Metode Numerik - Diferensial Newton Terbagi

Al Kahfi

Fajrin Siddiq 0310610029

TUGAS MATA KULIAH

METODE NUMERIK

Disusun Oleh : Fajrin Siddiq 0310610029 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN SIPIL - MALANG 2005 1. Diketahui data hubungan antara temperatur dan kedalaman suatu danau :

Metode Numerik

Al Kahfi

Fajrin Siddiq 0310610029 TEMPERATUR ( CO ) 19.1

a. Buktikan nilai-nilai berikut, ketika mencari

KEDALAMAN (M)

temperatur danau pada kedalaman – 7.5 m 0

dengan menggunakan metode Diferensial

19.1

-1

19

-2

18.8

-3

b0 = 9.9

b2 = 2.05

18.7

-4

b1 = 1.8

b3 = −1.5667

18.3

-5

18.2

-6

17.6

-7

11.7

-8

9.9

-9

9.1

- 10

Newton Terbagi (Interpolasi Kubik) :

Jika diketahui : z0 = −9

z 2 = −7

z1 = −8

z3 = −6

b. Dengan metode yang sama, tentukan temperatur danau pada kedalaman – 7.5 m untuk : z 0 = −10 z 2 = −8 z1 = −9 •

z3 = −7

Penyelesaian : a. Persamaan umum Metode Diferensial Newton Terbagi dengan Interpolasi Kubik : T ( z ) = b0 + b1 ( z − z 0 ) + b2 ( z − z 0 )( z − z1 ) + b3 ( z − z 0 )( z − z1 )( z − z 2 ) Diketahui : z 0 = −9

T ( z 0 ) = 9.9

z1 = −8 z 2 = −7

T ( z1 ) = 11.7

z 3 = −6

T ( z 3 ) = 18.2

T ( z 2 ) = 17.6

• T ( z 0 ) = b0 + b1 ( z 0 − z 0 ) + b2 ( z 0 − z 0 )( z 0 − z1 ) + b3 ( z 0 − z 0 )( z 0 − z1 )( z 0 − z 2 ) 9.9 = b0 + 0 + 0 + 0

b0 = 9.9

• T ( z1 ) = b0 + b1 ( z1 − z 0 ) + b2 ( z1 − z 0 )( z1 − z1 ) + b3 ( z1 − z 0 )( z1 − z1 )( z1 − z 2 ) 11.7 = b0 + b1 (−8 + 9) + 0 + 0

b1 = 11.7 − 9.9

11.7 = 9.9 + b1 (1)

b1 = 1.8

Metode Numerik

Al Kahfi

Fajrin Siddiq 0310610029

• T ( z 2 ) = b0 + b1 ( z 2 − z 0 ) + b2 ( z 2 − z 0 )( z 2 − z1 ) + b3 ( z 2 − z 0 )( z 2 − z1 )( z 2 − z 2 )

17.6 = b0 + b1 (−7 + 9) + b2 ( −7 + 9)(−7 + 8) + 0 17.6 = 9.9 + 1.8(2)(1) + b2 (2) 17.6 = 9.9 + 3.6 + b2 ( 2) b2 =

17.6 − 13.5 2

b2 = 2.05

• T ( z 3 ) = b0 + b1 ( z 3 − z 0 ) + b2 ( z 3 − z 0 )( z 3 − z1 ) + b3 ( z 3 − z 0 )( z 3 − z1 )( z 3 − z 2 ) 18.2 = b0 + b1 (−6 + 9) + b2 ( −6 + 9)(−6 + 8) + b3 (−6 + 9)(−6 + 8)(−6 + 7) 18.2 = 9.9 + 1.8(3) + 2.05(3)(2) + b3 (3)(2)(1) 18.2 = 9.9 + 5.4 + 12.3 + b3 (6) b3 =

