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Seminario de Métodos Numéricos – Semestre 02 -2015 Facultad de Ingeniería Civil Departamento de Ciencias Básicas Tema: Segunda Parte: Raíces de Ecuaciones Material preparado por Carlos Gómez

Antes de proceder con los métodos numéricos para determinar raíces de ecuaciones, será útil dar alguna orientación. El siguiente material intenta dar una visión general de los temas de la parte dos. Además, se han incluido algunos objetivos que darán una mejor orientación. Objetivos específicos de estudio de la parte dos. 1. Comprender la interpretación gráfica de una raíz 2. Conocer la interpretación gráfica del método de la falsa posición y por qué, en general, es mejor que el método de bisección. 3. Entender la diferencia entre los métodos cerrados y los métodos abiertos para la localización de las raíces. 4. Entender los conceptos de convergencia y de divergencia; usar el método gráfico de las dos curvas para tener una idea visual de los conceptos. 5. Saber por qué los métodos cerrados siempre convergen, mientras que los métodos abiertos algunas veces pueden divergir. 6. Observar que la convergencia en los métodos abiertos es más segura si el valor inicial está cercano a la raíz verdadera.

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7. Entender los conceptos de convergencia lineal y cuadrática, así como sus implicaciones en la efi ciencia de los métodos de iteración de punto fi jo y de Newton-Raphson. 8. Conocer las diferencias fundamentales entre el método de la falsa posición y el método de la secante, y cómo se relacionan con la convergencia. 9. Comprender los problemas que presentan raíces múltiples y las modificaciones que se pueden hacer para reducir dichos problemas.

10. Saber cómo extender el método de Newton-Raphson de una sola ecuación no lineal con el propósito de resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

Métodos cerrados Esta parte sobre raíces de ecuaciones se ocupa de métodos que aprovechan el hecho de que una función cambia de signo en la vecindad de una raíz. A estas técnicas se les llama métodos cerrados, o de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, dichos valores iniciales deben “encerrar”, o estar a ambos lados de la raíz. Los métodos particulares descritos aquí emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta. Como preámbulo de estas técnicas se analizarán los métodos gráficos para representar tanto las funciones como sus raíces. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los diversos métodos numéricos. MÉTODOS GRÁFICOS Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f (x) = 0 consiste en graficar la función y observar dónde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximación inicial de la raíz.

Veamos una aplicación Planteamiento del problema. Utilice el método gráfico para determinar el coeficiente de arrastre o de fricción c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40

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m/s después de una caída libre de t = 10 s. Nota: La aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2. Recuerden la ecuación que obtuvimos con las técnicas de integración (parte de una tarea propuesta)

Ec (1) Donde la velocidad v = la variable dependiente, el tiempo t = la variable independiente, la constante de gravitación g = una función de fuerza y el coeficiente de arrastre o de fricción) c y la masa m son los parámetros. Si se conocen los parámetros, la ecuación (1) se utiliza para predecir la velocidad del paracaidista como una función del tiempo. Estos cálculos se pueden llevar a cabo de manera directa, ya que v se expresa explícitamente como una función del tiempo. Es decir, queda despejada en el lado izquierdo del signo igual. No obstante, suponga que se tiene que determinar el coeficiente de arrastre o de fricción de un paracaidista con una masa dada, para alcanzar una velocidad determinada en un periodo preestablecido. Aunque la ecuación (1) ofrece una representación matemática de la interrelación entre las variables del modelo y los parámetros, no es posible obtener explícitamente el coeficiente de arrastre. Intenten hacerlo. No hay forma de reordenar la ecuación para despejar el parámetro c. En tales casos, se dice que c está en forma implícita. Esto representa un verdadero dilema, ya que en muchos de los problemas de diseño en ingeniería hay que especificar las propiedades o la composición de un sistema (representado por sus parámetros) para asegurar que esté funcionando de la manera deseada (representado por las variables). Así, a menudo dichos problemas requieren la determinación de parámetros implícitos. La solución del dilema es proporcionada por los métodos numéricos para raíces de ecuaciones. Para resolver el problema con métodos numéricos es conveniente reexpresar la ecuación (1), esto se logra restando la variable dependiente v de ambos lados de la ecuación,

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Ec (2) Por lo tanto, el valor de c que hace f(c) = 0 es la raíz de la ecuación. Este valor también representa el coeficiente de arrastre o de fricción que resuelve el problema de diseño.

