Mo Hinh Ung Dung

Cho hệ Eclang n kênh. Phân tích sự biến động của tỉ lệ yêu cầu bị từ chối bằng cách sử dụng các công

cụ giaỉ tích.

Hệ Eclang có kênh phuc vụ: -

Năng suất các kênh bằng nhau bằng µ.

-

Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson dừng mật độ λ

-

Thời gian phục vụ yêu cầu của kênh tuân theo quy luật chỉ số.

Ta có sơ đồ trạng thái của hệ thống : Hệ phương trình trạng thái: P’0(t) = - λ Po(t) + µP1(t) P’1(t) = - λ P1(t) - µP1(t) + λ Po(t) + 2µP2(t) ………. P’k(t) = - λ Pk(t) - kµPk(t) + λ Pk-1(t) + (k+1)µPk+1(t) ………. P’n(t) = nµPn(t) + λ Pn-1(t) Với điều kiện chuẩn

∑ P k=0

Trong trường hợp hệ dừng, các đạo hàm theo thời gian chờ đều bằng 0, ta có hệ phương trình sau 0 = - λ Po + µP1

(1)

0 = - λ P1 - µP1 + λ Po + 2µP2

(2)

………. 0 = - λ Pk - kµPk + λ Pk-1 + (k+1)µPk+1 (k) ………. 0 = nµPn + λ Pn-1

(n)

Từ (1) suy ra P1=

λ P thay vào (2) ta có µ 0

-λ

λ λ P0 - µ P0 + λ P0 + 2 µ P2 =0 µ µ

λ

⇔-

2

µ

P0 + 2 µ P2 = 0

⇔ P2 =

λ 2µ

đặt α =

λ ta có µ

2 2

P0

P= 1

α 1!

P

0

P = λ2! P 2

2

0

P = λk! P k

tổng quát

k

0

thay vào điều kiện chuẩn ta có n

∑P k =0

k

=

∑ αk! P n

P

k

k =0

⇒

0

0

=

1

∑α n

k =0

k

k!

Bằng cách nhân cả tử và mẫu số trong công thức trên với

p = e αα e α

Ta có

0

Kí hiệu P( α , k ) =

e α −α

k

−α

0

0!

−

k

k!

e

−α

k! _ là xác suất một biến ngẫu nhiên phân phối Poisson nhận giá trị k

. R( α , k ) =

P

0

=

k

∑ P( 0, k )

là xác suất tích luỹ tương ứng. Ta có:

i =0

P( α ,0) từ đó R(α , n )

P

k

=

P( α , k ) R( α , n )

(4)

Vậy xác suất yêu cầu đến hệ thống bị từ chối được tính:

Ptc =

Pn =

P( α , n ) R( α , n )

Các giá trị xác suất trên có thể tính được dễ dàng khi các tham số hữu tỉ và n đủ nhỏ. nếu không ta có thể dùng bảng giá trị phân phối Poisson. Phân tích sự biến đổi của Ptc theo n và α  Xét chiều biến thiên của Pn theo n

α

n

n!

∑α n

P P

n

=

α

n +1

=

n +1

(n + 1)!

∑α k!

k

n +1

α α ∑ n + 1 k = 0 k!

k

n

=

k =0

k

n +1 k! α

n +1

k!

k =0

∑α

k

n +1

k!

k =0

∑α

k

∑α n

k =0

k

k!

k =0

⇒ Tử số và mẫu số của các phân thức trên đều là tổng của các số dương. Ta thấy mỗi số

hạng của trên tử số đều tương ứng lớn hơn hoặc bằng sơ hạng ở mẫu số. Ngoài ra 1/ α >0. Vậy phân thức trên lớn hơn 1 với mọi n, hay khi n tăng thì Pn giảm  Xét chiều biến thiên của Pn theo α với α >0

Đặt α ' = hα ( với h>1 thì α ' > α )

hα n

P ( α ') = n

n

n!

∑α h k

n

k

k!

k =0

với n>0 và k ≤ n, ta có

hα n

P ( α ') = n

∑α h k

k =0

k

vậy:

hα

n

n

n!

n

n

h >h

k

k!

≥

α

n

n!

h ∑α n

n

k =0

k

k!

=

n

n!

∑α n

k =0

k

=

P (α ) n

k!

Khi α tăng thì P( α , n ) tăng, tức hiệu suất lý thuyết tăng. c.

Theo cách a-, chúng ta hồi quy thực nghiệm Ptc theo n khi cố định α=4: n

Ptc 9 0.0133

1

2

3

4

5

6

7

8

0.8000

0.6154

0.4507

0.3107

0.1991

0.1172

0.0627

0.0304

10 0.0053 16

11 0.0019 17

12 0.0006 18

13 0.0002 19

14 5.63978E-05 20

15 1.50392E-05 21

3.75978E-06 22 2.86665E-10

8.84654E-07 23 4.98549E-11

1.9659E-07 24 8.30914E-12

4.13873E-08 25 1.32946E-12

8.27746E-09 26 2.04533E-13

1.57666E-09 27 3.03011E-14

Có mô hình hồi quy như sau:

Đồ thị cho thấy mối quan hệ ngược chiều của n va Ptc. Khi n tăng , Ptc giảm, tiệm cận với đường x=0

Khi cố định n, tính Ptc theo các tham số α khác nhau. Bảng tính exel với n=5 như sau: α Ptc

1 0.0625

2 0.2105

3 0.3462

4 0.4507

5 0.5297

6 0.5902

7 0.6375

8 0.6755

9 0.7064

10 0.7321

11 0.7537

12 0.7721

13 0.7880

14 0.8019

15 0.8140

16 0.8248

17 0.8344

18 0.8430

19 0.8508

20 0.8578

21 0.8642

22 0.8701

23 0.8754

24 0.8804

25 0.8850

26 0.8892

27 0.8931

HỒI QUY Ptc THEO anphal 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Đồ thị cho ta thấy mối quan hệ cùng chiều của α và Ptc .Khi α tăng Ptc tiến dần đến 1