Modelo Matematico Para Gobernadores De Turbinas Hydroelectricas

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO MAESTRIA EN INGENIERIA ELECTRONICA

DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE LOS GOBERNADORES DE LA CASA DE MÁQUINAS II DE MACAGUA PARA LA MODERNIZACIÓN DE SUS ELEMENTOS FINALES DE CONTROL

ING. JORGE LUIS MARCANO GONZÁLEZ

PUERTO ORDAZ, 22 DE NOVIEMBRE DEL 2011

DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE LOS GOBERNADORES DE LA CASA DE MÁQUINAS II DE MACAGUA PARA LA MODERNIZACIÓN DE SUS ELEMENTOS FINALES DE CONTROL

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO MAESTRIA EN INGENIERIA ELECTRONICA

DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE LOS GOBERNADORES DE LA CASA DE MÁQUINAS II DE MACAGUA PARA LA MODERNIZACIÓN DE SUS ELEMENTOS FINALES DE CONTROL

ING. JORGE LUIS MARCANO GONZÁLEZ El Trabajo de Grado presentado ante la Dirección de Investigación y Postgrado del Vicerrectorado Puerto Ordaz como parte de los requisitos para optar al Título Académico de Magíster Scientiarum en Ingeniería Electrónica. TUTOR: ING. M.Sc. RAQUEL REVEROL

PUERTO ORDAZ, 22 DE NOVIEMBRE DEL 2011

Jorge Luis Marcano González DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE LOS GOBERNADORES DE LA CASA DE MÁQUINAS II DE MACAGUA PARA LA MODERNIZACIÓN DE SUS ELEMENTOS FINALES DE CONTROL. (2011) 182 Pág. Trabajo de Grado. Universidad nacional experimental politécnica, “Antonio José de sucre” Vicerrectorado Puerto Ordaz. Dirección de Investigación y Postgrado. Maestría en Ingeniería Electrónica. Tutor: Ing.M.Sc. Raquel Reverol. Bibliografía Pág 177. 1. Elemento Final de Control 2. Modelo matemático. 4. Sistema de Gobernación. 5. Hidroeléctrica.

3. Diagnóstico de estado. 6. Edelca Macagua.

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO MAESTRIA EN INGENIERIA ELECTRONICA

ACTA DE EVALUACIÓN En mi carácter de tutor del Trabajo de Grado presentado por el Ingeniero Jorge Luis Marcano González para optar al grado académico de Magíster Scientiarum en Ingeniería Electrónica. Titulado: DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE LOS GOBERNADORES DE LA CASA DE MÁQUINAS II DE MACAGUA PARA LA MODERNIZACIÓN DE SUS ELEMENTOS FINALES DE CONTROL, considero que dicho trabajo reúne los requerimientos y meritos suficientes para ser sometido a la evaluación por parte del jurado examinador. En la ciudad de Puerto Ordaz el dos de noviembre del dos mil once.

. ING. M.Sc. Raquel Reverol. C.I. 9.498.884

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ACTA DE APROBACIÓN Quienes suscriben miembros del Jurado Evaluador designados por la Comisión de Estudios de Postgrado de la Dirección de Postgrado, Investigación y Desarrollo de la Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre” Vicerrectorado Puerto Ordaz, para examinar el Trabajo de Grado presentado por el ciudadano Ing. Jorge Luis Marcano González, portador de la cédula de identidad número 10.931.588. Titulado DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE LOS GOBERNADORES DE LA CASA DE MÁQUINAS II DE MACAGUA PARA LA MODERNIZACIÓN DE SUS ELEMENTOS FINALES DE CONTROL, el cual es presentado para optar al grado académico de Magíster Scientiarum en Ingeniería Electrónica, consideramos que dicho trabajo cumple con los requisitos exigidos para tal efecto y por lo tanto lo declaramos APROBADO. En la ciudad de Puerto Ordaz

de

del dos mil once.

. Presidente .

. Miembro Principal

Miembro Principal

vi

DEDICATORIA A Dios A mi madre Francisca A mi esposa Yenis A mis hijos Johrdis y Johnan A mis hermanos

vii

AGRADÉCIMIENTOS El desarrollo de cualquier trabajo requiere siempre de un esfuerzo de la persona que lo ejecuta. Cuando el trabajo se asocia con la realización de una carrera universitaria es una combinación de los esfuerzos tanto de la persona como de todas aquellas personas que lo rodean. Quiero agradecer en primera instancia a mi familia por toda la comprensión y el apoyo incondicional que me brindaron, sin la cual el esfuerzo de continuar este estudio de postgrado hubiera sido imposible. A mi esposa Yenis y mis hijos Johrdis y Johnan por su gran paciencia y comprensión. A la empresa CVG. EDELCA por ayudarme a cumplir con el sueño de lograr un nuevo grado académico y por permitirme realizar mi trabajo de grado en sus instalaciones que son tan importantes para el país. A la Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre” Vicerrectorado Puerto Ordaz, por poner a mi disposición los conocimientos adquiridos. Al ING. M.Sc Raquel Reverol por aceptar ser mi tutora en este trabajo y por la ayuda prestada. A mis compañeros de trabajo y estudio sin los cuales este esfuerzo hubiera sido mucho mayor. Por ultimo a mis queridos amigos y compañeros de trabajo del Dpto. Control e Instrumentación Macagua, por su gran apoyo. viii

Marcano González, Jorge Luís (2011). DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE LOS GOBERNADORES DE LA CASA DE MÁQUINAS II DE MACAGUA PARA LA MODERNIZACIÓN DE SUS ELEMENTOS FINALES DE CONTROL. Trabajo de Grado Universidad Nacional Experimental Politécnica Antonio José de Sucre, Dirección de Investigación y Postgrado del Vicerrectorado Puerto Ordaz. Maestría en Ingeniería Electrónica. Tutor: Ing. M.Sc. Raquel Reverol. RESUMEN Los Gobernadores de las turbinas Hidroeléctricas de la casa de Máquinas II de EDELCA Macagua, no contaban con un modelo matemático que permitiera identificar y evaluar el comportamiento del Sistema de Gobernación ante al cambio de alguno de los elementos principales que lo componen que permitan alargar la vida útil del sistema si poner en riesgo su confiabilidad. En este sentido en el presente Trabajo de Grado se desarrolló y evaluó un modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua para facilitar la modernización de sus elementos finales de control. El estudio se desarrolló como una investigación no experimental de tipo aplicada, ya que se planteó como alternativa de solución al problema de la empresa. Para ello en el trabajo se realizó: a) El análisis de las referencias bibliográficas e información disponible de cada componente de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua, a través de la red Internet y los archivos de la empresa EDELCA, b) Se desarrolló un modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua, c) Se analizó la respuesta dinámica de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua, d) Se realizó una validación del modelo matemático diseñado para los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua, e) Se estudiaron las características de los elementos finales de control nuevos a ser instalados en los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua, f) Se modificó el modelo matemático desarrollado para los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua agregando los nuevos elementos finales de control, g) Se determinó con el modelo matemático desarrollado la primera aproximación de los parámetros del controlador del un Gobernador de la Casa de Máquinas II de Macagua con los nuevos elementos finales de control, h) Se analizó la posible respuesta dinámica de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua con los nuevos elementos finales de control. El presente estudio se enmarcó dentro de la línea de investigación realizada por EDELCA Macagua para garantizar la operatividad, confiabilidad y eficiencia de sus Unidades Generadoras dentro de estándares internacionales, ante sus clientes. Permitiendo contribuir con los objetivos de la calidad de la empresa EDELCA, principalmente la Mejora continúa de sus procesos y la confiabilidad en el suministro de energía Eléctrica.

ix

ÍNDICE CONTENIDO

Página

DEDICATORIA............................................................................................................... vii AGRADÉCIMIENTOS ....................................................................................................viii RESUMEN ...................................................................................................................... ix INTRODUCCIÓN .............................................................................................................1 CAPÍTULO 1 ....................................................................................................................4 EL PROBLEMA ............................................................................................................4 1.1 OBJETIVOS ...................................................................................................8 1.1.1 Objetivo general..........................................................................................8 1.1.2 Objetivos específicos ..................................................................................8 CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................10 MARCO TEÓRICO .....................................................................................................10 2.1 REVISIÓN DE LA LITERATURA..................................................................10 2.2 BASES TEÓRICAS ......................................................................................12 2.2.1 Modelo matemático...................................................................................12 2.2.1.1 Clasificación de los modelos. ................................................................12 2.2.1.2 Modelo de sistema en tiempo continúo .................................................13 2.2.1.3 Modelo de sistema discreto en el tiempo ..............................................14 2.2.1.4 Conexión entre modelos sistemas continuos y discretos en el tiempo..14 2.2.1.5 Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo .........................15 2.2.1.6 Sistemas no lineales .............................................................................15 2.2.2 Construcción de modelos .........................................................................15 2.2.3 Turbinas hidráulicas..................................................................................16 2.2.4 Sistema de gobernación ...........................................................................17 2.2.4.1 Desarrollo de los sistemas de Gobernación ..........................................17 2.2.4.1.1 Regulador mecánico .............................................................................18

2.2.4.1.1.1 Funcionamiento .................................................................................18 2.2.4.1.1.2 Aplicación en turbinas hidráulicas......................................................19 2.2.4.1.2 Regulador Mecánico – Hidráulico..........................................................20 2.2.4.1.2.1 Regulador mecánico para turbinas Francis .......................................21 2.2.4.1.3 Regulador Electro-Hidráulico.................................................................23 2.2.4.1.4 Regulador Electrónico ...........................................................................24 2.2.4.1.5 Regulador Digital Programable .............................................................26 2.2.4.2 Componentes que conforman un regulador de turbina moderno ..........27 2.2.4.2.1 Regulador Electrónico ...........................................................................27 2.2.4.2.2 Convertidor electro hidráulico................................................................27 2.2.4.2.3 Unidad óleo hidráulica...........................................................................28 2.2.4.2.4 Tanque de aceite a presión ...................................................................28 2.2.4.2.5 Servomotores ........................................................................................29 2.2.4.2.6 Dispositivo mecánico de disparo por sobre velocidad...........................30 2.2.4.2.7 Transductor de Posición........................................................................30 2.2.4.2.8 Sistema de medición de velocidad ........................................................31 2.2.5 Principios de regulación y estabilidad .......................................................32 2.2.5.1 Características de comportamiento de un regulador.............................32 2.2.5.1.1 Banda Muerta (Ix)..................................................................................32 2.2.5.1.2 Tiempo muerto del servomotor (tq) .......................................................33 2.2.5.1.3 Constante de tiempo del dispositivo de amortiguación (Td) ..................34 2.2.5.1.4 Ganancia proporcional (KP) ..................................................................34 2.2.5.1.5 Ganancia integral (KI) ...........................................................................34 2.2.5.1.6 Ganancia Derivativa (KD)......................................................................34 2.2.5.1.7 Estatismo (b) .........................................................................................35 2.2.5.1.7.1 Estatismo permanente (bp)................................................................35 2.2.5.1.7.2 Estatismo transitorio (bt) ....................................................................36 2.2.5.2 Principios de Regulación .......................................................................36 2.2.5.2.1 Regulación de velocidad .......................................................................37 2.2.5.2.2 Regulación de potencia .........................................................................37 2.2.5.3 Regulación de turbinas Francis .............................................................38 2.2.5.4 Principios de Estabilidad .......................................................................39 2.2.5.5 Ganancias del regulador .......................................................................43 2.2.5.5.1 Ganancia Integral KI..............................................................................44 2.2.5.5.2 Ganancia Derivativa KD .......................................................................44 2.2.5.6 Generalidades del Controlador DTL-725...............................................45 2.2.5.7 Monitor de Velocidad SM 1200 .............................................................46 2.2.5.8 Controlador Manual ETR.......................................................................47 2.2.5.9 El DTL-725 ............................................................................................47 2.3 MARCO JURÍDICO Y LEGAL ......................................................................49 2.3.1 Normas Aplicables a Reguladores Hidráulicos .........................................49 2.4 PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN ............................................................50 CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................52

MARCO METODOLÓGICO........................................................................................52 3.1 TIPO DE ESTÚDIO ......................................................................................52 3.2 MUESTRA....................................................................................................53 3.3 INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS.53 3.3.2 Internet......................................................................................................54 3.3.3 Paquetes computarizados ........................................................................54 3.3.3.1 National Instruments Labview ...............................................................54 3.3.3.2 Matlab. ..................................................................................................54 3.3.4 Hyperterminal............................................................................................54 3.3.5 Manual VT100...........................................................................................55 3.3.6 Multímetro .................................................................................................55 3.3.7 Computador ..............................................................................................55 3.4 PROCEDIMIENTOS.....................................................................................56 CAPÍTULO 4 ..................................................................................................................58 RESULTADOS ...........................................................................................................58 4.1 PROCEDIMIENTO GENERAL .....................................................................58 4.2 REVISIÓN DE NORMAS Y BIBIOGRÁFIA APLICABLES AL PROYECTO .60 4.3 MODELACIÓN DEL SISTEMA DE GOBERNACIÓN DE MACAGUA ..........61 4.3.1 Modelo de tarjeta 3B-725..........................................................................63 4.3.1.1 Circuito acondicionador de entrada de realimentación tarjeta 3B-725 ..65 4.3.1.2 Circuito de OFFSET (Uo) ......................................................................66 4.3.1.3 Circuito de ganancia sumador 1............................................................67 4.3.1.4 Circuito de ganancia Kp ........................................................................68 4.3.1.5 Circuito oscilador...................................................................................69 4.3.1.6 Circuito de ganancia sumador de salida ...............................................72 4.3.1.7 Circuito acondicionador y filtro de salida ...............................................73 4.3.2 Modelo de servoválvula ............................................................................77 4.3.2.1 Función de transferencia utilizando método Gráfico .............................78 4.3.3 Modelo de válvula distribuidora.................................................................84 4.3.3.1 Dinámica de la presión y el caudal de válvula distribuidora ..................86 4.3.3.1.1 Dinámica del caudal de la válvula distribuidora.....................................86 4.3.3.1.2 Dinámica de la presión de la válvula distribuidora.................................88 4.3.3.1.3 Estimación de parámetros sistema servoválvula-válvula distribuidora..90 4.3.3.2 Dinámica del pistón de la válvula distribuidora......................................96 4.3.3.3 Modelo de fricción de LuGre para el Spool de la válvula distribuidora ..97 4.3.3.3.1 Estimación de parámetros estáticos del modelo de LuGre .................100 4.3.3.3.2 Estimación de parámetros dinámicos del modelo de LuGre ...............105 4.3.4 Modelo del servomotor ...........................................................................110 4.3.4.1 Dinámica de la presión y el caudal servomotor ...................................113 4.3.4.1.1 Dinámica del caudal del servomotor ...................................................113 4.3.4.1.2 Dinámica de la presión del servomotor ...............................................113 4.3.4.1.3 Estimación de parámetros sistema válvula distribuidora - servomotor 115 4.3.4.2 Dinámica del pistón del servomotor ....................................................119

4.3.4.3 Modelo de fricción de LuGre para el pistón del servomotor ................120 4.3.4.3.1 Estimación parámetros estáticos modelo de LuGre del servomotor ...121 4.3.4.3.2 Estimación parámetros dinámicos modelo de LuGre del servomotor .126 4.3.5 Modelo del transductor de posición de la válvula distribuidora ...............130 4.3.6 Modelo del transductor de posición del servomotor................................134 4.3.7 Validación de modelo matemático del sistema de gobernación..............138 4.3.7.1 Validación de modelo inicial del Gobernador ......................................139 4.3.7.2 Inclusión de elementos no lineales válvula distribuidora y servomotor145 4.3.8 Modelo de servoválvula nueva................................................................151 4.3.8.1 Función de transferencia con método Gráfico válvula 4WS2EE.10 ....151 4.3.9 Determinación de parámetros del controlador para servoválvula nueva 157 4.3.10 Resultados del modelo matemático con nueva servoválvula..................163 4.3.10.1 Comparación de Modelos realizando variaciones de Kp.....................165 4.3.10.2 Comparación de Modelos variando parámetros de la servoválvula ....166 4.3.11 Análisis de Resultados............................................................................168 CONCLUSIONES.........................................................................................................173 RECOMENDACIONES ................................................................................................175 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................177 ANEXOS ......................................................................................................................182

INDICE DE TABLAS Y FIGURAS Tabla

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Tabla 2.1. Características dinámicas de los diferentes tipos de turbina.......................... 43 Tabla 4.1. Constantes de la válvula distribuidora. .......................................................... 93 Tabla 4.2. Parámetros de la válvula distribuidora........................................................... 94 Tabla 4.3. Estadísticas del grado de confiabilidad de la aproximación mediante CFTOOL...................................................................................................... 104 Tabla 4.4. Parámetros estáticos del modelo de LuGre para la válvula distribuidora. ... 105 Tabla 4.5. Parámetros dinámicos del modelo de LuGre para la válvula distribuidora. . 107 Tabla 4.6. Constantes del servomotor.......................................................................... 117 Tabla 4.7. Parámetros del sistema válvula distribuidora - servomotor. ........................ 119 Tabla 4.8. Estadísticas del grado de confiabilidad de la aproximación mediante CFTOOL...................................................................................................... 124 Tabla 4.9. Parámetros estáticos del modelo de LuGre para el servomotor.................. 125 Tabla 4.10. Parámetros estáticos del modelo de LuGre para el servomotor................ 128 Tabla 4.11. Ajustes iniciales de los valores de los parámetros del modelo. ................. 139 Tabla 4.12. Resumen de características de la respuesta del modelo y el sistema real ante un paso escalón de 10% en forma ascendente............................ 142 Tabla 4.13. Resumen de características de la respuesta del modelo y el sistema real ante un paso escalón de 10% en forma descendente.......................... 145 Tabla 4.14. Resumen de características del modelo con control de ganancia de flujo y el sistema real ante un paso escalón de 10% en forma descendente. ............................................................................................... 148 Tabla 4.15. Tabla para el cálculo de los parámetros de un controlador obtenidos mediante el método de respuesta ante un escalón de Ziegler-Nichols. ...... 158 Tabla 4.16. Valores obtenidos para el modelo desarrollado con la servoválvula nueva en respuesta a un estimulo tipo escalón unitario. ............................. 161 Tabla 4.17. Parámetros del método de respuesta al paso escalón de Ziegler-Nichols para el modelo desarrollado con la servoválvula nueva. ............................. 161

Figura

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Figura 2.1 a) Contrapesos Centrífugos. b) Relación de regulación................................. 18 Figura 2.2 Sistema gobernador (regulador) antiguo........................................................ 20 Figura 2.3 Estructura básica de un regulador mecánico-hidráulico................................. 21 Figura 2.4 Corte de un regulador mecánico-hidráulico Francis ....................................... 22 Figura 2.5 Tablero de regulador electrónico.................................................................... 24 Figura 2.6 Diagrama de bloques típico de un regulador electrónico ............................... 25 Figura 2.7 Regulador Digital Programable ...................................................................... 26 Figura 2.8 Convertidor electro-hidráulico ........................................................................ 27 Figura 2.9 Acumulador hidráulico.................................................................................... 28 Figura 2.10 Servomotor................................................................................................... 29 Figura 2.11 Dispositivo mecánico de disparo por sobre velocidad.................................. 30 Figura 2.12 Transductor de Posición............................................................................... 31 Figura 2.13 Sistema de medición de velocidad ............................................................... 32 Figura 2.14. Gráfico representativo de la Banda Muerta................................................. 33 Figura 2.15. Gráfico representativo del Tiempo Muerto. ................................................. 33 Figura 2.16. Gráfico representativo del tiempo de amortiguación. .................................. 34 Figura 2.17. Gráfico representativo del Estatismo........................................................... 35 Figura 2.18 Disposición típica de regulación de una turbina Francis .............................. 38 Figura 2.19 Respuesta natural de un regulador ante un rechazo de carga de 10%........ 45 Figura 4.1 Configuración típica de un Sistema de Gobernación para turbinas de reacción electro-hidráulica. Según norma ................................................... 61 Figura 4.2 Configuración típica de un Sistema de Gobernación para turbinas de reacción electro-hidráulica tipo Francis. Según norma IEEE Std 1010 [28]............................................................................................................... 62 Figura 4.3 Esquema simplificado del lazo del modo de control DTL del Sistema de Gobernación de las Turbinas de Macagua. ................................................. 62 Figura 4.4 Diagrama esquemático de la tarjeta 3B-725 (archivo N° 4-831-791-777, tomo 2.2, pagina 181, SULZER ESCHER WYSS ZURICH)........................ 63 Figura 4.5 Diagrama de bloques de la tarjeta 3B-725. .................................................... 64 Figura 4.6 Circuito acondicionador de entrada de realimentación................................... 65 Figura 4.7 Circuito de Offset de la tarjeta 3B-725. .......................................................... 66 Figura 4.8 Circuito de ganancia sumador 1..................................................................... 67 Figura 4.9 Circuito de ganancia Kp. ................................................................................ 68 Figura 4.10 Circuito oscilador Os. ................................................................................... 70 Figura 4.11 Forma de onda de salida del oscilador y voltaje sobre el capacitor. ............ 72 Figura 4.12 Circuito de ganancia sumador de salida ...................................................... 73 Figura 4.13 Circuito acondicionador y filtro de salida. ..................................................... 74 Figura 4.14 Modelo de la tarjeta 3B-725 utilizando Matlab Simulink. .............................. 76 Figura 4.15 Servoválvula del sistema de Gobernación. .................................................. 77 Figura 4.16 Descripción de Servoválvula según código de fabricante Mannesmann Rexroth. ....................................................................................................... 78

Figura 4.17 Diagrama de bode de la servoválvula con realimentación barométrica modelo 4 WS 2 E.10, presión 70 bar y flujo nominal ≥ 45 L/min.................. 79 Figura 4.18 Comparación de diagramas de bode de la servoválvula con modelo aproximado obtenido por método gráfico. ................................................... 81 Figura 4.19 Comparación de diagramas de bode de la servoválvula con modelo aproximado obtenido por método gráfico con corrección de fase. .............. 83 Figura 4.20 Modelo desarrollado en Matlab Simulink de la servoválvula 4 WS 2 E.10 ... 83 Figura 4.21 Válvula distribuidora del sistema de Gobernación. ...................................... 84 Figura 4.22 Esquema simplificado del conjunto servoválvula y válvula distribuidora del sistema de Gobernación. ....................................................................... 85 Figura 4.23 Modelo no lineal de sistema de actuador hidráulico tipo pistón. ................. 85 Figura 4.24 Modelo de la dinámica del pistón de la válvula distribuidora........................ 90 Figura 4.25 Montaje experimental realizado para la toma de datos. ............................... 92 Figura 4.26 Gráfico de resultados de prueba de válvula distribuidora aplicando señal sinusoidal a servoválvula, para un desplazamiento positivo........................ 95 Figura 4.27 Gráfico de resultados de las presiones de la válvula distribuidora aplicando una señal sinusoidal a la servoválvula, para un desplazamiento positivo. ............................................................................. 95 Figura 4.28 Gráfico del modelo desarrollado en simulink de Matlab para la dinámica del pistón de la válvula distribuidora. ........................................................... 96 Figura 4.29 Modelo de fricción de LuGre. ....................................................................... 97 Figura 4.30 Gráfico de resultados de pruebas del pistón de la válvula distribuidora para obtener los parámetros estáticos del modelo de LuGre. ................... 103 Figura 4.31 Gráfico de resultados obtenidos para la determinación de los parámetros estáticos del modelo de LuGre para el pistón de la válvula distribuidora utilizando CFTOOL................................................................ 104 Figura 4.32 Gráfico de resultados obtenidos para la estimación de los parámetros dinámicos del modelo de LuGre para el pistón de la válvula distribuidora. .............................................................................................. 108 Figura 4.33 Diagrama de bloques del Modelo de LuGre desarrollado en MatLab Simulink para la válvula distribuidora......................................................... 108 Figura 4.34 Modelo desarrollado de la Función de Stribeck g(dxp/dt), en MatLab Simulink. .................................................................................................... 109 Figura 4.35 Modelos desarrollado del Promedio de las deflexiones dz/dt en MatLab Simulink ..................................................................................................... 109 Figura 4.36 Modelos desarrollado de Función de LuGre (Ff), en MatLab Simulink....... 109 Figura 4.37 Diagrama esquemático del sistema de control de posición del servomotor................................................................................................. 110 Figura 4.38 Esquemático de la Válvula distribuidora- servomotor del sistema de Gobernación. ............................................................................................. 111 Figura 4.39 Esquemático de la Válvula distribuidora- servomotor equivalente del sistema de Gobernación............................................................................ 112 Figura 4.40 Modelo de la dinámica del pistón del servomotor. ..................................... 114 Figura 4.41 Montaje experimental realizado para la toma de datos. ............................. 116

Figura 4.42 Gráfico de resultados de pruebas del servomotor aplicando una señal sinusoidal a la válvula distribuidora, para un desplazamiento positivo. ..... 118 Figura 4.43 Gráfico del modelo desarrollado en simulink de Matlab para la dinámica del pistón de la válvula distribuidora. ......................................................... 120 Figura 4.44 Gráfico de resultados de pruebas del pistón del servomotor debido al movimiento en forma de rampa a la válvula distribuidora.......................... 124 Figura 4.45. Gráfico de resultados obtenidos para la determinación de los parámetros estáticos del modelo de LuGre para el pistón del servomotor utilizando CFTOOL. ................................................................ 125 Figura 4.46 Gráfico de resultados obtenidos para la estimación de los parámetros dinámicos del modelo de LuGre para el pistón de la válvula distribuidora. .............................................................................................. 127 Figura 4.47 Diagrama de bloques del Modelo de LuGre desarrollado en MatLab Simulink para la válvula distribuidora......................................................... 128 Figura 4.48 Modelo desarrollado de la Función de Stribeck g(dxp/dt), en MatLab Simulink. .................................................................................................... 129 Figura 4.49 Modelos desarrollado del Promedio de las deflexiones dz/dt en MatLab Simulink ..................................................................................................... 129 Figura 4.50 Modelos desarrollado de Función de LuGre (Ff), en MatLab Simulink....... 129 Figura 4.51 Transductor de posición de la válvula distribuidora VIC 110...................... 130 Figura 4.52 Mecanismo que convierte el movimiento lineal del spool de la válvula distribuidora en señal de posición.............................................................. 131 Figura 4.53 Curva de respuesta del sistema de medición de posición de la válvula distribuidora. .............................................................................................. 132 Figura 4.54 Modelo en Simulink de MatLab del transductor de posición de la válvula distribuidora. .............................................................................................. 133 Figura 4.55 Transductor de posición del servomotor, modelo KINAX 707. ................... 134 Figura 4.56. Mecanismo que convierte el movimiento lineal del servomotor en posición angular. Se detallan en verde los Transductores de posición del servomotor KINAX 707. ....................................................................... 135 Figura 4.57 Curva de respuesta del sistema de medición de posición del servomotor................................................................................................. 136 Figura 4.58 Modelo en Simulink de MatLab del transductor de posición transductor de posición del servomotor........................................................................ 137 Figura 4.59 Diagrama general del modelo del Sistema de Gobernación desarrollado.. 138 Figura 4.60 Comparación de respuestas ante un paso escalón ascendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 20% de la posición del servomotor................................................................................................. 140 Figura 4.61 Comparación de respuestas ante un paso escalón ascendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 50% de la posición del servomotor................................................................................................. 140 Figura 4.62 Comparación de respuestas ante un paso escalón ascendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 70% de la posición del servomotor................................................................................................. 141

