Mo Hinh Tinh Toan

Cho mô hình yi = xi1 + θ 1 + xi2 θ 2 + ε i , (i = 1,…,n) . Trong đó ( i1,…,in) là các số nguyên. xi1, xi2,…, xin; i=(1,n) là các số ngẫu không nhiên đã biết. ε 1,…, ε n là các sai số ngẫu nhiên không biết. Quy ước dùng tích vô hướng (u,v) = u′ v. θ 

1 1. Viết điều kiện cần và đủ để tham ẩn θ =   có ƯLBPBN, c/m θ

Mô hình yi = xi1 + θ 1 + xi2 θ 2 + ε i , (i = 1,…,n) Để viết dưới dạng ma trận, đặt



2



xi 2   ε1     θ1    , θ =   , ε =   . θ 2  2×1 ε  xn 2   n n×1 Dạng ma trận của mô hình Y = Xθ + ε . Gọi Aθ là một tham hàm. Aθ ước lượng được ⇔ M ( Α′) ⊂ M ( Χ′)  y1   xi1    γ =   , Χ =   y  x  n n×1  n1

(ĐK cần đủ)

Ở đây Α = Ι ( 2×2 ) , Αθ = Ι ( 2×2 )θ( 2×1) = θ θ ước lượng được ⇔ M ( Ι′) ⊂ M ( Χ′) M ( Ι ) ⊂ M ( Χ′ ) 2 M ( Ι 2×2 ) = ℜ  1 0  0 1

Vì Ι 2×2 = 

(0,1)

(1,0)

θ ước lượng được ⇔ ℜ ⊂ M ( Χ′) Χ′ có 2 hàng ⇔ rankΧ′ = 2 ⇔ rankΧ = 2  θ1  Vậy điều kiện cần đủ để θ = θ  có ƯLBPBN là rankΧ = 2  2 2

2. Với giả thuyết nào thì ƯLBPBN đó sẽ không chệch? Khi Aθ đã ước lượng được: ( ΕΥ = Χθ , ∀θ ) ⇒ Αθˆ là ƯLKC cho Aθ . Ở đây ( RankΧ = 2, ΕΥ = Χθ , ∀θ ) ⇒ θˆ là ƯLKC cho θ . 3. Với giá trị giả thuyết nào thì ƯLBPBN đó sẽ tối ưu trong lớp tất cả các ước lượng tuyến tính không lệnh cho θ ? Và tối ưu nghĩa ra sao?

Khi Aθ đã ước lượng được: ( ΕΥ = Χθ , ∀θ , DΥ = σ 2Ι ) ⇒ D( ΗΥ ) ≥ D ( Αθˆ ) . Ở đây, ( RankΧ = 2, ΕΥ = Χθ , ∀θ , DΥ = σ 2Ι ) ⇒ D( ΗΥ ) ≥ D(θˆ) trong đó HY là ƯLKC bất kỳ cho θ , ƯLBPBN θˆ có ma trận hiệp phương sai nhỏ nhất so với mọi ƯLTTKC khác cho θ .