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UNIDAD 1: SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CLASE 1 ECUACION LINEAL Las matemáticas no son abstracciones son una herramienta básica para la vida. Las matemáticas nos permiten trasladar un problema que se encuentre en el lenguaje común al lenguaje matemático con el fin de analizarlo. Lenguaje común → Lenguaje matemático Veamos el siguiente ejemplo: La edad de Arturo mas 13 es igual a 40, ¿Cuál es la edad de Arturo? Para obtener el modelo matemático tengamos en cuenta las siguientes sugerencias: 1. Entender bien el enunciado. 2. Identificar la(s) incógnita(s) que por lo general están dadas en la pregunta. incógnita → edad de Arturo = x Lenguaje común

La edad de Arturo mas

1 3

es igual a 40

Lenguaje matemático a este modelo matemático x +13 = 40 también se le llama ecuación. Ecuación: es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo es verdadera para determinados valores de las incógnitas. elementos de la ecuación: miembro izquierdo →

igualdad x + 13

= 10

← miembro derecho

Termino: cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el signo + ó – El miembro izquierdo de la ecuación tiene 2 términos: x, 13 El miembro derecho de la ecuación tiene 1 término: 10 La incógnita es la cantidad desconocida y por lo regular se representa por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Se dice que es una ecuación de primer grado o lineal porque la incógnita esta elevada a la primera potencia. x1 = x 1

Llena la siguiente tabla: ¿Es una ecuación?

¿Es una ecuación de primer grado(lineal) ?

2+ x =3

Términos del miembro izquierdo

Términos del miembro derecho

Incógnita(s)

−62 + x = 3 +13 y

15 = 12 + 3 x 2 −8 = x x+y =z x2 − 8 + x

Las siguientes expresiones nos servirán para entender la notación del lenguaje matemático: 1 1x x x=  = 2 21 2 1 1 x  x La tercera parte de un numero ________________ x =   = 3 31  3

La mitad de un numero ________________

El doble de un numero _________________ 2x El triple de un numero _________________ 3x Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita. De las siguientes situaciones obtén su ecuación, resuélvela y compruébala. Recuerda que para resolver una ecuación seguimos las siguientes reglas: Si un termino esta: sumando restando multiplicando dividiendo

Pasa: restando sumando dividiendo(con el mismo signo) multiplicando(con el mismo signo)

1. El doble de un número es 24. ¿Cual es el número? Incógnita → numero = x

Comprobación (sustituimos el valor obtenido en la ecuación) 2 x = 24 24 x= 2 x = 12

2(12 ) = 24 24 = 24

El número es 12

2. El triple de un número mas 3 es igual a 6 ¿Cuál es el número? Incógnita → numero = x

Comprobación 2

3(1) +3 = 6 3 +3 = 6 6 =6

3 x +3 = 6 3 x = 6 −3 3x = 3 3 x= 3 x =1

El número es 1 3. La mitad de un número menos 2 es 6, ¿Cuál es el numero? Incógnita → numero = x 1 x −2 = 6 2 x =6 +2 2 x =8 2 x = 8( 2) x = 16

Comprobación x −2 = 6 2 16 −2 = 6 2 8 −2 = 6 6 =6

El número es 16 4. La suma de dos números enteros consecutivos da 17 ¿Cuáles son esos números? Incógnitas

número 1 = x número 2 = x + 1

x + ( x +1) =17 x + x +1 =17 2 x +1 =17 2 x =17 −1 2 x =16 16 x= 2 x =8

Comprobación

x + x +1 =17 8 +8 +1 =17 17 =17

5. En el centro de copiado del CCH Vallejo la maquina 1 produce el doble de copias que la maquina 2 y ambas producen al día 300 copias, ¿Cuántas copias produce cada maquina? Incógnitas

maquina 1 = 2x maquina 2 = x

Comprobación

3

2 x + x = 300 3 x = 300

2 x + x = 300 2(100 ) +100 = 300 200 +100 = 300 300 = 300

300 3 x = 100 x=

La maquina 2 produce 100 copias La maquina 1 produce 200 copias

Tarea: Ana, Beti y Caro realizaran un trabajo de historia. Ana escribirá x cuartillas, Beti escribirá el triple de cuartillas que Ana y Caro escribirá el doble de las cuartillas de Ana mas 8. Si el trabajo tendrá un total de 248 cuartillas ¿Cuántas cuartillas escribirá cada una?

Incógnitas x +3 x + 2 x +8 = 248 6 x +8 = 248 6 x = 248 −8 6 x = 240 x = 40

cuartillas de Ana = x cuartillas de Beti = 3x cuartillas de Caro= 2x + 8

Comprobación

x + 3 x + 2 x +8 = 248 40 + 3( 40 ) + 2( 40 ) +8 = 248 40 +120 +80 +8 = 248 248 = 248

cuartillas de Ana = 40 cuartillas de Beti = 3x = 3(40) =120 cuartillas de Caro= 2x + 8 =2(40) + 8 =80 + 8 = 88

CLASE 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L) SOLUCION POR EL METODO GRAFICO. En la clase 1 recordamos lo que es una ecuación lineal, en esta clase vamos a recordar lo que es un sistema de ecuaciones lineales.

4

Situaciones que dan lugar a S.E.L. El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30 y si se compran 3 cuadernos y una pluma es de $35. Encuentra el precio de cada artículo. ¿Cómo podemos obtener el S.E.L.? 1. Entender bien el enunciado. 2. Identificar la(s) incógnita(s). 3. Trasladando el lenguaje común a sus respectivas ecuaciones. Solución: incógnitas: c = precio de cada cuaderno p = precio de cada pluma primera ecuación: 2c + 2p = 30 __1 segunda ecuación: 3c + 1p = 35 __2

S.E.L

Ahora podemos definir lo que es un S.E.L. Un sistema de ecuaciones lineales es ________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Cuando en un sistema de ecuaciones el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas si se puede empezar a resolver utilizando los métodos que veremos mas adelante. Indica si los siguientes sistemas de ecuaciones se pueden empezar a resolver: 2x + 2y = 28 3y = 25

S.E.L. de 2x2 (2 ecs. y 2 incóg.)

6s – 4 = 4t

-6x = 35 8=x+y

3s + 8t – 6r = -8 4s – 8t + r = 3

Resolver un sistema de ecuaciones, es encontrar el valor de las incógnitas que satisfacen las igualdades, a estos valores se les llama soluciones o raíces de la ecuación. Una solución Tiene solución Infinidad de soluciones S.E.L de 2x2 No tiene solución Métodos para

- Método grafico - Método de suma o resta 5

resolver S.E.L.

- Método de sustitución

Vamos a recordar como graficar. Tengo 2 ecuaciones y + 3x = 8 ¿Es una ecuación lineal?_____ ¿Por qué?____________________________

y + 3x2 = 8 ¿Es una ecuación lineal?_____ ¿Por qué?____________________________

Despejar una incógnita y + 3x = 8 y = 8 – 3x La grafica de una ecuación lineal es una recta

Despejar una incógnita y + 3x2 = 8 y = 8 – 3x2 La grafica de una ecuación no lineal no es una recta Para trazar una ecuación no lineal necesito varios puntos.

Para trazar una recta necesito dos puntos x y = 8 – 3x 0 y= 8-3(0) =8-0=8 5 y= 8-3(5)=8-15=-7

x 2 1 0 1 2

Grafica

y = 8 – 3x2 y = 8-3(-2)2 =8-3(4)=8-12=-4 y = 8-3(-1)2 = 8 - 3(1) = 8 - 3 = 5 y = 8-3(0)2 = 8 - 3(0) = 8 - 0 = 8 y = 8-3(1)2 = 8 - 3(1) = 8 - 3 = 5 y = 8-3(2)2 = 8 - 3(4) = 8 - 12 = 4

Grafica

En esta unidad trabajaremos solo con ecuaciones lineales. Ya una vez recordado las herramientas para graficar vamos a resolver el problema planteado al inicio de clase: El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan $35. Encuentra el precio de cada artículo. 6

solución: incógnitas:

cuaderno = c pluma = p Las ecuaciones nos quedan

2c + 2p = 30 ____1 3c + p = 35 ____2

2c + 2p = 30 Despejar una incógnita

3c + p = 35 Despejar una incógnita

2c + 2 p = 30 2c = 30 − 2 p 30 − 2 p 30 2 p c= = − = 2 2 2 c =15 − p

3c + p = 35 3c = 35 − p c=

Tabulación p 0 1 0

35 − p 3

Tabulación.

c = 15 – p y = 15- (0)= 15- 0 = 15 y = 15- (10)= 15- 10 = 5

p 0 1 0

35 − p 3 35 − p 35 − 0 c= = = 11 .66 3 3 35 − p 35 −10 25 c= = = = 8.33 3 3 3

c= c=

Para las graficas tomar como eje horizontal p (se puede tomar cualquiera, pero para que todos tengamos los mismos ejes hagámoslo de esa manera) Grafica

La solución es el punto donde se intersecan las rectas. Precio de la pluma __________ Precio del cuaderno __________ Ejercicio: Resolver por el método grafico el siguiente S.E.L. de 2x2 7 x +4 y =13 ___ 1 5 x −2 y =19 ___ 2

Solución:

7

Despejar una incógnita

Despejar una incógnita

y=(13-7x)/4 Tabulación x y -5,0 12,0 0 3,25 1,0 1,5 2,0 -0,25 3,0 -2,0 4,0 -3,75 5,0 -5,5 6,0 -7,25 7,0 -9,0 Para las graficas tomar como eje horizontal x Grafica

Tabulación.