Figura 4.63 Comparación de respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 30% de la posición del servomotor................................................................................................. 143 Figura 4.64 Comparación de respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 60% de la posición del servomotor................................................................................................. 143 Figura 4.65 Comparación de respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 70% de la posición del servomotor................................................................................................. 144 Figura 4.66 Diagrama del bloque de control de ganancia de flujo en la válvula distribuidora. .............................................................................................. 145 Figura 4.67 Diagrama del bloque de control de ganancia de flujo en la válvula distribuidora. .............................................................................................. 146 Figura 4.68 Respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo desde un 30% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv......................................................................................... 147 Figura 4.69 Respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo desde un 60% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv......................................................................................... 147 Figura 4.70 Respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo desde un 70% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv......................................................................................... 148 Figura 4.71 Respuestas ante un paso escalón ascendente de 20% del sistema real y el modelo desde un 50% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv y Cp. ............................................................................... 149 Figura 4.72 Respuestas ante un paso escalón descendente de 20% del sistema real y el modelo desde un 50% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv y Cp. ............................................................................... 150 Figura 4.73 Servoválvula a instalar en el sistema de Gobernación............................... 151 Figura 4.74 Diagrama de bode de la servoválvula modelo 4 WS 2 EE.10, presión 70 bar y flujo nominal de 75 L/min. ................................................................. 152 Figura 4.75 Diagramas de bode del modelo aproximado de primer orden de la servoválvula nueva obtenido por método gráfico....................................... 154 Figura 4.76 Diagramas de bode de la nueva servoválvula con modelo aproximado obtenido por método gráfico con corrección de fase. ................................ 156 Figura 4.77 Modelo desarrollado en Matlab Simulink de la servoválvula 4 WS 2 E.10 . 156 Figura 4.78 Caracterización de una respuesta a un escalón en el método de respuesta al escalón de Ziegler-Nichols. ................................................... 157 Figura 4.79 Curva de respuesta al escalón del un modelo integrativo. ......................... 159 Figura 4.80 Curva de respuesta al escalón del modelo desarrollado con la servoválvula nueva. ................................................................................... 160 Figura 4.81 Curva de respuesta al escalón del modelo desarrollado con la servoválvula nueva con un K = 0,083. ....................................................... 162

Figura 4.82 Comparación entre el modelo real, el modelo inicialmente desarrollado y el modelo con la servoválvula 4WS2E.10, ante paso escalón 10% ascendente partiendo de 50% de apertura del servomotor. ...................... 163 Figura 4.83 Comparación entre el modelo real, el modelo inicialmente desarrollado y el modelo con la servoválvula 4 WS 2 E.10, ante paso escalón 10% descendente partiendo de 60% de apertura del servomotor.. ................... 164 Figura 4.84 Comparación entre el modelo real, el modelo inicialmente desarrollado y el modelo con la servoválvula 4 WS 2 E.10, ante paso escalón 20% descendente partiendo de 50% de apertura del servomotor. .................... 164 Figura 4.85 Comparación entre el modelo real, y los dos modelos desarrollados con un Kp de 4. ................................................................................................ 165 Figura 4.86 Comparación entre el modelo real, y los dos modelos desarrollados con un Kp de 2. ................................................................................................ 166 Figura 4.87 Comparación entre el modelo real, y los dos modelos desarrollados con un incremento del tiempo de retardo de 100 veces en la servoválvula. .... 167 Figura 4.88 Comparación entre el modelo real, y los dos modelos desarrollados con un incremento 100 veces la constante de tiempo veces en la servoválvula............................................................................................... 167

INTRODUCCIÓN

Para mantener la confiabilidad, operatividad y continuidad de servicio de grandes complejos industriales es necesario realizar un monitoreo constante de todos los subsistemas que lo componen detectando y corrigiendo las desviación que pudiera comprometer la función de todo el conjunto. Una de las desviaciones que comúnmente se presenta en todo sistema es el inevitable envejecimiento de sus componentes y subsistemas, el cual generalmente pueden corregirse con proyectos de modernización. Pero estos proyectos representan grandes volúmenes de inversión de capital y largos tiempos de ejecución, comprometiendo la operatividad y disponibilidad de todo el complejo industrial en muchos casos. Los estudios realizados a nivel mundial con respecto a grandes complejos industriales y específicamente centrales eléctricas, permiten obtener técnicas para la detección temprana de sistemas y subsistemas que pudieran ser susceptibles a modernizaciones para alargar la vida útil de todo el conjunto. Estas técnicas solo permiten detectar la parte a sustituir, pero no pueden brindar información del efecto que producirá la sustitución, donde esta información solo puede ser obtenida con simulaciones sobre modelos del sistema.

1

El presente proyecto tuvo como fin exponer el desarrollo y evaluación de un modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua para la modernización de sus elementos finales de control. La necesidad de la realización del modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua parte del hecho, que EDELCA como empresa líder en el ramo de generación de energía eléctrica debe garantizar ante sus clientes la confiabilidad operativa de sus Unidades Generadoras. A raíz de esto la importancia de esta investigación es la obtención de una herramienta que permite inferir el comportamiento de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua ante el cambio de alguno de sus componentes claves, de esta manera se garantiza que al tratar de alargar la vida útil del sistema se mantendrán sus niveles de confiabilidad. El proyecto se desarrolló realizando un modelo matemático teórico del Sistema de Gobernación de las Unidades Generadoras de la Casa de Máquinas II de la Central Hidroeléctrica “Antonio José de Sucre”, para luego validar el modelo realizando pruebas en una de estas Unidades. Posteriormente se modificó el modelo matemático teórico agregando los nuevos elementos finales de control a instalar en los Gobernadores, comparando la respuesta del nuevo modelo con los resultados obtenidos con el modelo anterior y las pruebas realizadas en los Gobernadores de Macagua. La realización de este proyecto permite que se pueda evaluar modificaciones futuras en los sistemas de Gobernación de las Unidades Generadoras de la Casa de Máquinas II de la Central Hidroeléctrica “Antonio José de Sucre”, antes de realizar la implementación, de esta manera se garantiza que se mantenga la integridad del sistema y se asegura su operatividad y confiabilidad. El objetivo general del proyecto fue realizar el desarrollo y evaluación del modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua para evaluar los efectos en el sistema de la modernización de sus elementos finales de control.

2

El estudio que se propuso en este trabajo fue desarrollado como una investigación no experimental de tipo tecnológica o aplicada ya que permitió desarrollar y evaluar un modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua para evaluar los efectos en el sistema de la modernización de sus elementos finales de control. Este proyecto contiene los capítulos descritos a continuación. Capitulo 1, donde se plantea el problema objeto de la investigación. Capitulo 2, relacionado al marco teórico. Capítulo 3, se expone el diseño metodológico que seguirá en la investigación. Capítulo 4, se expone el procedimiento seguido, los resultados de las pruebas para la validación del modelo. A continuación se exponen las conclusiones, recomendaciones y finalmente se presentan las Referencias bibliográficas y los anexos.

3

CAPÍTULO 1

EL PROBLEMA

En forma general los Sistemas Eléctricos en cualquier país a nivel mundial, requieren de gran inversión para mantenerse e incrementar su capacidad y no quedar rezagados con respecto a la demanda de energía eléctrica. Para incrementar la capacidad de un Sistema Eléctrico implica la construcción de Plantas nuevas o la repotenciación

de plantas viejas lo que representa volúmenes muy elevados de

inversión, y largos tiempos de ejecución. De manera similar para mantener un Sistema Eléctrico se requiere de una inversión constante y en algunos casos se deben sustituir subsistemas completos que también representan costos elevados. Una manera de evitar tener que sustituir subsistemas completos, es evaluar y analizar cada subsistema determinando oportunidades de mejoras preventivas en partes o componentes claves que permitan incrementar la vida útil de todo el subsistema. Aplicando este criterio en una Central Hidroeléctricas se puede lograr incrementar la vida útil de subsistemas importantes mejorando así la confiabilidad de toda la Central. El ELECTRIC POWER RESEARCH INSTITUTE (EPRI) (2000)[1], refiere diferentes métodos para determinar tanto el momento más adecuado como el tipo de modernización requerido para alargar la vida útil de un Hidrogenerador. El costo de 4

oportunidad para la modernización de sistemas es muy importante a tomarse en cuenta, sobre todo cuando los sistemas referidos son de tan alta importancia como una Central Hidroeléctrica. Una muestra de este costo de oportunidad es la sustitución oportuna de pieza y partes importantes antes de que comiencen a comprometer la confiabilidad y operatividad de todo el conjunto. Herrin, Brookshire, Hunter, y Jonson (1999)[2], describe un procedimiento para determinar el alcance que debe tener una modernización de una planta vieja y así mantener o mejorar su confiabilidad. En las Plantas Hidroeléctricas los Sistemas de Gobernación son los encargados de controlar la velocidad de giro de los Generadores Hidráulicos, por tanto su estudio y evaluación periódica de su estado operativo es muy importante, de esta manera evaluar cualquier condición que pueda impedir el cumplimiento de su función para el Generador. El ELECTRIC POWER RESEARCH INSTITUTE (EPRI) (1999)[3], especifica las razones para el inicio de una actualización de un Gobernador de una unidad Hidrogeneradora, teniéndose entre la principales: a) Retrasos en las partes y repuesto para el gobernador (obsolescencia). b) Requerimiento de automatización de la Planta Hidrogeneradora (modernización), c) Requerimientos de mejora en el performance de las características de la planta y d) Necesidad de mejorar el performance ambiental (fugas de aceite). En las Unidades Hidrogeneradoras de la Central Hidroeléctrica de Antonio José de Sucre “Macagua” se utilizan actualmente como elementos finales de control, servoválvulas del fabricante Mannesmann Rexroth del tipo con realimentación barométrica modelo 4WS2EB10

[4]

. Este tipo de servoválvulas logran regular su

posicionamiento mediante equilibrio de presiones internas, permitiéndole realizar su función sin tener que recurrir a sistemas de control electrónicos complejos que incrementen sus costos de fabricación. La desventaja principal del trabajo con este tipo 5

de dispositivos es la dificultad que representa realizar ajustes para correcciones de desviaciones mecánicas, esto debido a que se requiere mantener presurizadas las cámaras de la válvula implicando costosos bancos de pruebas solo para este tipo de servoválvulas. Dado que EDELCA no cuenta con bancos de pruebas que le permitan realizar mantenimiento y ajustes a este tipo de servoválvula por lo que debe enviarlas al fabricante para realizar esta labor. La falla más recurrente informada en los reportes de mantenimiento por el fabricante en las servoválvulas Mannesmann Rexroth del tipo con realimentación barométrica modelo 4WS2EB10, esta relacionada con desgaste en sus partes móviles debido principalmente al roce, envejecimiento de componentes, y en menor medida a la abrasión ocasionada por el fluido que maneja la servoválvula. Todo esto se refleja en desviaciones mecánicas que deben ser corregidas en un banco de pruebas especial. Las desviaciones mecánicas de las servoválvulas Mannesmann Rexroth del tipo con realimentación barométrica modelo 4WS2EB10, obligan realizar ajustes y reajustes frecuentes en los parámetros internos del controlador de los Gobernador de las Unidades Generadoras de Casa de Máquinas II de Macagua. Según los registros de mantenimiento las necesidades de ajuste y reajuste de los parámetros del controlador del Gobernador solo eran requeridos una vez cada dos años al inicio de la puesta en servicio de la Central Hidroeléctrica. En la actualidad se deben realizar al menos cada seis meses. La falla típica de una servoválvula afectada por desviaciones mecánicas se refleja en oscilaciones en la velocidad y potencia de la Unidad Generadora, lo cual introduce perturbaciones indeseables en el Sistema de Potencia. En el periodo comprendido entre el año 2000 y 2006 se observaron en promedio al menos tres fallas por año relacionadas con este fenómeno, controlándose con el incremento de los ajustes a los parámetros del controlador del Sistema de Gobernación para compensar las desviaciones mecánicas de las servoválvulas. 6

Mediante un comunicado emitido a principios del año 2008, el fabricante Mannesmann Rexroth informó que le es imposible continuar reparando y ajustando las servoválvulas del tipo con realimentación barométrica debido a que salió fuera de fabricación y no se cuentas con los componentes para su reparación, por tanto no garantiza la adquisición de servoválvulas nuevas y no se compromete a realizar reparaciones dado que no se cuentan con repuestos. Por lo antes expuesto la reparación de una servoválvula barométrica supera hasta en un 100% la adquisición de una servoválvula con tecnología actual. Las Unidades Generadoras de la Central Hidroeléctrica “Antonio José de Sucre” han presentado oscilaciones de potencia y velocidad debido a desviaciones mecánicas en las servoválvulas del Sistema de Control del Gobernador, lo cual introduce perturbaciones no deseadas en el Sistema de Potencia, por tal motivo se desea sustituir estos componentes del Gobernador pero evaluando de manera analítica el efecto que producirá su inclusión en el respectivo lazo de control. Por lo anteriormente expuesto se realizó el desarrollo y evaluación de un modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua para la modernización de sus elementos finales de control, que permita evaluar la posible respuesta de la sustitución de las servoválvulas Mannesmann Rexroth del tipo con realimentación barométrica modelo 4WS2EB10 por servoválvulas Mannesmann Rexroth del tipo con realimentación Electrónica con tecnología actual. La necesidad de la realización del modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua parte del hecho, que EDELCA como empresa líder en el ramo de generación de energía eléctrica debe garantizar ante sus clientes la confiabilidad operativa de sus Unidades Generadoras. A raíz de esto la importancia de esta investigación es la obtención de una herramienta que permita inferir el comportamiento de los Gobernadores de Casa de Máquinas II de Macagua ante el cambio de alguno de sus componentes claves, de esta manera se garantiza que al tratar de alargar la vida útil del sistema se mantendrán sus niveles de confiabilidad. 7

Este trabajo se aplicó al Sistema de Gobernación de las Unidades Generadores de Casa de Máquinas II de la Central Hidroeléctrica “Antonio José de Sucre” Macagua, donde se realizaron pruebas para validación del modelo actual de los Gobernadores a por lo menos dos unidades de esta central. Para el desarrollo del modelo matemático se utilizó el apoyo de herramientas informáticas especializadas, tal como el Matlab u otro programa de simulación de procesos; así mismo se utilizó un registrado especializado en la adquisición y análisis de la data adquirida para la validación de los modelos matemáticos desarrollados.

1.1

OBJETIVOS En el presente trabajo se planteó alcanzar los siguientes objetivos:

1.1.1 Objetivo general Realizar el desarrollo y evaluación del modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua para la modernización de sus elementos finales de control. 1.1.2 Objetivos específicos •

Revisión bibliográfica del tema.

•

Desarrollar un modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua.

•

Analizar la respuesta dinámica de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua.

•

Realizar una validación del modelo matemático diseñado para los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua. 8

•

Estudiar las características de los elementos finales de control nuevos a ser instalados en los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua.

•

Modificar el modelo matemático desarrollado para los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua agregando los nuevos elementos finales de control.

•

Determinar con el modelo matemático desarrollado la primera aproximación de los parámetros del controlador de un Gobernador de la Casa de Máquinas II de Macagua con los nuevos elementos finales de control.

•

Realizar la validación del modelo matemático con los nuevos elementos finales de control comparándolo con el modelo de las servoválvulas originales de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua.

9

CAPÍTULO 2

MARCO TEÓRICO

En el presente capítulo se presentan las secciones relacionadas con la Revisión de Literatura, Bases Teóricas, Marco Jurídico y Legal y las Preguntas de Investigación

2.1

REVISIÓN DE LA LITERATURA El desarrollo y evaluación del modelo matemático de los Gobernadores de la

Casa de Máquinas II de Macagua para la modernización de sus elementos finales de control, está relacionado a las tecnologías y teorías desarrolladas en las áreas de modelación y simulación de sistema industriales. En 1962, HOVEY

[5]

, propone la realización del ajuste óptimo de los

Gobernadores hidráulicos del Sistema Hidráulico de Manitota, mediante la aplicación de criterios matemáticos al modelo desarrollado sobre estos Gobernadores. En 1979, HAGIHARA, YOLOTA, GODA E ISOBE

[6]

realizan un estudio de

estabilidad para turbinas hidrogeneradoras controladas mediante un algoritmo PID implementado en su sistema de Gobernación. El estudio establece en forma paramétrica la función de transferencia asociada al sistema, las condiciones de frontera 10

para la estabilidad y el ajuste optimo para un algoritmo PID a ser implementado en un gobernador de turbinas hidrogeneradoras. Este trabajo dio continuidad a la obra de Hovey y de Chaudhy, explicando las fronteras de estabilidad de una turbina hidrogeneradora, los efectos de ganancia y parámetros asociados a la estabilidad de un sistema eléctrico de potencia hidroeléctrica, y finalmente el ajuste óptimo del PID implementado. En 1992, Working group on Prime Mover and Energy Supply Models for System Dynamic Performance Studies

[7]

plantean que la determinación y validación

de los parámetros de regulación de una turbina de un hidrogenerador deben ser realizados utilizando simulación de modelos realísticos, que tomen en cuenta los fenómenos que mayormente afecten

a la al hidrogenerador de acuerdo a la

configuración del circuito hidráulico de los gobernadores. En 1997, Sulzer Escher Wyss

[8]

desarrollo un manual del usuario donde facilito

información sobre el funcionamiento de los bloques funcionales empleados en la programación del sistema de gobernación de su fabricación. Esta información permitió comprender el funcionamiento del software del Sistema de Gobernación y comprender los modelos típicos de control utilizados para luego inferir el comportamiento de las Unidades Hidrogeneradoras Francis, de la Central Hidroeléctrica “Antonio José de Sucre” Macagua. En el 2000, Mansoor, Sa’ad P.

[9]

desarrolló un modelo matemático para

describir el funcionamiento de la Planta Hidroeléctrica Dinorwing ubicada en North Wales, Inglaterra. En el trabajo se muestran las diferentes técnicas requeridas para el desarrollo de un modelo matemático de una turbina hidrogeneradora. En el 2001, Kjølle, Arne

[10]

describe cada una de las partes componentes de

una Planta Hidrogeneradora, desarrollando las diferentes ecuaciones que describen el funcionamiento de estos componentes. Incluidos en su desarrollo se muestran las

11

ecuaciones descriptivas de un sistema de Gobernación de un Hidrogenerador y las válvulas y elementos finales de control de los mismos.

2.2

BASES TEÓRICAS

2.2.1 Modelo matemático Cuando se interactúa con un sistema es necesario conceptualizar la relación entre cada uno de sus componentes y determinar como es afectado por las variables que lo integran. Estas acciones nos llevan de manera general a conformar un modelo del sistema. LJUNG (1999) [11] afirma que en la cotidianidad de los casos estudiados, muchos de los sistemas son tratados empleando modelos elementales, los cuales no envuelven todo el formalismo que represente un modelo matemático.

2.2.1.1

Clasificación de los modelos.

Según LJUNG (ya citado) [12] los modelos pueden ser clasificados en: Modelos gráficos: son representaciones que plantean lo apropiado que es describir las propiedades de un sistema usando tablas numéricas o graficas. Modelo matemático o analítico: son representaciones en las cuales se hace necesario usar modelos que describan la relación entre las variables del sistema en términos de expresiones matemáticas como ecuaciones en diferencia o ecuaciones diferenciales. Los modelos matemáticos pueden a su vez ser clasificados como: modelo en tiempo continuo o discreto, modelo de parámetros concentrados o parámetros 12

distribuidos, modelos determinísticos o estocásticos, modelos lineales o no lineales. Son las necesidades propias de la circunstancia lo que determina cual modelo matemáticos es el conveniente, al respecto OGATA (1998) [13] sostiene lo siguiente: Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas. Dependiendo del sistema del que se trate y de las circunstancias específicas, un modelo matemático puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de control óptimo, es provechoso usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de sistemas lineales con una entrada y una salida invariantes con el tiempo, la representación mediante la función de transferencia puede ser más conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un modelo matemático de un sistema, se usan diversos recursos analíticos, así como computadoras, para estudiarlo y sintetizarlo. Teniendo en cuenta lo anterior, el uso y el tipo de sistema es quien determinará las pautas del modelo matemático, y su análisis determina la estructura y forma del modelo matemático. Modelo por software: es el desarrollo de un modelo mediante un programa informático. En sistemas complejos que no pueden ser representados por una expresión analítica, pueden representarse por subrutinas interconectadas que permitan modelarlo de manera sencilla.

2.2.1.2

Modelo de sistema en tiempo continúo

LJUNG y GLAD (1994)

[14]

sugiere que un sistema lineal se expresa en la forma

de espacio de estado como se indica en la siguiente ecuación:

d x = Ax + Bu dx

y = Cx + Du 13

(1)

2.2.1.3

Modelo de sistema discreto en el tiempo

En forma análoga a la expresión de la ecuación (1), LJUNG y GLAD (ya citado) [15]

, plantea el espacio de estado para un modelo lineal discreto en el tiempo como se

indica en la siguiente ecuación: x((k +1)T ) = Ax(kT ) + Bu(kT )

(2)

y(kT ) = Cx(kT ) + Du(kT )

2.2.1.4

Conexión entre modelos sistemas continuos y discretos en el tiempo

LJUNG y GLAD (ya citado) [16] plantea que si se muestrea un sistema de entrada u, de acuerdo a la relación matemática: u (t ) = u (kT ) ,

con kT ≤ t <(k+1)T

(3)

Efectuando la observación de la representación de los espacios de estado, tanto continuo como discreto se tiene: d x = Ax + Bu dx

x((k +1)T ) = Fx(kT ) + Gu (kT )

y = Cx + Du

y (kT ) = Cx (kT ) + Du (kT )

(4)

Donde las matrices F y G son dadas por la siguiente expresión: T

F =e

AT

∫

G = e AT Bdτ

,

0

Lo cual permite relacionar el tiempo continuo con el discreto. 14

(5)

2.2.1.5

Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo

Según OGATA (ya citado)

[17]

una ecuación diferencial es lineal si sus

coeficientes son constantes o son funciones sólo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo con coeficientes constantes. Tales sistemas se denominan sistemas lineales invariantes con el tiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes en el tiempo.

2.2.1.6

Sistemas no lineales

OGATA (1993)

[18]

refiere que un sistema es no lineal si no cumple con el

principio de superposición. Por lo tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada por separado y sumando los resultados. En forma general todos los sistemas de la naturaleza son sistemas no lineales, y cuando se dice que un sistema es lineal es porque tiene un comportamiento lineal sólo bajo ciertas condiciones o márgenes de operación. 2.2.2 Construcción de modelos Según LJUNG (ya citado)

[19]

, la ciencia solo infiere modelos de observaciones y

estudia sus propiedades. Los modelos (hipótesis, leyes de la naturaleza, paradigmas, etc.) pueden ser de un relativo carácter formal, pero tienen las características básicas que intentan enlazar las observaciones en un modelo. En la construcción de modelos es importante manejar la diferencia entre modelación e identificación, aunque el resultado conlleve a obtener una expresión o 15

algoritmo que se considere como el modelo del sistema. Al respecto LJUNG (ya citado) [20]

afirma que:

Básicamente, un modelo tiene que ser construido a partir de datos observados. Los modelos matemáticos pueden ser desarrollados empleando dos caminos o combinaciones de ellos. Un camino consiste en dividir al sistema en subsistemas cuyas propiedades sean bien entendidas a partir de experimentaciones previas. Esto significa que se parte de la confianza de trabajos empíricos anteriores. Los subsistemas obtenidos conforman, un todo matemático de manera que se obtenga un modelo completo del sistema. Este camino es conocido como modelación y no necesariamente envuelve experimentación como tal. El otro camino, tan bueno como el matemático, consiste en modelos gráficos. Estos modelos se obtienen a partir de la experimentación. Las señales de entrada y salida se registran y a partir de su procesamiento se infiere un modelo. Este camino es denominado identificación de sistema. El uso de funciones de transferencia ya analizadas y probadas por otros investigadores, no es parte de una identificación de sistemas aunque para determinar los parámetros se haga uso de las mismas herramientas empleadas en la identificación.

2.2.3 Turbinas hidráulicas Las turbinas hidráulicas se dividen en dos tipos: a) turbinas de impulsión: son para altas caídas, de más de 300 metros de caída de agua, donde esta es pasada a través impulsores para transferir su energía a la turbina. Un ejemplo de este tipo de turbina son las llamadas turbinas tipo Pelton. b) turbinas de reacción: son turbinas para una menor caída de agua pero requieren gran caudal y volumen. El agua generalmente es orientada a través de guías radiales estacionarias (paletas fijas) y controlando el flujo

16

a través de restricción realizada por paletas móviles. Un ejemplo de este tipo de turbina son las turbinas tipo Francis y Kaplan. El comportamiento de una turbina es influenciado por las características de la columna de agua que la alimenta, tal como los efectos de inercia y compresibilidad del agua. Otro factor importante es la elasticidad de las paredes de la turbina, constituyendo así un retardo en la variación del flujo del agua para cuando existen cambios en la apertura de las paletas o elemento de control de flujo de la turbina.

2.2.4

Sistema de gobernación

2.2.4.1

Desarrollo de los sistemas de Gobernación

El regulador de turbina es un componente fundamental para el funcionamiento de los generadores síncronos. Cuando el generador está desconectado de la red, la misión del regulador de turbina es mantener la velocidad constante para permitir la sincronización del generador a la red. Cuando el generador está acoplado a la red, el regulador de turbina tiene, en general, por misión contribuir a la regulación frecuenciapotencia del sistema eléctrico. La dificultad fundamental del ajuste de los reguladores de turbinas hidráulicas es debida a las características dinámicas de la propia turbina y del circuito hidráulico asociado: es un sistema de fase no mínima. La estabilización del servomotor que acciona el distribuidor de la turbina introduce dificultades adicionales. A través de los años el desarrollo de los sistemas de gobernación de generadores hidroeléctricos ha tenido una evolución constante. A continuación se hace una reseña de puntos clave durante esta evolución y de diversos tipos de gobernadores (reguladores), obtenidos de SOLM, Lindsay (1995), Electronic Governor Systems[21].