Desarrolle un proceso de solución Este problema se resuelve determinando la raíz de la ecuación (2.) usando los parámetros t = 10, g = 9.8, v = 40 y m = 68.1: Noten que una vez reemplacemos los valores la ecuación queda en función de c. Por tanto es necesario generar un gráfico de c contra f (c). La tabulación (para el gráfico) es la siguiente:

c 2 4 6 8 10 12 14 Gráfico

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f(c)

Elabore un gráfico de c contra f (c), Para que valor de c, f (c) = 0 Qué relación tiene este valor con la velocidad, v

EL MÉTODO DE BISECCIÓN En general, si f(x) es real y continúa en el intervalo que va desde xl hasta xu y f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, es decir,

f(xl) f(xu) < 0

(Ec 3)

Entonces hay al menos una raíz real entre xl y xu. Los métodos de búsqueda incremental aprovechan esta característica localizando un intervalo en el que la función cambie de signo. Entonces, la localización del cambio de signo (y, en consecuencia, de la raíz) se logra con más exactitud al dividir el intervalo en varios subintervalos. Se investiga cada uno de estos subintervalos para encontrar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más en la medida que los subintervalos se dividen en intervalos cada vez más pequeños.

Los pasos son los siguientes

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El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Veamos una aplicación Planteamiento del problema. Emplee el método de bisección para resolver el problema anterior del paracaidista.

Solución. El primer paso del método de bisección consiste en asignar dos valores iniciales a la incógnita (en este problema, c) que den valores de f(c) con diferentes signos. En la figura1 se observa que la función cambia de signo entre los valores 12 y 16. Esto

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es lo que debieron haber obtenido en el ejercicio anterior (método gráfico) Por lo tanto, la estimación inicial de la raíz Xr se encontrará en el punto medio del intervalo

Fig 1

Xr = (12 + 16)/2 = 14 Dicha aproximación representa un error relativo porcentual verdadero de Et = 5.3% (note que el valor verdadero de la raíz es 14.7802). A continuación calculamos el producto de los valores en la función en un límite inferior y en el punto medio:

f(12)f(14) = 6.067(1.569) = 9.517 Pueden notar que el valor es mayor a cero y, por lo tanto, no ocurre cambio de signo entre el límite inferior y el punto medio. En consecuencia, la raíz debe estar localizada entre 14 y 16. Entonces se crea un nuevo intervalo redefiniendo el límite inferior como 14 y determinando una nueva aproximación corregida de la raíz

Xr = (14 + 16)/2 = 15 la cual representa un error porcentual verdadero Et = 1.5%. Este proceso se repite para obtener una mejor aproximación. Por ejemplo,

f(14)f(15) = 1.569(–0.425) = –0.666 7

Por lo tanto, la raíz está entre 14 y 15. El límite superior se redefine como 15 y la raíz estimada para la tercera iteración se calcula así:

Xr = (14 + 15)/2 = 14.5 Que representa un error relativo porcentual Et = 1.9%. Este método se repite hasta que el resultado sea suficientemente exacto para satisfacer sus necesidades. Terminamos el ejemplo diciendo que el método se repite para obtener una aproximación más exacta de la raíz. Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe terminar el método. Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. En el ejercicio pueden observar que el error relativo baja de 5.3 a 1.9% durante el procedimiento de cálculo. Puede decidirse que el método termina cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo, al 0.1%. Dicha estrategia es inconveniente, ya que la estimación del error en el ejercicio anterior se basó en el conocimiento del valor verdadero de la raíz de la función. Éste no es el caso de una situación real, ya que no habría motivo para utilizar el método si se conoce la raíz. Por lo tanto, se requiere estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raíz. Se puede calcular el error relativo porcentual Ea de la siguiente manera:

Ec (4) donde Xr nuevo es la raíz en la iteración actual y Xr anterior es el valor de la raíz en la iteración anterior. Se utiliza el valor absoluto, ya que por lo general importa sólo la magnitud de ea sin considerar su signo. Cuando Ea es menor que un valor previamente fijado es, termina el cálculo. Continúe con el ejercicio que acabamos de desarrollar hasta que el error aproximado sea menor que el criterio de terminación de Es = 0.5%. Use la ecuación (4) para calcular los errores.

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iteración

Xi

Xu

Xr

Ea

Et

1 2 3

12 14 14

16 16 16

14 15 14.5

6.667 3.448

5.279 1.487 1.896

Continúen las iteraciones hasta que Ea < Es, donde Es el valor preestablecido (0.5%)

ESCENARIOS EN EXCEL Graficación de funciones Vamos a ilustrar una de las formas en que se puede graficar en una hoja electrónica Excel una función como f(x) = 5Cos (4x)+4, con x variando en el intervalo [-5,10].

