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Apostilas mktademir Matemática conceitos indispensáveis para concursos. Nessa nova etapa de matemática iremos colocar varias formas e conceitos de que precisamos saber e entender para um aprofundamento mais extenso do assunto.

Objetivos: Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Nestas séries serão abordados assuntos tais como: Descontos, Juros Simples, Porcentagem, Regra de Sociedade, Regra de três Composta, Regra de três Simples, Grandezas Inversamente Proporcionais, Números e Proporções, Sistema Legal de Medidas, Números Inteiros, Noções de Funções de primeiro e segundo grau, mais alguns temas que são abordados quase sempre na maioria das provas em concursos que são realizados em todo o Brasil. Você aprenderá definições e terá também auxílio de exemplos práticos para melhor compreensão.

Conhecimentos Básicos de Matemática O que é Matemática? Podemos dizer que é difícil definir em poucas palavras o que é matemática, e toda definição não conseguirá expressar o grande complexo que é o significado da matemática; porém podemos tentar dar uma noção: A principio a palavra matemática deriva da palavra grega "matemathike" que significa "ensinamentos". A matemática é uma ciência formal (suas evidências e definições são independentes das outras ciências) que se baseia em: teoremas, e etc, para chegar a conclusões teóricas e práticas. Ela também pode ser vista como um sistema formal de pensamento para reconhecer, classificar e explorar padrões. A matemática como uma expressão da mente humana, ativa os reflexos, o expressar da razão e o grande desejo pela perfeição em números, pois 2+2 = 4 e não = 5. É também chamada por muitos estudiosos de linguagem universal ( a matemática é uma linguagem porque é formada por signos representativos e linguísticos que passam idéias e significados). Pode ser dividida em matemática aplicada com seus elementos básicos e a matemática pura.

Para que serve a matemática?

É o método mais eficiente de racionalizar a natureza e seus complexos de sentidos. Em razão da matemática, conseguimos desvendar e resolver um número bem extenso de problemas de diversas áreas da Ciência. Vamos a alguns exemplos: 1. 2. 3. 4.

Qual a curva que liga dois pontos fixos? Qual o caminho que a luz faz ao refletir numa superfície qualquer? Por que quando apertamos os pólos de um ovo não conseguimos quebrá-los? Quanto é 2+2? Isto mesmo sem a matemática, nem esta simples operação você conseguiria resolver com tamanha facilidade. É realmente interessante a Ciência Matemática e seus poderes de resoluções..

Qual a importância da matemática na sociedade ? Estamos cientes que, a parte mais simples e conhecida da matemática é a aritmética (operações com números). Imagine só se os números simplesmente não existissem em nosso mundo. Como seríamos? Como poderíamos receber nosso salário? Ou mesmo fazer um simples cálculo de idade. Um pouco complicado, não ? Temos que admitir que estamos cercados por números! A qualquer lugar que você vá aparecerá a necessidade de quantificação, em outras palavras : números. Esta é talvez a principal teoria da matemática, mas não é a única, pois existem muitas outras as quais são também aplicáveis à sociedade. Agora que estamos cientes da importância da matemática no dia-a-dia das pessoas, na sociedade e vendo-a como um auxílio a soluções de problemas diversos nas Ciências, vamos ao estudo de alguns temas básicos.

Conjunto dos Números Números Inteiros O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos números inteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizer que os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteiros positivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos). Assim os números inteiros são exemplos:

Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -3 -2 -1 0 1 2 3 _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____ Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem o elemento “ 0”.

Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10} Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através deste simples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25,26,27....} Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são número inteiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = N Z.

Números Racionais Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q). Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária. Um exemplo simples: Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5, temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata. É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a divisão não é exata. Um exemplo simples: Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita 0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica. Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros. -3 -2 -1 0 1 2 3 _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____ 0,8

Numero racional A letra que representa os Números Racionais = Q Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3} O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “ 0”.

Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)} Números Irracionais

Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente (dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números. Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc. Um número irracional famoso é o PI ( ) = 3,141592... O número de Euler = 2,71828

Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir) -3

-2

-1

0

1

2

3

( ) = 3,141592...

(???) _____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

Números Reais Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e é indicado pela letra “R”. Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número racional é real, temos a seguinte sentença: N Z Q R Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornandose o conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}.

Números Primos Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética. Para os números inteiros podemos provar com facilidade que: 1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos). 2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1. Como podemos provar que um número é primo ou não?

Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo.

Teste Rápido: Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que os números atinjam 25 dígitos. O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um número é primo. Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Um exemplo simples : Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então, vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo, pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3 |323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0 Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos. TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 2

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m , uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 2 1,5m , qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: 2

Área (m )

Energia (Wh)

1,2

400

1,5

x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) 400 480 Identificação do tipo de relação:

Tempo (h) 3 x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas 3 5

Preço (R$) 120 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãodiretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia

Prazo para término (dias)

8 5

20 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas sãoinversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcional. Exemplos: 3

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m de areia. Em 5 horas, quantos caminhões 3 serão necessários para descarregar 125m ? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas 8 5

Caminhões 20 x

Volume 160 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens 8 4

Carrinhos 20 x

Dias 5 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também édiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo xcom o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechasconcordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para asinversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

Exercícios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. Frações O que é uma fração? Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Uma pizza inteira

Quatro pedaços de pizza

1

4 x 1/4

Qual o significado de uma fração? Uma fração significa dividir algo em partes iguais. Assim:

indica a : b , sendo a e b números naturais e b diferente de 0. a representa o numerador e b, o denominador. Leitura de frações:

Metade Um terço Dois quartos Três quintos Um sexto Quatro sétimos Sete oitavos Dois nonos Um décimo Dois onze avos Cinco doze avos ...

... Um centésimo Um milésimo

Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo, como o próprio nome já diz, são equivalentes.

Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo número inteiro. Observem comparando com os quadradinhos acima.

a)

b) Outros exemplos:

a)

b)

Não é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível.

Tipos de fração: - Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o denominador. Ex:

( 7<9 )

- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou igual ao denominador. Exs:

,

Numa fração imprópria temos o seguinte: Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, e sobram 5 sétimos. Vejam que 7x1+5=12

Outros exemplos:

a)

b) M.M.C (Mínimo múltiplo comum) Não há a necessidade de explicar o que é mmc, pois o próprio nome já diz que é o mínimo múltiplo comum. Mas o que isso significa? Vejamos: Qual o mmc de 4 e 6? Ou seja, qual é o menor divisor de 4 e 6 simultaneamente? Vejam que 12:3=4, assim como 12:2=6. Portanto, o mmc é 12. Vamos treinar? m.m.c 3e4

12

5 e 30

30

12 e 15

60

8e6

24

Adição e subtração de frações: 1) Verificar se os denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou subtrair o numerador. Vejam os exemplos:

a)

b)

c) 2) Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o mmc e transformar em frações de mesmo denominador para depois efetuarmos as operações.

a)

O mmc de 6 e 3 é igual a 6. Transformemos denominador 6.

numa fração equivalente de

Podemos agora somar, pois as frações possuem o mesmo denominador. Após a soma, se possível, simplifiquem.

b)

O mmc de 6 e 4 é igual a 12. Vamos transformar mesmo denominador 12.

e

em frações equivalentes de

Assim: Multiplicação de frações: Multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto.

a)

b)

c) Divisão de frações: Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário, simplifique.

a)

b)

c)

d)

e) Cálculo Algébrico Expressões Algébricas são aquelas que contém números e letras. Ex: 2ax²+bx Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido. Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações. Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão é 3. Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos. Ex : 4x Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. Ex: 4x+2y Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis ) Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z literal.

» são termos semelhantes pois possuem a mesma parte

Adição e Subtração de expressões algébricas Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim:

2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z

-Convém lembrar dos jogos de sinais.

Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3 Multiplicacão e Divisão de expressões algébricas Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva. Exemplos: 1) a ( x+y ) = ax + ay 2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 3) x ( x ² + y ) = x³ + xy » Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. » Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes Exemplos: 1) 4x² : 2 x = 2 x 2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4 3)

=

[Resolução]

Observação: Constatei que é muito comum nos estudantes, ao terem o primeiro contato com as cálculos algébricos, os seguintes erros no cálculo da adição ou da subtração: ERRADO: Veja que 3a³ e 2a² não possuem a mesma parte literal e, portanto, não podem ser somados. No caso acima, não há termos que podem ser somados ou subtraídos. Seria o mesmo que efetuar a seguinte soma:

Não há lógica a soma de uma lâmpada com um gato, assim como não há, entre 3a³ e 2a². =) Produtos Notáveis Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva. (a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b² (a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c² Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis. Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas. 1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. ( a + b ).( a – b ) = a² - b² 2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ( a + b )² = a² + 2ab +b² 3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ( a – b )² = a² - 2ab + b² Existem muitas outras outras fórmulas: ( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³ (a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³