17

2.2.4.1.1 Regulador mecánico El regulador mecánico está constituido principalmente por dos contrapesos centrífugos montados al extremo de dos brazos pivotados cerca del eje de rotación donde los contrapesos pueden moverse en forma radial en un plano alrededor del eje, En los años siguientes este mecanismo fue desarrollado en varios tipos de configuraciones aumentando la fuerza centrífuga de los contrapesos. Ver figura 2.1-a.

a)

b)

Figura 2.1 a) Contrapesos Centrífugos. b) Relación de regulación

2.2.4.1.1.1

Funcionamiento

Cuando las masas se encuentran en su posición mínima, le corresponde un radio de giro mínimo que a su vez representa la velocidad mínima. En la figura 2.1-b se observa que en la medida que los contrapesos centrífugos aumentan su velocidad, la fuerza centrífuga C rompe el equilibrio del resorte, la fuerza centrífuga es proporcional al radio r. Las posiciones rmin y rmax corresponden entonces a la velocidad nmin y nmax respectivamente. 18

La velocidad promedio sería entonces: Nmedia = (nmax+nmin)/2 El grado de irregularidad del regulador se le llama estatismo δT δT = (nmax-nmin)/nmedia

2.2.4.1.1.2

Aplicación en turbinas hidráulicas

Las turbinas hidráulicas están sometidas a variaciones de carga, es decir, cuando se modifica el par que actúa sobre la misma, ya sea aumento o disminución del par, la turbina reduce o aumenta las revoluciones de su valor nominal. El ajuste de la carga se obtiene aumentando o disminuyendo la cantidad de agua que actúa sobre la turbina y con ello se regula la velocidad de funcionamiento. Para corregir las anteriores variaciones se desarrolló un regulador de turbina, donde la función del regulador es la de mantener la turbina en su valor de velocidad nominal. En las primeras turbinas de baja potencia, la regulación se efectuaba manualmente abriendo o cerrando una válvula a la entrada de la turbina. Para la regulación de las turbinas sirve el mismo dispositivo utilizado en las otras clases de máquinas motrices, es decir, el regulador de contrapesos centrífugos que recoge las variaciones de velocidad producidas y cuyo desplazamiento del manguito puede actuar sobre el mecanismo de apertura y cierre de la entrada de agua. Ver figura 2.2. Como es sabido, en los reguladores que actúan por la fuerza centrífuga, cuando mayor es el número de revoluciones más elevada es la posición del manguito, y por ello éste, en su movimiento vertical, arrastra al mecanismo que actuará sobre regulación del agua que penetra en la turbina. Los reguladores en estas condiciones, es decir, cuando a una situación cada vez más elevada del manguito le corresponde mayor número de revoluciones de la máquina, se llaman reguladores estáticos. 19

2.2.4.1.2 Regulador Mecánico – Hidráulico Los mecanismos de cierre de las turbinas, exigen la actuación de unos esfuerzos muy superiores a los que pueden obtenerse con el regulador centrífugo, por ello éste actúa sobre un ligero mecanismo de la distribución de un servomotor, que se mueve a su vez por aceite a presión suministrado con una bomba que puede ser movida por la propia turbina. El vástago del émbolo del servomotor se enlaza con apropiadas palancas al mecanismo de distribución de la turbina, y de este modo abre o cierra la entrada de agua para equilibrar en breve tiempo la potencia o la velocidad de la turbina. La característica fundamental de la regulación está basada en la curva de estatismo, que representa la ley de dependencia entre la velocidad del grupo y la potencia, y ésta a su vez es función del grado de apertura del distribuidor de la turbina. Para obtener una regulación estable, es necesario que el efecto del regulador sea tal que reaccione lo más rápidamente posible al presentarse el efecto perturbador. Esto tiene lugar únicamente con el sistema de regulación con estatismo, porque el trabajo cedido o absorbido durante la maniobra (por la mayor o menor energía simétrica acumulada en las masas giratorias a consecuencia de la mayor o menor velocidad del nuevo régimen), tiene el efecto de reducir el desequilibrio de potencia y por ello de reaccionar contra la causa perturbadora.

Figura 2.2 Sistema gobernador (regulador) antiguo. 20

Figura 2.3 Estructura básica de un regulador mecánico-hidráulico En la figura 2.3 se aprecia la estructura básica de un regulador mecánicohidráulico formado por una bomba rotativa que envía aceite a presión a una válvula distribuidora. En la figura la válvula es movida por un péndulo centrífugo y, según sea en éste el número de revoluciones, la válvula se moverá en uno u otro sentido, enviando el aceite recibido a la bomba a una u otra cara del émbolo de un servomotor que actúa sobre el distribuidor de la turbina abriendo o cerrando la entrada del agua.

2.2.4.1.2.1

Regulador mecánico para turbinas Francis

La figura 2.4 representa el corte de un regulador donde aparecen numerados los elementos que lo componen. Está formado por el cárter 1 que contiene aceite y sobre el cual se halla la bomba 2 movida desde el eje de la turbina por la polea 3. La bomba envía aceite a presión a la válvula de distribución 4, que por apropiados conductos establece la comunicación con los dos cilindros 5 y 6 del servomotor.

21

Dentro de estos cilindros se mueven los émbolos 7 que se actúan sobre el árbol de regulación 8, por medio de una manivela 9. La válvula de distribución 4 se desplaza en el sentido del cierre de la turbina obligada por un muelle 10, y en el sentido de la apertura por un servomotor 11, alimentado por la bomba 12, accionada por el árbol vertical, del taquímetro 13. Este árbol es a su vez accionado por el engranaje 14 y la polea 15 que recibe por correa el movimiento, desde el final de la turbina. El esfuerzo del muelle 10 viene en parte compensado por el contrapeso 40. En la válvula de distribución se encuentran insertas dos válvulas de seguridad 16 y 17, la más grande 16, lo comunica con la cámara central, la cual recibe directamente el aceite de la bomba 2; la otra 17, comunica con el conducto de aceite a presión de la pequeña bomba 12. Estas dos válvulas de seguridad pueden abrirse por las manivelas 18 y 19 respectivamente, y en este caso las bombas, grandes y pequeñas, no pueden generar presión.

Figura 2.4 Corte de un regulador mecánico-hidráulico Francis 22

2.2.4.1.3 Regulador Electro-Hidráulico Los reguladores para turbinas hidráulicas siguieron su continúo desarrollo, cambiando e incorporando algunos dispositivos eléctricos como el sistema de suministro a presión el cual pasó a ser un equipo auxiliar del regulador autónomo. La bomba antes accionada por movimiento desde el eje de la turbina se cambió por bombas accionadas por motores eléctricos con alimentación independiente. La operación del sistema a presión se conservó como se indicó en el regulador mecánicohidráulico. La banda que conectaba el eje de la turbina con los contrapesos centrífugos fue reemplazada por un pequeño motor que se monta en el eje de los contrapesos, provisto de interruptores de ajuste de velocidad para controlar las secuencias de ciertas operaciones eléctricas y para proteger la unidad por sobre velocidad. Este motor es alimentado desde un transformador de tensión conectado a los terminales del generador de la unidad o por medio de un generador pequeño, independiente, montado en el extremo del eje del generador de la unidad. El ajuste de la velocidad fue cambiado por un motor reversible para poder ajustar la velocidad de la máquina en forma remota o por un dispositivo igualador de velocidad que ajusta la velocidad de la máquina, en forma automática, de modo que coincida con la frecuencia de la red. Se incorporó un limitador de apertura por medio de un motor reversible. Así mismo para la indicación a distancia de la posición del distribuidor se implementaron dos motores uno como transmisor y otro como indicador en el cuarto de control. Para vigilancia y control se instalaron interruptores de posición. Se inició con la implementación de un sistema de aceite a presión provisto de bombas hidráulicas accionadas por motores eléctricos provistas con válvulas de alivio, un tanque de aceite a presión (tanque hidroneumático) alimentado por aire comprimido en su parte superior. 23

Todo el equipo montado en un tanque colector o sumidero. El regulador fue provisto de válvulas accionadas por solenoides para la apertura y el cierre de la turbina.

2.2.4.1.4 Regulador Electrónico Con el desarrollo de la electrónica se configuraron todas las funciones del regulador de la turbina por medio de tarjetas electrónicas que van montadas en el tablero del regulador electrónico de la turbina (ver figura 2.5). Los

enclavamientos

mecánicos

y

la

correlación

agujas-deflector

se

reemplazaron por componentes electrónicos de menor espacio, alta precisión y mayor versatilidad.

Figura 2.5 Tablero de regulador electrónico Las siguientes son las principales tarjetas modulares que conforman a un regulador electrónico: •

Limitador de apertura

•

Amplificador para el deflector

•

Ajuste de Velocidad

•

Medición de la velocidad

•

Ajuste de potencia

•

Módulo proporcional

•

Amplificador para el distribuidor

•

Módulo Integral

•

Amplificador para las agujas

•

Módulo derivativo

24

En la figura 2.6 se ilustra un diagrama de bloques típico de un regulador electrónico. Para convertir la señal de control eléctrica en señal de presión se utiliza un transductor electro-hidráulico o servo válvula. La retroalimentación de posición de las agujas, los deflectores o el distribuidor se obtiene por un transductor de posición, generalmente, tipo reóstato.

Figura 2.6 Diagrama de bloques típico de un regulador electrónico

En el sistema de aceite a presión se incorporó la operación de dos bombas una principal y la otra de reserva, el automatismo de cargue y descargue de presión y la reposición automática de aire en el tanque de aceite a presión. 25

La lógica hidráulica o enclavamientos hidráulicos fue posible por el desarrollo de la fabricación de electro válvulas direccionales con un sin número de tipos y tamaños e iniciándose la respectiva normalización.

2.2.4.1.5 Regulador Digital Programable El estado actual de los reguladores de turbinas hidráulicas es un regulador digital programable con acción proporcional, integral y derivativa (PID), provisto de un procesador donde las funciones de regulación de la turbina se realizan por medio de módulos a

base de software. En éste caso fueron reemplazadas las tarjetas del

regulador electrónico por software de fácil configuración. Ver figura 2.7.

Figura 2.7 Regulador Digital Programable Los reguladores digitales provistos de módulos de entradas y salidas analógicas y digitales, pueden realizar las funciones de arranque y de paro de la turbina incluyendo el control de los equipos auxiliares. La parte hidráulica conserva su estructura básica pero se incorpora en el sistema de aceite a presión la filosofía de acumuladores hidráulicos tipo pistón, para turbinas pequeñas, con utilización de nitrógeno como gas inerte, en reemplazo del aire comprimido. Se incorporan transductores de presión, temperatura y nivel para la vigilancia del sistema de aceite a presión. 26

2.2.4.2

Componentes que conforman un regulador de turbina moderno

2.2.4.2.1 Regulador Electrónico El estado actual de los reguladores de turbinas hidráulicas permite tener acceso a los reguladores digitales compuestos por un micro procesador compatible con IBMPC, módulos de entradas y salidas tanto digitales como analógicas. El software permite programar todas las funciones de regulación de velocidad, potencia, apertura, caudal y nivel. Los programas pueden ser almacenados en memoria RAM, respaldada por baterías o bien en memorias EPROM. El sistema digital de regulación está en capacidad de realizar todas las funciones de arranque y de paro de la turbina así como el control de los equipos auxiliares.

2.2.4.2.2 Convertidor electro hidráulico Tiene la función de convertir la señal de control eléctrica en señal de control hidráulico o de pilotaje para la válvula distribuidora del control de los servomotores de las agujas y deflectores (turbina Pelton) o del distribuidor (turbina Francis). Existen diferentes tipos de transductores o convertidores electro-hidráulicos. Con el desarrollo de la hidráulica proporcional la función del transductor es reemplazada por servo válvulas estandarizadas de tamaño compacto (ver figura 2.8).

Figura 2.8 Convertidor electro-hidráulico 27

2.2.4.2.3 Unidad óleo hidráulica El aceite a presión requerido para alimentar los servomotores, el acumulador hidráulico y demás equipos de control hidráulico es suministrado por una unidad de potencia compuesta por dos conjuntos motor-bomba, válvulas de alivio, válvula de venteo, tanque sumidero con tapa de llenado e indicador de nivel y manómetro. La capacidad de descarga de las bombas depende del caudal de regulación y el tiempo de cierre de los servomotores.

2.2.4.2.4 Tanque de aceite a presión El tanque de aceite a presión, o acumulador hidráulico o tanque hidroneumático, es un componente de gran importancia del sistema de aceite a presión, necesario para el cierre de las agujas deflectoras (turbinas Pelton) o distribución de los alabes directrices (turbinas Francis), en caso de falla del sistema de suministro de aceite a presión.

Figura 2.9 Acumulador hidráulico 28

El tanque esta compuesto por una cámara de aceite en la parte inferior de aproximadamente 1/3 parte del volumen total y el 2/3 restante como volumen de aire. La cámara de aire permite que ante una variación del volumen de aceite la presión no caiga en forma vertical sino viajando por la curva como se indica en la figura 2.9 debido a la compresibilidad del aire.

2.2.4.2.5 Servomotores Los servomotores o cilindros hidráulicos de las agujas y deflectores (turbina Pelton), o del distribuidor (turbina Francis), son los encargados de ejecutar las órdenes de regulación. Los servomotores son normalmente de doble efecto, amortiguados y de velocidad regulable, las superficies de contacto como camisa o vástago deben estar protegidas con recubrimiento de cromo duro o en acero inoxidable. La empaquetadura debe ser apta para trabajar con aceite mineral y garantizar completa estanqueidad en cualquiera de las operaciones del servomotor (ver figura 2.10).

Figura 2.10 Servomotor 29

2.2.4.2.6 Dispositivo mecánico de disparo por sobre velocidad Este dispositivo se utiliza como enclavamiento redundante para el disparo en forma autónoma del cierre de emergencia de la turbina. Está montado en el eje de la turbina y por acción centrífuga acciona una válvula direccional con presión de aceite en un puerto cerrado que al ser liberada produce el cierre de los deflectores y de agujas (turbina Pelton) o del distribuidor (turbinas Francis) y la válvula de admisión. Ver figura 2.11. El dispositivo esta provisto de un interruptor de posición de varios contactos para generar la señal eléctrica para el sistema de control de la unidad. Por razones de seguridad, el dispositivo debe rearmarse manualmente para iniciar un nuevo arranque de la turbina.

Figura 2.11 Dispositivo mecánico de disparo por sobre velocidad

2.2.4.2.7 Transductor de Posición El regulador electrónico requiere de la retroalimentación de posición o valor real de posición de las agujas y deflectores (turbina Pelton) o del distribuidor de los alabes directrices (turbinas Francis). La señal de posición puede obtenerse por medio de 30

detectores de posición tipos capacitivos, rotativos, transductores lineales inductivos, potenciómetros o sensores de proximidad. Ver figura 2.12.

Figura 2.12 Transductor de Posición

2.2.4.2.8 Sistema de medición de velocidad La velocidad de la unidad hidrogeneradora puede ser medida a través de la señal de los transformadores de potencial del generador o por sensores ópticos, magnéticos o electro-dinámicos como incrementadores de giro que deben tomar la señal por medio de una rueda dentada montada al eje de la unidad. El más utilizado es el tipo dentado con sensores de proximidad (figura 2.13). La señal, que es proporcional a la velocidad de la turbina, es enviada a un equipo de monitoreo provisto de contactos para ajustar puntos de velocidad relacionado con los siguientes eventos en la secuencia de arranque y de paro de la unidad. •

Velocidad de la turbina

•

Entrada y salida de la excitación

•

Entrada y salida de la bomba de inyección de aceite para los cojines de empuje

•

Aplicación y desaplicación de los frenos del generador 31

•

Protección por sobre velocidad El sistema de medición de velocidad debe ser completamente independiente del

regulador de la turbina.

Figura 2.13 Sistema de medición de velocidad

2.2.5 Principios de regulación y estabilidad Lo presentado en esta sección es tomado del manual de fabricante de los Gobernadores de la Planta Macagua SULZER ESCHER WYSS (1997) [22].

2.2.5.1

Características de comportamiento de un regulador

2.2.5.1.1 Banda Muerta (Ix) Es la máxima banda entre dos valores de la velocidad en la cual la función del regulador permanece inactiva. La señal de comando se asume constante. La banda muerta no debe exceder el 0,02% de la velocidad nominal. Ver figura 2.14.

32

Figura 2.14. Gráfico representativo de la Banda Muerta.

2.2.5.1.2 Tiempo muerto del servomotor (tq) Es el intervalo de tiempo entre un cambio de la velocidad o señal de comando y el primer movimiento detectable del servomotor. El valor de tq debe ser menor que 0,2 seg. Ver figura 2.15.

Figura 2.15. Gráfico representativo del Tiempo Muerto. 33

2.2.5.1.3 Constante de tiempo del dispositivo de amortiguación (Td) La constante de tiempo con la que se describe la caída de la señal de retroalimentación

de

posición

del

servomotor

a

través

del

dispositivo

de

amortiguamiento. El Td debe ser ajustable entre 0,1 a 20 seg. Ver figura 2.16.

Figura 2.16. Gráfico representativo del tiempo de amortiguación.

2.2.5.1.4 Ganancia proporcional (KP) Es la ganancia del elemento proporcional su valor es ajustable entre (0-20) seg.

2.2.5.1.5 Ganancia integral (KI) Es la ganancia del elemento integrador. Margen de ajuste entre (0-10) seg.

2.2.5.1.6 Ganancia Derivativa (KD) Es la ganancia del elemento Derivador. Margen de ajustable entre (0-5) seg.

34

2.2.5.1.7 Estatismo (b) Se define como la pendiente de la pérdida de velocidad en un punto determinado. Ver figura 2.17.

b=

∆n ⋅100 ∆y

Figura 2.17. Gráfico representativo del Estatismo.

2.2.5.1.7.1

Estatismo permanente (bp)

Es la pérdida de velocidad en estado estable después que haya terminado la acción del dispositivo de amortiguación. En regulación de velocidad:

Relación entre frecuencia y posición del

servomotor En regulación de nivel:

Relación entre nivel y posición del servomotor

En regulación de potencia:

Relación entre potencia y frecuencia

Margen de ajuste:

Entre (0-6)% 35

2.2.5.1.7.2

Estatismo transitorio (bt)

Es la pérdida de velocidad en estado estable cuando el dispositivo de amortiguamiento está bloqueado y el estatismo permanente inactivo. Margen de ajuste entre (0-150)%

2.2.5.2

Principios de Regulación

Dado que los conceptos comandar y regular son confundidos con frecuencia, se desarrollan brevemente las definiciones: Comandar: Significa que dado un valor prescrito o valor teórico, el valor real se da por las condiciones del dispositivo. El valor real no es controlado y por lo tanto no sufre correcciones. Un ejemplo: en las válvulas de flujo se gradúa un valor (prescrito) y se espera un valor de caudal correspondiente. Regular: significa que dado un valor prescrito o teórico de una variable, el valor real es controlado y medido constantemente en el tiempo y transformado en una magnitud comparable con el valor prescrito. Si los valores prescrito y real no coinciden, se elabora una señal de corrección o error, que influye en el sistema de manera que el valor real se iguale nuevamente al valor prescrito. Es decir, la función de la regulación es mantener el valor real igual a un valor teórico, inclusive existiendo perturbaciones externas que puedan afectarla. La variable más importante a regular en una turbina hidráulica es la velocidad que tiene una relación directa con la frecuencia, es decir, que si se quiere regular la frecuencia, se debe hacer a través de la regulación de la velocidad de la máquina. La frecuencia de la red varía con el cambio de la carga, por lo que se hace necesario distribuir la carga en todas las unidades que aportan regulación a la red y que éstas

36

mantengan una reserva para reaccionar rápidamente al cambio de la carga para evitar la variación de la frecuencia de la red interconectada. Las funciones del regulador de una turbina hidráulica son las siguientes: Velocidad, Potencia, Apertura, Nivel, Caudal.

2.2.5.2.1 Regulación de velocidad El valor prescrito de velocidad, es ajustable entre (90 y 110)% (Estándar). Al dar la orden de arranque y tras la sincronización, el valor prescrito queda automáticamente fijado en 100%. En el modo de funcionamiento en red, la banda muerta de frecuencia, se activa y sus límites superior e inferior pueden ajustarse libremente. Con base en la diferencia entre el valor prescrito y el valor real de la frecuencia, el regulador de velocidad calcula el valor prescrito para la posición de los servomotores. Este ha sido concebido como regulador PID. El estatismo permanente (bp) determina la influencia que ejercen las modificaciones de frecuencia sobre la salida del regulador.

2.2.5.2.2 Regulación de potencia El valor prescrito de la potencia es ajustable entre (-5 y 105)% (Estándar). Este modo de funcionamiento sólo puede elegirse si la máquina está conectada a la red. En el resto de los modos, el valor prescrito de la potencia sigue al de la potencia activa, a fin de permitir en cualquier momento una conmutación sin choques. La señal de potencia activa es filtrada a la entrada y la constante de tiempo se puede ajustar libremente.

37

Con base en la diferencia entre el valor prescrito y el valor real de la potencia, el regulador de potencia calcula el valor prescrito para la posición de los servomotores. Este bloque está concebido como regulador PI. En caso de desviaciones de frecuencia del valor nominal, la contribución a la estabilización de la frecuencia está determinada por el estatismo de frecuencia/potencia.

2.2.5.3

Regulación de turbinas Francis

La regulación de turbinas Francis requiere regular las paletas directrices por medio de un anillo de distribución, accionado por uno o dos servomotores. En otros casos para máquinas de gran tamaño, se instala un servomotor pequeño para cada paleta directriz, a discreción del fabricante, pero, muchas veces, con la misma señal de control. En la figura 2.18 se indica la disposición típica de regulación de una turbina Francis. Este tipo de turbinas es el que se usa en la Casa de Máquinas 2 de Macagua II y utiliza el par de servomotores junto con el anillo de distribución.

Figura 2.18 Disposición típica de regulación de una turbina Francis Debido a que las turbinas Francis no disponen de otro órgano de cierre, tales como los deflectores en las turbinas Pelton y su cierre debe realizarse entre (5 y10) segundos aproximadamente, las exigencias hidráulicas son mayores por lo que se 38

dispone de almenara aguas arriba, lo más cerca de la turbina, minimizando de ese modo los golpes de ariete.

2.2.5.4

Principios de Estabilidad

La calidad de la regulación de una turbina hidráulica se refiere a la capacidad reguladora del equipo regulador ante un rechazo de carga o a las perturbaciones transitorias de la velocidad debido a una variación abrupta de la carga ya sea en operación en red interconectada o en isla. Las alteraciones en la carga ocasionan una acción correctiva del regulador al variar la frecuencia que conlleva a un ajuste del caudal turbinado, originando efectos de golpe de ariete. La onda generada por el golpe de ariete se opone a la acción correctiva del regulador tanto mayores cuanto críticas sean las características dinámicas de la conducción. La característica dinámica más importante en la instalación hidráulica es la inercia hidráulica (Tw) que depende fundamentalmente de la longitud de la conducción y la velocidad del fluido. Como se indica en la ecuación siguiente:

N

Tw[ s ] =

Donde:

L.V = g .H

∑ i =1

Li.Q Ai

g .H

L= Longitud equivalente de la conducción (m) V= Velocidad media del agua (m/s) 39

(6)

H= Salto neto g= Aceleración de la gravedad 9,81 m/s2

En instalaciones hidráulicas con conducciones muy largas se debe prever una almenara lo más cerca posible de la casa de máquinas, al inicio del pozo de presión, para mejorar el (Tw) y permitir con ello cierres más rápidos con menor golpe de ariete o transiente de presión. La teoría de Allievi permite establecer por cálculos más profundos el valor de depresión producido por una admisión abrupta de agua al arrancar la turbina o la sobrepresión producida por un cierre rápido de la turbina. La ecuación o parámetro de Allievi está dada por:

ρ=

a.v 2 g.H

(7)

Donde: a, es la velocidad de propagación de la onda

a[m / s] =

C  ε d 1 + *   E e

0,5

Donde: C= La velocidad del sonido en el agua, 1.420 m/s a 15°C ε= El módulo de elasticidad del agua, 2x108 Kg/m2 40

(8)

E= El módulo de elasticidad del material de la tubería (Kg/m2) e= El espesor en m d= El diámetro en m

a[m / s] =

ε E ε E

C  ε d 1 + *   E e

0,5

(9)

[acero] = 0,01

[concreto] = 0,10 a 0,15

Con base en datos prácticos se tienen las siguientes recomendaciones: a = (800 – 1000) m/s [tubería de acero] a = (1000 - 1200) m/s [tubería de concreto]

Para diámetros y espesores diferentes se calcula:

a MED =

L1 + L2 + ...... + Ln L L1 L2 + + ....... + n a1 a 2 an

41

(10)

Otro parámetro a tener en cuenta en la regulación es la inercia mecánica (Tm) que depende básicamente de las masas rotantes del grupo turbogenerador.

Tm[ s ] =

2,74 *10 −3 GD 2 * n 2 P

(11)

Donde: GD2 = Efecto volante en ton. m2 n

= Revoluciones de la unidad min-1

P

= Potencia en Kilovatios

0,7 * 10 6 * MVA1, 25 GD [t.m ] = n2 2

2

(12)

El GD2 de una volante para sobre inercia está dado por la ecuación: GD2[t.m2]= 3,07 x t x D4 Donde:

D= Diámetro de la volante en m t= Espesor en metros.

La relación entre Tm y Tw determinan la calidad reguladora de la instalación hidráulica, por lo que se puede predecir la calidad de regulación en el proceso de diseño. La tabla siguiente muestra las características dinámicas de los diferentes tipos de turbina. 42

Tabla 2.1. Características dinámicas de los diferentes tipos de turbina

INERCIA HIDRAULICA Tw(s) INERCIA MECÁNICA

FRANCIS

KAPLAN

0,2 - 4

0,5 - 5

1 - 10

1 - 8

3 - 10

1 - 10

0,3 - 5

0 - 0,5

0

30 - 1500

5 - 30

5 - 60

Tm(s)

TIEMPO DE LA ONDA TL(s) TIEMPO DE CIERRE

PELTON

TS(s)

Los estudios de especialistas en la materia, establecen que una relación de Tm/Tw entre 7 a 8, nos permite inferir una buena regulación. La calidad reguladora de una instalación juega un papel muy importante cuando la turbina trabaja en red aislada.

