Modul 10 Tri Xii Ipa

10. Siswa mampu memahami perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, melakukan manipulasi aljabar untuk menyusun bukti serta menggunakannya dalam pemecahan masalah -1–

Trigonometri - Aturan sinus dan aturan kosinus - Rumus jumlah dan selisih dua sudut - Rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus, dan tangen - Persamaan trigonometri then must yath now’09

HUBUNGAN-HUBUNGAN ctg α = 1/tg α sec α = 1/cos α cosec α = 1/sin α

tg α = sin α / cos α sin2 α + cos2 α = 1 tg2 α + 1 = sec2 α

TANDA-TANDA FUNGSI Kuadran

I 0° - 90°

II 90° - 180°

III 180° - 270°

IV 270° - 360°

Sin

+

+

-

-

Cos

+

-

-

+

Tan

+

-

+

-

SUDUT ISTIMEWA 0°

30°

45°

60°

90° 180° 270°

sin

0

1/2

½ √2

½ √3

1

0

-1

0

cos

1

½ √3

½ √2

1/2

0

-1

0

1

tan

0

1/3 √3

1

√3

~

0

~

0

Sudut (90 - α)

Sudut (90 + α)

sin (90 - α) = Cos α Cos (90 - α) = sin α tan (90 - α) = cot α Sudut (180 - α)

sin (90 + α) = Cos α Cos (90 + α) = - sin α tan (90 + α) = - cot α Sudut (180 + α)

sin (180 - α) = sin α Cos (180 - α) = - Cos α tan (180 - α) = - tan α Sudut (270 - α)

sin (180+α) = -sinα Cos (180 + α) = - Cos α tan (180 + α) = tan α Sudut (270 + α)

sin (270 - α) = - Cos α cos (270 - α) = - sin α tan (270 - α) = ctg α Sudut (360 - α)

sin (270 + α) = -cos α cos (270 + α) = sin a tan (270 + α) = - cot α Sudut (360 + α)

sin (360 - α) = - sin α Cos (360 - α) = Cos α tan (360 - α) = - tan α

sin (360 + α) = sin α Cos (360 + α) = Cos α tan (360 + α) = tan α

Sudut Negatif

KUADRAN II

sin (-α) = - sin α Cos (-α) = Cos α tan (-α) = - tan α

Sinus positif (SINDIKAT)

360°

KUADRAN I Semua positif (SEMUA)

Untuk a sudut lancip

-2–

Tangen positif (TANGAN) KUADRAN III

Cosinus positif (COSONG)

then must yath now’09

KUADRAN IV

Kuadran

Hubungan

I

α

II

(180 - α)

III

(180 + α)

IV

(360 - α)

(90 - α) atau

(90 + α) (270 - α) (270 + α)

DALIL SINUS a = b = c sin α sin β sin δ LUAS SEGITIGA a² = b² + c² - 2 bc cos α b² = a² + c² - 2 ac cos β c² = a² + b² - 2 ab cos δ DALIL COSINUS Luas = ½ ab sin δ = ½ ac β = ½ bc α Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui :

L = s ( s − a )( s − b )( s − c )

s = setengah keliling segitiga =

1 (a+b+c) 2

LINGKARAN DALAM, LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN SINGGUNG SUATU SEGITIGA 1. Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran L1 menyinggung sisi-sisi segitiga ABC, titik pusat lingkaran dalam didapat dari perpotongan garis bagi-garis bagi sudut segitiga ABC.

O rrRO

Hubungan :

2. Lingkaran Luar Segitiga

rd =

[ ( s − a )( s − b )( s − c ) ] s

Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik pusat lingkaran luar didapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC.

Hubungan :

rl =

a b c a.b.c = = atau rl = sin a sin b sin c 4.L∆

3. Lingkaran Singgung Segitiga

-3–

then must yath now’09

Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalam sudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tiga lingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC dan menyinggung sisi AC. Hubungan : rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC =

√ s(s-b)(s-c)

(s-a) rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC =

√ s(s-a)(s-c)

(s-b) rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB =

√ s(s-a)(s-b) (s-c)

Koordinat Cartesius titik P(xp , yp) Koordinat Kutub titik P (r, θ) r = jarak titik O ke P a = sudut yang dibentuk antara garis

hubung OP dengan sumbu x(+)

Terdapat hubungan Kutub → Cartesius

Cartesius → Kutub

(r,θ) ⇒ xp = r cos q yp = r sin θ

(xp,yp) ⇒ = √xp2 + yp2 tg θ = yp/xp ⇒ θ = ?

