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Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D'EMPRESES

Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias I. Variables Aleatorias Discreta

1.1. Distribución dicotómica y binomial Bernoulli o Dicotómica, B(1, p) • Experimento aleatorio con sólo 2 posibles resultados: x 0 = 0 ⇒ p0 = P ( X = X 0 ) = P ( X = 0) = q = 1 − p x1 = 1 ⇒ p1 = P ( X = X 1 ) = P ( X = 1) = p k

E ( X ) = ∑ X i · pi = X 0 · p0 + X 1· p1 = 0·(1 − p ) + 1· p = p i =1

k

E ( X ) = ∑ X i2 ·pi = X 02 ·p 0 + X 12 ·p1 = 0 2 ·(1 − p ) + 12 ·p = p 2

i =1

Var ( X ) = E ( X 2 ) − [E ( x)] = p − p 2 = p·(1 − p ) = p·q 2

1.1. Distribución dicotómica y binomial – –

Éxito con valor X = 1 y p = probabilidad de éxito Fracaso con valor X = 0 i q = 1 – p = probabilidad de fracaso

• Función de cuantía: P( X = xi ) = p xi ·(1 − p )1− xi con • Esperanza matemática: • Varianza:

xi = 1 o xi = 0 y 0 ≤ p ≤ 1

E( X ) = p

Var ( X ) = p·q

1.1. Distribución dicotómica y binomial EJEMPLO: X = sacar cara al lanzar una moneda

x 0 = 0 = sacar cruz p 0 = P( X = X 0 ) = P( X = 0) = 1 − p = q = 1 − 0,5 = 0,5

x 1 = 1 = sacar cara p1 = P( X = X 1 ) = P( X = 1) = p = 0,5 E ( X ) = X 0 ·p 0 + X 1 ·p1 = 0·(1 − p ) + 1·p = p = 0,5

E ( X 2 ) = X 02 ·p 0 + X 12 ·p1 = 0 2 ·(1 − p ) + 12 ·p = p = 0,5

Var ( X ) = E ( X ) − [E ( x)] = p·(1 − p ) = 0,5·(1 − 0,5) = 0,25 2

2

1.1. Distribución dicotómica y binomial Binomial, B(n, p) • Repetición de un experimento de Bernoulli n veces. • Repeticiones son Independientes entre si. • La probabilidad de éxito constante •Función de cuantía: Si xi el número de éxitos obtenidos  n  xi P( X = xi ) =   p (1 − p ) n − xi con x i = 0, 1,..., n i 0 ≤ p ≤ 1  xi 

1.1. Distribución dicotómica y binomial

E ( X ) = E ( X 1 + X 2 + .... + X n −1 + X n ) = = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + .... + E ( X n −1 ) + E ( X n ) = = p + p + ... + p + p = n·p V ( X ) = V ( X 1 + X 2 + .... + X n −1 + X n ) = = V ( X 1 ) + V ( X 2 ) + .... + V ( X n −1 ) + V ( X n ) = = p·q + p·q + ... + p·q + p·q = n·p·q

1.1. Distribución dicotómica y binomial • Función de distribución:  n  xi F ( x 0 ) = P( X ≤ x 0 ) = ∑   p (1 − p ) n − xi ; si 0 ≤ x 0 ≤ n xi = 0  x i  E ( X ) = n·p • Esperanza matemática: • Varianza: Var ( X ) = n·p·q • Propiedad reproductiva: Si X1 y X2 son dos v.a. independientes que se distribuyen según una ley Binomial x0

X 1 ≈ B(n1 , p ) i X 2 ≈ B(n 2 , p ) X = (X 1 + X 2 )

X ≈ B(n1 + n 2 , p)

1.1. Distribución dicotómica y binomial Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Repeticiones Probabilidad

P(10;0,1) 0,34868 0,38742 0,19371 0,05740 0,01116 0,00149 0,00014 0,00001 0,00000 0,00000 0,00000 10 0,1

P(10;0,3) 0,02825 0,12106 0,23347 0,26683 0,20012 0,10292 0,03676 0,00900 0,00145 0,00014 0,00001 10 0,3

P(10;0,5) 0,00098 0,00977 0,04395 0,11719 0,20508 0,24609 0,20508 0,11719 0,04395 0,00977 0,00098 10 0,5

P(10;0,7) 0,00001 0,00014 0,00145 0,00900 0,03676 0,10292 0,20012 0,26683 0,23347 0,12106 0,02825 10 0,7

P(10;0,3)

