Modul 1 Logika Kelas Xii Ipa

1. Siswa mampu memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk, serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan masalah.

Logika matematika • Ingkaran suatu pernyataan • Penarikan kesimpulan

“Knowledge is power”

-1-

then must yath now’09

“Don’t worry about your difficulties in mathematics, I sure,that mind are still greater” Contoh soal : 1. Negasi dari pernyataan majemuk : a. b.

( r ∧ ¬q ) ⇒ ¬ p ( q ∨ ¬r ) ⇒ p

p ⇒ ( q ∨ ¬r ) adalah …. c. p ∧ ( q ∨ ¬p ) e. p ∧ ( ¬q ∧ r ) d. p ∨ ( ¬q ∨ r )

Jawaban : e

p ⇒ ( q ∨ ¬ r ) ≡ ¬p ∨ ( q ∨ ¬ r ) ¬{¬p ∨ ( q ∨ ¬r )} ≡ p ∧ ¬( q ∨ ¬r ) = -2-

p ∧ ( ¬q ∧ r ) then must yath now’09

2. NIlai x yang menyebabkan pernyataan : “Jika x2 + x = 6 maka x2 + 3x < 9” bernilai salah adalah …. a. -3 b. -2

c. 1 d. 2

e. 6

Jawaban : d P : x2 + x = 6 Q : x2 + 3x < 9 P ⇒ Q bernilai salah jika p benar dan q salah x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x = -3 atau x = 2, substitusi nilai x tersebut ke persamaan Q, sehingga : x2 + 3x < 9 x = -3 ⇔ (-3)2 + 3(-3) < 9 ⇔ 9–9<9 ⇔ 0 < 9 ( benar) x = 2 ⇔ (2)2 + 3(2) < 9 ⇔ 4+6<9 ⇔ 10 < 9 ( salah) Q bernilai salah untuk x = 2, jadi nilai x yang menyebabkan pernyataan bernilai salah adalah x = 2 3. Diketahui argumentasi :

1)

2)

3)

Argumentasi yang sah adalah …. a. 1) dan 2) c. 2) dan 3) b. 1) dan 3) d. hanya 2

e. hanya 3

Jawaban : e 1) Argumentasi tidak sah, karena p ⇒ q benar dan q benar belum tentu p bernilai benar 2) Argumentasi tidak sah, karena untuk r bernilai salah, ¬r ⇒ ¬q belum tentu bernilai benar 3) Argumentasi sah, karena sesuai dengan prinsip silogisme 4. Diketahui premis – premis sebagai berikut : 1) Jika Anik Lulus ujian maka ia kuliah di perguruan tinggi negeri 2) Jika Anik kuliah di perguruan tinggi negeri makaAni jadi sarjana 3) Anik bukan seorang sarjana Kesimpulan yang sah dari pernyataan di atas adalah …. a. Anik lulus ujian b. Anik kuliah di perguruan tinggi negeri c. Anik tidak lulus ujian d. Anik lulus ujian dan kuliah di perguruan tinggi negeri e. Anik lulus ujian dan tidak kuliah Jawaban : c Misalkan p : Anik lulus ujian q : Ia kuliah di perguruan tinggi negeri r : Anik jadi sarjana premis 1) : p ⇒ q premis 2) : q ⇒ r

-3-

then must yath now’09

kesimpulan : premis 3) : kesimpulan :

p⇒r ¬r ¬p

jadi kesimpulannya : Anik tidak lulus ujian

SOAL LATIHAN 1. Ingkaran dari kontra posisi (∼p ∧ q) → ∼r adalah …. A. ∼p ∨ q ∧ ∼r D. ∼p ∧ q ∧ r B. p ∧ ∼q ∨ r E. p ∨ ∼q ∧ ∼r C. p ∧ ∼q ∨ ∼r 2. Pernyataan : “Jika Azzam sakit maka ia tidak masuk sekolah” ekuivalen dengan …. A. Jika Azzam sehat maka ia masuk sekolah B. Azzam sakit dan ia masuk sekolah C. Jika Azzam masuk sekolah maka ia sehat D. Azzam sehatt atau ia masuk sekolah E. Azzam sakit atau ia masuk sekolah 3. Penarikan kesimpulan yang sah adalah …. A. p → q D. ∼p → q ∼p q ∴ ∼q ∴∼p B. ∼p → q q→r ∴ ∼p → r

E. .

p→q p ∴∼q

.

