Metode Grafis Dan Simpleks.docx

Seorang produsen memiliki 2 macam bahan, yaitu bahan I sebanyak 8 ton dan bahan II sebanyak 5 ton berkeinginan untuk memproduksi 2 macam produk A dan B. Untuk 1 unit produk A membutuhkan 2 unit bahan I dan 1 unit bahan II sedangkan untuk 1 unit produk B membutuhkan 3 unit bahan I Dan 2 unit bahan II. Harga pasar untuk Produk A sebesar Rp. 15.000/unit dan Rp.10.000/unit Berapakah produsen tersebut harus memproduksi produk A dan B untuk memproduksi hasil penjualan yang maksimum? Pertanyaan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Buat table optimasinya Buat fungsi tujuanya Buat fungsi kendalanya Buat fungsi dualnya Selesaikan kasus tersebut dengan metode grafik Selesaikan kasus tersebut dengan metode simpleks

Perusahaan Maju Terus merencanakan untuk menginvestasikan uang paling banyak $ 1.200.000. uang ini akan ditanamkan pada 2 buah cabang usaha yaitu P dan Q. setiap unit P memerlukan uang sebesar $50 dan dapat memberikan rate of return per unitnya per tahun sebesar 10% sedangkan untuk setiap unit Q memerlukan uang sebesar $100, namun memberikan rate of return per unit per tahunnya sebesar 4%. Perusahaan tersebut telah mempertimbangkan bahwa target rate of return dari kedua usaha tersebut paling sedikit adalah $60.000 per tahunnya. Kemudian hasil analisis perusahaan memperoleh data bahwa setiap unit P dan Q mempunyai index risiko masing-masing 8 dan 3. Padahal perusahana ini tidak mau menanggung resiko yang terlalu besar. Kebijakan lainnya yang diinginkan oleh pemimpin khususnya untuk cabang usaha P ditargetkan paling sedikit jumlah investasinya adalah $3.0000. Bagaimana penyelesaian persoalan diatas apabila perusahaan bermaksud untuk tetap melakukan investasi tetapi dengan menekan atau meminimasi resiko sekecil mungkin. Berapa unit masingmasing usaha dapat diinvestasikan ?(metode grafis dan metode simpleks) JAWABAN 1. Metode Grafis Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000 50x ≥ 3.000 5x + 4y ≥ 60.000 Grafisnya : 50x + 100y ≤ 1.200.000 50x + 100y = 1.200.000 Jika x = 0 maka y = 12.000, jadi koordinatnya (0,12.000) Jika y = 0 maka x = 24.000, jadi koordinatnya (24.000,0) 50x ≥ 3.000 50x = 3.000 x = 60 5x + 4y ≥ 60.000 5x + 4y = 60.000 Jika x = 0 maka y = 15.000, jadi koordinatnya (0,15.000) Jika y = 0 maka x = 12.000, jadi koordinatnya (12.000,0) Jadi Solusi yang ditawarkan : X

y

Z = 8x + 3y

12.000

0

96.000

24.000

0

192.000

4.000

10.000

62.000

Keterangan

* Minimum

1. Metode Simpleks Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000 50x ≥ 3.000 5x + 4y ≥ 60.000 Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack pada kendala pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga diperoleh : Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2 } }| 50x + 100y + S1 = 1.200.000 50x - S2 + A1 = 3.000 5x + 4y – S3 + A2 = 60.000 Table Simpleks Awal Basis

X1

X2

S1

S2

S3

A1

A2

Z

55M-8

4M-3

0

-M

S1

50

100

1

A1

50

0

A2

5

4

NK

Rasio

-M

0

0

63.000M

0

0

0

0

1.200.000

1.200.000:50=24.000

0

-1

0

1

0

3.000

3.000:50 = 60

0

0

-1

0

1

60.000

60.000 : 5 = 12.000

Iterasi Pertama Basis

X1

X2

Z

0

4M-3

S1

0

X1 A2

S1

S2

S3

A1

A2

NK

0

0,1M-0,16

0

-1,1M+0,16

0

59.700M+480

100

1

1

0

-1

0

1.197.000

1

0

0

-0,02

0

0,02

0

60

0

4

0

0,1

-1

-0,1

1

5700

Rasio

11.970

1.425

Iterasi Kedua Basis

X1

X2

S1

S2

S3

A1

A2

NK

Z

0

0

0

-0,085

M-0,75

-M+0,085

-M+0,75

54.000M+4755

S1

0

0

1

-1,5

25

1,5

-25

1.054.500

X1

1

0

0

-0.02

0

0.02

0

60

X2

0

1

0

0,025

-0,25

-0,025

0,25

1425

Iterasi kedua adalah optimal karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan X1= 60, X2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755