P(10;0,1)

0,45000 0,40000 0,35000 0,30000 0,25000 0,20000 0,15000 0,10000 0,05000 0,00000 0

0,30000

0,25000

0,25000

0,25000

0,20000

0,20000

0,20000

0,15000

0,15000

0,15000

0,10000

0,10000

0,10000

0,05000

0,05000

0,05000

0,00000 3

4

5

6

7

8

9

10

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

0,00000

0,00000 2

3

P(10;0,7)

0,30000

1

2

P(10;0,5)

0,30000

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

1.1. Distribución dicotómica y binomial Función Cuantía: B(15;0,05)

Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P(Xi) 0,46329123 0,36575623 0,1347523 0,03073298 0,00485258 0,00056188 4,9287E-05 3,3352E-06 1,7554E-07 7,1858E-09 2,2692E-10 5,4287E-12 9,5241E-14 1,1568E-15 8,6975E-18 3,0518E-20

F(Xi) 0,46329123 0,82904746 0,96379976 0,99453274 0,99938532 0,99994719 0,99999648 0,99999982 0,99999999 1 1 1 1 1 1 1

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

Función Distribución: B(15;0,05) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

1.2. Distribución de Poisson Poisson, P(λ) •Número de sucesos que ocurren por unidad de observación •Es estable, ya que produce un número medio de sucesos constante - igual al valor del parámetro λ - que ocurren en un intervalo dado. Función de Cuantía

P( X = x) =

λx x!

−λ

e ; x = 0,1,2,...

1.2. Distribución de Poisson Características poblacionales • Valor Esperado

E( X ) = λ • Varianza

Var ( X ) = λ

Función de Distribución x0

λi

i =0

i!

F ( x0 ) = P( X ≤ x0 ) = ∑

e −λ ;

x = 0,1,2,..

1.2. Distribución de Poisson Su representación gráfica:

1.2. Distribución de Poisson

Propiedad reproductiva: X 1 ≈ P(λ1 ) i X 2 ≈ P(λ 2 ) X = (X 1 + X 2 )

X ≈ P(λ1 + λ 2 )

1.2. Distribución de Poisson Xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P(Xi ) 0,47236655 0,35427491 0,13285309 0,03321327 0,00622749 0,00093412 0,00011677 1,2511E-05 1,1729E-06 9,7739E-08 7,3304E-09 4,998E-10 3,1238E-11 1,8022E-12 9,6545E-14 0

F(Xi ) 0,47236655 0,82664147 0,95949456 0,99270783 0,99893532 0,99986945 0,99998621 0,99999872 0,99999989 0,99999999 1 1 1 1 1 1

Función Cuantía: P(0,75) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

Función Distribución: P(0,75) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias II. Variables Aleatorias Continuas

1.3. Distribución de Uniforme Uniforme, U [a,b] Toma valores equiprobables en un intervalo definido [a; b], siendo a < b. Función de densidad:  1  a≤ x≤b f ( x) =  b − a  0 caso contrario

1.3. Distribución de Uniforme Función de distribución:

 0 si x < a   (x − a ) si a ≤ x ≤ b F (x ) =   (b − a )  si x > b  1

1.3. Distribución de Uniforme Características poblacionales • Valor Esperado

a+b E( X ) = 2 b

b

a

a

E ( X ) = ∫ x· f ( x)·dx = ∫ b

1 1 b x· x·dx = ·dx = ∫ b−a b−a a

1 x  1  b2 a2  1  b2 − a2  = ·  = · −  = · = b − a  2 a b − a  2 2  b−a  2  1  (a + b)·(b − a )  a + b = = ·  b−a  2 2  2

1.3. Distribución de Uniforme • Varianza

(b − a ) 2 V (X ) = 12

[

]

V ( X ) = E ( x − E ( X ) ) = ∫ ( x − E ( X ) ) · f ( x)·dx 2

b

2

a

a+b 1 (b − a ) 2  ·dx = ... = = ∫ x− · a 2  b−a 12  2

b

[ ]

