Metodo De La Rigidez_100.pdf

CURSO: ANALISIS ESTRUCTURAL II

Análisis de Estructuras Estáticamente Indeterminadas Como sabemos una estructura se cualquier tipo se clasifica como:  Isostática  Hiperestática

Para resolver las estructuras estáticamente indeterminadas tenemos:  Método de la fuerza  Método de la rigidez

Método de Análisis Cuando analicemos cualquier estructura es necesario satisfacer los siguientes requisitos:  Equilibrio

 Se satisface cuando las reacciones mantienen en reposos a la estructura.

 Compatibilidad

 Se cumple cuando los diferentes elementos de la estructura se ajustan.

 Fuerza – Desplazamiento

 Dependerá de la forma en que responda el material:  Elástico  No lineal

Estos requisitos se satisfacen de dos maneras y aplicando: Método de la fuerza o de las flexibilidades Método de la rigidez o de los desplazamientos

El método de la fuerza: El método de fuerza fue desarrollado originalmente por James Clerk Maxwell en 1864 y luego refinado por Otto Mohr y Heinrich Müller - Breslau. Fue uno de los primeros para resolver o analizar estructuras estáticamente indeterminadas. Conocido como el método de la compatibilidad o de los desplazamiento consistentes, empleado con la finalidad de determinar las fuerzas redundantes.

El método de la fuerza: Se requiere de ecuaciones que satisfagan requisitos de :  Compatibilidad  Fuerza – desplazamiento

Calculo de fuerzas redundante

Con las ecuaciones de equilibrio se determinan las demás

El método de la fuerza:

El método de la fuerza:

Ejemplo:

El método de la fuerza:

Ejemplo:

El método de la fuerza:

Ejemplo:

Finalmente, reemplazamo en la ecuación de compatibilidad, tenemos:

El método de la fuerza:

Método del Desplazamiento: Este método esta basado en escribir primero las ecuaciones que relacionan fuerza y el desplazamiento para los elementos, para luego satisfacer los requisitos de equilibrio de la estructura. Aquí las incógnitas son desplazamientos. Una vez calculado los desplazamientos, las fuerzas se hallan con las ecuaciones de compatibilidad y de fuerzadesplazamiento . Actualmente, los software están basados y desarrollado en base a este método matricial

Incógnitas

Método de la Fuerza

Fuerzas

Ecuaciones usadas para la solución

Compatibilidad Fuerza-desplazamiento

Método del desplazamiento

Desplazamientos

Equilibrio Fuerza-desplazamiento

Coeficientes de las incógnitas

Coeficientes de flexibilidad

Coeficientes de rigidez

Aprenderemos los fundamentos básicos del método de la rigidez para el análisis de estructuras. Veremos que es un método tedioso para ejecutarlo manualmente, pero muy eficaz cuando nos valemos de una computadora.

Fundamentos: Las estructuras podemos analizarlos empleando métodos matriciales: El método de la rigidez o de los desplazamientos y también el método de la fuerza o de la flexibilidad.

En adelante emplearemos el método de rigidez o de los deplazamientos basado puramente en matrices.

Fundamentos del Método de la Rigidez: Este método se emplea en analizar:  Estructuras estáticamente determinadas ISOSTATICAS  Estructuras estáticamente indeterminadas HIPERESTATICAS

En este método los desplazamientos y las fuerzas se obtiene de forma directa, y es mas con el apoyo de una computadora los cálculos se puede realizar de un modo eficiente.

Finalmente:

No olvidemos que la computadora y los programas no analizan, no decide y no resuelve problemas, solo procesan datos.

Finalmente:

Sabemos, que las aplicaciones de la computadora dejaron atrás los métodos antiguos para analizar estructuras.

Finalmente:

Pero los métodos clásicos enseñan al estudiante de como se comportan las estructuras bajo las cargas y con cual pueden validar los procesado por una computadora.

Analizaremos:  Armaduras  Vigas

 Marcos

ANÁLISIS DE ARMADURAS

ANÁLISIS DE ARMADURAS  Subdividir la estructura en elementos finitos discretos.  Determinar las propiedades de fuerza-desplazamiento de cada elemento.  Relacionar estas propiedades mediante ecuaciones de equilibrio de fuerzas escritas en los nodos.  Estas relaciones de toda la estructura se agrupan en una matriz de rigidez de la estructura K  Una vez establecido K se determinan los desplazamientos desconocidos de los nodos.  Finalmente se determinan las fuerzas externas e internas utilizando las relaciones de fuerzadesplazamiento para cada elemento.

Definiciones y conceptos preliminares  Para una armadura los elementos finitos son cada uno de los elementos que la componen.  Identificar los extremos de cada elemento como nodo que son la juntas en una armadura.  Cada elemento tiene dos extremos conocidos como cercano “F” (near) y lejano “N” (far) o inicio y fin.  Identificar las cargas (vector).  Identificar los desplazamiento (vector) en cada nodo.