La solución es el punto donde se intersecan las rectas. x = _3_________ y = __-2________ Tarea: Resolver por el método grafico el siguiente S.E.L. de 2x2 x −2 y = 6 ___ 1 2 x −4 y = 5 ___ 2

Solución: x −2 y = 6

2x − 4 y = 5

8

Despejar una incógnita

Despejar una incógnita

x −2y = 6

2x − 4 y = 5

−2y = 6 − x 6 −x y= −2

−4 y = 5 − 2x 5 − 2x y= −4

Tabulación y=(6-x)/-2 x y -5,0 -5,5 0 -3,0 5,0 -0,5 10 2

Tabulación. y=(5-2x)/-4 x y -5,0 -3,75 0 -1,25 5,0 1,25 10,0 3,75

Para las graficas tomar como eje horizontal x Grafica

La solución es el punto donde se intersecan las rectas. x = __________ y = __________

CLASE 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L) SOLUCION POR EL METODO DE SUMA O RESTA. Método de suma o resta: 1. Se ordenan las ecuaciones en columnas de acuerdo a las incógnitas. 2. Se escoge una incógnita para eliminarla, de preferencia la que tenga un factor igual a 1. Factor es el número que multiplica a la incógnita, por ejemplo en 3x el factor es ____ 9

en w el factor es ___. 3. Se multiplican las ecuaciones por los factores de las incógnitas a eliminar en forma cruzada, a un factor (cualquiera) se le cambia de signo. 4. Se realiza la suma o resta y se encuentra la primera incógnita. 5. Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la incógnita faltante 6. comprobar los resultados en ambas ecuaciones Ejemplo 1: El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan $35. Encuentra el precio de cada artículo. solución: incógnitas:

cuaderno = c pluma = p

2c + 2p = 30 3c + p = 35

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. 2c + 2p = 30 ____1 3c + p = 35 ____2 2. vamos a eliminar p, 3. 4.

1(2c + 2p = 30) → 2c + 2p = 30 -2(3c + p = 35) → -6c – 2p = -70 ____________ -4c = -40 c = -40/-4 c = 10

5. sustituyendo c en ec. 2

3c + p = 35 p=5

cada cuaderno vale $10 y cada pluma vale $5 6. comprobación:

Ecuación 1

Ecuación 2

2c + 2p = 30 2(10) + 2(5) =30 20 + 10 = 30 30 = 30

3c + p = 35 3(10) + 5 = 35 30 + 5 =35 35 = 35

Ejemplo 2. En un laboratorio de biología se van a comprar tubos de ensayo y probetas, la tienda dice que diez tubos de ensayo y cuatro probetas cuestan $62, y tres tubos de ensayo y cinco probetas cuestan $30, ¿Cuánto cuesta cada producto? 10

solución: incognitas:

Tubos de ensayo = t probetas = p

10t + 4p = 62 3 t + 5p = 30

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. 10t + 4p = 62____1 3 t + 5p = 30 ____2 2. vamos a eliminar p, 3. 4.

5(10t + 4p = 62) → 50t + 20p = 310 -4(3 t + 5p = 30) → -12t - 20p = -120 ____________ 38t = 190 t = 190/38 t=5

5. sustituyendo t en ec. 2

3(5) + 5p = 30 15 + 5p = 30 5p = 15 p=3

cada tubos de ensayo vale $5 y cada probeta vale $3 6. comprobación:

Ecuación 1 Ecuación 2 10t + 4p = 62 3 t + 5p = 30 10(5) + 4(3) = 62 3(5) + 5(3) = 30 50 + 12 =62 15 + 15 = 30 62 = 62 30 = 30 Resuelve los siguientes ejercicios por el método de suma o resta. Ejercicio 1: Rosa y julia tienen ahorrado entre las dos $40, Rosa tiene el doble de lo que tiene julia más $7 ¿Cuánto tiene ahorrado cada una? solución: incógnitas:

Dinero ahorrado de Rosa = R Dinero ahorrado de Julia = J

R + J = 40 R = 2J +7

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 11

1. R + J = 40____1 R – 2J = 7 ____2 2. vamos a eliminar R 3. 4.

1(R + J = 40) → R + J = 40 -1(R - 2J = 7) → -R + 2J = -7 ____________ 3J = 33 J = 33/3 J = 11

5. sustituyendo J en ec. 1

R + J = 40 R + 11 = 40 R = 40 - 11 R = 29

Rosa tiene ahorrado = $29 y Julia tiene ahorrado $11 6. comprobación:

Ecuación 1 R + J = 40 29 + 11 = 40 40 = 40

Ecuación 2 R – 2J = 7 29 – 2(11) =7 29 – 22 = 7 7=7

Tarea. Resuelve el siguiente S.E.L. solución: incógnitas:

x = 3 + 2y _______ 1 -4y = 6 - 3x _______ 2

x, y

x – 2y =3 3x – 4y = 6

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. x – 2y = 3____1 3x – 4y = 6____2 12

2. vamos a eliminar x 3. 4.

3( x – 2y = 3) → 3x – 6y = 9 -1(3x – 4y = 6) → -3x + 4y = -6 ____________ -2y = 3 y = 3/-2 y = -1.5

5. sustituyendo y en ec. 1

6. comprobación:

x – 2y = 3 x – 2(-1.5) = 3 x+3=3 x=0

Ecuación 1 x – 2y = 3 – 2(-1.5) = 3

Ecuación 2 3x – 4y = 6 3(0) – 4(-1.5) = 6 6=6

CLASE 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SOLUCION POR EL METODO DE SUSTITUCION. Método de sustitución: 1. Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones (de preferencia la que tenga un factor igual a 1) 2. La incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación para obtener el valor de esta incógnita. 3. Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en el paso 2 en cualquier ecuación original para obtener el valor de la incógnita restante. 13

4. comprobar los resultados en ambas ecuaciones Ejemplo 1. Resolver por el método de sustitución el siguiente S.E.L. x – y = 6 ____ 1 3x + y = 2 ____ 2

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. despejamos x de la ecuación 1

x= 6+y

2. sustituimos x en la ecuación 2

3(6 + y) + y = 2 18 + 3y + y = 2 4y = 2 - 18 y= -16 y=-4

3. sustituimos y en la ecuación 1

x - (- 4) = 6 x+4=6 x=6-4 x=2

4. comprobación:

Ecuación 1

Ecuación 2

x–y=6 2 – (-4) = 6 2+4=6 6=6

3x + y = 2 3(2) + (-4) = 2 6–4=2

Ejemplo 2. Resolver por el método de sustitución el siguiente S.E.L. 2 7 1 x+y = 4 x −1 =

__ 1

__ 2 Solución: 1. despejamos x de la ecuación 1

x −1 =

2 7

2 +1 7 2 +7 x= 147 9 x= 7 x=

2. sustituimos x en la ecuación 2 1 4 9 1 +y = 7 4 1 9 y= − 4 7 7 − 36 y= 28 − 29 y= 28 29 y =− 2

x+y =

3. comprobación:

Ecuación 1 2 7 9 2 −1 = 7 7 9 −7 2 = 7 7 2 2 = 7 7 x −1 =

Ejercicio 1.

Ecuación 2 1 4 9  29  1 +− = 7  28  4 9 29 1 − = 7 28 4 36 − 29 1 = 28 4 7 1 = 28 4 1 1 = 4 4

x+y =

9x – 3y = 24 11x + 2y = 1

1. despejamos x de la ecuación 1

9 x −3 y = 24 9 x = 24 + 3 y 24 +3 y x= 9

15

11 x + 2 y =1

2. sustituimos x en la ecuación 2

 24 +3 y  11  + 2 y =1 9   264 +33 y + 2 y =1 9 264 +33 y =1 − 2 y 9 264 +33 y = (1 − 2 y )9 264 +33 y = 9 −18 y 33 y +18 y = 9 − 264 51 y = −255 255 51 y = −5 y =−

3. sustituimos y en la ecuación 1

4. comprobación:

- 3y = 24 - 3(-5) = 24 +15 = 24 = 24 −15 9 x= 9 x =1

9x 9x 9x 9x

Ecuación 1

Ecuación 2

9 x +3 y =24 9(1) −3( −5) =24 9 +15 =24 24 =24

11 x +2 y =1 11 (1) +2( −5) =1 11 −10 =1 1 =1

Ejercicio 2: Del siguiente enunciado obtener el S.E.L. y resolverlo por el método de sustitución. La edad de Juan es el doble que la de pedro y ambas suman 15, ¿Qué edad tiene cada uno? Solución: Incógnitas:

Edad de Juan → J Edad de Maria → M J = 2P ____ 1 J + P = 15 ____ 2

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. 2. sustituimos J en la ecuación 2 16

(2P) + P = 15 3P = 15 P = 15/3 P=5

3. sustituimos P en la ecuación 1 J = 2P J = 2(5) J = 10

4. comprobación:

Ecuación 1 J = 2P 10 = 2(5) 10 = 10

Ecuación 2 J + P = 15 10 + 5 = 15 15 = 15

Tarea: Resolver por el método de sustitución el siguiente ejercicio: Don Juan compro 30 animales para su granja (patos y chivos), si por cada pato pago $20 y por cada chivo $120 y en total gasto $3000, ¿Cuántos patos y cuantos chivos compro? Solución: p+ ch = 30 ___ 1 20p + 120ch = 3000 ___ 2 1. despejamos p de la ecuación 1

p =30 − ch

17

20 (30 −ch ) +120 ch = 3000 600 − 20 ch +120 ch = 3000

2. sustituimos p en la ecuación 2

100 ch = 3000 −600 2400 ch = 100 ch = 24

p +ch =30

3. sustituimos ch en la ecuación 1

p +24 =30 p =30 −24 p =6

Se compraron 24 chivos y 6 patos 4. comprobación:

Ecuación 1

Ecuación 2 20 p +120 ch =3000

p +ch = 30 24 + 6 = 30 30 = 30

20 (6) +120 ( 24 ) = 3000 120 +2880 = 3000 3000 = 3000

CLASE 5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 3X3 (S.E.L. de 3X3) Sistema de ecuaciones lineales de 3x3 (3 ecuaciones, 3 incógnitas) Anota las características de cada sistema 2 x + 4 y − 3w = 5 3x − 2 y + 4 w = 5 4 x + 3 y − 6w = 5 2 x + 4 y − 3w = 5

2 x + 4 y − 3w = 5 2 y + 4w = 5 6w 2 = 5

4 x + 3 y − 6w = 5 − y

2x + 4 y =5 3x − 2 y = 5 2x =5

________________ ________________

_________ _________

2 x + 4 y − 3w = 5 3x − 2 y + 4 w = 5 + x

3x − 2 y + 4 w = 5

______________ ______________

3 ecs. (1 no lineal) _____________

18

______________

_____________

________________

_________

forma triangular se resuelve por el método de sustitución ejemplo: 2 x +4 y −3z =10 __ 1 −3 y +4 z =5 __ 2

Métodos para resolver S.E.L. de 3x3

z =5 __ 3

no esta en forma triangular se resuelve por el método general 2 x +4 y −3w = 5

ejemplo:

3 x −2 y +4 w = 5 4 x +3 y −6 w = 5

Resolvamos primero un S.E.L. de 3X3 en forma triangular utilizando el método de sustitución. 2 x + 4 y − 3z =10 __ 1 − 3 y + 4 z = 5 __ 2

