2 singgung mendatar pada titik singgung ...  2 AA.  2,   3 Grafik dari y = =

- 17 –

then must yath now’09

2  BB.  , 2  3   5 2  CC.  1,  dan  , 2  8   3  5   2 DD.  , 1  dan  2,   3 8  2    5 EE.  2,  dan  1,   3  6

7.

Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung π  kurva y = tan x di titik  , 1  adalah ... 4  x π FF.y = + +1 2 4 x π GG.y = + -1 2 8 x π HH.y = -1 2 8 x π II. y = -1 2 4 x π JJ. y = + +1 2 8

8.

Seekor semut merayap pada bidang X0Y. Pada saat t ia berada di titik x(t), y(t) dengan x(t) = t dan y(t) = t2 – 4t + 5. Semut itu akan berjarak minimum ke sumbu x pada saat jarak semut itu dari sumbu y sama dengan ... KK.2 D. 5 LL.3 E. 6 MM.4

9.

Sebuah roda berputar mengelilingi titik pusatnya. Sudut simpangan setiap titik pada roda tersebut pada waktu t dirumuskan sebagai berikut : 3 1 ϑ( t ) = 54t − t2 − t3 besar sudut ϑ pada waktu 2 3 kecepatan sudutnya sama dengan nol adalah ... NN.198 D. 75 OO.195 E. 50 PP.190

10. Nilai ekstrim fungsi f(x) = (x – 2) (x – 1)2 dicapai pada ... QQ.x = -1 dan x = -2 RR.x = 1 dan x = 2 5 SS.x = -1 dan x = 3 5 TT.x = 1 dan x = 3 5 UU.x = -1 dan x = 3

dy

11. Jika y = 2 cos 3x cos x, maka dx = …

- 18 –

then must yath now’09

A. B. C. D. E.

4 sin 4x + 2 sin 2x -4 sin 4x - 2 sin 2x 4 cos 4x + 2 cos 2x -4 cos 4x – 2 cos 2x -2 sin 2x – sin x  1 

12. Jika y = sin  x +1  , maka y1 = …   A. -

B.

1

( x + 1) 2



 1  cos    x +1 

 1  cos   ( x + 1) 2  x + 1  1

1



 D. cos  3 ( x + 1 )  

E. -

 1 cos  2  ( x + 1)

   

 1    x +1 

C. cos 

sin x 1  13. Jika f(x) = sin x + cos x , maka f 1 4 π  = …  

A.

1 8

C. ½

B. ¼

D. 1

E. 2

14. Jika f(x) = (sin 2x – cos 2x)2, maka f1(x) = ... A. -2 cos 2x B. -2 sin 2x C. -2 cos 4x

D. -4 cos 4x E. -8 cos 4x

1 + cos 2 x

15. Jika f(x) = 1 − cos 2x , maka f1(x) = ... A. B. C. D. E.

-2 cot x.cosec2 x 2 cot x. cosec2 x -2 tan x .sec2 x 2 tan x .sec2 x 2 cos 2x

- 19 –

then must yath now’09