Micro Page To Page Oke.docx

Page 13 Gambar 1.1. Luas di bawah kurva dalam beberapa potong luas ∆𝑋 Dengan mengambil satu bagian selebar Ax, mulai dari titik c ke titik d dengan lebar sebesar h, maka akan didapatkan gambar sebagai berikut ini Gambar 1.2. Luas kurva selebar 4x Luas kurva sebesar Ax ini dapat dihitung dengan dua cara, yaitu dengan cara trapesoid (raperoidy dan dengan cara titik tengah (midpoin). Dengan cara trapesoid, luasnya adelah sebesar Page 14 (I-15) Dengan cara titik tengah, perlu terlebih dahulu dihitung nilai dari Y2, aitu nilai di tengah-tengah tinggi Yl dan Y3 Nilai Y2 ini dapat hitung dengan memasukkan nilai titik x letak dari Y2 ke dalam nilai fungsinya dan luas area dapat dihitung sebesar: (1-16) Perhitungan integral dengan teknik ini dilakukan dengan cara iterasi. yaitu dengan mengambil beberapa potong Ax dan menghitung luas dari semua potongan t Potongan sebesar Ax diperbanyak sampai luas semua konvergen, yaitu luas menurut cara trapesoid udah sama dengan luas yang dihitung dengan cara titik tengah. Jika belum konvergen. iterasi diteruskan dengan menambah jumlah potongan AX. Contoh 1.13: Hitunglah luas area dari integral sebagai berikut: (3x2-4) 71 Untuk iterasi pertama, jumlah Ax yang diambil hanya sebuah, sehingga Y1-8 Y3 44, h 4-2 2 dan 8+44 ALI 2 Nilai Y2 berada pada posisi titik x=3 dan dengan memasukkan ke fungsi Y=(3x2-4), maka nilai Y2 diperoleh sebesar Y2=(3x32 -4) =23 dan Y2 h 23 46 Page 15 daw Matrik Besarnya nilai ALI masih belum sama dengan nilai AL2 atau dengan kala lain kedua nilai tersebut masih belum konvergen Iterasi dilanjutkan dengan menambah potongan Ax sampai didapatkan nilai yang konvergen. Untuk contoh ini, nilai konvergen diperoleh pada iterasi ke-6 dengan AX sebanyak 32 potongan sebagai berikut ini. 'Iterasi ini akan lebih mudah dilakukan dengan menggunakan program komputer Program komputer untuk iterasi ini dapat dilihat di Jogianto HMr. dan Program BASIC, Yogyakarta ANDI offet, edisi ke-5, cetakan kedua. 1994, hal 60 page 16 Untuk memudahkan perhitungan, ALI untuk iterasi iterasi selanjutnya nilai perlu dihitung kembali dengan rumus trapesoid, tetapi dapat dirata-rata dari ALl iterasi sebelumnya dengan nilai AL2 yang baru. Misalnya untuk iterasi ke-2, nilai ALI yang baru adalah sebesar (52 46)/2 49. Untuk iterasi ke-3, ALI yang baru adalah sebesar (49+ 47,502. 48.25 dan seterusnya. Hasil dari iterasi ini didapatkan nilai konvergen sebesar 48. Ini berarti luas area dibawah kurva adalah sebesar 48 atau Page 17 Rumus Simpson ini merupakan rumus pendekatan yang tidak perlu mengguna- kan iterasi, cukup menganggap luas area inenupakan sebuah potongan Ax Dari contoh sebelumn untuk sebuah potongan IX. menurut cara trapesoid diperoleh ni u I adalah sebesar 52 dan menurun cara titik tengah didapa nilai L2 sebesar 46. Menurut Simpson, luas dibawah kurva adalah sebesar 113 13 ALI 23 312 13 (52) 23u6) 18 Cara lain untuk menghitung nilai integral adalah dengan menentukan terlebih dahulu banyaknya Ax yang akan diambil dan rumus yang digunakan untuk menghitung luasnya adalah sebagai berikut 2Ydi). Yb (1-18) Notasi n