Ejemplo 1: Resolver el siguiente S.E.L de 3x3

z = 5 __ 3

Solución:

Vemos que el valor de z = 5

Sustituimos z en Ec. 2

− 3y + 4z = 5 − 3 y + 4(5) = 5 − 3 y + 20 = 5 − 3 y = 5 − 20 − 3 y = −15 −15 y= −3 y =5 2 x + 4 y − 3z = 10

sustituimos y y z en la ec. 1

2 x + 4(5) − 3(5) = 10 2 x + 20 − 15 = 10 2 x = 10 − 20 + 15 2x = 5 5 x= 2

5 2 y =5

x=

Solución

z =5

comprobación:

Ecuación 1

Ecuación 2

2 x + 4 y − 3z =10

− 3 y + 4 z =5 − 3(5) + 4(5) = 5 −15 + 20 = 5

5  2  + 4(5) − 3(5) =10 2  5 + 20 −15 =10 10 =10

5 =5

19

Método general para resolver S.E.L. de 3X3 1. Tomamos 2 ecs. cualesquiera, se utiliza el método de suma ó resta para eliminar una incógnita, la ecuación resultante es la ec. 4. 2. Se toma la ecuación restante del sistema con cualquiera de las otras dos, se elimina la misma incógnita del paso 1 por el método de suma ó resta, la ecuación resultante es la ec. 5. 3. Se toma la ec.4 y la ec.5 (S.E.L. de 2x2) y se resuelve encontrando esas dos incógnitas (se utiliza cualquier método). 4. Los dos valores encontrados se sustituyen en cualquier ecuación original y se encuentra la incógnita restante. 5. Se comprueba el resultado. x + 4 y − z = 6 __ 1

2 x + 5 y − 7 z = −9 __ 2

Ejemplo 2: Resolver el siguiente S.E.L de 3x3

3 x − 2 y + z = 2 __ 3

Solución: 1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita x − 2( x + 4 y − z = 6) → −2 x − 8 y + 2 z = −12 1( 2 x + 5 y − 7 z = −9) → 2 x + 5 y − 7 z = −9 − 3 y − 5 z = −21 ___ 4

2. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita x

− 3( x + 4 y − z = 6) → −3 x −12 y + 3 z = −18 1(3x − 2 y + z = 2) → 3x − 2 y + z = 2 − 14 y + 4 z = −16 ___ 5

3. se toman ec.4 y ec. 5 −3 y −5 z = −21 ___ 4 −14 y +4 z = −16 ___ 5

vamos a eliminar z 4 (−3 y −5 z =−21 ) →−12 y −20 z −84 5(−14 y +4 z = −16 ) ___ −70 y +20 z = −80 −82 y =−164 y =2

sustituyendo y en ec. 4

- 3y - 5z =- 21 -3 ( 2 ) −5z =−2 1 −6−5z =−2 1 −5 z =−21 +6 −5 z =−15 z =3

20

sustituyendo y y z en ec. 1

x +4 y − z = 6 x +4( 2) −3 = 6 x +8 −3 = 6 x +5 = 6 x = 6 −5 x =1

Solución: x = 1, y = 2, z = 3 comprobación ecuación 1

3 x −2 y + z =2 3(1) −2( 2) +3 =2 3 −4 +3 =2 2 =2

ecuación 2

x +4 y − z = 6 1 +4( 2) −3 = 6 1 +8 −3 = 6 6 =6

2 x +5 y −7 z =−9 2(1) +5( 2) −7(3) =−9 2 +10 −21 =−9 −9 =−9

5 x − 2 y + z = 24 __ 1 2 x + 5 y − 2 z = −14 __ 2

Ejercicio: Resolver el siguiente S.E.L de 3x3

x − 4 y + 3 z = 26 __ 3

Solución: 1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita x − 2(5 x − 2 y + z = 24 ) → −10 + 4 y − 2 z = −48 5( 2 x + 5 y − 2 z = −14 ) → 10 x + 25 y −10 z = −70 29 y −12 z = −118 ___ 4

2. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita x 5( x − 4 y + 3 z = 26 ) → 5 x − 20 y + 15 z = 130 −1(5 x − 2 y + z = 24 ) → −5 x + 2 y − z = −24 − 18 y + 14 z = 106 ___ 5

3. se toman ec.4 y ec. 5 29 y −12 z =−118

vamos a eliminar z

−18 y +14 z =106 14 ( 29 y −12 z = −118 ) →406 y −168 z = −1652

12 ( −18 y +14 z =106 ) →−216 y +168 z =1272 190 y = −380

sustituyendo y en ec. 4

y = −2 29 y −12 z = −118 29 ( −2) −12 z = −118 −58 −12 z = −118 −12 z = −118 +58 −60 z= −12 z =5

21

ecuación 3

5 x − 2 y + z = 24 5 x − 2(−2) +5 = 24 5 x + 4 +5 = 24 5 x = 24 −9 5 x =15 x =3

sustituyendo y y z en ec. 1

Solución: x = 3, y = -2, z = 5 comprobación ecuación 1

ecuación 2

5 x −2 y + z = 24 5(3) −2(−2) +5 = 24 15 +4 +5 = 24

ecuación 3

2 x +5 y −2 z = −14 2(3) +5( −2) −2(5) = −14 6 −10 −10 =−14

24 = 24 x −4 y +3 z = 26 3 −4( −2) +3(5) = 26 3 +8 +15 = 26 26 = 26

−14 = −14

Tarea: Del siguiente enunciado obtener su S.E.L, resolverlo y comprobarlo. Juan compro 2 lápices, 1 goma y 3 plumas por $15 Porfirio compro 1 lápiz, 3 gomas y 5 plumas por $23 Raquel compro 3 lápices, 3 gomas y 3 plumas por $21, los 3 fueron a la misma papelería. ¿Cuál es el precio de cada producto? Solución: El S.E.L. nos queda

2l + g +3 p =15 ___ 1 l +3 g +5 p = 23 ___ 2 3l +3 g +3 p = 21 ___ 3

1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita l −1( 2l + g + 3 p = 15 ) → −2l − g − 3 p = −15 2(l + 3 g + 5 p = 23 ) → 2l + 6 g +10 p = 46 5 g + 7 p = 31 ___ 4

2. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita l 2(3l + 3 g + 3 p = 21) → 6l + 6 g + 6 p = 42 − 3( 2l + g + 3 p = 15 ) → −6l − 3 g − 9 p = −45 3 g − 3 p = −3 ___ 5

3. se toman ec.4 y ec. 5 5 g +7 p = 31 3 g −3 p = −3

vamos a eliminar g

−3(5 g + 7 p = 31 ) →−15 g −21 p = −93 5(3 g −3 p = −3) →15 g −15 p −15 −36 p = −108 p =3

22

5 g +7 p = 31 5 g +7(3) = 31

sustituyendo p en ec. 4

5 g +21 = 31 5 g = 31 −21 g =

sustituyendo p y g en ec. 1

10 =2 5 2l + g +3 p =15 2l + 2 +3(3) =15 l = (15 −11 ) / 2 = 2

Solución: x = 3, y = -2, z = 5 comprobación ecuación 1

ecuación 2

ecuación 3

2l + g +3 p =15

l +3 g +5 p = 23

3l +3 g +3 p = 21

2( 2) +2 +3(3) =15 4 +2 +9 =15 15 =15

2 +3( 2) +5(3) = 23 2 +6 +15 = 23 23 = 23

3( 2) +3( 2) +3(3) = 21 6 +6 +9 = 21 21 = 21

Unidad 2: Sistemas de coordenadas y lugares geométricos CLASE 6 SISTEMAS DE COORDENADAS, distancia entre puntos y punto medio(falta) En ocasiones para localizar un punto en un plano es necesario utilizar un sistema de referencia Veamos el siguiente ejemplo: En el tablero de ajedrez para localizar una pieza se acostumbra llamar al eje horizontal con letras y al eje vertical con números. Señala el origen del sistema de referencia ¿En que posición esta ubicado el caballo? ___________________ ¿En que posición esta ubicado el peón? _____________________ ¿En que posición esta ubicado el rey? ______________________ ¿En que posición esta ubicado la reina? _____________________ Otro ejemplo: 23

Para ubicar un punto en el globo terráqueo también se utiliza un sistema de referencia, llamando al eje horizontal: longitud y al eje vertical: latitud.

80 Señala el origen del sistema de referencia ¿En que posición esta ubicado México? 100 Long este, 20 latitud norte 20 160

¿En que posición esta ubicado Pekín? 120 long. Oeste, 40 latitud norte

100

En base a los 2 ejemplos anteriores, ¿Para que me sirve un sistema de coordenadas o sistema de referencias?___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Rene Descartes (1654-1705) Cuando Rene Descartes escribía el anexo de “Geometría” en su obra titulada: “Discurso del método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias”, propuso un nuevo sistema de coordenadas para estudiar esta disciplina. Llamado ahora “sistema de coordenadas cartesianas “en su honor, este sistema permite asignarle a cada punto del plano una pareja de números reales que lo identifica.

Sistema de coordenadas cartesianas Este sistema esta formado por dos rectas siendo el punto donde se cruzan el origen y (eje de las coordenadas) cuadrante II

y

A (x, y)

x

cuadrante I

x (eje de las absisas)

o cuadrante III

cuadrante IV

24

En el siguiente dibujo localiza la pareja de números de los siguientes puntos:

Distancia entre dos puntos Es la longitud de un segmento de recta. ¿Cómo calculo la longitud de la base de la casa si utilizo como referencia la recta numérica? Obteniendo la distancia del punto A al punto B (dAB) dAB 0

A(8)

B(20)

Si al valor de B le resto el valor de A me queda dAB = 20 −8 = 12 =12 Que es lo mismo que si al valor de B le resto el valor de A dAB = 8 −20

= −12 =12

El valor absoluto me indica el valor real de una medida.