Não freqüentemente usadas:

Fatoração Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x+y) Existem vários casos de fatoração como: 1) Fator Comum em evidência Quando os termos apresentam fatores comuns Observe o polinômio: ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência. Assim: ax + ay = a.(x+y) Forma fatorada Exs : Fatore: a) bx + by - bz = b.(x+y-z) b) c) d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y) e) 2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais. Como por exemplo: ax + ay + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência: a.(x+y) + b.(x+y) Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência: (x+y).(a+b) Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b) Exs: Fatore: a) x é fator comum

a é fator comum

(x-3) é fator comum

Forma fatorada

b)

é fator

(2+a) é fator comum comum comum

Forma fatorada

3) Fatoração por diferença de quadrados: Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado Assim: Exs: Fatore: a) b) c) Note que é possível fatorar a expressão duas vezes 4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

é fator

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito. Por exemplo, os trinômios ( )e( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

Assim: |

|

| | 2x 3y |__________| | 2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito. = |_______________| Sinal Logo:

= |_______________| Sinal

» forma fatorada

» forma fatorada

Exs: a) b) *Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo: Exs: a) b) Outros casos de fatoração: 1) 2)

3)

Frações Algébricas O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero. Simplificação de frações algébricas: Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente. Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.

Exs:

M.M.C de polinômios: Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles com o maior expoente. Exs: »

e

m.m.c = e » m.m.c = (a+b)(a-b) Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles e

»

e

m.m.c = Adição e subtração de frações algébrica: Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.

Ex: Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores.

Ex:

Multiplicação e divisão de frações algébricas Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.

Exs:

Potenciação de frações algébricas Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas.

Exs:

Equação do 1º grau Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios. Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita

De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa. Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4. 2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4 Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4. Equação do 1º grau Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0 , onde a é diferente de 0. ax + b = 0

( a e b são números reais e a

0)

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade: ax + b = 0 » ax = -b x = -b / a * Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero. Ex:

x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5 4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2

Resolução de equações do 1º grau: Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem. Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro. Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos. Determine o valor da incógnita x: a) 2x – 8 = 10 2x = 10 + 8 2x = 18

x=9 »

V = {9}

b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9) 3 –7 + 14x = 5 – x – 9 14x + x = 5 – 9 – 3 + 7 15x= 0 x = 0 » V= {0}

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente ocorre: Numa equação: 2x + 8 = 10 Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem: 2x + 8 - 8 = 10 - 8 2x = 2 x=1 V={1} A resolução acima é a exposição do que ocorre na resolução de equações do 1º grau. O "macete" de "jogar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizarmos a resolução.

Sistemas de equações Noções: A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números? Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.

Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número. Pelo enunciado: » soma de dois números é 12, ou seja: x+y = 12 ...I » a diferença entre eles é 4, isto é : x-y = 4 .....II A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ). Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações: 8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4) Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações: Método da adição: » basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável. Ex: x+y=12 x-y=4 Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y). Com isso, basta somar as duas equações:

A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações. 8+y=12 ou 8-y=4 y=12-8 -y=4-8 y=4 y=4 O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema. Outro exemplo: ... I .. II » Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável. Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada. Para isso, multiplicamos a equação I por -2:

... I ... II 0x + 0y = 6 .... III Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio. S= { } Método da substituição: » Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra. Ex: x+y=12 ... I x-y=4 .... II Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor: x+y=12 » x=12-y Substituímos na outra equação: (12-y) - y = 4 12-2y = 4 -2y = -8 y=4 Substituindo o valor encontrado em uma das equações: x+4=12

» x=12-4 » x=8

Logo a solução do sistema seria: S = {(8,4)} Ex: ... I ... II Escolhemos a variável y da equação II: ... II Substituindo na equação II :

Substituindo o valor de x encontrado em II:

Logo a solução do sistema é : S = {( 10,4 )} Método da comparação: » Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações: x+2y=2 x+y = 3

» x=2-2y » x=3-y

Comparando as duas equações: 2-2y=3-y -2y+y=3-2 -y = 1 y = -1 Substituindo o valor de y encontrado: x = 2-2.(-1) » x=2+2=4 Portando S= {(4,-1)} Sistemas de equações Noções: A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números? Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações. Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número. Pelo enunciado: » soma de dois números é 12, ou seja: x+y = 12 ...I » a diferença entre eles é 4, isto é : x-y = 4 .....II A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ). Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações: 8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4) Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:

Método da adição: » basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável. Ex: x+y=12 x-y=4 Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y). Com isso, basta somar as duas equações:

A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações. 8+y=12 ou 8-y=4 y=12-8 -y=4-8 y=4 y=4 O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema. Outro exemplo: ... I .. II » Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável. Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada. Para isso, multiplicamos a equação I por -2: ... I ... II 0x + 0y = 6 .... III Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio. S= { } Método da substituição: » Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra. Ex: x+y=12 ... I x-y=4 .... II

Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor: x+y=12 » x=12-y Substituímos na outra equação: (12-y) - y = 4 12-2y = 4 -2y = -8 y=4 Substituindo o valor encontrado em uma das equações: x+4=12

» x=12-4 » x=8

Logo a solução do sistema seria: S = {(8,4)} Ex: ... I ... II Escolhemos a variável y da equação II: ... II Substituindo na equação II :

Substituindo o valor de x encontrado em II:

Logo a solução do sistema é : S = {( 10,4 )} Método da comparação: » Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações: x+2y=2 x+y = 3

» x=2-2y » x=3-y

Comparando as duas equações: 2-2y=3-y -2y+y=3-2

-y = 1 y = -1 Substituindo o valor de y encontrado: x = 2-2.(-1) » x=2+2=4 Portando S= {(4,-1)} Problemas I Para resolver problemas algebricamente, basta aplicar seus conhecimentos adquiridos em equações. Situação real » problema » interpretação » equacionamento» resolução » resposta Exemplos: 1) A soma de dois números é 51 e a diferença entre eles é 9. Quais são estes números? Seja x o número maior e y o número menos: x+y=51 x-y=9 Pelo método da adição, somamos ambas as equações, eleminando a variável y. x+x+y-y=60 » 2x=60 » x=30 Substituindo na equação: x-y=9 » 30-y=9 » y=21 Logo, os números são 30 e 21. 2) A idade de um pai é 6 vezes a idade do filho. A soma das idades é igual a 35 anos. Qual a idade de cada um? Sendo a idade do pai igual a x e a idade do filho igual a y: x=6y ....... I x+y=35 ... II Pelo método da substituição, substituimos a equação I em II. 6y+y=35 » 7y=35 » y=5 Substituindo o resultado obtido na equação I: x=6y » x=6.5 » x=30 Logo, a idade do pai é de 30 anos e a do filho de 5 anos. 3) Uma fração é igual a 3/5. Somando-se 2 ao numerador, obtém-se umanova fração, igual a 4/5. Qual é a fração?

Sendo x o numerador e y o denominador:

» 5x=3y [*multiplicando em cruzes ]

» 5(x+2)=4y » 5x+10=4y 5x-3y=0 ..... I 5x-4y=-10 ... II Multiplicando a equação I pot -1 para podermos eliminar uma variável pelo método da adição: -5x+3y=0 ... I 5x-4y=-10 .. II -y = -10 » y=10 Substituindo o valor de y encontrado: 5x=3y » 5x=3.10 » 5x=30 » x=6 Logo, a fração é 6/10. Raizes e radicais Dado um número real a e um número natural , define-se de a) como sendo o número real R, se existir, tal que: •

para n par: = R desde que

•

para n ímpar: = R desde que

Exemplos: a) b) c) d) e)

» não existe

e

(raiz n-ésima

* Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica, quando n=4 chama-se raiz quarta, etc. Na expressão radical.

; N chama-se índice; a chama-se radicando e

chama-se

Propriedades:

1) Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número diferente de 0, o valor do radical não se altera. 2) Multiplicando o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número diferente de 0, o valor do radical não se altera 3)

4) 5)

6) 7) 8) 9)

Exemplos: 1) 2) 3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) Potenciação Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos: Definição:

N fatores

Propriedades:

Exemplos: 1) 2³=2.2.2=8 2)

3)

4) 5)

6) 7)

8) 9) 10) Equação do 2º grau Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com . Exemplos: Equação x²+2x+1 5x-2x²-1

a 1 -2

b 2 5

c 1 -1

Classificação: - Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 1º caso: b=0 Considere a equação do 2º grau imcompleta: x²-9=0 » x²=9 » x=

