Modelo Black & Scholes

U T D T . R iesg o, In c ertid u m b re & F in a n za s

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Modelo de Black-Scholes

El modelo Black & Scholes (BS) permite hacer el pricing de una opción, bajo el supuesto de que el underlying sigue una Geometric Brownian Motion. Mostramos anteriormente que el valor de una opción depende de determinadas variables (stock, del tiempo) y de ciertos parámetros (volatilidad tasa de interes y volatilidad). De hecho dicho precio se puede escribir como una función que depende de S y t teniendo en cuenta que también es una función de los parámetros de interés c(S, X, T − t, σ S , r) = c(S, t). Para hacer el pricing (utilizando el principio de no arbitraje) se utiliza la propiedad de que el cambio en el valor de la opción está local y perfectamente correlacionado con el cambio en el valor del underlying asset. Esto es quizás el punto mas importante en el pricing de una opción pues uno puede construir un portafolio que consita de una cantidad de opciones y una cantidad de el stock de modo de eliminar totalmente la incertidumbre de ese portafolio. Ese portafolio sin riesgo debe de pagar la tasa libre de riesgo. Por lo tanto, sabiendo ésto se forma un portafolio que tenga una posición long en la opción y una posición short en una cantidad delta: ∆ en el underlying (stock). Denotando a Π como el valor del portafolio Π = c(S, t) − ∆S. Si el underlying asset sigue una Brownian motion dS = µS dt + σ S dz, S el cambio en el valor del portafolio

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(1)

dΠ = dc(S, t) − ∆dS, va a tambien seguir una Brownian Motion. Utilizando el Lemma de Ito sabemos que si el underlying sigue una Brownian Motion Geometica el derivado tambien lo sigue y por lo tanto el cambio en el valor del call puede escribirse como 1 dc(S, t) = ct dt + cS dS + cSS (dS)2 2 1 = ct dt + cS S(µS dt + σ S dz) + cSS S 2 σ 2S dt 2 1 = (ct + cS SµS + cSS S 2 σ 2S )dt + cS Sσ S dz, 2 lo que implica que el cambio en el portafolio sigue la siguiente Brownian Motion 1 dΠ = ct dt + cS S(µS dt + σ S dz) + σ 2S S 2 cSS dt − ∆S(µS dt + σ S dz) (2) 2 1 2 2 = (ct + cS SµS + σ S S cSS − ∆SµS )dt + (cS Sσ S − ∆Sσ S )dz. 2 Para obtener el precio del call elegimos ∆ tal que elimina el riesgo del portafolio, i.e., ∆ = cS . Una vez eliminado el riesgo, el valor del portafolio en el tiempo debe ser igual, por el principio de no arbitraje, a colocar la misma cantidad de dinero en un instrumento con tasa libre de riesgo.1 1

Note la importancia de la correlación perfecta entre el contrato y el underlying asset. Esta correlacion es la que permite eliminar totalmente el riesgo del portafolio. La reducción del riesgo del portafolio se conoce como Hedging, en este caso particular lo que se hizo fue Delta Hedging.

2

z

dΠ

}| { Π z }| { 1 2 2 ct dt + σ S cSS dt = r(c(S, t) − cS S.)dt. 2

(3)

1 ct + σ 2 S 2 cSS + rScS − rc = 0. 2

(4)

Si el retorno del portafolio fuese mayor, entonces todos los individuos pedirían préstamos al banco, y re-invertirían en este portafolio. Estos movimientos de capitales explotan la oportunidad de arbitraje, haciendo que finalmente los precios se ajusten eliminando la oportunidad de arbitraje. Si el retorno del portafolio fuese menor el razonamiento es análogo. Re escribiendo la ecuación (3) obtenemos la ecuación diferencial parcial que una vez resuelta obtiene el valor del derivado a tiempo t,

