Metrica Hiperbolica

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Universidad de Playa Ancha profesores Jean Pierre Vargas Bastias y Luis Ruiz

Métrica Hiperbólica Sea H el plano medio superior de Poincaré y los puntos

y

dos puntos en el.

Sabemos que la distancia más corta entre A y B es la geodésica formada por la circunferencia de centro y radio r. Para calcular la distancia hiperbólica tenemos que:

Donde

denota la distancia hiperbólica y

la distancia Euclideana.

Además sabemos que la longitud de arco Euclideana es:

Luego tenemos que:

Sea la circunferencia de centro

Despejando

Derivando obtenemos

Entonces

y radio r, qu tiene como puntos A y B entonces:

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sea

Entonces

Luego tenemos que

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Pero

Entonces

Pero si

Se tiene que

entonces

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Pero

Entonces

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Por lo tanto si

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entonces

Ahora en el caso de que

Pero

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Como

Se tiene que

Luego

por lo tanto si

se tiene que

Por c onsiguiente la métrica hiperbolica queda definida de la siguiente forma:

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Donde el centro de la circunferencia es

y el radio es r.