Minimos Cuadrados.docx

CORRECCIÓN DE GRÁFICAS: MÍNIMOS CUADRADOS. Cuando varias personas miden la misma cantidad, generalmente no obtienen los mismos resultados. De hecho, si la misma persona mide la misma cantidad varias veces, los resultados variarán. ¿Cuál es la mejor estimación para la verdadera medición? El método de mínimos cuadrados proporciona una forma de encontrar la mejor estimación, suponiendo que los errores (es decir, las diferencias con respecto al valor verdadero) sean aleatorias e imparciales. ¿QUÉ SON LOS MÍNIMOS CUADRADOS? Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos. Este método se utiliza comúnmente para analizar una serie de datos que se obtengan de algún estudio, con el fin de expresar su comportamiento de manera lineal y así minimizar los errores de la data tomada. DEFINICIÓN: MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Su expresión general se basa en la ecuación de una recta y = mx + b. Donde m es la pendiente y b el punto de corte, y vienen expresadas de la siguiente manera:

Σ Es el símbolo sumatoria de todos los términos, mientas (x, y) son los datos en estudio y n la cantidad de datos que existen. El método de mínimos cuadrados calcula a partir de los N pares de datos experimentales (x, y), los valores m y b que mejor ajustan los datos a una recta. Se entiende por el mejor ajuste aquella recta que hace mínimas las distancias d de los puntos medidos a la recta. Teniendo una serie de datos (x, y), mostrados en un gráfico o gráfica, si al conectar punto a punto no se describe una recta, debemos aplicar el método de mínimos cuadrados, basándonos en su expresión general:

Cuando se haga uso del método de mínimos cuadrados se debe buscar una línea de mejor ajuste que explique la posible relación entre una variable independiente y una variable dependiente. En el análisis de regresión, las variables dependientes se designan en el eje y vertical y las variables independientes se designan en el eje x horizontal. Estas designaciones formarán la ecuación para la línea de mejor ajuste, que se determina a partir del método de mínimos cuadrados. EJEMPLO DEL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Para entender con claridad la aplicación del método veamos un ejemplo: Encontrar la recta que mejor se ajusta a los siguientes datos:

Veamos el gráfico:

Necesitamos encontrar una recta y = mx + b. Debemos aplicar el método de mínimos cuadrados. Como ya sabemos entonces, primero centraremos el valor (x ∙ y):

Segundo por las expresiones de m y b debemos encontrar el valor x²:

Ahora podemos obtener los valores de las sumatorias de cada columna: Σx = 55 ; Σy = 57 ; Σ(x·y) = 233 ; Σx² = 473 ; n = 9 Sustituimos en cada una de las expresiones: m = (9·233 – 55·57) / (9·473 – |55|²) = -1038 / 1232 = – 0,84 b = (57·473 – 55·233) / (9·473 – |55|²) = 14146 / 1232 = 11,48 La recta obtenida con el método de los mínimos cuadrados es la siguiente: y = (- 0,84)·x + 11,48 Observemos el gráfico:

Vemos que la recta corta al eje y en 11,48 y en el eje x en 13,57. Si queremos saber dónde corta en el eje x igualamos la ecuación y = 0: 0 = (- 0,84)·x + 11,48 Despejamos x: x = – 11,48 / (-0,84) = 13,57

Primer Taller Fisica Mecanica Nota: estimados estudiantes debe justificar las respuestas de cada pregunta

1.

La velocidad como una función de tiempo de un objeto en movimiento se muestra en el gráfico que se encuentra a la derecha. La aceleración del objeto entre los 0 s y los 2s es A. 0 m/s2 B. 1 m/s2 C. 2 m/s2 D. 3 m/s2

2.

La velocidad como una función de tiempo de un objeto en movimiento se muestra en el gráfico que se encuentra a la derecha. ¿Qué tan lejos del inicio se mueve un objeto en los primeros 2 s? A. 4 m B. 16 m C. 20 m D. 28 m

3.

La velocidad como una función de tiempo de un objeto en movimiento se muestra en el gráfico que se encuentra a la derecha. Entre los 6 s y los 10 s la magnitud de la aceleración del objeto es A. 0 m/s2 B. 1 m/s2 C. 2 m/s2 D. 3 m/s2

4.