18.2 − 27.6 6

b3 = −1.5667

Dari hasil perhitungan diperoleh : b0 = 9.9

b2 = 2.05

b1 = 1.8

b3 = −1.5667

Dengan demikian, nilai-nilai tersebut Terbukti. b. Persamaan Metode Diferensial Newton Terbagi dengan Interpolasi Kubik : T ( z ) = b0 + b1 ( z − z 0 ) + b2 ( z − z 0 )( z − z1 ) + b3 ( z − z 0 )( z − z1 )( z − z 2 ) Dengan : z 0 = −10

T ( z 0 ) = 9.1

z1 = −9 z 2 = −8

T ( z1 ) = 9.9

z3 = −7

T ( z 3 ) = 17.6

T ( z 2 ) = 11.7

Metode Numerik

Al Kahfi

Fajrin Siddiq 0310610029

• T ( z 0 ) = b0 + b1 ( z 0 − z 0 ) + b2 ( z 0 − z 0 )( z 0 − z1 ) + b3 ( z 0 − z 0 )( z 0 − z1 )( z 0 − z 2 ) 9.1 = b0 + 0 + 0 + 0

b0 = 9.1

• T ( z1 ) = b0 + b1 ( z1 − z 0 ) + b2 ( z1 − z 0 )( z1 − z1 ) + b3 ( z1 − z 0 )( z1 − z1 )( z1 − z 2 )

9.9 = 9.1 + b1 ( −9 + 10) + 0 + 0 9.9 = 9.1 + b1 (1) b1 = 9.9 − 9.1

b1 = 0.8

• T ( z 2 ) = b0 + b1 ( z 2 − z 0 ) + b2 ( z 2 − z 0 )( z 2 − z1 ) + b3 ( z 2 − z 0 )( z 2 − z1 )( z 2 − z 2 )

11.7 = 9.1 + 0.8(−8 + 10) + b2 ( −8 + 10)(−8 + 9) + 0 11.7 = 9.1 + 0.8(2) + b2 (2)(1) 11.7 = 9.1 + 1.6 + b2 (2) b2 =

11.7 − 10.7 2

b2 = 0.5

• T ( z 3 ) = b0 + b1 ( z 3 − z 0 ) + b2 ( z 3 − z 0 )( z 3 − z1 ) + b3 ( z 3 − z 0 )( z 3 − z1 )( z 3 − z 2 ) 17.6 = 9.1 + 0.8(−7 + 10) + 0.5(−7 + 10)(−7 + 9) + b3 ( −7 + 10)(−7 + 9)(−7 + 8) 17.6 = 9.1 + 0.8(3) + 0.5(3)(2) + b3 (3)(2)(1) 17.6 = 9.1 + 2.4 + 3 + b3 (6) 17.6 − 14.5 b3 = 0.5167 6 Temperatur danau pada kedalaman -7.5 m : b3 =

T (−7.5) = b0 + b1 (−7.5 − z 0 ) + b2 (−7.5 − z 0 )(−7.5 − z1 ) + b3 (−7.5 − z 0 )(−7.5 − z1 )(−7.5 − z 2 ) T (−7.5) = 9.1 + 0.8(−7.5 + 10) + 0.5(−7.5 + 10)(−7.5 + 9) + 0.5167(−7.5 + 10)(−7.5 + 9)(−7.5 + 8) T (−7.5) = 9.1 + 0.8(2.5) + 0.5(2.5)(1.5) + 0.5167(2.5)(1.5)(0.5) T (−7.5) = 9.1 + 2 + 1.875 + 0.9688 T ( −7.5) =13.944 o C

Metode Numerik

Al Kahfi

Fajrin Siddiq 0310610029

Perbandingan antara nilai temperatur danau pada kedalaman -7.5 m dengan menggunakan Interpolasi Kuadrat, Interpolasi Kubik z 0 = −9 , dan Interpolasi Kubik z 0 = −10 :

Interpolasi z0 Temperatur Kesalahan Relatif

Kuadrat

Kubik

Kubik

-9

-9

-10

o

14.138 C ---

o

14.725 C 3.986 %

13.944 o C 5.6 %

Metode Numerik