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Juan de Jesus González Carrillo. Matricula: ES172006961

CONVERSIONES NUMÉRICAS ENTRE SISTEMAS DECIMAL, BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL. Unidad 1, Actividad 2. Matemáticas discretas (MT-MMDI-1901-B1-003)

Lic. en Matemáticas 26 de enero de 2019

1 Actividad 2: Conversiones numéricas entre sistemas decimal, binario, octal y hexadecimal.

Instrucciones: Realiza las conversiones correspondientes utilizando el método que prefieras. Incluye el procedimiento en cada caso.

1. Convierte los siguientes números decimales a binarios: Procedimiento. La conversión de un número decimal a número binario se puede realizar mediante divisiones sucesivas entre 2 y colocado los residuos obtenidos, en cada una de ellas en orden inverso al que fueron obtenidos. a) 10

10  2 = 5 Residuo:0 5  2 = 2 Residuo:1 2  2 = 1 Residuo:0 1  2 = 0 Residuo:1 1010 = 10102 b) 31 31  2 = 15 Residuo:1 15  2 = 7 Residuo:1 72=3 Residuo:1 3 2 =1 Residuo:1 1 2 = 0 Residuo:1 3710 = 111112

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2 c) 54

54  2 = 27 Residuo: 0 27  2 = 13 Residuo: 1 13  2 = 6 Residuo: 1 62=3 Residuo: 0 3 2 =1 Residuo: 1 1 2 = 0 Residuo: 1 5410 = 1101102

d) 323 323  2 = 161 Residuo: 1 161  2 = 80 Residuo: 1 80  2 = 40 Residuo: 0 40  2 = 20 Residuo: 0 20  2 = 10 10  2 = 5

Residuo: 0 Residuo: 0

52 = 2 2  2 =1 1 2 = 0

Residuo: 1 Residuo: 0 Residuo: 1

32310 = 1010000112

e) 2014 2014  2 = 1007 Residuo: 0 1007  2 = 503 Residuo: 1 503  2 = 251 Residuo: 1 251  2 = 125

Residuo: 1

125  2 = 62 62  2 = 31

Residuo: 1 Residuo: 0

31  2 = 15

Residuo: 1

15  2 = 7 72=3

Residuo: 1 Residuo: 1

3 2 =1

Residuo: 1

1 2 = 0 Residuo: 1 201410 = 111110111102

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3 2. Convierte los siguientes números binarios a decimales: Procedimiento. En todos los casos, el valor absoluto de cada cifra (primera columna) se multiplica por su valor posicional (segunda columna), la suma de los productos nos da el número decimal respectivo. a) 01012 Valor absoluto

Valor posicional

1 1 0 2 1 4 0 8 Número decimal (suma)

V. absoluto x V. posicional 1 0 4 0 5

b) 1101012 Valor absoluto

Valor posicional

1 1 0 2 1 4 0 8 1 16 1 32 Número decimal (suma)

V. absoluto x V. posicional 1 0 4 0 16 32 53

c) 11111112 Valor absoluto

Valor posicional

1 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 Número decimal (suma)

V. absoluto x V. posicional 1 2 4 8 16 32 64 127

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4 d) 10101010102 Valor absoluto

Valor posicional

0 1 1 2 0 4 1 8 0 16 1 32 0 64 1 128 0 256 1 512 Número decimal (suma)

V. absoluto x V. posicional 0 2 0 8 0 32 0 128 0 512 682

e) 000100011112 Valor absoluto

Valor posicional

1 1 1 2 1 4 1 8 0 16 0 32 0 64 1 128 0 256 0 512 0 1024 Número decimal (suma)

V. absoluto x V. posicional 1 2 4 8 0 0 0 128 0 0 0 143

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5 3. Convierte los siguientes números octales a binarios: Procedimiento. Cada dígito de un número octal representa tres dígitos en el sistema binario, por lo que para convertir un número octal a otro binario cada dígito octal se sustituye por sus correspondientes tres dígitos binarios. La equivalencia entre dígito octal y dígitos binarios se muestra en la siguiente tabla. Dígito octal Dígitos binarios 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

a) 238

238 = 0100112 b) 3458

3458 = 0111001012 c) 7778

7778 = 1111111112 d) 10248

10248 = 0010000101002

4. Convierte los siguientes números decimales a octales: a) 5 Procedimiento. En el sistema de numeración octal los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. De 0 a 7 los números tienen la misma representación en los dos sistemas, por lo que:

5 = 58 Juan de Jesus González Carrillo. Conversiones numéricas entre sistemas decimal, binario, octal y hexadecimal.