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (α + β) sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β tg(α + β ) = tg α + tg β 1 - tg2α SELISIH DUA SUDUT (α - β) sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β tg(α - β ) = tg α - tg β 1 + tg2α

SUDUT RANGKAP sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2α - sin2 α = 2 cos2α - 1 = 1 - 2 sin2α

-4–

then must yath now’09

tg 2α = 2 tg 2α 1 - tg2α sin α cos α = ½ sin 2α cos2α = ½(1 + cos 2α) sin2α = ½ (1 - cos 2α) Secara umum : sin nα = 2 sin ½nα cos ½nα cos nα = cos2 ½nα - 1 = 2 cos2 ½nα - 1 = 1 - 2 sin2 ½nα tg nα = 2 tg ½nα 1 - tg2 ½nα JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA BENTUK PENJUMLAHAN → PERKALIAN sin α + sin β

= 2 sin α + β cos α - β 2 2 sin α - sin β = 2 cos α + β sin α - β 2 2 cos α + cos β = 2 cos α + β cos α - β 2 2 cos α + cos β = - 2 sin α + β sin α - β 2 2 BENTUK PERKALIAN → PENJUMLAHAN 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α - β) 2 cos α sin β = sin (α + β) - sin (α - β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α - β) - 2 sin α cos β = cos (α + β) - sin (α - β) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin x Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - α) a cos x + b sin x = K cos (x-α) dengan : K = √a2 + b2 dan tg α = b/a ⇒ α = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

-5–

then must yath now’09

I

II

III

IV

a

+

-

-

+

b

+

+

-

-

keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x

PERSAMAAN I. sin x = sin α ⇒ x1 = α + n.360° x2 = (180° - α) + n.360° cos x = cos α ⇒ x = ± α + n.360° tg x = tg a ⇒ x = a + n.180° (n = bilangan bulat) II. a cos x + b sin x = c a cos x + b sin x = c k cos (x-α) = c cos (x-α) = c/k syarat persamaan ini dapat diselesaikan -1 ≤ C/K ≤ 1 atau K² ≥ C² (bila K dalam bentuk akar) misalkan c/k = cos β cos (x - α) = cos β (x - α) = ± β + n.360° → x = (α ± β ) + n.360° y = a cos x + b sin x a cos x + b sin x = K cos (x - α) Maksimum = K → bila cos (x - α) = 1 cos (x - α) = cos 0° → untuk x = α + n.360° Minimum = -K → bila cos (x - a) = -1 cos (x - a) = cos 180° → untuk x = α ± 180° + n.360° NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x) y=0

→ bila cos (x-a) = 0 cos (x-a) = cos 90° → untuk x = a ± 90° + n360°

-6–

then must yath now’09

Tegakkan langkahmu, kepakkan sayapmu……….

2. Membuat Grafik Fungsi Trigonometri a. Grafik y = sin xo , 00 ≤ X ≤ 3600

x

0

30

90

y

0

1/2

1

150 180 210 270 330 360 0 -1/2

1/2

-1

-1/2

0

y Y = sin x 1

270 0 0

90 0

x

360 0

180 0

-1

b. Grafik y = Cos xo ; 00 ≤ X ≤ 3600

x y

0 1

60

90 120 180 240 270 300 360

½

0

- 1/2

-1 - 1/2

0 ½

1

Y = Cos x

1

270 0 90

0

180

0

360 0

0

c. Grafik y = tg xo x y

0 0

45

90

135

1

-1

0

180 1

-7–

225 1

270

315 360

0

then must yath now’09

Y = Tg x

1

0

45 0

90 0

270 0

135 0 180

0

225

315 0

0

360 0

-1

SOAL LATIHAN I TRIGONOMETRI 1. Suatu fungsi f : R → R didefinikan oleh f(x) = 2 – sin 2 x. Grafik fungsi tersebut terletak di antara .... A. sumbu X dan sumbu y = 2 B. garis y = -1 dan y = 1 C. garis y = 1 dan y = 2 D. garis y = -1 dan y = 2 E. sumbu X dan garis y = 1

π 3 dan cos α cos β = , maka nilai cos 6 4

2. Jika α + β = (α - β) = ....

1 + 9 3 B. + 2 3 C. + 4 A.

1 2

D.

3

1 2

3

1 2

3

3 2

E.

1 2

1 2

3

3

3. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui a = 16 cm, b = 10 cm dan luasnya = 40 cm2. Besar sudut apit sisi a dan sisi b adalah .... A. 150 D. 600 0 B. 30 E. 750 0 C. 45

-8–

then must yath now’09

A 2 = ..... 4. Jika A + B + C = 3600 maka B+C sin 2 A B+C A. 0 C. tan D. sec 2 2 A B. 1 E. cot 2 sin

5. Jika tan A = m, maka cos 3A = .... 1 − 3m 2 2 A. D. 2 1+ m B.

C.

