Microsoft Power Point - Circuitos-aula 18

Aula 18 CIRCUITOS ELÉTRICOS I Solução de Equações diferenciais Resposta Completa de Circuitos de Segunda Ordem Exercícios

Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati [email protected] 1

SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

Uma equação diferencial de segunda ordem, pode ser representada genericamente por:

dx dx 2 + a1 + a0 x = f (t ) 2 dt dt

Eq. 1

Em que: a´s

constantes reais;

x

pode ser uma tensão ou corrente;

f(t)

função conhecida das fontes independentes.

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RESPOSTA COMPLETA DE UM CIRCUITO DE SEGUNDA ORDEM

A resposta completa que satisfaz a equação anterior é dada por:

x = xn + x f

Em que: x resposta completa; xn resposta natural; xf resposta forçada.

Resposta Natural: xn é obtido quando f(t)=0 e deve satisfazer a equação: 2

dxn dxn + a1 + a0 xn = 0 2 dt dt Neste caso: x = xn

Eq. 2

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SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

xn deve ser uma função que não muda de forma quando deferenciamos, caso contrário a combinação do lado esquerdo da equação não pode ser zero para todo t. Portanto:

xn = Ae

st

Eq. 3

Que é a única função que mantém sua forma quando é repetidamente diferenciada. Substituindo a Eq.3 para x na Eq. 2 temos; 2

st

st

d Ae dAe st + a1 + a0 Ae = 0 2 dt dt

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SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

Que resulta em:

As 2 e st + Asa1e st + Aa0 e st = 0 ou:

Ae st ( s 2 + a1s + a0 ) = 0 Como Aest não pode ser zero, temos:

s + a1s + a0 = 0 2

Esta equação é chamada de equação característica e é o resultado da troca das derivadas por potências de s. 5

SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

Como é uma equação quadrática tem-se duas soluções.

a − 4 a0 s1 , 2 = −a1 ± 2 2 1

Bascara

ax 2 + bx + c = 0

b 2 − 4ac x1 , 2 = −b ± 2a

Portanto temos duas componentes naturais:

xn1 = A1e

s1t

e

xn 2 = A2 e

s2t

A1 e A2 são arbitrários, seus valores dependem das condições iniciais.

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SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

xn = A1e + A2 e s1t

s2t

Solução geral se s1 e s2 forem raízes distintas:

Raízes Reais e Distintas: Caso Superamortecido. Neste caso a resposta decai, ou é amortecida com o passar do tempo. Outros casos: Raízes Complexas: Caso Subamortecido. Se as freqüências naturais são complexas, em geral tem-se:

s1 = α + jβ

e

s 2 = α − jβ

A resposta natural no caso geral é:

xn = A1e

(α + jβ ) t

+ A2 e

(α − jβ ) t

SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

Para por a resposta natural em uma forma mais adequada, vamos considerar a forma de Euler, dada por:

e jθ = cos θ + jsenθ

ou

e − jθ = cos θ − jsenθ

Fazendo

xn = eαt ( A1e jβt + A2 e jβt ) xn = eαt ( A1 (cos βt + jsenβt ) + A2 (cos βt − jsenβt )) xn = eαt [( A1 + A2 ) cos βt + ( jA1 − jA2 )enβt ] Visto que A1 e A2 são arbitrárias, vamos renomear as constantes como:

A1 + A2 = B1

e

jA1 + jA2 = B2

Tem-se, portanto:

αt

xn = e ( B1 cos βt + B2 senβt )

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SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

Raízes Iguais e Reais: Caso de amortecimento crítico. Neste caso a resposta decai, ou é amortecida com o passar do tempo. Como apresenta anteriormente tem-se: Para expressar as freqüências naturais, a equação caracteristica deve ser: 2 2 2

( s − k ) = 0 s − 2ks + k = 0

Portanto a equação característica dever ser: 2

dxn dxn 2 k − 2 + k xn = 0 2 dt dt Resolvendo chegamos a solução:

xn = ( A1 + A2t )e

kt

Que pode ser verificado substituindo na equação acima. 9

SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

Exercício1: Calcule a resposta natural para i2 para o circuito abaixo. 1

8ohm

2

2H

Equação resultante:

3

4ohm

Vg

i2

1H

d 2 i2 di2 + 10 + 16i2 = 2v g 2 dt dt

4

10 Exercício2: Mostre que A1 e A2 do exercício Anterior pode ser arbitrário. (atribua valores para A1 e A2 ).

RESPOSTA COMPLETA DE UM CIRCUITO DE SEGUNDA ORDEM Resposta Forçada: A resposta forçada xf deve ser satisfazer a equação:

dx f dt

2

2

+ a1

dx f dt

+ a0 x f = f (t )

Sabemos de nossa experiência com circuitos de primeira ordem que a resposta forçada tem a forma da função excitação. Exercício3: Vamos considerar o caso vg=16 V no circuito anterior:

d2 x dx + 10 + 16 x = 32 2 dt dt

RESPOSTA COMPLETA DE UM CIRCUITO DE SEGUNDA ORDEM Visto que o membro da direita é uma constante e todas as suas derivadas são constantes (no caso, zero) vamos tentar:

i2 f = A

constante

Substituindo na equação tem-se:

16 A = 32

i2 f = A = 2

Portanto a solução geral é:

A1 e A2 pode ser avaliado pelas condições iniciais do circuito.

i2 (t ) = i2 n + i2 f = A1e −2t + A2 e −8t + 2

RESPOSTA COMPLETA DE UM CIRCUITO DE SEGUNDA ORDEM

Outra forma de encontrar a resposta forçada é considerar o circuito em regime permanente e fazer a análises no circuito. R1 8ohm V1 16V

R2 4ohm

i2

i2 f

16 = = 2A 8

Exercício4: Suponha que vg=20 cos 4t V. Calcule a resposta completa para o circuito anterior.

SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

Exemplo de freqüências naturais: Visto que as freqüências naturais de um circuito de segunda ordem são as raízes de uma equação quadrática característica, elas podem ser números reais, imaginários ou complexos. Considere o circuito abaixo: 4ohm

R

+

Vg

v

-

1H

dv g dv d2 v + ( R + 1) + ( R + 4)v = Rv g + dt dt 2 dt A equação característica é:

s 2 + ( R + 1) s + ( R + 4) = 0

C1 0.25F

Para R=6 tem-se as freqüências naturais: S1= - 2 e S2= -5. Raízes Reais e distintas: Caso Superamortecido. Para R=5 tem-se as freqüências naturais: S1= - 3 e S2= -3. Raízes Iguais e Reais: Caso de Amortecimento Crítico. Para R=1 tem-se as freqüências naturais:S1= - 1 +j2 e S2= -1 –j2. Caso Subamortecido. 14

SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS

Exercício: Calcule a resposta completa do circuito abaixo. i

C

R

+ Vg

v

L

L = 1H; C= 1/6 F; R=5 ;vg=2/3e-t; v(0)=10V; dv(0)/dt=-2V/s