Midyear Seconde09

INTERNATIONAL COLLEGE Département de mathématiques Examen Semestriel Classe: Seconde

Programme: LIBANAIS

Date: Janvier 2009 Durée de l’examen: 120 minutes

Nom de l’élève : ______________________________________

Instructions:

2 points sont consacrés pour la clarté et la netteté de la copie. • L’usage d’une calculatrice non programmable est autorisé. • Résoudre toutes les questions sur la feuille double. • Rendre la copie de l’examen dans la feuille double •

Distribution des points: I. II. III. IV. V.

12 % 10 % 12 % 30 % 34 %

I- Simplifier:  a)  5 

8

 7 

)(

80

b)

(

c)

2 1− 2

2 −1

4

(

4

)

)( (

2 +1 2

+

3

) 2 − 2) 2 +1

3

3 n + 4 × 6 × 3 n +1 d) 2 −1 × 9 n +3

II- x et y sont des nombres réels tels que − 3 ≤ x ≤ −1 et 2 ≤ y ≤ 5 . xy 1) Encadrer 2 x + y2 2)

Démontrer que − 3 ≤ y − x − 5 ≤ 3

II- Dans une classe de 24 élèves, chaque élève lit au moins un livre. Designer par : M: L’ensemble des élèves qui lisent des livres de Maths. P: L’ensemble des élèves qui lisent des livres de Physiques. C: L’ensemble des élèves qui lisent des livres de Chimie. On a obtenu les résultats suivants : 14 élèves lisent chacun un livre de Maths. 9 élèves lisent chacun un livre de Physiques. 14 élèves lisent chacun un livre de Chimie. 4 élèves lisent deux livres: un de Physiques et l’autre de Maths. 7 élèves lisent deux livres: un de Chimie et un de Maths. 5 élèves lisent deux livres: un de Physiques et un de Chimie. a) Tracer la figure en Patate pour représenter les données. b) Trouver le nombre des élèves qui ont lu trois livres: Maths, Physiques et Chimie c) Trouver le nombre des élèves qui n’ont lu aucun livre de Maths et aucun livre de Chimie.

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III- Une enquête a été menée auprès des clients de deux supermarchés A et B sur le nombre de visites qu’ils font par mois au supermarché. Les résultats du supermarché A sont représentés dans le tableau suivant : Valeurs Effectifs

1 30

2 70

3 110

4 30

5 10

Les résultats du supermarché B étaient les suivants: 20 personnes viennent deux fois 50 personnes viennent 3 fois 100 personnes viennent 4 fois 20 personnes viennent 5 fois 10 personnes viennent 6 fois Partie I: a) b)

c) d) e)

f) g)

Construire les tableaux montrant les effectifs des données du supermarché B. Quelle est la population et le caractère étudié? Tracer le polygone des effectifs cumulés du supermarché A. Calculer l’étendue dans les deux données. Trouver le mode et la médiane dans les deux données. Calculer la moyenne et l’écart type dans les deux données. Calculer le pourcentage des personnes du supermarché A qui sont à un écart type de la moyenne.

Partie II: Durant les soldes du mois de février, le manager du supermarché A a remarqué que le nombre de personnes a augmenté de 10 dans chaque catégorie. Le manager du supermarché B a remarqué que le nombre de personnes a doublé dans chaque catégorie. •

Trouver le nouveau mode et la nouvelle moyenne des deux données durant cette période.

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IV-

ABC est un triangle quelconque. Soient A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. G est le centre de gravité du triangle ABC. Soit I un point du plan tel que: GA + GB = GI Partie A: 1) a- Placer I. b- Ecrire GI en fonction de C' C 2) a- Ecrire BA en fonction de GA et IA . 1 1 IA + GA . Placer F. 3 3 c- Montrer que les points B, A et F sont alignés. b- Soit F un point du plan tel que: AF =

3) Sachant que AA'+ BB'+CC ' = 0 , a- Montrer que: G est le centre de gravité du triangle A’B’C’. b- En déduire que : pour tout point M du plan, on a : MA + MB + MC = MA' + MB' + MC ' . Partie B: On rapporte le plan au repère (A; AB ' ; AC ' ) 1)

Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure. Justifier brièvement votre réponse.

2)

Déterminer les coordonnées du point E tel que IEFA soit un parallélogramme.

3)

En utilisant les coordonnées déjà calculées, montrer que (EI)//(AB) et donner la valeur du nombre réel k tel que E I = k A B .

Partie C: Dans tout ce qui suit, on considère le repère (G; AB ' ; AC ' ) 1) Déterminer les coordonnées des points G; A’; B’ et F dans le nouveau système (G; AB' ; AC ' ). Justifier. 2)

1 4 On donne le point Z ( ;− ). 3 3 Sans trouver l’équation de la droite (AB), montrer que Z ∈ ( AB ) .

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