Metodos Cuaderno 1.docx

CUADERNO METODOS NUMERICOS

ELABORADO POR Alexandra Aguirre Mogollón (5152302)

GRUPO 2

CARRERA Ingeniería de petróleos

DOCENTE ING. Néstor Agudelo

ASIGNATURA Métodos Numéricos

FUNDACION UNIVERSIDAD DE AMERICA BOGOTA, 2017

INTRODUCCION Los métodos numéricos son técnicas para resolver por medio de operaciones aritméticas problemas matemáticos. Estos pueden ser aptos para solución de problemas enfocados en este caso a la ingeniería en un sistema de programación como lo enseñaremos a continuación (Excel), aprendiendo un buen manejo de los software existentes para todos los métodos vistos a continuación, aumentando nuestra habilidad en el manejo de computadoras y sobretodo aumentando nuestra comprensión y análisis sobre datos e información matemática de principios básicos.

OBJETIVO GENERAL Encontrar soluciones aproximas que nos ayuden a resolver problemas matemáticos, utilizando algoritmos y ecuaciones simples para el entendimiento de estas, requiriendo igualmente conocimientos teóricos y prácticos en integrar, derivar, sumar, restar, contar etc…

OBJETIVOS ESPECIFICOS -

Lo más importante es entender que siempre habrá un error, ninguna medida es exacta, teniendo en cuenta que no por esto sean válidas las equivocaciones.

-

Resolver ecuaciones sin solución analítica.

-

Resolver integrales, ecuaciones diferenciales, derivadas por medio de métodos específicos para poder llegar a un valor teórico.

-

Interpolar datos de una función.

1. UNIDAD 1.1 TEORÍA DE ERRORES CONCEPTOS -

Medir: Establecer cuantas veces esta una unidad patrón e un espacio. Exactitud: Grado de acercamiento absoluto a un valor real. Precisión: Grado de acercamiento relativo a un valor real.

TIPOS DE ERRORES -

Sistemáticos: Aquellos que se generan a condiciones externas que afecten el instrumento de medición, generalmente el fabricante debe establecer la magnitud del signo con la que se afecta la medición

Ejemplo: se mide una distancia entre dos puntos A Y B en dos zonas diferentes (Bogotá y Barranquilla), creando así una variación en la medida por el cambio de temperaturas. Bogotá:

A

B

∆X

Girardot:

A

B

B’

∆X = 1 mm/ 1ºC

AB = AB’ - ∆X

-

Accidentales: Son aquellos debidos a las limitaciones de observación de la maquina o ser humano que haga la medida, se presentan de forma aleatoria ‘’ Al azar’’ y se puede moderar bajo la teoría de la probabilidad.

Ejemplo:

.

1.2 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DEL VALOR REAL -

Depuración de datos: Eliminando las EQUIVOCACIONES

-ϭ

ϭ

µ

𝑓(𝑥) =

1

1 𝑥−𝜇 2 ) 𝜎

√2𝜋 ∗ 𝜎

∗ 𝑒 −2(

Como la integral no tiene solución analítica estandarizamos

𝑍𝑖 =

𝑥𝑖 − 𝜇 𝜎

DONDE: - xi : Dato - 𝜇: Medida poblacional - 𝜎: Desviación estándar - 𝑍𝑖: nº de divisiones estándar que esta xi con respecto a la 𝜇 “Como no se tiene 𝝁 𝐧𝐢 𝝈”

𝝁≅𝒙

𝝈=𝒔

∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑥= 𝑛

∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)2 √ 𝑠= 𝑛−1

Reemplazando lo anterior en I

𝑍𝑖 =

𝑥𝑖 − 𝑥 𝑠

-1 ≤ Zi ≤ 1 Ejercicio Tomamos todos los datos Xi y hallamos el promedio

Seleccionamos todos los datos para saber su desviación estándar

Se calcula Zi para saber los datos equivocados (Sabemos que son los datos erróneos al ver que no se encuentran en el rango de Zi)

1.3 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS PARA LA 𝝁 VALOR REAL (CLASE 2) ∝