Notar que en esta ecuación no aparece la tendencia del Stock (i.e., µ) sino que aparece la tasa libre de riesgo (r). La explicación es sencilla, una vez que se hizo delta hedging, dado que se pudo eliminar el riesgo perfectamente de la opción con el underlying, no hay necesidad de tomar riesgo inherente.así la tendencia desaparece con el término dS. Cuando nosotros hablamos de hacer el pricing usando la solución de Black and Scholes nos referimos a dos cosas (i) La ecuación diferencial parcial. (ii) La formula de Black and Scholes. La ecuación diferencial parcial la podemos usar con cualquier condición terminal para encontrar “numericamente” el precio de cualquier derivado mientras que la fórmula es la solución dada unas condiciónes terminales particulares. La formula Black-Scholes es la solución a la ecuación diferencial (4), dadas las condiciones terminales de un call europeo. Para deribarla asumimos: 1. El underlying sigue una geometric Brownian Motion. 2. La tasa libre de riesgo es conocida. 3

3. No existen dividendos en el underlying. 4. El delta Hedging es dinámico y continuo. 5. No existen costos de transacción. 6. No existen oportunidades de arbitraje. La derivación de la ecuación (4) fue hecha en términos de un call, sin embargo solo utilizamos el hecho de que sea un call en las condiciónes terminales por lo tanto dicho procedimiento es válido para cualquier tipo de opción. Para encontrar el precio de un Call o un Put hay que establecer distintas Condiciónes Terminales. Las condiciones terminales no son más que los distintos pay-off de cada contrato. Para el caso de un Call Max(S − X, 0). Y de un Put Max(X − S, 0). El resultado del valor de un call una vez resuelta la ecuación diferencial parcial es C(S, T − t) = SN(d1 ) − Xe−r(T −t) N(d2 ), donde

d1 d2

¡S¢

+ (r + 12 σ 2 )(T − t)} √ = , σ( T − t) √ = d1 − σ( T − t), {ln

X

y el resultado para un put es P (S, T − t) = −SN(−d1 ) + Xe−r(T −t) N(−d2 ).

4

(5)

Relación entre el retorno-volatilidad de un Call y el Underlying. Se pueden econtrar como producto de la derivación del precio de la opción ciertas relaciones que serán de gran importancia al realizar diferentes estrategias o portafolios que contegan el underlying y la opción

Proposition 1 (i) El exceso de retorno de una opción es igual a la elasticidad de la opción multiplicada por el exceso de retorno del stock, (µc − r) =

σc (µ − r) = Ω(µS − r). σS S

(ii) La volatilidad del call es igual a la elasticidad del call multiplicada por la volatilidad del stock, σc =

(donde Ω =

cS S σ S = Ωσ S . c(S, t)

cS S σc = ) c(S, t) σS

Para demostrar Dicha proposición hacemos pasos semejantes a los de la derivcación del la ecuación diferencial que caracteriza al precio del call. dc(S, t) = µc dt + σ c dz. c Para encontrar µc y σ c , evaluamos el cambio proporcional del precio del Call µ

σ z }|c { z }|c { 1 2 2 (ct + cS SµS + 2 cSS S σ S ) dc(S, t) cS Sσ S = dt + dz c(S, t) c(S, t) c(S, t) = µc dt + σ c dz.

Note que la proposición (ii) se prueba simplemente aplicando el lema de Ito. Definimos el cambio instantaneo en el retorno del portafolio como 5

∆S dΠ c = (µc dt + σ c dz) − (µ dt + σ S dz). Π Π Π S c = α(µc dt + σ c dz) + (1 − α)(µS dt + σ S dz). (donde α = ) Π = (αµc + (1 − α)µS )dt + (ασ c + (1 − α)σ S )dz. Para eliminar la incertidubre de cicho portafolio debemos elegir α=

σS . σS − σc

Una vez eliminado el riesgo el portafolio de arbitraje debe de pagar la tasa libre de riesgo por el principio de no arbitraje dΠ

z (

σS σS − σc

Π }| µc + (1 −

{ σS )µ )dt = rdt, σS − σc S

que puede ser re escrito como µ −r µc − r = S , σc σS que implica que el exceso de retorno del call estandarizado es igual al exceso de retorno del stock estandarizado (que anteriormente lo habiamos denominado como el precio del riesgo, λ). Alternativamente se puede escribir de la siguiente manera (µc − r) =

σc (µ − r), σS S

que relaciona el exceso de retorno de un call con el exceso de retorno del stock.

