Modélisation Des Mécanismes

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

MODELISATIONDES MECANISMES 1. Définitiond’un mécanisme : Un mécanisme est ensemble organisé de pièces mécaniques, reliées entre elles par des liaisons, dont la finalité est le plus souvent d’établir techniquement une relation ou une loi d’entrée/sortie (mouvement/effort)répondant àun besoindésiré. Àun mécanismeest leplus souventassocié lanotion demouvement, maisli peutaussi faire l’objetd’une étudeen situationstatique. Dansun telmécanisme, latransmission desefforts s’effectuepar dessurfa cesde contactentre piècesliées. 2. Modélisationd’un mécanisme : D’unemanière générale,la réalitéd’un telmécanisme estdifficile, voireimpossible, à analyser.Son étuderequiert doncla définitiond’un modèlesur lequelpourront êtreappliquées les loisrelatives auxdifférents domainesscientifiques (statique,cinématique, dynamique,RDM) etainsi, prévoirou justifierson comportement(isostatisme, hyperstatisme),ses performances, ainsique ledimensionnement deses constituants. Leschéma cinématique,le schémaarchitectural, legraphe deliaisons associéesà chacun d’euxet enfinle schématechnologique, constituentles outilsfondamentaux decette modélisation. 2.1. Méthoded'analyse Il est indispensable de faire une analyse et une représentation logique, conforme à sa structure. Pourcela, ondispose d'outilsappropriés :  Legraphe destructure (ougraphe desliaisons) etle schémacinématique dansle casd'une étudegéométrique et/oucinématique ;  Le graphe des liaisons et efforts, et le schéma d'architecture dans le cas d'une étude des effortsdans lesliaisons, enstatique oudynamique. 2.1.1.Modélisation cinématique : L’objectifconsiste àfaire apparaîtreclairement lesmobilités contenuesdans unmécanisme en vued’une étudecinématique. Pour cela,il estnécessaire deparcourir lesétapes suivantes : a)

Rechercher les liaisons encastrement en s’appuyant sur le repérage des éléments

assemblésà l’aided’organes filetés,sur desindications dudessin d’ensembleprésentant un caractère d’information fonctionnelle (par exemple serré, H7p6,etc.) ou d’autres types d’assemblagescomplets symbolisés(soudures, etc.). b)

Regrouperles solidesn’ayant aucunmouvement relatifles unspar rapportaux autres

en sous ensembles cinématiquement liés ; ceci s’effectue en recherchant les éléments en assemblages complets (liaison encastrement) par l’intermédiaire d’organes filetés, d’un

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collage,d’une soudure…etc. Onpeut alorsdistinguer cessous -ensembles pardes couleurs différenteset désignerchacun d’euxpar ler epèrede lapièce laplus importante. c)

Analyser la géométrie des surfaces de contact entre les sous-ensembles

cinématiquementliés. d)

Modéliser les liaisons entre les sous-ensembles cinématiquement liés, en les

considérant isolément deux par deux et à partir des mouvements relatifs possibles et compatiblesavec lagéométrie dessurfaces encontact. Cecipermet deconstruire legraphe deliaisons (pointde vuecinématique) structuréde la manièresuivante :  Chaquegroupe cinématiquementlié constitueun nœud dugraphe précisépar sonnuméro cerclé.  Chaqueliaison estreprésentée parun arcauquel ilest possibled’attacher un certainnombre d’informations(type deliaison, centrede laliaison, repèreidéal associéà cetteliaison…).  Construirele schémaciném atiqueen respectantles règlessuivantes : - Les pièces constitutives d’un groupe cinématiquement lié ne sont pas distinguées et sont repéréespar leurnuméro ; - Les liaisons entre les groupes cinématiquement liés sont représentés conformément à la normeNF E04 -015. - Les positions géométriques relatives des ces liaisons sont respectés : parallélisme, perpendicularité,coaxialité… ; - Lesprincipaux paramètressont respectés,en particulierles paramètresd’entrée -sortie. Selonla complexitédu mécanisme,le schémacinématique peutêtre planou spatial Définitionsutiles : Onappelle groupecinématiquement lié unensemble desolides liéspar encastrement.Par conséquent,cet ensemblesera égalementreprésenté parun seul solide. Onappelle graphedes liaisons,u nereprésentation plane quipermet dedécrire l'agencement desliaisons entreles solidesconstituant lemécanisme . Onappelle schémacinématique d'unmécanisme, unereprésentation géométriquesimplifiée despièces etdes liaisonsqui leconstituent etqui faitapparaître clairement sacinématique . Onappelle classed’équivalence unensemble ouun sous-ensemblefonctionnel depièces qui n’ontaucun mouvementles unspar rapportaux autres.

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2.2. Exemplesd’application : Exemple1 :

1) Laliste dessous -ensemblescinématiquement liés :(Coloriage) S1={9}, S2={1, 5},S 3={6, 7,8}, S4={2, 3} 2) Établirle graphede liaisonde cemécanisme : Glissièred’axe Y 1+5 9

Pivotd’axe X

Pivotglissant

2+3

6+7+8

Ponctuelle

3) Établirle schémacinématique :

Pourles dessinsde définitionssuivants 1) Établirles sous-ensemblesciné matiquementliés, 2) Établirle graphede liaison, 3) Établirle schémacinématique,

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2.1. 2.Modélisation architecturale : Celle ci s’effectue dans le but de rechercher des actions mécaniques s’exerçant sur un mécanisme et notamment les actions de liaisons. Il convient alors de s’appuyer sur un modèle respectantfidèlement laréalité desliaisons quene lepermet pasle schémacinématique. Onparcourt aussiles étapessuivantes : a)

Regrouperles solidesn’ayant aucunmouvement relatifles parrapport auxautres ensous -

ensemblescinématiquement liés.Cette réflexionest identiqueà celledéjà faitedans lecas dela modélisationcinématique. b)

Modéliserles liaisonsentre lessous -ensemblescinématiquement liéscomme celaa étédéjà

proposéors dela modélisationcinématique, maisdans cecas, ilest nécessairede bienremarquer quetoutes lesliaisons élémentairesdoivent apparaitrepuisque l’objectif decette modélisationest deprocéder àune étudestatique oudynamique afinde déterminerles actionsen cesliaisons. Le graphedes liaisons(point devue architectural)présente lamême structureque leprécédent, mais ilcontient unnombre desliaisons plusimportant c)

Construire le schéma architectural (schéma distributeur des liaisons) en respectant les

mêmesrègles quecelles énoncéespour leschéma cinématique.