6 La conversión de un número decimal a octal se hace del mismo modo que la conversión a número binario, excepto que las divisiones sucesivas son entre 2 y los residuos obtenidos se colocan en orden inverso. b) 81

81  8 = 10

Residuo = 1

10  8 = 1

Residuo = 2

18 = 0

Residuo = 1

8110 = 1218 c) 954

954  8 = 119 119  8 = 14 14  8 = 1 18 = 0 95410 = 16728

Residuo = 2 Residuo = 7 Residuo = 6 Residuo = 1

d) 8880 8880  8 = 1110 Residuo = 0 1110  8 = 138 Residuo = 6 138  8 = 17 Residuo = 2 17  8 = 2 Residuo = 1 2 8 = 0 Residuo = 2 888010 = 212608

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7 5. Convierte los siguientes números hexadecimales a binarios: Procedimiento. En el sistema Hexadecimal se emplean los diez primeros dígitos del sistema decimal, añadiéndole seis letras del abecedario: A, B, C, D, E y F. Cada dígito o letra de un número hexadecimal representa cuatro dígitos en el sistema binario, por lo que para convertir un número octal a otro binario cada dígito octal se sustituye por sus correspondientes cuatro dígitos binarios. La equivalencia entre dígito octal y dígitos binarios se muestra en la siguiente tabla.

Dígito hexadecimal Dígitos binarios 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111

a) 12316

12316 = 0001001000112 b) ABC916

ABC916 = 10101011110010012 c) F016

F 016 = 111100002 d) F83E16

F 83E16 = 11111000001111102

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8 6. Convierte los siguientes números octales a hexadecimales: Procedimiento. La conversión se realiza mediante un paso intermedio, es decir, primero se convierte el número octal en binario, y éste se pasa a hexadecimal. Para convertir el número binario a hexadecimal, el número binario se separa en grupos de cuatro cifras de derecha a izquierda, si es necesario se agregan ceros a la izquierda del número binario para formar el grupo de cuatro cifras. Posteriormente, cada agrupamiento se sustituye por su equivalente en el sistema hexadecimal. a) 108

108 = 0010002 = 000010002 = 0816 = 816 b) 4008

4008 = 1000000002 = 0001000000002 = 10016 c) 70508

70508 = 1110001010002 = E 2816 d) 111118

111118 = 0010010010010012 = 00010010010010012 = 124916

7. Convierte los siguientes números decimales a binarios, octales y hexadecimales: a) 10

10  2 = 5 Residuo = 0 52 = 2 Residuo = 1 2  2 = 1 Residuo = 0 1 2 = 0 Residuo = 1 10=10102 = 0010102 = 128 = A16

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9 b) 100

100  2 = 50 50  2 = 25 25  2 = 12 12  2 = 6 62=3 3 2 =1 1 2 = 0 100=11001002

Residuo=0 Residuo=0 Residuo=1 Residuo=0 Residuo=0 Residuo=1 Residuo=1 = 0011001002 = 1448 = 6416

c) 1000

1000  2 = 500 500  2 = 250 250  2 = 125 125  2 = 62

Residuo=0 Residuo=0 Residuo=0 Residuo=1

62  2 = 31 Residuo=0 31  2 = 15 Residuo=1 15  2 = 7 Residuo=1 72=3 Residuo=1 3 2 =1 Residuo=1 1 2 = 0 Residuo=1 1000=11111010002 = 0011111010002 = 17508 = 3E816

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10 d) 10000

1000  2 = 5000 Residuo=0 5000  2 = 2500 Residuo=0 2500  2 = 1250 Residuo=0 1250  2 = 625 Residuo=0 625  2 = 312 Residuo=1 312  2 = 156 Residuo=0 156  2 = 78 Residuo=0 78  2 = 39 Residuo=0 39  2 = 19 Residuo=1 19  2 = 9 Residuo=1 92= 4 Residuo=1 42= 2 Residuo=0 2  2 =1 Residuo=0 1 2 = 0 Residuo=1 10000=0100111000100002 = 00100111000100002 = 234208 = 271016 8. ¿Cuál de los siguientes números binarios es mayor: 01001110 y 01010001? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal? 01010001>01001110 Al igual que en el sistema de numeración decimal, en el sistema de numeración binario cada cifra tiene un valor posicional y uno absoluto; esto significa que las cifras, mayores a cero, que se localizan más a la derecha del punto decimal, tienen un mayor valor que aquellas que se encuentran más cercas del punto decimal, además, si se comparan cifras que se encuentran en la misma posición, será mayor la que tenga mayor valor absoluto. Se observa que, en 01010001, la cifra en la 5ª posición a la derecha del punto decimal es igual a1; mientras que, en 01001110, en la misma posición, la cifra correspondiente tiene un valor igual a cero, dado que 1>0, se concluye que: 01010001>01001110. 9. ¿Cuántos números diferentes se pueden escribir utilizando el sistema de numeración binario con únicamente 8 dígitos?

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11 Realmente, en el sistema binario únicamente se pueden emplear dos dígitos: el 0 y el 1. Sin embargo, si la pregunta se refiere a números diferentes en el sistema binario empleando 8 cifras; entonces, dado que la base es 2, se tendría que: 28 = 256 Es decir, se pueden escribir 256 número diferentes utilizando únicamente 8 cifras en el sistema binario.

Referencias Bibliográficas. Gutiérrez, J. M., & Lanchares Barrasa, V. (2010). Elementos de Matemática Discreta. España: Universidad de la Rioja. Johnsonbaugh, R. (2005). Matemáticas Discretas. México: Pearson. Soriano, T. Z. (2011). Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas Discretas. Estado de México: Tecnológico de Estudios Superiores Oriente del Estado de México.

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