𝑥+𝑡2∗

𝑠 √𝑛

Límite superior

LA INFERENCIA ∝

𝑥−𝑡2∗

𝑠 √𝑛

Límite inferior

-

DONDE: 𝜇 : Media poblacional 𝑥: Promedio de datos depurador “Estimador puntual” ∝ 𝑡 2 : Valor critico en la distribución “t” de student, para un intervalo de confianza “1- ∝”, con 𝜗 = 𝑛 − 1 grados de libertad. S: Desviación estándar de los datos depurados n : Tamaño de la muestra ∝ 𝑠 𝑡 2 ∗ 𝑛:Error de estimación

-

Distribución “t” student

-

√

1- ∝

𝝁

1- 1- ∝ Intervalo de confianza : El % que cubre las infinitas muestras de tamaño n que están entre los límites de la inferencia

Ejercicio

n=3 1- ∝ = 0,95 V= 3 -1= 2

0,95 0.025

CALCULO DE PROMEDIO

CALCULO DESVIACION ESTANDAR

TAMAÑO DE MUESTRA

0.025

VALOR CRÍTICO

ERROR DE ESTIMACION

CALCULO LIMITE SUPERIOR

CALCULO LIMITE INFERIOR

a. PROPAGACION DE ERRORES

Ejercicio

Se realiza la tabla para definir los siguientes datos :

ESTIMADOR PUNTUAL ÁREA Y DIAGONAL

ERROR DE ESTIMACIÓN ÁREA Y DIAGONAL

CALCULO LIMITE SUPERIOR EN AREA Y DIAGONAL

El límite inferior se halla igual que el límite superior solamente se hace cambio de signo (-)

TRABAJO DE PRÁCTICA

Al tener una tabla de datos se halla el promedio y desviación estándar para luego hallar los Zi

Se realiza la siguiente tabla de datos

SE REALIZAN LOS MISMOS PASOS PARA TODAS LAS VARIABLES EN ESTE CASO (T) “temperatura”. Al tener ya todos los datos se realiza la tabla de propagación de errores con el promedio del estimador puntual y los errores de estimación

Se hacen todas las matrices mostradas anteriormente con sus respectivas derivadas parciales.

Resultados finales del ejercicio

b. POLINOMIO DE TAYLOR Consiste en aproximar una función mediante un polinomio “n” entorno a un punto del dominio de la función “Xo”

 

Error absoluto: |f(x)-Pn(x)| 𝑓(𝑥)−𝑃𝑛(𝑥) Error relativo : 𝐸𝑟 = | 𝑓(𝑥) | ∗ 100

SERIE DE TAYLOR

NOTA: Excel solo lee hasta 15 decimales

Ejercicio Aproximar f(x)=

𝒙𝟐 √𝒙𝟐 +𝟏

En torno a Xo=1 mediante un polinomio de Taylor grado3

Se evalúa cada derivada hasta el grado 3 en Xo=1 Función en Xo

1era derivada

2da derivada

3era derivada

Se realiza la tabla de Taylor tomando valores en xi desde -1 hasta 3 para el valor en Xo=1, con intervalos de 0,1 Se halla el valor de la función con los nuevos (Xi)

Luego hallaremos el valor del polinomio reemplazando todos los términos encontrados anteriormente en las derivadas, ya teniendo estos datos los replicamos

Por ultimo encontraremos el error relativo Hasta 3

Error absoluto

GRAFICA POLINOMIO

Polinomio de taylor 3.5 3 2.5

Axis Title

2 f(Xi)

1.5

P3(Xi)

1 0.5 0

-2

-1

-0.5

0

1

2

3

4

Axis Title

GRAFICAS ERRORES Error absoluto

Error absoluto 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4

Error absoluto

0.3 0.2 0.1 0 -2

-1

-0.1

0

1

2

3

4

Error relativo

Error relativo 2000

1500

1000 Error relativo 500

0 -2

-1

0

1

2

3

4

-500

2. UNIDAD 2.1 SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE Una ecuación 𝒙𝟐 = 𝟏

𝒙 = ±𝟏 Si la ecuación dada la igualamos a cero

𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 Como función (Solución analítica)