2.2.5.5

Ganancias del regulador

Las ganancias Kp, Ki y Kd se obtienen de las siguientes expresiones, en términos de la inercia mecánica Tm y la inercia hidráulica Tw. 2.1.1.1.1 Ganancia proporcional Kp

Kp =

Dónde:

1 bt

bt = 1,5

Tw Tm

43

Luego,

Kp =

Tm 1,5 Tw

(13)

2.2.5.5.1 Ganancia Integral KI

Ki =

Donde:

Luego,

1 bt * Td

Td = 3Tw

Ki =

Tm Tm = 1,5Tm * 3Tw 4,5Tw 2

(14)

2.2.5.5.2 Ganancia Derivativa KD

Kd =

Td 3Tw = = 2Tm Tw bt 1,5 Tm

(15)

En la figura 2.19 se indica una respuesta normal de un regulador partiendo de una operación normal y regulando un rechazo de carga del 10%. El incremento de la velocidad no debe ser mayor del 5% Vn, la amortiguación del transientes debe 44

obtenerse en un tiempo no mayor de 5 Tw (15 - 20) seg y la onda amortiguada debe ser aproximadamente un 10% de la sobrevelocidad.

Figura 2.19 Respuesta natural de un regulador ante un rechazo de carga de 10%.

2.2.5.6

Generalidades del Controlador DTL-725

Este es el controlador utilizado en el sistema de gobernación de las casas de máquinas 2 y 3 del complejo hidroeléctrico Macagua II, con modificaciones pertinentes para cada una de ellas. Las letras DTL son una abreviatura alemana de las palabras “Digitales Turbinen Leitsystem” lo que significa “Sistema de Control Digital para Turbinas”, información obtenida de manual del fabricante de las Turbinas de Macagua, SULZER ESCHER WYSS (1993). DTL-725[23]. El DTL-725 es un controlador lógico programable que se encuentra instalado junto

a sus respectivos transductores, interfaces y otros equipos periféricos en el

cubículo para los controladores electrónicos “GE” ubicado en la galería de equipos de control de la Casa de Máquinas. En la figura siguiente se muestra al cubículo del GE de los Gobernadores de Macagua.

45

El programa del DTL es almacenado en una tarjeta conocida como “Bubble Memory”, y el sistema operativo, configuración y datos de operación se encuentran en memoria RAM con capacidad de 64 kB. La mayoría del programa del DTL ha sido realizado en lenguaje “Fortran 77”. La función principal del DTL-725 es la regulación de velocidad y potencia activa del generador. Para lograr esto el regulador mantiene una señal de ±10 mA en la servoválvula Y2392/1 logrando de esta manera el control de movimiento de los servomotores que mueven las paletas directrices que regulan el paso de agua hacia el rodete de la turbina. En la figura siguiente se muestra una foto de parte del servomotor de una de las unidades de Macagua. Para que el regulador realice sus labores de control requiere conocer variables del proceso tales como la velocidad de la turbina, la caída neta, la posición de los servomotores, la posición de la válvula distribuidora 2100 y la potencia activa que entrega el generador, esta información debe ser lo más exacta posible para que exista una buena regulación. De acuerdo a los niveles aguas arriba y aguas abajo (caída neta” el tiempo de apertura del distribuidor será mayor o menor. El DTL está provisto de convertidores análogos / digitales y digitales / análogos que facilitan la comunicación del DTL 725 con el proceso.

2.2.5.7

Monitor de Velocidad SM 1200

Su función es la medición, evaluación y monitoreo de la velocidad del generador por medio de dos sensores ubicados en la adyacencia de la rueda dentada de la turbina. Con el procesamiento de las dos señales de los sensores B2371/2 y 3 es posible conocer la velocidad, el sentido de rotación y la parada de la máquina así como determinarse la avería de uno o ambos sensores. La señal de frecuencia monitoreada por los sensores es transmitida a un convertidor de frecuencia – voltaje que se en encuentra entre el hardware del SM 1200. 46

Para la evaluación se disponen de 12 valores de umbrales ajustables con la ayuda de una tarjeta programada, en la cual se podrá indicar el punto de rebosamiento para un determinado valor de tensión límite. El convertidor frecuencia – voltaje es ajustado para que el margen de frecuencia nominal corresponda a un voltaje de salida de 5 Voltios. Entonces es posible la medición de velocidad hasta 200 % de la nominal.

2.2.5.8

Controlador Manual ETR

Está diseñado para realizar la operación de las paletas directrices de la turbina en caso de falla del regulador electrónico DTL 725 Cuando se produce un cambio al modo ETR, el gobernador deja de regular pero mantiene las paletas directrices en la última posición. El cambio a ETR se puede producir por las siguientes condiciones: •

Problema con la señal de posición de los servomotores.

•

Problema con la señal de velocidad.

•

Discrepancia entre el setpoint y el valor real de la muestra.

•

Falla de energía.

2.2.5.9

El DTL-725

El sistema digital de regulación para turbinas (DTL) se aplica a una gran variedad de tareas de automatización de procesos y ha sido diseñado en particular para la regulación y el mando de instalaciones hidráulicas. Gracias a la alta capacidad de este sistema, es posible tener en cortos tiempos de muestro (10...100 ms) necesarios para esta aplicación, sin que pierda su confort. 47

Las señales de entrada y salida del DTL pueden combinarse individualmente por medio de un conjunto de módulos funcionales preprogramados. Con esta programación de bloques funcionales, las respectivas estructuras de mando y regulación pueden implementarse y examinarse fácilmente sin que sea necesario conocer un lenguaje de programación. Un simple editor permite realizar modificaciones en poco tiempo sin necesidad de modificar el hardware. El DTL está compuesto de una unidad de procesamiento central, (basado en la línea de productos LSI-11 de DEC) de subsistemas para el acondicionamiento de señales y de aislamiento galvánica para todas las señales analógicas y binarias de entrada y salida. Debido a la concepción modular del hardware y del software, este sistema cumple con las exigencias de la explotación industrial. Gracias a ello, el sistema puede adaptarse al tamaño y a la complejidad del proceso respectivo (número de canales de entrada/salida, capacidad del procesador, etc.).

48

2.3

MARCO JURÍDICO Y LEGAL

2.3.1 Normas Aplicables a Reguladores Hidráulicos DIN 4321

Technische Angaben für Regeleinrichtungen

VDE 3510

Guide for preparing specifications for governing systems of hydraulic turbines

IEC (Publicatión 308)

International code for testing of speed governing systems for hidraulic turbines

IEEE Std 125-1988

Recomended practice for preparation of equipment specifications for speed governing of hydraulic turbines intended to drive electric generators

ASME

Speed - governing systems for hydraulic turbine - generator units

49

2.4

PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN A continuación se presentan las preguntas de investigación que fueron

respondidas en el presente trabajo: 2.8.1

¿Cuales son los fundamentos teórico-prácticos y curvas de respuesta de los elementos que intervienen en el lazo de control de los Gobernadores?

2.8.2

¿Cuál es el modelo matemático de cada uno de los elementos que componen un Gobernador de las Unidades Generadoras de Casa de Máquinas II de Macagua?

2.8.3

¿Cómo desarrollar un modelo matemático de los Gobernadores que incluya cada uno elementos que intervienen en el lazo de control de los Gobernadores?

2.8.4

¿Qué pruebas se deben realizar en los Gobernadores de Macagua que permitan el análisis de su respuesta dinámica?

2.8.5

¿Cómo validar los resultados del modelo matemático desarrollado para los Gobernadores de Macagua?

2.8.6

¿Cuáles son los fundamentos teórico-prácticos y curvas de respuesta de los nuevos elementos finales de control a instalarse en los Gobernadores de Macagua?

2.8.7

¿Cuál es la función característica aproximada de los nuevos elementos finales de control a instalarse en los Gobernadores de Macagua?

2.8.8

¿Qué modificación es necesaria en el modelo matemático desarrollado para los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua para agregar la función característica aproximada de los nuevos elementos finales de control?

2.8.9

¿Cómo es la respuesta del modelo matemático desarrollado con los nuevos elementos finales de control en comparación con el modelo actual? 50

2.8.10 ¿Qué simulaciones son necesarias sobre el modelo desarrollado para determinar la primera aproximación de los parámetros del controlador del un Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua con los nuevos elementos finales de control? 2.8.11 ¿Cuáles son las bases y criterios en el diseño de los Gobernadores necesarios para la instalación de los nuevos elementos finales de control? 2.8.12 ¿Cuáles son las características mínimas necesarias de los elementos finales de control, para no afectar de manera negativa el comportamiento dinámico del Gobernador? 2.8.13 ¿Cuáles serán los beneficios obtenidos con el desarrollo de este trabajo?

51

CAPÍTULO 3

MARCO METODOLÓGICO

En el siguiente capítulo se exponen los aspectos referidos al diseño metodológico que se utilizó para el desarrollo de la siguiente investigación. A continuación se indica el tipo de estudio, la caracterización de la muestra y los instrumentos de recolección de datos utilizados para realizar el presente trabajo.

3.1

TIPO DE ESTÚDIO Este tipo de investigación es no experimental de tipo aplicada. En este sentido

SERRANO (2002) [24] señala que: La investigación aplicada o tecnológica persigue una utilización directa de los conocimientos obtenidos y se emprende con el ánimo de obtener un nuevo conocimiento técnico de aplicación inmediata en un problema determinado. Esta investigación es no experimental de tipo aplicada debido a que no se manipulan variables o asignan circunstancialmente a los sujetos o condiciones, es decir, no se construye ninguna situación, sino que se observan situaciones ya existentes, no provocadas intencionalmente por el investigador, y según su finalidad se puede clasificar como una investigación metodológica aplicada pues implicara el uso de 52

software de simulación de procesos como Matlab, utilizándolos y adecuándolos para el desarrollo del modelo matemático de los Gobernadores de la casa de Máquinas II de Macagua y el registro de las pruebas funcionales del Sistema de Gobernación de las Turbinas de las Unidades de Generación de la Casa de Máquinas II de la Central Hidroeléctrica “Antonio José de Sucre” que permitieron validar el modelo desarrollado.

3.2

MUESTRA La población puede ser definida como “....el total de elementos sobre la cual

queremos hacer una injerencia.....” (WEIERS,1989, p.97). En función de la cita anterior, la población de la presente investigación fueron los Sistemas de Gobernación (regulación) utilizados en la Casa de Máquinas II de Macagua. Por otro lado, la muestra se define como “la parte de la población que seleccionamos, medimos y observamos” (WEIERS, 1989, p.97), por tal razón se considera que la misma fueron los Sistemas de Gobernación (regulación) utilizados en la Casa de Máquinas II de Macagua.

3.3

INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS Uno de los pasos mas importantes para evaluar la problemática general y en

este caso la realización de un modelo de los equipos es la selección adecuada de los instrumentos para la recolección de información confiable, precisa, y significativa que permita establecer con criterio las bases para el desarrollo y evaluación de un modelo matemático de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua para la modernización de sus elementos finales de control. En tal sentido SABINO (1992) afirma que: “un instrumento de recolección de datos es, en principio, cualquier recurso de que se vale el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de ellos información” [25]. Entre los instrumentos se contó con: 53

3.3.2 Internet Es un recurso indispensable para la investigación, recolección de información y revisión de referencias bibliográficas para el investigador actual.

3.3.3 Paquetes computarizados 3.3.3.1

National Instruments Labview

El software LabView

es un sistema de desarrollo de la compañía National

Instruments dirigido principalmente a ser utilizado en diversas áreas de los procesos industriales, bien sea control, monitoreo, registro, etc. Utiliza como base un lenguaje gráfico denominado Lenguaje G.

3.3.3.2

Matlab.

El software MATLAB es un lenguaje técnico de computación desarrollo de la compañía Mathworks,INC dirigido principalmente a ser utilizado en la simulación de procesos de diversas áreas del conocimiento técnico, bien sea, Automatismos, Aeronáutica, Mecánica, Física, Matemática, etc. Con este lenguaje se desarrolló el modelo planteado y se realizaron las simulaciones necesarias para el desarrollo de este trabajo de investigación. 3.3.4 Hyperterminal Esta aplicación de comunicaciones desarrollada por Microsoft es la actualmente utilizada para conectarse al sistema de control automático del Gobernador (DTL-725) y obtener información de este.

54

3.3.5 Manual VT100 Este manual nos permite conocer las características y forma de uso del protocolo VT100, el cual es el protocolo de comunicación utilizado por el sistema de control automático del Gobernador (DTL-725).

3.3.6 Multímetro Este instrumento es capaz de realizar diferentes tipos de mediciones eléctricas, constituidas básicamente

por medidas de corriente (multímetro empleado como

amperímetro), de voltaje (multímetro empleado como voltímetro) y frecuencia. Utilizado para el momento de las pruebas in situ y comparar señales analógicas con su par digital.

3.3.7 Computador Fue uno de los instrumentos más importantes utilizados en el desarrollo del presente trabajo. Sirve para efectuar simulaciones, operaciones de cálculo y medidas complejas. Está formado por los siguientes elementos o unidades: unidad de entrada, unidad aritmético-lógica y unidad de salida. La unidad de entrada tiene la misión de recibir los datos e instrucciones necesarias para efectuar el conjunto de operaciones. Como el computador tiene un lenguaje propio, la información se debe convertir convenientemente. Luego los datos e información pasan a la unidad aritmético-lógica, y posteriormente a la unidad de salida. Las características principales del equipo utilizado para el desarrollo del presente estudio son las siguientes: Portátil HP Pavilion dv63010us, Microprocesador AMD Turion (tm) II P520 Dual-Core Processor (2,3 GHz.), 4 Gb RAM, DD 150 GB. 55

3.4

PROCEDIMIENTOS El procedimiento seguido para el desarrollo del presente trabajo se muestra a

continuación: 3.4.1

Se realizó la revisión de las normas aplicables al proyecto y referencias bibliográficas.

3.4.2

Se establecieron los fundamentos teórico-prácticos y curvas de respuesta de los elementos que intervienen en el lazo de control de los Gobernadores (sensores, válvulas y PLCs).

3.4.3

Se desarrolló un modelo matemático de los Gobernadores que incluyo cada uno elementos que intervienen en el lazo de control de los Gobernadores.

3.4.4

Se realizaron las pruebas en los Gobernadores de Macagua que permitieron el análisis de su respuesta dinámica.

3.4.5

Con los resultados de las pruebas a un Gobernador de Macagua, se validaron los resultados del modelo matemático desarrollado.

3.4.6

Se establecieron los fundamentos teórico-prácticos y curvas de respuesta de los nuevos elementos finales de control a instalarse en los Gobernadores de Macagua, para determinar su función característica aproximada.

3.4.7

Se modificó el modelo matemático desarrollado para los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua agregando la función característica aproximada de los nuevos elementos finales de control.

3.4.8

Se realizaron simulaciones con el modelo desarrollado para determinar la primera aproximación de los parámetros del controlador del un Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua con los nuevos elementos finales de control. 56

3.4.9

Se establecieron las bases y criterios en el diseño de los Gobernadores la instalación de los nuevos elementos finales de control.

3.4.10 Se realizó la validación del modelo matemático con los nuevos elementos finales de control comparándolo con el modelo las servoválvulas originales de los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua. 3.4.11 Se elaboró el informe final del Trabajo de Grado.

57

CAPÍTULO 4

RESULTADOS

En el siguiente capítulo se exponen los procedimientos y pasos seguidos para el desarrollo y evaluación del modelo matemático de los Gobernadores de las turbinas hidroeléctricas de la Casa de Máquinas II de Macagua para la modernización de sus elementos finales de control.

4.1

PROCEDIMIENTO GENERAL Procedimiento general para el desarrollo del modelo matemático:

a. Se rrevisaron las normas aplicables al proyecto y referencias bibliográficas. b. Se establecieron los fundamentos teórico-prácticos y curvas de respuesta de los elementos que intervienen en el lazo de control de los Gobernadores (sensores, válvulas y PLCs). c. Se desarrolló un modelo matemático de los Gobernadores que incluyó cada uno elementos que intervienen en el lazo de control de los Gobernadores.

58

d. Se realizaron pruebas en los Gobernadores de Macagua que permitieron realizar el análisis de su respuesta dinámica. e. Se validó el modelo matemático desarrollado con pruebas a un Gobernador de Macagua. f. Se establecieron los fundamentos teórico-prácticos y curvas de respuesta de los nuevos elementos finales de control a instalarse en los Gobernadores de Macagua, para determinar su función característica aproximada. g. Se modificó el modelo matemático desarrollado para los Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua agregando la función característica aproximada de los nuevos elementos finales de control. h. Se realizaron simulaciones con el modelo desarrollado para determinar la primera aproximación de los parámetros del controlador del un Gobernadores de la Casa de Máquinas II de Macagua con los nuevos elementos finales de control. i.

Se establecieron bases y criterios en el diseño de los Gobernadores para la instalación de los nuevos elementos finales de control.

j.

Se procedió a la Elaboración del informe final: Trabajo de Grado.

59

4.2

REVISIÓN DE NORMAS Y BIBIOGRÁFIA APLICABLES AL PROYECTO Para el desarrollo de este proyecto se realizo una recopilación de la información

existente sobre los Gobernadores de Macagua tales como: a. Manuales de Fabricante. b. Planos y especificaciones técnicas. c. Protocolo de ensayos de taller de los Gobernadores de Macagua. d. Documentos adicionales, Etc. Uno de los documento base del desarrollo descrito en este trabajo es la norma ANSI/IEEE Std 125-1988

[26]

, la cual describe cuales son las prácticas recomendadas

para la preparación de especificaciones para gobernadores de velocidad en turbinas hidráulicas de generadores eléctricos. En la referida norma se dan las bases y criterios seguidos en el presente trabajo para determinar las especificaciones de los elementos que intervienen en el sistema de Gobernación de las unidades Generadoras de Macagua. El análisis de la información recopilada nos llevo a determinar que entre los elementos más importantes para el buen funcionamiento de los Gobernadores de Macagua están las servoválvulas, transductores de posición de paletas directrices y válvula distribuidora del sistema de Gobernación, donde los problemas principales que sufren estos elemento son: ensuciamiento del filtro interno, desgaste de componentes y envejecimiento de componentes. El

presente

desarrollo

está

orientado

en

la

determinación

del

buen

funcionamiento dinámico de estos elementos, y el conjunto de elementos de acción final de control del sistema de Gobernación.

60

4.3

MODELACIÓN DEL SISTEMA DE GOBERNACIÓN DE MACAGUA La norma IEEE Std 1010

[27]

, define los elementos típicos que deben constituir a

un Sistema de Gobernación de una turbina de reacción electro-hidráulica como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1 Configuración típica de un Sistema de Gobernación para turbinas de reacción electro-hidráulica. Según norma En los parágrafos posteriores se realiza el análisis y modelado matemáticos de los bloques de Interfase electro-hidráulica (Electro-Hydraulic Interface”), Amplificador hidráulico (Hydraulic Amplifier), Temporizado de Control del Servomotor (Servomotor timing control) y los elementos finales de control del Sistema de Gobernación. Es de notar que el diagrama de la figura 4.1, es un esquema general que contempla el control de alabes para Turbinas del tipo KAPLAN, elementos que no aplican para una turbina Francis debido a que esta posee alabes fijos. En la figura 4.2, 61

se muestra un esquema simplificado de una turbina de reacción electro-hidráulica del tipo Francis, donde se resaltan los elementos a estudiar en el presente trabajo.

Figura 4.2 Configuración típica de un Sistema de Gobernación para turbinas de reacción electro-hidráulica tipo Francis. Según norma IEEE Std 1010 [28]

En la figura 4.3 se puede observar un esquema simplificado del lazo de control de posición de las paletas del modo de control DTL-725 de los Gobernadores de Macagua, donde se muestran cada uno de los componentes del lazo que fueron estudiados en el presente trabajo. En el anexo A, se puede observar el modelo matemático completo del sistema de Gobernación desarrollado en MatLab Simulink.

Figura 4.3 Esquema simplificado del lazo del modo de control DTL del Sistema de Gobernación de las Turbinas de Macagua. 62

4.3.1 Modelo de tarjeta 3B-725 La tarjeta 3B-725 es un servo-amplificador y acondicionador de señal lineal que permite interconectar el sistema de control del DTL-725 con la servo-válvula del Sistema de Gobernación. Esta tarjeta realiza la función de punto de suma del lazo de control además de suministrar capacidades de ajuste de la ganancia del lazo, ajuste del cero electrónico de la posición de la servoválvula y finalmente la adición de una señal de alta frecuencia que permite romper la inercia de la servoválvula reduciendo la influencia del roce mecánico en la servoválvula. En la figura 4.4 se observa un diagrama esquemático de la tarjeta 3B-725.

Figura 4.4 Diagrama esquemático de la tarjeta 3B-725 (archivo N° 4-831-791-777, tomo 2.2, pagina 181, SULZER ESCHER WYSS ZURICH).

Las características técnicas de la tarjeta 3B-725 son las siguientes: •

Entrada : ± 10 V

•

Resistencia de entrada : 100KΩ

•

Constante de tiempo de filtro de entrada : 0,68ms

•

Realimentación (Isv) : ± 10 mA 63

•

Resistencia de entrada de realimentación : 50Ω

•

Salida : ± 10 mA

•

Constante de tiempo de filtro de entrada : 0,47ms

•

Kp : 0…10

•

Uo : 10% del margen de señal de entrada (Iin)

•

Os : 50Hz con variación de amplitud de hasta 20% del margen de salida (Iout)

El diagrama de la figura 4.5, se muestran cada uno de los bloques funcionales que configuran a la tarjeta 3B-725 utilizada en los Sistemas de Gobernación de las unidades de la central Hidroeléctrica de Macagua. En los puntos subsiguientes se muestra el desarrollo matemático realizado para obtener las funciones descriptivas de los bloques que llevaron al desarrollo final del modelo deseado de la tarjeta 3B-725.

Figura 4.5 Diagrama de bloques de la tarjeta 3B-725. 64

4.3.1.1

Circuito acondicionador de entrada de realimentación tarjeta 3B-725

El circuito de acondicionamiento y protección de la entrada de realimentación de la tarjeta 3B-725 está representado por el circuito de la figura 4.6.

Figura 4.6 Circuito acondicionador de entrada de realimentación. El circuito de la figura anterior representa un amplificador diferencial donde su ecuación característica es la Ec. 4.1.

V1 = −

R  R8 R7 ∗ Va + ∗  8 + 1 ∗ Vb R4 R3 + R7  R4 

(4.1)

Sustituyendo los valores de las resistencias del circuito de la figura 4.6, en la ecuación 4.1 y luego de simplificar se tiene,

V1 = −2 ∗ (V a − Vb )

(4.2)

Teniendo en cuenta que la diferencia de tensión Va-Vb está representada por la caída de tensión provocada por el paso de la corriente Isv sobre el paralelo de las resistencias de entrada al circuito se tiene, 65

(Va − Vb ) =

R1 ∗ R 2 ∗ I SV = 50 ∗ I SV R1 + R 2

(4.3)

Sustituyen el resultado de la Ec. 4.3 en la Ec. 4.2. V1 = −100 ∗ I SV

4.3.1.2

(4.4)

Circuito de OFFSET (Uo)

El circuito de Offset de la tarjeta 3B-725 está representado en la figura 4.7. La función principal de este circuito es corregir las posibles desviaciones del cero mecánico de las servoválvulas instaladas en los Gobernadores.

Figura 4.7 Circuito de Offset de la tarjeta 3B-725. Asumiendo,

Ra = R10 = R12 R11 = (1 − α ) ∗ R11 + α ∗ R11 66

(4.5)

Donde, α = desplazamiento del cursor del potenciómetro (0…1)

Aplicando el principio de superposición de fuentes y operando se logra obtener la ecuación Ec. 4.6, la cual define el funcionamiento del circuito de la figura 4.7.

U o = Vref ∗

4.3.1.3

2 ∗ α ∗ R11 − R11 2 ∗ Ra + R11

(4.6)

Circuito de ganancia sumador 1

Este circuito representado en la figura 4.8, tiene la función de sumar las señales de Uo y retroalimentación de entrada de la tarjeta 3B-725, para acoplarlas al circuito de ganancia Kp.

Figura 4.8 Circuito de ganancia sumador 1. Teniendo en cuenta que los circuitos representados en la figura 4.8 son un amplificador inversor y no inversores, adicionalmente conociendo los valores de todas las resistencias del circuito se obtiene la Ec. 4.7. 67

V 2 = −10 ∗ V1 − 5 ∗ U o

(4.7)

Sustituyendo la Ec. 4.4 en la Ec. 4.7 se obtiene, V 2 = 1000 ∗ I SV − 5 ∗ U o

4.3.1.4

(4.8)

Circuito de ganancia Kp

Con este circuito se puede ajustar el valor de ganancia del lazo de control de posición del servomotor de paletas directrices de los Gobernadores, logrando se esta manera influir en la variables de tiempo de respuesta, máximo sobre impulso y error en estado estacionario. Ver figura siguiente.

Figura 4.9 Circuito de ganancia Kp. Asumiendo,

R 29 = (1 − α ) ∗ R 29 + α ∗ R 29

(4.9)

La ecuación Ec. 4.10, describe el funcionamiento del circuito de la figura 4.9. 68

 R V3 = V 2 ∗ α ∗  − 35  R31

  

(4.10)

Asumiendo que Kp = α y conociendo los valores de las resistencias asociadas al circuito se tiene, V3 = −V 2 ∗ Kp

(4.11)

Sustituyendo la Ec. 4.8 en la 4.11 se obtiene la Ec. 4.12 V3 = −(1000 ∗ I SV − 5 ∗ U o ) ∗ Kp

4.3.1.5

(4.12)

Circuito oscilador

El circuito oscilador es un multivibrador astable con una salida en forma de onda cuadrada con un ciclo útil de 50% descrito por GONZALEZ (2007)

[29]

, cuya función en

el lazo de control del Gobernador es generar un movimiento oscilatorio en el servoválvula que permita romper la inercia natural de este sistema mecánico para minimizar cualquier efecto no lineal provocado por esta variable. La señal oscilatoria es adicionada a la señal de control pero con un valor de amplitud menor que el 20% de la misma para evitar que pueda tener algún efecto sobre el elemento final de control (Servomotores). Ver figura 4.10. El voltaje de salida del circuito oscilador se determina por el divisor de tensión en la malla de realimentación positiva del oscilador, según se muestra en la Ec. 4.13.

VOS = ±Vo ∗

α ∗ R36

(4.13)

2 ∗ R N 1 + R36

69

Donde R36 = (1-α) R36 + αR36 con α es el desplazamiento del cursor del potenciómetro.

Figura 4.10 Circuito oscilador Os.

El voltaje del condensador C3 se obtiene resolviendo la malla de realimentación negativa del circuito oscilador, teniendo en cuenta que la ecuación está definida por, − (t − t a )

VC3 (t ) = A + B ∗ e

 R26 ∗ RN 1     R + R ∗C3  26 N 1 

, para t a ≤ t ≤ t b

Resolviendo la ecuación Ec. 4.14 para t = t a , Donde,

VC3 (t a ) = −Vo+ ∗

R N 1 + R36 2 ∗ R N 1 + R36 70

(4.14)

VC3 (∞ ) = Vo+ ∗

R26 =A R26 + R36

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la Ec.4.14 y despejando B, se tiene con t = t a

B = −Vo+ ∗

R N 1 + R36 R26 − Vo+ ∗ 2 ∗ R N 1 + R36 R26 + R36

(4.15)

Sustituyendo los valores de B y A en la Ec. 4.14, se tiene, − (t − t a )

VC3 (t ) = Vo+ ∗

R 26 − Vo+ R 26 + R N 1

 R N 1 + R36  R 26  ∗ e ∗  +  2 ∗ R N 1 + R36 R 26 + R N 1 

 R26 ∗ R N 1     R + R ∗C3 N1   26

(4.16)

Evaluando la Ec.4.16 en t = t b y despejando (t b − t a ) se obtiene,

(t

b

− ta ) =

R26 R + R36 R26 ∗ RN 1 α + β  α= β = N1 ∗ C3 ∗ LN   R26 + R N 1 y 2 ∗ RN 1 + R36 R26 + RN 1  α − β  , donde,

(4.17)

El periodo de la señal oscilatoria viene dado por la Ec. 4.18. En la figura 4.11, se observan las formas de onda generadas por el circuito oscilador.

T = 2 ∗ (t b − t a ) = 2 ∗

R26 ∗ RN 1 α + β  ∗ C3 ∗ LN   R26 + RN 1 α − β 

71

(4.18)

Conociendo los valores de los componentes del circuito y sustituyéndolos en la ecuación Ec. 4.18, se obtiene la frecuencia del circuito oscilador, tal que

f =

1 = 51,74 Hz T

(4.19)

Figura 4.11 Forma de onda de salida del oscilador y voltaje sobre el capacitor.

4.3.1.6

Circuito de ganancia sumador de salida

El circuito de ganancia de salida como se muestra en la figura 4.12, se encarga de sumar las señales del voltaje de entrada Vin, la señal de realimentación V3 y el voltaje oscilatorio y los acopla al circuito de salida que finalmente enviara la señal de control a la servoválvula del sistema de Gobernación. 72

Figura 4.12 Circuito de ganancia sumador de salida Resolviendo el circuito inversor sumador con filtro de salida de la figura anterior, se obtiene la ecuación Ec.4.20.     R  R    R47 1  ∗ V3 −  47  ∗ Vos  ∗  V4 = −  47  ∗ Vin −   R40    R47 ∗ C5 ∗ s + 1  RN 2   R41 ∗ R42        R41 + R42   

(4.20)

Sustituyendo la Ec. 4.12 y los valores de los componentes del circuito en la ecuación Ec. 4.20, se obtiene,

1   V4 = [− Vin + 10,091 ∗ (1000 ∗ I SV − 5 ∗ U o ) ∗ Kp − Vos ] ∗   −3  0,68 ∗ 10 ∗ s + 1 

4.3.1.7

(4.21)

Circuito acondicionador y filtro de salida

El circuito acondicionador y filtro de salida como se muestra en la figura 4.13, se encarga de acondicionar la salida final de la tarjeta 3B-725 a los márgenes de corriente aceptables para la servoválvula acoplada a su salida. Adicionalmente, esta etapa aplica 73

un filtro de primer orden con un τ de 0,47ms que permite eliminar el posible ruido generado por la electrónica del dispositivo en su salida.

Figura 4.13 Circuito acondicionador y filtro de salida. El circuito de la figura 4.13, es un convertidor de tensión corriente con carga conectada a tierra descrito por CLAYTON y WINDER (2003)

[30]

(también conocido

como circuito modificado de HOWLAND). Para la solución del circuito se determina que,

 R30 V a = (Vo − I L ∗ R44 ) ∗   R3o + R34

Vb = V 4 ∗

  

(4.22)

R32 Z + Vo ∗ R32 + Z R32 + Z

(4.23)

74

Teniendo en cuenta que Vo = I L ∗ (R32 + Z L ) y que por las características del OPAMP se cumple la condición de Va = Vb , se obtiene igualando las Ec. 4.22 y Ec.4.23,

V4 ∗

 R30 R32 Z + I L ∗ (R32 + Z L ) ∗ = (I L ∗ (R32 + Z L ) − I L ∗ R 44 ) ∗  R32 + Z R 32 + Z  R3o + R34

  

(4.24)

Despejando IL de la Ec. 4.24 se obtiene,

I L = −V4 ∗

Z  R +Z   R44 ∗ R32 + Z L ∗ R32 − Z L ∗ R30 ∗  32  R30 + R34 

(4.25)

 R +Z   Tomando en consideración que: R44 ∗ R32 >> Z L ∗ R32 − Z L ∗ R30 ∗  32  R30 + R34 

La Ec. 4.25 se reduce a,

I L = −V4 ∗

Z R44 ∗ R32

(4.26)

Sustituyendo los valores de los componentes del circuito en la Ec. 4.26 y aplicando transformada de Laplace se obtiene,

I L ( s ) = −V4 ( s ) ∗

1 1   ∗  −3 1000  0,47 ∗ 10 ∗ s + 1 

(4.27)

Finalmente, sustituyendo la Ec. 4.21 en la Ec.4.27 se obtiene la ecuación que rige el comportamiento de la tarjeta 3B-725 del sistema de Gobernación de las unidades generadoras de Macagua. 75

I L ( s ) = [Vin − 10,091 ∗ (1000 ∗ I SV − 5 ∗ U o ) ∗ Kp + Vos ]∗

    1 1 1 ∗   ∗   −3 −3 1000  0,68 ∗ 10 ∗ s + 1   0,47 ∗ 10 ∗ s + 1 

(4.28)

En la figura 4.14, se observa el modelo propuesto para la tarjeta 3B-725 partiendo de la ecuación 4.28. El modelo realizado en SIMULINK de Matlab, representa un servo-amplificador y acondicionador de señal que tiene la capacidad de cerrar un lazo de control de posición y contribuir con parámetros de control del lazo, tales como: •

Ganancia, Kp

•

Offset, Uo.

•

Rompedor de inercia o frecuencia Os.

Figura 4.14 Modelo de la tarjeta 3B-725 utilizando Matlab Simulink. 76

4.3.2 Modelo de servoválvula La servoválvula utilizada en los Gobernadores de las Turbinas de Macagua son del tipo con retroalimentación barométrica modelo 4 WS 2 E.10... suministradas por el fabricante Mannesmann Rexroth. Estas válvulas consisten de dos (2) etapas, la primera etapa esta conformada por un motor de torque magnético del tipo de diseño flapper/nozzle. La segunda etapa tiene un spool de control de precisión de 4-vías y un sistema de realimentación del tipo barométrico, ver figura 4.15. Este dispositivo electrohidráulico tiene la función de convertir las señales de control eléctricas enviadas por el sistema de control del Gobernador a través de la tarjeta 3B-725, en señales hidráulicas para pilotar la válvula distribuidora o válvula principal del Sistema de Gobernación.

Figura 4.15 Servoválvula del sistema de Gobernación. Las características principales de la servoválvula utilizada en los Gobernadores de Macagua están codificadas en el número de parte del su fabricante, el cual es descrito en el manual Mannesmann Rexroth RA 29 586/06.98

[31]

. La figura 4.16

muestra un resumen simplificado del número de parte del fabricante de las servoválvulas de los Gobernadores de Macagua describiendo cada elemento del código. 77

Figura 4.16 Descripción de Servoválvula según código de fabricante Rexroth.

4.3.2.1

Mannesmann

Función de transferencia utilizando método Gráfico

El fabricante Mannesmann Rexroth RA 29 586/06.98

[32]

proporciona el

diagrama de bode de amplitud y fase de la servoválvula con realimentación barométrica modelo 4 WS 2 E.10 para una presión típica de 70 bar y un flujo nominal mayor que 45 L/min, ver figura 4.17.

Desde este diagrama se puede obtener una función de

transferencia aproximada de la servoválvula. 78

Figura 4.17 Diagrama de bode de la servoválvula con realimentación barométrica modelo 4 WS 2 E.10, presión 70 bar y flujo nominal ≥ 45 L/min. Utilizando el método gráfico descrito por Read (2002)

[33]

, se puede obtener la

función de transferencia de la servoválvula a partir del diagrama de bode suministrado por el fabricante, siguiendo los pasos siguientes: a. Determinación del orden relativo del sistema. Observando el valor final del diagrama de fase se puede determinar el orden relativo del sistema. Teniendo en cuenta que cada polo de alta frecuencia contribuye con –90° a la fase, mientras que cada cero contribuye con +90°, y los polos y ceros complejos contribuyen con –/+ 180°. Se tiene que el valor final del diagrama de fase en la figura 4.17 es -90°, de lo cual se puede inferir que la función de transferencia del modelo de la servoválvula debe tener z+1 polos, donde z es el número de ceros. 79

b. Determinación del número de polos y ceros del sistema. Para determinar el numero de polos y ceros que tiene el sistema, se realiza un análisis del diagrama de magnitud en la figura 4.17, donde se observa que el valor inicial de la pendiente es 0 dB/dec, y el valor final es -20 dB/dec. Dado que no se observa un decremento en la pendiente desde -20 dB/dec, se puede asumir que en la función de transferencia final no hay ceros, adicionalmente que solo existe un polo. c. Localización de los polos y ceros del sistema. Dibujando asintotas sobre el diagrama de amplitud de bode suministrado por el fabricante de la válvula, como se muestra en la figura 4.17. La primera asintota es de 0dB/dec mientras que la segunda asintota tiene una pendiente de -20 dB/dec e intercepta a la primera a una frecuencia de aproximadamente 16.6Hz, la cual representa la frecuencia de corte para el polo del sistema ( f 0 ). La función de transferencia propuesta seria:

G (s) =

K  s   + 1  2πf 0 

(4.29)

d. Determinación de ganancia de sistema (K). La ganancia para este caso se determina con la intercepción del diagrama de ganancia con el eje Y a bajas frecuencias en la figura 4.17, tal que:

20 log K = 0dB ⇒ K = 1

(4.30)

Dado que la salida de servoválvula a considerar para el presente modelo es la posición de spool, se determina la ganancia utilizando la relación de la entrada de la servo con respecto a su salida. El manual del fabricante de las servoválvulas 4 WS 2 80

E.10, específica que el recorrido típico del spool de estos servos es de 0,0008m, ver anexo B. Tomando en consideración que la señal de control de las servoválvulas utilizadas en las unidades generadoras de Macagua es de ±10ma, se tiene que la ganancia final sería:

K=

(0,0008 − (−0,008))m 0,0016 m = (0,010 − (−0,010)) A 0,020 A

(4.31)

Figura 4.18 Comparación de diagramas de bode de la servoválvula con modelo aproximado obtenido por método gráfico. En la figura 4.18 se compara el diagrama de bode entregado por el fabricante de la servoválvula y el bode de la función de transferencia encontrada a través del método 81

gráfico. Como se observa hay una alta coincidencia en lo relacionado con el diagrama de amplitud, pero en el diagrama de fase se observa una desviación de aproximadamente 13,5° en 50Hz. Para corregir la desviación entre las fases de los modelos se debe agregar un retardo puro al modelo propuesto, por tanto la nueva función de transferencia que describe al sistema debe ser de la forma:

G (s) =

e −td s  s   + 1  2πf 0 

Para calcular el valor del tiempo de retardo

(4.32)

t d , se calcula el valor de la fase de la

función anterior,

 1 ∠G ( jw) = ∠ −   2πf

0

  w jw + 1 + ∠e − jwt d = − tan −1   2πf 0 

  − wt d 

(4.33)

Analizando la figura 4.18, se evalúa la ecuación 4.33 en w = 2π 50 .

85º = −71,5º −2π 50t d

(4.34)

Despejando se obtiene que el valor de t d = 0,00075seg . La función de transferencia hallada para de la servoválvula con realimentación barométrica modelo 4 WS 2 E.10 para una presión típica de 70 bar y un flujo nominal mayor que 45 L/min, esta representada en la ecuación siguiente.

e −0.00075 s G (s) = s   + 1   2π (16,6 ) 

82

(4.35)

En la figura 4.19, se muestra la comparación de los diagramas de bode suministrado por el fabricante y el modelo propuesto.

Figura 4.19 Comparación de diagramas de bode de la servoválvula con modelo aproximado obtenido por método gráfico con corrección de fase. La figura siguiente, muestra el modelo desarrollado en Matlab Simulink de la servoválvula con realimentación barométrica modelo 4 WS 2 E.10.

Figura 4.20 Modelo desarrollado en Matlab Simulink de la servoválvula 4 WS 2 E.10 83

4.3.3 Modelo de válvula distribuidora La válvula distribuidora o principal encargada de controlar la posición del servomotor de los Gobernadores de las Turbinas de Macagua es una válvula especial del tipo pistón del fabricante SEWZ (SULZER ESCHER WYSS ZURICH). Estas válvulas consisten de una sola etapa que tiene un spool de control de 4-vías controlado mediante la utilización de las caras más externas del spool como un pistón de doble acción, ver figura 4.21. Este dispositivo hidráulico tiene la función de suministrar el flujo de aceite requerido por los pistones del servomotor para posicionar las paletas directrices de las Turbinas de Macagua.

Figura 4.21 Válvula distribuidora del sistema de Gobernación. El esquema hidráulico simplificado del conjunto servoválvula y válvula distribuidora estaría representado por la figura 4.22., donde P, A y q, representan a la presión, área de la cara del pistón y caudal respectivamente. xP, es el desplazamiento del spool de la válvula distribuidora y xV, el desplazamiento del spool de la servoválvula. A través de la posición del spool de la válvula proporcional (xV) se controla el caudal de entrada (q1), y el caudal de salida (q2) al actuador hidráulico de la válvula 84

distribuidora, y finalmente controlando la posición del spool de la válvula distribuidora (xP), ver figura 4.22.

Figura 4.22 Esquema simplificado del conjunto servoválvula y válvula distribuidora del sistema de Gobernación. Dado que el comportamiento dinámico del spool de la válvula distribuidora es de un pistón de doble acción gobernado por una servoválvula, por tanto se utilizó el modelo no lineal propuesto por Wondimu (2006) [34], para un sistema de posición de un pistón hidráulico, ver figura 4.23. Ff, Fricción

Velocidad del pistón, Vp

Modelo de Fricción de LuGre

Ff Entrada, U

U Saturación

Posición del pistón

Spool Posición, Xv Xv

P1

P1

Xp

P2

P2

(A1*P1-A2*P2-m*g-Ff)/m

1/s

1/s

Dinamica de servoválvula

Dinamica de la presión y caudal

Dinamica del pistón

Velocidad del pistón

Figura 4.23 Modelo no lineal de sistema de actuador hidráulico tipo pistón. 85

Xp

4.3.3.1

Dinámica de la presión y el caudal de válvula distribuidora

4.3.3.1.1 Dinámica del caudal de la válvula distribuidora Debido al alto caudal en los sistemas hidráulicos, la mayoría de los flujos a través de los orificios son de naturaleza turbulenta. Adicionalmente, en general las servoválvulas son diseñadas para tener un flujo turbulento a través de sus orificios. Merrit (1967) [35], determinó utilizando las ecuaciones de Bernoulli y las ecuaciones de continuidad para fluidos incompresibles, el caudal (q) a través de un orificio, ver ecuación 4.36.

q = C d Ao

2

ρ

(P

a

− Pb )

(4.36)

Dónde:

Cd , se conoce como el coeficiente de descarga.

Ao , área del orificio. Pa , Pb , presiones de entrada y salida del orificio. Con la ecuación 4.36, se puede definir las características del flujo local de la servoválvula para cada orificio. Este comportamiento del flujo local es la base del comportamiento general del flujo a través de la servoválvula y por ende a través de ambas cámaras del cilindro del pistón. La siguiente expresión no lineal desarrollada por Merrit (1967)

[36]

, describe el comportamiento del flujo q1 del sistema mostrado en la

figura 4.22.

CV xV q1 =  CV xV

(PS − P1 ) (P1 − PT )

xV ≥ 0 xV < 0 86

(4.37)

Dónde:

CV , es el coeficiente de la servoválvula para todos los puertos de la válvula.

PS , suministro de presión. P1 , presión en la cámara inferior del pistón.

PT , presión del sumidero. Para el caso de q2 se realiza un tratamiento similar, sin embargo el flujo de la cámara superior del pistón no pasa a través de la servoválvula y por ende esta ecuación de flujo no está relacionada por el CV de la misma, sino, que viene condicionado por el coeficiente de descarga del orificio de salida de la cámara superior del pistón C d 2 . Para el presente trabajo se asumirá que CV es igual a C d 2 por razones de simplicidad.

CV xV q2 =  CV xV

(P2 − PS ) (PS − P2 )

xV ≥ 0

(4.38)

xV < 0

Dónde:

C d 2 , coeficiente de descarga de la cámara superior del pistón.

P2 , presión en la cámara superior del pistón. Reescribiendo las ecuaciones 4.37 y 4.38, utilizando la función signo, se tiene

( x (sgn( x

) − P ))

q1 = CV xV sgn( xV ) (PS − P1 ) + sgn(− xV ) (P1 − PT ) q 2 = CV

V

V

) (P2 − PS ) + sgn(− xV ) (PS 87

2

(4.39) (4.40)

Las ecuaciones 4.39 y 4.40 rigen el comportamiento dinámico del caudal en el sistema de la figura 4.22.

sgn

( x V ) , es la función signo la cual indica si el spool de la servoválvula está

desplazándose de manera positiva, es decir provoca un desplazamiento hacia la apertura de la válvula distribuidora, o de manera negativa, provocando un desplazamiento hacia el cierre de la válvula distribuidora, esta viene dada por:

= 1 sin g ( xV ) = 0

xV ≥ 0 xV < 0 xV ≥ 0

= 0 sin g (− xV ) = 1

(4.41)

xV < 0

4.3.3.1.2 Dinámica de la presión de la válvula distribuidora Para completar la descripción del comportamiento dinámico del sistema mostrado en la figura 4.22, se utilizó la ecuación de continuidad de un fluido presentada por Jalali and Kroll (2004)

[37]

, y tomando en cuenta la compresibilidad del fluido se

obtiene la ecuación dinámica de la presión del sistema, ver ecuaciones 4.42 y 4.43.

dP1 β  dV1  = − + q1 − q perdidas  dt V1  dt 

(4.42)

dP2 β  dV2  =  − q 2 − q perdidas  dt V2  dt 

(4.43)

Sabiendo que,

88

V1 = V01 + A1 x p

(4.44)

V2 = V02 − A2 x p

(4.45)

Donde, A1 , A2 : representan las áreas efectivas de la cara inferior y superior del cilindro

del pistón. V01 ,V02 : son los volúmenes de la cámara inferior y superior cilindro del pistón,

correspondientes a la posición ( x P = 0 ).

q1 , q2 β :

: son los flujos de entrada y salida de la spool de la válvula distribuidora. Módulo de compresibilidad del fluido.

q perdidas : pérdidas de flujo. La función que define la dinámica de la presión y el caudal en el sistema de la figura 4.22 se consiguió sustituyendo las ecuaciones 4.39, 4.40 en 4.42 y 4.43 respectivamente. Despreciando las pérdidas de flujo se tiene:

β  dV1

(

)

 + CV xV sgn ( xV ) (PS − P1 ) + sgn (− xV ) (P1 − PT )  − V1  dt 

(4.46)

dP2 β  dV2  = − + Cd 1 xV sgn ( xV ) (P2 − PS ) + sgn (− xV ) (PS − P2 )  dt V2  dt 

(4.47)

dP1 dt

=

(

)

En la figura 4.24 se puede observar el resultado del modelo desarrollado en MatLab Simulink para dinámica del pistón (spool) de la válvula distribuidora. 89

Figura 4.24 Modelo de la dinámica del pistón de la válvula distribuidora.

4.3.3.1.3 Estimación de parámetros sistema servoválvula-válvula distribuidora Para poder implementar el modelo que rige la presión y caudal del sistema se requiere determinar los parámetros del coeficiente de la servoválvula ( CV ), y el módulo de compresibilidad ( β ), los cuales deben ser encontrados para calcular el caudal a través de la servoválvula. Siguiendo el procedimiento descrito por Sohl and Bobrow (1999)

[38]

, se asumió

la presión del sumidero PT igual a cero y considerando solo el moviendo de la servoválvula en la dirección positiva, lo que permitió reescribir la ecuación 4.39 de la manera siguiente:

q1 = C V xV

(P

S

− P1 )

90

(4.48)

Se tiene que el volumen en la cámara inferior del cilindro se define por la ecuación:

V1 = V01 + A1 x p

(4.49)

Donde el V01 es el volumen en la cámara inferior del cilindro del spool de la válvula distribuidora, correspondientes a la posición ( x P

= 0 ) del spool.

Asumiendo que las pérdidas de flujo en el spool de la válvula distribuidora son despreciables y sustituyendo la ecuación 4.48 y 4.49 en 4.46, se tiene:

dP1 dx β  =  − A1 P + CV xV dt (V01 + A1 x P )  dt

(P

S

 − P1 )  

(4.50)

dx P dt

(4.51)

Reordenando términos, se tiene:

− 1 dP1 (V + A1 x P ) + CV xV β dt 01

(P

S

− P1 ) = A1

La ecuación anterior debe expresarse en la forma (Xa Aa = Ya), para poder hallar los parámetros CV y β , utilizando el análisis de los mínimos cuadrados. Reescribiendo la ecuación anterior, se tiene:

 − 1 dx P ,i (Ti )  dP1,i (Ti )    β ( ) ( ) + − = ( ) ( ) ( ) V A x T x T P P T A 01 1 P ,i i V ,i i S 1, i i 1  dt    dt   C  V 

Xa

Aa 91

=

Ya

(4.52)

Donde, i = 1, 2,…, N Para resolver la ecuación matricial 4.52, se obtuvieron las variables xV, xP, P1 y P2 experimentalmente utilizando un periodo de muestreo T, producto de la introducción de una señal sinusoidal a la servoválvula del sistema, ver figura la figura 4.22. La matriz Ậa representa la suma de los errores de los mínimos cuadrados y puede ser calculada mediante la ecuación siguiente.

^

A

a

−1  ^ = β   ^  C V

   = X TX a a   

(

)

−1

T

X a Ya

(4.53)

Para la obtención de los parámetros del sistema de control de posición conformado por la servoválvula y la válvula distribuidora se realizo el siguiente montaje en el Gobernador de la Unidad Generadora número 17 de Macagua.

Figura 4.25 Montaje experimental realizado para la toma de datos. 92

Se introdujo una señal sinusoidal con una frecuencia de 0,05Hz a la servoválvula del sistema de control de posición del spool de la válvula distribuidora a lazo abierto y se registraron las señales de presión, la posición del spool de la válvula distribuidora y la señal de control. Dado que no se puede obtener la posición del spool de la servoválvula, debido a sus características constructivas, se asumió que la señal de control representa de forma directa la posición del spool de esta válvula. En la tabla 4.1, se observan los valores constantes de la válvula distribuidora Tabla 4.1. Constantes de la válvula distribuidora. Parámetro

Símbolo

Valor

Área de la cámara inferior del spool

A1

0,01227185 m2

Área de la cámara superior del spool

A2

0,0072453 m2

Volumen de la cámara inferior del spool

V01

0,00022384 m3

Volumen de la cámara superior del spool

V02

0,00018113 m3

Masa del spool

m

26,6 Kg

Tipo de material

--

AISI 4140

Densidad del acero AISI 4140

ρ

7,85 g/cm3

Con el montaje experimental de la figura 4.25, se obtuvieron los vectores.

xV ,i (Ti ) , posición del spool de la servoválvula. x P ,i (Ti ) , posición del spool de la válvula distribuidora.

P1,i (Ti ) , presión en la cara inferior del spool de válvula distribuidora.

P2,i (Ti ) , presión en la cara superior del spool de válvula distribuidora. 93

Con la data obtenida y los valores de las constantes establecidos en la tabla 4.1, se calcularon las matrices Xa, Ya, utilizando para ello las siguientes ecuaciones extraídas de la ecuación 4.52. Es de notar que solo se tomaron para el cálculo los valores de control que producen un desplazamiento positivo en el spool de la válvula distribuidora (pistón).

 dP1,i (Ti ) (V01 + A1 x P,i (Ti )) xV ,i (Ti ) (PS − P1,i (Ti )) Xa =   dt 

Ya = A1

(4.53)

dx P ,i (Ti )

(4.54)

dt

Con los datos obtenidos en las ecuaciones 4.53 y 4.54, se solucionó la ecuación 4.53, utilizando el programa MATLAB, simplemente escribiendo la siguiente expresión en la línea de comando: Aa = Ya \ Xa. Como resultado se obtuvo la matriz Aa que contiene las constantes de interés. En la tabla 4.2 se muestran los valores promedio de los parámetros encontrados para una serie de movimientos del sistema utilizando la señal sinusoidal. Tabla 4.2. Parámetros de la válvula distribuidora. Parámetro

Símbolo

Modulo de compresibilidad del fluido

β

CV

Coeficiente de la servoválvula

Valor 20,000 x 106

5,000 x 10-5

N m2

m3 s Pa

El la figura 4.26 y 4.27, se presentan las graficas de los resultados de las pruebas del pistón de la válvula distribuidora aplicando una señal sinusoidal a la servoválvula, para un desplazamiento positivo. 94

Figura 4.26 Gráfico de resultados de prueba de válvula distribuidora aplicando señal sinusoidal a servoválvula, para un desplazamiento positivo.

Figura 4.27 Gráfico de resultados de las presiones de la válvula distribuidora aplicando una señal sinusoidal a la servoválvula, para un desplazamiento positivo. 95

4.3.3.2

Dinámica del pistón de la válvula distribuidora

Aplicando la segunda ley de Newton al sistema presentado en la figura 4.22, se obtiene la ecuación que gobierna el movimiento del spool de la válvula distribuidora.

d 2 xP 1 = (P1 A1 − P2 A2 − mg − Ff ) dt 2 m

(4.55)

Donde, d 2 xP , es la aceleración del pistón (spool de la válvula distribuidora) dt 2

m,

es la masa del pistón (spool de la válvula distribuidora)

F f , fuerza de fricción opuesta al movimiento axial del pistón. g, aceleración de gravedad En la figura siguiente se muestra el esquema desarrollado en el programa Simulink de MatLab de la dinámica del pistón (spool de la válvula distribuidora).

