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UNIDAD 1: SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CLASE 1 ECUACION LINEAL Las matemáticas no son abstracciones son una herramienta básica para la vida. Las matemáticas nos permiten trasladar un problema que se encuentre en el lenguaje común al lenguaje matemático con el fin de analizarlo. Lenguaje común → Lenguaje matemático Veamos el siguiente ejemplo: La edad de Arturo mas 13 es igual a 40, ¿Cuál es la edad de Arturo? Para obtener el modelo matemático tengamos en cuenta las siguientes sugerencias: 1. Entender bien el enunciado. 2. Identificar la(s) incógnita(s) que por lo general están dadas en la pregunta. incógnita → edad de Arturo = x Lenguaje común

La edad de Arturo mas

1 3

es igual a 40

Lenguaje matemático a este modelo matemático x +13 = 40 también se le llama ecuación. Ecuación: es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo es verdadera para determinados valores de las incógnitas. elementos de la ecuación: miembro izquierdo →

igualdad x + 13

= 10

← miembro derecho

Termino: cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el signo + ó – El miembro izquierdo de la ecuación tiene 2 términos: x, 13 El miembro derecho de la ecuación tiene 1 término: 10 La incógnita es la cantidad desconocida y por lo regular se representa por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Se dice que es una ecuación de primer grado o lineal porque la incógnita esta elevada a la primera potencia. x1 = x 1

Llena la siguiente tabla: ¿Es una ecuación?

¿Es una ecuación de primer grado(lineal)?

2+ x =3 − 62 + x = 3 + 13 y 15 = 12 + 3 x2 − 8 = x x+ y = z

Términos del miembro izquierdo

Términos del miembro derecho

Incógnita(s)

x2 − 8 + x Las siguientes expresiones nos servirán para entender la notación del lenguaje matemático: 1 1x x x=  = 2 21 2 1 1 x  x La tercera parte de un numero ________________ x =   = 3 3 1  3 El doble de un numero _________________ 2x El triple de un numero _________________ 3x La mitad de un numero ________________

Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita. De las siguientes situaciones obtén su ecuación, resuélvela y compruébala. Recuerda que para resolver una ecuación seguimos las siguientes reglas: Si un termino esta: sumando restando multiplicando dividiendo

Pasa: restando sumando dividiendo(con el mismo signo) multiplicando(con el mismo signo)

1. El doble de un número es 24. ¿Cual es el número? Incógnita → numero = x

Comprobación (sustituimos el valor obtenido en la ecuación) 2 x = 24 24 x= 2 x = 12

2(12) = 24 24 = 24 El número es 12

2. El triple de un número mas 3 es igual a 6 ¿Cuál es el número? Incógnita → numero = x

Comprobación 2

3(1) + 3 = 6 3+3 = 6 6=6

3x + 3 = 6 3x = 6 − 3 3x = 3 3 x= 3 x =1 El número es 1

3. La mitad de un número menos 2 es 6, ¿Cuál es el numero? Incógnita → numero = x 1 x−2=6 2 x = 6+2 2 x =8 2 x = 8(2) x = 16

Comprobación

x −2=6 2 16 −2=6 2 8−2 = 6 6=6

El número es 16 4. La suma de dos números enteros consecutivos da 17 ¿Cuáles son esos números? Incógnitas

número 1 = x número 2 = x + 1

Comprobación

x + ( x + 1) = 17 x + x + 1 = 17 2 x + 1 = 17 x + x + 1 = 17 2 x = 17 − 1 8 + 8 + 1 = 17 2 x = 16 17 = 17 16 x= 2 x=8 5. En el centro de copiado del CCH Vallejo la maquina 1 produce el doble de copias que la maquina 2 y ambas producen al día 300 copias, ¿Cuántas copias produce cada maquina? Incógnitas

maquina 1 = 2x maquina 2 = x

Comprobación 3

2 x + x = 300 3 x = 300 300 x= 3 x = 100

2 x + x = 300 2(100) + 100 = 300 200 + 100 = 300 300 = 300

La maquina 2 produce 100 copias La maquina 1 produce 200 copias

Tarea: Ana, Beti y Caro realizaran un trabajo de historia. Ana escribirá x cuartillas, Beti escribirá el triple de cuartillas que Ana y Caro escribirá el doble de las cuartillas de Ana mas 8. Si el trabajo tendrá un total de 248 cuartillas ¿Cuántas cuartillas escribirá cada una? cuartillas de Ana = x cuartillas de Beti = 3x cuartillas de Caro= 2x + 8

Incógnitas x + 3 x + 2 x + 8 = 248 6 x + 8 = 248 6 x = 248 − 8 6 x = 240 x = 40

Comprobación

x + 3x + 2 x + 8 = 248 40 + 3(40) + 2(40) + 8 = 248 40 + 120 + 80 + 8 = 248 248 = 248

cuartillas de Ana = 40 cuartillas de Beti = 3x = 3(40) =120 cuartillas de Caro= 2x + 8 =2(40) + 8 =80 + 8 = 88

CLASE 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L) SOLUCION POR EL METODO GRAFICO.