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1.1

Neutralidad al Riesgo

Habiamos visto anteriormente que el pricing de las opciónes puede realizarse como si los agentes fuesen neutrales al riesgo. En término de nuestro modelo en tiempo continuo esto se observa en que la ecuación diferencial (4) que no depende de ninguna medida afectada por las preferencias de riesgo de los individuos. Si la ecuación (4) tendría el retorno esperado del underlying µ entonces ya no sería independiente de las preferencias de riesgo de los individuos, porque a mayor nivel de aversión al riesgo más alto sería µ para un Stock dado. Como la ecuación (4) depende de la tasa libre de riesgo, se dice que los agentes no exigen prima por el riesgo, los agentes se comportan como si fuesen neutrales al riesgo. En un mundo neutral al riesgo cualquier valor presente de un cash-flow se descuenta por la tasa libre de riesgo, además el retorno esperado de cualquier derivado es la tasa libre de riesgo, ya que los agentes no necesitan un premiun por tomar riesgo. Vimos anteriornmente que cuando λ = 0, µS = r y en principio podriamos intertar resolver el problema de hacer el pricing de la opción calculando el valor descontado de S bajo esta ley de movimiento alternativa. Para clarificar el argumento podemos proponer dos economias, una en donde los underlying siguen dS = µSdt + σSdz, que es la economia Actual; y otra economia que sea neutral al riesgo, entonces los underlying siguen dS = rSdt + σSdz. Notemos las diferencias en las drifts, que se puede interpretar como que en el caso neutral la prima de riesgo es nula, i.e., λ = 0. Si nos encontramos en el mundo neutral, podemos descontar los pay-off por la tasa libre de riesgo, Por lo tanto se cumple que el precio del Call es el pay-off esperado descontado por la tasa libre de riesgo ª © C(·) = EII e−rT max(ST − X, 0) ,

donde EII es el valor esperado bajo la densidad de la economia neutral. Por ende rescribimos la anterior expresión como 7

−rT

C(·) = e

Z

S∈(X,∞)

(ST − X)fII (ST )dST .

Se puede demostrar que si resolvemos la integral obtendriamos la ecuación de Black & Scholes. Intuitivamente logramos establecer una relación (precisamente un mapping) entre la función de densidad de una economia neutral (fII (ST )) y la función de densidad de la economia actual, esto nos permite hacer el pricing en la primera economia y luego extrapolarlo a la segunda economia sin problemas. La demostración matematica lo unico que hace es verificar la existencia y unicidad de este mapping, esta demostración no se presentara, pero a continuación derivaremos intuitivamente la existencia del mapping utilizando precios (probabilidades) de Arrow-Debreu. Definamos al valor de cualquier activo como

S(X) =

X

∀s∈S

1 Ps Xs , 1+r

donde S = {s1 , s2 , ..., sn } es un conjunto finito que define a los diferentes estados de la naturaleza y Ps es el precio que paga este activo en el estado s en el periodo siguiente. Por lo tanto S(X) define el valor futuro de un activo para todos los estados de la naturaleza posibles. Ahora bien, si definimos a Y (Xs ), ∀s como la Opción sobre el activo X, entonces el valor de la opción es

S(Y ) =

X Ps Y (Xs ). 1 + r ∀s∈S

Pero si recordamos el problema del consumidor en una economia en la que un individuo puede asegurarse en consumo futuro usando activos financieros a la Arrow Debreu, la condición de primer orden establecia que Ps βU 0 (Cs ) = 0 Πs , 1+r U (Co ) donde Πs es la probabilidad que ocurra el estado s. Observemos que la anterior ecuación nos dice que Ps es igual a una probabilidad obtenida como si 8

los agentes fuesen neutrales al riesgo (probabilidades que en tiempo continuo definimos como fII (ST )). Por lo tanto podemos rescribir la ecuación del valor de la opción como X Ps Y (Xs ), 1 + r ∀s∈S 1 X Ps Y (Xs ), = 1 + r ∀s∈S

S(Y ) =

=

EP (Y (s)) . 1+r

Entonces logramos establecer que el valor de la opción es la esperanza sobre los estados de la naturaleza, descontado por la tasa libre de riesgo. Notemos que si bien esta derivación se realizo para tiempo discreto, tambien es valida para tiempo continuo.2 2