¿Que pasa si cambiamos la casa al lado negativo de la recta?, ¿Cambia la longitud de su base? B(-20)

A(-8)

0

Utilizando otra vez valor absoluto: dAB = −20 −(−8) = −20 +8 Que es lo mismo que dAB = −8 −(−20 ) = −8 +20 = 12 =12

25

= −12 =12

Observamos que el valor absoluto de la longitud es la misma no importando de que lado esta la casa. Ahora ya podemos obtener una formula general para obtener la distancia o longitud de un segmento: dAB 0

A(x1)

B(x2)

dAB = x 2 − x1 = x1 − x 2

que pasa si es a traves del eje y? dAB = y 2 − y1 = x1 − x 2 En el siguiente sistema de coordenadas cartesianas (S.C.C.) calcula las longitudes de los segmentos de recta. y 5

2 x 3

7

No podemos obtener la distancia del segmento inclinado porque no esta paralelo a ningún eje, vamos a obtener una formula para calcular esta longitud. ¿Recuerdas el teorema de Pitágoras? “En todo triangulo rectángulo la suma del cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa”

B(x2,y2)

¿Cómo utilizarías este teorema para calcular la dAB? 26

( dAB ) 2 = ( dAC ) 2 + ( dBC ) 2 ( dAB ) 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 2 2 dBC = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )

A(x1,y1)

La distancia entre dos puntos: A(x1,y1), B(x2,y2) es: dBC =

( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

Sustituyendo valores:

( 3 − 7) 2 + ( 5 − 2) 2

ul. (ul: unidades lineales, pueden ser centímetros, metros, kilómetros, etc.) dBC =

= 16 + 9 = 25 = 5

Del ejercicio anterior ¿Que pasa si cambiamos A(x2,y2) y B(x1,y1)?, ¿Cambia la distancia?

3

7 dBC =

( 3 − 7 ) 2 + ( 2 − 5) 2

= 16 + 9 = 25 = 5

¿Qué concluyes?________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Tarea: ¿Cuál es la distancia del submarino al avión (los valores están en Km)?

y 5

 27

x -7

3

-6

( 3 − (−7) ) 2 + ( 5 − (−6) ) 2

dBC =

= (3 + 7) 2 + (5 + 6) 2 = 100 +121 = 14 .86 km

CLASE 7 PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN Imaginemos una montaña, coloquemos nuestro sistema de ejes. La relación entre el incremento de altura y el incremento de base en una recta se le llama pendiente y se designa por la letra m. y

C

130 E 104 B

Pendiente de una recta ∆ altura y 2 − y1 m= = ∆ base x 2 − x1

D

A

F x 80

100

150

270

1. Vamos a calcular la pendiente de la recta AB. mAB =

altura 104 = = 1.3 base 80

2. Calculo de la pendiente de la recta AC. mAC =

altura 130 = = 1.3 base 100

¿Al ver los resultados de las pendientes anteriores que concluimos?___que no importa que altura y que base se tome en una recta, la pendiente es la misma en toda la recta.____________ 28

______________________________________________________________________________ D a1 C B b1

mAB = mCD

a2 A b2

Volvamos al cálculo de las pendientes de la montaña. 3. Calculo de la pendiente de la recta CD. mCD =

altura 130 − 104 26 = = = in det er min ada base 0 0

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente de un segmento vertical no exista____ ______________________________________________________________________________ 4. Calculo de la pendiente del segmento DE. mDE =

altura 0 0 = = =0 base 150 − 100 50

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente en un segmento horizontal es cero____ ______________________________________________________________________________ 5. Calculo de la pendiente del segmento EF. mEF =

altura 0 − 104 − 104 = = = −0.86 base 270 − 150 120

¿Que observamos en este resultado?___ que la pendiente es negativa____ Pendiente

+

-

Ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación es el ángulo que el segmento forma con el eje de las absisas (eje x) 29

∆ altura =m ∆ base tan α = m tan α =

α

α = tan −1 m

Angulo de inclinación α = tan −1 m

+ Sentido del ángulo de inclinación

x -

Vamos a calcular los ángulos de inclinación de la montaña. 1. Calculo del ángulo de inclinación de la recta AC. mAC =1.3

α = tan −1 (1.3) α = 52 .43 º

2. Calculo del ángulo de inclinación de la recta CD. El ángulo de inclinación es de 90º 3. Calculo del ángulo de inclinación de la recta DE. El ángulo de inclinación no existe. 3. Calculo del ángulo de inclinación de la recta EF. mEF = −0.86

α = tan −1 (−0.86 ) α = 40 .69 º

Ejercicio: Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas AB, BC, AC y BD y 30

B

2 (0,2)

-6 A (-6,-1)

6

D -7 (0,-7) Solución: 1. Calculo de la pendiente de la recta AB. mAB =

altura 2 − (−1) 2 + 1 3 1 = = = = = 0.33 base 0 − (−6) 6 6 3

2. Calculo de la pendiente de la recta BC. mAB =

altura 2 − ( −1) 2 + 1 3 1 = = = = = −0.33 base 0−6 −6 −6 −3

3. Calculo de la pendiente de la recta AC. mAB =

altura 0 0 0 = = = =0 base −1 − ( −1) −1 +1 − 0

4. Calculo de la pendiente de la recta BD. mAB =

altura 2 − (−7) 2 + 7 9 = = = = indefinida base 0 0 0

1. Calculo del ángulo de inclinación de la recta AB. mAB =

1 1 = 0.333 α = tan −1   α = 18 .43º 3 3

Calculo del ángulo de inclinación de la recta BC. 1 = −0.333 3  1 α = tan −1  −   3 α = −18 .43 º mAB = −

31

x C (6,-1)

Tarea: Encuentra un objeto inclinado en tu casa (escalera, tabla, techado, etc.), colócala en el plano cartesiano, obtén su pendiente y ángulo de inclinación

Unidad 3: La recta y su ecuación cartesiana. CLASE 8 SITUACIONES QUE DAN ORIGEN A UNA RECTA. El uso de la línea recta en el plano cartesiano es muy común para observar el comportamiento de una situación que se quiere analizar. Veamos el siguiente ejemplo: Un taxi cobra $2.00 por Km. recorrido más $6.00 el banderazo. Llena la siguiente tabla: Km. recorridos Cobro (en pesos)

x y y/x

1 8

2 10

3 12

4 14

5 16

Como los Km. recorridos (x) y el cobro (y) pueden variar reciben el nombre de variables. A la variable cobro (y) se le llama variable dependiente porque depende del numero de Km. recorridos (x) A la variable Km. recorridos se le llama variable independiente por que no depende de algo. De aquí en adelante en los ejemplos y ejercicios que hagamos siempre vamos a asignar a:

x como variable independiente y como variable dependiente

y

Vamos a graficar los puntos obtenidos

Contestemos: ¿Qué figura resulto? _____________________________________________________________ 32

¿Recuerdas del curso de matemáticas 1 que condición se debe cumplir para cuando me dan una tabla de valores al colocarlos en el plano me de una línea recta?__________________________ _____k=y/x (variación directamente proporcional)_____________________________________ ¿Para que crees que nos pueda servir colocar esa recta en el plano cartesiano?________________ ______________________________________________________________________________ ¿Cuál es el valor de la pendiente? m = 2 ¿En base a la gráfica podemos calcular el cobro exacto para 15.3 Km.?_____________________ ¿Qué necesitamos para calcular ese valor?____________________________________________ Ecuaciones de la recta. Ecuación de la recta punto-pendiente. conocidos uno de sus puntos A(x1, y1) y su pendiente (m) y y = m( x − x1 ) + y1

m A( x1 , y1 )

x

Ecuación de la recta pendiente-ordenada al origen conocidos su pendiente (m) y su ordenada al origen (b)

y y = mx + b

m A(0, b)

ordenada al origen x

Ecuaciones de la recta cuando es paralela a uno de sus ejes y y = y1

33

y1 x = x1

x1

x

Regresando a nuestra recta inicial (la del cobro del taxi), ¿Qué ecuación podemos obtener? _____________________________________________________________________________ Si tomamos el punto A (1,8) ¿Cuál es la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente? y = m( x − x1 ) + y1 Sustituyen do y = 2( x −1) +8 y = 2 x − 2 +8 y = 2 x +6

Ahora que ya tenemos la ecuación de la recta podemos conocer el cobro para 15.3 Km. y = 2(15 .3) +6 y =30 .6 +6 y =36 .6

El cobro para 15.3 Km. es $36.6

Ejemplo 2: Laura trabaja vendiendo tarjetas de crédito en su tiempo libre, al mes le pagan $300.00 mas una comisión de $20.00 por cada tarjeta que vende. a) llena la tabla. b) grafica los valores c) Obtén la ecuación de la recta (punto-pendiente) d) Obtén la ecuación de la recta (pendiente-ordenada al origen) e) ¿Qué diferencia tienen las dos ecuaciones? f) ¿Cuánto ganara en un mes si vende 15 tarjetas? Tarjetas Sueldo ($)

x y y/x

0 300

2 340

4 380

Solución: b)

34

5 400

7 440

c) m =

340 − 300 40 = = 20 , si tomamos el punto A (2,340) 2−0 2

y = m( x − x1 ) + y1

y = 20 ( x − 2) + 340 y = 20 x − 40 + 340 y = 20 x + 300

d) La ordenada al origen es b = 300 y = mx +b y = 20 x +300

e) Son las mismas, porque es la misma recta y = 20 x +300

f)

y = 20 (15 ) +300 y = 300 +300 y = 600

Ejercicio: Obtén las ecuaciones de las siguientes rectas y

A(-2,6)

m=

y

7 = −1.4 −5

y = −1.4( x −3) −1 y = −1.4 x +4.2 −1 y = −1.4 x +3.2

x = -2 x

x

-2 B(3,-1) y

m = -6

y

y = −6 x + 6

y=4 6

4 x

x

Tarea: Una bacteria se divide de acuerdo a la siguiente tabla. Horas x 1 2 3 Divide y 1 2 4 y/x 35

4 8

5 16

a) grafica los valores b) Obtén la ecuación de la recta c) ¿Cuántas divisiones habrá realizado en 13 horas?

CLASE 9 ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA En base al análisis de las rectas hechas en las clases anteriores, concluimos que:

“Toda ecuación de primer grado con dos variables representa una recta”.

Por ejemplo:

y = 2x + 6

2 −x = y

3x − y =0

x +4 − y = 0

y =2 −x

− y = −3 x

− y = −x −4

y = −x +2

y =3x

y = x +4

Todas las rectas las pasamos a su forma pendiente-ordenada al origen. La siguiente ecuación también nos representa una recta: Ax + By + C = 0 → ecuación general de una recta ¿Cómo nos queda si la pasamos a su forma pendiente ordenada al origen?