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En la clase 1 recordamos lo que es una ecuación lineal, en esta clase vamos a recordar lo que es un sistema de ecuaciones lineales. Situaciones que dan lugar a S.E.L. El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30 y si se compran 3 cuadernos y una pluma es de $35. Encuentra el precio de cada artículo. ¿Cómo podemos obtener el S.E.L.? 1. Entender bien el enunciado. 2. Identificar la(s) incógnita(s). 3. Trasladando el lenguaje común a sus respectivas ecuaciones. Solución: incógnitas: c = precio de cada cuaderno p = precio de cada pluma primera ecuación: 2c + 2p = 30 __1 segunda ecuación: 3c + 1p = 35 __2

S.E.L

Ahora podemos definir lo que es un S.E.L. Un sistema de ecuaciones lineales es ________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Cuando en un sistema de ecuaciones el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas si se puede empezar a resolver utilizando los métodos que veremos mas adelante. Indica si los siguientes sistemas de ecuaciones se pueden empezar a resolver: 2x + 2y = 28 3y = 25

S.E.L. de 2x2 (2 ecs. y 2 incóg.)

6s – 4 = 4t

-6x = 35 8=x+y

3s + 8t – 6r = -8 4s – 8t + r = 3

Resolver un sistema de ecuaciones, es encontrar el valor de las incógnitas que satisfacen las igualdades, a estos valores se les llama soluciones o raíces de la ecuación. Una solución Tiene solución Infinidad de soluciones S.E.L de 2x2 No tiene solución 5

Métodos para resolver S.E.L.

- Método grafico - Método de suma o resta - Método de sustitución

Vamos a recordar como graficar. Tengo 2 ecuaciones y + 3x = 8 ¿Es una ecuación lineal?_____ ¿Por qué?____________________________

y + 3x2 = 8 ¿Es una ecuación lineal?_____ ¿Por qué?____________________________

Despejar una incógnita y + 3x = 8 y = 8 – 3x La grafica de una ecuación lineal es una recta

Despejar una incógnita y + 3x2 = 8 y = 8 – 3x2 La grafica de una ecuación no lineal no es una recta Para trazar una ecuación no lineal necesito varios puntos.

Para trazar una recta necesito dos puntos x y = 8 – 3x 0 y= 8-3(0) =8-0=8 5 y= 8-3(5)=8-15=-7 Grafica

x y = 8 – 3x2 - y = 8-3(-2)2 =8-3(4)=8-12=-4 2 - y = 8-3(-1)2 = 8 - 3(1) = 8 - 3 = 5 1 0 y = 8-3(0)2 = 8 - 3(0) = 8 - 0 = 8 1 y = 8-3(1)2 = 8 - 3(1) = 8 - 3 = 5 2 y = 8-3(2)2 = 8 - 3(4) = 8 - 12 = 4 Grafica

En esta unidad trabajaremos solo con ecuaciones lineales. Ya una vez recordado las herramientas para graficar vamos a resolver el problema planteado al inicio de clase: 6

El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan $35. Encuentra el precio de cada artículo. solución: incógnitas:

cuaderno = c pluma = p Las ecuaciones nos quedan

2c + 2p = 30 ____1 3c + p = 35 ____2

2c + 2p = 30 Despejar una incógnita 2c + 2 p = 30 2c = 30 − 2 p 30 − 2 p 30 2 p c= = − = 2 2 2 c = 15 − p Tabulación p 0 1 0

3c + p = 35 Despejar una incógnita 3c + p = 35 3c = 35 − p 35 − p c= 3 Tabulación.

c = 15 – p y = 15- (0)= 15- 0 = 15 y = 15- (10)= 15- 10 = 5

p 0 1 0

35 − p 3 35 − p 35 − 0 c= = = 11.66 3 3 35 − p 35 − 10 25 c= = = = 8.33 3 3 3

c= c=

Para las graficas tomar como eje horizontal p (se puede tomar cualquiera, pero para que todos tengamos los mismos ejes hagámoslo de esa manera) Grafica

La solución es el punto donde se intersecan las rectas. Precio de la pluma __________ Precio del cuaderno __________ Ejercicio: Resolver por el método grafico el siguiente S.E.L. de 2x2 7 x + 4 y = 13 ___ 1 5 x − 2 y = 19 ___ 2 7

Solución:

Despejar una incógnita

Despejar una incógnita

y=(13-7x)/4 Tabulación x y -5,0 12,0 0 3,25 1,0 1,5 2,0 -0,25 3,0 -2,0 4,0 -3,75 5,0 -5,5 6,0 -7,25 7,0 -9,0 Para las graficas tomar como eje horizontal x Grafica

y=(19-5x)/-2 x y -5,0 -22,0 0 -9,5 1,0 -7,0 2,0 -4,5 3,0 -2,0 4,0 0,5 5,0 3,0 6,0 5,5 7,0 8,0

La solución es el punto donde se intersecan las rectas. x = _3_________ y = __-2________ Tarea: Resolver por el método grafico el siguiente S.E.L. de 2x2 x − 2 y = 6 ___ 1 2 x − 4 y = 5 ___ 2 8

Tabulación.