» x=

2º caso: c=0 Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 » x=0,9 3º caso: b=c=0 2x²=0 » x=0 Resolução de equações do 2º grau: A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. - Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara. Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau? Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara: Multiplicamos os dois membros por 4a: 4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac Somamos b² aos dois membros: 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac Fatoramos o lado esquedo e chamamos de b²-4ac:

(delta)

(2ax+b)²=

2ax+b=

2ax=-b Logo:

ou Fórmula de Bháskara:

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula:

=

e Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4 = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Sustituindo na fórmual de Bháskara:

» x=2

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( 3) 5x²-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5

)

= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real. Logo:

» vazio Propriedades:

Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima: Dado a equação ax²+bx+c=0, com

e

, suas raízes são:

e A soma das raízes será:

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: O produto das raízes será:

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo:

Substituindo por

e

:

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0 Exemplos: 1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0 [Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² - 6x -8 =0 Sendo a=2, b=-6 e c=-8

c) 4-x² = 0 Sendo a=-1, b=0 e c=4:

Resolução de equações fracionárias do 2º grau: Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a)

Onde

, pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então: Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: » Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}

b)

e

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então: Eliminando os denominadores: »

»

»

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente: x=-1 » S={-1} Resolução de equações literais do 2º grau: Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

Equação

a

b

c

x² - (m+n)x + p = 0

1

-(m+n)

p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x. 1) x²-3ax+2a²=0 [Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara: a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo: x = 2a e x = a » S={a,2a} Resolução de equações biquadradas Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:

onde

Exemplo resolvido: 1) Fazendo x² = y , temos Substituindo os valores na equação, temos: y² - 5y + 4 = 0 Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4 e y`= 1 Voltando a variável x:

Como y=x², temos: x²=4 »

e

x²=1 »

Então a solução será » S={-2,-1,1,2} ou simplesmente Problemas II Nesta seção, vamos resolver alguns problemas que exigem a aplicação de equações do 2º grau. Devemos: 1) Construir as sentenças matemáticas 2) Resolver a equação 3) Interpretar as respostas obtidas Exemplos: 1) Quais são os números inteiros consecutivos, cujo produto é 12? Sendo x e (x+1) os números: x.(x+1) = 12 » x²+x-12=0 Aplicando a fórmula de Bháskara:

x= 3 e x`=-4, interpretando o problema, concluímos que os dois números consecutivos são 3 e 4 ou -4 e -3. 2) A soma de dois números é 12 e a soma de seus quadrados é 74. Determine os dois números. Sendo x e y os dois números, concluímos que: x + y = 12 » y=12-x x²+y²=74 ... b

... a

Substituindo a em b: x²+(12-x)²=74 » x²+144-24x+x²=74 » 2x²-24x+70=0 Fatorando temos: 2(x²-12x+35)=0 Aplicando a fórmula de Bháskara em x²-12x+35:

x = 5 e x`= 7 Logo, os números procurados são 5 e 7. 3) Um pai tinha 30 anos quando seu filho nasceu. Se multiplicarmos as idades que possuem hoje, obtém-se um produto que é igual a três vezes o quadrado da idade do filho. Quais são as suas idades? -Sendo x a idade do filho, a idade do pai será (x+30) Logo: x(x+30)=3x² » x²+30x=3x² » 2x²-30x=0 Aplicando a fórmula de Bháskara temos:

Logo, x=0 e x`=15 Como x=0 não representa a idade do filho, concluímos que o filho possui 15 anos e como a idade do pai é representado por x+30, concluímos que o pai possui 45 anos Resp: A idade do filho e de 15 anos e a do pai é de 45 anos 4) Os Elefantes de um zoológico estão de dieta juntos, num período de 10 dias devem comer uma quantidade de cenouras igual ao quadrado da quantidade que um coelho come em 30 dias. Em um dia os elefantes e o coelho comem juntos1.444 kg de cenoura. Quantos Kg de cenoura os elefantes comem em 1 dia? [Resolução] Sendo x a quantidade (Kg) de cenoura que um elefante come por dia e y a quantidade (Kg) de cenoura que um coelho come por dia. -Pelo enunciado: -Num período de 10 dias devem comer uma quantidade de cenouras igual ao quadrado da quantidade que um coelho come em 30 dias 10x = (30.y)² 10x = 900y² Simplificando: x=90y² -Em um dia os elefantes e o coelho comem juntos 1.444 kg de cenoura x+y=1444 - Resolvendo o sistema: x + y = 1444

x = 90 y² Substituindo o valor da segunda equação na primeira:

Resposta: O coelho come 4 kg de cenoura por dia e os elefantes comem 1440 kg de cenoura por dia. Função do 1º grau Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado. Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondência por pares ordenados seria:

Noções de função: Considere os diagramas abaixo:

1

2

3

4

5 Condições de existência: (1) Todos os elementos de x têm um correspondente em y. (2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y.