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Exemple : Soitle réducteurde vitessesuivant : a)

Établirle graphede liaisons(point devue cinématique),

b)

Fairele schémacinématique duréducteur,

c)

Établirle graphede liaisons(point devu earchitectural),

d)

Faireson schémaarchitectural.

Ondonne :1 :Carter, 2 :arbre d’entrée,3 :arbre desortie. Solution : a)

Graphede liaisons(point devue cinématique) :

1 Pivot

Pivot

3

2 Appuiplan

b)

Schémacinématique duréducteur devitesse :

c)

Graphede liaisons (pointde vuearchitectural) :

1

L'1,2

L'1,3

(linéaire annulaire)L''

1,2

L''1,3

(linéaire annulaire)

(rotule )(rotule ) 2

3

L2,3 ( Appuiplan ) d)

Schémaarchitectural duréducteur :

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2.1. 3. Leschéma technologique : Ilpermet derendre comptede solutionstechnologiques adoptéesen mettanten évidenceles composants utilisés et toutes les surfaces de liaisons appartenant aux différentespièces d’unmécanisme. L’utilisation de cet outil est nécessaire, avant de passer au dessin d’ensemble,afin derechercher dessolutions partielles,de lescomparer etd’effectuer unchoix.

Exemplede schématechnologique relatifà unerelation pivot

3. Liaisonscomposées : Uneliaiso ncomposée entredeux piècesest uneliaison obtenueà partirde plusieursliaisons Élémentde manipulateuret graphede liaisonscorrespondant

élémentaires. Onpeut distinguerdeux cas : a)

La liaison composée est constituée de plusieurs

liaisons élémentaires disposées en série comme montré dansl’exemple suivant :

b)

La

constituée

liaison de

composée

plusieurs

est

liaisons

élémentaires disposées en parallèle entre les deux pièces comme le montrela figuresuivante etle graphe desliaisons correspondant : 3.1. Liaisonéquivalente :

Exemplede liaisonen parallèle

La liaison équivalente (Léq) à la liaison composée entre deux solides, est la liaison dont le comportementest identiqueà celuirésultant del’association desliaisons élémentaires,c'est -à-dire, quiautorise lemême mouvementrelatif entreles deuxsolides. 1.

Analyse technologique : 1)

Cas de liaisons en série : Reprenons l’élément du manipulateur.

L’objectifest rechercherla liaisonéquivalente (Léq) entre(2) et(0) : Unesimple analysedes mouvementsfait ressortirque : Lamobilité enrotation Rzde (2)/(0)existe carelle estdéjà autoriséedans le mouvementde (1)/(0). La mobilité en translation Ty de (2)/(0) existe puisqu’elle découle du mouvementde (2)/(1). Enconclusion, laliaison (Léq) de(2)/(0) possèdedeux mobilités :Rz etTy.

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Ainsi,l’objectif d’uneassociation deliaisons en sérieest d’accroitreles mobilitésd’un solidepar compositionde mouvementsen interposantune ouplusieurs piècesintermédiaires. a) Deuxapplications fréquentes : Associationen séried’une liaisonplane etd’une liaisonrotule :

Tx Ty Tz Rx Ry Rz

Mobilitésa utoriséespar lesliaisons élémentaires Autoriséepar L 1 Autoriséepar L 1 Interditepar L 1 etL 2 Autoriséepar L 2 Autoriséepar L 2 Autoriséepar L 1 etL 2

Mobilitésde la liaisonéquivalente Autorisée Autorisée interdite Autorisée Autorisée Autorisée

D’oùla liaisonéquivalente estune  liaisonponctuelle denormale O z .

Associationen séried’une liaisonrotule etd’une liaisonpivot glissant :

Tx Ty Tz Rx Ry Rz

Mobilitésautorisées par lesliaisons élémentaires interditepar L1 etL 2 Autoriséepar L 2 Interditepar L 1 etL 2 Autoriséepar L 1 Autoriséepar L 1 etL 2 Autoriséepar L 1

Mobilitésde la liaisonéquivalente interdite Autorisée interdite Autorisée Autorisée Autorisée

D’où laliaison équivalenteest une  liaisonlinéaire annulaired’axe O x .

Remarques : Uneassociation deliaison ensérie apour avantagede remplacerdes contactsfragiles detype ponctuel (première application) ou linéaire (deuxième application) par des contacts surfaciques LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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technologiquement plus intéressants puisqu’ils permettent de réduire les pressions et donc d’augmenterla fiabilitéde laliaison. -

Si une même mobilité est autorisée par chacune des liaisons élémentaires (Rz pour la

premièreapplication etRy pourla deuxièmeapplication), ily aapparition d’unemobilité interne d’unepièce contenuedans laliaison ensérie. Celle-cipeut êtreune rotationou unetranslation, sans entraineraucun mouvementdes autrespièces . -

Laliaison équivalenteà unensemble deliaisons élémentairesdisposées ensérie esttoujours

isostatique. 2)

Casd’une liaisonen parallèle :

Reprenonsl’exemple précédentsur lesliaisons enparallèle pourrechercher laliaison entre(1) et(0). Unesimpl eanalyse dechaque liaisonélémentaire faitressortir que : -

La liaison L1 (pivot glissant) laisse subsister deux mobilités et supprime donc les quatre

mobilités :Tx, Tz,Rx etRz. -

Laliaison L2(ponctuelle) permetde supprimerla mobilitéTy. Enconséque nce,la liaison

(Léq) entre(1) et(0) estun pivotpuisqu’il nereste plusque lamobilité Ryentre cesdeux pièces. Ainsi,contrairement d’uneliaison ensérie, uneliaison composéede plusieursliaisons élémentaires disposéesen parallèlepermet dedimi nuerle nombrede mobilitésentre deuxpièces. Cette suppression de degrés de mobilités s’effectue par l’intermédiaire d’une transmission des actionsmécaniques entreles deuxsolides, enraison del’existence decertaines composantesdu torseurtransmiss ible,sachant que : -

Unemobilité interditeen translationselon unaxe correspondà unevaleur nonnulle dela

composantede l’élémentsomme dutorseur. -

Une mobilité interdite en rotation autour d’un axe résulte d’une valeur non nulle de la

composantede l’élémentmoment dutorseur seloncet axe. Il en résulte que, selon le nombre de contacts, la liaison composée peut être isostatique ou hyperstatique : 

Une liaison est isostatique si le nombre d’inconnues du torseur transmissible associé est égal au

nombre d’équationsfournies parle principefondamental. 