Solución: x − 2y = 6

2x − 4 y = 5

Despejar una incógnita x − 2y = 6 − 2y = 6 − x 6−x y= −2 Tabulación y=(6-x)/-2 x y -5,0 -5,5 0 -3,0 5,0 -0,5 10 2

Despejar una incógnita 2x − 4 y = 5 − 4 y = 5 − 2x 5 − 2x y= −4 Tabulación. y=(5-2x)/-4 x y -5,0 -3,75 0 -1,25 5,0 1,25 10,0 3,75

Para las graficas tomar como eje horizontal x Grafica

La solución es el punto donde se intersecan las rectas. x = __________ y = __________

CLASE 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S.E.L) SOLUCION POR EL METODO DE SUMA O RESTA.

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Método de suma o resta: 1. Se ordenan las ecuaciones en columnas de acuerdo a las incógnitas. 2. Se escoge una incógnita para eliminarla, de preferencia la que tenga un factor igual a 1. Factor es el número que multiplica a la incógnita, por ejemplo en 3x el factor es ____ en w el factor es ___. 3. Se multiplican las ecuaciones por los factores de las incógnitas a eliminar en forma cruzada, a un factor (cualquiera) se le cambia de signo. 4. Se realiza la suma o resta y se encuentra la primera incógnita. 5. Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la incógnita faltante 6. comprobar los resultados en ambas ecuaciones Ejemplo 1: El precio por la compra de 2 cuadernos y 2 plumas es de $30, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan $35. Encuentra el precio de cada artículo. solución: incógnitas:

cuaderno = c pluma = p

2c + 2p = 30 3c + p = 35

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. 2c + 2p = 30 ____1 3c + p = 35 ____2 2. vamos a eliminar p, 3. 4.

1(2c + 2p = 30) → 2c + 2p = 30 -2(3c + p = 35) → -6c – 2p = -70 ____________ -4c = -40 c = -40/-4 c = 10

5. sustituyendo c en ec. 2

3c + p = 35 p=5

cada cuaderno vale $10 y cada pluma vale $5 6. comprobación:

Ecuación 1

Ecuación 2

2c + 2p = 30 2(10) + 2(5) =30 20 + 10 = 30

3c + p = 35 3(10) + 5 = 35 30 + 5 =35 10

30 = 30

35 = 35

Ejemplo 2. En un laboratorio de biología se van a comprar tubos de ensayo y probetas, la tienda dice que diez tubos de ensayo y cuatro probetas cuestan $62, y tres tubos de ensayo y cinco probetas cuestan $30, ¿Cuánto cuesta cada producto? solución: incognitas:

Tubos de ensayo = t probetas = p

10t + 4p = 62 3 t + 5p = 30

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. 10t + 4p = 62____1 3 t + 5p = 30 ____2 2. vamos a eliminar p, 3. 4.

5(10t + 4p = 62) → 50t + 20p = 310 -4(3 t + 5p = 30) → -12t - 20p = -120 ____________ 38t = 190 t = 190/38 t=5

5. sustituyendo t en ec. 2

3(5) + 5p = 30 15 + 5p = 30 5p = 15 p=3

cada tubos de ensayo vale $5 y cada probeta vale $3 6. comprobación:

Ecuación 1 Ecuación 2 10t + 4p = 62 3 t + 5p = 30 10(5) + 4(3) = 62 3(5) + 5(3) = 30 50 + 12 =62 15 + 15 = 30 62 = 62 30 = 30 Resuelve los siguientes ejercicios por el método de suma o resta. Ejercicio 1: Rosa y julia tienen ahorrado entre las dos $40, Rosa tiene el doble de lo que tiene julia más $7 ¿Cuánto tiene ahorrado cada una? solución: 11

incógnitas:

Dinero ahorrado de Rosa = R Dinero ahorrado de Julia = J

R + J = 40 R = 2J +7

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. R + J = 40____1 R – 2J = 7 ____2 2. vamos a eliminar R 3. 4.

1(R + J = 40) → R + J = 40 -1(R - 2J = 7) → -R + 2J = -7 ____________ 3J = 33 J = 33/3 J = 11

5. sustituyendo J en ec. 1

R + J = 40 R + 11 = 40 R = 40 - 11 R = 29

Rosa tiene ahorrado = $29 y Julia tiene ahorrado $11 6. comprobación:

Ecuación 1 R + J = 40 29 + 11 = 40 40 = 40

Ecuación 2 R – 2J = 7 29 – 2(11) =7 29 – 22 = 7 7=7

Tarea. Resuelve el siguiente S.E.L. solución: incógnitas: x – 2y =3

x = 3 + 2y _______ 1 -4y = 6 - 3x _______ 2

x, y Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 12

3x – 4y = 6 1. x – 2y = 3____1 3x – 4y = 6____2 2. vamos a eliminar x 3. 4.

