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Práctica de ejercicios

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Nombre del profesor: Braulio Samuel Colmenero Mejía

Unidad: 1

Actividad: 3. Relaciones y funciones

Fecha: jueves, 01 de noviembre de 2018 Bibliografía: García, R. F. (2006). Matemática Básica 1. Lima, Perú: RFG. Kleiman, A., & K. de Kleiman, E. (1981). Conjuntos, Aplicaciones Matemáticas a la Administración. Ciudad de México, D. F.: LIMUSA. Ortiz, J. R. (1994). El concepto de infinito. Recuperado el 1 de 9 de 2018, de http://emis.de/journals/bamv/conten/vol1/vol1n2p59-81.pdf Vigil, E. C. (2004). Álgebra. Ciudad de México, D. F.: PUBLICACIONES CULTURAL. Ejercicios a resolver:

1.- De las siguientes imágenes menciona cual es función o relación.

a)

d)

a) Es una relación. b) Es una función. c) Es una relación. d) Es una relación.

b)

c)

e)

f)

Práctica de ejercicios

e) Es una función. f) Es una función.

2.- Encuentre el dominio, imagen de las siguientes funciones:

f ( x) = a)

1 9 − x2

b) f ( x) = x 2 − 16

Dominio de a).

Razones.

1) 9 − 𝑥 2 > 0

𝐷𝑜𝑚(𝑓 ) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ℝ, (9 − 𝑥 2 ) > 0}. Factorizando el primer miembro de la inecuación 1). Desigualando a 0 el primer factor de 2). Multiplicando por (−1) la inecuación 3). Sumando +3 a cada miembro de la inecuación. Reduciendo términos semejantes en 5). Desigualando a 0 el segundo factor de 2). Restando 3 a cada miembro de la inecuación 7). Reduciendo términos semejantes en 8). Dominio de la ecuación a).

2) (3 − 𝑥1 )(3 + 𝑥2 ) > 0 3) 3 − 𝑥1 > 0 4) −3 + 𝑥1 < 0 5) −3 + 3 + 𝑥1 < 0 + 3 6) 𝑥1 < 3 7) 3 + 𝑥2 > 0 8) 3 − 3 + 𝑥2 > 0 − 3 9) 𝑥 > −3 10) 𝐷(𝑓 ) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ℝ, −3 < 𝑥 < 3} Imagen, recorrido o rango de a) 1

1) 𝑦 = √9−𝑥2 2) 𝑦(√9 − 𝑥 2 ) = 1 1

3) √9 − 𝑥 2 = 𝑦 4) 9 − 𝑥 2 =

1 𝑦2 1

5) 9 − 9 − 𝑥 2 = 𝑦2 − 9 1

6) −𝑥 2 = 𝑦2 − 9 1

7) 𝑥 2 = − 𝑦2 + 9 1

8) 𝑥 = ±√− 𝑦2 + 9

Razones Igualando con y la función a), 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ). Multiplicando por √9 − 𝑥 2 a ambos miembros de la igualdad 1). Dividiendo entre y a 2). Elevando al cuadrado a ambos miembros de la igualdad 3). Restando 9 a cada miembro de la igualdad 4). Reduciendo términos semejantes en 5). Multiplicando por −1 cada miembro de la igualdad 6). Extrayendo raíz cuadrada a cada miembro de la igualdad.

Práctica de ejercicios 1

9) − 𝑦2 + 9 ≥ 0 10) −

1 𝑦2

Desigualando a 0 el radicando de la ecuación 8) para determinar la imagen de la función a). Restando 9 a cada miembro de la inecuación 10). Reduciendo términos semejantes en 10). Multiplicando por (−1) cada miembro de la inecuación 11).

