Metode Pt Aproximarea Functiilor.docx

Universitatea din Oradea Facultatea de Protecție a Mediului

Metode pentru aproximarea funcțiilor

Coordonator:Venter Adela

Student:Ardelean Valentina Specializare:Controlul si expertiza produselor alimentare An:2

2016-2017

Cuprins 1 .Autobiografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 . Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 . Aplicații . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 . Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 . Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2

Autobiografie

Pentru început,am să împart cu voi o bucată din viața mea personală. Cine sunt eu? Sunt o persoană sociabilă,amabilă,drăguță cu cei din jurul meu,uneori prea perfecționistă,competitiva,enervantă, modestă,dar de cele mai multe ori sunt un om normal,care greșește,care are frământări interioare, care a fost foarte fericit si cumplit de nefericit,care a iubit,care s-a pierdut pe sine dar s-a regăsit de fiecare dată. Această persoana este Ardelean Valentina Ramona .Provin din comuna Sanislău, județul Satu Mare și sunt studentă în anul II la Facultatea de Protecție a Mediului din Oradea,în cadrul departamentului: Ingineria Produselor Alimentare cu specializarea: Controlul și expertiza produselor alimentare. Cum am ajuns eu aici? Să începem cu începutul.După studiile gimnaziale,m-am înscris la Liceul Teoretic din Carei, profil: Științe ale naturii.Văzând ca îmi place foarte mult chimia,am hotarât să dau și BAC-ul din chimie urmând ca apoi să mă înscriu la Facultatea de Chimie și Inginerie Chimica din Cluj.Am intrat, doar că eram la taxă.După lungi povești cu ai mei, am hotărât că e mai bine să mă înscriu și la alte facultați.Am venit la Oradea,primul lucru pe care l-am făcut a fost să merg să mă înscriu la Facultatea de Chimie iar la insistențele unei prietene m-am înscris și la Facultatea de Protecție a Mediului ceea ce nu îmi pare rău,deoarece acolo am găsit profesori universitari care m-au îndrumat și m-au făcut să vreau să fiu acolo cu ei,să fiu în facultatea lor. Am mai ales această facultate,deoarece îmi doresc să devin inginer și pentru că, este o facultate de viitor și îmi voi putea cu ușurință găsi un loc de muncă . În final,chiar dacă drumul inițial nu era acesta,după primul an,mi-am dat seama că nu am făcut o greșeală când am ales în cele din urma această facultate,deoarece îmi place ceea ce fac aici și în cele din urmă acesta este visul si drumul pe care trebuie să îl urmez.

‚,Când îţi doreşti ceva cu adevărat, Universul întreg conspiră în favoarea ta.” -Paulo Coelho

3

Introducere

Tema pe care am ales să o prezint în această lucrare este ’’Metode pentru aproximarea funcțiilor ’’și am să încep cu definiții,teoreme, aplicații si în cele din urmă concluziile. Metode pentru aproximarea funcțiilor: Noțiunea de aproximare într-un mod general o formulăm considerând mulțimea D și fie funcția d:DxDR se numește semimetrică pe D dacă satisface: a) d(x,y)≥ 0, d(x,x) =0, (∀) x,y∈ D b) d(x,y)= d(y,x) , (∀) x,y∈ D c) d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y), (∀) x,y,z∈ D Definiție 1: În conluzie pentru a defini polinomul de interpolare avem nevoie de n numere reale distincte 𝑥1 ,𝑥 2 ,....,𝑥𝑛 și de n numere reale arbitrare . ̅̅̅̅̅ Căutăm un polinom P∈ R[x] de grad≤ 𝑛 − 1, care satisface: P(𝑥𝑖 ) = 𝑦𝑖 , ∀ 𝑖=1, 𝑛 Teorema 1: Fie 𝐴 ⊆ R o mulțime f: AR o funcție și 𝑥1 ,𝑥 2 ,....,𝑥𝑛 ∈ 𝐴,n puncte distincte.(∃) 𝑃 ∈ R[x] un polinom grad ≤ 𝑛 − 1 unic determinat a.î. 𝑓 (𝑥𝑖 ) = 𝑃(𝑥𝑖 ), ∀ 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 unde polinomul P poate fi reprezentat sub forma : n

n

𝑃(𝑥) = ∑ f(xj ) ∙ ∏ 𝑗=1

i=1

n

n

x − xi , 𝑥 ∈ 𝐑, i ≠ j xj − xi

Definiția 2 : Polinomul 𝑃(𝑥) = ∑ f(xj ) ∙ ∏ 𝑗=1

i=1

x − xi , 𝑥 ∈ 𝐑, i ≠ j xj − xi

Se numește polinom de interpolare a lui Lagrange,asociat funcției 𝑓 și punctelor 𝑥𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 care îl vom nota cu 𝐿𝑛−1 (𝑥) sau 𝐿(𝑥1,𝑥 2 ,....,𝑥𝑛 ;𝑓) . Teorema 2: Dacă 𝑓: [𝑎, 𝑏] 𝐑 o funcție de n ori derivabilă și 𝑥1 ,𝑥 2 ,....,𝑥𝑛 ∈ : [𝑎, 𝑏] , n puncte distincte și 𝑃𝑛−1 polinomul de interpolare asociat lui 𝑓 și punctelor 𝑥𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 4