A continuación se presentará un resultado que es central para el desarrollo de la derivación del modelo

Proposition 2 Si S está distribuida Log-Normal y la desviación es σ, entonces se cumple: E[M ax(S − X, 0)] = E(S)N (d1 ) − XN (d2 ) donde:

d1

=

d2

=

(ln[E(S)/X] + σ 2 /2) , σ 2 (ln[E(S)/X] − σ /2) . σ

Demostración. Definiendo a g(S) como la densidad de S, Z∞ E[M ax(S − X, 0)] = (S − X)g(S)dS. X

La esperanza de ln(S) es m = ln[E(S)] − σ 2 /2. Definiendo una variable Q talque

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Q=

ln(S) − m ., σ

la función densidad de Q, h(Q) es igual a la Normal estándar. Redefiniendo la esperanza de M ax(S − X, 0), se obtiene

E[M ax(S − X, 0)] =

Z∞

(eQs+m − X)h(Q)dQ,

(ln(X)−m)/σ

=

Z∞

e

Qs+m

h(Q)dQ −

(ln(X)−m)/σ

Z∞

Xh(Q)dQ.

(ln(X)−m)/s

Ahora bien, operando en el primer sumando se obtiene:

2 1 eQσ+m h(Q) = eQσ+m √ e−{Q} /2 , 2Π 1 {2Qσ+2m−Q2 }/2 = √ e , 2Π 2 2 1 = √ e{[−(Q−σ) +2m+σ ]/2} , 2Π 1 −(Q−σ)2 /2 m+(σ2 /2) = √ e e , 2Π

= em+(σ

2

/2)

h(Q − σ).

Por lo tanto

E[M ax(S − X, 0)] = e

Z∞

m+σ 2 /2

h(Q − σ)dQ

(ln(X)−m)/σ

−{X

Z∞

h(Q)dQ},

(ln(X)−m)/σ

donde Q − σ es una nueva variable aleatoria con densidad Normal estándar. La primer integral es igual a

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1 − N[

(ln(X) − m) − σ] σ

o

N [σ −

ln(X) m + ]. σ σ

Sustituyendo m (m = ln[E(S)] − σ2 /2), en la expresión previamente obtenida, ln N [(

³

E(S) X

´

− 12 σ 2 )

σ

] = N [d1 ].

La segunda integral es igual a (ln (ln(X) − m) N [− ] ⇒ N[ σ

³

E(S) X

´

σ

+ 12 σ 2 )

] ⇒ N [d1 − s] ⇒ N [d2 ].

Finalmente, E[M ax(S − X, 0)] = eln[E(S)] N (d1 ) − XN (d2 ), = E(S)N (d1 ) − XN (d2 ). Una vez que se conoce este resultado podemos encontrar el precio de un call a tiempo t haciendo el pricing como si se estuviera en un mundo de individuos neutrales al riesgo, eso es descontando el payoof por la tasa libre de riesgo, C(·) = Et [e−r(T −t) M ax(ST − X, 0)] = e−r(T −t) {Et (ST )N (d1 ) − XN (d2 )}. Como ST es un proceso con distribución Log-Normal. Y además como el retorno esperado del stock bajo el supuesto de que los agentes son neutrales al riesgo es E(ST ) = σ2 Se(r+ 2 )(T −t) , se obtiene C(S, T − t) = SN (d1 ) − Xe−r(T −t) N (d2 ).

(6)

La ecuación (6) es el modelo Black-Scholes para un Call, con d1 y d2 ahora definidos como

d1 d2

¡S¢

+ (r + 12 σ2 )(T − t)} √ , σ( T − t) √ = d1 − σ( T − t). =

{ln

X

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Ahora que se comentó la posibilidad hacer el pricing de las opciónes como si se estuviera en un mundo de individuos neutrales al riesgo la derivación del modelo Black-Scholes, (i.e., la solución a la ecuación (4) ), es mucho más fácil. Para presentar el modelo BS se tomará como condición terminal el pay-off de un call, por ende la ecuación (4) deja de ser para una opción en general, y pasa a ser de un Call.

