Modelado De Un Motor Cd.docx

Universidad de Pamplona Pamplona - Norte de Santander - Colombia Tels: (7) 5685303 - 5685304 - 5685305 - Fax: 5682750 - www.unipamplona.edu.co

MODELADO DE UN MOTOR DE CD

Jhonatan Javier Díaz Plata 1121335903 Yeison Yair Ojeda Rebolledo 10941272895 Carlos Augusto Fernández Camacho 1102824982

Universidad de Pamplona Ingenierías y arquitecturas Teoría de control

Docente: Ing. Andrés Orlando Páez Melo Pamplona norte de Santander, Colombia 2018

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MODELADO DE UN MOTOR DE CD Es necesario realizar el modelado matemático de un motor de corriente directa para así hallar la función de transferencia que permite conocer el comportamiento del sistema. Este modelado matemático se muestra a continuación:

En resumen, en el modelo del motor de CD se desprecia: 1. La saturación magnética. 2. La histéresis y corrientes parásitas. 3. Las pérdidas de flujo del campo 4. El efecto de armadura.

Ecuación de la fuerza electromotriz Partiendo de la ecuación de la fem inducida sobre un conductor de longitud 𝑙 que tiene velocidad relativa 𝑉 con respecto a un vector de inducción magnética 𝐵 se tiene: 𝑒 = (𝑉 𝑋 𝐵) ∗ 𝑙 Si 𝑉 y 𝐵 son ortogonales 𝑒 = 𝐵𝑉𝑙 Para una disposición de N espiras dispuestas en 𝑎 caminos de corriente y 𝑙 la longitud de un conductor:

𝑍 = 2𝑁

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Donde 𝑍 es el número de conductores efectivos totales en una bobina. La fem total generada será la multiplicación de la fem de un conductor multiplicada por el número total de conductores y dividida entre los caminos paralelos de corriente, es decir: 𝐸𝑎 =

𝑍 𝐵𝑉𝑙 𝑎

Teniendo en cuenta que para un movimiento circular: 𝑉 =𝑊∗𝑅

Remplazando 𝑉 en la ecuación de 𝐸𝑎 𝐸𝑎 =

𝑍 𝐵∗𝑊∗𝑅∗𝑙 𝑎

Recordando que: 𝜑 = 𝐵 ∗ 𝐴𝑃 Donde 𝐴𝑃 es el área polar, en una máquina de estator cilíndrico el área polar será el área lateral de un cilindro dividida entre el número de polos P. 𝐴𝑃 = 𝐵=

2𝜋𝑅𝑙 𝑃 𝜑 𝐴𝑃

Remplazando 𝐴𝑃 en 𝐵 𝐵=

𝜑 2𝜋𝑅𝑙 𝑃

=

𝜑𝑃 2𝜋𝑅𝑙

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Remplazando en la ecuación de la fem generada 𝐸𝑎 =

𝑍 𝜑𝑃 ∗𝑊∗𝑅∗𝑙 𝑎 2𝜋𝑅𝑙

Simplificando 𝐸𝑎 =

𝑍 𝜑𝑃𝑊 𝑎 2𝜋

Asignando 𝐾=

𝑍𝑃 2𝜋𝑎

La ecuación de la fem queda 𝐸𝑎 = 𝐾𝜑𝑊𝑚

Ecuación eléctrica Realizando un LVK en la única malla y se tiene: 𝑉𝑎 = 𝐼𝑎 𝑅𝑎 + 𝐿𝑎

𝑑𝐼𝑎 + 𝐸𝑎 𝑑𝑡

Remplazando 𝐸𝑎 en el LVK se tiene 𝑉𝑎 = 𝐼𝑎 𝑅𝑎 + 𝐿𝑎

𝑑𝐼𝑎 + 𝐾𝜑𝑊𝑚 𝑑𝑡

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Ecuación Mecánica Partiendo de la ecuación de la fuerza ejercida por un campo magnético sobre un conductor que transporta una corriente 𝐼: 𝐹 = (𝐼𝒍 𝑋 𝑩) Donde 𝐵 es el vector de inducción, 𝐼 es la corriente que atraviesa el conductor y 𝑙 su longitud. En una máquina de rotor y estator convencionales son ortogonales, por tanto: 𝐹 = 𝐼𝒍𝑩 De donde el torque inducido por esta fuerza sobre una espira cuadrada de radio r será: 𝑇𝑖𝑛𝑑 = 𝑟 𝑋 (𝐼𝒍 𝑋 𝑩) 𝑇𝑖𝑛𝑑 = 𝐼𝑟𝒍𝑩 Si existen 𝑎 caminos de corriente 𝐼𝑎 corriente efectiva será: 𝐼=