C. p → ∼q q ∴p 4. Ingkaran pernyataan :”Jika guru tidak hadir maka semua murid bersukaria” adalah .... A. Guru hadir dan semua murid tidak bersukaria B. Guru hadir dan beberapa murid bersukaria C.Guru hadir dan beberapa murid tidak bersukaria D. Guru tidak hadir dan beberapa murid tidak bersukaria E. Guru tidak hadir dan semua murid tidak bersukaria 5. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumen →q adalah ..... ∼r → ∼q ∴ .......... A. p ∧ q C. p ∧ ∼r D. ∼p ∨ r B. p ∧ r E. p ∨ ∼r

p

6. Ingkaran dari pernyataan : “Semua peserta UN 2004 membawa pensil 2B” adalah .... A. Beberapa peserta UN 2004 membawa pensil 2B B. Beberapa peserta UN 2004 tidak membawa pensil 2B

-4-

then must yath now’09

C. Semua peserta UN 2004 tidak membawa pensil 2B D. Semua yang bukan peserta UN 2004 membawa pensil 2B E. Semua yang bukan peserta UN 2004 tidak membawa pensil 2B 7. Ingkaran pernyataan :”Beberapa guru matematika, tidak memiliki ijazah akta IV” adalah A. Beberapa guru matematika, memiliki ijazah akta IV B. Beberapa guru matematika, tidak memiliki ijazah akta IV C. Semua guru matematika, memiliki ijazah akta IV D. Semua guru matematika, tidak memiliki ijazah akta IV E. Semua yang bukan guru matematika, tidak memiliki ijazah akta IV 8. Pernyataan :”Jika keadilan di Indonesia terwujud, maka semua guru sejahtera” ekuivalen dengan pernyataan ... A. Jika keadilan di Indonesia tidak terwujud, maka semua guru tidak sejahtera B. Jika keadilan di Indonesia terwujud, maka semua guru tidak sejahtera C. Jika keadilan di Indonesia terwujud, maka semua guru sejahtera D. Jika keadilan di Indonesia terwujud, maka ada guru yang tidak sejahtera E. Jika beberapa guru tidak sejahtera, maka keadilan di Indonesia tidak terwujud 9. Pernyataan “Jika anda rajin belajar, maka anda akan lulus UN” ekuivalen dengan .... A. Jika anda lulus UN, maka anda rajin belajar B. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda tidak akan lulus UN C. Anda rajin belajar atau anda tidak akan lulus UN D. Anda tidak lulus UN atau anda rajin belajar E. Anda tidak lulus UN dan anda rajin belajar. 10. Ingkaran dari invers (p ∧ ∼q) → p adalah …. A. ∼p ∨ q → ∼p C. ∼p ∧ q ∧ p D. p ∨ q ∧ p B. ∼p ∨ q ∧ p E. p ∨ q ∨ p 11. Kontraposisi dari pernyataan : p → (p ∨ ∼q) = A. ∼p ∧ q ∨ p D. p ∧ ∼q ∧ ∼p B. p ∨ ∼q ∨ ∼p E. p ∨ ∼q ∨ p C. p ∨ ∼q ∧ ∼p

p→q 12. Cara mengambil kesimpulan q → r disebut ∴~ p ∨ r A. Modus Tollens

D. Implikasi

-5-

then must yath now’09

B. Modus Ponens C. Silogisme

E. Biimplikasi

13. Kesimpulan dari tiga premis : 1. ∼p ∨ ∼q 2. r ∨ q 3. r adalah …. A. ∼p D. p ∨ q B. ∼q E. r ∧ ∼q C. q 14. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumen berikut : p ∨ q adalah …. ∼r → ∼q A. p ∧ r D. ∼p ∧ r B. ∼p ∨ r E. p ∨ r C. p ∧ ∼r