Ax + By + C = 0 By = −Ax − C − Ax − C y= B Ax C y =− − B B

es decir m = −

A B

b=−

C B

Ejemplo: Obtener la pendiente y la ordenada al origen de la las rectas x − y +8 = 0 A = 1, B = −1, C = 8 1 a) m = − =1 −1 8 b =− =8 −1 − 5 x − 7 y −13 = 0 A = −5, B = −7, C = −13 −5 5 m =− =− −7 7 −7 13 b =− =− −7 7

b)

− 9 x +10 y −11 = 0 A = −9, B = 10 , C = −11 −9 9 m =− = 10 10 −11 11 b =− = 10 10

36

c)

Ejemplo 2: El peso de un objeto sobre la luna es directamente proporcional con respecto a su peso sobre la tierra. Una persona pesa 6.25 veces mas en la tierra que en la luna. a) obtener la ecuación que me represente el peso de la luna con respecto al peso en la tierra. b) ¿cuanto vale m y b? c) ¿Cuánto pesa una persona en la luna si su peso en la tierra es de 60 Kg.? d) Transformar la ecuación a su forma general e) Hacer la grafica Solución: a)

PT = 6.25 PL y = 6.25 x

b) m = 6.25,

b=0

y = 6.25 (60 )

c) y =375

d)

Su peso será de 375 Kg.

y = 6.25 x y −6.25 x = 0 −6.25 x + y = 0 A = −6.25 , B =1, C = 0

e)

37

y = 6.25 x

x 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10, 0

0 6,25 12,5 18,75 25,0 31,25 37,5 43,75 50,0 56,25 62,5

Ejemplo 2: Una agencia de renta de automóviles cobra $3.50 por kilómetro recorrido, más $200 por la renta del automóvil. a) obtener la ecuación que me represente el cobro por Km. recorrido. b) ¿cuanto vale m y b? c) ¿Cuanto es el cobro por 26.7 Km. recorridos? d) Transformar la ecuación a su forma general e) Hacer la grafica Solución: Cobro = 3.50 ( kilometros

a) y = 3.50 x + 20 b) m = 3.50,

) + 200

b = 20

y =3.50 x +20

c)

d)

y =3.50 ( 26 .7) +20 y =93 .45 +20 y =113 .45

El cobro es de $ 113.45.

y = 3.5 x +20 y −3.5 x −20 = 0 −3.5 x + y −20 = 0 A = −3.5, B =1, C = −20

e) 38

y = 3.50 x + 20

x 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10, 0 11, 0 12, 0 13, 0 14, 0 15, 0 16, 0

20,0 23,5 27,0 30,5 34,0 37,5 41,0 44,5 48,0 51,5 55,0 58,5 62,0 65,5 69,0

Ejercicio: El salario de un vendedor de vajillas es de $350 a la semana, más una comisión de $50 por cada vajilla que vende. El sueldo del vendedor se integra con el salario más la comisión. 76,0 a) obtener la ecuación que me represente el sueldo del vendedor. b) ¿cuanto vale m y b? c) ¿Cuál es el sueldo cuando vende 12 vajillas? d) Transformar la ecuación a su forma general e) Hacer la grafica 72,5

Solución: Sueldo = 50 (vajillas ) + 350

a) y = 50 x + 350 b) m = 50,

b = 350

y = 50 x +350

c)

d)

y = 50 (12 ) +350 y = 600 +350 y = 950

El sueldo es de $ 950.

y = 50 x +350 y −50 x −350 = 0 −50 x + y −350 = 0 A = −50 , B =1, C = −350

e) 39

x

a)

0 50,0 100, 0 150, 0 200, 0 250, 0 300, 0

350,0 2850,0 5350,0

y = 50 x + 350

7850,0 1,0350x10^4 1,2850x10^4 1,5350x10^4

Tarea: Un avión que viaja de México a España llena su tanque con 46 000 litros de turbosina el avión consume 4500 litros de combustible por hora. a) obtener la ecuación que me represente el gasto de combustible por hora b) ¿cuanto vale m y b? c) ¿Cuánto combustible tiene el avión cuando han pasado 6 horas de vuelo? d) Transformar la ecuación a su forma general e) Hacer la grafica Solución: a)

Gasto de combustibl e = 46000 − 4500 (hora ) y = 46000 − 4500 x y = −4500 x + 46000

b) m = -4500,

b = 46000

y = −4500 x + 46000

c)

d)

y = −4500 (6) +46000 y = −27000 + 46000 y = 73000

En 6 horas de vuelo tiene 73000 l.

y = −4500 x + 46000 y + 4500 x −46000 = 0 4500 x + y −46000 = 0 A = 4500 , B =1, C = −46000

e)

40

x 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10, 0

y = −4500 x + 46000

4,6000x10^4 4,1500x10^4 3,7000x10^4 3,2500x10^4 2,8000x10^4 2,3500x10^4 1,9000x10^4 1,4500x10^4 10^4 5500,0 1000,0

CLASE 10 MÁS SITUACIONES SOBRE LA RECTA. Pertenencia de un punto a una recta. Ejemplo: Verifica si los puntos A(2,-1), B(1,2) y C(1,1) pertenecen a la recta 2x + 3y -5 = 0 Solución: Se sustituyen cada uno de los puntos en la ecuación: 2 x +3 y −5 = 0 2(1) +3( 2) −5 = 0

Para el punto B(1,2)

2 +6 −5 = 0 8 −5 = 0

No se cumple la igualdad, el punto no pertenece.

3 =0

41

2 x +3 y −5 = 0 2(1) +3(1) −5 = 0

Para el punto C(1,1)

2 +3 −5 = 0 5 −5 = 0

Si se cumple la igualdad, el punto si pertenece.

0 =0

Intersección de dos rectas que se cortan. Este tema se vio en el capitulo 1 (S.E.L. de 2x2) utilizando los métodos de graficación, de sustitución y de suma o resta. Ángulo entre dos rectas que se cortan. Las rectas l1 y l2 tienen pendientes m1 y m2 respectivamente.

y

l2

El ángulo entre las dos rectas esta dado por la expresión:

l1  m − m1   α = tan −1  2 1 + m m  2 1 

α

x

Ejemplo: Obtener el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(4,7) con la recta que pasa por los puntos C(-3,1) y D(-4,2), dibujar las rectas. Solución: m1 =

7 −1 6 = =2 4 −1 3

m1 =

2 −1 1 = = −1 − 4 − ( −3) −1

 m2 − m1 1 + m2 m1

     −1 − 2  = tan −1  1 + 2( −1)      −3  = tan −1    −1  = tan −1 ( 3) = 71 .56 º

α = tan −1   α α α α

42

Condición de paralelismo entre dos rectas. y

Las rectas l1 y l2 son paralelas si y solo si m1 = m2 l1 l1 l2 ⇔ m1 = m2

l2 x

Condición de perpendicularidad entre dos rectas. y

Las rectas l1 y l2 son perpendiculares si y solo si m1 * m2 = - 1 l1 l1 ⊥ l2 ⇔ m1 * m2 = - 1 l2 x

Ejemplo: Verifica si los puntos A(-1,1), B(4,6) y C(-4,4) forman un triángulo rectángulo. Solución: anteriormente vimos un ejercicio similar y lo resolvimos utilizando el teorema de Pitágoras, en esta ocasión lo resolveremos de otra forma, sabemos que si un triangulo es triangulo rectángulo dos de sus lados son perpendiculares, para ello utilizaremos la condición de perpendicularidad entre sus rectas. mAB =

6 −1 5 = =1 4 +1 5

mAC =

mAB mAC =1( −1) = −1

Si es un triangulo rectángulo.

Distancia de un punto a una recta Se tiene la recta “ l ” y un punto A(x,y) fuera de la recta. y A(x,y) 43

4 −1 3 = = −1 − 4 +1 − 3

y l

La distancia del punto A(x,y) a la recta “ l ” que tiene como ecuación Ax+By+C = 0 se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta que llega al punto, y se calcula como:

x

d =

Ax + By +C A2 + B 2

x Ejemplo: obtener la distancia de la recta 3 y = −4 x +1 al punto D (3,0) Solución:

Pasamos la recta a su forma general

Sustituimos valores d =

3 y = −4 x +1 3 y +4 x −1 = 0 4 x +3 y −1 = 0 A = 4, B = 3, C = −1

d = d =

4(3) +3(0) +1 4 2 +32

=

12 −1 11 =d = = 16 + 9 25 11 11 = = 2.2 5 5

Ejercicio: De las rectas a ) y − 2 = 2 x y b) − 2 x + y − 3 = 0 investigar si son paralelas, perpendiculares o forman otro ángulo entre ellas, si se cruzan calcular el ángulo entre ellas, si son paralelas calcular la distancia entre ellas. Solución:

y −2 = 2 x y = 2 x +2 m =2

− 2 x + y −3 = 0 y = 2 x +3 m =2

Las pendientes son iguales ∴ las rectas son paralelas Tarea: Si una recta pasa por los puntos A(-6,-4) y B(-3,2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(1,1) y D(0, y ). Obtener el valor de la ordenada y. Solución:

mAB =

2 − ( −4) 2 +4 6 = = =2 − 3 − (−6) − 3 + 6 3

mCD =

y −1 −1

44

Como las rectas son paralelas, entonces: mAB = mCD. y −1 −1 2( −1) = y −1 2=

−2 +1 = y −1 = y

CLASE 11 PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO. Ejemplo 1: Determina el área del siguiente triangulo cuyos vértices son: A(-1,1). B(4,6), C(-4,4). A=

(base )( altura ) 2

Si tomamos BC como base: dBC = ( −4 −4) 2 +( 4 −6) 2 = 64 + 4 = 68 = 8.24

mBC =

4 −6 −2 2 1 = = = − 4 − 4 −8 8 4

La ecuación punto- pendiente (tomando el punto B(4,6)) es: 1 ( x − 4)) + 6 4 1 4 y = x − +6 4 4 1 y = x −1 + 6 4 1 y = x +5 4 y=

pasándola a su forma general

45

1 x + y −5 = 0 4  1  4− x + y −5 = 0   4  − x + 4 y − 20 = 0 −

A = −1, B = 4, C = −20

altura

=

−(( −1) +4(1) −20 ( −1) 2 +( 4) 2

=

1 +4 −20 −15 15 = = =3.63 1 +16 17 17

sustituyendo valores Area =

8.24 (3.63 ) =14 .95 u 2 2

Ejemplo 2: Determina el área del siguiente triangulo cuyos vértices son: A(4,2). B(-1,4), C(1,-2). A=