𝐼𝑎 𝑎

Donde 𝐼𝑎 es la corriente de armadura, si 𝑍 es el número de conductores y 𝐵 = 𝜑𝑃 2𝜋𝑅𝑙

Se obtiene que el torque total inducido 𝑍 ∗ 𝑇𝑖𝑛𝑑 será: 𝑇𝑖𝑛𝑑 = 𝑇𝑖𝑛𝑑 =

𝑍𝐼𝑎 𝑟𝑙𝐵 𝑎

𝑍𝐼𝑎 𝑟𝑙 𝜑𝑃 𝑎 2𝜋𝑅𝑙

𝑇𝑖𝑛𝑑 =

𝑍𝑃𝜑𝐼𝑎 2𝜋𝑎

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Asignando, 𝐾=

𝑍𝑃 2𝜋𝑎

La ecuación del torque inducido total será: 𝑇𝑖𝑛𝑑 = 𝐾𝜑𝐼𝑎

Para la máquina la suma de los troques es igual a la multiplicación de la aceleración angular por la inercia del sistema: ∑ 𝑇 =∝∗ 𝐽

Donde 𝐽 es la inercia total del sistema y ∝ es la aceleración angular. Para el modelo: 𝑇𝑖𝑛𝑑 − 𝑇𝐵 − 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 =∝∗ 𝐽

Donde 𝑇𝑖𝑛𝑑 es el torque inducido en la máquina, 𝑇𝐵 el torque en oposición por la fricción y 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 el torque producido por la carga mecánica al motor. 𝑇𝑖𝑛𝑑 =∝∗ 𝐽 + 𝑇𝐵 + 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎

Teniendo en cuenta que: ∝=

𝑑𝑊𝑚 𝑑𝑡

y

𝑇𝐵 = 𝐵𝑇 𝑊𝑚

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Donde 𝐵𝑇 es el coeficiente de viscosidad total de la máquina y 𝑊𝑚 la velocidad mecánica de rotación, se tiene:

𝑇𝑖𝑛𝑑 =

𝑑𝑊𝑚 𝐽 + 𝐵𝑇 𝑊𝑚 + 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑡

𝐾𝜑𝐼𝑎 =

𝑑𝑊𝑚 𝐽 + 𝐵𝑇 𝑊𝑚 + 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑡

Donde 𝑊𝑚 =

𝑑𝜃𝑚 𝑑𝑡

Función de transferencia Es la función de transferencia desde 𝑉𝑎 a 𝑊𝑟 para hallarla asignamos 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = 0 y partimos las siguientes ecuaciones que rigen el modelo:

𝑉𝑎 = 𝐼𝑎 𝑅𝑎 + 𝐿𝑎

𝐾𝜑𝐼𝑎 =

𝑑𝐼𝑎 + 𝐾𝜑𝑊𝑚 𝑑𝑡

𝑑𝑊𝑚 𝐽 + 𝐵𝑇 𝑊𝑚 + 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑡

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EN EL DOMINIO DE LAPLACE: De la Ecuación eléctrica 𝑉𝑎 = 𝐼𝑎 𝑅𝑎 + 𝐿𝑎

𝑑𝐼𝑎 + 𝐾𝜑𝑊𝑚 𝑑𝑡

𝑉𝑎 (𝑆) = 𝑅𝑎 𝐼𝑎 (𝑆) + 𝐿𝑎 𝑆𝐼𝑎 (𝑆) + 𝐾𝜑𝑊(𝑆) 𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑𝑊(𝑆) = 𝑅𝑎 𝐼𝑎 (𝑆) + 𝐿𝑎 𝑆𝐼𝑎 (𝑆) 𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑𝑊(𝑆) = (𝑅𝑎 + 𝐿𝑎 𝑆)𝐼𝑎 (𝑆)