3( x – 2y = 3) → 3x – 6y = 9 -1(3x – 4y = 6) → -3x + 4y = -6 ____________ -2y = 3 y = 3/-2 y = -1.5

5. sustituyendo y en ec. 1

6. comprobación:

x – 2y = 3 x – 2(-1.5) = 3 x+3=3 x=0

Ecuación 1 x – 2y = 3 – 2(-1.5) = 3

Ecuación 2 3x – 4y = 6 3(0) – 4(-1.5) = 6 6=6

CLASE 4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SOLUCION POR EL METODO DE SUSTITUCION. Método de sustitución: 13

1. Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones (de preferencia la que tenga un factor igual a 1) 2. La incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación para obtener el valor de esta incógnita. 3. Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en el paso 2 en cualquier ecuación original para obtener el valor de la incógnita restante. 4. comprobar los resultados en ambas ecuaciones Ejemplo 1. Resolver por el método de sustitución el siguiente S.E.L. x – y = 6 ____ 1 3x + y = 2 ____ 2

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. despejamos x de la ecuación 1

x= 6+y

2. sustituimos x en la ecuación 2

3(6 + y) + y = 2 18 + 3y + y = 2 4y = 2 - 18 y= -16 y=-4

3. sustituimos y en la ecuación 1

x - (- 4) = 6 x+4=6 x=6-4 x=2

4. comprobación:

Ecuación 1

Ecuación 2

x–y=6 2 – (-4) = 6 2+4=6 6=6

3x + y = 2 3(2) + (-4) = 2 6–4=2

Ejemplo 2. Resolver por el método de sustitución el siguiente S.E.L. 2 7 1 x+ y = 4 x −1 =

__ 1 __ 2 Solución:

x −1 =

2 7

2 +1 7 2+7 x= 14 7 9 x= 7 x=

1. despejamos x de la ecuación 1

2. sustituimos x en la ecuación 2 1 x +y = 4 9 1 +y = 7 4 1 9 y = − 4 7 7− 36 y = 28 −29 y = 28 29 y =− 2 3. comprobación:

Ecuación 1 2 7 9 2 −1 = 7 7 9−7 2 = 7 7 2 2 = 7 7

x −1 =

Ejercicio 1.

Ecuación 2 1 4 9  29  1 + −  = 7  28  4 9 29 1 − = 7 28 4 36 − 29 1 = 28 4 7 1 = 28 4 1 1 = 4 4 x+ y =

9x – 3y = 24 11x + 2y = 1

15

1. despejamos x de la ecuación 1

9 x − 3 y = 24 9 x = 24 + 3 y 24 + 3 y x= 9 11x + 2 y = 1

2. sustituimos x en la ecuación 2

3. sustituimos y en la ecuación 1

4. comprobación:

 24 + 3 y  11  + 2y =1  9  264 + 33 y + 2y =1 9 264 + 33 y = 1− 2y 9 264 + 33 y = (1 − 2 y )9 264 + 33 y = 9 − 18 y 33 y + 18 y = 9 − 264 51 y = −255 255 y=− 51 y = −5 9x - 3y = 24 9x - 3(-5) = 24 9x + 15 = 24 9x = 24 − 15 9 x= 9 x =1

Ecuación 1

Ecuación 2

9 x + 3 y = 24 9(1) − 3(−5) = 24 9 + 15 = 24 24 = 24

11x + 2 y = 1 11(1) + 2(−5) = 1 11 − 10 = 1 1=1

Ejercicio 2: Del siguiente enunciado obtener el S.E.L. y resolverlo por el método de sustitución. La edad de Juan es el doble que la de pedro y ambas suman 15, ¿Qué edad tiene cada uno?

16

Solución: Incógnitas:

Edad de Juan → J Edad de Maria → M J = 2P ____ 1 J + P = 15 ____ 2

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

1. 2. sustituimos J en la ecuación 2 (2P) + P = 15 3P = 15 P = 15/3 P=5

3. sustituimos P en la ecuación 1 J = 2P J = 2(5) J = 10

4. comprobación:

Ecuación 1 J = 2P 10 = 2(5) 10 = 10

Ecuación 2 J + P = 15 10 + 5 = 15 15 = 15

Tarea: Resolver por el método de sustitución el siguiente ejercicio: Don Juan compro 30 animales para su granja (patos y chivos), si por cada pato pago $20 y por cada chivo $120 y en total gasto $3000, ¿Cuántos patos y cuantos chivos compro? 17

Solución: p+ ch = 30 ___ 1 20p + 120ch = 3000 ___ 2 1. despejamos p de la ecuación 1

2. sustituimos p en la ecuación 2

p = 30 − ch 20(30 − ch) + 120ch = 3000 600 − 20ch + 120ch = 3000 100ch = 3000 − 600 2400 ch = 100 ch = 24