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏

Graficando: podemos ver las raíces de la función coinciden con la (s) soluciones de la ecuación. “En el MÉTODO GRAFICO se debe conocer la raíz, para así mismo saber el intervalo a tomar para la solución de la ecuación, tomando un numero grande de decimales para aumentar su precisión, dentro de este intervalo se puede ir aumentando hasta alcanzar el número de precisión indicado realizando una cantidad determinada de zoom”

2.2 BISECCION: Esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio para funciones continuas, que establece que si f es continua en [a,b] y si k es un número entre f(a) y f(b) , entonces existe por lo menos un c (a,b) tal que f(c)=k.

𝑃𝑛 = (

𝑎+𝑏 ) 2

Las iteraciones van según la tolerancia establecida PRIMERA BISECCION SEGUNDA BISECCION F(a)*F (b) <0 se trasladó al lim. superior

F(a)*F(b) >0 se trasladó al lim inferior

Ejercicio Si tenemos

−𝒙

𝒙

𝒙 𝒙𝟐 −𝟏

−𝒆

Esta ecuación la igualamos a Cero

𝑥

−𝑥

−

𝑥 2 −1 𝑥 𝑒

+ 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝟎. 𝟒𝟕 = 0,47 + ln(𝑥 2 + 1) − 0.47 = 0 = 0,47

Y luego la dejamos en términos de función Determinamos el valor de (a,b), en este caso tomaremos como a= 2,25 y b= 2,5 Pasamos a Excel a realizar la siguiente tabla

3 Se ubican los valores de a; b

4 Hallar Pn

5 F(a) es la función hallada en términos de (a)

6 F(Pn) es la función hallada en términos de Pn

7 F(a)*f(Pn)

8 La tolerancia en el primer valor no aplica AL PASAR AL SEGUNDO TERMINO DE (a y b), SE PONEN LOS SIGUIENTES CONDICIONALES QIE NOS AYUDARAN A LLEGAR AL VALOR APROXIMADO CON EL MENOR ERROR POSIBLE

A)

B) Se duplican los valores hasta llegar a la tolerancia establecida en este caso 1 ∗ 106

Y se establecen los datos finales

2.3 METODO REGLA FALSA (Regula falsi): Este método es similar al método de Bisección en el sentido de que se generan sub-intervalos [an,bn], que encierran a la raíz a, pero esta vez xn no es el punto medio de [an,bn], sino el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos (an, f(an)), (bn,f(bn)), con el eje x.

Las primeras dos iteraciones de regula falsi. La curva roja muestra la función f; las líneas azules, las secantes.

Algoritmo del método regla falsa

Ejercicio Solucionar

Sabemos que el intervalo esta entre: a) 2,25 y b) 2,5 Evaluaremos la función entre a y b f(a) y f (b)

Luego hallamos Pn

Evaluamos la función en Pn

Ahora hallamos f(a)*f(Pn)

LA TOLERANCIA EN EL PRIMER VALOR NO APLICA

En este método solo cambia b y ya que será siempre el mismo se usa el siguiente condicional

Replicamos la fila para poder hallar la tolerancia

Y para terminar se replican los datos hasta llegar a la tolerancia deseada a. METODO NEWTON – RHAPSON: es un algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

La función f se muestra en azul y la línea de la tangente en rojo). Vemos que x {{n+1}} es una aproximación mejor xn para la x de la función. Algoritmo:

Demostración es:

𝑋𝑛 = 𝑋𝑖 −

𝑓(𝑋𝑖) 𝑓′(𝑋𝑖)

Ejercicio Solucionar

Se realiza la siguiente tabla

Como es intervalo abierto podemos tomar cualquier valor que este dentro del domino de la función, para luego evaluar f(Xi)

Calculamos la derivada en (Xi)

Evaluamos el algoritmo

Según el algoritmo este valor se toma como un nuevo Xi que se tendrá que Evaluar nuevamente en cada uno de los parámetros de la tabla para terminar replicando los datos y llegar a la tolerancia deseada

La tolerancia aplica desde el segundo valor encontrado

Siendo este método uno de los más rápidos y con menos iteraciones

b. METODO DE LA SECANTE: el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de NewtonRaphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.

