Microsoft Word - Gerak Satu Dimensi

KINEMATIKA GERAK DALAM SATU DIMENSI PENDAHULUAN Kinematika adalah bagian dari mekanika yang membahas tentang gerak tanpa memperhatikan penyebab benda itu bergerak. Artinya pembahasannya tidak meninjau atau tidak menghubungkan gaya-gaya yang berkaitan dengan sifat-sifat benda yang bergerak itu. Dalam pembahasan gerak ini diasumsikan benda yang bergerak adalah partikel, sebab secara matematis sebuah partikel diperlakukan sebagai titik, yaitu benda tanpa ukuran, sehingga rotasi dan vibrasi tidak perlu diperhitungkan. 1. Kecapatan rata-rata

ρ Misalnya sebuah partikel pada saat t1 berada di titik A dengan vektor posisi r1 (Gb 1). ρ Pada saat t2 berada di B dengan vektor posisi r2 . Vektor pergeseran (perpindahan) yang ρ ρ ρ menunjukkan perubahan posisi partikel dari A ke B adalah ∆r = r2 − r1 dan selang waktunya adalah ∆t = t2 − t1 . Kecepatan rata-rata dalam selang waktu itu didefinisikan sebagai ; ρ ∆r pergeseran v= = ∆t selangwaktu

(1)

Kecepatan rata-rata adalah laju (rate) perubahan posisi terhadap waktu

A

ρ ρ ρ ∆r = r2 − r1

ρ r1

B

ρ r2 O Gambar 1. Pergeseran partikel dari titik A ke titik B Berdasarkan persamaan (1) dapat dinyatakan bahwa kecepatan rata-rata hanya menyangkut pergeseran total dan selang waktu total. Contoh, misalkan seseorang naik mobil dari rumah keliling kota, kemudian setelah selang waktu ∆t (missal dua jam) ia kembali ke rumahnya, maka kecepatan rata-rata mobil tersebut selama ∆t adalah nol. 1

Jika kecepatan rata-rata yang diukur antara dua titik sembarang pada lintasan sama (baik arah maupun besarnya) maka dapat dikatakan bahwa partikel tersebut bergerak dengan kecepatan konstan 2. KECEPATAN SESAAT (INSTANTENEOUS VELOCITY) Jika sebuah partikel bergerak sedemikian rupa sehingga kecepatan rata-ratanya yang diukur dalam berbagai selang waktu yang berbeda, ternyata tidak konstan, maka partikel tersebut bergerak dengan kecepatan yang berubah-ubah. Oleh karena itu kecepatan pada setiap saat sembarang disebut kecepatan sesaat) harus dapat diukur Misalkan sebuah partikel berberak dari titik A pada saat t1 dan sampai dititik B pada saat t2 , maka kecepatan rata-ratanya seperti ditunjukan oleh persamaan (1). Jika ∆t semakin kecil maka pergeserannya ∆r juga semakin pendek dan arahnya pun berbeda (gambar 2)

A

B’

B

O Gambar 2. Gerak partikel dengan kecepatan rata-rata dalam berbagai selang wakt berbeda Semakin dekat titik B dengan titik A, maka perbandingan pergeseran dengan selang waktu mendekati suatu harga limit tertentu, arah vector pegerserannya pun mendekati sutau arah limit tertentu yaitu garis singgung lintasan partikel. Harga limit ∆r/∆t disebut kecepatan sesaat di titik A. ρ Jika ∆r adalah pergeseran dalam selang waktu ∆t setelah saat t, maka kecepatan pada ρ saat t adalah harga limit yang didekati oleh ∆r / ∆t jika ∆r dan ∆t keduanya menuju nol. Oleh karena itu kecepatan sesaat dituliskan ; ρ ρ ∆r v = lim it ∆t → 0 ∆t

(2)

Persamaan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk derivative sebagai berikut ρ ρ ρ ∆r dr v = lim it = ∆t → 0 ∆t dt

(3)

2

Besarnya kecepatan sesaat disebut laju, dan dinyatakan sebagai berikut ρ ρ dr v =v= dt

(4)

3. Gerak satu dimensi dengan kecepatan berubah Misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang X-Y. Pada saat t posisinya dinyatakan dengan r, maka dapat dituliskan ρ r = xiˆ + yˆj Kecepatan partikel itu dapat dinyatakan sebagai berikut; ρ ρ dr dx ˆ dy ˆ v= = i+ j dt dt dt