Definiciones y conceptos preliminares

Coordenadas Globales.- usado para la estructura en general “x,y” es único y sirve para especificar el sentido de cado uno de sus componentes de la fuerzas externas y el desplazamiento en los nodos (son cantidades vectoriales).

Definiciones y conceptos preliminares  Coordenadas Locales.- o de cada elemento, se emplea para especificar el sentido de dirección de sus desplazamientos y las cargas internas de cada elemento x’ y y’

Definiciones y conceptos preliminares  Indeterminación cinemática: Los nodos de una estructura cargada experimentan desplazamientos desconocidos, al cual se le conoce como grados de libertad, estos desplazamientos desconocidos son incógnitas, el numero de estas incógnitas se conoce como el grado en que la estructura es cinematicamente indeterminada.

Definiciones y conceptos preliminares  Indeterminación cinemática:

Definiciones y conceptos preliminares  Indeterminación cinemática:

ANÁLISIS PARA ARMADURAS

Enumerar cada elemento con un número encerrado dentro de un cuadro.

ANÁLISIS PARA ARMADURAS

Enumerar los nodos encerrados en un circulo.

ANÁLISIS PARA ARMADURAS

Identificar los extremos cercano (inicio) y lejano (final) de cada elemento mediante una flecha, hacerlo de manera arbitraria.

ANÁLISIS PARA ARMADURAS

Enumerar los desplazamientos en cada uno de los nodos, siempre considerar los desplazamientos conocidos con los números mas altos.

ANÁLISIS PARA ARMADURAS

ANÁLISIS PARA ARMADURAS

Matriz de rigidez de un elemento

Haciendo:

1

′ 𝑞𝑁 𝑘11 ′ 𝑞𝐹 = 𝑘21

′ 𝑘12 𝑑𝑁 ′ 𝑑𝐹 𝑘22

𝐴𝐸 = = 𝑑 𝐿 𝑁 𝐴𝐸 ′′ ′ 𝑞𝑁 = 𝐾12 𝑑𝑁 = − 𝑑 𝐿 𝐹 𝐴𝐸 ′ 𝑞𝐹′ = 𝐾21 𝑑𝑁 = − 𝑑 𝐿 𝑁 𝐴𝐸 ′ 𝑞𝐹′′ = 𝐾22 𝑑𝑁 = 𝑑 𝐿 𝐹 ′ 𝑞𝑁

′ 𝐾11 𝑑𝑁

′ 𝑘𝑖𝑗 = representa la fuerza en el extremo “i” cuando se impone un desplazamiento unitario en el extremo “j”.

Fuerza Aplicada en

Restringido en

Desplazamiento en

Junta cercana (1)

Junta Lejana (2)

Junta cercana (1)

Junta cercana (1)

Junta cercana (1)

Junta Lejana (2)

Junta Lejana (2)

Junta Lejana (2)

Junta cercana (1)

Junta Lejana (2)

Junta cercana (1)

Junta Lejana (2)

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZA Y DESPLAZAMIENTO

𝐿=

(𝑥𝐹 − 𝑥𝑁 )2 +(𝑦𝐹 − 𝑦𝑁 )2

Transformaremos las fuerzas “q” y los desplazamientos “d” de coordenadas locales a coordenadas globales.  El eje x’ esta definido por los ángulos directores 𝜃𝑥 y 𝜃𝑦  Las coordenadas de los extremos N y F son; (xN,yN) y (xF,yF), respestivamente. Por tanto los cosenos directores son los siguientes:

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTO

Que puede escribirse en forma matricial como: Haciendo:

2

MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZA

Que puede escribirse en forma matricial como:

Haciendo:

3

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DEL ELEMENTO

De las ecuaciones (1) y (2) :

Tenemos:

4

Reemplazando esta ecuación (4) en (3):

Tenemos:

Matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales

5

Como sabemos: Además, TT, k’ y T son matrices conocidas, entonces:

Realizando las operaciones matriciales, obtenemos:

Aplicación del método de la rigidez para el análisis de armaduras Ecuación de rigidez para la estructura tipo armadura: Q = Componente de fuerza globales D = Desplazamientos globales K = matriz de rigidez

Sabemos:

Lo llamaremos ecuación de rigidez de la estructura

Como siempre hemos asignado los números mas bajos para identificar los grados de libertad no restringidos, eso nos permite ahora… hacer la partición de la ecuación matricial de la siguiente manera:

Donde: Qk, Dk = cargas externas y desplazamientos conocidos Qu, Du = cargas (reacciones) desconocidas y desplazamientos desconocidos K = matriz de rigidez de la estructura, que se parte para ser compatible con las particiones de Q y D. Entonces, resolviendo, la última ecuación tenemos: Generalmente: Dk = 0 Entonces:

de aquí, se calculan los desplazamientos:

De igual manera, se calculan las reacciones desconocidas:

Para calcular los desplazamientos en cada elemento aplicamos:

Al expandir esta ecuación tenemos:

Como qN = - qF para el equilibrio, solo debemos encontrar una de esas fuerzas.

Análisis de Vigas

Comentarios Preliminares  Cada elemento debe estar libre de carga