(base )( altura ) 2

Si tomamos AC como base: dAC = (1 − 4) 2 + ( −2 − 2) 2 = 9 +16 = 25 = 5

mAC =

−2 −2 −4 4 = = 1− 4 −3 3

La ecuación punto- pendiente (tomando el punto A(4,2)) es: 4 ( x − 4) + 2 3 4 16 y = x− +2 3 3 4 16 + 6 y = x− 3 3 4 10 y = x− 3 3 y=

pasandola a su forma general 4 10 x+y+ =0 3 3 10  4  3 − x + y + =0 3  3  − 4 x + 3 y +10 = 0 −

A = −4, B = 3, C =10

46

altura

=

( −4)( −1) +3( 4) +10 ( −4) 2 +(3) 2

4 +12 +10 16 +9

=

26 25

=

=

26 26 = =5.2 5 5

sustituyendo valores Area =

5(5.2) = 13u 2 2

Ejercicio: Determina el área del siguiente triangulo cuyos vértices son: A(-2,3). B(1,-1), C(3,4). A=

(base )( altura ) 2

Si tomamos AC como base: dAC = (3 −(−2)) 2 +(4 −3) 2 = (3 + 2) 2 +(1) 2 = 25 +1 = 26 = 5.099

mAC =

4 −3 1 1 = = 3 − ( −2) 3 + 2 5

La ecuación punto- pendiente (tomando el punto C(3,4)) es: 1 ( x − 3) + 4 5 1 3 y = x − +4 5 5 1 3 + 20 y = x− 5 5 1 17 y = x+ 5 5 y=

pasándola a su forma general 1 17 x+y− =0 5 5 17  1  5 − x + y − =0 5  5  − x + 5 y −17 = 0 −

A = −1, B = 5, C = −17

altura

=

( −1)(1) +5( −1) −17 ( −1) 2 +(5) 2

=

−1 −5 −17 −23 23 = = = 4.51 1 +25 26 26

47

sustituyendo valores Area =

5.099 (4.51) = 11 .49 u 2 2

Tarea: En un terreno amplio se va a colocar pasto de acuerdo a la siguiente figura (las divisiones estan en Kms.): x

A

C B

A(1,8), B(7,1), C(11,2)

¿Cuánto pasto es necesario?

Solución: A (1,8). B (7,1), C (11,2).

A=

(base )( altura ) 2

Si tomamos AB como base: dAB = (7 −1) 2 + (1 −8) 2 = (6) 2 + ( −7) 2 = 36 + 49 = 85 = 9.21

La ecuación punto- pendiente (tomando el punto A(1,8)) es: 7 y = − ( x −1) + 8 6 7 7 y = − x + +8 6 6 7 7 + 48 y =− x + 6 6 7 55 y =− x + 6 6

pasandola a su forma general 7 55 x+y− =0 6 6 55 7  6 x + y − = 0 6 6   7 x + 6 y − 55 = 0 A = 7, B = 6, C = −55

48

mAB =

1 −8 − 7 = 7 −1 6

altura

=

(7)(11 ) +6( 2) −55

77 +12 −55 49 +36

(7) 2 +(6) 2 =

34 85

=

34 85

=

sustituyendo valores Area = =3.68

9.21(3.68 ) = 16 .94 Km 2 2

Unidad 4: Circunferencia, Elipse y sus ecuaciones cartesianas. CLASE 12 CIRCUNFERENCIA (CENTRO EN EL ORIGEN) Si colocamos un punto fijo “C” en el origen del plano cartesiano y de el amarramos un cordón de 30 cm. y lo hacemos girar, ¿Que figura se forma con el extremo del cordón?

Circunferencia: Una circunferencia es el lugar geométrico (figura que se forma) de todos los puntos tales que su distancia a un punto fijo es constante. Ecuación de la circunferencia con centro en el origen: si en nuestra circunferencia formamos un triangulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio obtenemos la ecuación de la circunferencia. x2 + y2 = r 2

Para obtener la ecuación de cualquier circunferencia con centro en el origen solo es necesario conocer su radio. Ejemplo 1: Obtener la gráfica y la ecuación de las siguientes circunferencias con centro en el origen: a) radio = 1

b) radio = 5

49

c) radio = 7

x2 + y2 =r 2

x2 + y2 =r 2

x2 + y2 =r 2

x 2 + y 2 =12

x 2 + y 2 = 52

x2 + y 2 =72

x + y =1

x + y = 25

x 2 + y 2 = 49

2

2

2

2

Ejemplo 2: Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto: a) P (3,6) Solución: El radio lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras r 2 = x2 + y2 r 2 = 32 + 6 2 r 2 = 9 + 36

Sustituyendo

x2 + y2 =r 2 x 2 + y 2 = 45

r 2 = 45

b) P (-2,-5) Solución: El radio lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras r 2 = x2 + y2 r 2 = (−2) 2 + (−5) 2 r 2 = 4 + 25

Sustituyendo

x2 + y2 =r 2 x 2 + y 2 = 29

r 2 = 29

c) P (-3,4) Solución: El radio lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras r 2 = x2 + y2 r 2 = ( −3) 2 + 4 2 r 2 = 9 +16 r 2 = 25

50

Sustituyendo

x2 + y2 =r 2 x 2 + y 2 = 45

Intersección entre una recta y una circunferencia Una recta y una circunferencia se pueden intersecar en: ningún punto 1 punto

2 puntos

Ejemplo 1: Encontrar los puntos de intersección de la recta y = x y la circunferencia x 2 + y 2 = 26 , dibujar las graficas de las ecuaciones. Solución: Tenemos nuestro sistema de ecuaciones

y=x

___1 __2

x 2 + y 2 = 26

utilizando el método de sustitución sustituyendo y en ec. 2

Sustituyendo x en ec. 1 para x = 3.605

para x = -3.605

x + y = 26 2

2

x 2 + x 2 = 26

y =x

2 x 2 = 26

y =3.605

26 2 x = ± 13 x = ±3.605 x2 =

A(3.605 ,3.605 )

y =x y =−3.605

B ( −3.605 ,−3.605 )

51

Ejercicio 1: Obtener la gráfica y la ecuación de las siguientes circunferencias con centro en el origen: a) radio = 2

b) radio = 3

c) radio = 9

x2 + y2 =r 2

x2 + y2 =r 2

x2 + y2 =r 2

x 2 + y 2 = 22

x 2 + y 2 = 32

x 2 + y 2 =92

x2 + y2 =4

x2 + y2 =9

x 2 + y 2 = 81

Ejercicio 2: Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto: a) P (2,-6) Solución: El radio lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras r 2 = x2 + y2 r 2 = 2 2 + (−6) 2 r 2 = 4 + 36 r 2 = 40

52

Sustituyendo

x2 + y2 =r 2 x 2 + y 2 = 40

b) P (2,-7) Solución: El radio lo obtenemos utilizando el teorema de Pitágoras r 2 = x2 + y2 r 2 = 2 2 + ( −7) 2 r 2 = 4 + 49

Sustituyendo

x2 + y2 =r 2 x 2 + y 2 = 53

r 2 = 53

Ejercicio 3: Encontrar los puntos de intersección de la recta y +1 = 2 x y la circunferencia x 2 + y 2 =16 , dibujar las graficas de las ecuaciones. Solución: Tenemos nuestro sistema de ecuaciones y +1 = 2 x

___1

x 2 + y 2 =16 __2

utilizando el método de sustitución sustituyendo y en ec 2

Sustituyendo x en ec. 1 para x = 2.177

x 2 + y 2 =16 x 2 + ( 2 x −1) 2 =16 x + 4 x − 4 x +1 =16 2

2

5 x 2 − 4 x −15 = 0 x = 2.177

para x = -1.377

y =2 x −1 y =2( 2.177 ) −1 y =4.354 −1 y =3.354 A( 2.177 ,3.354 )

x = −1.377

53

y =2 x −1 y =2( −1.377 ) −1 y =−3.754 B ( −1.377 ,−3.754 )

Tarea: Encontrar los puntos de intersección de la recta y = −x −3 y la circunferencia x 2 + y 2 = 6 , dibujar las graficas de las ecuaciones. Solución: Tenemos nuestro sistema de ecuaciones y = −x −3

x + y =6 2

2

___1 ___2

utilizando el método de sustitución sustituyendo y en ec. 2

Sustituyendo x en ec. 1 para x = - 0.663

54

para x = -2.336

x2 + y2 = 6 x 2 + ( −x − 3) 2 = 6 x 2 + x 2 + 6x + 9 = 6 2x 2 + 6x 2 + 3 = 0 x = −0.663 x = −2.336 y =−x −3

y =−x −3 y =−( −0.663 ) −3 y =0.663 −3 y =−2.337 A( −0.663 ,−2.337 )

y =−( −2.336 ) −3 y =2.336 −3 y =−0.664 A( −2.336 ,−0.664 )

CLASE 13 CIRCUNFERENCIA (CENTRO FUERA DEL ORIGEN) Vamos a dibujar una circunferencia con centro fuera del origen

La ecuación de esta circunferencia con centro en C(h, k) esta dada por la ecuación:

55

( x − h) 2 + ( y − k ) 2

= r2

Ejemplo 1: Obtener la gráfica y la ecuación de las siguientes circunferencias con centro fuera del origen: a) radio = 1, C(3,-3)

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − 3) 2 + ( y − (−3) ) 2 = 12 ( x − 3) 2 + ( y + 3) 2 = 1

b) radio = 4, C(3,2)

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 4 2 ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 16

c) radio = 3, C(5,-1)

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − 5) 2 + ( y − (−1) ) 2 = 32 ( x − 5) 2 + ( y + 1) 2 = 9

Ejemplo 2: Obtén la ecuación de la circunferencia y graficarla si uno de sus diámetros tiene como extremos los puntos A(-2,5), B(4,-3) Solución: Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer las coordenadas del centro y el radio. Centro de la circunferencia. En este caso el centro de la circunferencia es el PmAB

56

 x + x 2 y1 + y 2  PmAB =  1 ,  2   2  − 2 + 4 5 + ( −3)  = , = 2  2   2 5−3  2  ,  = 1,  = (1,1) 2 2   2

∴ El centro de la circunferencia es C(1,1) Radio de la circunferencia. El radio es la dAB entre 2 dAB =

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

=

( 4 − (−2) ) 2 + ( − 3 − 5) 2

=

( 4 + 2 ) 2 + ( − 8) 2

=

( 6) 2 + 64

= 36 + 64 = 100 = 10

r=

10 =5 2

Sustituyendo valores:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 5 2 ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 25