3. sustituimos ch en la ecuación 1

p + ch = 30 p + 24 = 30 p = 30 − 24 p=6

Se compraron 24 chivos y 6 patos 4. comprobación:

Ecuación 1

Ecuación 2 20 p + 120ch = 3000 20(6) + 120(24) = 3000 120 + 2880 = 3000 3000 = 3000

p + ch = 30 24 + 6 = 30 30 = 30

CLASE 5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE 3X3 (S.E.L. de 3X3) Sistema de ecuaciones lineales de 3x3 (3 ecuaciones, 3 incógnitas) 18

Anota las características de cada sistema 2 x + 4 y − 3w = 5 3x − 2 y + 4 w = 5 4 x + 3 y − 6w = 5 2 x + 4 y − 3w = 5 3x − 2 y + 4 w = 5 ______________ ______________ ______________

2 x + 4 y − 3w = 5 2 y + 4w = 5 6w 2 = 5

2 x + 4 y − 3w = 5 3x − 2 y + 4 w = 5 + x 4 x + 3 y − 6w = 5 − y

2x + 4 y = 5 3x − 2 y = 5 2x = 5

3 ecs. (1 no lineal) _____________ _____________

________________ ________________ ________________

_________ _________ _________

forma triangular se resuelve por el método de sustitución ejemplo: 2 x + 4 y − 3 z = 10 __ 1

− 3 y + 4 z = 5 __ 2 z = 5 __ 3

Métodos para resolver S.E.L. de 3x3

no esta en forma triangular se resuelve por el método general

ejemplo:

2 x + 4 y − 3w = 5 3x − 2 y + 4w = 5 4 x + 3 y − 6w = 5

Resolvamos primero un S.E.L. de 3X3 en forma triangular utilizando el método de sustitución. 2 x + 4 y − 3z = 10 __ 1 − 3 y + 4 z = 5 __ 2 z = 5 __ 3

Ejemplo 1: Resolver el siguiente S.E.L de 3x3 Solución:

Vemos que el valor de z = 5

− 3y + 4z = 5 − 3 y + 4(5) = 5 − 3 y + 20 = 5 − 3 y = 5 − 20 Sustituimos z en Ec. 2 − 3 y = −15 − 15 y= −3 y =5

19

2 x + 4 y − 3z = 10 2 x + 4(5) − 3(5) = 10 2 x + 20 − 15 = 10 sustituimos y y z en la ec. 1 2 x = 10 − 20 + 15 2x = 5 5 x= 2 5 x= 2 Solución y =5 z=5 comprobación:

Ecuación 1 2 x + 4 y − 3z = 10

Ecuación 2

5 2  + 4(5) − 3(5) = 10 2 5 + 20 − 15 = 10 10 = 10

− 3y + 4z = 5 − 3(5) + 4(5) = 5 − 15 + 20 = 5 5=5

Método general para resolver S.E.L. de 3X3 1. Tomamos 2 ecs. cualesquiera, se utiliza el método de suma ó resta para eliminar una incógnita, la ecuación resultante es la ec. 4. 2. Se toma la ecuación restante del sistema con cualquiera de las otras dos, se elimina la misma incógnita del paso 1 por el método de suma ó resta, la ecuación resultante es la ec. 5. 3. Se toma la ec.4 y la ec.5 (S.E.L. de 2x2) y se resuelve encontrando esas dos incógnitas (se utiliza cualquier método). 4. Los dos valores encontrados se sustituyen en cualquier ecuación original y se encuentra la incógnita restante. 5. Se comprueba el resultado. x + 4 y − z = 6 __ 1 2 x + 5 y − 7 z = −9 __ 2 Ejemplo 2: Resolver el siguiente S.E.L de 3x3 3 x − 2 y + z = 2 __ 3 Solución: 1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita x − 2( x + 4 y − z = 6) → −2 x − 8 y + 2 z = −12 1( 2 x + 5 y − 7 z = −9) → 2 x + 5 y − 7 z = −9 − 3 y − 5 z = −21 ___ 4

20

2. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita x − 3( x + 4 y − z = 6) → −3x − 12 y + 3z = −18 1(3 x − 2 y + z = 2) → 3x − 2 y + z = 2 − 14 y + 4 z = −16 ___ 5