Algunos atletas y bailarines tienen gran habilidad para saltar. Al saltar directamente hacia arriba parece que están “colgados en el aire” y desafían la gravedad. Si pidieras a tus amigos que estimaran el “tiempo en el aire” de los grandes saltadores, el tiempo durante el cual, quien salta, tiene los pies despegados del piso, podrían decir que son 2 o 3 segundos. Pero ¡sucede que el tiempo en el aire de los más grandes saltadores es casi siempre menor que 1 segundo! Un tiempo mayor es una de las muchas ilusiones que tenemos en la naturaleza. De la lectura podemos afirmar que: A. Los saltos descritos son parabólicos. B. El tiempo en el aire del salto de cualquier persona puede ser mayor de 1 segundo. C. La altura que pueden alcanzar los grandes saltadores es casi siempre menor que 1.25 m. D. Tus amigos no tienen un buen reloj para medir.

5.

Un objeto en caída libre recorre los últimos 5 metros en 0.2 segundas. La altura desde la que cayó es A. 12 m B. 2.45 m C. 29.43 m D. 34.43 m Sale un automóvil a 72 Km/h. Cinco minutos después sale en su persecución una moto a 108 Km/h. ¿Dónde lo alcanzará? A. 9 km B. 10.2 km C. 18 km D. 0.16 km

6.

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8.

9.

De dos pueblos separados 50 Km salen al mismo tiempo un coche a 72 Km/h y una moto a 108 Km/h, uno al encuentro del otro, Se encontrarán a los A. 0.28 km B. 12.5 km C. 20 km D. 13 km Si dos proyectiles se lanzan con la misma rapidez inicial pero con ángulos diferentes. ¿Cuánto será la dirección del segundo proyectil si el primero se lanza con un ángulo de 15° para que ambos proyectiles alcancen la misma distancia horizontal? A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° Un globo de aire caliente controla su altura arrojando sacos de lastre que contienen distintos materiales. Se deja caer un saco de lastre que contiene arena, el cual llega al piso con cierta rapidez, mientras el globo se eleva lentamente y de pronto se detiene. En ese instante se deja caer otro saco de lastre que llega al piso con el cuádruple de la rapidez en comparación con la del primero. La altura que tenía el globo al soltar el segundo saco en comparación con la que tenía al soltar el

primero era A. 1/2de la altura inicia. B. 4 veces la altura inicial. C. 8 veces la altura inicial. D. 16 veces la altura inicial. 10. La gráfica aceleración contra velocidad para el movimiento rectilíneo de un carro que parte del reposo se muestra en la figura. t1 es el tiempo que tarda el carro desde arrancar hasta llegar a una velocidad vo y t2 es el tiempo que tarda en pasar de vo a 2vo. Puede concluirse que

1. Una estudiante corre a más no poder para alcanzar su autobús, que está detenido en la parada, con una rapidez de 5.0 m/s. Cuando ella está aún a 40.0 m del autobús, este se pone en marcha con aceleración constante de 0.170 m/s2. a) ¿Durante qué tiempo y qué distancia debe correr la estudiante a 5.0 m/s para alcanzar al autobús? b) Cuando lo hace, ¿qué rapidez tiene el autobús? 2. Un pintor está de pie en un andamio que sube con rapidez constante. Por descuido, empuja una lata de pintura, la cual cae del andamio cuando está a 15.0 m sobre el suelo. Usted está observando y usa su cronómetro para determinar que la lata tarda 3.25 s en llegar al suelo. Ignore la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez tiene la lata en el momento en que llega al suelo? b) Otro pintor está parado en una cornisa, y una lata está a 4.00 m arriba de él cuando esta se cae. Tiene reflejos felinos, y si la lata pasa frente a él, podrá atraparla. Explique su respuesta.