V ( X ) = E x − (E ( X ) ) = ∫ x 2 · f ( x)·dx − (E ( X ) ) 2

=∫

b

a

b

2

a

2 − a b b a 1 ( ) +   x 2· ·dx −   = ... = b−a 12  2  2

2

1.3. Distribución Uniforme Xi 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 30 32,5 35 37,5 40 42,5 45 47,5 50

P(Xi ) 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222 0,02222222

F(Xi ) 0 0,05555556 0,11111111 0,16666667 0,22222222 0,27777778 0,33333333 0,38888889 0,44444444 0,5 0,55555556 0,61111111 0,66666667 0,72222222 0,77777778 0,83333333 0,88888889 0,94444444 1

Función Densidad: U(5;50) 0,05

0 0

10

20

30

40

50

Función Distribución: U(5;50) 1

0,75

0,5

0,25

0 0

10

20

30

40

50

1.4. Distribución Normal

f ( x) =

1 2πσ 2

−( x − µ ) 2

e

2σ 2

−∞ ≤ x ≤∞

Función de Distribución:

F ( x) =

∫

x

−∞

1 2πσ 2

−( x − µ ) 2

e

2σ 2

dx − ∞ ≤ x ≤ ∞

1.4. Distribución Normal Características de la D. Normal Recorrido (- ∞ , + ∞) Simétrica respecto al E(X)= µ Puntos inflexión “µ ± σ” Derecha e izquierda del punto medio, es asintótica respecto a los ejes horizontales Creciente para valores inferiores a µ Decreciente para valores superiores a µ

1.4. Distribución Normal La probabilidad de que la variable esté dentro de un intervalo:

1.4. Distribución Normal

1.4. Distribución Normal  X − µ  µ− µ E (Z ) = E =0 = σ σ  

σ2  X −µ  1 Var ( Z ) = Var   = 2 Var ( X ) = 2 = 1 σ σ  σ 

Z=

X −µ

σ

1.4. Distribución Normal Propiedad reproductiva: Si X1 y X2 son dos v.a. independientes que se distribuyen según una ley de Normal tal que, X1 es N(µ1; σ2(X1))

X2 es N(µ2; σ2(X2))

X= X1+X2

X es N (µ1+µ2; σ2(X1)+σ2(X2))

X= X1-X2

X es N (µ1-µ2; σ2(X1)+σ2(X2))

1.4. Distribución Normal DISTRIBUCIONES NORMALES CON IGUAL VARIANZA VALORES ESPERADOS -2 0 2 VARIANZA 5 5 5 Distribuciones normales con igual Varianza 0,2

0,15

0,1

0,05

0 -10

-8

-6

-4

-2

0 -2

2 0

2

4

6

8

10

1.4. Distribución Normal DISTRIBUCIONES NORMALES CON IGUAL VALOR ESPERADO 0 0 VALORES ESPERADOS 0 4 2 VARIANZA 1

Distribuciones normales con igual Valor Esperado 0,4

0,3

0,2

0,1

0 -6

-4

-2

0 1

2 2

4

4

6

1.4. Distribución Normal Z ≈ N ( µ = 0; σ 2 = 1)

P( Z ≤ 0,34) = 0,63307

P( Z ≤ 1,36) = 0,91308

1.4. Distribución Normal Probabilidades de intervalos Si X es una variable Normal de media 3 y desviación 2. Calcular la probabilidad de que tome un valor entre 4 y 6. X → N (3, 2)

Z → N (0, 1)

 4−3 X − µ 6−3 P (4 < X < 6) = P < <  = P (0,5 < Z < 1,5) = 2  σ  2 = P( Z < 1,5) − P( Z < 0,5) = 0,9332 − 0,6915 = 0,2417

1.4. Distribución Normal • Calcular “a” si X~N(200 ; σ=5), para las siguientes relaciones: 1 − P(X ≤ a) = 0 ,995

N(200,5)

P( Z ≤ 2,58) = 0,995 ¿...?