Pricings3

2

A continuación se presentan a modo de ejemplo tres casos distintos de pricing. Caso (1). El Stock o underlying asset paga dividendos en el periodo entre el momento en que se escribio la opción y el mimento en que lla expira, (aquí se estaría levantando el supuesto número 3 del modelo BS). Intuitivamente lo que ocurre es muy simple: el entregar dividendos quiere decir que el activo se va desprendiendo de “pedazos” de su valor a lo largo de un intervalo de tiempo anterior al expiration date. Como los dividendos se pagan antes del expiration date no los percibe el poseedor del call, por lo tanto hay que ajustar el valor del Call cuando el underlying paga dividendos a lo largo de la duración del call Si suponemos que los dividendos se pagan en forma continua como un porcentage del valor del call, es decir, que en un tiempo dt el Stock paga una cantidad por D = δS donde δ es menor a uno, la ecuación (2) de la sección 6.2, se transforma en 1 dΠ = ct dt + cS dS + σ 2 S 2 cSS dt − ∆(dS + δSdt). 2 La fórmula para un Put es P (S, T − t) = −SN (−d1 ) + Xe−r(T −t) N (−d2 ). 3

Aparte de los ejemplos aquí presentados existen muchos más casos de pricing de otras opciones como por ejemplo opciones en futuros, commodities, currency, etc. Pero el criterio para determinar el precio del contrato es igual para todos. Esto, entre otras cosas, es lo que hace comprender la logica de la derivacion del modelo de BS tan importante.

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Si eliminamos el riesgo y lo igualamos al retorno de dicho portafolio (c − ∆S) a la tasa libre de riesgo obtenemos la siguiente ecuación (que es semejante a la ecuación (6)) 1 ct + ( σ 2 S 2 )cSS + (r − δ)ScS − rc = 0. 2 Caso (2). La opción trata sobre un intercambio de activos en un momento determinado en futuro. Por ejemplo la posibilidad de intercambiar acciones de IBM por acciones de Toshiba en el futuro. El individuo que compra la opción va solo a estar intreresado si a tiempo T las acciones de Toshiba son mas valiosas. Denotando la opción como F (S1 , S2 ; t) donde Si denota el underlying i y asumiendo que dSi = µi dt + σ i dzi para i = 1, 2., Si y E(dz1 dz2 ) = ρdt. se forma el siguiente portafolio P = F (·) − ∆1 S1 − ∆2 S2 . Al igual que antes interesa ver el cambio del portafolio, entonces dP = dF (·) − ∆1 (µ1 S1 dt + σ 1 S1 dz1 ) − ∆2 (µ2 S2 dt + σ 2 S2 dz2 ), Aplicando el Lema de Ito para encontrar dF (·) 1 dF (·) = FS1 (µ1 S1 dt + σ 1 S1 dz1 ) + FS2 (µ2 S2 dt + σ 2 S2 dz2 ) + FS1 S1 S12 σ 21 dt + 2 1 + FS2 S2 S22 σ 22 dt + FS1 S2 S1 S2 σ 1 σ 2 ρdt + Ft dt, 2 Para eliminar el riesgo del portafolio elegimos ∆1 y ∆2 tal que 13

(FS1 − ∆1 )σ 1 S1 dz1 + (FS2 − ∆2 )σ 2 S2 dz2 = 0, o sea FS1 = ∆1 , FS2 = ∆2 . Sustituyendo los valores en el portafolio de arbitrage obtenemos 1 1 dP = S12 FS1 S1 σ 21 dt + S22 FS2 S2 σ 22 dt + FS1 S2 S1 S2 σ 1 σ 2 ρdt + Ft dt. 2 2 y dado que ya se eliminó el riesgo, por arbitraje, el cambio en el valor del portafolio debe ser igual a una suma invertida con la tasa libre de riesgo, obteniendo. 1 1 Ft + ( σ 21 S12 )FS1 S1 + ( σ 22 S22 )FS2 S2 + (σ 1 σ 2 ρS1 S2 )FS1 S2 − rP = 0, 2 2 donde P = F (·) − FS1 S1 − FS2 S2 . Ahora bien, para encontrar la solución a la ecuación definiremos