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Podemos hacerlo de tal forma que se puedan cambiar los límites inferior y superior de este intervalo y que la gráfica se actualice inmediatamente. Para empezar, es conveniente ubicar los valores a y b del intervalo en dos celdas específicas; por ejemplo, digitando el valor –5 en la celda B3 y el valor 10 en la celda B4. Al hacerlo de esta forma, toda operación que dependa de los valores a y b, incluyendo la gráfica de f(x) se actualizará cuando cambiemos estos valores. También es conveniente definir una longitud de paso h y un número n de puntos a evaluar para formar los puntos (xi, f (xi)), con xi = a+ih, para i=0, 1,..., n, h = (b-a)/n. En este caso, se puede dejar n fijo en 100 y calcular h, editándolo en la celda B6, como + (B4-B3)/100. Ahora en la celda C5 iniciamos nuestro rango de valores de la variable x, editando el valor +B3. En la celda C6 editamos el valor +C6+B$6. El símbolo $ se utiliza para dejar fijo el número de fila. Esta celda se copia hacia abajo 100 veces o cualquier otra cantidad que se quiera, pero al hacerlo 100 veces estamos seguros de que vamos a graficar en el intervalo [a, b]. Una forma de introducir la función f(x) sería digitando la fórmula directamente en la celda D6: +5*COS (C6)+4. Luego se copia hacia abajo hasta completar la tabla de puntos (xi, f (xi)). La ventaja de introducir el criterio de f(x) de esta forma es que es más directa y asequible para el usuario habitual de Excel. La desventaja es que se introduce de una forma no tan cercana a la escritura matemática y puede resultar incómodo al tener que hacerlo en una celda, que aunque se extienda como renglón, ciertamente es un espacio muy reducido. Otra forma de introducir f(x) es mediante una caja de diálogo. A grandes rasgos, a la fórmula introducida se le aplica un corrector de sintaxis, seguido de un evaluador de funciones. Pero el enfoque que doy a continuación es mediante el uso de macros. En el contexto en que se programan los macros la edición de la función no se hace directamente en las celdas, sino en el editor de Visual Basic. Para definirla, se hace lo siguiente: De la manera más práctica simplemente teclean Alt F11 y les aparece esta pantalla

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Seguidamente le dan insertar y en ese cuadro de diálogo le dan módulo y les aparece la siguiente pantalla

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Y en la nueva pantalla introducen las siguientes instrucciones Function f(x) f = 5*Cos(x) +3 End Function Ahora se digita en la celda D6: +f (C6) en lugar de la forma en que se hizo antes, se copia hacia abajo, hasta completar el rango de puntos, produciendo exactamente el mismo efecto. Finalmente, marcamos el rango de puntos con sus dos coordenadas y hacemos uso del asistente para gráficos hasta obtener una gráfica como en la figura 1.

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Fig. 2 Gráfica obtenida de f(x) = 5Cos(4x)+4.

Como es bien sabido, el uso adecuado de los colores es muy importante para para crear ambientes de enseñanza y aprendizaje más lúdicos. En este caso, sin pretender que se ha hecho la mejor escogencia de colores, se ha seguido la forma habitual en Excel para celdas o rangos de celdas, así como para el formato para gráficas. La gráfica de esta función en particular, puede servir para tratar temas como periodicidad, amplitud, dominio, ámbito, traslaciones verticales y horizontales, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, ceros de f(x), haciendo las variaciones que se requieran. La visualización gráfica que tenemos de la función también nos permite localizar intervalos en los que se halla una solución de la ecuación f(x) = 0. Por ejemplo, puede notarse que en el intervalo [3,5] existe un cero p de f(x), por lo que se puede redefinir el intervalo [a, b] como [3,5] para focalizar la gráfica (Ver figura 3) y luego aplicar algún método numérico para calcular en forma aproximada el valor de p.

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Gráfica de una función en un intervalo

6 5 4

f(x)

3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

-1 -2

x

Fig. 3. Focalización de la gráfica de f(x) = 5Cos (4x)+3 en el intervalo [3,5].

Solución de ecuaciones en una variable: El método de bisección Como ya se expresó anteriormente, si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b], en caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, es bien conocido que el Teorema de los Valores Intermedios asegura la existencia de una raíz p de f(x) en el intervalo [a,b]. Por ser el algoritmo de bisección uno de los métodos más sencillos de cálculo aproximado de raíces de funciones, se ha escogido éste para ilustrar la forma en que se pueden resolver una ecuación, de manera aproximada, en Excel. ab Para iniciar el proceso, se calcula el punto medio m  . Luego se verifica, tal y 2 como se hizo inicialmente para el intervalo [a,b], si el cambio de signo de f(x) ocurre en el intervalo [a,m] o en [m,b]. Si este cambio ocurre en el primer intervalo, se toma ahora el intervalo [a,b] como [a,m]; en caso contrario, se toma como [m,b]. Este proceso se repite sucesivamente, tomando como aproximación de la raíz el punto medio que se va obteniendo, hasta que el error de aproximación, que puede ba estimarse en la iteración enésima como , sea menor que una tolerancia 2n específicada.