𝑓(𝑥1 , 𝑥 2 , . . . . , 𝑥𝑛 ) =

𝑓(𝑥1 ,𝑥 2 ,....,𝑥𝑛 )− 𝑓(𝑥1 ,𝑥 2 ,....,𝑥𝑛−1 ) 𝑥𝑛 −𝑥1

, pentru orice sistem de n

puncte distincte 𝑥1 , 𝑥 2 , . . . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝐴. Funcțiile astfel definite se numesc diferențe divizate ale lui 𝑓 de ordinul 1,2,..,n-1. Teorema 3: Polinomul de interpolare 𝑃𝑛−1 asociat lui 𝑓 și punctelor distincte 𝑥1 , 𝑥 2 , . . . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝐴. Atunci 𝑃𝑛−1 poate fi: 𝑃𝑛−1 (𝑥) = 𝑓 (𝑥1 ) + 𝑓 (𝑥1 ; 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥1 ; … ; 𝑥𝑛 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1 ) Teorema 4: Pentru a determina eroarea care se comite cand facem aproximarea 𝑓(𝑥) ≈ 𝐿𝑛−1 (𝑥),pentru o funcție 𝑓 ∈ ∁𝑛 [𝑎, 𝑏] Continuă cu derivate continue până la ordinul n,utilizăm: 𝑅𝑛−1 (𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝐿𝑛−1 (𝑥), care este evaluată prin inegalitatea |𝑅𝑛−1 (𝑥)| ≤

|(𝑥−𝑥1 )(𝑥−𝑥2 )…(𝑥−𝑥𝑛 )| 𝑛!

∙ max |𝑓 (𝑛) (𝑥)| 𝑥∈[𝑎,𝑏]

(2)

Definiția 3: Polinomul 𝑛

𝑖−1

𝑁𝑛−1 (𝑥) = 𝑓(𝑥1 ) + ∑ 𝑓(𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑖 ) ∏(𝑥 − 𝑥𝑗 ) 𝑖=1

𝑗=1

𝑥 ∈ R, se numește polinomul de interpolare a lui Newton asociat lui 𝑓 și punctelor 𝑥𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛

5

Aplicații

1.Fie funcția 𝑓: [ 36,64 ] R , definită prin 𝑓(𝑥) = √𝑥 , să se scrie polinomul de interpolare a lui Lagrange relativ la nodurile 𝑥1 = 36 𝑥2 = 49 𝑥3 = 64 , care reprezintă microorganismele aflate în lapte, iar apoi să se interpoleze 𝑓(40) = √40,folosind acest polinom de interpolare și să se estimeze eroarea comisă. Rezolvare: grad 𝐿𝑛−1 (𝑥) ≤ 𝑛 − 1 =>

n=3; grad 𝐿3−1 (𝑥) ≤ 2

𝑓 (𝑥1 ) = √𝑥1 = 6 ; 𝑓 (𝑥2 ) = √𝑥2 = 7;

𝑓 (𝑥3 ) = √𝑥3 = 8

Polinomul de interpolare a lui Lagrange va avea gradul 2: (𝑥−𝑥2 )(𝑥−𝑥3 )

𝐿2 (𝑥) = 𝑓 (𝑥1 ) (𝑥

1 −𝑥2 )(𝑥1 −𝑥3

(𝑥−49)(𝑥−64)

(𝑥−𝑥1 )(𝑥−𝑥3 )

+ 𝑓 (𝑥2 ) (𝑥 )

2 −𝑥1 )(𝑥2 −𝑥3

(𝑥−36)(𝑥−64)

(𝑥−𝑥1 )(𝑥−𝑥2 )

+ 𝑓(𝑥3 ) (𝑥 )

(𝑥−36)(𝑥−49)