umlah IX panjang selebar 'n SX atau (b-a) n Ya nilai Y untuk titik X a. Yb nilai Y untuk titik X be Yci nilai Y tiap-tiap potong ke-i untuk titik xmci. Ydi nilai Y tiap-tiap potong ke-i untuk titik x di Contoh I.I4: Integral di contoh sebelumnya akan dihitung dengan ditentukan terlebih dahulu jumlah potongan 1x yang akan diambil, yaitu sebanyak 10 buah potongan Ax. maka in 10 dan Dm '1 (b-a) n (1-2) 10-0.1. Besarnya Ya 3 2 -4- 8 dan Yb 3 4 4 44. Besarnya nila 204Yci+2Ydi) adalah sebagai berikut ini. 21 2.2 5796 11,87 1328 74.04. 2 26 16.28 9156 1952 110.52 2123 13092 Teknik lainnya adalah Riemann Sums yang dapat dilihat di Farmand, S. dan NJ Poxon. SB Page 18 Dengan demikian luas di bawah kurva adalah 63. Menghitung Integral dengan Cara Antiderivative Dengan adanya teorema dasar dari kalkulus (fundamental theorem of culculus). maka perhitungan integral dapat dilakukan dengan cara unti ierivatne Teorema dasar dari kalkulus adalah sebagai berikut: untuk menghitung integral ini, maka perlu dilakukan langkah-langkah sebagai berikut ini. Cari antiderivative dari fungsi Rx yang akan diintegralkan Fungsi setelah di antiderivative adalah F(X). Hitung nilai dari F(b), yaitu nilai F(x) untuk titik x b. 3, Hitung nilai dari F(a), yaitu nilai F(X) untuk titik X a. 4. Luas di bawah kurva adalah nilai perbedaan antara F(b) dengan F a) Suatu antiderivative dari suatu fungsi f(x) adalah suatu fungsi lain guxo yang nilainya derivasinya adalah f(x). Misalnya suatu fungsi polinomial sebagai berikut:

Page 19 maka milermative untuk nel dari fungsi ini dengan c adalah nilai konstanta apapun Contoh 1.15: Tentukan antulernative dari fungsi fixo x Jawab: ine dari fungsi tersebut adalah jika dibalik bahwa fungsi g(x) adalah i x c. maka fungsi hasil dari derivasinya adalah lux) 1.4 x a X Contoh 1.16: Tentukan antiderivative dari fungsi fux) 2x". Jawab Hnudernuuve dari fungsi tersebut adalah: Beberapa rumus untuk antiderivative yang lainnya adalah sebagai berikut ini. x dx nti x tc, untuk n rdan c adalah konstanta apapun (1-20) antidermative sering disebut juga sebagai indefinire integral dari suatu fungsL yaitu integral yang tidak ditentukan batas awal dan akhir nilai dari sumbu X. Sebaliknya untuk demikian nilai batas sumbu x sucdah yaitu dari x sampai dengan x Dengan antiderivative dari fx) adalah fro)dx Page 23

f ur. dapat dari dua buah titik Suatu fungsi cekung(convex) atau suatu fungsi cembung ditunjukkan dengan cara menarik sebuah garis lurus dari dua buah titik (Misalnya f(X1) dan f(X2) yang berada di kurva bersangkutan. Jika garis lurus tersebut berada di atas kurvanya. Maka fungsi bersangkutan adalah fungsi adalah fungsi cekung. Sebaliknya bila garis lurus tersebut berada di bawah kurvanya, maka fungsi bersangkutan adalah fungsi cembung. sebagai ditulis dapat X0 berada diantara XI dan X2 dan Misalnya n berikut untuk o (1-0) X maka x0 i xi Jika 0, maka X0 X o) X2 X2 dan jika xo tepatnya xi. Jika e berada diantara nilai 0 dan maka berada diantara XI dan X2 Besarnya n di garis lurus yang menghubungk dua buah titik Rxi) dan mx2) untuk nilai x0 besar 0 fXI) nilai 1(X2) dan ai fungsi di k xo ini adalah sebesar Rxo). Kedua tersebut. ya nilai di garis dan nilai di akan sama jika fungsinya

