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Rendas Certas ou Anuidades Nas aplica¸c˜ oes financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma s´o vez ou em sucessivos pagamentos. Quando queremos constituir um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitaliza¸c˜ ao. Se quisermos pagar uma d´ıvida, temos um processo de amortiza¸c˜ ao. Estes exemplos caracterizam a existˆencia de rendas ou anuidades, que podem ser basicamente de dois tipos: 1. Rendas certas ou determin´ısticas: S˜ao aquelas cuja dura¸c˜ao e pagamentos s˜ ao predeterminados, n˜ ao dependendo de condi¸c˜oes externas. Os diversos parˆ ametros, como o valor dos termos, prazo de dura¸c˜ao, taxa de juros e outros, s˜ ao fixos e imut´aveis. Tais tipos de renda s˜ ao estudados pela Matem´atica Financeira. 2. Rendas aleat´ orias ou probabil´ısticas: Os valores e/ou as datas de paga´ o que ocorre, mentos ou de recebimentos podem ser vari´aveis aleat´orias. E por exemplo, com os seguros de vida: os valores de pagamentos (mensalidades) s˜ ao certos, sendo aleat´orios o valor de seguro a receber e a data de recebimento. Rendas com essas caracter´ısticas s˜ao estudadas pela Matem´atica Atuarial. Aqui, vamos apenas as rendas certas ou anuidades, sob o regime de juros compostos, a menos que explecitado o contr´ario. Defini¸ c˜ oes Seja a s´erie seguinte da capitais, referidos `as suas respectivas datas, que por sua vez s˜ ao referidos a uma dada data focal: R1 −→ n1 R2 −→ n2 R3 −→ n3 .. . Rm −→ nm Estes capitais, que podem ser pagamentos ou recebimentos, referidos a uma dada taxa de juros i, caracterizam uma anuidade ou renda certa. Os valores que constituem a renda s˜ao chamados termos. O intervalo de tempo entre dois termos chama-se per´ıodo e a soma dos per´ıodos define a dura¸c˜ ao da anuidade. O valor atual de uma anuidade ´e a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta feita para uma mesma data focal e `a mesma taxa de juros. De modo semelhante, o montante de uma anuidade ´e a soma dos montantes de seus termos considerada uma dada taxa de juros e uma data focal.

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Classifica¸ c˜ ao das Anuidades 1. Quanto ao prazo (a) Tempor´ arias: quando a dura¸c˜ao for limitada. (b) Perp´etuas: quando a dura¸c˜ao for ilimitada. 2. Quanto ao valor dos termos (a) Constante: se todos os termos s˜ao iguais. (b) Vari´ avel: se os termos n˜ao s˜ao iguais entre si. 3. Quanto ` a forma de pagamento ou de recebimento (a) Imediatas: quando os termos s˜ao exig´ıveis a partir do primeiro per´ıodo. i. Postecidas ou vencidas: se os termos s˜ao exig´ıveis no fim dos per´ıodos. ii. Antecipadas: se os termos s˜ao exig´ıveis no in´ıcio dos per´ıodos. (b) Diferidas: se os termos forem exig´ıveis a partir de uma data que n˜ao seja o primeiro per´ıodo. i. Postecidas ou vencidas: so os termos s˜ao exig´ıveis no fim dos per´ıodos. ii. Antecipadas: se os termos s˜ao exig´ıveis no in´ıcio dos per´ıodos. 4. Quanto ` a periodicidade (a) Peri´ odicas: se todos os per´ıodos s˜ao iguais. (b) N˜ ao-peri´ odicas: se os per´ıodos n˜ao s˜ao iguais entre si. Modelo B´ asico de Anuidade Por modelo b´ asico de anuidades entendemos as anuidades que s˜ao simultaneamente: 1. tempor´ arias 2. constantes 3. imediatas e postecipadas 4. peri´ odicas E que a taxa de juros i seja referida ao mesmo per´ıodo dos termos.

Valor Atual do Modelo B´ asico Seja um principal P a ser pago em n termos iguais a R, imediatos, postecipados e peri´ odicos. Seja tamb´em uma taxa de juros i, referida ao mesmo per´ıodo dos termos. A representa¸c˜ao gr´afica do modelo ´e:

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A soma do valos atual dos termos na data zero ´e dada por: P =

R R R R + + + ··· + 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

ou, colocando-se R em evidˆencia:   1 1 1 1 P =R + + + ··· + (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n Fazendo, anei =

1 1 1 1 + + + ··· + 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

P = R · anei

Temos:

anei lˆe-se ”a, n cantoneira i”ou, simplesmente, ”a, n, i”.