Une liaison est hyperstatique si le nombre d’inconnues du torseur transmissible est supérieur au

nombred’équations fourniespar leprincipe fondamental.

On vous propose ci-dessous deux exemples de réalisation par des liaisons élémentaires disposéesen parallèled’une liaisonpivot.

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2.

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Méthode analytique : Soient :L 1,L 2,L 3,…, L n : n liaisonscomposant unmécanisme et

Léq leursliaisons équivalente.

 u      v  :le torseurcinématique associéà laliaison équivalentedes n liaisons,   w  R X   Y  Z 

L  M  :le torseurtransmissible associéà laliaison équivalentedes n liaisons, N R

i ui   i  i vi  :le torseurcinématique associéà laliaison i,  w  i i R X i i  Yi Z i

Li   M i  :le torseurtransmissible associéà laliaison i. Ni  R

2.1. Liaisonsen parallèle : a) Torseur statique : le torseur statique de la liaison équivalente est la somme de tous les n

torseursstatiques desn liaisons ;on alors :    i . i 1

Parconséque nt,pour qu’unecomposante dutorseur dela liaisonéquivalente nesoit pasnulle, ilsuffit qu’uneseule composantecorrespondante d’uneliaison (Li)ne soitpas nulle. b) Torseurcinématique : ona i    1  2 ... i ... n  c) Exemple : supposonsqu’il ya entredeux solides(S1) et(S2) deuxliaisons parallèles :  (L1) :liaison pivotglissant d’axe(O, x ),  (L2) :liaison ponctuellede normale(O, x ). Lestorseurs cinématiquesde cesdeux liaisonss’écrivent aupoint O,dans labase deR :  1 u1   2    1 0 0  et 2 2 0 0    R 2

0  v2  etcelui dela liaisonéquivalente estde laforme : w2  R

1 2 0 2 0 2

 u     d’oùle torseurcinématique de Léq   v  onaura lesrelations suivantes : u  u  0 1  w   R v 0 v 2 w 0 w2  seraalors celuid’une liaisonpivot d’axe(O, x ), LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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 0    0 0  0 0  R Remarque : les composantes de mouvements existant entre (S1) et (S2) sont celles qui appartiennentsimultanément àtoutes lesliaisons. d) Hyperstatisme et mobilité : le nombre total d’inconnues statiques Ns introduit par les n n

liaisonsen parallèleest : N s nsi i1

n

La relation    i donne six équations scalaires pour déterminer les Ns inconnues i1

statiques en fonction des composantes X, Y, Z, L, M, N du torseur statique de la liaison équivalente. Soitr s lenombre d’équationsscalaires indépendantes( rs 6 ) Cer s s’appellele rangde lamatrice associéeà cesyst èmede sixéquations àNs inconnues, c'est-à-direl’ordre d’undes déterminantsprincipaux quel’on peutextraire decette matrice. Définitions : ledegré d’hyperstatismeh dela liaisonde laliaison équivalenteaux nliaisons enparallèle estégal aunom bretotal Nsd’inconnues statiquesintroduit parles liaisons,moins lenombre rs derelations indépendantes entreces inconnues : h N s rs Si h=0 laliaison équivalenteest dite isostatique. Si h>0 laliaison équivalenteest dite hyperstatiqued’ordre h. Les h inconnuesstatiques quine peuventpas êtrecalculées enfonction descomposantes X, Y, Z, L, M, N du torseur statique de la liaison équivalente sont appelés inconnues hyperstatiques. De la relation    1  2 ... i ... n , on constate que le nombre rs représente aussile nombrede relationsde nullitéindépendantes imposéesaux composantes, ,  ,u, v,w dutorseur cinématiquede laliaison équivalente. Définitions :le degréde mobilité m dela liaisonéquivalente aux n liaisonsen parallèleest égalà 6(le nombrede degréde libertéde laliaison libre)moins lenombre rs derelations de nullité indépendantes imposées aux composantes du torseur cinématique de la liaison équivalente. m 6 rs Si m=0 lali aisonéquivalente estdite complèteou rigide, Si m>0 laliaison équivalenteest ditemobile àm degrésde liberté.  e) Exempled’application : considéronsun arbre(S 2),d’axe (O, x )monté dansun bâti(S 1) par l’intermédiaire de deux liaisons (L1) et (L2). La liaison (L1) est une liaison linéique   annulaired’axe (O, x ),la liaison(L 2)est uneliaison pivotd’axe (O, x ) LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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1.

Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

Déterminer le torseur statique de la liaison

équivalenteaux deuxliaisons enparallèle (L 1)et (L2). 2.

Déterminer le degré d’hyperstatisme de la liaison

équivalenteainsi queles inconnueshyperstatiques. 3.