adalah er. Jika tidak yaitu cekung atau kedua nilai tersebut tidak sama. Dengan demikian fxo) 0 fox I) e). fax2) fungsi strictly conver fX0) 6- X1) (1-e).Rx2) fungsi disebut dengan fXO) s 0 fx1) (I.0)-fX2) fungsi disebut dengan weaky canver fungsi disebut dengan strictly concave. Rxa) 20 foxi) (1-0)-Rx2) fungsi disebut dengan weakly concune. Pungsi cekung atau cembung dapat juga ditunjukkan oleh garis singgung dari fungsi di suatu titik. Gambar menunjukkan garis singgung di fungsi cembu f (X) fUX) (X2) X2 xi X0 Gambar I... Guris singgung di fungsi cembung. AD G page 24 Terlihat di Gambar 4, cembung mempunya yang singgung yang lebih tajam dibandingkan dengan derutan tit fxl) dan fox2) atau untu titik Hubungan ini dapat dinyatakan (XI) Dengan mengalikan kedua sisi dengan (x xi), maka didapatkan atau trxi di Dengan menggunakan derer Taylor yang mengestimasi nilai xx, f (XI) (x-xi) Persamaan (-33) menunjukkan nilai yang negatip, sehingga nilai persamaan atas selanjutnya dapat ditentukan: "(XI) atau f (x1)<0 Hasil ini menunjukkan bahwa untuk fungsi yang mempunyai sebuah variabel independen yang berupa fungsi cembung jika derivasi kedua dari fungsi di suatu titik (di uraian di atas di titik,XI) bemilai negatip. Sebaliknya suatu fungsi berupa fungsi cekung jika derivasi kedua dari fungsi di suatu titik bernilai positip. 1.8, HOMOGENITAS DARI FUNGSI Suatu fungsi f(xi xn) dikatakan homogeneous of degree r jika dan hanya jika mengalikan nilai dari semua argumennya dengan proporsi yang sama sebesar t akan dihasilkan perubahan nilai dari fungsi bersangkutan sebesar t' Homogen dengan derajad r selanjutnya dapat dituliskan: Com jav Page 25 XII) Contoh 1.19: Tunjukkan derajad honutngenitas dari lunesix jawab Jika nilai M dan P dikalikan de nilai maka akan dihasilkan nilai IM M Hasil perkalian dengan nilai Ladalah nilai sebelumnya. Jika nilai dari fungsi tidak benu ball. ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut mempunyai derajad homogenitas 0. karena l' x untuk r 0 adalah t x x. Contoh 1.20: Tunjukkan derajad homogenitas dari fungsi Y x x' Jawab: Jika nilai x dan x, dikalikan dengan nilai 1. maka akan dihasilkan nilai: Y Hasil ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut mempunyai derajad homogenitas I. karena I' Y untuk rl adalah t Y. Fungsi ini menunjukkan sifat dari fungsi produksi Cobb-Douglas consanl return uu scale. Jika input-input produksi yang digunakan ditingkatkan sebesar t kali. maka hasil outputnya akan meningkat sebesar t kali juga. Homogeneilas dari suatu fungsi dapat juga ditentukan dengan menggunakan teorema Euler. Page 26 Teorema Euler Teorema Euler mempunyai home engatakan bahwa jika vuatu fiungsi agree t, maka of Contoh 1.211 Dengan wgunakan leone ma Euler kkan derajad homogenitas Jawab Deri usi parsial fungsi terhadap x, adalah sebesar Derivasi parsial fungsi terhadap x, adalah sebesar Dengan menggunakan teorema Euler (X) 5 X 4 5X Hasil ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut mempunyai sifa derajad homogenitas I. l.9 PERSAMAAN SIMULTAN DAN MATRIK DETERMINAN Beberapa model ekonomi banyak melibatkan interaksi dari beberapa variabel secara simultan. Misalnya persamaan simultan yang terdin dari dua variabel XI dan X2 sebagai berikut: Perum Peran dan Page 28