3. Se batea una pelota de béisbol de modo que sale disparada con una rapidez de 27.0 m/s a un ángulo de 45.0°. La pelota cae sobre el techo plano de un edificio cercano de 13.0 m de altura. Si la pelota fue bateada cuando estaba a 1.0 m del suelo, ¿qué distancia horizontal viaja la pelota antes de caer sobre el edificio? 4. El conductor de un automóvil desea rebasar un camión que viaja a una rapidez constante de 20.0 m/s. Inicialmente, el automóvil también viaja a 20.0 m/s y su parachoques delantero está 24.0 m atrás del parachoques trasero del camión. El automóvil adquiere una aceleración constante de 0.600 m/s2 y regresa al carril del camión cuando su parachoques trasero está 26.0 m adelante del frente del camión. El automóvil tiene una longitud de 4.5 m, y el camión tiene una longitud de 21.0 m. a) ¿Cuánto tiempo necesita el automóvil para rebasar al camión? b) ¿Qué distancia recorre el automóvil en ese tiempo? c) ¿Qué rapidez final tiene el automóvil? 5. Un malabarista actúa en un recinto cuyo techo está 3.0 m arriba del nivel de sus manos. Lanza una pelota hacia arriba de modo que apenas llega al techo. a) ¿Qué velocidad inicial tiene la pelota? b) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al techo? En el instante en que la primera pelota está en el techo, el malabarista lanza una segunda pelota hacia arriba con dos

terceras partes de la velocidad inicial de la primera. c) ¿Cuánto tiempo después de lanzada la segunda pelota se cruzan ambas pelotas en el aire? 6. Un clavadista sale del extremo de un trampolín de 5.00 m de altura y golpea el agua 1.3 s después, 3.0 m más allá del final del trampolín. Si se considera a la clavadista como una partícula, determine: a) la magnitud y la dirección de su velocidad inicial y b) la altura máxima que alcanza. 7. Mary y Sally participan en una carrera. Cuando Mary está a 22 m de la línea de meta, tiene una rapidez de 4.0 m/s y está 5.0 m detrás de Sally, quien tiene una rapidez de 5.0 m/s. Sally cree que ganará fácilmente y desacelera durante el tramo restante de la carrera a una razón constante de 0.50 m/s2 hasta la línea de meta. ¿Qué aceleración constante necesita ahora Mary durante el tramo restante de la carrera, si quiere cruzar la línea de meta empatada con Sally? 8. Durante el lanzamiento, los cohetes a menudo desechan partes innecesarias. Cierto cohete parte del reposo en una plataforma de lanzamiento y acelera hacia arriba a 3.30 m/s2 constantes. Cuando está a 235 m por arriba de la plataforma de lanzamiento, desecha un bote de combustible vacío simplemente desconectándolo. Una vez desconectado, la única fuerza que actúa sobre el bote es la gravedad (se puede ignorar la resistencia del aire). a) ¿Qué tan alto está el cohete cuando el bote llega a la plataforma, suponiendo que no cambia la aceleración del cohete? b) ¿Cuál es la distancia total que recorre el bote desde que se suelta hasta que choca contra la plataforma de lanzamiento? 9. Un cazador apunta directamente hacia un blanco (al mismo nivel) situado a 68.0 m de distancia horizontal. a) Si la bala sale del arma con una rapidez de 175 m/s, ¿por cuánta distancia no dará en el blanco? b) ¿Con qué ángulo debería apuntar el cazador para dar en el blanco? 10. El joven David, quien mato a Goliat, experimento con hondas antes de derribar al gigante. Encontró que podía hacer girar una honda de 0.600 m de longitud con una relación de 8.00 rev/s. Si aumentaba la longitud a 0.900 m, podía girar la honda solo 6.00 veces por segundo. a) ¿Qué relación de rotación da la mayor rapidez a la piedra en el extremo de la honda? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la piedra a 8.00 rev/s? c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta a 6.00 rev/s?

Segundo Taller Fisica Mecanica Nota: estimados estudiantes debe justificar las respuestas de cada pregunta

1. Normalmente un paracaidista abre su artefacto unos segundos después de haber saltado del avión. La fuerza de rozamiento f con el aire es proporcional a la rapidez y para ciertos paracaídas es tal que f = 200V5. Si en t = 0 se abre el paracaídas, la gráfica de rapidez contra tiempo es:

2. De dos dinamómetros iguales cuelga un cuerpo de masa 10 kg, como se muestra en la figura. La lectura de cada dinamómetro es: A. 50 N B. 10 N C. 5 N D. 100 N 3. ¿Cuál de las siguientes es una unidad correcta de energía? A. kg m/s2 B. kg m2/s C. kg m2/s2 D. kg2 m/s2 4. Un bloque con masa de 5.0 kg se desliza sin fricción con rapidez de 8.0 m/s sobre la superficie horizontal de una mesa, hasta que choca y se adhiere a una masa de 4.0 kg fijada a un resorte horizontal (con constante de resorte de k = 2 000.0 N/m), que a su vez está fijado a una pared. ¿Qué tanto se comprime el resorte antes de que las masas entren en reposo? A. 0.40 m B. 0.54 m C. 0.30 m D. 0.020 m 5. Un cuerpo de masa m se suelta sobre una pista homogénea de madera como se muestra en la figura y se observa que la rapidez con la que pasa por el punto p vale √𝑔ℎ . La gráfica cualitativa de la distancia recorrida por el cuerpo en función del tiempo es la mostrada en:

6. Un objeto se mueve en una trayectoria circular. Si repentinamente se quita la fuerza centrípeta, ¿cómo se moverá el objeto? A. Se moverá radialmente hacia fuera. B. Se moverá radialmente hacia dentro. C. Se moverá verticalmente hacia abajo. D. Se moverá en la dirección en la que señala su vector velocidad en el instante en que desaparece la fuerza centrípeta. 7. Una rueda de la fortuna en una feria gira lentamente alrededor de un eje horizontal. Los pasajeros se sientan en asientos que permanecen horizontales al girar ésta. ¿Qué tipo de fuerza es la que ocasiona la aceleración centrípeta sobre los pasajeros cuando están en la parte más alta de la noria? A. Centrífuga. B. Normal. C. Gravedad. D. Tensión. 8. Un resorte tiene una constante de resorte de 80 N/m. ¿Cuánta energía potencial almacena cuando se estira en 1.0 cm? A. 4.0 x 10–3 J B. 0.40 J C. 80 J D. 800 J

9. Si F es la fuerza que ejerce la bicicleta sobre el ciclista, el diagrama que mejor muestra las fuerzas que actúan sobre el ciclista, cuando el ciclista realiza un giro en una curva peraltada es

10. Un cuerpo de masa 9 Kg. se deja libre en el punto A de la pista mostrada en la figura. Si no hay rozamiento la constante elástica del resorte que se encuentra en E es de 1600 N/m, entonces el resorte se comprimirá A. 0.125 m B. 0.225 m C. 0.5 m D. 0.75 m

1. Un surfista de nieve de 75 kg tiene una velocidad inicial de 5.0 m/s en la parte superior de un plano inclinado a 28° Después de deslizarse hacia abajo 110 m sobre el plano inclinado (cuyo coeficiente de fricción cinética es μk = 0.18), el surfista alcanza una velocidad v. Después el surfista se desliza sobre una superficie horizontal (donde μk = 0.15) y llega al reposo después recorrer de una distancia x. Utilice la segunda ley de Newton para encontrar la aceleración de este surfista, mientras recorre tanto el plano inclinado como la superficie horizontal. Luego use la aceleración para determinar x. 2. Un bloque de masa m = 2.00 kg es colocada contra un resorte en un plano inclinado sin fricción con un ángulo de θ = 30.0°. (El bloque no está atado al resorte.) El resorte, con una constante k =19.6 N/cm, está comprimido 20.0 cm y entonces es liberado. (a) ¿Cuál es la energía potencial elástica del resorte comprimido? (b) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial gravitacional del sistema bloque – tierra desde el punto en que el bloque es lanzado hasta alcanzar el punto más alto del plano inclinado? (c) ¿A qué distancia está el punto más alto desde el punto desde donde es lanzado?

3. Una viga uniforme de 8.0 m y 1500 kg está unida por una bisagra a la pared y sostenida por un cable delgado sujeto a 2.0 m del extremo libre de la viga. La viga está sostenida a un ángulo de 30.0° arriba de la horizontal. a) Calcule la tensión en el cable. b) Hallar las componente horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la pared sobre la viga.

4. Considere un tren que toma una curva de 570 m de radio a una rapidez de 160 km/h a) Calcule la fuerza de fricción necesaria sobre un pasajero del tren, cuya masa es de 75 kg, si las vías no están peraltadas y el tren no se inclina. b) Calcule la fuerza de fricción sobre el pasajero si el tren se inclina a un ángulo de 8.0° hacia el centro de la curva. 5. Un pequeño bloque es enviado desde el punto A con una rapidez de 7.0 m/s. La trayectoria no tiene fricción hasta alcanzar la sección de longitud L = 12 m, donde el coeficiente de fricción cinética es 0.70. Las alturas indicadas son: h1 = 6.0 m and h2 = 2.0 m. ¿Cuál es la rapidez del bloque en (a) el punto B y (b) en el punto C? (c) ¿el bloque alcanza el punto D? si es así cuál es la velocidad en D y si no es así ¿qué distancia recorrió en la sección con fricción?

6. Una revolvedora de cemento cargada entra en un viejo puente levadizo, se descompone y se detiene con su centro de gravedad situado a tres cuartos del claro del puente. El conductor solicita ayuda por radio, pone el freno de mano y espera. Mientras tanto, se acerca un barco, así que el puente se levanta mediante un cable sujeto al extremo opuesto a la articulación. El puente levadizo mide 40.0 m de largo y tiene una masa de 18,000 kg; el centro de gravedad está en su punto medio. La revolvedora, junto con su conductor, tiene una masa de 30,000 kg. Cuando el puente se eleva formando un ángulo de 30° con la horizontal, el cable forma un ángulo de 70° con la superficie del puente. a) ¿Qué tensión T hay en el cable cuando el puente se sostiene en esta posición? b) Calcule las componentes horizontal y

vertical de la fuerza que la articulación ejerce sobre el puente. 7. A través de una polea que permanece inmóvil, pasa una cuerda de la cual están suspendidas tres masas de 2 kg cada una. Encuentra la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda que une las cargas A y B. 8. Una caja de 2.0 kg colocada en un plano inclinado sin fricción con un ángulo de θ = 40° está conectada por una cuerda que pasa por una polea a un resorte ligero de constante de elasticidad k = 120 N/m. La caja se suelta desde el reposo cuando el resorte no está estirado. Asuma que la polea tiene masa despreciable y no tiene fricción. (a) ¿Cuál es la rapidez de la caja cuando se ha movido 10 cm hacia abajo del plano inclinado? (b) ¿Qué distancia recorre la caja antes de detenerse momentáneamente, y cuál es la (c) magnitud de la aceleración de la caja al instante que la caja se detiene momentáneamente? 9. Una grúa de 15,000 N puede girar alrededor de un eje sin fricción en su base y está sostenida por un cable que forma un ángulo de 25° con la grúa. La grúa tiene 16 m de largo y no es uniforme; su centro de gravedad está a 7.0 m del eje medidos a lo largo de la grúa. El cable está sujeto a 3.0 m del extremo superior de la grúa. La grúa se levanta a 55° por encima de la horizontal, sosteniendo un contenedor con ladrillos de 11,000 N mediante una cuerda muy ligera de 2.2 m. Calcule a) la tensión en el cable y b) las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el eje sobre la grúa. Comience dibujando un diagrama de cuerpo libre de la grúa. 10. Un objeto de 5.00 kg colocado sobre una mesa horizontal sin fricción se conecta a una cuerda que pasa sobre una polea y después se une a un objeto colgante de 9.00 kg, como se muestra en la figura. Encuentre la aceleración de los dos objetos y la tensión en la cuerda.

Tercer Taller Fisica Mecanica Nota: estimados estudiantes deben justificar las respuestas de cada pregunta

1. Un cuerpo que parte del reposo, se desliza sin rozamiento por un plano inclinado desde una altura h. Podemos asegurar que A. llega al pie del plano con una velocidad menor que si hubiera caído verticalmente desde la misma altura. B. a mitad de camino, su velocidad es la mitad de la que tendrá al llegar al pie del plano. C. la velocidad con que llegará al pie del plano es del camino. D. su velocidad vale en todo instante 𝑣 = ℎ√2𝑔.