Pendiente de la recta secante:

Algoritmo:

Ejercicio

Se realiza la siguiente tabla

Como es intervalo abierto podemos tomar cualquier valor que este dentro del domino de la función, para luego evaluar

Hallamos X-1 en este caso

Evaluamos la función con los valores de Xi y Xi-1

Hallamos el valor del algoritmo

La tolerancia en el primer valor no aplica, pasamos hallar los nuevos valores teniendo en cuenta que xi toma el valor de (xi-1) del dato anterior y (xi-1) toma el valor hallado en Xn

Para hallar la tolerancia

Y para terminar replicamos los datos hasta la tolerancia dada

c. METODO PUNTO FIJO: El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es otro método para hallar los ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0, se reordena en una forma equivalente: F(x) = 0 x - g(x) = 0 x = g(x) Observe que si c es un cero de f(x), f(c)=0 y c=g(c). (Siempre que se tenga c=g(c) se dice que c es un punto fijo de la función g). Para aproximar un cero de f se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g (xn) , n = 0, 1, 2, 3, . Donde x0 es una aproximación inicial del cero de f.

Donde x = g(x)-F(x)

Ejercicio

Hacemos los respectivos despejes de la función dada G (1) G (2) G (3) Ya teniendo los despejes remplazamos los Xi en la función

Como en todos los casos la tolerancia en el primer valor no aplica. Así que seguimos con el segundo valor de 2Xi que es igual al primer valor hallado del despeje en Xi

Reemplazamos todos los despejes con el nuevo Xi La tolerancia se calcula

Se replican los datos de cada despeje hasta la tolerancia dada, en este caso algunos despejes no llegan a la tolerancia ya que algunas funciones al ser evaluadas dan error numérico por valores negativos, en este caso hay que seguir despejando hasta que alguno de los despejes de la tolerancia

No llego a la tolerancia despeje 3

Si llega a la tolerancia despeje 1

TRABAJO DE PRÁCTICA Solucionar por todos los métodos vistos

-Bisección:

Se reemplaza en f(a)

Se reemplaza en f (Pn)

Se halla f(a)*f (Pn)

En el primer valor la tolerancia no aplica así que vamos a calcular los segundos valores

La tolerancia

Se replican los valores hasta llegar a la tolerancia dada

-Regla falsa Reemplazamos los valores

Hallamos Pn

F(a)*F (Pn)

Hallamos la tolerancia con los segundos valores

Tolerancia

Replicamos hasta la tolerancia dada

-

Newton Rhapson

Reemplazamos f’ (Xi)

Hallamos el algoritmo

Hallamos los segundos valores

La tolerancia

Replicamos hasta la tolerancia dada

-Método secante

Reemplazamos

Segundos valores de la tabla

Hallamos la tolerancia

Y replicamos los datos -

Método punto fijo

Se realizan todas las derivadas posibles En este caso la única que llega a la tolerancia es la segunda derivada Reemplazamos

Tolerancia

Replicamos hasta la tolerancia

En todos los métodos se debe llenar la siguiente tabla (En todos los métodos son los mismos valores).

3. UNIDAD SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES 3.1 ECUACIONES NO LINEALES -Newton en varias variables

Jacobiano: es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

EJERCICIO

Realizan las matrices correspondientes para hallar sus respectivos valores

En estas dos primeras celdas se ponen valores cualesquiera para evaluar la matriz de las derivadas parciales del jacobiano.

Solución jacobiano reemplazando en este caso (1,2) siendo 1(x) y 2(y)

1.

2.

3.