Dengan cara matrik. persamaan dapat deelesaika" menggunakan aturan Cramer simultan berikut nie sebapai dengan (1-19) dan Pembagi minuter) dari inan dari persamaan (1-39) dan (1-10) adalah solusi koefisien koelisien matrik a untuk i dan j I. n. Untuk nominatonya x, dilakukan dengan mengganti kolom pertama dari matrik determinan dengan koefisien b Untuk solusi x, dilakukan dengan mengganti kolom kedua dari matrik determinan dengan koefisien bi. Contoh 1.22: Persamaan simultan berikut ini. 2 X 3 X Selesaikanlah nilai x, dan x, dengan menggunakan aturan Cramer. Jawab: Persamaan simultan yang dmyatakan dalam bentuk matrik: 2 3 (XI) (5) Page 30 30 Mak. ali bi ali au ain ati am atm Permasalahan utama dari penyelesaian persamaan simultan dengan banyak variabel adalah pada penyelesaian determinan untuk orde tinggi tersebut. Secara umum adalah dengan diselesaikan determinan yang orde dapat determinan orde 3 dapat lebih rendah sebagai berikut. dengan mendefinisikannya sebagai determinan orde 2 11 IAI art an an am a 21 a73 a an ari 12 (141) a 11 11 a an Nilai disebut dengan kofaktor tanda, dengan i dan j merupakan elemen yang dibuang dari determinan sebelumnya. Posisi baris dan kolom i dan j dapat dipilih bergerak ke kolom atau bergerak ke baris. Determinan di (1-41) sebelumnya menunjukkan i l dengan j yang bergerak dari j 1 sampai dengan Determinan dengan orde 4 dapat diselesaikan sebagai berikut Matrik ini da Page 33 lungsi dan Mati. SOAL-SOAL BAB 1: Pertamuan-pertam aan kajian Suatu fungsi dengan persamaan Y e In (x) log Tentukan turunan pertamanya terhadap x. 3. rentukan turunan pertama lerhadap x dari fungsi Y In 6x x terhadap x Fungsi Z x Tentukan turunan pertama parsial z dan Y Y XY. Bagaimana bunyi teo Young untuk fungsi yang kedua 5. Untuk fungsi z X Ya x Y buktikan bahwa nilai turunan silang adalah simetris. yaitu f fin 6 Hitunglah nilai integral dari 5x3 dx suatu 7. Menurut Euler. menentukan derajad homogenitas dari bagaimana fungsi? 8. Tentukanlah derajad homogenitas dari fungsi Y xi xi 9. Selesaikanlah persamaan simultan berikut ini 4X, 5X 10. Hitunglah nilai determinan dari matrik: II. Hitunglah nilai determinan dari matrik: 2 3 7 8 9 page 34 Pertaniaan peram aan Di Untuk fungsi Y r(x) dengan nilai x positip Jika Y meningkat terhadap xi maka f (x) Apakah pertanyaan ini benar atau sala 2 Untuk fungsi Y f ao dengan nilai X positip Jika >0. maka f (x) o ini benar atau salah? h pertanyaan d X jelaskan interpretasi ekonominya o untuk fungsi Y f (x) dengan nilai x positip. pada kondisi f (x maka f (x) Betul atau salah Page 35 OPTIMISASI TANPA KEKANGAN 2.1. PENDAHULUAN Permasalahan ekonomi hampir selalu berhubungan dengan teknik op timisasi Misalnya adalah bagaimana mengkombinasikan sumber-sumber daya ekonomi secara efisien untuk meningkatkan output produksi sehingga didapat maksimal. Perm asalahan ekonomi ini berhubungan dengan minimisasi (biaya) dan maksimisasi (laba) Baik maksimisasi maupun minimisasi me pakan permasalahan optimisas Optimisasi dapat berupa optimisasi tanpa kekangan atau tanpa kendala (unconstrained optimization) dan optimisasi dengan kekangan (construined