+9−9 ≥ 0−9

1

11) − 𝑦2 ≥ −9 1

12) 𝑦 2 ≤ 9 1

𝑦2

𝑦2

𝑦2

13) (𝑦 2 ) ( 9 ) ≤ (9) ( 9 )

Multiplicando por 9 cada miembro de la inecuación 13). 1 Efectuando las multiplicaciones y 14) 9 ≤ 𝑦 2 eliminando los factores comunes en 13). 1 1 Extrayendo raíz cuadrada a cada 15) 3 ≤ 𝑦1, − 3 ≤ 𝑦2 miembro de la inecuación 14). 1 1 16) 𝑅𝑎𝑛(𝑓 ) = {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ℝ, 3 ≤ 𝑦1 ∩ − 3 ≤ 𝑦2 } Imagen de la ecuación a). 1 𝑅𝑎𝑛(𝑓 ) = {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ ℝ, ≤ 𝑦} 3 1

Además, dado que el valor mínimo de 𝑦 = √9−𝑥2 se alcanza cuando el denominador 1

√9 − 𝑥 2 alcanza su máximo valor, esto es cuando 𝑥 = 0, entonces 𝑦 = 3; por otra parte, cuando tiende a ser igual a 3, el denominador tiende a ser cero y, por consiguiente, la función tiende a al infinito, por tanto la imagen es: [1/3, ∞).

b) f ( x) = x 2 − 16

Dominio de b) 1) 𝑥 2 − 16 ≥ 0 2) 𝑥 2 − 16 = 0 3) 𝑥 2 − 16 + 16 = 0 + 16 4) 𝑥 2 = 16 5) 𝑥 = ±√16

Razones 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 2 − 16 ≥ 0} Igualando a 0 la inecuación 1) para determinar los números críticos. Sumando 16 a cada miembro de 1). Reduciendo términos semejantes en 2). Extrayendo raíz cuadrada a cada miembro de 3).

6) 𝑥1 = 4, 𝑥2 = −4 Los posibles intervalos de solución de la inecuación 1) son: (-∞, – 4], [– 4, 4], [4, ∞)

Práctica de ejercicios

Analizando el comportamiento de la inecuación en cada uno de los intervalos formados, se observa que los únicos intervalos que cumplen con la condición de la inecuación son: (-∞, – 4] y [4, ∞) Por lo que el dominio de la ecuación b) es: 𝐷 (𝑓 ) = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≤ −4 ∪ 𝑥 ≥ 4}

Imagen de b). 1) 𝑦 = √𝑥 2 − 16 2) 𝑦 2 = 𝑥 2 − 16 3) 𝑦 2 + 16 = 𝑥 2 4) ±√𝑦 2 + 16 = 𝑥 5) 𝑦 2 + 16 ≥ 0

Razones. Igualando con y la función a), 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ). Elevando al cuadrado cada miembro de 1). Trasponiendo términos en 2). Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad 3). Desigualando a 0 el radicando de 4)

En la inecuación 5) se observa que y puede tomar cualquier valor dentro de los números reales. 𝑦∈ℝ Pero, además, de 1) se observa que el valor mínimo que puede tomar y, es cuando el radicando sea igual a 0, con 𝑥 = 4 o 𝑥 = −4, lo que significa que y puede tomar valores desde [0, ∞), por tanto 𝑅𝑎𝑛(𝑓 ) = {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ [0, ∞)}

3. - De la siguiente imagen menciona cual es el dominio, codominio y la imagen.

Dominio. Son todos los valores que toma la variable independiente, de acuerdo con el gráfico mostrado el dominio sería: 𝐷𝑜𝑚 = {−2, −1, 0, 3, 2}

Práctica de ejercicios

Codominio. Son todos los valores que puede tomar la variable dependiente, de acuerdo con el gráfico mostrado el codominio sería: 𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = {−3, −2, −1, 0, 1, 3, 5, 6, 7} Imagen. La imagen de una función 𝑓 es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningún elemento del dominio, de acuerdo con el gráfico mostrado el codominio sería: 𝐼𝑚 = {−3, −1, 1, 5, 7}

4.- De los siguientes datos realiza los pares ordenados y menciona si son Relaciones o funciones y menciona por qué?

Dom

Imagen

Dom

1

3

2

7

7

3

6

4

9

9

4

9

6

9

12

6

12

Sí es función, porque cada elemento del dominio tiene uno y sólo un elemento de la imagen.

5.- Sean

Imagen

No es función, porque existen por lo menos un valor del dominio a la que le corresponde dos valores de la imagen.

f ( x) = x2 + 1 y g ( x) = 3x + 2 , obtener:

a) f g (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓(𝑔(𝑥 )) = (3𝑥 + 2)2 + 1 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥 ) = 9𝑥 2 + 12𝑥 + 4 + 1 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥 ) = 9𝑥 2 + 12𝑥 + 5

b) g f (𝑔 ∘ 𝑓 ) = 𝑔(𝑓 (𝑥 )) = 3(𝑥 2 + 1) + 2

Dom

Imagen

3

Sí es función, porque cada elemento del dominio tiene una sola imagen.