X≡

S1 , S2

ademas suponemos que la opción F (·) es homogenea, es decir que F (S1 , S2 , t) = S2 f (X, t). Una vez hecho esto definimos unas equivalencias para las derivadas parciales de la solución inicial

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FS1 = fX (X, t), 1 FS1 S1 = fXX (X, t), S2 FS2 = f (X, t) − XfX (X, t), X2 FS2 S2 = fXX (X), S2 X FS2 S1 = − fXX (X, t), S2 Ft (·) = S2 ft (X, t). Reemplazando estas expresiones en 1 1 Ft + ( σ 21 S12 )FS1S1 + ( σ 22 S22 )FS2S2 + (σ 1 σ 2 ρS1 S2 )FS1S2 − rP = 0, 2 2 donde P = F (·) − FS1 S1 − FS2 S2 . Reemplazando por las expresiones obtenidas con anterioridad obtenemos 1 1 1 X2 X S2 ft (X, t) + ( σ 21 S12 ) fXX (X, t) + ( σ 22 S22 ) fXX (X) − (σ 1 σ 2 ρS1 S2 ) fXX (X, t) − rP = 0, 2 S2 2 S2 S2 donde P = S2 f (X, t). − fX (X, t)S1 − (f (X, t) − XfX (X, t))S2 . Si se divide la expresion superior por S2 y se reemplaza X ≡ ecuación se reduce a 1 2 (σ − 2σ 1 σ 2 ρ + σ 22 )X 2 fXX (X, t) + ft (X, t) = 0. 2 1 Con la condición terminal f (X, T ) = max(X − 1, 0).

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S1 , S2

esta

Caso (3). Aquí se realiza un contrato sobre un factor macroecónomico que es exógeno, por ejemplo: la inflación (Xt ) . Se asume que la variable estado Xt sigue un proceso de Brownian Motion Geométrica. dX = µdt + σdz. X La característica principal de este método de hacer el pricing es que no podemos armar una cartera comprando o vendiendo inflación por lo tanto se realiza el pricing utilizando 2 opciones distintas sobre el underlying. Para encontrar el precio del call construimos un portafolio con c1 (X, t) y c2 (X, t) donde dci = µci dt + σ ci dz, ci

para i = 1, 2

y dc2 dP dc1 + (1 − α) . =α P c1 c2 Por lo tanto, el cambio del portafolio es igual a: µc

µc

z }|1 { z }|2 { dP 1 1 1 2 1 2 2 2 = [α (c1t + Xc1X µ + X c1XX σ ) + (1 − α) (c2t + Xc2X µ + X c2XX σ )]dt + Φdz, P c1 2 c2 2 donde Φ = ασ c1 + (1 − α)σ c2 . Para eliminar el riesgo Φ debe ser cero.por lo que obtenemos: α=

σ c2 . (σ c2 − σ c1 )

Como ya se eliminó el riesgo entonces, por Principio de Arbitraje:

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dP = rdt ⇒ P [αµc1 + (1 − α)µc2 ]dt = rdt ⇒ σ c2 σ c2 ( µc1 + (1 − .)µ )dt = rdt. (σ c2 − σ c1 ) (σ c2 − σ c1 ) c2 ⇒

(µc1 − r) (µ − r) = c2 = λ. σ1 σ2

Aquí Lambda es el precio del riesgo de cada contrato.Todos los λ‘s son iguales entre sí. Por el Lema de Ito sabemos que

σi =

1 σ X XCX . C

Ademas sabemos que

µi =

1 1 (Ct + XCX µ + CXX σ 2X X 2 ), C 2

sustituyendo obtenemos ( C1 (Ct + XCX µ + 12 X 2 CXX σ 2 ) − r) = λ, 1 σXCX C 1 Ct + (µ − λσ X )XCX + CXX σ 2 X 2 − Cr = 0. 2 Si observamos la ecuación del pricing la diferencia con la ecuación diferencial de BS es que en vez de rXCX obtenemos (µ − λσ X )XCX pues no podemos hacer hedge con un activo para eliminar el precio del riesgo. Aqui λ debe ser obtenido independientemente.

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