(5) atau dapat dituliskan

ρ (6) v = vxiˆ + v y ˆj (gerak dua dimensi) Persamaan (5) menunjukan persamaan kecepatan untuk gerak dua dimensi yang memilki komponen kecepatan arah sumbu X dan kecepatan arah sumbu Y, sehingga jika yang ditinjau adalah gerak arah sumbu X saja yang berarti kecepatan arah sumbu Y = 0. Sedangkan kecepatan arah sumbu X adalah

ρ v = vxiˆ (gerak satu dimensi) (7) Kecepatan partikel (6) mengarah pada sumbu X saja sehingga merupakan gerak partikel dalam satu dimensi. vx adalah komponen skalar pada sumbu X dan iˆ vector satuan. Oleh karena itu berdasarkan (5) dan (7) dapat dinyatakan bahwa ; vx =

dx dt

(8)

4. Percepatan a. Percepatan rata-rata Miosalkan sebuah partikel bergerak pada suatu lintasan tertentu. Pada saat t1 berada di ρ titik A dengan kecepatan sesaat v1 dan pada saat t2 berada di titik B dengan kecepatan ρ sesaat v2 , maka percepatan rata- rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan dibagi selang waktunya, yaitu; a=

ρ ρ ρ v2 − v1 ∆v = t 2 − t1 ∆t

(9)

3

Y

ρ v1

B t2

ρ v2

A t1

ρ v2

ρ - v1 ρ ρ ρ ∆v = ∆v2 − ∆v1 X

ρ Gambar 3. Perubahan vector kecepatan ∆v yang dialami oleh partikel ketika berpindah dari titik A ke titik B Persamaan (9) menunjukan bahwa percepatan rata-rata hanya tergantung dari kecepatan akhir dan kecepatan awal saja. b. Percepatan sesaat Jika percepatan rata-rata yang diukur dalam berbagai selang waktu ternyata tidak konstan, maka dikatakan bahwa partikel mengalami percepatan yang berubah. Percepatan dapat berubah besarnya, arahnya atau kedua-duanya. Oleh karena itu perlu diketahui percepatan partikel pada semabarang waktu atau disebut percepatan sesaat. Percepatan sesaat didefinisikan sebagai berikut:

ρ ρ ρ ∆v dv a = lim it = (10) ∆t → 0 ∆t dt ρ Arah percepatan sesaat adalah arah limit perubahan vector kecepatan ∆v . Sedangkan besarnya percepatansesaat adalah ρ ρ dv (11) a= a = dt Jika percepatannya konstan, maka percepatan sesaat akan sama dengan percepatan ratarata. 5. Gerak satu dimensi – Percepatan Berubah Berdasarkan persamaan (6) dan (10), maka dapat dintuliskan bahwa;

ρ ρ dv ˆ dvx ˆ dv y a= =i + j dt dt dt

(12)

4

atau dapat dituliskan,

ρ a = iˆa x + ˆja y

(gerak dua dimensi)

(13)

dv y dv merupakan Dari (12) dan (13) dapat dinyatakan bahwa : a x = x dan a y = dt dt ρ komponen scalar dari vektor percepatan a . Untuk gerak satu dimensi (misal dalam arah sumbu X), maka ay = 0, sebab vy konstan, sehingga percepatannya adalah

ρ a = iˆax (gerak satu dimensi)

(14)

6. Gerak satu dimensi – Percepatan konstan Misalkan suatu partikel bergerak satu dimensi (arah sumbu X) dengan percepatan konstan. Dalam percepatan tetap, maka percepatan rata-rata dalam sembarang selang waktu sama dengan percepatan sesaat ax. Misalkan pada saat t1 = 0 besar kecepatan partikel vx0 , dan pada saat t2 = t adalah vx, sehingga berdasarkan persamaan (10) dapat dituliskan; dv dt Karean ax konstan , maka dapat dinyatakan dv = adt ax =

vx

∫

v xo

t

(15)

t

dv = ∫ a x dt = a x ∫ dt 0

0

vx = vxo + a xt

(16)

Grafik dari persamaan (12) adalah sebagai berikut

vx axt Kemiringan = ax

vx

vxo

0 t Gambar 4. Grafik kecepatan terhadap waktu untuk percepatan konstan

5

Jika posisi partikel pada saat t = 0 adalah x0, maka posisi partikel pada saat t adalah x dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut; Berdasarkan persamaan (8) dan (16) diperoleh

dx , atau dt dx = vx dt

vx =

dx = (vxo + a xt )dt t

dx = ∫ (vxo + a xt )dt 0

x

1 = vxot + ax t 2 xo 2 1 x = xo + vxot + a xt 2 2

∫x− x

o

(17)

x

1 x = xo + at 2 2

t 0

Gambar 5. Grafik pergeseran terhadap waktu Berdasarkan persamaan (16) dapat ditentukan t yaitu vx − vxo (18) ax Jika persamaan (18) disubstitusikan ke (17) maka diperoleh hasil sebagai berikut; t=

2

v 2 x = vxo + 2ax ( x − x0 )

(19)

6

Persamaan (16), (17) dan (19) adalah persamaan gerak lurus (satu dimensi) dengan percepatan konstan.