O valor de anei pe obtido pela soma dos termos de uma progress˜ ao geom´etrica com as seguintes caracter´ısticas: Valor da soma: Sn =

a1 − an q 1−q

1 = (1 + i)−1 (1 + i) 1 n-´esimo termo: an = = (1 + i)−n (1 + i)n 1 = (1 + i)−1 raz˜ ao: q = (1 + i)

1o termo: a1 =

Substituindo-se os valores respectivos na f´ormula da soma, tem-se: Sn =

a1 − an q = anei 1−q

Temos que: anei =

1 − (1 + i)−n i

ou ainda, anei =

(1 + i)n − 1 i(1 + i)n 3

Montante do Modelo B´ asico Seja um processo de capitaliza¸c˜ao em que s˜ao aplicadas parcelas iguais a R, peri´ odicas e postecipadas, a uma taxa de juros i, referida ao mesmo tempo per´ıodo dos termos. A representa¸c˜ao gr´afica deste modelo ´e a seguinte:

O montante (S) ´e o resultado da soma dos montantes de cada um dos termos, ` a taxa de juros i, na data focal n. Portanto, S = R + R(1 + i) + R(1 + i)2 + · · · + R(1 + i)n−1 Colocando-se o R em evidˆencia, temos: S = R[1 + (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)n−1 ] Fazendo snei = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)n−1 Logo, temos: S = R · snei snei lˆe-se: ”S, n cantoneira i”ou, simplesmente,”s, n, i”. A f´ ormula do snei ´e obtida pela soma dos termos de uma progra¸c˜ ao geom´etrica: Valor da soma: Sn =

a1 − an q 1−q

1o termo: a1 = 1 n-´esimo termo: an = (1 + i)n−1 raz˜ ao: q = (1 + i)

Substituindo-se na f´ ormula da soma, obtemos: snei =

(1 + i)n − 1 i

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Rela¸ c˜ ao entre os fatores anei e snei Se tomarmos a f´ ormula de fator de amortiza¸c˜ao anei =

(1 + i)n − 1 i(1 + i)n

Multiplicando-se os dois membros por (1 + i)n : (1 + i)n · anei =

(1 + i)n − 1 · (1 + i)n i(1 + i)n

(1 + i)n − 1 i Como o segundo membro desta igualdade ´e, exatamente, o valor de snei , podemos escrever: snei = (1 + i)n · anei (1 + i)n · anei =

Tomando agora a f´ omula de montante, temos S = R · snei Substituindo a rela¸c˜ ao encontrada acima S = R · (1 + i)n · anei e, como P = R · anei , temos: S = P · (1 + i)n Ou seja, o montante (S) do modelo b´asico ´e igual ao principal (P ) capitalizado por n per´ıodos ` a taxa de juros i. Exemplos: 1. Uma loja vende um tapete em 12 presta¸c˜oes mensais de R$ 97,49 ou em 24 presta¸c˜ oes mensais de R$ 61,50. Nos dois casos, o cliente n˜ao dar´a entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do cr´edito pessoal ´e de 2,5% a.m., pergunta-se: qual ´e o melhor sistema para o comprador? 2. Jo˜ ao, conversando com um amigo, conta-lhe que fez o ”melhor neg´ocio do mundo”, pois comprou uma motocicleta, cujo valor a vista era de R$ 30.000,00, em presta¸c˜ oes mensais de R$ 1.326,06, sem dar entrada alguma. Jo˜ ao achou que o neg´ ocio fora bom porque, apesar de o vendedor dizer-lhe que a taxa de juros era de 4% a.m., o valor da presta¸c˜ao era baixo. Seu amigo pergunta-lhe em quantas presta¸c˜oes comprara e ele respondeu que n˜ ao sabia. Calcule o n´ umero de presta¸c˜oes. 3. O pai de um estudante efetua mensalmente, durante 36 meses, dep´ositos de R$ 200,00 em um banco que paga 2% a.m. sobre o saldo credor. Este dinheiro de destina ao custeamento dos estudos superiores do filho. Qual ser´ a o montante acumulado ap´os ser efetuado o u ´ltimo dep´osito? 4. Quantos dep´ ositos bimestrais de R$ 1.000,00 ser˜ao necess´arios para que, se a remunera¸c˜ ao for de 4% a.b., se tenha R$ 29.778,08?

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