3. se toman ec.4 y ec. 5 − 3 y − 5 z = −21 ___ 4 −14 y + 4 z = −16 ___ 5 vamos a eliminar z 4 (−3 y − 5 z = −21) → −12 y − 20 z − 84 5(−14 y + 4 z = −16) ___ − 70 y + 20 z = −80 − 82 y = −164 y =2 - 3y - 5z = - 21 - 3(2) − 5 z = − 21 − 6 − 5 z = − 21 sustituyendo y en ec. 4 − 5 z = −21 + 6 − 5 z = −15 z =3

x + 4y − z = 6 x + 4(2) − 3 = 6 x+8−3= 6 sustituyendo y y z en ec. 1 x+5=6 x = 6−5 x =1 Solución: x = 1, y = 2, z = 3 comprobación ecuación 1 x + 4y − z = 6 1 + 4( 2) − 3 = 6 1+ 8 − 3 = 6 6=6

ecuación 2 2 x + 5 y − 7 z = −9 2(1) + 5(2) − 7(3) = −9 2 + 10 − 21 = −9 − 9 = −9 21

ecuación 3 3x − 2 y + z = 2 3(1) − 2(2) + 3 = 2 3−4+3 = 2 2=2

5 x − 2 y + z = 24 __ 1 2 x + 5 y − 2 z = −14 __ 2 x − 4 y + 3 z = 26 __ 3

Ejercicio: Resolver el siguiente S.E.L de 3x3 Solución: 1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita x

− 2(5 x − 2 y + z = 24) → −10 + 4 y − 2 z = −48 5(2 x + 5 y − 2 z = −14) → 10 x + 25 y − 10 z = −70 29 y − 12 z = −118 ___ 4 2. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita x 5( x − 4 y + 3 z = 26) → 5 x − 20 y + 15 z = 130 − 1(5 x − 2 y + z = 24) → −5 x + 2 y − z = −24 − 18 y + 14 z = 106 ___ 5 3. se toman ec.4 y ec. 5

29 y − 12 z = −118 − 18 y + 14 z = 106

vamos a eliminar z

14(29 y − 12 z = −118) → 406 y − 168 z = −1652 12(−18 y + 14 z = 106) → −216 y + 168 z = 1272 190 y = −380 y = −2

29 y − 12 z = −118 29(−2) − 12 z = −118 − 58 − 12 z = −118 sustituyendo y en ec. 4 − 12 z = −118 + 58 − 60 z= − 12 z =5 5 x − 2 y + z = 24 5 x − 2(−2) + 5 = 24 5 x + 4 + 5 = 24 sustituyendo y y z en ec. 1 5 x = 24 − 9 5 x = 15 x=3 Solución: x = 3, y = -2, z = 5 comprobación ecuación 1 ecuación 2 5 x − 2 y + z = 24 5(3) − 2(−2) + 5 = 24 15 + 4 + 5 = 24 24 = 24

2 x + 5 y − 2 z = −14 2(3) + 5( −2) − 2(5) = −14 6 − 10 − 10 = −14 − 14 = −14

22

ecuación 3 x − 4 y + 3 z = 26 3 − 4(−2) + 3(5) = 26 3 + 8 + 15 = 26 26 = 26

Tarea: Del siguiente enunciado obtener su S.E.L, resolverlo y comprobarlo. Juan compro 2 lápices, 1 goma y 3 plumas por $15 Porfirio compro 1 lápiz, 3 gomas y 5 plumas por $23 Raquel compro 3 lápices, 3 gomas y 3 plumas por $21, los 3 fueron a la misma papelería. ¿Cuál es el precio de cada producto? 2l + g + 3 p = 15 ___ 1 Solución: El S.E.L. nos queda l + 3 g + 5 p = 23 ___ 2 3l + 3g + 3 p = 21 ___ 3 1. se toma ec. 1 y ec.2, se elimina la incógnita l − 1(2l + g + 3 p = 15) → −2l − g − 3 p = −15 2(l + 3 g + 5 p = 23) → 2l + 6 g + 10 p = 46 5 g + 7 p = 31 ___ 4 2. se toma ec 3 y ec. 1, se elimina la incógnita l

2(3l + 3 g + 3 p = 21) → 6l + 6 g + 6 p = 42 − 3(2l + g + 3 p = 15) → −6l − 3g − 9 p = −45 3 g − 3 p = −3 ___ 5 3. se toman ec.4 y ec. 5 − 3(5 g + 7 p = 31) → −15 g − 21 p = −93 5 g + 7 p = 31 5(3 g − 3 p = −3) → 15 g − 15 p − 15 vamos a eliminar g 3 g − 3 p = −3 − 36 p = −108 p=3 5 g + 7 p = 31 5 g + 7(3) = 31 5 g + 21 = 31 sustituyendo p en ec. 4 5 g = 31 − 21 10 g= =2 5 2l + g + 3 p = 15 2l + 2 + 3(3) = 15 sustituyendo p y g en ec. 1 l = (15 − 11) / 2 = 2 Solución: x = 3, y = -2, z = 5 comprobación ecuación 1 ecuación 2 ecuación 3

