Mod Auto 3

Liceo Andrés Bello A-94 Coordinación Técnico Pedagógica Departamento de Sr.: Luis Pérez O. Curso: 4° medio

Modulo de autoaprendizaje. Identidades Trigonométricas. Objetivos: Demostrar identidades trigonometricas através de las razones trigonometricas básicas. Habilidades: Identificar, demostrar. Se entiende por “identidad” en matemáticas a toda igualdad que es independiente de los valores que se asignen a las “variables” o “argumentos”. Ejemplos. a) x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y )

b) ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 En estos ejemplos x e y son las “variables” o “argumentos”. Teorema: Las razones trigonométricas de un ángulo α satisfacen las “identidades fundamentales” que se indican a continuación. I.

Grupo: Relaciones reciprocas. sec α =

II.

1 1 1 , cos ecα = , cot α = tgα cos α senα

Grupo: Relaciones en forma de cuociente. tgα =

III.

senα cos α , cot α = cos α senα

Grupo: Relaciones pitagóricas. sen 2α + cos 2 α = 1 1 + tg 2α = sec 2 α 1 + cot 2 α = cos ec 2α

Demostración.

CAB = α , construyamos un triángulo rectángulo como en la Fig. 1

Dado el ángulo

Fig. 1 Las identidades del I y del II grupo resulta de inmediato a partir de las definiciones. Por ejemplo: sec α =

AB 1 1 = = AC AC cos α AB

BC BC AB senα tgα = = = AC AC cos α AB Para demostrar las del tercer grupo: En el triángulo rectángulo ACB , el teorema de Pitágoras nos dice que: 2

2

AC + CB = AB

2

Dividiendo esta igualdad por AB 2 se obtiene: AC AB

2 2

+

CB AB

2

2

=

AB AB

2

2

O, lo que es lo mismo, 2

2

 AC   CB    +  =1  AB   AB  Usando ahora las razones trigonométricas, resulta

( senα ) 2 + ( cos α ) 2 = 1 sen 2α + cos 2 α = 1

Se deja como ejercicio demostrar las otras relaciones pitagóricas. Ejemplos: 1) Demuestre que cos 4 α − sen 4α = cos 2 α − sen 2α .

(

)(

cos 4 α − sen 4α = cos 2 α + sen 2α cos 2 α − sen 2α = cos 2 α − sen 2α

)

Donde el primer producto es igual a 1 2) Demuestre que cot α 1 − cos2 α = cos α cot α 1 − cos 2 α = cot α ⋅ senα cos α = ⋅ senα = cos α senα 3) Demuestre que cot 4 α − 1 = cos ec 4α − 2 cos ec 2α

(

)(

)

cot 4 α − 1 = cot 2 α + 1 cot 2 α − 1 = cos ec 2α cos ec 2α − 1 − 1 = cos ec 4α − 2 cos ec 2α

(

)

Ejercicios. Demuestre las siguientes identidades. 1) senα cot α = cos α 2) cot α sec α = cos ecα 3) cos α tan α = senα 4) senα sec α = tan α 5) cos α cos ecα = cot α 6) cot α sec αsenα = 1

(

)

(

)

7) 1 − cos 2 α cos ec 2α = 1 8) 1 − sen 2α sec 2 α = 1 9) tan α 1 − sen 2α = senα 10) (1 − cos 2 α ) sec 2 α = tan 2 α