oprimirution), optimisasi tanpa kekangan misalnya adalah maksimisasi atau minimisasi suatu fungsi tanpa adanya tambahan syarat-syarat tertentu yang membatasinya. Jika optimisasi fungsi tersebut terikal oleh (subjecu to) satu atau lebih syarat, maka ini disebut dengan optimisasi dengan kekangan. Contoh dari optimisasi dengan kekangan ini adalah maksimisasi utiliti konsumen dengan kendala atau kekangan berupa anggaran dana yang dimilikinya. Bab ini akan membahas optimisasi tanpa kekangan dan bab berikutnya membahas optimisasi dengan kekangan optimisasi dapat melibatkan satu atau lebih variabel dalam fungsi yang akan dioptimalkan hasilnya. Permasalahan akan lebih rumit jika variabel yang terlibat lebih dari sebuah. Untuk kasus semacam ini yang melibatkan banyak variabel, penggunaan matrik akan sangat membantu 2.2. OPTIMISASI TANPA KEKANGAN DENGAN SEBUAH VARIABEL Misalnya fX) adalah fungsi obyektif yang akan dicari nilai mak simumnya. Umumnya dalam perjanjian tidak tertulis. pilihan dan hasil optimal Page 36 yang didapat dibedakan dengan notasi Dengan demikian murupakan hasil optimal dan fungsi dan X pilihan nilai optimalnya ditulis sebagai Y fix optimal Jika Rx-o z axo untuk semua nilai x. ini berarti tok bernilai Suatu fungsi dapat juga mencapai nilai optimal lokal (optimal relatip) atau optamal global. Optimal lokal (optimal relatip) merupakan titik optimal yang bernilai lebih besar (untuk kasus maksimum) atau bermilai lebih keci(untuk kasus minimum) dibandingkan dengan titik titik lainnya yang terdekat. Optimal global merupakan titik optimal ynang bernilai terbesar (untuk kasus maksimum) atau bernilai terkecil (untuk kasus minimum) untuk semua kemungkinan titik di fungsi. 2.2 I Kondisi Perlu dan Kondisi cukup adalah derivasi atau Kondisi perlu untuk suatu fungsi mencapai nilai optimal Kondisi ini turunan pertama dari fungsi harus bermilai sama dengan ocul Misalnya disebut dengan kondisi perlu (nesessary condition) ungkat Perta tingkat pertama untuk fungsi ini adalah sebagai berikur Kondisi ini menunjukkan bahwa singgung fangsi ini di tiek optimal (disebut juga dengan titik kritis) merupakan suatu pris laus horisontal Tidak semua turunan pertama yang bernilai nol adalah titik optimal Akan tetapi optimal harus memenuhi kondisi ini, sehingga kondisi turunan pertama tidak sama dengan nol ini merupakan kondisi perlu tetapi masih belum cukup Gamibar 21 menunjukkan titik kritis yang turunan pertamanya sama dengan nol tetapi bukan merupakan titik optimal Titik ini disebut dengan tak balik Gambar 2 L Tita Aulik wang hwian merupakan optiewal Page 37 itik Mitnal tik di si ini alnya titik Kondisi cukup untuk titik optimal ditunjukkan oleh turunan kedua dari fungsi.Untuk kasus maksimum turunan kedua dari fungsi harus bernilai negatif sebagai berikut: kedua dari bernilai negatip untuk kasus minim urunan kedua dari fungai harus bemilai positip sebagai berikul: (2-3) Jika turunan kedua tersebut adalah bermilai nol, hal tersebut menunjukkan suatu titik balik Kondisi r"(x.) o menunjukkan situasi garis singguny (slope) yang menurun (lihat Gambar 22 dan kondisi f (x.) 0 menunjukkan situasi waris singgung (slope) yang menaik dihat Gamhar roro roXpo 98 rok ro dY rok) (b) Minimum (a) Maksimum Gambar 2.2. Kondisi perlu dan kondisi cukup karas muksimum ilan nrmimuni