2l + g + 3 p = 15 __ 1 2(2) + 2 + 3(3) = 15 4 + 2 + 9 = 15 15 = 15

l + 3 g + 5 p = 23 2 + 3(2) + 5(3) = 23 2 + 6 + 15 = 23 23 = 23 23

3l + 3g + 3 p = 21 3(2) + 3(2) + 3(3) = 21 6 + 6 + 9 = 21 21 = 21

Unidad 2: Sistemas de coordenadas y lugares geométricos CLASE 6 SISTEMAS DE COORDENADAS En ocasiones para localizar un punto en un plano es necesario utilizar un sistema de referencia Veamos el siguiente ejemplo: En el tablero de ajedrez para localizar una pieza se acostumbra llamar al eje horizontal con letras y al eje vertical con números. Señala el origen del sistema de referencia ¿En que posición esta ubicado el caballo? ___________________ ¿En que posición esta ubicado el peón? _____________________ ¿En que posición esta ubicado el rey? ______________________ ¿En que posición esta ubicado la reina? _____________________ Otro ejemplo: Para ubicar un punto en el globo terráqueo también se utiliza un sistema de referencia, llamando al eje horizontal: longitud y al eje vertical: latitud.

80 Señala el origen del sistema de referencia ¿En que posición esta ubicado México? 100 Long este, 20 latitud norte 20 160

¿En que posición esta ubicado Pekín? 120 long. Oeste, 40 latitud norte

100

24

En base a los 2 ejemplos anteriores, ¿Para que me sirve un sistema de coordenadas o sistema de referencias?___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Rene Descartes (1654-1705) Cuando Rene Descartes escribía el anexo de “Geometría” en su obra titulada: “Discurso del método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias“, propuso un nuevo sistema de coordenadas para estudiar esta disciplina. Llamado ahora “sistema de coordenadas cartesianas “en su honor, este sistema permite asignarle a cada punto del plano una pareja de números reales que lo identifica. Sistema de coordenadas cartesianas Este sistema esta formado por dos rectas siendo el punto donde se cruzan el origen y (eje de las oordenadas) cuadrante II

y

A (x, y)

x

cuadrante I

x (eje de las absisas)

o cuadrante III

cuadrante IV

En el siguiente dibujo localiza la pareja de números de los siguientes puntos:

25

Distancia entre dos puntos Es la longitud de un segmento de recta. ¿Cómo calculo la longitud de la base de la casa si utilizo como referencia la recta numérica? Obteniendo la distancia del punto A al punto B (dAB) dAB 0

A(8)

B(20)

Si al valor de B le resto el valor de A me queda dAB = 20 − 8 = 12 = 12 Que es lo mismo que si al valor de B le resto el valor de A dAB = 8 − 20 = − 12 = 12 En este caso el valor absoluto me indica el valor positivo de una medida

¿Que pasa si cambiamos la casa al lado negativo de la recta?, ¿Cambia la longitud de su base? B(-20)

A(-8)

0

Utilizando otra vez valor absoluto: dAB = − 20 − (−8) = − 20 + 8 = − 12 = 12 Que es lo mismo que dAB = − 8 − (−20) = − 8 + 20 = 12 = 12 Observamos que el valor absoluto de la longitud es la misma no importando de que lado esta la casa. Ahora ya podemos obtener una formula general para obtener la distancia o longitud de un segmento: dAB 0

A(x1)

dAB = x 2 − x1 = x1 − x 2

26

B(x2)

En el siguiente sistema de coordenadas cartesianas (S.C.C.) calcula las longitudes de los segmentos de recta. y

x

No podemos obtener la distancia del segmento inclinado porque no esta paralelo a ningún eje, vamos a obtener una formula para calcular esta longitud. ¿Recuerdas el teorema de Pitágoras? ___________________________________________ “En todo triangulo rectángulo la suma del cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa”

B(x2,y2)

¿Cómo utilizarías este teorema para calcular la dAB?

( dAB ) 2 = ( dAC ) 2 + ( dBC ) 2 ( dAB ) 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 2 2 dBC = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )

A(x1,y1)

La distancia entre dos puntos: A(x1,y1), B(x2,y2) es: dBC =

( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

Sustituyendo valores: dBC = ( 3 − 7 ) + ( 5 − 2) = 16 + 9 = 25 = 5 ul (ul: unidades lineales, pueden ser centímetros, metros, kilómetros, etc.) 2

27

2

Tarea: Si en el ejercicio anterior cambiamos A(x2,y2)B(x1,y1)

B(x1,y1)

A(x2,y2) 3

4 dBC =

( 3 − 7 ) 2 + ( 2 − 5) 2

28

= 16 + 9 = 25 = 5

CLASE 6 PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN Imaginemos una montaña, colocamos nuestro sistema de ejes. La relación entre el incremento de altura y el incremento de base en un segmento se le llama pendiente y se designa por la letra m. y

C

130 E 104 B

Pendiente de una recta ∆ altura y 2 − y1 m= = ∆ base x 2 − x1

D

A

F x 80

100

150

270

1. Vamos a calcular la pendiente del segmento AB. mAB =

altura 104 = = 1.3 base 80

2. Calculo de la pendiente del segmento AC. altura 130 mAC = = = 1.3 base 100 ¿Al ver los resultados de las pendientes anteriores que concluimos?___que no importa que altura y que base se tome en un segmento, la pendiente es la misma en todo el segmento.____________ ______________________________________________________________________________ D a1 C B b1 a2 A b2