Figura 4.28 Gráfico del modelo desarrollado en simulink de Matlab para la dinámica del pistón de la válvula distribuidora. 96

4.3.3.3

Modelo de fricción de LuGre para el Spool de la válvula distribuidora

La fricción es un fenómeno no lineal que ocurre en todos los equipos mecánicos y sistemas hidráulicos, siendo el principal causante de deterioro del desempeño de estos sistemas. Dada la importancia que representa este fenómeno en los sistemas físicos se han desarrollado diferentes modelos que tratan de explicar su funcionamiento. Dahl’s (1968)

[39]

, propuso un modelo de la fricción entre dos superficies donde

considera la existencia de cerdas elásticas entre las superficie de contacto y considera que cuando se aplica una fuerza para mover al objeto, la si fuerza de fricción se incrementa gradualmente hasta que ocurre una ruptura de la rigidez de las cerdas y las superficies se deslizan una sobre otra. El modelo de LuGre para la fricción fue desarrollado en las universidades de Lund de Suecia y Grenoble de Francia por C. Canudas de Wit, H. Olsson, K.J. Astrom, and P. Lischinksy (1995)

[40]

. El modelo propone que cuando una fuerza

tangencial es aplicada a un objeto que se encuentra sobre una superficie, las cerdas entre las superficies deflectan como resortes, y si la deflexión es suficientemente grande las cerdas empezarán a deslizarse permitiendo el desplazamiento del objeto. El modelo se combina las consideraciones de

Dahl’s (1968)

deformación de las cerdas.

Figura 4.29 Modelo de fricción de LuGre. 97

[41]

y el promedio de

En la figura 4.29, se muestra una gráfica que representa las fuerzas de fricción que actúan en función de la velocidad entre dos superficies que se deslizan una sobre otra según el modelo de LuGre. Este modelo combina el comportamiento del predeslizamiento con las características de fricción en estado estable. Las fuerzas de fricción que intervienen en este modelo son: a. La fricción de Coulomb (FC). b. La fricción viscosa (FV) c. Fricción de Stribeck (FS). El modelo de fricción de LuGre utiliza una variable de estado interna denominada z, representada por:

dxP dz dxP dt = −σo z dt dt g  dx 

(4.56)

   dt 

Donde,

z , variable de estado interna del modelo de LuGre (deflexión de cerdas)

dxP dt

, es la velocidad del spool de la válvula distribuidora.

σ o , es el parámetro de rigidez de las cerdas.

g  dx

  P  dt 

, es la función de Stribeck, inversamente proporcional a la velocidad.

La función Stribeck desarrollada por Stribeck (1902)

[42]

está acotada en su

límite superior por la fricción estática y en su límite inferior por la fricción de Coulomb, la misma se define como: 98

g  dx  = α 0 + α 1e

 dx P    −  dt   vS     

2

(4.57)

P

   dt 

Donde,

α 0 , coeficiente de fricción de Coulomb. α 1 , coeficiente de fricción de Stribeck. vS , se conoce como la velocidad de Stribeck. La función que define el modelo de fricción de LuGre está dada por la ecuación siguiente:

Ff = σ o z + σ 1

dz dx + α2 P dt dt

(4.58)

Donde,

dz , es el promedio de deflexión de las cerdas. dt

σ 1 , es el coeficiente de amortiguamiento.

α 2 , es el coeficiente de fricción viscoso.

El modelo de LuGre para la fricción, permite incorporar a los modelo de sistemas físicos características que permiten al mismo representar una respuesta más cercana a la realidad. 99

4.3.3.3.1 Estimación de parámetros estáticos del modelo de LuGre Los parámetros estáticos del modelo de LuGre son los responsables del comportamiento de la fricción en la región de deslizamiento, estos son: α 0 , α 1 , α 2 y v S . Wondimu (2006)

[43]

, sugiere que cuando dos superficies se desplazan una

sobre la otra a velocidad constante, el promedio de las deflexiones  dz  es igual a cero,  dt 

esto es que una vez el pistón (spool de la válvula distribuidora para nuestro caso) arranca su movimiento, las cerdas propuestas en el modelo de Dahl’s (1968)

[44]

,

desaparecen después de haberse alongado a su máxima longitud, por tanto el promedio de deflexión de las cerdas z pasa a ser una constante. Tomando esta consideración en la ecuación 4.56 y despejando z, se tiene:

dxP g  dx    z = dt  dt  dxP σ o dt

(4.59)

Simplificando la ecuación anterior sabiendo que, dx P  dx  sgn  P  = dt  dt  dx P dt

(4.60)

Sustituyendo las ecuaciones 4.57 y 4.60 en la ecuación 4.59 se tiene,     −     α 0 + α 1e    z = 

σo

dx P dt vS

     

2

       sgn  dx P     dt  100

(4.61)

Sustituyendo las ecuaciones 4.61 en la ecuación 4.58 y considerando que el promedio de las deflexiones  dz  es igual a cero se obtiene la ecuación,  dt 

 dx    dt − ∧  ∧ ∧  v  F f = α 0+α1 e    

P

∧

S

     

2

  ∧  sgn dxP  + α 2 dxP dt   dt   

(4.62)

Esta ecuación nos permite encontrar la ecuación de la fricción de LuGre para el caso del régimen en estado estable donde las velocidades de desplazamiento de las superficies son constantes. Los valores de la fuerza de fricción F f , se obtienen experimentalmente midiendo las presiones de ambas caras del pistón cuando este se mueve a velocidad constante en estado estable, esto se logra aplicando una señal de rampa muy lenta de apertura a la servoválvula. Posteriormente, aplicando el algoritmo de optimización no lineal de mínimos cuadrados de MATLAB, se adecuan los datos experimentales obtenidos a la ∧

∧

∧

∧

ecuación 4.62 para obtener los parámetros α 0 , α 1 , α 2 y v S que minimizan la función de error, como se observa en la ecuación siguiente:

  dx  ∧  dx  E  Ff , F f ; α 0 , α 1 , v S , α 2  = ∑  Ff  pi  − F f  pi      dt    dt  ∧

∧

∧

∧

∧

2

(4.63)

Donde,  dx  Ff  pi  , son los valores de la fuerza de fricción obtenidos experimentalmente a  dt 

una velocidad constante del pistón. ∧  dx  , son los valores obtenidos evaluando la ecuación 4.62. F f  pi   dt 

101

Para la obtención de los parámetros del Modelo de fricción de LuGre para el spool de la válvula distribuidora se utilizó el montaje experimental de la figura 4.25, en el Gobernador de la Unidad Generadora número 17 de Macagua. Considerando un movimiento muy lento del pistón se puede asumir que la aceleración del mismo es despreciable, por tanto la ecuación 4.55 se reescribe de la siguiente manera,

0 = P1 A1 − P2 A2 − mg − Ff Despejando

(4.64)

Ff se tiene la ecuación de la fricción para regímenes de velocidades

constantes.

Ff = P1 A1 − P2 A2 − mg

(4.65)

La ecuación anterior se puede reescribir como,

Ffi (Ti ) = P1i (Ti ) A1 − P2 i (Ti ) A2 − mg

(4.66)

Donde,

Ff ,i (Ti ) , la fricción del spool de válvula distribuidora en cada instante Ti. Introduciendo una señal tipo rampa con una pendiente de 0,01 V/seg a la servoválvula del sistema de control de posición del spool de la válvula distribuidora a lazo abierto, se registraron lo vectores xV ,i (Ti ) , x P ,i (Ti ) , obtenida se calculó el vector

P1,i (Ti ) , P2,i (Ti ) . Con la data

Ff ,i (Ti ) , utilizando la ecuación 4.66. Posteriormente se

utilizó el algoritmo de optimización no lineal de mínimos cuadrados de MATLAB ∧

∧

∧

∧

(CFTOOL), utilizando la ecuación 4.62 para obtener los parámetros α 0 , α 1 , α 2 y v S que minimizan la función de error, ver ecuación 4.63. 102

En la figura 4.30, se presentan las gráficas obtenidas del procesamiento de las variables xV ,i (Ti ) , x P ,i (Ti ) ,

P1,i (Ti ) , P2,i (Ti ) , aplicando una señal tipo rampa lenta a la

servoválvula. En la gráfica se puede observar la curva característica de la fricción en función de la velocidad de pistón, la velocidad de spool de la válvula distribuidora en función del tiempo al igual que las presiones en ambas cámaras del pistón registradas durante el experimento.

Figura 4.30 Gráfico de resultados de pruebas del pistón de la válvula distribuidora para obtener los parámetros estáticos del modelo de LuGre.

En la tabla 4.3 se presentan los valores del análisis estadístico realizado por MatLab de la curva obtenida mediante la aproximación de los mínimos cuadrados, ver la figura 4.31. Como se observa gracias al parámetro R-square la curva tiene un 73,51% de coincidencia con la curva real, la cual se considera está dentro de los márgenes aceptable para este trabajo.

103

Tabla 4.3.

Estadísticas del grado de confiabilidad de la aproximación mediante CFTOOL.

SSE

R-square

Adjusted R-square

RMSE

4,001e+07

0,7351

0,7349

110,900

Figura 4.31 Gráfico de resultados obtenidos para la determinación de los parámetros estáticos del modelo de LuGre para el pistón de la válvula distribuidora utilizando CFTOOL. En la tabla 4.4 se presentan los valores promedio de los parámetros encontrados para una serie de movimientos del sistema utilizando la señal tipo rampa.

104

Tabla 4.4. Parámetros estáticos del modelo de LuGre para la válvula distribuidora. Parámetro

Símbolo

Valor

Coeficiente de fricción de Coulomb

α0

∧

1346,000

N

Coeficiente de fricción de Stribeck

α1

∧

-250,800

N

Coeficiente de fricción viscoso

α2

2,032 x 107 N.seg m

∧

2,498 x 10-7 m

∧

Velocidad de Stribeck

vS

seg

4.3.3.3.2 Estimación de parámetros dinámicos del modelo de LuGre Los parámetros dinámicos del modelo de LuGre son σ 0 y σ 1 , y se pueden determinar mediante el uso de un método de estimación no lineal, sin embargo, es necesario determinar la primera aproximación para obtener una estimación exitosa. Para un movimiento del pistón a muy baja velocidad se introduce una señal de rampa con una pendiente muy lenta a la servoválvula. Para lograr la primera estimación de los parámetros se desprecian los valores de dxP y dz , esto último motivado a la

dt

dt

baja velocidad del pistón durante la prueba de lazo abierto. Por lo anterior se puede reescribir las ecuaciones 4.57 y 4.58 como se muestra a continuación:

 dx  g  P  = α 0 + α1  dt 

(4.67)

Ff = σ o z

(4.68)

105

Despejando z, se tiene

z=

Ff

(4.69)

σo

Sustituyendo 4.67 y 4.69 en 4.56 se tiene,

dxP dz dxP dt = − Ff dt dt α 0 + α 1

(4.70)

F f es la fuerza de fricción para una aceleración de aproximadamente

Donde

cero. Los valores de la fuerza de fricción y la velocidad del pistón se obtienen experimentalmente mediante la aplicación de una señal de rampa muy lenta a la servoválvula. Con lo datos obtenidos se puede calcular el valor de z (t ) mediante una integración numérica de la ecuación 4.70. ∧

La primera aproximación del valor de σ 0 se obtiene partiendo de la ecuación 4.68. ∧T

∧

σo ≈

∧

z Ff

(4.71)

∧T ∧

z z Donde: ∧

z , vector resultante de la integración de la ecuación 4.70. ∧

F f , vector resultante de la evaluación de los datos experimentales. 106

Con los datos obtenidos del experimento anterior, donde se realizó un movimiento del pistón a muy baja velocidad introduciendo una señal de rampa con una pendiente muy lenta a la servoválvula, se determino el vector z integrando el resultado de la ecuación 4.70 y

F f con la ecuación 4.66. Posteriormente y con la ayuda utilizo el

algoritmo de optimización no lineal de mínimos cuadrados de MATLAB (CFTOOL), se encontró una solución aproximada a la ecuación 4.71. Finalmente, con el valor de la primera aproximación de

σ 0 , se utiliza el algoritmo

de optimización no lineal de mínimos cuadrados de MATLAB (CFTOOL) para hallar la mejor aproximación de los parámetros dinámicos del modelo de LuGre partiendo de la ecuación 4.58. En la tabla 4.5 se presentan los valores promedio de los parámetros encontrados para una serie de movimientos del sistema utilizando la señal tipo rampa.

Tabla 4.5. Parámetros dinámicos del modelo de LuGre para la válvula distribuidora. Parámetro

Símbolo

Valor

Coeficiente de rigidez de las cerdas

σ0

-2,3806e-007

Coeficiente de amortiguamiento

σ1

-2,0250e-007

En la figura 4.32, se presentan las gráficas obtenidas del procesamiento de las variables xV ,i (Ti ) , x P ,i (Ti ) ,

P1,i (Ti ) , P2,i (Ti ) , aplicando una señal tipo rampa lenta a la

servoválvula. En la gráfica se puede observar la curva característica de la fricción en función de la velocidad de pistón, la velocidad de spool de la válvula distribuidora en 107

función del tiempo, la curva resultante del cálculo de las deflexiones de las cerdas y el promedio de las deflexiones en función del tiempo registradas durante el experimento.

Figura 4.32 Gráfico de resultados obtenidos para la estimación de los parámetros dinámicos del modelo de LuGre para el pistón de la válvula distribuidora. En las figura 4.33, se muestra el diagrama en bloques del modelo de Lugre desarrollado en MatLab Simulink, posteriormente en la figura 4.34, 4.35 y 4.36 se muestran cada uno de los bloque del modelo internamente. En el anexo A, se observa el modelo completo del sistema de Gobernación desarrollado.

Figura 4.33 Diagrama de bloques del Modelo de LuGre desarrollado en MatLab Simulink para la válvula distribuidora. 108

Figura 4.34 Modelo desarrollado de la Función de Stribeck g(dxp/dt), en MatLab Simulink.

Figura 4.35 Modelos desarrollado del Promedio de las deflexiones dz/dt en MatLab Simulink

Figura 4.36 Modelos desarrollado de Función de LuGre (Ff), en MatLab Simulink. 109

4.3.4 Modelo del servomotor En las turbinas hidráulicas, los servomotores de las paletas directrices tienen la función de accionar los mecanismos que permiten la apertura o cierre de las paletas directrices, y de esta manera controlar el paso de flujo de agua hacia la turbina, y por lo tanto la velocidad de giro de la Unidad Generadora. En la figura 4.37, se observa un esquemático del sistema válvula distribuidora o amplificador hidráulico y los servomotores de paletas directrices.

Figura 4.37 Diagrama esquemático del sistema de control de posición del servomotor.

110

En la figura 4.38 se muestra un esquema simplificado del sistema de control de posición conformado por la válvula distribuidora y los servomotores hidráulicos, donde P1, P2, P3, P4,

A1, A2, A3, A4, y qa, qb, representan a las presiones, áreas en las cara

de los pistones y caudal respectivamente. xP, es el desplazamiento del spool de la válvula distribuidora, mientras que xS, el desplazamiento de los servomotores de paletas directrices.

Figura 4.38 Esquemático de la Válvula distribuidora- servomotor del sistema de Gobernación. A través de la posición del spool de la válvula distribuidora (xP) se controla el caudal de entrada (qa), y el caudal de salida (qb), a los servomotores de paletas directrices, con esta acción finalmente se controla la posición de los servomotores de paletas directrices del gobernador (xS). En el mencionado esquema se observa que el sentido de giro del anillo distribuidor para la apertura o cierre de las paletas dependerá de la posición de la válvula distribuidora, dado que esta controla el flujo de aceite hacia los servomotores.

111

Para facilitar el estudio y considerando la unión entre los vástagos de los pistones del sistema mostrado en la figura 4.38, como una unión rígida se simplifica el modelo aproximándolo a un único pistón equivalente, que se muestra en la figura 4.39. Donde se asume que las áreas y los volúmenes de las cámaras del pistón equivalente son:

Aa = A1 + A3 ; Ab = A2 + A4 ; V0 a = V01 + V03 ; V0b = V02 + V04

Figura 4.39 Esquemático de la Válvula distribuidora- servomotor equivalente del sistema de Gobernación. Dado que el comportamiento de la válvula distribuidora se asemeja al de una servoválvula y que la acción se ejerce sobre un pistón, se puede extrapolar el análisis de las secciones anteriores utilizando el modelo no lineal propuesto por Wondimu (2006) [45], para un sistema de posición de un pistón hidráulico, ver figura 4.23.

112

4.3.4.1

Dinámica de la presión y el caudal servomotor

4.3.4.1.1 Dinámica del caudal del servomotor Realizando un análisis similar al descrito en el apartado 4.3.3.1.1, del comportamiento dinámico del caudal en el sistema de la figura 4.39, se obtienen las ecuaciones.

(

qa = CP xP sgn( xP ) (PS − P1 ) + sgn(− xP ) (P1 − PT )

(

)

qb = CP xP sgn(xP ) (P2 − PT ) + sgn(− xP ) (PS − P2 )

(4.72)

)

(4.73)

Donde,

C P , es el coeficiente de la válvula distribuidora para todos los puertos de la válvula.

P1 , P2 , son las presiones en las cámaras del servomotor equivalente. PT , PS , presión del sumidero y suministro de presión respectivamente.

4.3.4.1.2 Dinámica de la presión del servomotor Realizando un análisis similar al descrito en el apartado 4.3.3.1.2, de las ecuaciones que rigen el comportamiento dinámico de la presión en el sistema de la figura 4.39, se obtiene que:

dP1 β = dt Va

 dVa  + qa  −  dt 

(4.74)

113

dP2 β  dVb  = − − qb  dt Vb  dt 

(4.75)

Donde,

Va , Vb : son los volúmenes de las cámaras del servomotor equivalente, correspondientes a la posición ( xS ) del pistón.

β : módulo de compresibilidad del fluido.

q a , qb

: son los flujos de entrada y salida del servomotor equivalente.

En la figura 4.40 se muestra el modelo desarrollado en MatLab Simulink de la dinámica de la presión y caudal del servomotor.

Figura 4.40 Modelo de la dinámica del pistón del servomotor. 114

4.3.4.1.3 Estimación de parámetros sistema válvula distribuidora - servomotor Realizando un análisis similar al del apartado 4.3.3.1.3 de este trabajo, se obtiene la ecuación siguiente reescribiendo la ecuación 4.51,

− 1 dP1 (V0a + Aa x S ) + C p x p β dt

(PS

− P1 ) = Aa

dx S dt

(4.76)

La ecuación anterior se expresa en la forma (X3 A3 = Y3), para poder hallar los parámetros C p y β , utilizando el análisis de los mínimos cuadrados. Reescribiendo la ecuación anterior, se tiene:

 −1 dxS ,i (Ti )  dP1,i (Ti )    β ( ) ( ) + − ( ) ( ) ( ) = V A x T x T P P T A  a S ,i i P,i i S i  0a 1,i a   dt  dt  C   P

X3

A3

=

(4.77)

Y3

Donde, i = 1, 2,…, N

Para resolver la ecuación matricial 4.77, se obtienen las variables xP, xS, P1 y P2 experimentalmente utilizando un periodo de muestreo T, producto de la introducción de una señal sinusoidal a la válvula distribuidora del sistema de la figura 4.39. Donde los valores V0a, Aa y PS son constantes. La matriz Ậ3 representa la suma de los errores de los mínimos cuadrados y puede ser calculada mediante la ecuación siguiente.

115

 − 1 ^  ^  −1 T T = A3  β  = (X 3 X 3 ) X 3 Y3 ^  C P 

(4.78)

Para la obtención de los parámetros del sistema de control de posición conformado por la válvula distribuidora y el servomotor se realizo el montaje experimental que se observa en la figura 4.41, realizado en el Gobernador de la Unidad Generadora número 17 de Macagua.

Figura 4.41 Montaje experimental realizado para la toma de datos.

Los valores de las constantes de los servomotores están contenidos en la tabla 4.6 116

Tabla 4.6. Constantes del servomotor. Parámetro

Símbolo

Valor

Área de la cámara izquierda del pistón

Aa

0,55472672 m2

Área de la cámara derecha del pistón

Ab

0,55472672 m2

Volumen inicial cámara izquierda del pistón

V0a

0,00952955 m3

Volumen inicial cámara derecha del pistón

V0b

0,51589585 m3

Masa del spool

ma

3007,42 Kg

Tipo de material

--

AISI 4140

Densidad del acero AISI 4140

ρ

7,85 g/cm3

Se introdujo una señal triangular con una frecuencia de 0,05Hz a la servoválvula del sistema de control de posición del spool de la válvula distribuidora a lazo abierto, lo cual genero un movimiento sinusoidal en la válvula distribuidora y se registraron las señales de presión, la posición del spool de la válvula distribuidora, la señal de control y la posición del servomotor. Con el montaje experimental de la figura 4.41, se obtienen los vectores.

x P ,i (Ti ) , posición del spool de la válvula distribuidora.

xS ,i (Ti ) , posición del servomotor.

P1,i (Ti ) , presión en la cara izquierda del servomotor.

P2,i (Ti ) , presión en la cara derecha del servomotor.

117

Con la data obtenida y los valores de las constantes establecidos en la tabla 4.6, se calculan las matrices X3, Y3, utilizando para ello las siguientes ecuaciones extraídas de la ecuación 4.77. Es de notar que solo se tomaron para el cálculo, los valores de control que producen un desplazamiento positivo del servomotor.

 dP (T ) X 3 =  1,i i (V0 a + Aa x S ,i (Ti ) ) x P ,i (Ti )  dt Y3 = Aa

(P

S

 − P1,i (Ti ) ) 

dx S ,i (Ti ) dt

(4.79)

(4.80)

Con los datos obtenidos en las ecuaciones 4.79 y 4.80, se resuelve la ecuación 4.78, utilizando el programa MATLAB escribiendo la expresión A3 = Y3 \ X3.

Figura 4.42 Gráfico de resultados de pruebas del servomotor aplicando una señal sinusoidal a la válvula distribuidora, para un desplazamiento positivo. 118

En la figura 4.42, se presentan las graficas obtenidas del procesamiento de los vectores xS ,i (Ti ) , x P ,i (Ti ) ,

P1,i (Ti ) , P2,i (Ti ) . Se puede observar la posición de del

servomotor, la velocidad del servomotor y la posición de la válvula distribuidora en función del tiempo. En la tabla 4.7 se presentan los valores promedio de los parámetros encontrados para una serie de movimientos del sistema alimentando la señal triangular a la servoválvula. Tabla 4.7. Parámetros del sistema válvula distribuidora - servomotor. Parámetro

Símbolo

Valor

β

N 2 20,000 x 106 m

CP

m2 0,0026 s Pa

Coeficiente de la servoválvula

Coeficiente de descarga de la cámara superior de la válvula distribuidora

4.3.4.2

Dinámica del pistón del servomotor

Aplicando la segunda ley de Newton al sistema presentado en la figura 4.39, se obtiene la ecuación que gobierna el movimiento del pistón del servomotor equivalente.

d 2 xS 1 (P1 Aa − P2 Ab − Ff ) = 2 dt ma Donde,

d 2 xS , es la aceleración del pistón. dt 2 119

(4.80)

ma, es la masa del pistón y la carga.

F f , fuerza de fricción opuesta al movimiento axial del pistón. En la figura siguiente se muestra el esquema desarrollado en el programa Simulink de MatLab de la dinámica del pistón del servomotor representado en la figura 4.39.

Figura 4.43 Gráfico del modelo desarrollado en simulink de Matlab para la dinámica del pistón de la válvula distribuidora.

4.3.4.3

Modelo de fricción de LuGre para el pistón del servomotor

Se utilizó el procedimiento descrito en 4.3.3.3, para determinar el modelo de LuGre para la fricción que fue incorporado en el modelo descriptivo del servomotor. Partiendo de la ecuación del modelo de fricción de LuGre representado por la ecuación 4.58, reescribiendo se tiene:

Ff = σ o z + σ 1

dx dz + α2 S dt dt

Donde, 120

(4.81)

dxS , es la velocidad del pistón del servomotor. dt

Se tiene que:

dxS dz dxS dt = −σo z g  dx  dt dt

(4.82)

   dt 

La ecuación siguiente representa la función Stribeck .

g dx  = α 0 + α1e

 dxS    − dt   vS     

2

(4.83)

 S  dt 

4.3.4.3.1 Estimación parámetros estáticos modelo de LuGre del servomotor Realizando el procedimiento descrito en 4.3.3.3.1, se estiman los parámetros estáticos del modelo de LuGre ( α 0 , α1 , α 2 y v S ) responsables del comportamiento de la fricción en la región de deslizamiento, reescribiendo la ecuación 4.62.

 dx      dt  −    ∧ ∧ ∧  v    F f = α 0+α1 e     S

∧

S

2

  ∧  sgn dxS  + α 2 dxS dt   dt   

121

(4.84)

Esta ecuación nos permite encontrar la ecuación de la fricción de LuGre para el caso del régimen en estado estable donde las velocidades de desplazamiento de las superficies son constantes. Los valores de la fuerza de fricción F f , se obtienen experimentalmente midiendo las presiones de ambas caras del pistón del servomotor cuando este se mueve a velocidad constante en estado estable, esto se logra aplicando una señal de rampa muy lenta de apertura a la servoválvula.

Posteriormente, aplicando el algoritmo de

optimización no lineal de mínimos cuadrados de MATLAB, se adecuan los datos ∧

∧

∧

experimentales obtenidos a la ecuación 4.84 para obtener los parámetros α 0 , α 1 , α 2 y ∧

v S que minimizan la función de error, como se observa en la ecuación siguiente: ∧ ∧ ∧ ∧ ∧   dx  ∧  dx  E  Ff , F f ; α 0 , α 1 , v S , α 2  = ∑  Ff  Si  − F f  Si      dt    dt 

2

(4.85)

Donde,

 dx F f  Si  dt

 , son los valores de la fuerza de fricción obtenidos experimentalmente a  

una velocidad constante del pistón del servomotor. ∧  dx  F f  Si  , son los valores obtenidos evaluando la ecuación 4.84.  dt 

Para la obtención de los parámetros del Modelo de fricción de LuGre para el servomotor equivalente se utilizo el montaje experimental de la figura 4.41, en el Gobernador de la Unidad Generadora número 17 de Macagua. Considerando un movimiento muy lento del pistón se puede asumir que la aceleración del mismo es despreciable, por tanto la ecuación 4.80 se reescribe de la siguiente manera, 122

0 = P1 Aa − P2 Ab − Ff Despejando

(4.86)

Ff se tiene la ecuación de la fricción para regimenes de velocidades

constantes o para aceleración cero.