Ejemplo 3: Obtén la ecuación de la circunferencia y graficarla si uno de sus puntos es A(3,-9) y su centro es C(-1,3) Solución: Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer las coordenadas del centro y el radio. Radio de la circunferencia. El radio esta dado por r = dAC

57

dAB = = =

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

( −1 − 3) 2 + ( 3 − (−9) ) 2 ( − 4) 2 + ( 3 + 9) 2 = 16 + (12 ) 2

= 16 + 144 = 160 = 12 .64

Sustituyendo valores:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − (−1) ) 2 + ( y − 3) 2 = ( ( x +1) 2 + ( y − 3) 2 = 160

160

)

2

Ejercicio 1: Obtener la gráfica y la ecuación de las siguientes circunferencias con centro fuera del origen: a) radio = 2, C(-3,0)

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − (−3) ) 2 + ( y − 0) 2 = 2 2 ( x + 3) 2 + ( y ) 2 = 1

b) radio = 3, C(3,-2)

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − 3) 2 + ( y − (−2) ) 2 = 32 ( x − 3) 2 + ( y + 2 ) 2 = 9

c) radio = 5, C(0,-1)

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − 0 ) 2 + ( y − (−1) ) 2 = 5 2 ( x ) 2 + ( y + 1) 2 = 25

Ejercicio 2: Obtén la ecuación de la circunferencia y grafícala si uno de sus diámetros tiene como extremos los puntos A(6,0), B(0,-5) Solución: Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer las coordenadas del centro y el radio. Centro de la circunferencia. En este caso el centro de la circunferencia es el PmAB

58

 x + x 2 y1 + y 2  PmAB =  1 ,  2   2  6 + ( −5)  = , = 2  2  −5 =  3,  = (3,−2.5)  2 

∴ El centro de la circunferencia es C(3,-2.5) Radio de la circunferencia. El radio es la dAB entre 2 dAB = r=

( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

=

( − 6) ) 2 + ( − 5 ) 2

= 36 + 25 = 61 = 7.81

7.81 = 3.9 2

Sustituyendo valores:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − 3) 2 + ( y − (−2.5) ) 2 = 3.9 2 ( x − 3) 2 + ( y + 2.5) 2 = 15 .21

Ejercicio 3: Obtén la ecuación de la circunferencia y graficarla si uno de sus puntos es A(-3,-3) y su centro es C(-1,-1) Solución: Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer las coordenadas del centro y el radio. Radio de la circunferencia. El radio esta dado por r = dAC 59

dAB = = =

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

( −1 − (−3) ) 2 + ( −1 − (−3) ) 2 ( −1 + 3) 2 + ( −1 + 3) 2 = 2 2 + ( 2) 2

= 4 + 4 = 8 = 2.82

Sustituyendo valores:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − (−1)) 2 + ( y − (−1) ) 2 ( x +1) 2 + ( y +1) 2 = 8

=

( 8)

2

Tarea: Obtén la ecuación de la circunferencia y grafícala si uno de sus diámetros tiene como extremos los puntos A(-5,0), B(4,0) Solución: Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer las coordenadas del centro y el radio. Centro de la circunferencia. En este caso el centro de la circunferencia es el PmAB

60

 x + x 2 y1 + y 2  PmAB =  1 ,  2   2  −5 + 4 0 = , = 2  2  1  =  − ,0  = (−0.5,0)  2 

∴ El centro de la circunferencia es C(-0.5,0) Radio de la circunferencia. El radio es la dAB entre 2 dAB = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) = 9 r = = 4.5 2 2

2

( 4 − (−5)) 2 + ( 0) 2

= 9 2 = 81 = 9

Sustituyendo valores:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − (−0.5) ) 2 + ( y − 0 ) 2 = 4.5 2 ( x + 0.5) 2 + ( y ) 2 = 20 .25

CLASE 14 CIRCUNFERENCIA (APLICACIONES) Una circunferencia tiene por centro C(3,3/2) y pasa por el punto A(1,-1), obtener la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto A. Solución: Vamos a dibujar nuestro centro y nuestro punto A (aunque no nos pidan la grafica hay que hacerla)

61

Para que la recta que pasa por A sea tangente a la circunferencia, necesita ser perpendicular a la recta AC. mrecta * mAC = −1 mrecta = −

1 mAC

y − y1 1.5 − ( −1) 1.5 + 1 2.5 ∆ altura = 2 = = = = 1.25 ∆ base x 2 − x1 3 −1 2 2 1 1 =− = −0.8 Pendiente de la recta mrecta = − mAC 1.25

Calculo de mAC m =

Sustituyendo valores en la ecuación punto pendiente (utilizando m y el punto A(1,-1) y = m( x − x1 ) + y1 y = −0.8( x −1) +( −1) y = −0.8 x +0.8 −1 y = −0.8 x −0.2

Ejemplo 2: Tenemos una recta y = −x −3 y una circunferencia ( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 = 6 a) Graficarlas en un mismo eje coordenado. b) Encontrar los puntos de intersección de la recta y la circunferencia. Solución: a) Recta x y = −x −3 - y = -(-5)-3 = 5-3 = 2 5 0 y = -0-3 = -3

circunferencia C(-2,2) r = 2.44 62

r2 = 6

b) Tenemos nuestro sistema de ecuaciones y = −x −3

___1

( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 = 6

___2

utilizando el método de sustitución Raices ( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 = 6 ( x + 2) 2 + ( −x − 3 − 2) 2 = 6 ( x + 2) 2 + ( −x − 5) 2 = 6 ( x 2 + 4 x + 4) + ( x 2 +10 x + 25 ) = 6 x 2 + 4 x + 4 + x 2 +10 x + 25 = 6

x1 = −2.63 x 2 = −4.36

x 2 + 4 x + 4 + x 2 +10 x + 25 − 6 = 0 2 x 2 +14 x + 23 = 0

Sustituyendo x en ec. 1 para x = - 2.63

para x = -4.36

y =−x −3

y = −x −3

y =−( −2.63 ) −3 y =2.63 −3

y = −( −4.36 ) −3 y = 4.36 −3

y =−0.37 A( −2.63 ,−0.37 )

y =1.36 A( −4.36 ,1.36 )

Ejercicio: Tenemos una recta que pasa por los puntos A(2,7) y B(-5,0) y una circunferencia cuyo centro es C(-2,3) y r2 = 9 a) Graficarlas en un mismo eje coordenado. b) Obtener las ecuaciones b) Encontrar los puntos de intersección de la recta y la circunferencia. Solución: a) b) Ecuación de la recta m = Tomamos el punto A(2,7)

−7 =1 −7

Ecuación de la circunferencia

y = m( x − x1 ) + y1 y =1( x −2) +7 y = x −2 +7 y = x +5

63

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ( x − (−2) ) 2 + ( y − 3) 2 = 9 ( x + 2 ) 2 + ( y − 3) 2 = 9 c) Tenemos nuestro sistema de ecuaciones y = x +5

___1

( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 9

___2

Utilizando el método de sustitución

Raíces

( x + 2) + ( y − 3) = 9 2

2

( x + 2) 2 + ( x + 5 − 3) 2 = 9 ( x + 2) 2 + ( x + 2) 2 = 9 ( x 2 + 4 x + 4) + ( x 2 + 4 x + 4) = 9 x 2 + 4x + 4 + x 2 + 4x + 4 = 9

x1 = 0.12 x 2 = −4.12

x 2 + 4x + 4 + x 2 + 4x + 4 −9 = 0 2 x 2 + 8 x −1 = 0

Sustituyendo x en ec. 1 para x = 0.12 y =x +5 y =0.12 +5 y =5.12 P1(0.12 ,5.12 )

para x = -4.12 y =x +5 y =−4.12 +5 y =0.88 P 2( −4.12 ,0.88 )

CLASE 15 ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN. Vamos a construir una elipse con el “Método del jardinero”. 1. Fijamos dos puntos llamados focos. 2. Amarramos un cordón a los focos y tensándolo con un lápiz dibujamos la figura.

64

La curva trazada se llama elipse Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Elementos de la elipse: Focos. Puntos fijos de la elipse. (F1 y F2) Eje mayor: Segmento de recta que pasa por los focos y cuyos extremos son los puntos en que interseca a la elipse, su longitud es 2a. Eje menor: Es el segmento de recta que pasa por el centro de la elipse, perpendicular al eje mayor y cuyos extremos son los puntos en que interseca a la elipse, su longitud es 2b. Centro de la elipse: Es el punto medio del eje mayor y del eje menor. Vértices: Son los puntos que se ubican en los extremos del eje mayor. (V1,V2) Distancia focal: Es la medida del segmento de recta que une a los dos focos y su longitud es 2c. Lado recto: Es el segmento de recta perpendicular al eje mayor, que pasa por alguno de los focos y cuyos extremos son los puntos en que interseca a la elipse. LR = Excentricidad: Es la relación de c entre a: e =

2b 2 a

c a

Un semieje es la mitad del eje. ¿Cuántos ejes tiene la elipse?______________________________________________________ ¿Cuántos semiejes tiene la elipse?__________________________________________________ La distancia del origen al vértice (a) es la misma que la distancia de b a c Ecuaciones de la elipse con centro en el origen Eje mayor sobre el eje x:

x2 y2 + =1 a2 b2

Eje mayor sobre el eje y: x2 y2 + =1 b2 a2

65

Ejemplo 1: Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (3,0) y eje mayor igual a 10.Calcular e y LR Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: a = 5,c = 3. a2 = b2 +c2 b = a2 −c2 b = 5 2 − 3 2 = 25 − 9 = 4

x2 y2 + =1 a2 b2 sustituyendo valores en la formula: x2 y2 x2 y2 + = 1 → + =1 25 16 52 42 3 2(4) 2 2(16 ) 32 e = = 0.6 LR = = = = 6.4 5 5 5 5