Par une étude cinématique, déterminer le torseur

cinématiquede laliaison équivalenteaux deuxliaisons (L1)et (L2). 4.

pour que la liaison équivalente aux deux liaisons (L1) et (L2) soit une liaison pivot  isostatiqued’axe (O, x ),proposer plusieursmodifications possiblesde laliaison (L2),la liaison(L1) restantinchangée. Réponses : 1)

  Soit R(O, x , y , z )un repèrelié à(S 2).Les torseursstatiques desliaisons (L1)et (L2)ont un

pointO, dansla basede R,leur formeparticulière conservée : 0 0 X 2    Soient  1 Y1 0  le torseur statique associé à (L1) et  2 Y2 Z 0  Z 1 O 2

0   M 2  . D’où le torseur N2  O

X  statiqueassocié àla liaisonéquivalente esttel que :    1  2 avec   Y Z 

L  M N O

X X 2 Y Y Y 1 2   Z Z1 Z 2 On obtient alors les six équations suivantes :  ce qui donne le torseur statique de la L 0 M M 2   N N2 X  liaisonéquivalente :   Y Z  2)

0   M  cetorseur estcelui d’uneliaison pivotd’axe (O, x ) N  O

Ledegré d’hyperstatismede laliaison équivalenteest h N s rs

Or Ns ns1 ns2 2 5 7 et le nombre d’équations indépendantes permettant le calcul des inconnuesstatiques desliaisons (L 1)et (L2)en fonctionde X,Y,Z,L,M,Nest rs=5 cequi donne h=2 d’oùnotre systèmeest hyperstatiquee tles inconnueshyperstatiques dela liaisonéquivalente sontY 1 ouY 2 etZ 1 ouZ 2,ce quidonne aussile degréde mobilitéde laliaison équivalenteest m=6-rs=6-5=1. 3)

Lestorseurs cinématiquesassociés àchaque liaison(L 1)et (L2)sont respectivement :

1 u1  2   1 1 0  et 2  0  0  0 1   O LicenceAppliquée enGéni eMécanique

0  u    0 etcelui de Léq est    v      0O  wO 15

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Lacompatibilité de   avec 1imposev=0, w=0,

Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

Lacompatibilité de   avec  2 impose =0,  =0,u=0, v=0,w=0, d’oùon obtientcinq relationsde nullité indépendantes qui sont imposées aux composantes du torseur cinématiques de la liaison équivalente. Ce nombre est égal à r s ; nombre de relations indépendantes entre les inconnues

 0    statiquesdes liaisons.Par suitele torseurcinématique dela liaisonéquivalente est :   0 0 0 0  O  quiest celuid’une liaisonpivot d’axe(O, x ) 4)

La liaison équivalente conservant le même degré de mobilité m=6-rs=1, on en déduit que

rs=5.si laliaison estisostatique : h n s1 n s2 0 . Comme ns1=2, la liaison (L2)

doit introduire ns2 3 inconnues statiques indépendants

(liaisonsà 3degrés deliberté). Pour trouverune liaison(L 2)rendant laconstruction isostatique,il suffitde supposer Y2=0et X 2  Z 2=0.Alors letorseur statiquede laliaison (L2)devient :  2 0 0 

0   M2 . N2  O  Cetorseur statiqueest celuid’une liaisonappui plande normale(O, x ),d’où lapremière solution est :

Lestorseurs statiquesdes (L1)et (L2)précédents ontleur formeparticulière conservéeau mêmepoint Oet dansla mêmebase deR. Pourobtenir uneautre constructionisostatique ilfaut chercherune liaison(L 2)dont letorseur statiquea saforme particulièreen unautre pointque lepoint O.  Envisageons de placer en un point A de l’axe (O, x ) une liaison rotule de centre A. le torseur X 2 0        statiquecorrespondant est :  2  Y2 0  .Posons OA lx (l 0) . Z 0  2 O

Pour vérifier que cette solution convient écrivons que :  0  1   2  d’où les six équations O O

scalairessuivantes :

X X 2 Y Y1 Y2 Z Z1 Z 2 L 0 M lZ 2 N lY2

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toutesles inconnuesstatiques de cesystème peuventêtre calculées

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

en fonction de X, Y, Z, L, M, N et r s=5. Par conséquent la liaison rotule choisie convient pour réaliserla liaisonpivot isostatiqueentre (S1)et (S2) :

2.2. Liaisonsen série : a) Définition : nliaisons (L 1),(L 2),…, (Li ),…,( Ln)sont ensérie entredeux solides(S 0)et (Sn)si ellessont disposéesà lasuite l’unede l’autrepar l’intermédiairede (n-1)solides. Legraphe de liaisonsse traceainsi :

Ondit égalementque les(n+1) solidesassemblés parles nliaiso nsen sérieconstituent une chaîne continueouverte . b) Liaisonéquivalente : 1.

Torseur statique : on démontre, par le principe fondamental de la statique, que

  1  2 ... n parconséquent 

siune composanted’un torseurstatique d’uneliaison (L i)

estnulle, lacomposante correspondantedu torseurstatique dela liaisonéquivalente l’estaussi. 2.

Torseur cinématique : en utilisant la loi de composition des torseurs cinématiques on n

obtient ( S n / S 0 )  ( S n / S n1 ) ... ( Si / S 0 ) d’où on aura :    i et par suite, les composantes i1

demouvement existantentre (S0)et (S n)sont toutescelles desliaisons (Li). 3.

Hyperstatisme et mobilité : l’écriture de la relation    1  2 ... n  permet la

déterminationde toutesles composantesX i,Y i,Z i,L i,M i ,N i destorseurs statiques  i enfonction descomposantes X,Y, Z,L, M,N dutorseur statique   dela liaisonéquivalente. Par conséquent, la liaison équivalente aux n liaisons en série entre (S0) et (Sn) est toujours isostatique. 4.

Définitions :



Ledegré de mobilité m u dela liaisonéquivalente aux n liaisonsen sérieentre (S0)et (Sn)est

égal aunombre d’inconnuescinématiques indépendantesde laliaison équivalente. Cem u estaussi appelé degréde mobilitéutile dela chaînecontinue ouverte. n

Lenombre totald’inconnues cinématiquesintroduit parles n liaisonsen sérieest : N c nci i 1



Le degré de mobilité m de la chaîne continue ouverte comprenant n liaisons est égal au

nombre Nc d’inconnuescinématiques introduitpar lesn liaisons soit m N c LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

Remarque : comme l’introduction successive de solides intermédiaires entre (S0) et (Sn) ne peut qu’augmenterle degréde mobilitéde lachaîne continueouverte, on atoujours : m mu .On pose alors m m u m i oùm i estappelée degréde mobilitéinterne dela chaînecontinue ouverte. Unepièce aune mobilitéinterne dansun mécanisme(par exemple,une bielletournant sur elle-même entre deux liaisons rotule) si elle peut avoir un mouvement qui n’entraîne aucun mouvementdes autrespièces dumécanisme. 5.

