Midterm 2

‫ م 
ا‬

‫اﻣﺘﺤﺎن ﻣﻴﺎن ﺗﺮم دوم درس ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ‬ ‫زﻣﺎن‪ 100 :‬دﻗﻴﻘﻪ‬

‫ﻧﺎم و ﻧﺎم ﺧﺎﻧﻮادﮔﻲ‪:‬‬

‫………………………………………………………‬

‫ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﻳﻲ‪:‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫»  ‪ ،‬ا  ش »ا ‪!   "#  
  7  %  «5‬ن '&*‪« 86‬‬

‫ﮔﺮوه‪ :‬زوج
ﻓﺮد
‬

‫………………………………‬

‫!‪
.‬ر ژﯾ
‬

‫‪ -1‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﻌﺎدﻻت زﻳﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ)‪ 4‬ﻧﻤﺮه(‪:‬‬ ‫‪) x 2 y' '+ xy'− y = 0 , y(1) = 1 y' (1) = 1‬اﻟﻒ‬ ‫‪) y ' '− y '+2 x = 1‬ب‬ ‫‪ -2‬ﺟﻮاب ﺧﺎص ﻣﻌﺎدﻻت زﻳﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ)‪ 6‬ﻧﻤﺮه(‪:‬‬ ‫‪) y ' '−6 y '+9 y = xe3 x‬اﻟﻒ‬ ‫‪e2 x‬‬ ‫‪x‬‬

‫= ‪) y ' '−4 y '+4 y‬ب‬

‫‪ -3‬اﮔﺮ ‪ y1 = ln x‬و )‪ y2 = ln( x 2 − 1‬دو ﺟﻮاب از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻄﻲ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ﻏﻴﺮ ﻫﻤﮕﻦ )‪ y ' '+ p( x) y '+ q( x) y = g ( x‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻛـﺪاﻣﻴﻚ از‬ ‫ﮔﺰﻳﻨﻪ ﻫﺎي زﻳﺮ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ y ' '+ p( x) y '+ q( x) y = 0‬اﺳﺖ؟ ﭼﺮا؟ )ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﮔﺰﻳﻨﻪ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ( )‪ 3‬ﻧﻤﺮه(‬ ‫)‪2) y = ln x( x 2 − 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x −1‬‬

‫‪4) y = ln‬‬

‫‪1) y = ln( x 2 − 1) ln x‬‬ ‫‪x2 −1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪3) y = ln‬‬

‫‪ -4‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻄﻲ ﻣﺮﺗﺒﻪ دوم ﻫﻤﮕﻨﻲ ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ آن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ)‪ 3‬ﻧﻤﺮه(‪:‬‬ ‫‪y = c1 cos x + c2 sin x‬‬

‫‪ -5‬ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ را ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ‪ .‬ﺑﺮاي ﺟﻮاب ﺧﺎص ﻓﺮم ﻛﻠﻲ ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ و ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺿﺮاﻳﺐ آن ﻻزم ﻧﻴﺴﺖ )‪ 4‬ﻧﻤﺮه(‪.‬‬ ‫‪y ( 4) − y = x cos x‬‬

‫‪) 6‬ﺳﻮال اﺧﺘﻴﺎري(‪ -‬اﮔﺮ ‪ y2 ، y1‬و ‪ y3‬ﺳﻪ ﺟﻮاب از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻄﻲ ﻣﺮﺗﺒـﻪ دوم ﻫﻤﮕـﻦ ‪ y ' '+ p( x) y '+ q( x) y = 0‬ﺑﺎﺷـﻨﺪ‪ ،‬ﺟـﻮاب ﻋﻤـﻮﻣﻲ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ‪ 1).‬ﻧﻤﺮه(‬ ‫‪y1 ( x) = e x , y2 ( x) = e x + sin x , y3 ( x) = e x + cos x‬‬

‫ﻣﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﻴﺪ‪ -‬ﺷﺎﻫﺪي‬