Práctica de ejercicios 2

(𝑔 ∘ 𝑓 ) = 3𝑥 + 3 + 2 (𝑔 ∘ 𝑓 ) = 3𝑥 2 + 5

6.- Sean

f ( x) = 4 x, g ( x) = x + 1 y h( x) = x 2 , obtener:

f

g h

𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ) = (𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔)(ℎ(𝑥 )) = 𝑓 (𝑔(ℎ(𝑥 ))) 𝑔(ℎ(𝑥 )) = (𝑥 2 ) + 1 = 𝑥 2 + 1 𝑓 (𝑔(ℎ(𝑥 ))) = 4(𝑥 2 + 1) = 4𝑥 2 + 4

7.- Hallar g tal que f g = F en los siguientes casos: a) f ( x) = x +

1 x

F ( x) = a 2 x 2 +

y

𝑓 ∘ 𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓(𝑔(𝑥 )) = 𝐹 (𝑥 ) = 𝑎2 𝑥 2 +

1 a x2 2

1 𝑎2 𝑥 2

por tanto 𝑔 (𝑥 ) = 𝑎 2 𝑥 2 b) f ( x) = senx

F ( x) = sen

y

𝑓 ∘ 𝑔 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥 ) = 𝑓(𝑔(𝑥 )) = 𝐹 (𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛

1 x

1 𝑥

por tanto 𝑔 (𝑥 ) =

1 𝑥

8.- Menciona si las siguientes funciones son inyectivas, no inyectivas, suprayectiva y biyectivas.

Función inyectiva. Cuando a cada elemento del rango se asocia con uno y sólo uno del dominio, en la función inyectiva pueden sobrar elementos en el codominio. Función suprayectiva. Cuando el rango y codominio son iguales, todos los elementos del codominio están asociados con al menos uno del dominio, es

Práctica de ejercicios

decir, todo el codominio es imagen, cada elemento de y es imagen como mínimo de un elemento de x. Para determinar a qué tipo pertenece una función en necesario determinar primero cual será el dominio A y el codominio B, por ejemplo, si se consideran las funciones de ℝ en ℝ, es decir 𝑓: ℝ → ℝ

a)

f ( x) = x 2

No es inyectiva, porque a una misma imagen le corresponden dos elementos diferentes en el dominio, por ejemplo: 𝑓 (−2) = (−2)2 = 4 𝑓 (2) = (2)2 = 4

No es suprayectiva, porque existen elementos en el codominio que no están asociados con ninguna imagen, por ejemplo, ningún elemento del dominio da como resultado una imagen igual a (−4). b) f ( x) = x No es inyectiva, porque a una misma imagen le corresponden dos elementos del codominio, por ejemplo 𝑓 (−3) = |−3| = 3 𝑓 (3) = |3| = 3

c)

f ( x) = x 3

Es inyectiva, porque a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen. Es suprayectiva, porque todos los elementos del codominio están asociados con uno del dominio. Es biyectiva, porque es inyectiva y suprayectiva a la vez. d) f ( x) =

x

Práctica de ejercicios

No es inyectiva, porque existen elementos del dominio que no tienen imagen en el codominio.

e) f ( x) = x + 1

inyectiva, suprayectiva, biyectiva

Es inyectiva, porque a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen. Es suprayectiva, porque todos los elementos del codominio están asociados con uno del dominio. Es biyectiva, porque es inyectiva y suprayectiva a la vez. f) f ( x) = 2 x + 3

inyectiva, suprayectiva, biyectiva

Es inyectiva, porque a cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen. Es suprayectiva, porque todos los elementos del codominio están asociados con uno del dominio. Es biyectiva, porque es inyectiva y suprayectiva a la vez. Por otra parte, si se considera 𝑓: ℝ+ → ℝ+, entonces resulta que:

f ( x) = x 2

inyectiva, suprayectiva, biyectiva

b) f ( x) = x

inyectiva, suprayectiva, biyectiva

f ( x) = x 3

inyectiva, suprayectiva, biyectiva

a)

c)

d) f ( x) =

x

inyectiva, suprayectiva, biyectiva

e) f ( x) = x + 1 Es inyectiva, pero no es suprayectiva porque sobran elementos en el codominio, por ejemplo, no existe ningún elemento del dominio que esté relacionado con la imagen igual a ½. f) f ( x) = 2 x + 3

Práctica de ejercicios

Es inyectiva, pero no es suprayectiva porque sobran elementos en el codominio, por ejemplo, no existe ningún elemento del dominio que esté relacionado con la imagen igual a 2.

