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MODELIZACION MATEMATICA PROGRAMACION LINEAL Teoría y problema de aplicación de la programación lineal sencillo COCA, PABLO GENARO 06/09/2014 Correo electrónico:[email protected]

INDICE:

1- Modelo 2- Modelo matemático 3- Modelos matemático para resolver situaciones reales 4- Programación lineal 5- Problema de aplicación

MODELO: Un modelo es una representación gráfica, esquemática o analítica de una realidad, que sirve para organizar y comunicar de forma clara los elementos que la conforman y sus relaciones. Los modelos constituyen la base para estudiar y entender problemas propios de muchos áreas: economía, ingeniería, medicinal, química, física, psicología, etc.  Un mapa es un modelo de la superficie de la tierra.  Un modelo o una modelo es una persona que posa para pintores o fotógrafos o exhibe una colección de ropa.  Un circuito electrónico que describe una fuente de voltaje es un modelo esquemático.  Las réplicas de aviones, automóviles, barcos, e incluso de muñecos de superhéroes, pero en una escasa mucho menor, son modelos de los mismos.  Maquetas y planos de edificios, centros comerciales, casas o complejos de oficinas son modelos que se usan para ver exactamente como se verá la “estructura real” cuando se construya.  Un modelo verbal es una narración con palabras que se describe un paisaje o una compleja descripción de un negocio (relata y establece el escenario actual de la empresa, las metas y objetivos a seguir, etc.) En muchas ocasiones es de gran interés no solo representar la situación sino el conocimiento de lo que ocurrió en las mismas cuando las variables involucradas evolucionen . Aquellas representaciones en las que se explicitan las relaciones entre las variables mediante formulas, ecuaciones y uso de números en general se denominan modelos matemáticos. MODELOS MATEMATICOS Un modelo matemático es la representación simplificada de la realidad, mediante el uso de funciones que describen su comportamiento, o de ecuaciones que representen sus relaciones. El proceso de construcción de un modelo matemático podría describirse en cuatro etapas: OBSERVAR EL MUNDO REAL Es un primer momento, debemos observar y analizar los componentes de la situación problema real, lo que permitirá seleccionar aquellas características

relevantes de los aspectos a analizar, seleccionar el conjunto de variables que sintetizan el comportamiento del problema, identificando las variables externas al mismo. DESCRIPCION COLOQUIAL DEL MODELO PRELIMINAR Una vez cumplida la observación se elabora el modelo preliminar en el que debemos explicitar de manera clara y simplificada la relación matemática que vincula a las variables presentes en la situación- problema. MODELO MATEMATICO Utilizando las herramientas matemáticas: definiciones, algoritmos, propiedades y teoremas debemos construir las expresiones matemáticas: funciones, ecuaciones, inecuaciones, etc. Que relacionen las variables que describen la situación- problema, esto es: Realizar el modelo. RESULTADOS A partir de los valores medidos para las variables que están presentes en el modelo debemos realizar el calculo con el modelo construido. Estos resultados deben contrastarse, evaluarse e interpretarse considerando los valores estimados u observados en la realidad. Esta etapa brinda la posibilidad de decidir la bondad del modelo desarrollado y permite un nuevo ajuste para mejor representación de la realidad. MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL: Es una representación simbólica de la realidad que se estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma una expresión de lógicas matemáticas, conteniendo términos que significan contribuciones a la utilidad o el costo en la función objetivo del modelo. Y al consumo de recursos disponibles en las restricciones. Modelo de maximización: Cuando se desea maximizar las utilidades, producción, Ventas, Beneficio, Rentabilidad, Publicidad, etc. Modelo de minimización: Cuando se desea minimizar o disminuir los: Costo, perdidas, paradas, desperdicios, distancias, etc. Problema: Líneas de producción:

Un empresario tiene 80kg de acero y 120 kg de aluminio, y quiere fabricar dos modelos de bicicletas de paseo y bicicletas de montaña, para venderlas en el mercado a$2000 y $ 1500 respectivamente cada modelo, a fin de obtener el máximo beneficio. Para la bicicleta de paseo empleara 1kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la bicicleta de montaña usara 2kg de ambos materiales. Formular el modelo matemático de programación lineal, que permita determinar la cantidad optima de bicicletas a producir, para obtener el mayor beneficio económico. FORMULACION DEL MODELO: Proceso 1: X1: bicicletas de paseo: 1kg/unidad fabricada, de acero, 3kg/unidad fabricada, de aluminio, para la venta a $2000 Proceso 2: X2: bicicletas de montaña: 2kg/unidad fabricada, de acero, 2kg/unidad fabricada, de aluminio, para la venta a $1500. Disponibilidad: 80kg de acero y 120kg de aluminio. Definición de variables: X1: Cantidad de bicicletas de paseo a fabricar X2: Cantidad de bicicletas de montaña a fabricar Función objetivo: La función objetivo será maximizar: Z= 2000X1 + 1500X2 Definición de restricciones: Restricción del consumo de acero en la fabricación de bicicletas: 1X1 + 2X2 ≤80 Restricción del consumo de aluminio en la fabricación de bicicletas: 3X1 + 2X2 ≤120 La condición de no negatividad: La producción de cada modelo de bicicleta puede ser cero o mayor que cero: X1, X2≥0

El modelo matemático de programación lineal será: Maximizar: Z= 2000X1 +1500X2 Sujeto a:

X1 + 2X2 ≤ 80 3X1 + 2X2 ≤ 120 X1, X2 ≥0

Toma de decisiones: Alternativa 1: Producir solo bicicletas de paseo y no de montaña, significa hallar X1 haciendo X2=0 Reemplazando en la primera restricción: X1 +2X2≤ 80 X1 + 2(0) ≤ 80 luego: X1≤80 Reemplazando en la segunda restricción: 3X1 +2X2 ≤ 120 3X1 +2(0) ≤ 120

luego: X1≤ 40

Tomamos el valor de X1 que cumpla en ambas restricciones, y debe ser el mínimo de los valores obtenidos, o sea: X1=40 Alternativa 2: Producir solo bicicletas de montaña y no de paseo, significa hallar X2 haciendo X1=0 Reemplazando en la primera restricción: X1 + 2X2 ≤ 80 O + 2X2 ≤ 80, luego: X2 ≤ 40 Reemplazando en la segunda restricción: 3X1 + 2X2 ≤ 120 3(0) + 2X2 ≤ 120

luego: X2 ≤ 60

De nuevo tomo el menor valor obtenido, o sea: X2 =40 Beneficio económico de fabricar bicicletas de paseo y no de montaña: X1=40 , X2=0 Z= 2000X1 + 1500X2, entonces: Z= 2000.40 + 1500. 0 = $80000 Beneficio económico de fabricar solo bicicletas de montaña y no de paseo:

X2=40 , X1= 0 Z = 2000X1 + 1500X2,

luego: Z= 2000. 0 + 1500. 40 = $60000

Toma de decisiones: Como la función objetivo es maximizar la ganancia, generada por las ventas, la fábrica toma la decisión de fabricar solo bicicletas de paseo, por ser el modelo que va a generar mayor ganancia. BIBLIOGRAFIA: Apuntes del módulo de Modelización matemática Modelos matemáticos: Mónica Bocco El cálculo de Leithold