𝐼𝑎 (𝑆) =

𝐼𝑎 (𝑆) =

𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑𝑊(𝑆) (𝑅𝑎 + 𝐿𝑎 𝑆)

𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑𝑊(𝑆) 𝐿

𝑅𝑎 (𝑅𝑎 𝑆 + 1) 𝑎

Definiendo 𝑇𝑎 =

𝐿𝑎 𝑅𝑎

Se tiene

𝐼𝑎 (𝑆) =

𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑𝑊(𝑆) 𝑅𝑎 (𝑇𝑎 𝑆 + 1)

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De la Ecuación mecánica 𝐾𝜑𝐼𝑎 =

𝑑𝑊𝑚 𝐽 + 𝐵𝑇 𝑊𝑚 + 𝑇𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑡

𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) = 𝐽𝑆𝑊(𝑆) + 𝐵𝑇 𝑊(𝑆) + 𝑇𝐶 (𝑆) 𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) − 𝑇𝐶 (𝑆) = 𝐽𝑆𝑊(𝑆) + 𝐵𝑇 𝑊(𝑆) 𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) − 𝑇𝐶 (𝑆) = (𝐽𝑆 + 𝐵𝑇 )𝑊(𝑆)

𝑊(𝑆) =

𝑊(𝑆) =

𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) − 𝑇𝐶 (𝑆) (𝐽𝑆 + 𝐵𝑇 )

𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) − 𝑇𝐶 (𝑆) 𝐵𝑇 (

𝐽 𝐵𝑇

𝑆 + 1)

Definiendo 𝑇𝑚 =

𝐽 𝐵𝑇

Tenemos: 𝑊(𝑆) =

𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) − 𝑇𝐶 (𝑆) 𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)

Como 𝑇𝐶 = 0 𝑊(𝑆) =

𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) 𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)

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Despejando 𝐼𝑎 (𝑆) 𝐼𝑎 (𝑆) =

𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)𝑊(𝑆) 𝐾𝜑

Remplazándola en: 𝐼𝑎 (𝑆) =

𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑𝑊(𝑆) 𝑅𝑎 (𝑇𝑎 𝑆 + 1)

Se tiene 𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)𝑊(𝑆) 𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑𝑊(𝑆) = 𝐾𝜑 𝑅𝑎 (𝑇𝑎 𝑆 + 1) 𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)𝑅𝑎 (𝑇𝑎 𝑆 + 1)𝑊(𝑆) = 𝐾𝜑𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑 2 𝑊(𝑆) 𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)𝑅𝑎 (𝑇𝑎 𝑆 + 1)𝑊(𝑆) + 𝐾𝜑 2 𝑊(𝑆) = 𝐾𝜑𝑉𝑎 (𝑆) [𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)𝑅𝑎 (𝑇𝑎 𝑆 + 1) + 𝐾𝜑 2 ]𝑊(𝑆) = 𝐾𝜑𝑉𝑎 (𝑆) 𝑊(𝑆) 𝐾𝜑 = 𝑉𝑎 (𝑆) 𝐵𝑇 𝑅𝑎 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)(𝑇𝑎 𝑆 + 1) + (𝐾𝜑)2

Dividiendo todo en 𝐵𝑇 𝑅𝑎 𝑊(𝑆) = 𝑉𝑎 (𝑆)