Z ≈ N ( µ Z = 0; σ Z = 1) con Z =

X − µX

200

99,5%

σX

N(0,1)

a = µ + Z ·σ = 200 + 2,58·5 = 212,9 2,58 0

99,5%

1.4. Distribución Normal 2 − P(X ≤ a) = 0,05 N(0,1)

P( Z ≤ −1,64) = 0,05

5%

Z ≈ N ( µ Z = 0; σ Z = 1) con Z =

0

X − µX

N(0,1)

σX

5%

a = µ X + Z ·σ X = 200 − 1,64·5 = 191,8

0

95%

1.4. Distribución Normal 3 − P(X ≥ a) = 0,05 N(0,1)

P( Z ≥ 1,64) = 0,05

5%

Z ≈ N ( µ Z = 0; σ Z = 1) con Z =

X − µX

0

σX

a = µ X + Z ·σ X = 200 + 1,64·5 = 208,2

95%

1.4. Distribución Normal

1.5. Distribución Chi-cuadrado

-Se define la variable aleatoria:

χ (2n ) = Z12 + Z 22 + Z 32 + ... + Z n2 con Z i ≈ N ( µ = 0; σ 2 = 1) i = 1,2,3,..., n -Por definición:

0 < χ (2n ) < +∞

1.5. Distribución Chi-cuadrado

-Gráfico de la función de densidad

1.5. Distribución Chi-cuadrado -Características de su distribución:

si

X ≈ χ (2n ) E( X ) = n V ( X ) = 2·n

-Si n > 30,

si

X ≈ χ (2n )

con n > 30 ⇒

X ≈ N ( µ = n; σ 2 = 2·n)

1.5. Distribución Chi-cuadrado P ( χ (210 ) ≥ 4,865) = 0,90

1.5. Distribución Chi-cuadrado DISTRIBUCIONES CHI-CUADRADO CON DIFERENTES GRADOS DE LIBERTAD GRADOS LIBERTAD 2 4 6 10 VALORES ESPERADOS 2 4 6 10 VARIANZA 4 8 12 20

Distribución Chi-cuadrado con diferentes grados de libertad 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

0

5

10 4

6

15 10

20

1.6. Distribución t de Student -Definimos la variable aleatoria con n grados de libertad

X ≈ t( n )

si

Z X= Y n

 Z ≈ N ( µ = 0; σ 2 = 1)  2 ≈ Y χ  (n) -Valores de la variable aleatoria:

− ∞ < t(n ) < +∞

1.6. Distribución t de Student -Características de la Distribución

si

X ≈ t( n )

entonces

E( X ) = 0 n V (X ) = n−2

n>2

- Cuando n > 30

si

X ≈ t( n )

con n > 30 es equivalente a

n   2 X ≈ N  µ = 0; σ =  n−2 

1.6. Distribución t de Student - Gráfico de la función de densidad

1.6. Distribución t de Student P (t(12 ) ≥ 1,3562) = 0,10

1.7. Distribución F de Snedecor -Definimos la variable aleatoria con n grados de libertad en el numerador y m grados en el denominador

F( n ,m )

χ = χ

2 (n) 2 (m)

n m

-Valores de la variable:

0 < F( n;m ) < +∞

1.7. Distribución F de Snedecor -Gráfico de la función de densidad

1.7. Distribución F de Snedecor

-Características de la distribución,

si

X ≈ F( n;m ) m E( X ) = m>2 m−2 2 m 2 ( n + m − 2) V (X ) = m>4 2 n(m − 4)(m − 2)

1.7. Distribución F de Snedecor DISTRIBUCIONES F DE FISHER CON IGUAL GRADOS DE LIBERTAD EN EL NUMERADOR GRADOS LIBERTAD NUMERADOR 30 30 30 GRADOS LIBERTAD DENOMINADOR (mínimo 5) 6 10 15 1,25 VALORES ESPERADOS 1,50 1,15 VARIANZA 2,55 0,66 0,35 Distribución F de Fisher para igual número de grados de libertad en el numerador 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1

2 num 30 y denom 6

3 num 30 y denom 10

4

5 num 30 y denom 15

6

1.7. Distribución F de Snedecor DISTRIBUCIONES F DE FISHER CON IGUAL GRADOS DE LIBERTAD EN EL DENOMINADOR GRADOS LIBERTAD NUMERADOR 20 40 60 GRADOS LIBERTAD DENOMINADOR (mínimo 5) 5 5 5 VALORES ESPERADOS 1,67 1,67 1,67 VARIANZA 6,39 5,97 5,83

Distribución F de Fisher para igual grados de libertad en el denominador 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

1

2 num 20 y denom 5

3

4 num 40 y denom 5

5

6 num 60 y denom 5

7

8

1.7. Distribución F de Snedecor P( F( 6;9 ) ≥ 1,61) = 0,25

1.7. Distribución F de Snedecor P( F(8;5) ≥ 3,34) = 0,10