(1 + m) 1 + 3m

(1 + m) 2 1 + 3m 2 (1 + m 2 ) 2

6. Bila tan x0 =

2 13 3 B. 13 5 C. 13 A.

1+ m

2

E.

1 − 3m 2 (1 + m 2 ) 2 1 − 3m 2 1 + m2

1 + m2 1 + m2

1 + m2 3 dan 00 < x < 900, maka sin 2x0 = …. 2 7 D. 13 12 E. 13

7. Suatu segitiga ABC diketahui ∠C = 750 , ∠B = 450 an BC =

3 2

A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm 8. Jika

6

cm, maka panjang sisi AC adalah .... D. 5 cm E. 6 cm

π < x < π dan x memenuhi persamaan tan2 x + 2

2tan x – 8 = 0, maka nilai sin x adalah .... A. B. C.

4 17 1 17

4 17 16 E. 17 D.

1 17

9. Untuk 00 < x < 3600, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan sin 2x > sin x adalah .... A. 00 < x < 450 atau 1800 < x < 2700 B. 00 < x < 600 atau 3000 < x < 3600 C. 00 < x < 450 atau 1800 < x < 3000

-9–

then must yath now’09

D. 00 < x < 600 atau 1800 < x < 2700 E. 00 < x < 600 atau 1800 < x < 3000 10. Himpunan penyelesaian dari persamaan -2 cos2 x + sin x + 1 = 0 pada interval adalah ....

 π 5π 3π   , ,  3 6 2   π π 5π  B.  , ,  6 3 6   π 5π 3π  ,  C.  , 6 6 2 

 π 5π 3π   , ,  12 6 2   π π 5π  E.  , ,  12 6 6 

A.

11.

π 2

∫ Cos 2x

D.

Sin x dx = ….

0

1 12 4 B. − 12 5 C. − 12 A.

12.

10 12 11 E. 12

−

lim x→0

D.

−

4x = …. Tan 2 x

A. 0 B. 1 C. 3

D. 3 E. 4

13. y = 4 Sin x . Sin (x + 600) mencapai nilai minimum pada …. A. x = 600 + k. 3600 D. x = 300 + k. 1800 0 0 B. x = 60 + k. 180 E. x = k. 3600 0 0 C. x = 30 + k. 360 14. Grafik berikut menggambarkan fungsi …. 2

A. B. C. D.

π/2 π -2

y = cos x y = 2 cos x y = cos 2x y = 2 cos 2x

E. y = cos

x 2

1π ) = …. 6 1 3 D. 2

15. Jika f(x) = sin x . cos x, maka f 1( A. 0 B.

1 2

C.

1 2

2

E.

1

16. α adalah sebuah sudut lancip yang memenuhi 2 cos 2 α

- 10 –

then must yath now’09

= sin2 α, maka tan α = …. 1 A. 3 3 1 B. 2 C. 2 -

D. 1 E.

3

3

17. Segitiga PQR siku-siku di R dan sin P . cos Q = maka

3 , 5

tan P = …. tan Q

1 1 D. 1 3 2 1 B. E. 3 2 C. 1 18. Keliling suatu segitiga yang sisi-sisinya membentuk deret aritmetika adalah 12 cm. Jika sudut dihadapan sisi terpanjang adalah 1200 , maka luas segitiga tersebut adalah …. 15 11 A. D. 5 3 5 3 17 12 B. E. 5 3 5 3 13 C. 5 3 A.

19. Jika tan2 x ≠ 1 = a2 , maka sin2 x = …. 1 1 − a2 a2 A. C. D. 2 2 a2 B.

a − a2

20. Jika cos A =

160 289 161 B. 289 200 A.

C.

E.

a2 +1

a +1 a2 −1 a2

8 , maka nilai sin 2A adalah …. 17 230 D. 289 240 E. 289

289

21. Nilai sin 750 – sin 150 = …. 1 A. 2 2 B. C. 2

2

1 3 1 E. 2

D.

3 3

2

- 11 –

then must yath now’09

22. Sin A =

3 7 , sin B = , A dan B sudut lancip. Nilai cos 5 25

(A + B) adalah ….

12 25 21 B. 25 3 C. 5 A.

D. E.

21 75

12 75

23. Segitiga PQR siku-siku di Q. Jika sin (Q + P) = a, maka cos P – sin R = …. A. –2 a D. a B. –a E. 2a C. 0 24. Jika sin A =

22 25 24 B. 25 112 C. 125 A.

3 , maka harga sin 3A adalah …. 5 117 D. 125 119 E. 125

25. Sin 2x – Sin 2y = …. A. Sin 2(x – y) B. –2 Sin (x + y) Sin (x – y) C. 2 Sin (x – y) D. 2 Cos (x + y) Sin (x – y) E. 2 Sin (x + y) Cos (x – y)

Orang yang tekun adalah mereka yang tetap berusaha walaupun yang lain sudah

- 12 –

then must yath now’09

TUGAS INDIVIDU 1.