29

mAB = mCD

Volvamos al cálculo de las pendientes de la montaña. 3. Calculo de la pendiente del segmento CD. mAC =

altura 130 − 104 26 = = =0 base 0 0

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente de un segmento vertical es igual a cero____ ______________________________________________________________________________ 4. Calculo de la pendiente del segmento DE. mDE =

altura 0 0 = = = in det er min ación base 150 − 100 50

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente en un segmento horizontal no existe____ ______________________________________________________________________________ 5. Calculo de la pendiente del segmento EF. mEF =

altura 104 104 = = = 0.86 base 270 − 150 120

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente en un segmento horizontal no existe____ ______________________________________________________________________________ Ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación es el ángulo que el segmento forma con el eje de las absisas.

∆ altura =m ∆ base tan α = m tan α =

α

α = tan −1 m Angulo de inclinación

α = tan −1 m

30

+ Sentido del ángulo de inclinación

x -

Vamos a calcular los ángulos de inclinación de la montaña. 1. Calculo de la pendiente del segmento AC. mAC =

altura 130 = = 1.3 base 100

¿Al ver los resultados de las pendientes anteriores que concluimos?___que no importa que altura y que base se tome en un segmento, la pendiente es la misma en todo el segmento.____________ ______________________________________________________________________________ D a1 C B b1 a2

mAB = mCD

A b2

Volvamos al cálculo de las pendientes de la montaña. 3. Calculo de la pendiente del segmento CD. mAC =

altura 130 − 104 26 = = =0 base 0 0

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente de un segmento vertical es igual a cero____ ______________________________________________________________________________ 31

4. Calculo de la pendiente del segmento DE. mDE =

altura 0 0 = = = in det er min ación base 150 − 100 50

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente en un segmento horizontal no existe____ ______________________________________________________________________________ 5. Calculo de la pendiente del segmento EF. mEF =

altura 104 104 = = = 0.86 base 270 − 150 120

¿Que concluimos del resultado?___ que la pendiente en un segmento horizontal no existe____ ______________________________________________________________________________ Ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación es el ángulo que el segmento forma con el eje de las absisas.

32

Unidad 3: La recta y su ecuación cartesiana CLASE x SISTEMAS DE COORDENADAS El uso de la línea recta en el plano cartesiano es muy común para observar diferentes situaciones. Veamos el siguiente ejemplo: El jabón de la marca” limpieza total” cuesta $2.50, llena la siguiente tabla: No de jabones x 1 Costo (en pesos) y

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Vamos a graficar los puntos obtenidos

Contestemos: ¿Qué figura resulto? _____________________________________________________________ ¿Para que crees que nos pueda servir colocar esa recta en el plano cartesiano?________________ ______________________________________________________________________________ ¿En base a la figura podemos obtener cuanto nos costaran 15 jabones?______________________ ______________________________________________________________________________

33

Ecuaciones de la recta Ecuación de la recta conocidos su pendiente (m) y uno de sus puntosa A(x1, y1)

Ecuación de la recta conocidos su pendiente (m) y su ordenada al origen (b)

Ecuaciones de la recta cuando es paralela a uno de sus ejes

34

Ecuación general de una recta

Transformación de la ecuación general de la recta a las otras formas

35

Ejercicio 1. Un metro de cierta tela cuesta $3.50 a) Elabora una tabla para conocer el costo de 2, 3, 4, 4.5, 5, 5.5 y 6 metros b) Indicar cual es la variable independiente y cual es la variable dependiente. c) indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional d) El valor de k

Ejercicio 2. Un bolillo cuesta $0.80 a) Elabora una tabla para conocer el costo de 1 a 10 bolillos. b) Indicar cual es la variable independiente y cual es la variable dependiente. c) indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional d) El valor de k

36

Ejercicio 3: En la siguiente tabla se tiene el numero de kilómetros recorridos por un automóvil que viaja por carretera a una velocidad constante de 90 Km./hr, durante 1, 2, 3, 4, y 5 horas. Tiempo (horas) Distancia (Km)

1

2

3

4

5

9 0

18 0

27 0

36 0

450

a) Indicar cual es la variable independiente y cual es la variable dependiente. b) indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional c) El valor de k

Ejercicio 4: De la siguiente tabla, indicar si las variables tienen una variación directamente proporcional y en caso afirmativo indicar el valor de la constante de proporcionalidad. x 2 3 y 5 7. 8

4 1 0.8

5 1 4

6 12

37

Ejercicio 5. ¿Qué entiendes por variación directamente proporcional? Tarea (para después del examen): completa la siguiente tabla de tal manera que las variables tengan una v.d.p. x 1 4 6 15 y 2. 1 1 37.5 5 0 5

Tarea: En el siguiente S.C.C. calcula las longitudes de los segmentos de recta. y

2 x -6

6 -1

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