Algoritmo: Entrada: f(x) continua en [a,b], con f(a)f(b)<0. Una Tolerancia Tol. Repita:

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i. m 

ab . 2

ii. Si f (m)=0: . Salida: m. . Parar iii. Si f(a) f (m) <0 redefina b = m. De otra forma, redefina a = m. Hasta que: b-a < Tol, Salida: m Parar.

Implementación del método de bisección en Excel Vamos a ilustrar la forma en que se puede implementar en Excel el algoritmo de bisección con la función g ( x)  3 ln( 2  x)  2 x 3  x 2  2 x  20 en el intervalo [-1,3]. Esta función, como puede notarse, es continua en dicho intervalo. Justamente en este caso se justifica editar g(x) en un macro, debido a la extensión de esta fórmula, pues si lo hiciéramos directamente en la celda C6, habría que digitar: +3*LN (2+C5)+2*C5^3-C5^2-2*C5-20. En un macro, se escribe: Function g(x) g = 3*Log (2+x)+2*x^3-x^2-2*x-20 End Function Para tener una idea de la gráfica de g(x) se procede a definir los extremos del intervalo, a=-1, b=3 y a evaluarla en las celdas correspondientes, tal y como se explicó para la función f(x).

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30 25 20 15

g(x)

10 5 0 -1.5

-1

-0.5

-5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-10 -15 -20 -25

x

Fig. 4 Función g ( x)  3 ln( 2  x)  2 x 3  x 2  2 x  20 .

Al principio nuestra hoja electrónica luce más o menos así:

Fig. 5. Hoja electrónica para implementar el método de bisección.

Las celdas B5 y D5 contienen los valores extremos del intervalo [a, b] con que inicia ab el algoritmo. La celda B2 contiene el punto medio m  , por lo que se digita en 2 esta celda + (B5+D5)/2. En la celda H5 se ha digitado la fórmula + (D5-C5)/2, que sirve como cota del error con que m aproxima al cero de g(x). En las celdas E5, F52 y G5 se ha digitado, respectivamente, +g(B5), +g(C5) y +g(D5), que corresponden a g(a), g(m) y g(b).

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Para decidir el nuevo intervalo en que queda encerrado el cero de g(x), cuyos extremos se van a escribir en las celdas B6 y D6: En la celda B6, se escribe: +SI (g (B5)*g (C5) <0, B5, C5). En la celda D6, se escribe:

+SI (g (C5)*g (D5) <0, D5, C5).

Luego se copian los cálculos de la fila 5 que faltan en la fila 6. Finalmente, se copia todo el contenido de la fila 6 hacia abajo, tantas veces como sea necesario, hasta lograr la precisión deseada, para obtener la siguiente tabla de aproximaciones:

Figura 6 Resultado del método de bisección para resolver la ecuación

3 ln( 2  x)  2 x 3  x 2  2 x  20  0 , en el intervalo [-1,3]. En la figura 6 se presentan los cálculos para la aproximación, finalizando con un error menor que 6X10-5. Una aproximación de un cero de g(x) sería el valor x=2.34466553, el cual se encuentra en la celda C20.

Finalmente, cabe destacar que estas dos aplicaciones didácticas del Excel se han tomado a manera de ejemplo de la forma en que se puede utilizar la hoja electrónica en la enseñanza de muchos otros conceptos..

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6. Conclusiones. Podemos utilizar más ampliamente la hoja electrónica Excel o su equivalente en otros sistemas operativos para la enseñanza de conceptos matemáticos sin tener que recurrir a software adicional, con su correspondiente costo por licenciamiento y con su curva de aprendizaje para el profesor y para el estudiante. Esta utilización puede ser desde muy sencilla, recurriendo a pocos recursos de programación, hasta mucho más sofisticada, en cuanto al ingreso de parámetros y formatos de salida y que requiere de más recursos de programación. El enfoque de esta contribución ha sido el primero, pero tratando de sembrar la semilla para una mayor profundización y diversificación por parte de los estudiantes.

Bibliografía:

1. Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. Ed. Thomson, 6a. ed., 1998. 2. De Levie, Robert. Advanced Excel for Scientific Data Analysis. Oxford University Press, 2004. 3. Liengme, B.; A Guide to Microsoft Excel 2002 for Scientists and Engineers. Butterworth Heinemann, 3rd, ed. 2002. 4. Mathews, J; Fink, K. Numerical Methods with MATLAB. Prentice Hall, 3a. ed., 2000. 5. Press, W.; Teukolsky, S.; Vterling, W.; Flannery, B. Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 2nd ed., 1992.

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