9.- Demuestra que la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva. Dadas dos funciones 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐶 → 𝐸, sí para cada 𝑥 ∈ 𝐴 ocurre que 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ), entonces cada 𝑥 determina una 𝑦, la que a su vez determina una 𝑓

𝑔

𝑧 ∈ 𝐴, esto es, si 𝑥 → 𝑦→ 𝑧, se habrá asociado entonces una 𝑧 ∈ 𝐸 a una 𝑥 ∈ 𝐴 por medio de la ecuación 𝑧 = 𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑓 (𝑥 )). Si se designa 𝑧 = ℎ(𝑥 ), la ecuación ℎ(𝑥 ) = 𝑔(𝑓(𝑥 )) se llama composición de 𝑓 por 𝑔, la que se denota como 𝑔 ∘ 𝑓 cuya regla de correspondencia es: (𝑔 ∘ 𝑓 ) = 𝑔[𝑓(𝑥 )] → 𝑔 ∘ 𝑓 = {𝑥, 𝑔[𝑓 (𝑥 )] ∣ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓 )}

Entonces, para demostrar que la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva, primero se demostrara que la composición de dos funciones sobreyectivas es sobreyectiva y, además, que la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva, después, por analogía, quedaría demostrado que la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva, pues al ser sobreyectiva e inyectiva a la vez, es biyectiva.

Definición de función inyectiva. Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐵, una función de 𝐴 en 𝐵, es una función inyectiva si cada elemento de 𝐵 es imagen de, a lo más, un elemento de 𝐴, o si distintos elementos del dominio 𝐴 tienen imágenes distintas en 𝐵, en otras palabras, dos elementos iguales del rango o recorrido tienen sus correspondientes elementos en el dominio iguales; y elementos diferentes en el dominio, tienen imágenes diferentes. Simbólicamente:

Práctica de ejercicios

Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es inyectiva si ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴: i.

𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 ) en 𝐵 ⟶ 𝑥1 = 𝑥2 en 𝐴.

ii.

𝑥1 ≠ 𝑥2 en 𝐴 ⟶ 𝑓 (𝑥1 ) ≠ 𝑓 (𝑥2 ) en 𝐵.

Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 son funciones inyectivas, entonces 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 es inyectiva.

Definición de función sobreyectiva. Sea la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Se dice que 𝑓 es una función sobreyectiva de 𝐴 sobre 𝐵, si todo elemento de 𝐵 (codominio) es imagen de, por lo menos, de un elemento de 𝐴; es decir, cuando el rango de 𝑓 es todo 𝐵 (codominio), simbólicamente: 𝑓 es sobreyectiva ⟷ ∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 𝑓 es sobreyectiva ⟷ 𝑅𝑎𝑛(𝑓 ) = 𝐵 Demostración de: si las funciones 𝑓 y 𝑔 son inyectivas, entonces 𝒈 ∘ 𝑓 es inyectiva. Sean 𝑓: 𝐴 → 𝐵 ∧ 𝑔: 𝐵 → 𝐶 ∧ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 teniendo en cuenta que 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) ∧ 𝑧 = 𝑔(𝑦) son inyectivas se tiene que ∀𝑥1 , ∀𝑥2 : 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 ) → 𝑥1 = 𝑥2 ∧ ∀𝑦1 , ∀𝑦2 : 𝑔(𝑦1 ) = 𝑔(𝑦2 ) → 𝑦1 = 𝑦2 si 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥1 ) = 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥2 ) entonces 𝑔(𝑓(𝑥1 )) = 𝑔(𝑓 (𝑥2 )) Como 𝑔 es inyectiva se tiene que 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 )