15. Kesimpulan dari premis-premis di bawah ini ; (1) Semua guru matematika disukai siswa atau semua siswa senang matematika. (2) Jika beberapa siswa tidak berprestasi, maka beberapa siswa tidak senang matematika, adalah …. A. Semua guru matematika disukai siswa dan semua siswa berprestasi B. Semua guru matematika disukai siswa atau semua siswa berprestasi C. Beberapa guru matematika tidak disukai siswa atau semua siswa berprestasi D. Semua guru matematika disukai siswa dan beberapa siswa tidak berprestasi E. Beberapa guru matematika tidak disukai siswa dan beberapa siswa berprestasi. 16. Diketahui premis-premis : (1) ∼p → ∼q (2) q Kesimpulan yang bisa ditarik dari kedua premis tersebut adalah …. A. p D. p ∧ q B. ∼p E. ∼q C. Tidak bisa ditarik kesimpulan yang sah 17. Diketahui premis-premis : (1) ∼p ∨ ∼q (2) q ∨ r (3) r → ∼s Kesimpulan yang bisa ditarik dari ketiga premis tersebut adalah …. A. p → ∼s D. q → s B. p → s E. ∼q → s C. ∼p → s

-6-

then must yath now’09

18. Diketahui premis-premis berikut ini : (1) Jika saya punya yang maka saya akan membeli buku (2) saya tidak membeli buku atau saya malas membaca (3) saya tidak malas membaca Kesimpulan yang bisa ditarik dari ketiga premis tersebut adalah …. A. Saya punya uang B. Saya tidak punya uang C. Saya punya mobil D. Saya tidak membeli buku E. Tidak ada kesimpulan yang sah

19. Diketahui premis-premis berikut ini : (1) Jika bunga itu tidak berduri maka bunga itu bukan mawar (2) Bunga itu berduri Kesimpulan yang bisa ditarik dari kedua premis tersebut adalah …. A. Bunga itu mawar B. Bunga itu bukan mawar C. Bunga itu harum baunya D. Bunga itu melati E. Tidak ada kesimpulan yang sah 20. Argumen berikut yang merupakan argumen tidak sah adalah …. A. ∼p → q D. p ∨ ∼q ∼q . ∼p . ∴p ∴∼q B. ∼p ∨ q ∼q ∴ ∼p

E. .

∼p → ∼q p . ∴q

C. ∼q → ∼p ∼r → ∼q ∴p→r

Lembar Essay

1. Jika P adalah pernyataan dan BP adalah bukan pernyataan, berilah tanda (√) pada kolom yang disediakan dalam tabel berikut: Kalimat a. Setiap bilangan prima adalah ganjil b. Buanglah sampah pada tempatnya Terdapat bilangan bulat a dan b sedemikian sehingga a + c. 3b = 12 d. sin 450 = ½

-7-

P

BP

then must yath now’09

e. f. g. h. i. j. k. l.

Nanti malam akan turun hujan Dua bukan bilangan prima Setiap bilangan genap habis dibagi dua Padang adalah Ibukota Propinsi Sumatera Utara x + 10 < 5 3 + 25 = 9 Amir adalah anak yang pandai Ani adalah anak yang cantik skor maks 6)

2. Jika B menyatakan pernyataan yang bernilai benar dan S menyatakan pernyataan yang bernilai salah, berilah tanda (√) pada kolom yang disediakan dalam tabel berikut: a. b. c. d. e. f.

Pernyataan 23 = 8 dan Bogor terletak di Jawa Barat x2 – 3x + 5 < 0, x ∈ R

B

S

1 1 3 atau tan 600 = 4 2 1 1 3 maka tan 600 = 3 Jika sin 600 = 2 2 1 2 log = x jika dan hanya jika x = -4 32 3

log 81 =

Grafik y = 3x2 – 2x + 5 memotong sumbu Y pada (0, 5)

(∼p ∨ q) ∨ r Jawab :

3.