𝐾𝜑 𝐵𝑇 𝑅𝑎 𝐵𝑇 𝑅𝑎 (𝑇𝑚 𝑆+1)(𝑇𝑎 𝑆+1) 𝐵𝑇 𝑅𝑎

+

(𝐾𝜑)2 𝐵𝑇 𝑅𝑎

𝐾𝜑

𝑊(𝑆) 𝐵𝑇 𝑅𝑎 = 𝑉𝑎 (𝑆) (𝑇 𝑆 + 1)(𝑇 𝑆 + 1) + (𝐾𝜑)2 𝑚 𝑎 𝐵𝑇 𝑅𝑎

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𝐾𝜑

𝑊(𝑆) 𝐵𝑇 𝑅𝑎 = 𝑉𝑎 (𝑆) 𝑇 𝑇 𝑆 2 + (𝑇 + 𝑇 )𝑆 + 1 + (𝐾𝜑)2 𝑚 𝑎 𝑚 𝑎 𝐵 𝑅 𝑇 𝑎

1 (𝐾𝜑)2

𝑊(𝑆) 𝐾𝜑 𝐵𝑇 𝑅𝑎 = 𝑉𝑎 (𝑆) 𝑇 𝑇 𝑆 2 + (𝑇 + 𝑇 )𝑆 + 1 + (𝐾𝜑)2 𝑚 𝑎 𝑚 𝑎 𝐵𝑇 𝑅𝑎

Despreciando

(𝐾𝜑)2 𝐵𝑇 𝑅𝑎 1

𝑊(𝑆) 𝐾𝜑 = 𝑉𝑎 (𝑆) (𝑇𝑚 𝑆 + 1)(𝑇𝑎 𝑆 + 1) 𝑊(𝑆) 1 1 = 𝑉𝑎 (𝑆) 𝐾𝜑 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)(𝑇𝑎 𝑆 + 1)

Por lo tanto, la función de transferencia se puede expresar: 𝐾𝜑

𝐺1 (𝑆) =

𝐵𝑇 𝑅𝑎

𝑇𝑚 𝑇𝑎 𝑆 2 + (𝑇𝑚 + 𝑇𝑎 )𝑆 + 1 +

(𝐾𝜑)2 𝐵𝑇 𝑅𝑎

Y aproximada como: 𝐺1 (𝑆) =

1 1 𝐾𝜑 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)(𝑇𝑎 𝑆 + 1)

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Diagrama de bloques del modelo matemático

Analizando el comportamiento transitorio de las ecuaciones del modelo del sistema para condiciones iniciales iguales a cero y aplicándoles la transformada de Laplace.

𝐼𝑎 (𝑆) =

𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑 𝑊(𝑆) 1 = [𝑉𝑎 (𝑆) − 𝐾𝜑 𝑊(𝑆)] ( ) 𝑅𝑎 (𝑇𝑎 𝑆 + 1) 𝑅𝑎 (𝑇𝑎 𝑆 + 1)

𝐿

Donde la constante de tiempo del circuito de armadura es 𝑇𝑎 = 𝑅𝑎

𝑎

𝑊(𝑆) =

𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) − 𝑇𝐶 (𝑆) 1 = [𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆) − 𝑇𝐶 (𝑆)] ( ) 𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1) 𝐵𝑇 (𝑇𝑚 𝑆 + 1)

𝐽

Donde la constante de tiempo mecánico del motor y de la carga es 𝑇𝑚 = 𝐵 y 𝑇

la ecuación del torque electromecánico es: 𝑇𝑒 (𝑆) = 𝐾𝜑𝐼𝑎 (𝑆)

El diagrama de bloque de este modelado puede deducirse de las ecuaciones en al trasformada de Laplace determinadas anteriormente.

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𝑇𝑐 (𝑆) 𝑉𝑎 (𝑆)

+

1 𝑅𝑎 (𝑆𝑇𝑎 + 1)

∑.

𝐼𝑎 (𝑆)

∑.

𝑇𝑒 (𝑆)

−

𝐾𝜑𝑊(𝑆)

+

𝐾𝜑

−

𝐾𝜑

𝑊(𝑆) 1 𝐵𝑇 (𝑆𝑇𝑚 + 1)

𝑊(𝑆)

El motor a utilizar es un Johnson 63240 385151

Datos de fabrica Rango de voltaje: 1.5 a 12V DC Consumo de energía (12 V) en vacío: 1A Consumo de corriente (12 V) a plena carga: aproximadamente 6 A Velocidad: 2000 - 10000 rpm (dependiente del voltaje) Dimensiones del eje: 9x3.2 mm (largo x diámetro) Dimensiones del motor sin eje: 58 x 35,8 mm (largo x diámetro)