Práctica de ejercicios

y como 𝑓 es inyectiva, entonces 𝑥1 = 𝑥2 por lo tanto 𝑔 ∘ 𝑓 es inyectiva. Demostración de: si las funciones 𝑓 y 𝑔 son sobreyectivas, entonces 𝒈 ∘ 𝑓 es sobreyectiva. Sea 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 𝑓: 𝐴 → 𝐵 ⋀ 𝑔: 𝐵 → 𝐶 sobreyectivas o sea 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) y 𝑧 = 𝑔(𝑦) son sobreyectivas, Entonces, si se elige un elemento cualquiera 𝑧 ∈ 𝐶. Se debe demostrar que existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑧 = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥 ), simbólicamente: ∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐶, ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∣ 𝑔(𝑦) = 𝑧 Como 𝑧 ∈ 𝐶 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 es sobreyectiva, entonces existe 𝑦 ∈ 𝐵 tal que 𝑧 = 𝑔(𝑦), y como 𝑦 ∈ 𝐵 y 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es sobreyectiva, entonces existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ). Luego, 𝑧 = 𝑔(𝑦) = 𝑔[𝑓 (𝑥 )] = 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥 ), quedando así demostrado que 𝑔 ∘ 𝑓 es sobreyectiva. Simbólicamente: ∀𝑧 ∈ 𝐶, ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥 ) = 𝑔[𝑓 (𝑥 )] = 𝑔(𝑦) = 𝑧 Finalmente, como queda demostrado que 𝑔 ∘ 𝑓 es inyectiva y sobreyectiva a la vez, entonces, por analogía, 𝑔 ∘ 𝑓 es inyectiva.

10.-Obtenga la función inversa de las siguientes funciones. Si 𝑓 es una función que tiene por dominio el conjunto 𝐴, y por rango el conjunto 𝐵, entonces se llama la función inversa de 𝑓 a aquella que tiene por dominio el

Práctica de ejercicios

conjunto 𝐵, y por rango al conjunto 𝐴. A la función inversa de 𝑓 se le denota por 𝑓 −1 .

Para encontrar la regla de correspondencia de la función inversa, se debe despejar 𝑥 de la función original, ya que, para la función inversa, esa es la variable independiente, es importante observar que no todas las funciones tienen inversa, sólo las que son biyectivas.

Para encontrar la función inversa se efectúa el procedimiento siguiente:

i.

Se establece 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ).

ii.

Se intercambia 𝑥 por 𝑦.

iii.

Se despeja 𝑦 y se define como 𝑓 −1 (𝑥 ).

a)

f ( x) = x 3

1. 𝑦 = 𝑥 3

Se establece 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ).

3

Se intercambia 𝑥 por 𝑦.

2. 𝑥 = 𝑦

3. 𝑦 3 = 𝑥

Propiedad simétrica de la igualdad 2.

3

Raíz cúbica en ambos miembros de la igualdad 3.

4. 𝑦 = √𝑥 3

5. 𝑓 −1 (𝑥 ) = √𝑥

b)

𝑦 se define como 𝑓 −1 (𝑥 ) en 4.

f ( x) = (1 − x3 )1/5 + 2

1. 𝑦 = (1 − 𝑥 3 )1⁄5 + 2

Se establece 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ).

2. 𝑥 = (1 − 𝑦 3 )1⁄5 + 2

Se intercambia 𝑥 por 𝑦.

3. 𝑥 − 2 = (1 − 𝑦 3 )1⁄5

Restando 2 a cada miembro de la igualdad. Elevando a la quinta potencia cada mimbro de la igualdad 3. Trasponiendo términos en 4.

4. (𝑥 − 2)5 = 1 − 𝑦 3 5. 𝑦 3 = 1 − (𝑥 − 2)5 3

6. 𝑦 = √1 − (𝑥 − 2)5

Extrayendo raíz cúbica a miembro de la igualdad en 5.

cada

Práctica de ejercicios 3

7. 𝑓 −1 (𝑥 ) = ( √1 − (𝑥 − 2)5 )

𝑦 se define como 𝑓

−1 (

𝑥 ) en 6.

11.- Demuestra que f g y g f son funciones inversas y demuéstralo con las siguientes funciones f ( x) = 2 x + 3 , g ( x) = 1 ( x − 3) 2

Si 𝑓 ∘ 𝑔 es la función inversa de 𝑔 ∘ 𝑓 se tendría que

i.

(𝑓 ∘ 𝑔 )−1 = 𝑔 ∘ 𝑓

ii.

𝑓 ∘ 𝑔 = (𝑔 ∘ 𝑓 )−1

iii.