Ejemplo 2: Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (-6,0) y eje mayor igual a 15. Calcular e y LR Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: a = 7.5,c = 6. a 2 = b2 +c 2 b = a 2 −c 2 b = 7.5 2 − 6 2 = 56 .25 − 36 =

sustituyendo valores en la formula:

e=

6 = .8 7.5

LR =

x2 y2 + =1 a 2 b2 x2 y2 x2 y2 + =1→ + =1 56 .25 36 7.5 2 6 2

2( 4.5) 2 2(20 .25 ) 40 .5 = = = 5.4 7.5 7.5 7.5

66

20 .25 = 4.5

Ejemplo 3: Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (-4,0) y un vértice en el punto (6.5, 0). Calcular e y LR Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: a = 6.5,c = 4. a 2 = b2 +c2 b=

a 2 −c 2

b = 6.5 2 − 4 2 =

sustituyendo valores en la formula:

e=

4 = 0.6 6.5

LR =

42 .25 −16 =

26 .25 = 5.12

x2 y2 + =1 a2 b2 x2 y2 x2 y2 + = 1 → + =1 42 .25 26 .21 6.5 2 5.12 2

2(5.12 ) 2 2( 26 .21) 52 .42 = = = 8.06 6.5 6.5 6.5

Ejemplo 4: Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0,7) y un vértice en el punto (0,9).Calcular e y LR. Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: a = 9.5,c = 7. a2 = b2 +c2 b = a 2 −c2 b = 9 2 − 7 2 = 81 − 49 = 32 = 5.65

x2 y2 + =1 b2 a2 sustituyendo valores en la formula: x2 y2 x2 y2 + = 1 → + =1 31 .92 90 .25 5.65 2 9.5 2 e=

7 = 0.73 9.5

LR =

2(5.65 ) 2 2(31 .92 ) 63 .84 = = = 6.72 9.5 9. 5 9.5

67

Ejemplo 5: Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco en el punto (0,-5) y b = 3. Calcular e y LR. Solución: Para obtener la ecuación de la elipse necesitamos los valores de a y b, colocamos los puntos que tenemos en nuestro eje cartesiano de acuerdo con los datos: b = 3,c = 5. a2 = b2 + c2 a = 3 2 − 5 2 = 9 − 25 = 34 = 5.83

sustituyendo valores en la formula:

e=

5 = 0.85 5.83

LR =

x2 y2 + =1 b2 a2 x2 y2 x2 y2 + = 1 → + =1 9 33.98 3 2 5.83 2

2(3) 2 2(9) 18 = = = 3.08 5.83 5.83 5.83

Tarea: Graficar y determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice en el punto (0,7), LR = 4.Calcular e. 2b 2 a 2 2b Solución: a = 7, 4 = 7 14 = b 2 LR =

b = 3.74

x2 y2 + =1 a2 b2 x2 y2 + =1 49 14

e=

a 2 = b 2 +c 2 a 2 −b 2 = c 2 a 2 −b 2 = c 49 −13 .98 = c 5.91 = c

5.91 = 0.84 7

68

CLASE 16 ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN. Ecuación de la elipse con centro en (h,k) con eje mayor paralelo a uno de los ejes coordenados. Al desplazar la gráfica de la elipse en el plano, su forma y sus dimensiones no cambian, por lo que sus parámetros a, b, c y la suma de las distancias de cualquier punto que se encuentre sobre la elipse a los focos se conservan. Elipse con centro C(h,k) fuera del origen y eje mayor paralelo al eje x (elipse horizontal):

La ecuación esta dada por:

69

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 a2

b2

=1

Elipse con centro C(h,k) fuera del origen y eje mayor paralelo al eje y (elipse vertical):

La ecuación esta dada por:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 b2

a2

=1

Ejemplo 1: Dibujar la elipse con centro en el punto (2, 3), un foco en (2, 6) y uno de sus vértices en (2, 8) y obtener: a) Su ecuación b) e c) LR Solución:

70

a) Elipse vertical

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 b2

a2

=1 a 2 = b2 +c2 b=

c = dCF 1 = y 2 − y1 = 6 − 3 = 3 = 3

a 2 −c 2

b = 5 2 −32

a = dCV 1 = y 2 − y1 = 8 − 3 = 5 = 5

b=

25 − 9

b = 16 = 4

h=2 k=3 sustituyendo valores: b) e =

( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 16

25

=1

3 = 0.6 5

c) LR =

2(4) 2 2(16 ) 32 = = = 6.4 5 5 5

Ejemplo 2: Dibujar la elipse con centro en el punto (-4, 2), un foco en (0, 2), e = 0.8 y obtener: a) Su ecuación b) LR Solución:

71

a) Elipse horizontal

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 a2

b2

=1 c e= a ea = c c 4 a= = =5 e 0.8

c = dCF 2 = x 2 − x1 = 0 − ( −4) = 4 = 4

h = -4 k=2

( x − (−4) ) 2 + ( y − 2) 2

sustituyendo valores:

b) LR =

25 9 2 ( x + 4) + ( y − 2) 2 = 1 25 9

a 2 = b 2 +c 2 b=

a 2 −c 2

b = 5 2 −4 2 b=

25 −16

b = 9 =3

=1

2(3) 2 2(9) 18 = = = 3 .6 5 5 5

Ejemplo 3: A partir de la ecuación:

( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 16

25

Solución:

72

= 1 , encuentra sus elementos y grafícala.

En una elipse a siempre es mayor que b, por lo tanto la ecuación queda como ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 1 , por lo tanto se trata de una elipse vertical con centro fuera del origen. b2 a2 donde a2 = 25 → a = 5 b2 = 16 → b = 4 a 2 = b 2 +c 2 a 2 −b 2 = c 2 a 2 −b 2 = c 25 −16 = c 9 =c 3 =c

h = 1, k = -1, C(1, -2) e=

3 = 0.6 5

LR =

2(4) 2 2(16 ) 32 = = = 6.4 5 5 5

Ejercicio: Dibujar la elipse con centro en el punto (-6, -7), un vértice en (-6, 0), e = 0.6 y obtener: a) Su ecuación b) LR Solución:

73

a) Elipse vertical

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 b2

a2

=1

a = dCV 1 = y 2 − y1 = − 7 − 0) = − 7 = 7

h = -6 k = -7 sustituyendo valores:

( x − (−6) ) 2

+

a 2 = b 2 +c 2

c e= a ea = c

b=

(0.6)( 7) = c 4 .2 = c

b=

( y − (−7) ) 2

31 .36 49 2 2 ( x + 6) + ( y + 7 ) = 1 31.36 49

a 2 −c 2

b = 7 2 −( 4.2) 2 49 −17 .64

b = 31 .36 = 5.6

=1

2(5.6) 2 2(31 .36 ) 62 .72 = = = 8.96 7 7 7 ( y − 4) 2 + ( x + 8) 2 = 1 , encuentra sus elementos y grafícala. Tarea: A partir de la ecuación: 4 49

b) LR =

Solución: Acomodando la ecuación:

( x + 8) 2 + ( y − 4 ) 2 49

4

=1

74

En una elipse a siempre es mayor que b, por lo tanto la ecuación queda como ( x + 8) 2 + ( y − 4) 2 = 1 , por lo tanto se trata de una elipse horizontal con centro fuera del origen. a2 b2 donde a2 = 49 → a = 7 a2 = b2 +c2 a 2 −b 2 = c 2 a 2 −b 2 = c

b2 = 4 → b = 2

49 − 4 = c 45 = c 6. 7 = c

h = -8, k = 4, C(-8, 4) e=

6.7 = 0.95 7

LR =

2( 2) 2 2( 4) 8 = = = 1.14 7 7 7

Unidad 5: La parábola y sus ecuaciones cartesianas. CLASE 17 PARABOLA Y SU ECUACION CARTESIANA. Hoy en día es muy común encontrar parábolas tanto en fenómenos naturales como en el diseño de tecnología.

75

Por el desplazamiento bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra, los chorros y gotas de agua que salen de las fuentes forman bonitos arcos parabólicos.

Cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.

En el diseño arquitectónico Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de radar. La parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fija D llamada directriz y un punto fijo F, llamado foco.

76

Elementos de la parábola: Eje de simetría: Es la recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Vértice: Es el punto que se encuentra a la mitad del foco y la directriz. Distancia focal (p): Longitud que hay entre el vértice y el foco.(su valor siempre es positivo). Lado recto (LR): Segmento de recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría. LR = 4 p . Ecuación de la parábola con vértice en el origen y como eje de simetría uno de los ejes coordenados Tipo de parábola Abre hacia Ecuación Grafica Vertical

arriba

x 2 = 4 py

Vertical

abajo

x 2 = −4 py

Horizontal

derecha

y 2 = 4 px

Horizontal

izquierda

y 2 = −4 px

Ejemplo 1: Determinar la ecuación de la directriz y de la parábola con vértice en el origen y foco en F (0, -5), dibujar la parábola. Solución:

77

Parábola vertical, abre hacia abajo, su ecuación es: x 2 = −4 py p=5 ecuación de la directriz x 2 = −4 py x 2 = −4(5) y x

2

LR = 4(5) = 20

y =5

= −20 y

Ejemplo 2: Determinar la ecuación de la directriz y de la parábola con vértice en el origen y foco en F (-7, 0) Solución:

Parábola horizontal, abre hacia la izquierda, su ecuación es: y 2 = −4 px ecuación de la directriz y 2 = −4 px

p=7

y 2 = −4(7) x y

2

LR = 4(7) = 28

x =7

= −28 x

Ejemplo 3: Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen cuya directriz es y = −6

Solución:

78

Parábola vertical, abre hacia arriba, su ecuación es: x 2 = 4 py x 2 = 4 py

p=6

x 2 = 4( 6) y x

2

LR = 4(6) = 24

= 24 y

Ejemplo 4: Una parábola tiene por ecuación: y 2 = 8 x , encontrar sus elementos y graficarla. Solución: La ecuación es de la forma y 2 = 4 px , parábola horizontal que abre hacia la derecha. por lo tanto

4 p =8 p =2

LR = 4(2) = 8

Directriz x = −2

Ejercicio 1: Una parábola tiene por ecuación: y 2 = −16 x , encontrar sus elementos y graficarla. Solución: La ecuación es de la forma y 2 = −4 px , parábola horizontal que abre hacia la izquierda. 79

por lo tanto

− 4 p = −16 p =4

LR = 4( 4) = 16

Directriz x = 4

Ejercicio 2: Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen cuya directriz es x = 3.5

Solución:

Parábola horizontal, abre hacia la izquierda, su ecuación es: y 2 = −4 px y 2 = −4 px

p = 3.5

y 2 = −4(3.5) x y

2

LR = 4(3.5) =14

= −14 x

Ejercicio 3: Si los extremos del lado recto de una parábola son A(-4, 2) y B(4,2), encontrar sus elementos y graficarla. Solución:

80

Parábola vertical, abre hacia arriba, su ecuación es: x 2 = 4 py LR = 4 − ( −4) = 4 + 4 = 8 = 8 LR = 4 p LR =p 4 8 =p 4 2=p x 2 = 4 py

sustituyendo valores x 2 = 4( 2) y x 2 =8 y

directriz: y = −6

81