Page 38 Contoh 2.1: maksimum dan berapa nila Tunjukkan apakah nilai optimalnya m Jawab: nilai optimalnya Turunan pertama dari fungsi ini adalah Kondisi perlu adalah turunan pertama sama dengan no sebayai berikut 8 -4X sehingga didapat nilai x optimal sebagai benkut dan nilai optimal fungsinya adalah: 98 Kondisi cukup adalah turunan kedua dari fungsi tersebut sebagai berikut Turunan kedua bernilai negalip yang menunjukkan nilai optimal adalah nilai maksimum (lihat grafik fungsi ini dan nilai-nilai optimalnya di Gambar 22-a: Contoh 22: Tunjukkanlah letak titik optimal dari fungsi Y 5x'. 25X -sx 15 Jawab: dY 15X 50X dX Misalnya a 15. b 50 dan c -5, maka Page 39 sehingaga 2500 G00) -50 46.9 -50 16,9 -3,1 30 -30 .50 46.9 -96.9 30 30 91.16. ax 30X 50 Untuk X ax- 30 (0) so 50 atau 30 titik minimum d'Y Untuk -32. 0 titik maksimum 30 G2) 50 -16 atau Fungsi ini mempunyai dua buah lilik optimal. sebuah merupakan titik minimum yang terletak di X 0 dan sebuah lagi merupakan titik maksimum di x 3.2. Jika digambarkan akan berbentuk sebagai berikut: 165 2.3. OPTIMISASI TANPA KEKANGAN DENGAN BANYAK VARIABEL Kondisi turunan pertama proses optimasi tanpa kekangan dengan banyak variabel sama dengan kondisi turunan pertama proses oprimasi dengan variabel tunggal. Misalnya fungsi Y f(XI, X1. Xe), kondisi perlu (necessary Page 40 condirian) turunan penama akan jika semia turunan di hi nutive) dari fungsi bernilai nol sebagai berikut kondisi Kondisi ini merupakan kondisi perlu. tetapi belum merupakan cukup Turunan kedua digunakan untuk memenuhi kondisi cukup(sifficient condition). Untuk kasus maksimum turunan kedua harus bernilai negatip dan untuk kasus minimum turunan kedua harus bemilai positip untuk memenuhi kondisi cukup. Kondisi cukup untuk kasus maksimum adalah sebagai berikuta (2-5a) (2.5b) (2-5c) Kondisi cukup untuk kasus minimum adalah sebagai berikut: (2-6a) nurunan parsial pertama dan fungsi RX xt x, terhadap xt sclain dituli, sebagai dapat ditulis sebagai ftx, x, atau untuk menyingkat dapat juga ditulis sehagai aja Demikian juga turunan parsial Perama terhadap xs dapat juga dinyatakan sebagai f dan setetuinya untuk lebih singkat turunan parsial kedua dari fungsi flx, x, terhadap X, danau juga dinyatakan sebagai fie, Demikian juga turunan parsial kedua terhadap dapat juga dinyatukan sebagai dan seterusnya dua va langs turun page 41 dua variabel independesi harus diperhitungkaua, sehiagna uutunan kotal kedua dari tanda yang benar. Untuk kasus dua lwah variabel urunan total kedua dari fam halua bernilai netaup (untuk kasus atau bernilai positip (untuk kasus eaiaimur) berikut (9 o (kasus maksimum 0027aj 2 Turunan ini diperoleh dari uraian sebagai berikut ini. Untuk fungsi total kedua fungsi dapat dituliskan x) dan x, x,00 x, xx), sebagai x,()i, Turunan pertama terhadap t dari fungsi ini adalah Y sebagai berikut dY dX di Tax, di dX i dt Turunan kedua dilakukan dengan aturan produk (lihat bab I terhadap t dapat untuk aturan ini) adalah sebagai berikut: Dengan menggunakan aturan rantai (lihat juga di bab l untuk aturan ini), turunan f(x,(), x.) at diuraikan menjadi Untuk dX di Udah