Exemple d’application : soit une chaîne continue ouverte

constituéepar troissolides (S 0),(S 1)et (S 2). Laliaison (L2)entre (S1)et (S2)est uneliaison rotulede centreO. Laliaison (L 1)entre (S0)et (S1)est uneliaison appuiplan denormale  (O, z ).   SoitR (O, x , y , z )un repèresitué surles liaisons. 1.

Déterminerle torseurstatique dela liaisonéquivalente auxdeux liaisonsen sérieentre (S0)et

(S1). 2.

Parune cinématique,déterminer letorseur cinématiquede laliaison équivalenteaux deux

liaisons en série entre (S0) et (S2). En déduire le degréde mobilité interne de la chaîne continue ouverteconstituée par(S 0),(S 1)et (S2). Réponses : 1.Au pointO dansla baseR, lestorseurs statiquesdes liaisons(L 1)et (L2)sont dela forme : 0  1 0 Z 1

L1  X 2   M1  et  2 Y2 Z 0  O 2

0 X   0  etsoit   Y Z 0   O

L  M  letorseur statiquede laliaison N  O

0  équivalente.Ce torseurstatique esttel que :    1  2 d’où   0 Z 

0  0  .Par suitela liaison 0 O  équivalenteaux deuxliaisons enséri eentre (S0)et (S2)est uneliaison ponctuellede normale(O, z ). Lestorseurs cinématiquesdes liaisons(L 1)et (L2)s’écrivent aupoint O,dans labase deR :

2 0 u1      1 0 v1  et 2 2  0   1 O 2

0  u     0 soit    v  le torseur cinématique de la liaison  w  0 O  O 2 2

1 2 parconséquent letorseur u u1 v v1 w 0 cinématiquede laliaison équivalenteaux deuxliaisons ensérie entre(S 0)et (S 1)est dela forme : équivalente.Ce torseurest telque :    1  2 soitalors :

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

 u      v . Ledegré demobilité dela chaînecontinue ouverteconstituée par(S 0),(S 1)et (S 2)   0    O est m N c or N c nc1 nc2 3 3 6 d’où m=6 Le degré de mobilité m u de la liaison équivalente est égal au nombre d’inconnues cinématiquesindépendantes dutorseur cinématiquede laliaison ponctuelleéquivalente d’où m u=5. Parsuite lamobilité internede lachaîne continueouverte est : mi m mu soit mi=1. La mobilité interne se localise en remarquant que la relation :  2 indique que 1 et 2 1  peuventêtre différentsde zéro,si letorseur cinématiquede laliaison équivalenteest nul,c'est -à-dire  que(S 1)peut tournera utourde (O, z )sans provoquerun mouvementde (S 2)par rapportà (S0). 3. Avantages et inconvénients d’un mécanisme isostatique par rapport à un mécanisme hyperstatique : Dansun mécanismeisostatique, l’absenced’inconnues hyperstatiquesindique quela position relativedes liaisonsn’a pasbesoin d’êtreaussi préciseque dansun mécanismehyperstatique. D’où : a)

Une facilité de fabrication plus grande par l’absence de tolérances de position réduites à

respecter(parallélisme, perpendicularité,coaxialité…). Notonsque cettefacilité defabrication esten partiecompensée parune complexitéplus grandedu mécanisme.Complexité généralementdue à l’introduction de pièces intermédiaires en série dans les liaisons pour augmenter leur nombre de degrésde liberté. b)

Une assurance que les surfaces de liaison sont bien en contact. Par conséquent une

constructionisostatique réaliseune miseen positionprécise d’unepièce parrapport àune autre. c)

Une connaissance exacte du torseur statique de chaque liaison, qui permet une évaluation

correctedes pressionsentre lessurfaces encontact. Exemple : positionnement isostatiquede Kelvin Dansce positionnement,utilisé parexemple pourles tourelles detour, laliaison isostatiqueet complèteentr eles pièces(S1) et(S2) estréalisée parl’association enparallèle destrois liaisonssuivantes : 

(L1) :liaison ponctuelle.



(L2) :liaison linéiqueannulaire, dontl’axe passepar lecentre

dela liaisonrotule. 

(L3) : liaison ponctuelle, dont la normale est perpendiculaire

auplan formépar l’axede laliaison linéiqueannulaire etle pointde contactde laliaison ponctuelle. Ceci dit, un mécanisme hyperstatique est souvent plus rigide qu’un mécanisme isostatique (par exempleun arbremonté surtrois paliers),ce quiest aussiun facteurde précisionde positiond’une

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

piècepar rapportà unautre. Unetelle constructionest généralementemployée pourles mécanismes detransmission d’actionsmécaniques. 4.

Maintiendu contactdans lesliaisons :les dispositifsde maintiendu contactd’une piècesur

sesappuis seclassent endeux catégories : a)

Ceuxqui assurentun maintiendu contactd’une piècedéjà positionnée.

b)

Ceuxqui assurentà lafois lamise enposition etle maintiendu contactd’une pièce.

Lemonta ge(M) dela figuresuivante permetd’obtenir surla pièce(P), lesformes définiespar lesA, Bet C,par fraisage« horizontal »(fraise troistailles). Lapièce reposesur unplan horizontal,dégagé danssa partiemédiane, ets’appuie surtrois butées sphériques(1), (2)et (3). Onmontre parune étudede liaisonsen parallèle,que laliaison équivalenteainsi obtenue,entre la pièce(P) etle montaged’usinage (M),est isostatiqueet complète. Étudionsle maintiendu contact(le bridage)assuré parla visde pression(V). Supposons qu’on exerce sur cette vis une action mécanique connue (emploi d’une clé dynamométrique)pour queles inconnuesstatiques desliaisons puissentêtre déterminées(sinon ces inconnuesseraient hyperstatiques). Laliaison dela pièce(P) avecle montaged’usinage (M)par l’intermédiairede lavis (V)fait interveniren sérieles deuxliaisons suivantes : (L1) :liaison ponctuelled’axe (O,y), (L2) :liaison glissièrehélicoïdale d’axe(O,y) depas réduit p. Déterminons letorseur statiquede laliaison équivalenteà cesdeux liaisonsen série. Aupoint O,dans labase durepère R(O,x,y,z) liéà (M),les torseursstatiques desdeux liaisons(L 1) et(L 2)sont dela forme : 0 0  X 2    1 Y1 0  et 2 Y2 0 0  Z  O 2