(𝑓 ∘ 𝑔 )−1 = 𝑔−1 ∘ 𝑓 −1

pero sucede que no en todos los casos se verifica que 𝑓 ∘ 𝑔 y 𝑔 ∘ 𝑓 sean funciones inversas, por ejemplo, sea el caso i 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 2 y 𝑔 (𝑥 ) = 𝑥 2 para 𝑓 ∘ 𝑔 se tendría que: (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥 ) = 𝑓 [𝑔(𝑥 )] = 𝑥 2 + 2

1. 𝑦 = 𝑥 2 + 2 2. 𝑥 = 𝑦 2 + 2 3. 𝑥 − 2 = 𝑦 2 4. ±√𝑥 − 2 = 𝑦 5. 𝑦 = ±√𝑥 − 2 6. (𝑓 ∘ 𝑔 )−1 (𝑥 ) = ±√𝑥 − 2

Estableciendo 𝑦 = 𝑓 [𝑔(𝑥 )], para determinar la función inversa de la composición 𝑓 ∘ 𝑔. Se intercambia 𝑥 por 𝑦 en 1. Restando 2 a cada miembro de la igualdad 2. Extrayendo raíz cuadrada a cada miembro de la igualdad 3. Propiedad simétrica de la igualdad en 4. Definiendo a 𝑦 como (𝑓 ∘ 𝑔 )−1 (𝑥 ) en 5.

Práctica de ejercicios

por otra parte, la función compuesta de 𝑔 ∘ 𝑓 es 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔[𝑓(𝑥 )] = (𝑥 + 2)2 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4

y como (𝑓 ∘ 𝑔)−1 = ±√𝑥 − 2

no sucede que (𝑓 ∘ 𝑔 )−1 = 𝑔 ∘ 𝑓

puesto que ±√𝑥 − 2 ≠ 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 por lo que la aseveración de que “ f g y g f son funciones inversas” es inconsistente e incluso puede ser hasta contradictoria.

Para que f g y g f sean funciones inversas se deben de cumplir ciertas condiciones necesarias y acordes a el teorema fundamental de las funciones inversas; el cual expresa lo siguiente: Dados dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, una función es inversa si y sólo si es biyectiva. Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es biyectiva, entonces existe una función 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴, o bien, 𝑔: 𝐵 → 𝐴, en este caso 𝑔 corresponde a la función inversa de 𝑓, 𝑔 = 𝑓 −1 . Una función es inversa, si para cualquier 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ) se verifica que 𝑓 (𝑎) = 𝑏 y 𝑔(𝑏) = 𝑎. Tal función debe permitir invertir el sentido de correspondencia, tal que a cada 𝑏 ∈ 𝐵 se asocie con un único elemento 𝑎 ∈ 𝐴. Simbólicamente: 𝑓 (𝑎 ) = 𝑏 ↔ 𝑔 (𝑏 ) = 𝑎

Práctica de ejercicios

Sólo bajo estas condiciones es posible demostrar que f g y g f

son

funciones inversas.

Demostración. De (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑎) se tiene que (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑎) = 𝑔[𝑓 (𝑎)] = 𝑔(𝑏) = 𝑎 𝐷𝑔 ∘ 𝑓 = {𝑎 ∣ 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓 (𝑎) ∈ 𝐷𝑔 } y de (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑏) se tiene que (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑏) = 𝑓 [𝑔(𝑏)] = 𝑓(𝑎) = 𝑏 𝐷𝑓 ∘ 𝑔 = {𝑏 ∣ 𝑏 ∈ 𝐷𝑔 ∧ 𝑔(𝑏) ∈ 𝐷𝑓 }

como ocurre que

𝑓(𝑎) = 𝑏 y además 𝑔(𝑏) = 𝑎, entonces se cumplen las

condiciones necesarias para que (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑏) y (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑎) sean funciones inversas.

12.- Menciona si los siguientes conjuntos tienen la misma cardinalidad. a) N el conjunto de los números naturales b) Z el conjunto de los números enteros

La respuesta correcta es que sí, el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números enteros Z tienen la misma cardinalidad. Esto es porque a cada elemento de Z se puede asociar con un elemento de N

Práctica de ejercicios

estableciéndose una correspondencia biyectiva mediante la función siguiente:

f ( n) =

n 2 −

si n es par n +1 2

si n es impar