Model Indeks Tunggal.docx

MODEL INDEKS TUNGGAL A. PENDAHULUAN William Sharpe (1963) mengembangkan model yang disebut dengan model indeks tunggal (single-index model). Model ini dapt digunakan untuk menyederhanakan perhitungan di model Markowitz dengan menyediakan parameter-parameter input yang dibutuhkan di dalam perhitungan model Markowitz. Di samping itu, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk menghitung return eksptektasian dan risiko portofolio. B. MODEL INDEKS TUNGGAL DAN KOMPONEN RETURNNYA Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searaha dengan indeks harga pasar. Secara khusus dapat diamatai bahwa kebanyakan saham cenderung mengalami kenaikan harga jika indeks harga saham naik. Kebalikannya juga benar, yaitu jika indeks harga saham turun, kebanyakan saham mengalami penurunan harga. Hal ini menyarankan bahwa return-return dari sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan-perubahan nilai pasar. Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan: Ri = ai + βi . RM Notasi (10-1): Ri = return sekuritas ke-i ai = suatu variable acak yang menunkukkan komponen dari return sekuritas ke-I yang independen terhadap kinerja pasar βi = Beta yang merupakan koefisien yang mengukur perubahan Ri akibat dari perubahan RM RM = tingkat return dari indeks pasar, juga merupakan suatu variable acak Pemilihan dari indeks pasar tidak tergantung dari suatu teori tetapi lebih tergantung dari hasil empirisnya. Indeks pasar yang dapt dipilih untuk pasar BEI misalnya IHSG (Indeks Harga Saham Gabungan) atau indeks untuk saham-saham yang aktif saja (misalnya LQ-45). Jika digunakan IHSG, maka return pasar untuk waktu ke-t dapt dihitung sebesar: RM,t =

IHSGt − 𝐼𝐻𝑆𝐺t-1 IHSGt-1

Variable ai merupakan komponen return yang tidak tergantung dari return pasar. Variable ai dapat dipecah menjadi nilai yang diekspektasi (expected value) αi dan kesalahan residu (redisual error) ei sebagai berikut: Ai = αi + ei Substitusikan persamaan di atas kedalam rumus di (10-1) maka akan didapatkan persamaan model indeks tunggal sebagai berikut: Ri = αi + βi . RM + ei

Notasi (10-2): αi = nilai ekspektasian dari return sekuritas yang independen terhadap return pasar ei = kesalahan residu yang merupakan variable acak dengan nilai ekspektasiannya sama dengan nol atau E(ei)=0. Nilai relasi merupakan nilai yang sudah terjadi, sehingga merupakan nilai yang sudah pasti tidak mengandung kesalahan pengukuran (measurement error). Sebaliknya nilai ekspektasian merupakan nilai harapan yang belum terjadi yang masih mengandung ketidakpastian, sehingga nilai ekspektasian masih dapat menyimpang dari nilai realisasinya yang akan terjadi. Perbedaan niali antara nilai ekspektasian dengan nilai realisasinya merupakan kesalahan estimasi. Kesalahan ini ditujukan oleh kesalahan residunya. Model indeks tunggal membagi return dari suatu sekuritas ke dalam dua komponen, yaitu sebagai berikut ini : 1. Komponen return yang unik diwakili oleh αi yang independen terhadap return pasar. 2. Komponen return yang berhubungan dengan return pasar yang diwakili oleh βi . RM Bagian return yang unik (αi) hanya berhubungan dengan peristiwa mikro (micro event) yang mempengaruhi perusahaan begitu saja, tetapi tidak mempengaruhi semua perusahaan secara umum. Contoh dari peristiwa mikro misalnya adalah pemogokan karyawan, kebakaran, penemuan-penemuan penelitian, dsb. Bagian return yang berhubungan dengan return pasar ditunjukkan oleh Beta (βi) yang merupakan sensitivitas return suatu sekuritas terhadap return dari pasar. Secara konsensus, return pasar mempunyai Beta bernilai 1. Suatu sekuritasyang mempunyai Beta 1,5 misalnya mempunyai artibahwa perubahan return pasar sebesar 1% akan mengakibatkan perubahan return dari sekuritas tersebut dengan arah yang sama sebesar 1,5%. Model indeks tunggal dapat juga dinyatakan dalam bentuk return ekspektasian (expected return). Return ekspektasian dari model ini dapat diderivasi dari model (10-2) sebagai berikut : E(Ri) = E(αi + βi . RM + ei) Atau E(Ri) = E(αi) + E(βi . RM) + E(ei) Dari properti ke-2 diketahui bahwa nilai ekspektasian dari suatu konstanta adalah bernilai konstanta itu sendiri, maka E(αi) = αi dan E(βi . RM) = βi . E(RM) dan secara konstruktif (lihat 10-2) nilai E(ei) = 0, maka return ekspektasian model indeks tunggal dapat dinyatakan sebagai (10-3) : E(Ri) = αi + βi . E(RM) Contoh 1: Misalnya return ekspektasian dari indeks pasar E(RM) adalah sebesar 20%, bagian dari return ekspektasian suatu sekuritas yang independen terhadap pasar (αi) adalah sebesar 4% dan βi