L2  X   pY2  et soit   Y Z N2  O 

L  M  le torseur statique de la liaison N  O

X 0 X 2 Y Y1 Y2 Z 0 Z2 équivalente.Ce torseurdoit vérifier    1 2 soit L 0 L2 M 0 pY2 N 0 N2 . Letorseur

 estdonc 

nul.Par suite,la liaisonéqu ivalente,entre lemontage (M)et lapièce (P),au

dispositifdu maintiendu contactest uneliaison libre. Ce dispositif de maintien du contact n’ajoute aucune inconnue statique à celles déjà introduitespar lesliaisons demises enposition dela pièce. Parconséquent, laliaison équivalente LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

auxliaisons dela pièce(P) avecle montage(M) (dispositif de maintien du contact compris) est toujoursisostatique. D’une

façon

générale,

la

liaison

équivalenteentre deuxsolides, d’undispositif de maintien du contact n’assurant pas la mise en positionrelative dessolides, doitêtre uneliaison libre. Une telle liaison permet de ne pas augmenterle degréd’hyperstatisme, déjàobtenu pardes lesliaisons demises enposition relative desdeux solides. 2.3. Chaînec ontinuefermée : (Li)

2.3.1. Définition : Une chaine continue ouverte dont les deux (L3)

solides extrêmes ont une liaison entre eux constitue une chaine

Si (Li+1)

S2

continuefermée. Dansle casd’une chaînecontinue ferméeconstituée de

(L2)

(Ln)

(n+1)solides assemblésen sériepar (n+1)liaisons, legraphe de S1

liaisonse traceainsi : Unechaîne continuefermée estaussi appeléechaîne simpleou boucle.

(L1)

S0

(L 1)

(L2 )

2.3.2. Exemple : La chaîne cinématique du réducteur représenté ci après est une

Sn (Ln+1)

S1

chaînecontinue ouvertefermée forméede troissolides suivants : (S0) :bâti duréducteur, (S1) :arbre d’entréedu réducteur, (S2) :arbre desortie duréducteur. 2.3.3. Étudestatique : Soient :

i Torseurstatique

S2

S0 (L3 )

 dela liaison(L i)entre (S i-1)et (Si)dans RO ( , x, y, z ) lié

à

(S0)(S 0 estsupposé lebâti supportantla chaînecontinue fermée). X e  e Ye Z e

Le   M e  Torseurdes actionsmécaniques d’entréedu mécanismedans labase deR défini Ne  O

aupoint O. X s  s Ys Z s

Ls   M s  Torseurdes actionsmécaniques desortie dumécanisme dansla basede Rdéfini Ns  O

aupoint O. LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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X 0  0 Y0 Z 0

Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

L0   M 0  Torseurdes actionsmécaniques dusol surle solide(S 0). N0  O

 P.F.S.appliqué àl’ensemble des(n+1) solides :  e  s  0  0 .(A) n 1

Ns ns i Le nombred’inconnues statiquesintroduits parles (n+1)liaisons dela chaînecontinue i1

fermée. Toutes les relations entre ces Ns inconnues s’obtiennent en appliquant le P.F.S. successivementaux solides(S 1),…,(S n).  P.F.S.à (S1) :  1  2  e  0  P.F.S.à (S2) :  2  3  0  P.F.S.à (Sn-1) :  n 1 n  0  P.F.S.à (Sn) :  n  n 1  s  0  En ajoutant membre à membre, on obtient :  1  n 1  e  s  0 et avec la relation Aon  obtient :    n 1  0  0 . 1 Soit rs lenombre ded’équations scalairesindépendantes entreles Ns d’inconnuesstatiques ( rs 6 n) . Définition : Le degré d’hyperstatisme h de la chaîne continue fermée est égal au nombre Ns d’inconnuesstatiques introduit parles liaisons,moins lenombre rs derelations indépendantesentre cesinconnues : h N s rs (B) Remarque :Si lenombre desolides estimportant, ladétermination de rs estparfois difficile. Onmontre aussique le degréde mobilitém dela chaînecontinue ferméeest : m 6 n rs (C)où m estle nombred’inconnues cinématiquesindépendantes dela chaînecontinue fermée. Enéliminant rs entre(B) et(C), onobtient larelation suivanteentre ledegré d’hyperstatisme h et le degréde mobilité m: h m N s 6 n . n 1

Soit NC nCi le nombre d’inconnues cinématiques introduit par les (n+1) liaisons. Sachant i 1

n 1

que : nCi 6 nsi ,N C s’écrit : NC (6 nsi ) soit : N C 6(n 1) N s parsuite : h m 6 N C i 1

Cetterelation permetle calculdu degréd’hyperstatisme connaissantle degréde mobilité. 2.3.4. Étudecinématique : Soit  i letorseur cinématiqueassocié àla liaison(Li) quireprésente le mouvement de (S i) par rapport à (Si-1). En écrivant la relation de composition des torseurs

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

 cinématiquesentre lesdifférents solidesen présence : ( S0 / S0  ( S0 / Sn ( Sn / Sn 1 ... ( S1 / S0  0 n 1  soitalors avecles notationsutilisées :  i  0 . i1

Enexplicitant cetterelation, onobtient unsystème desix équationsscalaires pourdéterminer lesN

C

inconnuescinématiques. Soitr C lenombre d’équationsscalaires indépendantes(r C 6). Définition : le degré de mobilité m de la chaîne continue fermée est égal au nombre NC d’inconnues cinématiques introduit par les liaisons, moins le nombre r c de relations indépendantes entre ces inconnues : m NC rC . On peut également dire que le degré de mobilité de la chaîne continue fermée est le nombre d’inconnuescinématiques indépendantesqu’il fautse fixerpour déterminertoutes lesautres.

2.3.5. Exemple : Considéronsun mécanismede commanded’une tigepar unexcentrique :  Soit RO ( , x , y , z ) un repère lié au bâti (S 0). L’excentrique (S1) est  assimiléà uncylindre derévolution d’axe  O, x ,de rayona. (S1)à une  liaisonpivot (L1)d’axe  O, z avec(S 0).       Soit R1 ( Ox , 1, y1, z ) unrepère liéà (S1)tel que : OC ex1 (e>0).  On pose :  x , x1 . La tige (S2), cylindrique de révolution, a une  liaisonpivot glissant(L3) d’axe  O, y avec(S0).  (S1)et (S2)ont uneliaison linéiquerectiligne (L2) d’axe I , z etde  normale y . a) Parune étudecinématique, déterminerle degréde mobilité de la chaîne continue fermée ( S0 ) ( S1 ) ( S2 ) ( S0 ) . En déduire son degréd’hyperstatisme. b) Parune étudestatique, déterminerl’inconnue hyperstatiquede lachaîne continuefermée. Proposerune solutionrendre cemécanisme isostatique. Élémentsde correction : a) Avec les notations définies précédemment, les torseurs cinématiques  i des liaisons (Li) 0 0    sont,dans R,de lafo rme :  1 0 0   0  1  O

0  2 2  2

u2   0 w2  I 3  Lestorseurs  i doiventvérifier larelation :  i  0 .

0 0    3 3 v3  0 0   O

i 1

Pourajouter cestrois torseurs,ondoitles exprimerau mêmepoi nt.Pour celaexprimons letorseur     2 aupoint O : v( O / R) v( I / R) ( S2 / R) IO soitalors : 0 u2 2 (a e sin)   2  2 e cos  Par suite,les inconnuescinématiques sontliées parles équations 2  w 2 2e cos  2 O suivantes : LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

2 3 0

 1  2 0 u2 2 ( a e sin)=0 Le nombre d’équations indépendantes de ce système est : rc=5. Le nombre v 3 2 e cos=0 w 2 2 e cos =0 d’inconnuescinématiques introduitpar lestrois liaisonsétant : Nc 1 4 2 7 ,le degréde mobilité dela chaînecontinue ferméeest : m N c rc 2 Remarque : sion sefixe 1 et 3 ,on détermineles autresinconnues cinématiques. Ledegré d’hyperstatismese déterminepar larelation : h m 6 N c d’où h=1. b) Enappliquant leP.F.S.à (S1),puis à(S 2) ensupposant que : X e  - sur(S 1) :l’action mécaniqued’entrée dumécanisme définiepar letorseur :  e Ye Z e

Le   Me  Ne  O

X s  - sur(S 2) :l’action mécaniquede sortiedu mécanismedéfinie parle torseur :  s Ys Z s

Ls   Ms  Ns  O

Lestorseurs statiques  i desliaisons (Li)sont dela forme,dans labase de R, X1  1 Y1 Z 1

L1  0   M1  ,  2  Y2   0 O 0

L2  X 3   0 ,  3 0 Z 0 I 3

L3   0  N3  O X 1 X e 0 Y1 Y2 Ye 0

 Z Z e 0 P.F.S.à (S1) :  1  2  e  0 d’oùaprès avoirexprimé  2 enO : 1 L1 L2 Le 0 M 1 M e 0 Ye cos N e 0

 P.F.S.à (S2) :  2  3  s  0 d’oùaprès avoirexprimé  2 enO :

X 3 X s 0 Y2 Ys 0 Z3 Z s 0 L2 L3 Ls 0 M s 0

Y2 cosN 3 N s 0 On vérifie que les seules inconnues statiques qui ne peuvent être calculées en fonction des composantesdes torseurs  e et  s sontL 1,L 2 etL 3.Par conséquentl’inconnue hyperstatiquedu mécanismeest L1 ouL 2 ouL 3. Lemécanisme estisostatique siL 2=0,c'est -à-diresi laliaison (L2 )est modélisablepar uneliaison  ponctuellede normale I , y .C’est lecas lorsquel’excentrique estde faible épaisseur. 2.4. Chaînecomplexe : 2.4.1. Définition : Une chaînecomplexe estune chaîne cinématique constituéede plusieurscha înes continuesfermées imbriquées. LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

2.4.2. Exemple : Ils’agit dela chaînecinématique d’unréducteur àtrain épicycloïdal qui est une chaîne complexe constituée de deux chaînes continues fermées imbriquées comme indiqué sur le graphede liaisons. 2.4.3. Nombrecyclomatique dela chaînecomplexe : Soient n lenombre desolides et l lenombre deliaisons dela chaînecomplexe. Onmontre (théoriedes graphes)que le nombre de chaînes continues fermées indépendantes à étudier est : l n 1 . : Nombre cyclomatiquede lachaîne complexe. Pournotre exemple : l=5, n=4d’où : =2. Remarque : On choisit les chaînes continues fermées de telle façon que toutes les liaisons y apparaissentau moinsune fois. 2.4.4. Étudestatique : Soit Ns lenombre d’inconnuesstatiques introduitpar les l liaisons Enappliquant le P.F.S.s uccessivement à (n-1)s olides dela chaînecomplexe ,on obtient 6(n-1) équationsscalaires entreles N s inconnuesstatiques. Soitr s lenombre d’équationsscalaires indépendantes  rs 6(n 1) . Remarque :Il estinutile d’appliquele P.F.S.aux nsolides, pourla mêmeraison quecelle donnée dansle casdes chaînescontinues fermées. Définition : ledegré d’hyperstatismeh dela chaînecomplexe est : h N s rs (D) On montre dans cette étude statique que le degré de mobilité m de la chaîne complexe est : m 6  n 1rs (E) Enéliminant r s entre(D) et(E) onobtient entrele degréd’hyperstatisme het ledegré demobilité m larelation suivante : h m N s 6( n 1) . l

Soit N c nci ,le nombred’inconnues cinématiquesintroduit parles l liaisons. i 1

l

Sachant que nCi 6 nsi ,N C s’écrit : N C  6 n si soit NC 6 l Ns parsuite i 1

h m 6l 6 (n 1 )NC ou h m 6(l n 1) NC avec l n 1 ,on obtient alors : h m 6N C . Cetterelation permetle calculde degréd’hyperstatisme connaissantle degréde mobilitéde la chaînecomplexe. LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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CoursConception 2

Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

2.4.5. Étudeciné matique : Enécrivant pourles chaînescontinues fermées,la loide composition des torseurs cinématiques, comme pour les chaînes continues fermées, on obtient 6 relations scalairesentre les NC inconnuescinématiques dela chaînecomplexe. Soitr C lenombre d’équationsscalaires indépendantes( rC 6). Définition : Ledegré demobilité mde lachaîne complexeest : m N C rC 2.4.6. Exempled’application : Considéronsun étauserrant unepièce (S3) deforme parallélépipédique.  Soit R  Ox, , y , z un repère lié au mors fixe (S0) de l’étau.Le morsmobile (S1)a une liaisonglissière (L1)  de direction x avec (S0). La manœuvre (S2) a une  liaisonpivot (L3) d’axe  O, x avec(S 0),et uneliaison glissière hélicoïdale (L2)d’axe



O, x avec(S 1).

Lesliaisons dela pièce(S 3)avec lelors fixe(S 0)et le

L1

morsmobile (S 1)sont deuxliaisons planes(L 5)et (L 4)  respectivement,d enormale x . a)

Tracer le graphe de liaisons et déterminer le nombre de chaînes continues fermées

indépendantesde cemécanisme. b)

Parune étudecinématique déterminerle degréde mobilitéde lachaîne complexe.En déduire

sondegré d’hyperstatisme. c)

Par une étude statique déterminer les inconnues hyperstatiques du mécanisme. À quelles

conditionsdimensionnelles etangulaires deposition relativedes liaisonscorrespondent -elles ? Élémentsde correction a)

Legraphe deliaison setrace commesuit :

Ce mécanisme est formé de quatre solides réunis par cinq liaisons. Par suite, le nombre de chaînes continues fermées indépendantesest : l n 1 2 b)

Tousles torseurscinématiques (oustatiques) desliaisons ontleur formeparticul ièreau point

O,dans labase deR (liaisonsconcentriques ).Posons :

S1 / S0 

0 u1  2     1 0 0  , S 2 / S1  2 0 0 0  0  O 

p2   0  (p :pas réduit) 0  O

S 0 / S 2 

0    3 0 0 

0 5    v4  et S0 / S3   5 0  0 w4 O 

0 4    0 , S3 / S1   4 0  0 0  O

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0  v5  w5  O 26

CoursConception 2

Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

 Pourla chaînecontinue fermée S0 S1  S2  S0 ,on peutécrire :  1  2  3  0 d’où : 2 3 0 .  u1 p2 0 Pour la chaîne continue fermée

S0 S1 S3 S0 nous

 avons :  1  4  5  0

4 5 0 d’où :

u1 0 . Les six équations sont indépendantes (rC =6). Le nombre d’inconnues v4 v5 0 w4 w5 0

cinématiquesintroduit parles liaisonsest : N C 1 1 1 3 3 9 .Par suitele degréde mobilité de lachaîne complexeest m=9-6 soit m=6.Ce degréde mobilitécorrespond aux troiscompo santesde mouvementde (S3)par rapportà (S0). Ledegré d’hyperstatismede lachaîne complexeest alors h m 6NC 3 12 9 soit h=6. c)

Définissonsles torseursstatiques desliaisons aupoint O,dans labase deR :

S0  S1 

0   Y 1  1 Z 1

S1  S3 

X 4   4 0 0 

pX 2  X 3  M 2 , S 2  S 0   3  Y3 Z N2  0 3

L1  X 2  M1 , S1  S2   2  Y2 Z N1  0 2 0  X 5   M 4 , S3 S0   5 0 0 N4  0 

0  M3  , N3  0

0   M 5 . N5  0

Supposonsque s’exercesur lapièce (S 2)une actionmécanique d’entréedu mécanismedéfinie parle X e  torseur :  e Ye Z e

Le   M e  etsur lapièce(S 3)une actionmécanique desortie dumécanisme définie Ne  0

X s  parle torseur :  s Ys Z s

Ls   M s . Ns  0

Appliquonsle P.F.S.

 À(S 0) :  3  5  1 0 d’où :

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X 3 X 5 0 Y3 Y1 0 Z3 Z1 0 L1 0 M 3 M 5 M 1 0 N3 N5 N1 0

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CoursConception 2

X 2 X 4 0

Chapitre 2 : Modélisationdes mécanismes

Y1 Y2 0  Z Z 2 0 À(S 1) :  1  2  4  0 d’où : 1 . L1 pX 2 0 M 1 M 2 M 4 0 N1 N 2 N 4 0 X 2 X 3 X e 0 Y2 Y3 Ye 0

 Z Z 3 Z e 0 À(S 2) :  2  3  e  0 d’où : 2 pX 2 Le 0 M 2 M 3 M e 0 N2 N3 Ne 0 Remarque :Il estinutile d’appliquerle P.F.S.à (S3),les équationsobtenues pouvantse déduirede cellesdéjà trouvées. Enexaminant les 18équations onen déduitque lessix inconnueshyperstatiques sont : Y1 ouY 2 ouY

3

Z1 ouZ 2 ouZ 3 M 2 ouM 3 M 1 ouM 4 ouM 5 N2 ouN 3 N1 ouN 4 ouN

5

Lesinconnues hyperstatiques Y1 ou Y2 ou Y3 et Z1 ou Z 2 ouZ 3 correspondentà desconditions   dimensionnellesde distances,suivant  O, y et  O, z ,entre lesaxes desliaisons (L 1),(L 2) et (L3). Les inconnues hyperstatiques M2 ou M3 et N2 ou N3 correspondent à des conditions angulaires   parallélismeautour  O, y et  O, z  ,entre lesaxes desliaisons (L2)et (L3). Lesinconnues hyperstatiques M1 ouM 4 ouM 5 et N1 ouN 4 ouN 5 correspondentà desconditions   angulairesparallélisme autour  O, y et  O, z ,entre lesaxes desliaisons (L4)et (L5) etl’axe dela liaison(L 1).

LicenceAppliquée enGéni eMécanique

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