≡ (p ⇒ q) ∨ r (skor maks 6)

skor maks 6) Buktikan bahwa :

4. Tentukan pernyataan berikut (tautologi, kontradiksi atau kontingensi): a. (p ⇒ ∼q) ⇔ (q ⇒ ∼p) (skor maks 3) Jawab :

b. [(p ⇒ q) ∧ ∼q] ∧ p (skor maks 3) Jawab :

5. Tentukan nilai a, sehingga : a. Jika x2 + ax + 1 = 0 memiliki akar kembar maka tan 45 0 =

1 2 bernilai salah (skor 2

maks 3) Jawab :

b. a2 – 4a = 0 dan a2 – 8a + 16 = 0 bernilai benar (skor maks 3) Jawab :

-8-

then must yath now’09

TUGAS MANDIRI Berikut ini adalah soal – soal logika matematika yang saya ambil dari soal Ujian Nasional tahun 2000 s.d. 2007

1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk :

p →

( p V ~q ) adalah …. a. ( p V ~q ) → ~p b. (~p Λ q ) → ~p c. ( p V ~q ) → p d. (~p V q ) → ~p e. ( p Λ ~q ) → ~p Soal Ujian Nasional tahun 2001

2. Invers dari pernyataan p → ( p Λ q ) a. (~p Λ ~q ) → ~p b. (~p V ~q ) → ~p c. ~p → (~p Λ ~q ) d. ~p → (~p Λ q ) e. ~p → (~p V ~q ) Soal Ujian Nasional tahun 2005

3. Diketahui pernyataan : I. Jika hari panas, maka Ani memakai topi II. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung III. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah …. a. Hari panas b. Hari tidak panas c. Ani memakai topi d. Hari panas dan Ani memakai topi e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi Soal Ujian Nasional tahun 2007 4. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut : Jika Siti sakit maka dia pergi ke dokter Jika Siti pergi ke dokter maka dia diberi obat. adalah …. a. Siti tidak sakit atau diberi obat b. Siti sakit atau diberi obat c. Siti tidak sakit atau tidak diberi obat d. Siti sakit dan diberi obat e. Siti tidak sakit dan tidak diberi obat Soal Ujian Nasional tahun 2006 kurikulum 2004

5. Diketahui premis berikut : I. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai. II. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian. III. Budi tidak lulus ujian.

-9-

then must yath now’09

Kesimpulan yang sah adalah …. a. Budi menjadi pandai b. Budi rajin belajar c. Budi lulus ujian d. Budi tidak pandai e. Budi tidak rajin belajar Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 6. Diketahui argumentasi : I. p → q ~p ---------∴ ~q

II. p → q

~q V r ---------∴p→r

III. p → q

p→r ---------∴q→r Argumentasi yang sah adalah …. a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. II dan III saja Soal Ujian Nasional tahun 2005

7. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumen tasi berikut : ~p → q q→r ---------∴… a. p Λ r d. ~p Λ r b. ~p V r e. p V r c. p Λ ~r Soal Ujian Nasional tahun 2004 8. Ditentukan premis – premis : I. Jika Badu rajin bekerja maka ia disayang ibu. II. Jika Badu disayang ibu maka ia disayang nenek III. Badu tidak disayang nenek Kesimulan yang sah dari ketiga premis diatas adalah …. a. Badu rajin bekerja tetapi tidak disayang ibu b. Badu rajin bekerja c. Badu disayang ibu d. Badu disayang nenek e. Badu tidak rajin bekerja

- 10 -

then must yath now’09

Soal Ujian Nasional tahun 2003 9. Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus tolens didasarkan atas suatu pernyataan majemuk yang selalu berbentuk tautologi untuk setiap kasus. Pernyataan yang dimaksud adalah …. a. ( p → q ) Λ p → q b. ( p → q ) Λ ~q → ~p c. ( p → q ) Λ p → ( p Λ q ) d. ( p → q ) Λ ( q → r ) → ( p → r ) e. ( p → q ) Λ ( p → r ) → ~ ( q → r ) Soal Ujian Nasional tahun 2002 10. Kesimpulan dari premis berikut merupakan …. p → ~q qVr ---------∴p→r a. konvers b. kontra posisi c. modus ponens d. modus tollens e. silogisme Soal Ujian Nasional tahun 2001

Orang yang baik bukannya yang tak pernah melakukan kesalahan, tapi yang pernah berbuat salah dan memperbaikinya……* mustyath’08

- 11 -

then must yath now’09