3 −𝑥1 )(𝑥3 −𝑥2 ) 𝑥 2 −64𝑥−49𝑥+3136

𝐿2 (𝑥) = 6 (36−49)(36−64) + 7 (49−36)(49−64) + 8 (64−36)(64−49)=6 +7 +8

𝑥 2 −64𝑥−36𝑥+2304 2401−3136−1764+2304

+8

𝑥 2 −36𝑥−49𝑥+1764 4096−3136−2304+1764

=6

1296−2304−1764+3136

𝑥 2 −113𝑥+3136 364

+7

𝑥 2 −100𝑥+2304 −195

+ +

𝑥 2 − 85𝑥 + 1764 420

Voi simplifica ce se poate,după voi amplifica fracțiile ca să aibă același numitor 𝐿2 (𝑥) =

12285𝑥 2 − 1388205𝑥 + 38525760 − 26754𝑥 2 + 2675400𝑥 − 61641216 + 14196𝑥 2 − 745290

−1206660𝑥+25041744 745290

=−

273𝑥 2 745290

+

80535𝑥 745290

+

1926288 745290

= −0,000366300𝑥 2 + 0,10805𝑥 +

+2,58461

𝑓(40) = 6,3245553 𝐿2 (40) = −0,000366300 ∙ 402 + 0,10805 ∙ 40 + 2,58461 = 6,32053 𝑓(40) ≈ 𝐿2 (40)

Evaluarea erorii comise este dată de: |𝑅𝑛−1 (𝑥)| ≤ |𝑅2 (40)| ≤

|(𝑥−𝑥1 )(𝑥−𝑥2 )(𝑥−𝑥3 )| 𝑛!

∙ max |𝑓 (𝑛) (𝑥)| - polinomul lui Newton 𝑥∈[𝑎,𝑏]

|(40 − 36) ∙ (40 − 49) ∙ (40 − 64)| ∙ max |𝑓 ′′′ (𝑥)| 𝑥∈[36,64] 3!

6

𝑓 ′ (𝑥) = (√𝑥)’=

1

2√𝑥

𝑓 ′′ (𝑥) = (

1 2√𝑥

′

1

1

2

√𝑥

′ 1

1

1

1

2

2

1

1

3

) = ∙ ( ) = ∙ (𝑥 −2 ) = ∙ (− ) ∙ 𝑥 −2−1 = − ∙ 𝑥 −2 2

4

3 ′ 3 3 5 1 1 1 3 3 3 1 3 1 𝑓′′′ (𝑥) = (− ∙ 𝑥 −2 ) = − ∙ (𝑥 −2 )′ = − ∙ (− ) ∙ 𝑥 −2−1 = ∙ 𝑥 −2 = ∙ 5 = ∙ 2 4 4 4 2 8 8 2 8 √𝑥 5 𝑥 3 1 = ∙ 2 8 𝑥 √𝑥

′ max |𝑓 ′′′ (𝑥)| = 𝑓′′ (36) =

𝑥∈[36.64]

3 1 3 1 3 ∙ = ∙ = 8 362 √36 8 7776 62208

Ne întoarcem în polinomul de interpolare a lui Newton și înlocuim: |𝑅2 (40)| ≤

|4 ∙ (−9) ∙ (−24)| 3 ∙ 1∙2∙3 62208

|𝑅2 (40)| ≤

|864| 3 ∙ 6 62208

|𝑅2 (40)| ≤ 0,0069444

=>

𝐿2 (40) aproximează pe √40 cu o eroare ce nu depășește pe 0,0069444

2.Să se scrie polinomul de interpolare a lui Newton asociat funcției 𝑓 (𝑥) = cos 𝜋𝑥, 𝑥 ∈ R și monstrele de lapte sunt 𝑥1 = aproximați valoarea luicos

3𝜋 4

1 2

, 𝑥2 =

2 3

5

, 𝑥3 = ,apoi 6

.Folosind acest polinom de interpolare să se

estimeze eroarea comisă. Rezolvare: Polinomul de interpolare Newton are următoarea formă: 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛; 𝑛 = 3 𝑛

𝑖−1

𝑁𝑛−1 (𝑥) = 𝑓 (𝑥1 ) + ∑ 𝑓(𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑖 ) ∏(𝑥 − 𝑥𝑗 ) 𝑖=1

𝑗=1

1

𝑓 (𝑥1 ) = cos(𝜋 ∙ )=cos 90° = 0 2

2 1 𝑓(𝑥2 ) = cos(𝜋 ∙ ) = cos 120° = − 3 2 5 √3 𝑓(𝑥3 ) = cos (𝜋 ∙ ) = cos 150° = − 6 2 7

Deducem:𝑁2 (𝑥) = 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) (1) 1 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) − 2 − 0 1 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) = = = − ∙ 6 = −3 2 1 𝑥2 − 𝑥1 2 3−2 1 √3 𝑓(𝑥3 ) − 𝑓(𝑥2 ) − 2 − (− 2) 1 − √3 𝑓(𝑥2 , 𝑥3 ) = = = ∙ 6 = 3 − 3√3 5 2 𝑥3 − 𝑥2 2 − 6 3 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) =