Analisando os diagramas acima: O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2). Logo, somente o diagrama 2 representa uma função. Domínio, Contradomínio e Imagem Observe o diagrama a seguir:

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:

f={(1,2),(2,3),(3,4)} O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. D(F)=X O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. C(F)=Y Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. f(1)=2 Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f)={2,3,4} Determinação de função: Observe: 1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:

2) Associe cada elemento de X com a sua capital.

3) Determine o conjunto imagem de cada função:

a) D(f) = {1,2,3} y = f(x) = x + 1 [Sol] f(1) = 1+1 = 2 f(2) = 2+1 = 3 f(3) =3+1 = 4 Logo: Im(f)={2,3,4} b) D(f) = {1,3,5} y = f(x) = x² [Sol] f(1) = 1² = 1 f(3) = 3² = 9 f(5) = 5² = 25 Logo: Im(f)={1,9,25} Plano cartesiano

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A. Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas: x // x' e y // y' Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x' Nessas condições, definimos: - Abscissa de P é um número real representado por P1 - Ordenada de P é um número real representado por P2 - A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' ) - O eixo das abscissas é o eixo x - O eixo das ordenadas é o eixo y - A origem do sistema é o ponto 0 - Plano cartesiano é o plano A.

Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!

Exemplo: Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido. a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido. [Sol] y=salário fixo + comissão y=500 + 50x b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos? [Sol] y=500+50x , onde x=4 y=500+50.4 = 500+200 = 700 c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais? [Sol] y=500+50x , onde y=1000 1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10 A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:

y=f(x)=ax+b com

,

e

Gráfico da função do 1º grau:

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo: 1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1: [Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y=f(x)=x+1 O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)} -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1. [Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

x y=f(x)=-x+1 -2 3 -1 2 0 1 1 0 2 -1

Gráficos crescente e decrescente respectivamente:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1

Função crescente y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1

Função decrescente

Raiz ou zero da função do 1º grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).

1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função. [Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0 x+1=0 » x=-1 Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.

2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico. [Sol] Fazendo y=0, temos: 0 = -x+1 » x = 1 Gráfico:

Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função. Sinal de uma função de 1º grau: Observe os gráficos:

a>0

a<0

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a. Exemplos: 1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0. a) y=f(x)=x+1 [Sol] x+1>0 » x>-1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1 x+1<0 » x<-1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1 b) y=f(x)=-x+1 [Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1 -x+1<0 » -x<-1 » x>1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1 (*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade) Função do 2º grau A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos: a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 ) b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 ) Gráfico de uma função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola

Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Representação gráfica Exemplo: Construa o gráfico da função y=x²: [Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x -2 -1 0 1 2 3

y = f(x) = x² 4 1 0 1 4 9

Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos. Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por

.

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3 Temos: a=1, b=-4 e c=3

Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2. y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1 Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1) Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!! Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. y=f(x)=0 Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3. Vejamos o gráfico:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x. Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau? Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior. Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6: Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0 Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara. x²+5x+6=0

Acharemos que x = -2 e x` = -3. Concavidade da parábola

Explicarei esta parte com um simples desenho.

a>0

a<0

Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste). Exemplos: y = f(x) = x² - 4

a = 1 >0 y = f(x) = -x² + 4

a = -1 < 0 [Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo. Quando o discriminante é igual a zero Quando o valor de coordenada y será igual a zero.

, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 x²+2x+1=0 x=x`=-b/2a=-1 As coordenadas do vértice serão V=(-1,0) Gráfico:

Quando o discrimintante é maior que zero Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente). Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3 x²-4x+3=0 x=1, x`=3 Gráfico:

Quando o discriminante é menor que zero Quando o valor de ou zeros da função.

, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2 x²-x+2=0

Gráfico:

Resumindo:

a>0

a>0

a>0

a<0

a<0

a<0

Esboçando o gráfico Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função -x²-4x-3=0 Aplicando a fórmula de Bháskara x=-1, x`=-3 2ª etapa: Coordenadas do vértice Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2 Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1 Portanto, V=(-2,1) 3ª etapa: Concavidade da parábola y=-x²-4x-3 Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo Feito isso, vamos esboçar o gráfico:

Logaritmos Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de exponeciais. Sendo:

, dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.

Dependendo dos valores de a e b: - poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade Exemplo: - poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade Exemplo:

(No caso, o único valor de c = 0)

- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade Exemplo: Deduzimos assim que sendo b>0, que satisfaça

e a>0, existe um único valor real c

.

A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.

se, e somente se, Onde b>0,

e a>0

Não decore a definição de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos baseados em simples exercícios. Ex.1) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa. a) Resolução: Notem que 3>0,

e 9>0

b) 2³ = 8 Resolução: c) Resolução: Notem que 10>0,

e 100>0

Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentará te "pegar" neste ponto, pois é comum os estudantes se esquecerem disso.

Muitos devem estar pensando... Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos? O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele é fundamental, também, em outras matérias como por exemplo na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio). A análise, permite-nos saber se uma solução é ácida, básica ou neutra. Na física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. Não entraremos nestes detalhes. Uma curiosidade da Química:

Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra? A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] = Assim, concluímos que ácida, pois o pH<7.

. Trata-se, portanto, de uma solução

Inseri este exemplo, só para terem uma noção de que as ciências são intimamentes ligadas. Conhecimentos de matemática são utilizados constantemente na física, na química, na biologia e em demais matérias. Propriedades fundamentais de logaritmos:

1)

2) 3) 4) Exemplos:

1) 2) 3)

4) Propriedades de logaritmos II

Para x>0, y>0, b>0 e

, temos:

1) 2) 3) Exemplos:

1) 2) 3) 4)

5) 6) Propriedade - Mudança de base

Sendo x>0, b>0,

Exemplos:

1)

, c >0 e

2) Dado que

, determine

Resolução: Observação: Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. Quando a base do logaritmo não é indicada, trata-se de um logaritmo decimal.

Porcentagem Introdução: Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos: Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar? O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108 Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será: E a de meninos será: 100 - 40 = 60. Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem. Razão centesimal: Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100. Exemplos:

(lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento) Definição de taxa porcentual ou porcentagem: Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b,

Indica-se

, à razão

tal que

por

Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples: Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor. Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100). Exemplos para compreendermos melhor: Ex.1) Calcule: a) 10% de 500: A razão centesimal é : Portanto, b) 25% de 200:

Portanto, Ex.2) Qual a taxa porcentual de: a) 3 sobre 5?

5x = 300 x= 60 A taxa é de 60% b) 10 sobre 20?

20x = 1000 x = 50 A taxa é de 50% Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que ,talvez, tenham dúvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora? Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500? Digitem: 500 Aperte a tecla de multiplicação: X Digitem: 20 Aperte a tecla de porcentagem: % O resultado, como pode ser visto, é 100. Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares. Exercícios resolvidos: 1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

O desconto será: Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200. Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco: O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%) Logo, 2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

O acréscimo será de: Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200 Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:

3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?

2000x = 10000 x=5 Portanto, 5%. 4) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor? Vamos por etapas: O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.

Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00. Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:

Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00. Regra de três Chamamos de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos quais três são conhecidos e devemos determinar o quarto valor. A resolução desse tipo de problema é muito simples, basta montarmos uma tabela (em proporção) e resolvermos uma equação. Sugestão: Caso tenham dúvidas na resolução de equações do 1º grau, visitem a seção presente neste site. Vamos a resolução de problemas: 1) Um atleta percorre um 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 30km? Montemos uma tabela:

Percurso (km) 20 30

Tempo (h) 2 x

Notem que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo atleta também aumenta. Logo, devemos conservar a proporção:

Multiplicamos em cruzes: 20x = 60 x=3 Portanto, o atleta percorrerá 30km em 3h. 2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa? Nº de trabalhadores 4 2

Tempo (dias) 8 x

Notem que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhores demorarão mais tempo para construir, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção.

Multiplicando em cruzes: 2x = 32 x = 16 Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias.

Como puderam ver, a resolução é bastante simples. Primeiro, observamos se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos a proporção; se a grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporção. Feito isso, basta resolver a equação.

Material para serem revista. (fundamental para concurseiros)