Ff = P1 Aa − P2 Ab

(4.87)

La ecuación anterior se puede reescribir como,

Ffi (Ti ) = P1i (Ti ) Aa − P2 i (Ti ) Ab

(4.88)

Donde,

Ff ,i (Ti ) , la fricción del servomotor en cada instante Ti. Se introdujo una señal tipo escalón que provoco un movimiento de la válvula distribuidora en forma de rampa con una pendiente muy lenta del sistema de control de posición a lazo abierto, y se registraron lo vectores x P ,i (Ti ) , x S ,i (Ti ) , Con la data obtenida se calculó el vector

P1,i (Ti ) , P2,i (Ti ) .

Ff ,i (Ti ) , utilizando la ecuación 4.88,

posteriormente se utilizó el algoritmo de optimización no lineal de mínimos cuadrados ∧

de MATLAB (CFTOOL), empleando la ecuación 4.84 para obtener los parámetros α 0 , ∧

∧

∧

α 1 , α 2 y v S que minimizan la función de error, ver ecuación 4.85. En la figura 4.44, se muestran gráficamente los resultados obtenidos del procesamiento de los vectores x P ,i (Ti ) , x S ,i (Ti ) ,

P1,i (Ti ) , P2,i (Ti ) . Se puede observar la

curva de la fricción en función de la velocidad del pistón, la velocidad del pistón y las presiones en ambas cámaras en función del tiempo.

123

Figura 4.44 Gráfico de resultados de pruebas del pistón del servomotor debido al movimiento en forma de rampa a la válvula distribuidora. En la tabla 4.8 se presentan los valores del análisis estadístico realizado por MatLab de la curva obtenida mediante la aproximación de los mínimos cuadrados, ver la figura 4.45. Como se observa gracias al parámetro R-square la curva tiene un 86,51% de coincidencia con la curva real, la cual se considera aceptable para el presente trabajo.

Tabla 4.8.

Estadísticas del grado de confiabilidad de la aproximación mediante CFTOOL.

SSE

R-square

Adjusted R-square

RMSE

2,862e+015

0,8651

0,8651

4,458e+005

124

Figura 4.45. Gráfico de resultados obtenidos para la determinación de los parámetros estáticos del modelo de LuGre para el pistón del servomotor utilizando CFTOOL.

En la tabla 4.9 se presentan los valores promedio de los parámetros estáticos del modelo de LuGre encontrados para una serie de movimientos del servomotor. Tabla 4.9. Parámetros estáticos del modelo de LuGre para el servomotor. Parámetro

Símbolo

Coeficiente de fricción de Coulomb

α0

Coeficiente de fricción de Stribeck

α1

Coeficiente de fricción viscoso

α2

Velocidad de Stribeck

vS

∧

∧

∧

∧

125

Valor 1,020 x 106

N

-2,250 x 106

N

N.seg 4,900 x 109 m m 3,028 x 10-6 seg

4.3.4.3.2 Estimación parámetros dinámicos modelo de LuGre del servomotor Los parámetros dinámicos del modelo de LuGre

σ0

y

σ1 ,

se determinan

mediante el procedimiento descrito en 4.3.3.3.2, sustituyendo en las respectivas ecuaciones el vector

dxS dt

por

dxP dt

, se tiene modificando la ecuación 4.70.

dxS dz dxS dt = − Ff dt dt α 0 + α 1

(4.89)

Los valores de la fuerza de fricción y la velocidad del pistón se obtienen experimentalmente mediante la aplicación de una señal de rampa muy lenta a la válvula distribuidora. Con lo datos obtenidos se puede calcular el valor de z (t ) mediante una integración numérica de la ecuación 4.89. ∧

La primera aproximación del valor de σ 0 se obtiene mediante la aplicación de la ecuación 4.71. Posteriormente, aplicando el algoritmo de optimización no lineal de mínimos cuadrados de MATLAB, se adecuan los datos experimentales obtenidos a la ecuación 4.81 Con los datos obtenidos del experimento anterior, donde se realizo un movimiento del pistón a muy baja velocidad, se determinaron los vectores z y

Ff

utilizando la ecuaciones 4.89 y 4.82 respectivamente. Posteriormente y con la ayuda del programa MATLAB se encontró la primera aproximación del valor de σ 0 .

126

Finalmente, con el valor de la primera aproximación de σ 0 , se utiliza el algoritmo de optimización no lineal de mínimos cuadrados de MATLAB (CFTOOL) para hallar los parámetros dinámicos del modelo de LuGre partiendo de la ecuación 4.81. En la figura 4.46, se presentan las gráficas obtenidas del procesamiento de las variables xV ,i (Ti ) , x P ,i (Ti ) ,

P1,i (Ti ) , P2,i (Ti ) , aplicando un paso escalón muy pequeño a

la servoválvula. En la gráfica se puede observar la curva característica de la fricción en función de la velocidad de pistón, la velocidad del pistón del servomotor en función del tiempo, la curva resultante del cálculo de las deflexiones de las cerdas y el promedio de las deflexiones en función del tiempo registradas durante el experimento.

Figura 4.46 Gráfico de resultados obtenidos para la estimación de los parámetros dinámicos del modelo de LuGre para el pistón de la válvula distribuidora. 127

En la tabla 4.10 se presentan los valores promedio de los parámetros dinámicos del modelo de LuGre para el servomotor de los Gobernadores de Macagua encontrados para una serie de movimientos del sistema.

Tabla 4.10. Parámetros estáticos del modelo de LuGre para el servomotor. Parámetro

Símbolo

Valor

Coeficiente de rigidez de las cerdas

σ0

6,004 x 10-011

Coeficiente de amortiguamiento

σ1

-4,899 x 109

En las figura 4.47, se muestra el diagrama en bloques del modelo de Lugre desarrollado en MatLab Simulink, posteriormente en la figura 4.48, 4.49 y 4.50 se muestran cada uno de los bloque del modelo internamente. En el anexo A, se muestra el modelo completo del sistema de Gobernación desarrollado.

Figura 4.47 Diagrama de bloques del Modelo de LuGre desarrollado en MatLab Simulink para la válvula distribuidora.

128

Figura 4.48 Modelo desarrollado de la Función de Stribeck g(dxp/dt), en MatLab Simulink.

Figura 4.49 Modelos desarrollado del Promedio de las deflexiones dz/dt en MatLab Simulink

Figura 4.50 Modelos desarrollado de Función de LuGre (Ff), en MatLab Simulink.

129

4.3.5 Modelo del transductor de posición de la válvula distribuidora El transductor de posición de la válvula distribuidora es un dispositivo que permite convertir la posición de spool de la válvula a una señal de corriente de 4mA a 20mA. Ver figura 4.51. Las características técnicas de este dispositivo son reseñadas en el anexo D.

Figura 4.51 Transductor de posición de la válvula distribuidora VIC 110. La respuesta dinámica de este transductor es mucho más rápida que la del proceso, donde su tiempo de respuesta esta alrededor de los milisegundos, mientras que la respuesta del proceso se encuentra en el orden de los segundos. Sin embargo, para el presente trabajo se obtendrá la función de transferencia del transductor tomando como referencia la hoja de datos del fabricante, ver anexo D. El VIC 110 es un transductor de posición lineal de alta precisión basado en un sensor de corriente de Eddy y una bobina de inductancia variable (reluctancia). Este dispositivo se acopla directamente sobre el cabezal de la válvula distribuidora traduciendo el movimiento lineal del spool de la válvula distribuidora en señal de posición expresada a su salida mediante una corriente de ±10mA.

130

En la figura 4.52, se muestran en color verde el transductor de posición instalados en el cabezal de la válvula distribuidora de los Gobernadores de Macagua.

Figura 4.52 Mecanismo que convierte el movimiento lineal del spool de la válvula distribuidora en señal de posición. La función de transferencia que describe al sistema de medición de posición de la válvula distribuidora, incluido el transductor VIC 110, se asume como un sistema de primer orden como se muestra en la ecuación siguiente,

GTVD ( s ) =

KT 1 τ T1S + 1

Donde,

K T 1 , es la ganancia del transductor. 131

(4.90)

τ T 1 , es la constante de tiempo del transductor. La ganancia del sistema de medición de posición de la válvula distribuidora se determina mediante la curva de respuesta lineal que se obtiene de la información suministrada por el fabricante del transductor VIC 110 (ver anexo D). La curva de respuesta del sistema se muestra en la grafica 4.53.

Figura 4.53 Curva de respuesta del sistema de medición de posición de la válvula distribuidora. Dado que la figura 4.53, muestra al sistema de medición de posición de la válvula distribuidora como un sistema lineal, entonces la pendiente de la recta representa la ganancia del sistema, ver ecuación 4.91.

KT1 =

(0,010 − (−0,010)) A (0,020) A A = = 0,4 (0,025 − (−0,025))m (0,050) m m

132

(4.91)

El valor de la constante de tiempo del transductor

τ T1 =

0,0007 seg, la cual se

obtiene de la hoja de especificaciones del transductor de posición VIC 110, ver anexo D. Por lo antes descrito, la función de transferencia que describe al sistema de posición de la válvula distribuidora es:

GTVD ( s ) =

0,4 0,0007S + 1

(4.92)

En la figura 4.54, se muestra el modelo implementado en Simulink de MatLab para representar la función de transferencia del transductor de posición de la válvula distribuidora.

Figura 4.54 Modelo en Simulink de MatLab del transductor de posición de la válvula distribuidora.

133

4.3.6 Modelo del transductor de posición del servomotor El transductor de posición del servomotor de paletas directrices es un dispositivo que permite convertir una posición angular a una señal de corriente de 4mA a 20mA. Ver figura 55. Las características técnicas de este dispositivo son reseñadas en el anexo E.

Figura 4.55 Transductor de posición del servomotor, modelo KINAX 707.

La respuesta dinámica de este transductor es mucho más rápida que la del proceso, donde su tiempo de respuesta es de 0,5ms, mientras que la respuesta del proceso se encuentra en el orden de los segundos. Dadas las condiciones antes mencionadas generalmente se puede representar la función de trasferencia del transductor como una simple ganancia.

Sin embargo, para el presente trabajo se

obtendrá la función de transferencia del transductor tomando como referencia la hoja de datos del fabricante. Este dispositivo se acopla mediante un sistema de engranajes, cintas metálicas y contrapeso, a uno de los brazos del servomotor, de esta manera se traduce el movimiento lineal del servomotor en movimiento angular, que posteriormente el transductor Kinax 707 convierte en señal de posición. Ver la figura siguiente.

134

Figura 4.56. Mecanismo que convierte el movimiento lineal del servomotor en posición angular. Se detallan en verde los Transductores de posición del servomotor KINAX 707. En la figura 4.56, se muestran en color verde los transductores de posición instalados en los Gobernadores de Macagua, uno para cada modo de control del sistema. La función de transferencia que describe al sistema de medición de posición del servomotor, incluido el transductor KINAX 707 y el mecanismo de conversión de movimiento lineal a angular, se asume como un sistema de primer orden como se muestra en la ecuación siguiente, 135

GTSM ( s) =

KT 2 τT 2S + 1

(4.93)

Donde,

K T 2 , es la ganancia del transductor.

τ T 2 , es la constante de tiempo del transductor. La ganancia del sistema de medición de posición del servomotor se determina mediante la curva de respuesta lineal que se obtiene de la información suministrada por el fabricante del transductor Kinax 707 y asumiendo despreciables los errores de linealidad en la conversión del movimiento lineal al angular (ver anexo E). La curva de respuesta del sistema se muestra en la gráfica siguiente.

Figura 4.57 Curva de respuesta del sistema de medición de posición del servomotor. Dado que la figura 4.57, muestra al sistema de medición de posición del servomotor como un sistema lineal, entonces la pendiente de la recta representa la ganancia del sistema. Por conveniencia al modelo desarrollado se calcula la ganancia 136

en función del porcentaje de apertura del servomotor, como se muestra en la siguiente ecuación.

KT 2 =

(0,020 − 0,004) A A = 0,018038 (0,887 − 0)m m

El valor de la constante de tiempo del transductor

(4.94)

τT2=

0,0005 seg, la cual se

obtiene de la hoja de especificaciones del transductor de posición Kinax 707, ver anexo E. Por lo antes descrito, la función de transferencia que describe al sistema de posición del servomotor es:

GTSM ( s) =

0,018038 0,0005S + 1

(4.95)

En la figura 4.58, se muestra el modelo implementado en Simulink de MatLab para representar la función de transferencia del transductor de posición del servomotor de las unidades de Macagua.

Figura 4.58 Modelo en Simulink de MatLab del transductor de posición transductor de posición del servomotor. 137

4.3.7 Validación de modelo matemático del sistema de gobernación Los parámetros obtenidos en los diferentes experimentos realizados en la unidad 17 de la Casa de Máquinas II de Macagua que son descritos en los apartados previos, se utilizaron para el desarrollo del modelo aproximado del Sistema de Gobernación de las Unidades Generadoras de Macagua. En la figura 4.59 se muestra el diagrama general del modelo desarrollado con el programa MatLab Simulink, ver modelo completo en el anexo A.

Figura 4.59 Diagrama general del modelo del Sistema de Gobernación desarrollado.

En el diagrama general mostrado en la figura 4.59, se observan los bloques de cada uno de los elementos que componen al sistema de gobernación de las unidades generadoras de Macagua, tales como la tarjeta 3B-725, la servoválvula, válvula distribuidora, servomotor, transductor de posición de la válvula distribuidora y del servomotor. La configuración interna de cada uno de estos elementos se describe en el anexo A. 138

4.3.7.1

Validación de modelo inicial del Gobernador

Para la realización de las pruebas del modelo desarrollado se reajustaron los parámetros inicialmente encontrados mediante los métodos experimentales descritos en los apartados anteriores, estos ajustes se reflejan en la tabla 4.11.

Tabla 4.11. Ajustes iniciales de los valores de los parámetros del modelo.

Parámetro

Símbolo

Valor inicial

Valor ajustado

Ganancia de la tarjeta 3B-725

Kp

2,5

3,4

Coeficiente de la servoválvula

CV

m3 5,000 x 10-5 s Pa

m3 7,500 x 10-5 s Pa

Coeficiente de la válvula distribuidora

Cp

m3 0,0026 s Pa

m3 0,0078 s Pa

La variación de Cv y Cp, desde los valores previamente encontrados se realizo para ajustar la velocidad de apertura de la servoválvula y la válvula distribuidora a los valores obtenidos experimentalmente mediante aperturas y cierres de la válvula distribuidora y el servomotor a máxima velocidad. Mientras que la variación de Kp, se realizo para lograr una adecuación de la respuesta dinámica del modelo. La obtención de los datos de campo necesarios para la validación del modelo descrito, se realizaron mediante una serie de pruebas a lazo cerrado del Sistema de Gobernación de la unidad número 17 de Macagua. En estas pruebas se ejecutaron diferentes variaciones de la consigna de apertura del servomotor registrando la posición de la servoválvula, la posición de la válvula distribuidora y la posición del servomotor.

139

En las figuras 4.60, 4.61 y 4.62 se observa la comparación entre la respuesta del modelo desarrollado y el sistema real ante un paso escalón ascendente de 10% partiendo de diferentes posiciones del servomotor.

Figura 4.60 Comparación de respuestas ante un paso escalón ascendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 20% de la posición del servomotor.

Figura 4.61 Comparación de respuestas ante un paso escalón ascendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 50% de la posición del servomotor. 140

Figura 4.62 Comparación de respuestas ante un paso escalón ascendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 70% de la posición del servomotor.

El modelo y el sistema real presentan una respuesta similar para todos los casos referidos en las figuras 4.60, 4.61 y 4.62, teniendo las siguientes observaciones generales: a) Se detecto un corrimiento del cero de la señal de posición de la servoválvula del sistema real. Esto es porque en el sistema real la señal de control siempre se ajusta por debajo del cero de corriente (4mA) para garantizar que el sistema de control mantenga en la posición de cierre al servomotor en condiciones de Unidad Generadora detenida. Esta condición no se observa en la señal de posición de la servoválvula del modelo debido a que el ajuste de Uo se colocó en el valor cero, ver modelo de la tarjeta 3B-725. b) Se observa un aumento en el retardo del modelo a medida que se incrementa la posición de inicio del escalón. Esto se explica debido a que el sistema real mantiene la amplitud de la respuesta en todos los casos, ayudado principalmente por el diseño de la válvula distribuidora que cuenta con una zona de disminución 141

de ganancia cuando se acerca al cierre, mientras que el modelo presenta una ganancia constante en todo su margen. En el anexo F, se puede observar la curva de las pruebas en campo realizadas por el fabricante SULZER ESCHER WYSS ZURICH durante la puesta en servicio donde se destacan las zonas no lineales de la válvula distribuidora. c) La respuesta de la válvula distribuidora del sistema real ante el estímulo es mayor en magnitud que la del modelo. Esto se debe principalmente a que las ganancias de flujo Cv y Cp del modelo son constantes en todo el margen de operación. Sin embargo, el valor de Cv del modelo real varían en función de la posición de la válvula distribuidora cuando esta atraviesa la zona no lineal de su recorrido. Por otro lado Cp se ve afectado por restricciones en las tuberías que permiten desacelerar al servomotor en márgenes específicos de su recorrido

En la tabla siguiente se observa un resumen de las características de performance del modelo contrastadas con el sistema real. Tabla 4.12. Resumen de características de la respuesta del modelo y el sistema real ante un paso escalón de 10% en forma ascendente. Pasos escalón descendentes de 10% Parámetro

20%

50%

70%

Real

Modelo

Real

Modelo

Real

Modelo

Máximo sobreimpulso (%)

0

8

0

9

0

8

Tiempo de retardo (seg)

0,05

0,15

0,05

0,15

0,05

0,15

Tiempo de crecimiento (seg)

1,8

1,7

1,8

1,9

1,8

1,8

Tiempo de establecimiento (seg)

1,8

3,5

1,8

3,3

1,8

3,5

142

En las figuras 4.63, 4.64 y 4.65 se observa la comparación entre la respuesta del modelo desarrollado y el sistema real ante un paso escalón descendente de 10% partiendo de diferentes posiciones del servomotor.

Figura 4.63 Comparación de respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 30% de la posición del servomotor.

Figura 4.64 Comparación de respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 60% de la posición del servomotor. 143

Figura 4.65 Comparación de respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo partiendo desde un 70% de la posición del servomotor. Para el caso de una señal de excitación tipo paso escalón descendente al igual que en los casos anteriores se observa que el modelo y el sistema real presentan una respuesta similar para todos los casos referidos en las figuras 4.63, 4.64 y 4.65, teniendo las siguientes observaciones generales: a) El tiempo de respuesta del sistema real es menor que la del modelo. Esto se debe principalmente a que el Sistema de Gobernación de las unidades de Macagua está diseñado para tener una respuesta más rápida hacia el cierre que hacia la apertura, permitiéndole responder rápidamente ante eventos en el Sistema Eléctrico Nacional con un cierre rápido de las paletas directrices y frenar el paso de agua hacia la turbina de la Unidad Generadora. Esto lo logra mediante el ajuste de restricciones en las tuberías de aceite que van hasta el servomotor. En el modelo desarrollado se considera una ganancia constante de flujo en todo el recorrido del servomotor que lo lleva a tener el mismo tiempo de respuesta durante el cierre y la apertura del servomotor. En la tabla siguiente se observa un resumen de las características de performance del modelo contrastadas con el sistema real. 144

Tabla 4.13. Resumen de características de la respuesta del modelo y el sistema real ante un paso escalón de 10% en forma descendente. Pasos escalón descendentes de 10% Parámetro

30%

60%

70%

Real

Modelo

Real

Modelo

Real

Modelo

Máximo sobreimpulso (%)

12,5

7

15

7

15

7

Tiempo de retardo (seg)

0,05

0,15

0,05

0,15

0,05

0,15

Tiempo de crecimiento (seg)

0,9

1,8

0,9

1,9

0,9

1,8

Tiempo de establecimiento (seg)

2

3,5

2

3,4

2

3,5

4.3.7.2

Inclusión de elementos no lineales válvula distribuidora y servomotor

Luego de analizar los elementos no lineales del sistema que producen una respuesta del modelo diferente a la del sistema cuando se aplica un paso escalón descendente, se anexo el bloque mostrado en la figura 4.66, el cual permite controlar los valores del Cv de la servo válvula utilizado por el modelo de la válvula distribuidora para el cálculo de flujo, de esta manera se controla la ganancia de flujo vista por el modelo de la válvula distribuidora en ambos sentidos de su recorrido.

Figura 4.66 Diagrama del bloque de control de ganancia de flujo en la válvula distribuidora. 145

Similarmente al caso anterior, se realizo un análisis al comportamiento de la válvula distribuidora basado en el anexo F, donde se muestra la curva de las pruebas en campo realizadas por el fabricante SULZER ESCHER WYSS ZURICH durante la puesta en servicio donde se destacan las zonas no lineales de la válvula distribuidora. Este análisis permitió desarrollar el bloque mostrado en la figura 4.67, el cual permite controlar los valores del Cp de la válvula distribuidora utilizado por el modelo del servomotor para el cálculo de flujo, de esta manera se controla la ganancia de flujo vista por el modelo del servomotor en ambos sentidos de su recorrido.

Figura 4.67 Diagrama del bloque de control de ganancia de flujo en la válvula distribuidora.

En las figuras 4.68, 4.69 y 4.70 se observa la comparación entre la respuesta del modelo desarrollado y el sistema real ante un paso escalón descendente de 10% 146

partiendo de diferentes posiciones del servomotor luego de agregar el módulo de control de ganancia de flujo al modelo.

Figura 4.68 Respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo desde un 30% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv.

Figura 4.69 Respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo desde un 60% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv. 147

Figura 4.70 Respuestas ante un paso escalón descendente de 10% del sistema real y el modelo desde un 70% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv. Para el caso de una señal de excitación tipo paso escalón descendente en el modelo con la inserción de los módulos de control de ganancia Cv y Cp a la válvula distribuidora y al servomotor respectivamente, se observa una mejora sustancial en la respuesta del modelo para los casos de referidos en las figuras 4.68, 4.69 y 4.70. Tabla 4.14. Resumen de características del modelo con control de ganancia de flujo y el sistema real ante un paso escalón de 10% en forma descendente. Pasos escalón descendentes de 10% Parámetro

30%

60%

70%

Real

Modelo

Real

Modelo

Real

Modelo

Máximo sobreimpulso (%)

12,5

4

15

4

15

4

Tiempo de retardo (seg)

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

0,05

Tiempo de crecimiento (seg)

0,9

1,5

0,9

1,5

0,9

1,5

Tiempo de establecimiento (seg)

2

1,5

2

1,5

2

1,5

148

En las figuras 4.71 se observa la comparación entre la respuesta del modelo desarrollado y el sistema real ante un paso escalón ascendente de 20% partiendo de 50% de la posición del servomotor luego de agregar el módulo de control de ganancia de flujo al modelo.

Figura 4.71 Respuestas ante un paso escalón ascendente de 20% del sistema real y el modelo desde un 50% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv y Cp. En la gráfica 4.71 se observa que la respuesta del sistema real y el modelo con el control de la ganancia de flujo para la válvula distribuidora y el servomotor presentan una alta coincidencia. Se observa adicionalmente que el modelo real presenta una característica de saturación en la posición de la válvula distribuidora a la mitad del margen de su transductor de entrada y una respuesta del servomotor real en forma de rampa. La respuesta del modelo logra el objetivo de control en un tiempo ligeramente mayor pero con una respuesta no saturada de la válvula distribuidora. La respuesta de la válvula distribuidora del modelo presenta una amplitud 9% menor a la del sistema real, esto se debe principalmente a las ganancias de flujo consideradas para el modelo. 149

En las figuras 4.72 se observa la comparación entre la respuesta del modelo desarrollado y el sistema real ante un paso escalón descendente de 20% partiendo de 50% de la posición del servomotor luego de agregar el módulo de control de ganancia de flujo al modelo.

Figura 4.72 Respuestas ante un paso escalón descendente de 20% del sistema real y el modelo desde un 50% de la posición del servomotor, con módulo de control de Cv y Cp. En la gráfica 4.72 se observa al igual que en el caso anterior el sistema real presenta una respuesta en forma de rampa descendente en el servomotor y una leve saturación de la válvula distribuidora en la mitad del margen de su transductor de salida. La respuesta del modelo logra el objetivo de control con una respuesta cercana al modelo real pero con una respuesta no saturada de la válvula distribuidora. La respuesta de la válvula distribuidora del modelo presenta una amplitud 42% menor a la del sistema real, esto se debe principalmente a las ganancias de flujo consideradas para el modelo. 150

4.3.8 Modelo de servoválvula nueva La servoválvula sugerida por el fabricante a instalar en los Gobernadores de las unidades de Macagua son las del tipo mecánica con realimentación electrónica, modelo 4 WS 2 EE.10... suministradas por el fabricante Mannesmann Rexroth. Estas válvulas consisten al igual que su contraparte barométrica de dos (2) etapas, la primera etapa está conformada por un motor de torque magnético del tipo de diseño flapper/nozzle. La segunda etapa tiene un spool de control de precisión de 4-vías y un sistema de realimentación del tipo eléctrico, ver figura siguiente.

Figura 4.73 Servoválvula a instalar en el sistema de Gobernación.

En el anexo C se pueden observar las características principales de la servoválvula que se desea instalar en los Gobernadores de Macagua, para mayor referencia ver el documento Rexroth RA 29 586/06.98.

4.3.8.1

Función de transferencia con método Gráfico válvula 4WS2EE.10

El fabricante Rexroth RE 29583-XN-114-B2/10.10 [46] proporciona el diagrama de bode de amplitud y fase de la servoválvula modelo 4 WS 2 EE.10 para una presión 151

típica de 70 bar y un flujo nominal mayor que 75 L/min, ver figura 4.74. Desde este diagrama se puede obtener una función de transferencia aproximada de la servoválvula.

Figura 4.74 Diagrama de bode de la servoválvula modelo 4 WS 2 EE.10, presión 70 bar y flujo nominal de 75 L/min.