𝑓(𝑥2 , 𝑥3 ) − 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) 3 − 3√3 − (−3) 6 − 3√3 6 = = = 6 − 3√3 ∙ = 18 − 9√3 2 5 1 𝑥3 − 𝑥1 2 6 6−2 1

1

2

3

(1)=> 𝑁2 (𝑥) = 0 + (−3) (𝑥 − 2) + (18 − 9√3) (𝑥 − 2) (𝑥 − 3) = −3𝑥 + 2 + (18 − −9√3) ∙

= =

(6𝑥 2 −4𝑥−3𝑥+2) 6

=

−18𝑥+9+(18−9√3)(6𝑥 2 −4𝑥−3𝑥+2) 6

=

−18𝑥+9+108𝑥 2 −72𝑥−54𝑥+36− 54√3𝑥 2 +36√3𝑥+27√3𝑥−18√3

=

6

−144𝑥 + 108𝑥 2 − 54√3𝑥 2 + 63√3𝑥 − 18√3 + 45 𝑥 2 (108 − 54√3) + 𝑥(63√3 − 144) − 18√3 + 45 = 6 6

cos

3𝜋 4

= cos 𝜋𝑥 =>

3𝜋 4

= 𝜋𝑥 => 𝑥 =

3 4

3 2 3 130,2233 104,64237 (4) (108 − 54√3) + (4) (63√3 − 144) − 18√3 + 45 − + 13,8231 3 16 4 𝑁2 ( ) = = 4 6 6

3 8,13895 − 26,1605 + 13,8231 4,1985425 𝑁2 ( ) = =− = −0,6997 ≈ −0,7 4 6 6

cos

3𝜋 4

=−

√2 2

= −0,70001 ≈ −0,7 =>aproximarea :cos 3 1

3 2

4

3

3

4

4

≈ 𝑓 ( ) ≈ 𝑁2 ( ) ≈ −0,7

3 5

3

(4−2)(4−3)(4−6)

4

1∙2∙3

Evaluarea erorii:(2) => 𝑅2 ( ) ≤

3𝜋

∙ max |𝑓 ′′′ (𝑥)| 15 𝑥∈[2,6]

𝑓 ′ (𝑥) = (cos 𝜋𝑥)′ = − sin 𝜋𝑥 ;𝑓 ′′ (𝑥) = (− sin 𝜋𝑥)′ = − cos 𝜋𝑥 ; 𝑓 ′′′ (𝑥) = (− cos 𝜋𝑥)′ = sin 𝜋𝑥

1 𝜋 max |𝑓 ′′′ (𝑥)| = 𝑓 ′′′ ( ) = 𝑠𝑖𝑛 = 1 15 2 2 𝑥∈[ , ] 26

1 1 1 | 4 ∙ 12 ∙ (− 12) | 3 𝑅2 ( ) ≤ ∙1 4 6 3

3

3𝜋

4

4

𝑅2 (4) ≤ 0,000289 => 𝑁2 ( )aproximează pe cos

8

cu eroarea 0,000289

Concluzii

Pentru determinarea polinoamelor de interpolare, care depind de , microorganismele din lapte, am folosit Metode pentru aproximarea funcțiilor cum ar fi polinomul de interpolare a lui Lagrange și polinomul de interpolare a lui Newton. Polinomul de interpolare a lui Lagrange arată caracterul liniar al polinomului de .cu formula: 𝐿2 (𝑥) = 𝑓(𝑥1 )

(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥3 ) (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) + 𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) (𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥3 ) (𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥2 − 𝑥3 ) (𝑥3 − 𝑥1 )(𝑥3 − 𝑥2 )

S-a dedus această formă,după exemplul dat.După aceea s-a aproximat valoarea dată.Pentru a se determina eroarea care se comite când facem aproximarea 𝑓(𝑥) ≈ 𝐿2 (𝑥),pentru o funcție,se continuă cu derivate continue până la ordinul n care este evaluată prin inegalitate. Polinomul de interpolare a lui Newton există și este unic determinat , poate fi reprezentat sub forma determinată a lui Newton. 𝑁2 (𝑥) = 𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) Și la acest polinom de interpolare am determinat eroarea care se comite când facem aproximarea. La final, am să compar cele două polinoame de interpolare, cum ar fi cel a lui Lagrange respectiv a lui Newton. Cea mai mică eroare comisă dintre cele două polinoame de interpolare este polinomul de interpolare a lui Newton care are eroarea de 0,000289 .

9

Bibliografie

1 . Adela Venter,Metode pentru aproximarea funcțiilor-curs 2, 2016-2017 2 . Constantin Ilioi, Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1980

10