adalah sebesar 0,75. Model indeks tunggal mengestimasi besarnya return ekspektasian untuk sekuritas ini sebesar: E(Ri) = 4% + 0,75 . 20% = 19% Sedang besarnya nilai return realisasi berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas ini adalah sebesar: Ri = 19% + ei Dari contoh ini terlihat bahwa nilai return realisasi merupakan nilai return ekspektasian ditambah dengan kesalahan residu. Jika ternyata nilai return realisasi nantinya sama dengan nilai return yang diharapkan, berarti investor mengestimasi nilai return ekspektasian tanpa kesalahan. Jika ternyata nilai return realisasi sebesar misalnya 21%, maka besarnya kesalahan estimasi (ei) adalah sebesar 21% - 19% = 2%. C. ASUMSI-ASUMSI Model indeks tunggal menggunakan asumsi – asumsi yang merupakan karakteristik model ini sehingga menjadi berbeda dengan model – model yang lainnya. Asumsi utama dari model indeks tunggal adalah kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau ei tidak berkovari ( berkorelasi ) dengan ej untuk semua nilai dari i dan j. Asumsi ini secara matematis dapat dituliskan sebagai : Cov(ei,ej) = 0 Besarnya Cov(ei,ej) dapat juga ditulis sebagai berikut : Cov(ei,ej) = E([ei – E(ei)] . [ej – E(ej)]) Karena secara konstruktif bahwa E(ej) dan E(ej) adalah sama dengan nol, maka : Cov(ei,ej) = E([ei – 0] . [ej – 0]) = E(ei . ej) Sehingga asumsi bahwa kesalahan residu untuk sekuritas ke-i tidak mempunyai korelasi dengan kesalahan residu untuk sekuritas ke-j dapat juga ditulis : E(ei . ej) = 0 Return indeks pasar (RM) dan kesalahan residu untuk tiap – tiap sekuritas (ei) merupakan variabel –variabel acak. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa ei tidak berkovari degan return indeks pasar RM. Asumsi kedua ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai : Cov(ei, RM) = 0 Lebih lanjut persamaan ini dapat diuraikan:

Cov(ei, RM) = E([ei – E(ei)] . [RM – E(RM)]) = 0 Karena E(ei) = 0, maka dapt ditulis: Cov(ei, RM) = E(ei . [RM – E(RM)]) = 0 Dengan demikian, asumsi kedua dari model indeks tunggal dapat dituliskan sebagai: E(ei . [RM – E(RM)]) = 0 Asumsi – asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritas –sekuritas bergerak bersama – sama bukan karena efek diluar pasar (misalnya efek dari industri atau perusahaan itu sendiri, melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi – asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah. Dengan demikian sebenarnya berapa besar model ini dapat diterima dan mewakili kenyataan sesungguhnya tergantung dari seberapa besar asumsi-asumsi ini realistis. Jika asumsi-asumsi ini kurang realistis, berarti bahwa model ini akan menjadi tidak akurat. D. VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL Secara umum, varian return dari suatu sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut: σi2 = E[Ri - E(Ri)]2 Untuk model indeks tunggal, besarnya Ri dan E(Ri) tampak di (10-2) dan (10-3). Substitusikan nilai-nilai ini ke persamaan varian diatas, maka akan didaptkan hasil: σi2 = E[(αi + βi . RM + ei) – (αi + βi . E(RM))]2 = E[αi + βi . RM + ei – αi + βi . E(RM)]2 = E[βi . RM–βi . E(RM) + ei ]2 = E[βi . ( RM - E(RM) )+ ei ]2 = E[βi2 . ( RM - E(RM))]2 + 2. βi .( RM - E(RM) ). ei + ei 2] = βi2 . E[ RM - E(RM)]2 + 2. βi . E( RM - E(RM ). ei]+ E(ei )2 Ingat bahwa E[RM - E(RM)]2 merupakan varian dari return pasar (σM2) dan E(RM - E(RM ). ei] adalah sama dengan nol sesuai dengan asumsi kedua dari model indeks tunggal, maka rumus varian diatas dapat ditulis σi2 = βi2 . σM2 + 0 + E(ei )2 nilai E(ei )2 dapat ditulis sebagai E(ei - 0)2 dan karena secara konstruktif bahwa E(ei )= 0, maka nilai 0 selanjutnya juga dapat diganti dengan nilai E(ei ), sehingga nilai E(ei )2 dapat ditulis dengan arti yang sama dengan E[ei - E(ei)]2 dan nilai ini merupakan varian dari kesalahan residu untuk sekuritas ke-i (σei2). Dengan mensubstitusi E(ei )2 dengan σei2, maka rumus varian return sekuritas berdasarkan model indeks tunggal adalah:

σi2 = βi2 . σM2 + σei2 risiko (varian return) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian : risiko yang berhubungan dengan pasar (market related risk) yaitu βi2 . σM2 dan risiko unik masing-masing perusahaan (unique risk) yaitu σei2. Contoh 2: Return saham PT ‘A’ dan return indeks pasar selama 7 periode dan rata-rata aritmatikanya adalah sebagai berikut: