Midterm Solution

‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺣﻀﺮت دوﺳﺖ‬

‫زﻣﺎن ‪ 100‬دﻗﻴﻘﻪ‬

‫اﻣﺘﺤﺎن ﻣﻴﺎنﺗﺮم درس ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي ﻛﻨﺘﺮل ﺧﻄﻲ )ﭘﺎﺳﺦ(‬ ‫ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﻳﻲ‪:‬‬ ‫ﻧﺎم و ﻧﺎم ﺧﺎﻧﻮادﮔﻲ‪:‬‬ ‫ د ‪   9‬ﯾ    ز 
‬

‫ﺳﻬﺮاب ﺳﭙﻬﺮي‬

‫‪ -1‬ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺳﻴﺴﺘﻢﻫﺎي زﻳﺮ ﭼﻪ ﻧﻮع ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬

‫‪ -‬ﺧﻄﻲ ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا‪:‬‬

‫) ‪r1 (t ) ↔ r12 (t‬‬ ‫) ‪r2 (t ) ↔ r22 (t‬‬ ‫) ‪ar1 (t ) + br2 (t ) ↔ (ar1 (t ) + br2 (t )) 2 ≠ ar12 (t ) + br22 (t‬‬ ‫)ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﺷﺮوط ﺟﻤﻊ آﺛﺎر و ﻫﻤﮕﻨﻲ ﺑﺮﻗﺮار ﻧﻤﻲ ﺑﺎﺷﺪ(‬ ‫‪ -‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ زﻳﺮا ﺧﺮوﺟﻲ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﺎﺑﻌﻲ از ورودي اﺳﺖ )ﻧﻪ ورودي و زﻣﺎن(‪.‬‬

‫ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ زﻳﺮا‪:‬‬‫) ‪r1 (t ) ↔ tr1 (t‬‬ ‫) ‪r2 (t ) ↔ tr2 (t‬‬ ‫) ‪ar1 (t ) + br2 (t ) ↔ t (ar1 (t ) + br2 (t )) = atr1 (t ) + btr2 (t‬‬ ‫‪ -‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ زﻳﺮا ﺧﺮوﺟﻲ ﻋﻼوه ﺑﺮ آﻧﻜﻪ ﺗﺎﺑﻌﻲ از ورودي اﺳﺖ ﺗﺎﺑﻌﻲ اﺳﺖ از زﻣﺎن‪.‬‬

‫ ﺧﻄﻲ ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا‪:‬‬‫‪r1 (t ) ↔ 2r1 (t ) + 5‬‬ ‫‪r2 (t ) ↔ 2r2 (t ) + 5‬‬ ‫)‪ar1 (t ) + br2 (t ) ↔ 2(ar1 (t ) + br2 (t )) + 5 ≠ a (2r1 (t ) + 5) + b(2r2 (t ) + 5‬‬ ‫‪ -‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ زﻳﺮا ﺧﺮوﺟﻲ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﺎﺑﻌﻲ از ورودي اﺳﺖ )ﻧﻪ ورودي و زﻣﺎن(‪.‬‬

‫ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ زﻳﺮا‪:‬‬‫) ‪r1 (t ) ↔ 2r1 ' (t‬‬ ‫) ‪r2 (t ) ↔ 2r2 ' (t‬‬ ‫)) ‪ar1 (t ) + br2 (t ) ↔ 2(ar1 (t ) + br2 (t ))' = a (2r1 ' (t )) + b(2r2 ' (t‬‬ ‫‪ -‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ زﻳﺮا ﺧﺮوﺟﻲ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﺎﺑﻌﻲ از ورودي اﺳﺖ )ﻧﻪ ورودي و زﻣﺎن(‪.‬‬

‫‪ -2‬ﺧﻄﺎي ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻨﺘﺮل ﺧﻄﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن ﺑﻪ دو ورودي ) ‪ r1 (t‬و ) ‪ r2 (t‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ‪ 0/2‬و ‪ 0/1‬اﺳﺖ‪ .‬ﺧﻄﺎي‬ ‫ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ وروديﻫﺎي ) ‪ r1 (t ) + r2 (t‬و ) ‪ 2r1 (t ) + 3r2 (t‬ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ‪.‬‬ ‫ﺧﻄﺎي ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﻪ دو ورودي ﻣﺬﻛﻮر ﺑﺎ ﺟﻤﻊ آﺛﺎر ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪:‬‬

‫‪ess1 = 0.2 + 0.1 = 0.3‬‬ ‫‪ess1 = 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 0.7‬‬

‫‪ -3‬ﺗﺎﺑﻊﺗﺒﺪﻳﻞ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻨﺘﺮل ﺣﻠﻘﻪ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﺎ ﻓﻴﺪﺑﻚ واﺣﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻮع و ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‪ 2) .‬ﻧﻤﺮه(‬ ‫)‪C (s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪R(s) s + 2s 2 + 2‬‬

‫ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﻤﺎن ﻣﺮﺗﺒﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي ﻣﺸﺨﺼﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮاي ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﻧﻮع ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺣﻠﻘﻪ ﺑﺎز ﺳﻴﺴﺘﻢ ))‪ (GH(s‬ﻧﻴﺎز اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑـﻪ آﻧﻜـﻪ ﺑﻬـﺮه‬ ‫ﻓﻴﺪﺑﻚ واﺣﺪ اﺳﺖ )‪:(H(s)=1‬‬ ‫)‪C (s‬‬ ‫)‪G(s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪G ( s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ 3‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ 2 + 2G = G ( s 3 + 2 s 2 + 2) ⇒ G = 3‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪R( s) 1 + G ( s‬‬ ‫)‪s + 2s + 2 1 + G( s‬‬ ‫‪s + 2s‬‬ ‫)‪s ( s + 2‬‬ ‫ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻪ و ﻧﻮع دو اﺳﺖ‪.‬‬‫)‪C (s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪R ( s) s − 4s + 2‬‬ ‫)‪C (s‬‬ ‫)‪G(s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪G(s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ 3‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ 2 + 2G = G ( s 3 − 4 s + 2) ⇒ G = 3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪R( s) 1 + G ( s‬‬ ‫)‪s − 4s + 2 1 + G (s‬‬ ‫)‪s − 4 s s( s − 4‬‬ ‫ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻪ و ﻧﻮع ﻳﻚ اﺳﺖ‪.‬‬‫)‪C (s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪R(s) s + s − 1‬‬ ‫)‪C (s‬‬ ‫)‪G(s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫)‪G(s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ s + sG = G ( s 2 + s − 1) ⇒ G = 2‬‬ ‫) ‪R( s) 1 + G ( s‬‬ ‫)‪s + s − 1 1 + G ( s‬‬ ‫‪s −1‬‬ ‫‪ -‬ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺮﺗﺒﻪ دو و ﻧﻮع ﺻﻔﺮ )ﻳﺎ ﻣﻨﻬﺎي ﻳﻚ( اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪C (s) s 2 − 1‬‬ ‫=‬ ‫)‪R ( s‬‬ ‫‪2s 2‬‬ ‫)‪C (s‬‬ ‫)‪G(s‬‬ ‫‪s2 − 1‬‬ ‫)‪G ( s‬‬ ‫‪s2 − 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪G‬‬ ‫=‬ ‫‪s‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪G‬‬ ‫=‬ ‫) ‪R( s) 1 + G ( s‬‬ ‫)‪1 + G(s‬‬ ‫‪2s 2‬‬ ‫‪s2 + 1‬‬ ‫‪ -‬ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺮﺗﺒﻪ دو و ﻧﻮع ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ -4‬ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻜﺎﻧﻴﻜﻲ روﺑﺮو‪:‬‬ ‫اﻟﻒ‪ -‬ﻣﺪارﻣﻌﺎدل اﻟﻜﺘﺮﻳﻜﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ‬ ‫ب‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﺳﻴﺴﺘﻢ‬ ‫ج‪ -‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻓﻀﺎي ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫)‪X ( s‬‬ ‫د‪ -‬و ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺳﻴﺴﺘﻢ )‬ ‫)‪F ( s‬‬

‫( اراﺋﻪ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‪.‬‬

‫))‪ f(t‬ورودي و )‪ x(t‬ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ(‬

F (s)

V1 =

=

:‫ درﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‬V1 ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺪار اﻟﻜﺘﺮﻳﻜﻲ ﻣﻌﺎدل اﮔﺮ وﻟﺘﺎژ دو ﺳﺮ ﺧﺎزن را‬ Bs + K

F ( s) = F ( s) KB   MBs 2 + MKs + KB  Ms +  Bs + K  

   1   Ms +  s 1  +   K B  1 K B V ( s) = V1 ( s ) = V1 ( s ) 1 s Bs + K + B K Bs + K K K ⇒ V ( s) = F ( s ) × = 2 2 MBs + MKs + KB Bs + K MBs + MKs + KB V (s) K ⇒ = 2 F ( s) MBs + MKs + KB X ( s) K v(t ) = x& (t ) ⇒ V ( s ) = sX ( s) ⇒ = 2 F ( s) s( MBs + MKs + KB) :‫ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻓﻮق و از روي آن ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‬

(

)

⇒ X ( s ) MBs 3 + MKs 2 + KBs = KF ( s ) ⇒ MB&x&&(t ) + MK&x&(t ) + KBx& (t ) = Kf (t ) :‫و ﺑﺮاي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﺪل ﻓﻀﺎي ﺣﺎﻟﺖ ﭼﻮن ﻣﺸﺘﻘﺎت ورودي در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻇﺎﻫﺮ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ‬ x1 (t ) = x(t ) x2 (t ) = x&1 (t ) = x& (t ) x3 (t ) = x&2 (t ) = &x&(t ) x&3 (t ) = &x&&(t ) =

K 1 1 K 1 1 &x&(t ) − x& (t ) = f (t ) − f (t ) − x3 (t ) − x2 (t ) MB M B MB M B

 0   x1 (t )   0   x&1 (t )  0 1  x& (t ) = 0 0 1   x2 (t ) +  0  f (t )  2    K  1 1  x&3 (t )  0 − −   x3 (t )    B M  MB   x1 (t )  x(t ) = [1 0 0] x2 (t ) + 0  x3 (t )  .‫در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻣﻲﺗﻮان ﻣﻘﺎدﻳﺮ اﻟﻤﺎﻧﻬﺎ را در رواﺑﻂ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه ﻗﺮار داد‬

‫)‪F (s‬‬ ‫) ‪sF ( s‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪K K‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Ms + Bs + 2 K‬‬ ‫‪ Ms + + + B ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪V (s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F ( s) Ms + Bs + 2 K‬‬ ‫)‪X ( s‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒ )‪v(t ) = x& (t ) ⇒ V ( s ) = sX ( s‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F ( s ) Ms + Bs + 2 K‬‬

‫)‬

‫=‪V‬‬

‫(‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪⇒ X ( s ) Ms 2 + Bs + 2 K = F ( s ) ⇒ M&x&(t ) + Bx& (t ) + 2 Kx(t ) = f (t‬‬ ‫ﺑﺮاي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﺪل ﻓﻀﺎي ﺣﺎﻟﺖ ﭼﻮن ﻣﺸﺘﻘﺎت ورودي در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻇﺎﻫﺮ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ‪:‬‬ ‫) ‪x1 (t ) = x(t‬‬ ‫) ‪x2 (t ) = x&1 (t ) = x& (t‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2K‬‬ ‫‪f (t ) −‬‬ ‫‪x& (t ) −‬‬ ‫= ) ‪x(t‬‬ ‫‪f (t ) −‬‬ ‫‪x2 (t ) −‬‬ ‫) ‪x1 (t‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪1   x (t )   0 ‬‬ ‫‪B 1‬‬ ‫) ‪+  1  f (t‬‬ ‫‪−   x2 (t )  ‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M ‬‬

‫= ) ‪x&2 (t ) = &x&(t‬‬

‫‪ x&1 (t )   0‬‬ ‫‪ x& (t ) = − 2 K‬‬ ‫‪ 2   M‬‬

‫‪ x (t ) ‬‬ ‫‪x(t ) = [1 0] 1  + 0‬‬ ‫‪ x2 (t )‬‬

‫‪ -5‬اﻟﻒ( ﺑﺮاي ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم اﺳﺘﺎﻧﺪارد )در ﺣﺎﻟﺖ زﻳﺮﻣﻴﺮا( ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ زﻣﺎن ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﺟﻬﺶ ) ‪ ( t p‬از ﻳﻚ ﺛﺎﻧﻴﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ و زﻣﺎن ﻧﺸـﺴﺖ‬ ‫ﺑﺎ ﻣﻌﻴﺎر ‪ %2‬از ‪ 4‬ﺛﺎﻧﻴﻪ ﻛﻤﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬روي ﺷﻜﻞ زﻳﺮ‪ ،‬ﻣﺤﺪودهاي از ﺻﻔﺤﻪ ‪ s‬ﻛﻪ ﻗﻄﺒﻬﺎي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣـﻲﺗﻮاﻧﻨـﺪ در آن ﻗـﺮار ﺑﮕﻴﺮﻧـﺪ را ﻣـﺸﺨﺺ‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪> 1 ⇒ ωd < π‬‬ ‫‪ωd‬‬ ‫)‪< 4 ⇒ ζωn > 1 (−ζωn < −1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ζωn‬‬

‫⇒ ‪t p> 1‬‬

‫⇒ ‪t s (%2) < 4‬‬

‫ب( ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺪون ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم و ﺗﻨﻬـﺎ ﺑـﺎ ﺑﺪﺳـﺖ آوردن ﻧـﺴﺒﺖ ﻣﻴﺮاﻳـﻲ و ﻓﺮﻛـﺎﻧﺲ‬ ‫ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻧﺎﻣﻴﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﻣﺤﻞ ﻗﻄﺒﻬﺎي ﺳﻴﺴﺘﻢ روي ﺻﻔﺤﻪ ‪ s‬دﺳﺖ ﭘﻴﺪا ﻛﺮد؟‬ ‫ ﻳﻚ داﻳﺮه ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ ﻣﺒﺪا ﺻﻔﺤﻪ ‪ s‬و ﺷﻌﺎع ‪ ωn‬رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ و ﻣﺤﻞ ﺗﻘﺎﻃﻊ آﻧﺮا ﺑﻪ ﺧﻄﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺑﺨﺶ ﻣﻨﻔﻲ ﻣﺤﻮر ﺣﻘﻴﻘﻲ زاوﻳﻪ ‪ θ = cos −1 ζ‬ﺗﺸﻜﻴﻞ‬‫ﻣﻲدﻫﻨﺪ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪ .‬ﻣﻜﺎن ﻗﻄﺒﻬﺎي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﻘﺎط ﺑﺮﺧﻮرد اﺳﺖ )ﺷﻜﻞ زﻳﺮ(‪:‬‬

‫‪ -6‬ﺧﻄﺎي ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر ﺳﻴﺴﺘﻢ زﻳﺮ را ﺑﻪ ورودي ﭘﻠﻪ واﺣﺪ و ورودي زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ‪ .‬ﺧﻄﺎ را )‪ r(t)-c(t‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s +1‬‬ ‫‪G6 = s‬‬ ‫= ‪G5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪H1 = −‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪G2 = s‬‬ ‫= ‪G1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪G4 = s + 1‬‬ ‫= ‪G3‬‬

‫‪0
‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r2 (t ) = 1‬‬ ‫‪t − 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫) ‪r1 (t ) = u (t‬‬

‫اﺑﺘﺪا ﺑﺎﻳﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﻢ‪ .‬ﺑﺮاي اﻳﻨﻜﺎر از روش ﻣﻴﺴﻮن اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪P1 = G1G2G3G4‬‬ ‫‪P2 = G1G2G6‬‬ ‫‪P3 = G5G4‬‬ ‫‪P4 = G5 H1G2G6‬‬ ‫‪L1 = G2G3 H1‬‬

‫‪∆ = 1 − G 2G 3 H 1‬‬ ‫‪∆1 = ∆ 2 = ∆ 3 = ∆ 4 = 1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪s +1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪+ s +1−‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪G G G G + G1G 2G6 + G5G 4 + G5 H 1G2 G6‬‬ ‫‪= 1 2 3 4‬‬ ‫=‬ ‫‪1 − G 2 G3 H 1‬‬

‫‪∑ Pi ∆ i‬‬ ‫‪i =1‬‬

‫∆‬

‫)‪C (s‬‬ ‫=‬ ‫)‪R(s‬‬

‫‪C ( s ) s 2 + 2 s + 1 + s 3 + s 2 + s 2 + s − s 2 s 3 + 2 s 2 + 3s + 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪R(s‬‬ ‫‪s 2 + 2s + 1‬‬ ‫‪s 2 + 2s + 1‬‬ ‫ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺧﻄﺎ‪:‬‬ ‫‪ s 3 + 2 s 2 + 3s + 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E ( s) = R( s) − C ( s ) = R( s )1 −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s 2 + 2 s + 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ess = lim sE ( s‬‬ ‫‪s →0‬‬

‫ﺧﻄﺎي ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر ﺑﺮاي ورودي ﭘﻠﻪ واﺣﺪ‪:‬‬ ‫‪ s 3 + 2 s 2 + 3s + 1 ‬‬ ‫‪1  s 3 + 2 s 2 + 3s + 1 ‬‬ ‫‪1 −‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪ess1 = lim s × 1 −‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪s →0‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪s 2 + 2 s + 1  s → 0‬‬ ‫‪s 2 + 2 s + 1 ‬‬ ‫ﺧﻄﺎي ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر ﺑﻪ ورودي دوم ﻫﻤﺎن ﺧﻄﺎي ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺎﻧﺪﮔﺎر ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺳﺖ ﺑﻪ ورودي ﺷﻴﺐ‪:‬‬ ‫‪ − s3 − s 2 − s ‬‬ ‫‪1  s 3 + 2 s 2 + 3s + 1 ‬‬ ‫‪1  s 3 + 2 s 2 + 3s + 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪s 2 ‬‬ ‫‪s 2 + 2 s + 1  s → 0 s ‬‬ ‫‪s 2 + 2 s + 1  s → 0 s ( s 2 + 2 s + 1) ‬‬

‫× ‪ess 2 = lim s‬‬ ‫‪s →0‬‬

‫ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬در اﻳﻨﺠﺎ ﻫﺪف اراﺋﻪ روش ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ اﻣﺘﺤﺎن ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ آﻧﻜﻪ در اﻣﺘﺤﺎن ﺳﻮاﻻت ﻣﺘﻔﺎوت اراﺋﻪ ﺷﺪه ﺑﻮد‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫اﺳﺖ ﭘﺎﺳﺨﻬﺎي ﻧﻬﺎﻳﻲ ﺑﺮﺧﻲ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻏﻴﺮ از ﭘﺎﺳﺨﻬﺎي ﻧﻬﺎﻳﻲ ﻓﻮق ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