veces la que lleva cuando ha recorrido la mitad

2. Sobre un cuerpo de 1 kg, que inicialmente se encuentra en el punto x = 0 m y y = - 1m, con velocidad de 3 m/s en la dirección del eje y, actúa una fuerza de 1N en la dirección del eje x. Al cabo de 1 segundo el cuerpo se encontrará en la región: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. Una esfera maciza rueda sin deslizarse hacia abajo por un plano inclinado, partiendo del reposo. Al mismo tiempo, una caja parte del reposo a la misma altura y se desliza hacia abajo por el mismo plano inclinado, con fricción despreciable. ¿Cuál objeto llega primero a la base? A. La esfera maciza llega primero. B. La caja llega primero. C. Ambos objetos llegan al mismo tiempo. D. Es imposible determinarlo. 4. Con respecto al choque entre dos partículas señale la proposición verdadera: A. En los choques frontales, siempre se conserva la energía cinética del sistema, antes y después del choque. B. Sólo se conserva la energía cinética del sistema si éste es elástico o perfectamente inelástico. C. En un choque elástico se conserva el momento lineal del sistema, antes y después del choque, pero si es perfectamente inelástico el momento lineal no se conserva. D. Si conocemos a priori el coeficiente de restitución siempre podremos saber si el choque es parcialmente inelástico. 5. Un hombre de masa m, se encuentra sobre una báscula que a su vez está dentro de un ascensor. Si el ascensor baja con una aceleración igual al valor de la gravedad (g), la báscula marcará A. mg B. 2mg C. 0 D. –mg 6. Considere un plano inclinado de altura h con una superficie lisa, es decir, sin fricción. En uno de los extremos ubicamos un bloque, como se ilustra en la figura. Al imprimírsele un impulso, el bloque sube y luego baja por el plano inclinado. Para esta situación considere las siguientes proposiciones sobre las aceleraciones del bloque subiendo y bajando. I. cambian su magnitud II. cambian su dirección III. no cambian su magnitud IV. no cambian su dirección Las proposiciones verdaderas, durante el movimiento en el plano inclinado son A. I y II B. II y III C. I y IV D. III y IV

7. Considere un cilindro sólido y un cilindro hueco que giran alrededor de un eje que pasa por sus centros de masa. Si ambos objetos tienen la misma masa y el mismo radio, ¿cuál objeto tendrá el mayor momento de inercia? A. El momento de inercia será el mismo para ambos objetos. B. El cilindro sólido tendrá el mayor momento de inercia porque su masa está uniformemente distribuida. C. El cilindro hueco tendrá el mayor momento de inercia porque su masa está ubicada lejos del eje de rotación. D. ninguna de las anteriores

8. Si un cuerpo gira y se traslada manteniendo el eje de rotación que pasa por su centro de masas invariable, ha de cumplirse que: A. Si se aplican fuerzas exteriores, el trabajo realizado por el momento resultante de dichas fuerzas es igual a la variación de la energía cinética de traslación del cuerpo. B. La energía cinética de rotación del cuerpo es la suma de la energía cinética de traslación del centro de masas y la energía cinética de rotación del sólido alrededor del eje que pasa por dicho centro. C. La energía cinética del cuerpo es igual a la energía cinética de traslación del centro de masas. D. La energía cinética del cuerpo es igual a la energía de rotación del sólido alrededor del eje.

9. Si se dejan caer en el mismo instante dos cuerpos de distinta masa m1>m2 desde la misma altura, siendo igual para ambos la fuerza de rozamiento: A. Los dos tardarán el mismo tiempo en llegar al suelo. B. Ambos llegan al suelo con la misma velocidad, pero el de mayor masa tarda menos. C. Cae más rápido el cuerpo de mayor masa y llega antes al suelo. D. Cae más rápido el cuerpo de menor masa. 10. El volante de un generador, que es un cilindro homogéneo de radio R y masa M, gira alrededor de su eje longitudinal. La velocidad lineal de un punto sobre el borde del volante es v. La energía cinética del volante es 1 1 1 1 A. 𝐾 = 2 𝑀𝑣 2 B. 𝐾 = 4 𝑀𝑣 2 C. 𝐾 = 2 𝑀𝑣 2 /𝑅 D. 𝐾 = 2 𝑀𝑣 2 𝑅

1. Una bola de nieve rueda del techo de un granero con una inclinación hacia debajo de 40° ver figura. El borde del techo está a 14.0 m del suelo y la bola tiene una rapidez de 7.00 m/s al salir del techo. Ignore la resistencia del aire. ¿A qué distancia del borde del granero golpea la bola el piso si no golpea otra cosa al caer?