Jika tan2 x + 1 = a2, maka sin2 x = … A.

1− a 2 a2

−a2 a 2 +1 1 C. 2 a

B.

2.

π

B. C.

3.

C.

a 2 −1 a2

D.

1+ p 2 p 2 + p +1

E.

1+ p 2

p 2 − p −1 1+ p 2 p 2 − p +1 1+ p 2

− p 2 + p −1 1+ p 2

π

B.

E.

p 2 + p −1

< x < π dan sin x = a, maka cos x – tan x = ...

Jika 2 A.

a2 a 2 +1

< α < π dan tan α = p, maka sin α − cos1α = ...

Jika 2 A.

D.

2

a + a −1

D.

1− a 2 a 2 − a −1 1− a

E.

2

− a 2 + a +1 1− a 2 a 2 + a +1 1− a 2

a 2 − a +1 1− a 2

4. Diketahui segitga PQR siku-siku di Q. Jika sin (Q + P) = r, maka cos P – sin R = ... A. -2r D. r B. -r E. 2r C. 0 5.

3π

Apabila cos t = 1/3 dengan 2 t adalah ... 2

8

2

A. 3 2

B. - 3

< t < 2π , maka nilai sin

D. - 9 2

2

E. - 3

8

C. 9 6.

Segitiga PQR siku-siku di R dan tan P 3/5, maka tan Q

A. 3 B. 1 ½ C. 1

sin P cos Q =

= ...

D. ½

E. 1/3

- 13 –

then must yath now’09

7.

Jika

α + β = 2700 maka

cos

β = ...

β B. 2 cos β A. 2 sin

8.

β + sin β

D. cos E. 0

Diketahui segitiga ABC, panjang sisi AC = b cm, sisi BC = a cm, dan a + b = 10 cm. Jika ∠ A 300 dan ∠ B = 600 maka panjang sisi AB = ... cm A. 10 + 5

3 C. 10 3 - 10 B. 10 - 5 3 E. 5 3 + 15 9.

α + sin

D. 5

3 +5

( tan 2 π3 )(cos2 π6 )+ ( tan 2 π6 )(sin 2 π3 ) = ... sin π6 cos π3

A. 10 B. 5 C. 3

D. 2 E. 1

10. Jika 00 < x < 900 diketahui

tan x 1 − sin 2 x = 0,6

maka tan x ... A. 2,25 D. 0,8 B. 1,8 E. 0,75 C. 1,25

α = 300 11. Dari segitiga ABC diketahui bahwa dan β = 600, jika a + c = 6, maka panjang sisi b adalah ... A.

C. 2

2 3

B.

D. 2

2 E. 2 2

1

15 maka sec x = ...

12. Jika 00 < x < 900 dan cot x = 7 3

8

A. 7

11

C. 7

5

3

D. 7

13

B. 7

E. 7

( π − x ) = ..

1

13. Jika cos x = 5 5 maka cot 2 A. -2 D. 5 B. -3 E. 6 C. 4

α , β , dan γ . Jika sin α = p dengan α lancip, maka tan ( β + γ ) = ...

14. Sudut-sudut segitiga ABC adalah

A.

1− p 2 p

B.

-

C. 1− p 2 p

p 1− p

D. -

2

p 1− p 2

p

E. - 1− p

- 14 –

then must yath now’09

( π − x ) = ...

2

15. Jika sin x = 3 maka cot 2 A. 2

5

D. 2

1

5

B. 5

3

5

E. 3

1

5

2

5

C. 5

16. Diketahui sin

ϑ = a, ϑ sudut tumpul, tan ϑ = ...

a

( a 2 −1)

A. -

a

(1− a )

B. -

a

(1+ a 2 )

C. -

17. Jika x = 3 tan

a 1+ a 2

a

(1− a 2 )

E.

2

D. -

ϑ maka sin ϑ . cos ϑ = ... 3x x 2 +9 3x E. - 2 x +9

A. 5

D.

B. 8 C. 10

18. Nilai cos 11100 adalah ... A.

D. – ½

3

B. ½ C. -

3 E. ½

3 3

19. cos 1500 + sin 450 + ½ cot (-330)0 = ... A. ½

D. – ½

3

B. - ½ C. ½

E.

3

1

3 dan

( x + π2 ) + sin ( π − x ) 3

D. 2

3 1

B. 3 C. ½

2

2

20. Jika tan x = 3

A.

2

3

π 2

< x < π , maka 3cos + cos

=

3 E.

3 +½

3

- 15 –

then must yath now’09