Utilizando el método gráfico descrito en el punto 4.3.2 de este trabajo, se puede obtener la función de transferencia de la servoválvula a partir del diagrama de bode suministrado por el fabricante, siguiendo los pasos siguientes: a. Determinación del orden relativo del sistema. 152

Observando el valor final del diagrama de fase se determina el orden relativo del sistema. Se tiene que el valor final del diagrama de fase en la figura 4.74 tiende a -270°, de lo cual se puede inferir que la función de transferencia del modelo de la servoválvula debe ser de tercer orden. b. Determinación del número de polos y ceros del sistema. Realizando un análisis del diagrama de magnitud en la figura 4.74, se observa que el valor inicial de la pendiente es 0 dB/dec, y el valor final es -20 dB/dec. Dado que no se observa un decremento en la pendiente desde -20 dB/dec, se puede asumir que en la función de transferencia final no hay ceros. c. Localización de los polos y ceros del sistema. El sistema de la figura 4.74 se aproximara a un sistema de primer orden por simplicidad del análisis. Dibujando asintotas sobre el diagrama de amplitud de bode suministrado por el fabricante de la válvula. La primera asintota es de 0dB/dec mientras que la segunda asintota tiene una pendiente de -20 dB/dec e intercepta a la primera a una frecuencia de aproximadamente 55Hz, la cual representa la frecuencia de corte para el polo del sistema ( f 0 ). La función de transferencia propuesta seria:

G (s) =

K  s   + 1  2πf 0 

(4.96)

d. Determinación de ganancia de sistema (K). La ganancia para este caso se determina con la intercepción del diagrama de ganancia con el eje Y a bajas frecuencias en la figura 4.74, tal que:

153

20 log K = 0dB ⇒ K = 1

(4.97)

Dado que la salida de servoválvula a considerar para el presente modelo es la posición de spool, se determina la ganancia utilizando la relación de la entrada de la servo con respecto a su salida. El manual del fabricante de las servoválvulas 4 WS 2 EE.10, específica que el recorrido típico del spool de estos servos es de 0,0008m, ver anexo C. Tomando en consideración que la señal de control de las servoválvulas utilizadas en las unidades generadoras de Macagua es de ±10ma, se tiene que la ganancia final sería:

K=

(0,0008 − ( −0,008)) m 0,0016 m = (0,010 − ( −0,010)) A 0,020 A

(4.98)

Figura 4.75 Diagramas de bode del modelo aproximado de primer orden de la servoválvula nueva obtenido por método gráfico. 154

En la figura 4.75 se muestra el diagrama de bode encontrada con la ayuda de MatLab de la función de transferencia encontrada a través del método gráfico. En el diagrama de fase se observa una desviación de aproximadamente 180° en 700Hz. Para corregir la desviación entre las fases de los modelos se debe agregar un retardo puro al modelo propuesto, por tanto la nueva función de transferencia que describe al sistema debe ser de la forma:

G(s) =

e − td s  s   + 1  2πf 0 

Para calcular el valor del tiempo de retardo

(4.99)

t d , se calcula el valor de la fase de la

función anterior,

 1 ∠G ( jw) = ∠ −   2πf

0

  w jw + 1 + ∠e − jwt d = − tan −1   2πf 0 

  − wt d 

(4.100)

Analizando las figura 4.73 y 4.74, se evalúa la ecuación 4.100 en w = 2π 700 .

− 270 º = − 182 , 2 º − 2π 700 t d

(4.101)

Despejando se obtiene que el valor de t d = 0,0008seg . La función de transferencia hallada para de la servoválvula modelo 4 WS 2 EE.10 para una presión típica de 70 bar y un flujo nominal mayor que 75 L/min, está representada en la ecuación siguiente.

155

G (s) =

e −0.0008 s  s   + 1  2π (55 ) 

(4.102)

En la figura 4.76, se muestra la comparación de los diagramas de bode suministrado por el fabricante y el modelo propuesto.

Figura 4.76 Diagramas de bode de la nueva servoválvula con modelo aproximado obtenido por método gráfico con corrección de fase. La figura siguiente, muestra el modelo desarrollado en Matlab Simulink de la servoválvula con realimentación barométrica modelo 4 WS 2 EE.10.

Figura 4.77 Modelo desarrollado en Matlab Simulink de la servoválvula 4 WS 2 E.10 156

4.3.9 Determinación de parámetros del controlador para servoválvula nueva J.G. Ziegler and N.B. Nicholls (1942)

[47]

, definió un método grafico para la

obtención de variables del proceso que permiten encontrar los valores aproximados de los parámetros del controlador a utilizar sobre el proceso en estudio. Este método se basa en la curva de reacción del proceso ante un estimulo del tipo escalón. La respuesta típica de un proceso y los parámetros a encontrar se observan en la grafica siguiente.

Figura 4.78 Caracterización de una respuesta a un escalón en el método de respuesta al escalón de Ziegler-Nichols.

Los parámetros α y L permiten calcular los valores aproximados de los parámetros del controlador P, PI, o PID a utilizar sobre el proceso que se desea controlar. Ziegler-Nichols, desarrollaron experimentalmente una serie de ecuaciones que permiten encontrar aproximaciones a los valores de los parámetros del controlador. En la tabla 4.15, se pueden observar las ecuaciones desarrolladas experimentalmente por Ziegler-Nichols. 157

Tabla 4.15. Tabla para el cálculo de los parámetros de un controlador obtenidos mediante el método de respuesta ante un escalón de Ziegler-Nichols.

Controlador

K

Ti

Td

Tp

P

1/α

--

--

4L

PI

0,9/α

3L

PID

1,2/α

2L

5,7L L/2

3,4L

El proceso que se modelo en el presente trabajo tiene las características de un sistema integrativo, también conocido como sistemas con un polo en el origen del plano “s” o como sistemas sin autorregulación. Este tipo de procesos no pueden alcanzar un estado estable bajo condiciones de lazo abierto, como describe K. Astrom and T. Hagglund (1995) [48]. Para determinar la primera aproximación de los parámetros del controlador se utilizo el método descrito por K. Astrom and T. Hagglund (1995)

[49]

, el cual define a

un sistema integrativo como el estudiado con la función de transferencia siguiente:

G (s) =

Kp e − sL ' s (1 + sT )

Donde, Kp: ganancia estática. T: constante de tiempo. 158

(4.103)

L’: tiempo muerto. La respuesta de este tipo de modelo esta dada por la ecuación siguiente.

g (t ) = Kp (t − L '−T (1 − e − (t − L ' ) / T ))

(4.104)

En la grafica 4.79, se muestra la respuesta de un sistema integrativo donde se destacan los valores que describen al modelo y la manera de obtenerlos mediante el método gráfico.

Figura 4.79 Curva de respuesta al escalón del un modelo integrativo.

De la figura anterior se extrae que el valor de Kp y Tar = L’+T (Tar es el tiempo promedio de residencia) pueden ser obtenidos gráficamente. Por otro lado los valores de L’ y T pueden ser obtenidos evaluando la ecuación 4.104 en un punto de la respuesta del sistema ante el escalón. El punto típico para la determinación de estos valores se consigue evaluando la ecuación 4.104 en el punto L’+T, como se muestra en la ecuación siguiente.

g ( L'+T ) = KpTe −1 159

(4.105)

Despejando T, se obtiene

T=

g ( L '+T ) 1 e Kp

(4.106)

Aplicando la metodología descrita anteriormente al modelo desarrollado se pueden obtener los parámetros que aproximan a la ecuación 4.103. En la grafica siguiente se observa la curva de respuesta ante un escalón del modelo desarrollado con la función de transferencia de la servoválvula a instalarse en los Gobernadores de Macagua.

Figura 4.80 Curva de respuesta al escalón del modelo desarrollado con la servoválvula nueva. En la tabla siguiente se encuentran los diferentes valores obtenidos para el modelo desarrollado con la servoválvula nueva. 160

Tabla 4.16. Valores obtenidos para el modelo desarrollado con la servoválvula nueva en respuesta a un estimulo tipo escalón unitario. Parámetro

Valor

Kp (%)

8,955

T (seg)

0,849

L’ (seg)

0,491

Tar(seg)

1,340

g(L+T)

2,796

K. Astrom and T. Hagglund (1995)

[50]

, afirma que para procesos integrativos

que responden a funciones de transferencia como las descritas en la ecuación 4.103 se puede calcular el valor de α y L mediante las siguientes ecuaciones.

α = Kp * Tar

(4.107)

L = Tar = L '+T

(4.108)

Evaluando las ecuaciones anteriores con los datos de la tabla 4.15, se obtiene la tabla 4.16. Tabla 4.17. Parámetros del método de respuesta al paso escalón de Ziegler-Nichols para el modelo desarrollado con la servoválvula nueva. Parámetro

Valor

α

12

L

1,34 161

Utilizando las ecuaciones descrita en la tabla 4.16 para un controlador proporcional se obtuvo el valor de K = 0,83. Realizando una corrida del modelo desarrollado con la servoválvula nueva con este valor de K, se obtuvo la grafica siguiente.

Figura 4.81 Curva de respuesta al escalón del modelo desarrollado con la servoválvula nueva con un K = 0,083. Como se observa en la figura anterior, la respuesta que se obtiene al someter al sistema desarrollado al cual se le incluyo la servoválvula nueva a un escalón de 10% de apertura del servomotor, es una respuesta sub-amortiguada con un máximo sobre impulso de 47,3%. Luego de una serie de pruebas realizadas al modelo para adaptar su respuesta lo más cercana posible al modelo real, se determino que el mejor valor de K que arroja resultados cercanos al modelo real con la servoválvula vieja es K = 3,4. Por lo antes expuesto la validación de ambos modelos será desarrollada con este valor de K. Por otro lado se determino que el método desarrollado por Ziegler-Nichols permite encontrar un valor cercano a los valores finales de los parámetros del controlador a emplear. 162

4.3.10 Resultados del modelo matemático con nueva servoválvula En la gráfica 4.82, 4.83 y 4.84, se observa la comparación entre las repuestas del sistema real, el modelo original y el modelo donde se incorpora la servoválvula nueva, ante pasos escalones de 10% y 20% en diferentes posiciones del servomotor.

Figura 4.82 Comparación entre el modelo real, el modelo inicialmente desarrollado y el modelo con la servoválvula 4WS2E.10, ante paso escalón 10% ascendente partiendo de 50% de apertura del servomotor. En la gráfica anterior se observa que el modelo original y el que incluye la servoválvula 4 WS 2 E.10, presentan una respuesta similar solapándose durante todos el periodo evaluado infiriéndose que sus respuesta dentro del sistema es similar. En las gráficas siguientes se comparan las respuestas de los modelos cuando ambos sistemas son sometidos a una excitación tipo paso escalón descendente de 10% y 20%, partiendo de 60% y 50 % de apertura del servomotor respectivamente. 163

Figura 4.83 Comparación entre el modelo real, el modelo inicialmente desarrollado y el modelo con la servoválvula 4 WS 2 E.10, ante paso escalón 10% descendente partiendo de 60% de apertura del servomotor..

Figura 4.84 Comparación entre el modelo real, el modelo inicialmente desarrollado y el modelo con la servoválvula 4 WS 2 E.10, ante paso escalón 20% descendente partiendo de 50% de apertura del servomotor. 164

En los casos mostrados en las figuras 4.83 y 4.84, se observó un leve retraso en la respuesta del modelo con la válvula que se desea instalar en el Sistema de Gobernación de las Unidades Generadoras de Macagua en comparación con el modelo original, atribuible al la diferencia entre los tiempos muertos de ambas servoválvulas.

4.3.10.1 Comparación de Modelos realizando variaciones de Kp Para verificar la capacidad de seguimiento de los modelos propuestos se realiza una serie de pruebas variando el valor del Kp de ambos modelo y comparando su respuesta con el sistema real con un Kp fijo de 2,5.

Figura 4.85 Comparación entre el modelo real, y los dos modelos desarrollados con un Kp de 4. En la figura anterior se observa que la respuesta de ambos modelo tiende a ser sobre-amortiguada sin embargo ambos modelos responden de manera similar ante el estímulo teniendo sus controladores un Kp de 4. Se destaca adicionalmente que la señal la posición de la válvula distribuidora disminuye su salida en 5% con relación al caso del Kp 3,4. 165

Figura 4.86 Comparación entre el modelo real, y los dos modelos desarrollados con un Kp de 2. En la figura anterior se observa que la respuesta de ambos modelo tiende a ser sub-amortiguada sin embargo ambos modelos responden de manera similar ante el estímulo teniendo sus controladores un Kp de 2. El tiempo de respuesta del ambos modelo es menor que el tiempo de respuesta del sistema real para alcanzar el objetivo de control, sin embargo ambos presentan un sobre impulso de 40%. Por otra parte, en la figura de la gráfica 4.86 se observa que el tiempo de establecimiento de ambos modelos incrementa sustancialmente. Se destaca adicionalmente, que la señal la posición de la válvula distribuidora aumenta su salida en 125% con relación al caso del Kp 3,2, pero aun sin llegar a los niveles alcanzados por el sistema real.

4.3.10.2 Comparación de Modelos variando parámetros de la servoválvula En las figuras 4.87 y 4.88, se observan los gráficos comparativos de las respuestas de ambos sistemas ante cambios en parámetros de la servoválvula, elementos que permiten establecer criterios preliminares a tomar en cuenta para la 166

instalación de dispositivos de reemplazo en los Sistemas de Gobernación de las Unidades de Macagua.

Figura 4.87 Comparación entre el modelo real, y los dos modelos desarrollados con un incremento del tiempo de retardo de 100 veces en la servoválvula.

Figura 4.88 Comparación entre el modelo real, y los dos modelos desarrollados con un incremento 100 veces la constante de tiempo veces en la servoválvula. 167

En las figuras 4.87, se observa que al incrementar el tiempo de retardo de las servoválvulas de ambos modelo, se empiezan a notar el efecto del cambio de fase. A pesar de que ambos alcanzan el objetivo de control se observa una respuesta subamortiguada en la posición de la servoválvula que se refleja en la válvula distribuidora. En las figuras 4.88, se observa que al incrementar las constantes de tiempo de las servoválvulas de ambos modelo, el modelo con la válvula nueva se observo mayormente afectado por el cambio, mientras que para el modelo original apenas se inician la aparición de los efectos del cambio en su constante de tiempo. La causa principal de esta diferencia es que el modelo de la válvula nueva tiene una constante de tiempo 10 veces mayor que la obtenida para la servo del modelo original por tanto su afectación al sistema es mayor cuando se incrementa el valor de tiempo de retardo. De las observaciones anteriores podemos determinar que para los efectos de los modelos desarrollados, la servoválvula a seleccionar para instalarse en los Sistemas de Gobernación de las unidades Generadoras de Macagua no deben tener tiempos de respuesta o tiempos de retardo superiores a 100 veces el especificado para la servoválvula original, esto para preservar la robustez del sistema.

4.3.11 Análisis de Resultados Observado las graficas de las figuras 4.60, 4.61 y 4.62 se pudo constatar que el modelo inicialmente desarrollado presenta una alta correspondencia con el sistema real cuando se aplica un paso escalón ascendente de 10%, sin embargo se pueden destacar ciertas diferencias tales como: •

En el modelo real se observa un corrimiento del cero de la señal de posición de la servoválvula. Esto se debe al ajuste que se realiza en el sistema real para que la señal de control quede siempre por debajo del cero de corriente (4mA). El ajuste es para garantizar que el sistema de 168

control mantenga en la posición de cierre al servomotor en condiciones de Unidad Generadora detenida. Este acondicionamiento también obedece a posible desajustes de los componentes del lazo de control que son minimizados con el ajuste de Uo, sin embargo esta condición no se observa en la señal de posición de la servoválvula del modelo debido a que el ajuste de Uo se colocó en el valor cero y los modelos de componentes como la servoválvula se consideraron ideales. •

Se observa un incremento en el retardo del modelo desarrollado a medida que se eleva la posición de inicio del escalón. El modelo real cuenta con una serie de restricciones a lo largo del recorrido del servomotor y una zona de control de ganancia de flujo más una zona muerta diseñada en la válvula distribuidora, mientras que el modelo originalmente desarrollado presenta una ganancia constante en todo su margen y no considera los elementos no lineales del sistema real. En el anexo F, se puede observar la curva de las pruebas en campo realizadas por el fabricante SULZER ESCHER WYSS ZURICH durante la puesta en servicio donde se destacan las zonas no lineales de la válvula distribuidora.

•

La respuesta de la válvula distribuidora del sistema real ante el estímulo es mayor en magnitud que la del modelo inicialmente desarrollado. Esto se debe a que el sistema real esta diseñado para con una elevada ganancia que conlleva a la válvula distribuidora a trabajar saturada desde variaciones de 10% del setpoint de entrada y adicionalmente los valores de Cv y Cp no son constantes en todo el margen del recorrido de la válvula distribuidora y el servomotor respectivamente. Sin embargo el modelo inicialmente desarrollado tiene unas ganancias de flujo Cv y Cp constantes en todo el margen de operación.

Observado las graficas de las figuras 4.63, 4.64 y 4.65 se pudo constatar que el modelo inicialmente desarrollado presenta un tiempo de respuesta mayor al sistema 169

real cuando se aplica un paso escalón descendente de 10%. El motivo de esta diferencia de respuestas radica en que el modelo real está diseñado para tener una respuesta más rápida hacia el cierre que hacia la apertura, lográndose esto con variaciones en las ganancias de flujo Cv y Cp, en zonas especificas del recorrido de la válvula distribuidora y el servomotor, permitiéndole a los gobernadores responder rápidamente ante eventos en el Sistema Eléctrico Nacional con un cierre rápido de las paletas directrices y frenar el paso de agua hacia la turbina de la Unidad Generadora. En el modelo inicialmente desarrollado se consideran ganancias de flujo Cv y Cp constantes en todo el recorrido del servomotor, lo cual conlleva a que el modelo inicialmente desarrollado tenga el mismo tiempo de respuesta durante el cierre y la apertura del servomotor. Luego de analizar las características del sistema real que permiten el control de las ganancias de flujo Cv y Cp, se desarrollaron modelos de esas características y que posteriormente se incluyeron en el modelo inicialmente desarrollado. En las figuras 4.68, 4.69 y 4.70 se observa la comparación entre la respuesta del modelo modificado y el sistema real ante un paso escalón descendente de 10% partiendo de diferentes posiciones del servomotor luego de agregar los módulos de control de ganancia de flujo al modelo. Se pudo constatar que la respuesta del nuevo modelo ante una señal de excitación tipo paso escalón descendente mejora sustancialmente, comprobándose una alta coincidencia en la respuesta de ambos modelos. Un caso similar se puede observar en la figura 4.71, donde excita al modelo modificado y el sistema real con un paso escalón ascendente de 20% partiendo de 50% de la posición del servomotor: Se observa que la respuesta del sistema real y el modelo con el control de la ganancia de flujo para la válvula distribuidora y el servomotor presentan una alta coincidencia. Se observa adicionalmente que el modelo real presenta una característica de saturación en la posición de la válvula distribuidora a la mitad del margen de su transductor de entrada y una respuesta del servomotor real en

170

forma de rampa. La respuesta del modelo logra el objetivo de control en un tiempo ligeramente mayor pero con una respuesta no saturada de la válvula distribuidora. En las figuras 4.72 se observa la comparación entre la respuesta del modelo modificado y el sistema real ante un paso escalón descendente de 20% partiendo de 50% de la posición del servomotor. Se observa al igual que en el caso anterior el sistema real presenta una respuesta en forma de rampa descendente en el servomotor y una leve saturación de la

válvula distribuidora en la mitad del margen de su

transductor de salida. La respuesta del modelo logra el objetivo de control con una alta coincidencia con el modelo real pero con una respuesta no saturada de la válvula distribuidora. En la gráfica 4.82, 4.83 y 4.84, se observa la comparación entre las repuestas del sistema real, el modelo modificado y el modelo modificado donde se incorpora la servoválvula nueva, ante pasos escalones de 10% y 20% en diferentes posiciones del servomotor. Observándose que el modelo original y el que incluye la servoválvula 4 WS 2 E.10, presentan una respuesta similar solapándose durante todos el periodo evaluado. Adicionalmente, se puede constatar en las figuras 4.83 y 4.84 un leve retraso en la respuesta del modelo modificado con la servoválvula que se desea instalar en el Sistema de Gobernación de las Unidades Generadoras de Macagua en comparación con el modelo modificado original. Esta diferencia se atribuye a la diferencia entre los tiempos muertos de ambas servoválvulas. Para verificar la capacidad de seguimiento de los modelos propuestos se realizo una serie de pruebas variando el valor del Kp de ambos modelo y comparando su respuesta con el sistema real con un Kp fijo de 2,5. Se observa en la figura 4.85 con un valor de K = 4, que la respuesta de ambos modelo tiende a ser sobre-amortiguada sin embargo ambos modelos responden de manera similar ante el estímulo. Se destaca adicionalmente que la señal la posición de la válvula distribuidora disminuye su salida en 5% con relación al caso del Kp 3,4. 171

En la figura 4.86 se observa para un K = 2, que la respuesta de ambos modelo tiende a ser sub-amortiguada sin embargo ambos modelos responden de manera similar ante el estímulo. El tiempo de respuesta del ambos modelo es menor que el tiempo de respuesta del sistema real para alcanzar el objetivo de control, sin embargo ambos presentan un sobre impulso de 40%. Por otra parte, se aprecia que el tiempo de establecimiento de ambos modelos incrementa sustancialmente. En las figuras 4.87 y 4.88, se comparan las respuestas de ambos sistemas ante cambios en parámetros de la servoválvula, elementos que permiten establecer criterios preliminares a tomar en cuenta para la instalación de dispositivos de reemplazo en los Sistemas de Gobernación de las Unidades de Macagua. En el caso de la figura 4.87, se observa que al incrementar el tiempo de retardo de las servoválvulas de ambos modelo hasta 100 veces el valor original, apenas se empiezan a notar el efecto del cambio de fase. Adicionalmente, ambos modelos alcanzan el objetivo de control pero con una respuesta sub-amortiguada en la posición de la servoválvula que se refleja en la válvula distribuidora. Por otra parte, en la figura 4.88, se observa que al incrementar las constantes de tiempo de las servoválvulas de ambos modelo hasta alcanzar 100 veces el valor inicial, el modelo con la válvula nueva presenta mayor afectación por el cambio, mientras que para en el modelo modificado apenas se inician la aparición de los efectos del cambio. La causa principal de esta diferencia de respuestas es que el modelo de la servoválvula nueva tiene una constante de tiempo 10 veces mayor que la obtenida para la servo del modelo original por tanto su afectación al sistema es mayor cuando se incrementa el valor de tiempo de retardo. De los análisis anteriores podemos determinar que para los efectos de los modelos desarrollados, la servoválvula a seleccionar no debe tener tiempos de respuesta o tiempos de retardo superiores a 100 veces al especificado para la servoválvula original, esto para preservar la robustez del sistema.

172

CONCLUSIONES

Fue desarrollado un modelo matemático para los gobernadores de la unidades Generadoras de Macagua que permite evaluar de manera teórica los efecto que pudieran tener sobre el sistema físico la introducción de nuevos elementos finales de control. También permite realizar análisis simulados de diferentes estados operativos de los Gobernadores de las Unidades Generadoras de Macagua para evaluar cambios en el sistema que permitan detectar anomalías de manera temprana y así evitar la ocurrencia de fallas que pongan en peligro la generación de Energía Eléctrica. En el análisis de la respuesta dinámica de los Sistemas de Gobernación de las Unidades Generadoras de Macagua se determinó que estos equipos presentan características no lineales que ayudan a obtener una respuesta rápida ante variaciones pequeñas de la señal de entrada y adicionalmente respuestas saturadas ante variaciones grandes en su consigna. Estas características de diseño permiten controlar todo el margen de operación de la unidad con un único controlador y con un solo juego de parámetros. Al realizar la validación del modelo modificado desarrollado en este trabajo, se determinó que tiene un buen desempeño en todo el margen de operación del sistema, logrando reproducir hasta la respuesta saturada del sistema, Sin embargo en el modelo real aún existen elementos y características no lineales que deben ser agregadas al modelo desarrollado para mejorar su desempeño. 173

Al realizar el estudio de las características de los elementos finales de control a instalarse en los gobernadores de Macagua, se determinó que presentan características similares a los instalados actualmente. Estos elementos mostraron un comportamiento similar a los elementos de control actuales ante variaciones del Kp de la tarjeta 3B-725, cuando se introdujeron en el modelo desarrollado. Se determinó que los elemento finales de control nuevos, al tener unas características similares a los actuales, no afectan las características de los parámetros del controlador de manera evidente. La utilización del método del paso escalón de Ziegler-Nichols, ayuda a obtener una primera aproximación de los parámetros del controlador a implementar en el sistema, pudiéndose emplear sobre el modelo desarrollado para detectar variaciones considerables en los parámetros al momento de introducir algún elemento nuevo en el lazo de control, dada la imposibilidad de realizar pruebas sobre el sistema real, debido a que el mismo es del tipo integrativo o sin auto regulación. Con las diferentes simulaciones realizadas, se determinó que los elementos finales de control a instalarse no deben presentar una contante de tiempo o retardo superior a 100 veces la del modelo actual para evitar el deterioro prematuro de la calidad de control ante envejecimiento de los componentes, preservando la robustez del sistema actual. Podemos concluir que la metodología empleada para el desarrollo de los modelos de la válvula distribuidora y el servomotor de paletas directrices arroja una muy buena aproximación al modelo real, permitiendo posteriormente la variación individual de parámetros mecánicos que ayudan al estudio y determinación de diferentes condiciones operativas de estos sistema facilitando su comprensión, evaluación y análisis.

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RECOMENDACIONES

Se recomienda continuar desarrollando el modelo propuesto, agregando componentes que permitan emular los elementos y características no lineales del Sistema de Gobernación de las unidades Generadoras de Macagua, hasta obtener una herramienta idónea para la investigación y análisis de este sistema en los casos de cambios de componentes o labores de análisis de comportamiento dinámico. Antes de la sustitución de cualquier elemento por otro de modelo diferente dentro del lazo de control de los Gobernadores de Macagua, se recomienda la evaluación previa de los efectos que este pudiera tener en el sistema real, realizando una simulación con modelo propuesto y comprobando que las especificaciones de estos elementos están dentro del margen de los elementos originales. Antes de la sustitución de cualquier elemento dentro del lazo de control de los Gobernadores de Macagua, se recomienda la realizar una comprobación que las características de tiempo de respuesta y tiempo de retardo coincidan con lo especificado por el fabricante de estos elementos. Lo anterior con el objetivo de no introducir componentes defectuosos o fuera de especificación dentro del lazo de control, dado que es difícil detectar que elemento está fallando dentro de un lazo de control cerrado. Se recomiendo la sustitución de las servoválvulas actuales de los Sistemas de Gobernación de Macagua por servoválvulas modernas que permitan un control más fino 175

de la posición del spool de la servoválvula y de esta manera mejorar la robustez del lazo de control del Gobernador. Adicionalmente, la obsolescencia de las servoválvulas actuales pone en riesgo la continuidad operativa de las Unidades Generadoras de Macagua. Se recomienda realizar pruebas adicionales de identificación de los Sistemas de Gobernación de las unidades de Macagua para tener una referencia sobre el estado actual de los elementos de cada unidad y poder realizar comparaciones futuras.

176

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181

ANEXOS

182