4. Se calcula la inversa

Se reemplaza F1, 2(XY)^(K-1)

Luego hallaremos el valor de Y1,2(K-1) con la matriz inversa

Xk,yk

La tolerancia

En este método si aplica la primer iteración y la réplica de datos es diferente a todas las demás anteriores, en este método se replica de dos en dos partiendo en los siguientes valores

Hasta llegar a la tolerancia deseada para X y Y

3.2 ECUACIONES LINEALES -

Método Jacobi

Sistema matricial

Dónde: - A: Matriz de los componentes del sistema - X:Matriz incógnitas - Y: Matriz de los términos independientes

EJERCICIO

Tenemos que hallar los valores de x,y,z Creamos la matriz X para saber el valor de las incógnitas

Replicamos los datos

3.2 ECUACIONES LINEALES -

Método Jacobi

La matriz de los coeficientes del sistema debe ser diagonal dominante

“Se pueden intercambiar filas o columnas para la convergencia” Una vez verificada que es dominante en la diagonal se despeja el sistema por la dominante (X,Y,Z)

EJERCICIO

Ya sabemos el valor de las incógnitas ahora hacemos la siguiente tabla

Le damos cualquier valor inicial a X,Y y Z, la tolerancia en los primeros datos no aplica

Reemplazamos los valores de cada variable con su respectiva derivada

La tolerancia se halla en X, Y y Z

Se replican los datos hasta la tolerancia establecida

-

Método gauss seidei

Es igual que el método hasta los despejes de las incógnitas, solo cambia en la programación del Excel para que converja más rápido.

En este caso las incógnitas se evalúan de la siguiente manera

Y así sucesivamente hasta llegar a la tolerancia deseada con menos iteraciones.

4. UNIDAD 4.1 INTERPOLACION POLINOMICA POR MINIMOS CUADRADOS Estimar sobre un modelo generado a partir de datos experimentales de 2 o más variables -

Caso 1 El polinomio pasa por las observaciones

Polinomio de ajuste P(x) a0+a1x + 𝒂𝟐𝒙𝟐 …….𝒂𝒏𝒙𝒏 Grado del polinomio =(n-1) El objetico es hallar los coeficientes del polinomio, entonces el modelo es: 𝑎0 (𝑎1) = (𝑥 𝑡 ∗ 𝑥)−1 ∗ (𝑥 𝑡 ∗ 𝑦) 𝑎𝑛

EJERCICIO

Se genera la matriz x, siendo esta una matriz de 5*5

Reemplazando cada uno de los valores de x, en la matriz Generando luego la matriz transpuesta.

Haciendo la matriz Y

Hacemos la solución de los factores.

Matriz transpuesta * Matriz x

Matriz Transpuesta * Matriz y

Hallamos los coeficientes del polinomio

Matriz primer factor* Matriz segundo factor y para finalizar hallamos p(x)

GRAFICA

Demanda en terminos del precio 90 80 70 60 50

40 30 20 10 0 0

10

20

30 P(x)

40

50

Y(ventas)Demandas

60

70

80

-

Caso 2 El polinomio pase por el centro de los datos

El grado del polinomio nos ayuda a ser más asertivo el método, en este caso solamente cambia el grado escogido y el grafico al caso visto anteriormente

EJERCICIO

Datos X y Y

Hallamos el promedio de Y ( Ventas)

En base al comportamiento de los datos escogeremos un polinomio de grado 3

Hallamos la matriz transpuesta

La matriz y

Cálculo de los factores Primer factor

La matriz transpuesta*Matriz X

Segundo factor

La matriz transpuesta* Matriz y Coeficientes del polinomio

Matriz del primer factor*Matriz segundo factor Hallamos P(x) (Ῡ)

Calculamos (Yi-Ŷ)2

(Yi-Ῡ)2

Hacemos la sumatoria para hallar SSE SST

Calculamos R2

GRAFICAMOS

Ventas VS Precio P3(x) 90 80 70

Ventas

60 50 40

Polinomio de ajuste

30

Datos

20

10 0 35

40

45

50

55

60

65

70

75

Precios

-

Polinomio de LaGrange El polinomio de interpolación de LaGrange, simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas.