2

2. Un peñasco esférico, sólido y uniforme (𝐼 = 5 𝑚𝑅 2 ), parte del reposo y baja rodando por la ladera de una colina de 50.0 m de altura. La mitad superior de la colina es lo bastante áspera como para que el peñasco ruede sin resbalar; sin embargo, la mitad inferior está cubierta de hielo y no hay fricción. Calcule la rapidez de traslación del peñasco al llegar al pie de la colina.

3. Conforme un barco se acerca al muelle a 45.0 cm/s, es necesario lanzarle la pieza de un equipo importante para que pueda atracar. El equipo se lanza a 15.0 m/s a 60.0° por encima de la horizontal desde lo alto de una torre en la orilla del agua, a 8.75 m por encima de la cubierta del barco ver figura. Para que el equipo caiga enfrente del barco, ¿a qué distancia D del muelle debería estar el barco cuando se lance el equipo? Se ignora la resistencia del aire.

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4. Un cascarón esférico de pared delgada (𝐼 = 3 𝑚𝑟 2 ), con masa m=5 kg y radio r, parte del reposo y rueda hacia abajo sin deslizarse por la pista que se muestra en la figura. Los puntos A y B están en la parte circular de la pista, cuyo radio es R=1 m. El diámetro de la esfera es muy pequeño comparado con h0 y R, y la fricción por rodamiento es despreciable. a) ¿Cuál es la altura mínima h0 para la cual esta esfera dará una vuelta completa a la parte circular de la pista? b) ¿Qué tan fuerte empuja la pista sobre la esfera en el punto B, que está al mismo nivel que el centro del círculo?

5. Una estudiante corre a más no poder para alcanzar su autobús, que está detenido en la parada, con una rapidez de 5.0 m/s. Cuando ella está aún a 40.0 m del autobús, este se pone en marcha con aceleración constante de 0.170 m/s2. a) ¿Durante qué tiempo y qué distancia debe correr la estudiante a 5.0 m/s para alcanzar al autobús? b) Cuando lo hace, ¿qué rapidez tiene el autobús?

6. Una esfera sólida uniforme rueda sin resbalar subiendo una colina, como se muestra en la figura P10.82. En la cima, la esfera se mueve horizontalmente y después se cae por un acantilado vertical. a) ¿A qué distancia del pie del acantilado cae la esfera y con qué rapidez se está moviendo justo antes de tocar el suelo?

7. ¿Cuál será la rapidez de una esfera sólida de masa M = 500 g y radio r0 = 10 cm cuando llega al fondo de una rampa, si parte del reposo a una altura vertical H = 1.0 m y rueda sin deslizarse? Véase la figura. El momento de Inercia de una esfera sólida con respecto a un eje de rotación que pasa por su centro de masa es 2 𝐼𝑐𝑚 = 5 𝑀𝑟02.

8. Antes de colocarse en su agujero, un poste uniforme de 5700 N y 9.0 m de longitud forma cierto ángulo distinto de cero con la vertical. Un cable vertical unido 2.0 m debajo del extremo superior del poste lo mantiene fijo con su base apoyada en el suelo. a) Calcule la tensión en el cable, así como la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por el suelo sobre el poste. b) ¿Por qué no necesitamos el ángulo que el poste forma con la vertical, en tanto no sea cero? 9. _ a) Modele la Tierra como una esfera uniforme. Calcule la cantidad de movimiento angular de la Tierra debida a su movimiento de giro en torno a su eje. b) Calcule la cantidad de movimiento angular de la Tierra debida a su movimiento orbital en torno al Sol. c) ¿Los dos resultados de cantidad de movimiento angular son casi iguales o muy diferentes? ¿Cuál es mayor en magnitud? ¿En qué factor? 10. Una partícula de 0.400 kg de masa está unida a la marca de 100 cm de una regleta de 0.100 kg de masa. La regleta da vueltas sobre una mesa horizontal sin fricción con una rapidez angular de 4.00 rad/s. Calcule la cantidad de movimiento angular del sistema cuando la regleta se articula en torno a un eje a) perpendicular a la mesa a través de la marca de 50.0 cm y b) perpendicular a la mesa a través de la marca de 0 cm.