PERHATIAN SISTEM SATUAN YANG DIGUNAKAN DALAM PERHITUNGAN GERAK LURUS INI MENGGUNAKAN SISTEM SATUAN INTERNASIONAL

Contoh. 1. Misalkan partikel bergerak dengan percepatan konstan 5 m/s2 . Laju awal partikel adalah 10 m/s. Tentukan laju partikel setelah selang waktu 10 s. Penyelesaian: Diketahui : a = 5 m/s2, vxo = 10 m/s, dan t = 10 s Ditanyakan : vx Jawab : Menurut persamaan (16) vx = vxo + a xt vx = 10 m/s + 5 m/s2. 10 s = 10 m/s + 50 m/s = 60 m/s

Contoh 2. Sebuah partikel bergerak dengan dengan kecepatan mula-mula 10 m/s. Setelah bergerak selama 20 s kecepatannya meningkat scara teratur menjadi 40 m/s. Tentukanlah percepatan geraknya, dan jarak yang ditempuh selama waktu itu?. Penyelesaian: Diketahui : vxo = 10 m/s, vx = 40 m/s, t = 20 s Ditanyakan : a, dan x Jawab: Berdasarkan persamaan (16) dapat dituliskan; a=

vx − vxo 40 − 10 30 = = = 1,5 m / s t 20 20

Dengan persamaan (17), dengan xo = 0, maka 1 1 x = vxot + at 2 = 10m / s 20 s + . 1,5m / s 2 . 20 2 s 2 = 200 + 300 = 500m 2 2

7

7. Gerak satu dimensi dengan kecepatan tetap dv = 0 , sehingga berdasarkan dt persamaan (17) pergeserannya dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika kecepatan gerak partikel konstan, maka, a =

x = xo + v(t − to )

(20)

Grafik kecepatan dan pergeseran dalam gerak satu dimensi sebagai berikut v

x x = xo + v(t − to ) v = konstan xo t 0

t 0

a)

b)

Gambar 5. a. Grafik kecepatan terhadap waktu b. Grafik pergeseran(posisi) terhadap waktu

8. Gerak Jatuh Bebas Contoh gerak dengan percepatan konstan yang sring dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak benda jatuh ke bumi. Jika tidak ada gesekan udara, maka semua benda yang jatuh ke bumi pada tempat yang sama akan mengalami percecapatan yang sama, Keadaan tersebut tidak tergantung ukuran, berat maupun susunan benda. Demikian juga jika jarak yang ditempuh selama jatuh tidak terlalu besar, maka percepatannya juga dianggap konstan. Gerak ideal yang mengabaikan gesekan udara dan perubahan kecil percepatan terhadap ketinggian, disebut gerak jatuh bebas. Percepatan yang dialami oleh benda jatuh bebas disebut percepatan gtavitasi (g = 9,8 m/s2). Misalnya dipilih kerangka acuan sumbu Y positif diambil vertical ke atas, maka percepatan gravitasinya merupakan sebuah vektor yang arahnya vertika ke bawah. Oleh karena itu gerak jatuh bebas dapat dinyatakan dengan gerak satu dimensi dengan percepatan tetap sepanjang sumbu Y. Sehubungan dengan hal tersebut, maka persamaan gerak sepanjang sumbu Y dapat dituliskan berdasarkan persamaan (16), (17), dan (19) tinggal menggatikan x dengan y dan mengganti ay = -g sehingga diperoleh bentuk; v y = v yo − gt

(21)

8

y = v yot −

1 2 gt 2

v 2 y = v 2 yo − 2 g ( y − y0 )

(22) (23)

Contoh; Sebuah benda diolepaskan dari keadaan diam dan jatuh secara bebas. Tentukan posisi dan laju benda setelah bergerak 2 s. Penyelesaian: Diketahui : vyo = 0, g = 9,8 m/s2, t = 2 s Ditanyakan : y dan vy Jawab; Dengan menggunakan persamaan (20) dan (21) maka diperoleh: v y = v yo − gt = 0 - 9,8. 2 = - 19,6 m/s dan 1 2 1 gt = 0 − .9,8. 2 2 = −9,8 m 2 2 Tanda negative menunjukan bahwa vector yang bersangkutan berarah ke sumbu Y negatif y = v yot −

9