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PARTE ELÉCTRICA La resistencia de armadura fue medida con un multímetro y es 𝑅𝑎 = 1,12 Ω. Para encontrar el valor de la inductancia (𝐿𝑎 ) se realizó de forma experimental el siguiente proceso; se alimentó el motor con una fuente de voltaje alterno de frecuencia conocida (línea comercial que es de 60 Hz) y con el nivel de tensión de bajo (por debajo del 50 % de la tensión nominal de la máquina) la tensión nominal de la máquina es de 12 V el valor de la fuente debe ser menor a 6 V, por eso se alimentó con 4.4 V ac y se midió la corriente de armadura (𝐼𝑎 ) y el voltaje de armadura ( 𝑉𝑎 ). Luego se remplazan los valores medidos en la siguiente formula:

√ 𝐿𝑎 =

𝑉𝑎 2 𝐼𝑎

− 𝑅𝑎 2

2𝜋𝑓

√ =

0,6 𝑉 2 4,4 𝐴

− 1,12 Ω2

(2𝜋)(60)

𝐿𝑎 = 2,872370𝑥10−3 𝑖 𝐻

Donde la constante de tiempo del circuito de armadura es: 𝐿𝑎 2,87237𝑥10−3 𝐻 𝐻 𝑇𝑎 = = = 2,56461 𝑅𝑎 1,12 Ω Ω

Ahora para calcular 𝐾𝜑 se realiza el siguiente calculo: 𝑊𝑛 = 𝐾𝜑 =

2𝜋𝑛 2𝜋(10000𝑟𝑝𝑚) = = 1047.197551 𝑟𝑎𝑑/𝑠 60 60

𝑉𝑛 − 𝐼𝑛 𝑅𝑎 12𝑉 − (1𝐴 ∗ 1.12Ω) 𝑉∗𝑠 = = 0.0103896 𝑊𝑛 1047.197551 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑟𝑎𝑑

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PARTE MECÁNICA Para calcular la constante de Inercia del motor y de la carga referida al eje del motor ( 𝐽 ). Se tiene la siguiente ecuación: 𝑊𝑛 =

𝐾𝜑 √𝐿𝑎 ∗ 𝐽

Despejando 𝐽 se tiene: √𝐿𝑎 ∗ 𝐽 =

𝐿𝑎 ∗ 𝐽 = ( 0.0103896

𝐾𝜑 2

𝐽=

(𝑊 ) 𝑛

𝐿𝑎

=

𝐾𝜑 𝑊𝑛

𝐾𝜑 𝑊𝑛

2

) 2

𝑉∗𝑠 𝑟𝑎𝑑

(1047.197551 𝑟𝑎𝑑/𝑠) 2,872370𝑥10−3

𝐻

= 3,426888𝑥10−8

Para calcular la constante de tiempo mecánica y la constante de viscosidad del motor se deben calcular otras constantes mecánicas del motor como lo son: 

Constante contra electromotriz (𝐾𝑒 ) 𝐾𝑒 =



𝑉 12 𝑉 = = 0,0114591 𝑊 1047.197551 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Constante de torque (𝐾𝑡 ) 𝐾𝑡 = 9,5493 𝑥 10𝐾𝑒 = 9,5493 𝑥 (10 𝑥 0,0114591) = 1,094263

Usando la fórmula de 𝑇𝑚 se tiene: 𝑇𝑚 =

𝐽 ∗ 𝑅𝑎 𝐾𝑡 ∗ 𝐾𝑒

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𝑇𝑚 =

(3,426888𝑥10−8 ) ∗ (1,12) = 3,060875𝑥10−6 (1,094263) ∗ (0,0114591)

𝐽 3,426888𝑥10−8 𝐵𝑇 = = = 0,011195 𝑇𝑚 3,060875𝑥10−6

El diagrama de bloques remplazando valores queda de la siguiente forma: 𝑇𝑐 (𝑆) 𝑉𝑎 (𝑆)

+ ∑.

1 𝐼𝑎 (𝑆) 1,12(2,56461 𝑆 + 1)

0.01038

−

+

− ∑.

1 0,0111(3,060875𝑥10−6 𝑆 + 1)

𝑇𝑒 (𝑆)

𝐾𝜑𝑊(𝑆)

0.01038

𝑊(𝑆)

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𝑊(𝑆)