EJERCICIO

Calcular rango

Escogemos un número determinado de intervalos y hallamos el paso (h)

Hacemos la tabla

Calculamos Ln0, Ln1, Ln2 y p (X)

P(X)

Para el segundo término colocamos el siguiente condicional

Reemplazamos y replicamos los datos hasta encontrar todos los y GRAFICAMOS 12 10

AXIS TITLE

8 6

POLINOMIO DE LAGRANGE

4

y

2 0 -4

-2

0

2 AXIS TITLE

4

6

8

5. UNIDAD 5.1 DERIVACION NUMERICA -

Método de diferencia progresiva

Pendiente de la recta secante en forma de derivada

“Si el problema nos pide calcular el error relativo hay que calcular el valor real de la derivada”

EJERCICIO

Valor real ya derivada la función

Calculamos el algoritmo

Calculo del error

-

Método tres puntos

-

EJERCICIO

Valor real

Algoritmo

Error

5.2 INTEGRACION NUMERICA - Método del trapecio Es un método de integración, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal, que pasa a través de los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.

𝑨=

𝒉 ′ (𝒃 + 𝒃) 𝟐

EJERCICIO

Calculamos valor analítico

Indicamos el N° de integrales y el paso (h)

Suma de trapecios con los resultados del algoritmo

Tabla trapecio

F (Xi)

Algoritmo

Para los segundos valores se pone el siguiente condicional

Se replican los datos hasta que las integrales lleguen al límite superior de la integral

-Método Simpson n=2

A partir de los 3 datos se genera un polinomio de LaGrange “P2(x)” que al integrarlo da el área bajo la curva

ℎ (𝐹(𝑥𝑜) + 4 ∗ 𝐹(𝑥1) + 𝐹(𝑥2)) 3

EJERCICIO

Calculamos valor analítico

Indicamos el N° de integrales y el paso (h)

Suma de trapecios con los resultados del algoritmo

Para hallar cada uno de los puntos X0, X1, X2 se deja un espacio intermedio

Error

Para el segundo valor ponemos el siguiente condicional

Se replican los datos hasta llegar al límite superior de la integral definida

-

Método Simpson n=3

A partir de los 4 datos se genera un polinomio de grado 3 que al integrarlo da

3ℎ (𝐹(𝑥0) + 3 ∗ (𝐹(𝑥1) + 3 ∗ 𝐹(𝑥2) + 𝐹(𝑥3)) 8 EJERCICIO

Calculamos valor analítico

Indicamos el N° de integrales y el paso (h)

Suma de trapecios con los resultados del algoritmo

Para hallar cada uno de los puntos X0, X1, X2 se deja dos espacios intermedio

Error

Para el segundo valor ponemos el siguiente condicional

Se replican los datos hasta llegar al límite superior de la integral definida

TRABAJO DE PRÁCTICA - Método trapecio

Se hacen los pasos anteriormente mostrados -

Método Simpson n =2

Se hacen los pasos anteriormente mostrados -

Método Simpson n=3

Se hacen los pasos anteriormente mostrados 5.3 ECUACIONES DIFERENCIALES -

Método Runge- Kutta En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales.

Orden 4

EJERCICIO

Calculo del paso (h)

Tomamos como ti = 0 y Wi = 1

Para los segundos valores se ponen los siguientes condicionales

Se evalúa cada K

Evaluamos Wi (Algoritmo)

Replicamos los datos hasta llegar al valor del límite superior.

Terminando con este tema todo el programa de métodos numéricos.

CONCLUSIONES

-

Por medio de este software podemos realizar problemas matemáticos complejos, siendo esta una herramienta útil para casos de ingeniería y la ciencia.

-

El concepto de error es esencial en el cálculo numérico, con esto es importante hacer un seguimiento ya que nos ayudara a estimar el grado de aproximación de la solución obtenida.

-

Encontrar en secuencias de algoritmos y operaciones una solución para el problema dado

-

Cada método tiene su diversa forma de solución dependiendo al problema dado (Teoría de errores, integrales, derivadas, interpolaciones, ecuaciones lineales y no lineal y mas).