Contoh Persoalan: (Perusahaan Meubel) Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, meja dan kursi yang diproses melalui dua bagian fungsi : perkitan dan pemolesan. Pada bagian perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam perkitan dan 2 jam kerja pemolesan, sedangkan untuk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan 4 jam kerja pemolesan. Laba untuk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000,Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan ? Penyelesaian: Definisi variabel keputusan: Keputusan yang akan diambil adalah berapakah jumlah meja dan kursi yg akan dihasilkan. Jik a meja disimbolkan dengan M dan kursi dengan K, maka definisi variabel keputusan : M = jumlah meja yang akan dihasilkan (dalam satuan unit) K = jumlah kursi yang akan dihasilkan (dalam satuan unit) Perumusan persoalan dalam bentuk tabel:

Perumusan fungsi tujuan: Laba untuk setiap meja dan kursi yg dihasilkan masing- masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000. tujuan perusahaan adalah untuk memaksimumkan laba dari sejumlah meja dan kursi yang dihasilkan . dengan demikian, fungsi tujuan dapat ditulis Fungsi Maks.: Laba = 8 M + 6 K (dalam satuan Rp.10. 000) Perumusan fungsi kendala: Dengan kendala:

4M + 2K ≤ 60 2M + 4K ≤48 Kendala non-negatif: Meja dan kursi yang dihasilkan tidak memiliki nilai negatif. M ≥ 0 K ≥ 0 Ketentuan Penggunaan Tabel Simpleks 1. Fungsi – fungsi batasan menggunakan notasi ≤ 2.Fungsi Batasan harus diubah dari ≤ ke bentuk “=“ dengan menambahkan slack variabl e (variabel surplus) yang dimulai dari Xn+1, Xn+2…. Xn+m 3. Proses pengulangan dihentikan apabila koefisien–koefisien dari fungsi tujuan sudah tidak ada yang negatif

Bentuk tabel simpleks adalah sebagai berikut:

Dimana : m = Banyaknya fungsi Batasan (kendala) n = Banyaknya variable Ouput b 1 = Batasan sumber 1 b 2 = Batasan sumber 2 bm = batasan sumber m Metode SIimpleks Maksimal Untuk implementasi metode simpleks maksimisasi, kasus yang diambil adalah contoh pada perusahaan meubel pada bagian 2. Tahapan-tahapannya dijelaskan pada bagian berikut.

Menentukan fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendala Misalkan x1 = Meja dan x2 = Kursi Fungsi Tujuan : Z = 8x1 + 6x2 Fungsi-fungsi Kendala: 4 x1 + 2 x2 ≤ 60 2 x1 + 4 x2 ≤ 48

Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala ke bentuk standar Bentuk Standar Simpleks: Z - 8x1 - 6x2 = 0 4 x1 + 2 x2 + x3 = 60 2x1 + 4x2 + x4 = 48 Dengan x3 dan x4 adalah variabel s . Membuat tabel simpleks awal Menentukan Kolom Kunci dan Baris Kunci sebagai dasar iterasi.Kolom kunci ditentukan oleh nilai Z yang paling kecil (Negatif) Baris Kunci ditentukan berdasarkan nilai indeks terkecil. Cara menentukan indeks = (Nilai kanan (NK))/(Kolom kunci (KK)) Menentukan nilai elemen cell yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dengan bari s dan kunci.

Langkah-langkah

di

atas

disajikan

pada

tabel

simpleks

berikut

ini

Melakukan Iterasi Dengan menentukan baris kunci baru dan baris- baris lainnya termasuk Z. Membuat baris kunci baris baris kunci baru= (baris kunci lama)/(elemen cell) baris kunci baru (x1 )= [4 2 1 0 60] / 4 = [1 ½

¼ 0 15]

Membuat baris Z baru barisbaris Z baru=baris Z lama-(nilai kolom kunci baris yang sesuai*baris kunci baru) Baris Z baru = [-8

-6

=[0 -2

0 0 0] – (-8)[1 2

0

½

¼

0

15]

120]

Membuat baris variabel baru Baris X4 Baru = Baris X4 Lama – (Nilai Kolom Kunci Baris yang Sesuain* Baris Kunci Baru) Baris X4 Baru =[2 4 0 1 48] – 2[1 = [0

3

-1/2

1

½ ¼ 0 15]

18]

Baris kunci baru (X1 ), baris Z baru, baris X4 baru, nilai-nilainua sidajikan pada tabel simpleks berikut. Tabel simpleks ini adalah tabel simpleks hasil iterasi pertama.

Seorang pengusaha Laptop membuat dua macam tipe, yaitu tipe portable touchscreen (A1) dan tipe flip standar (A2). Kedua jenis laptop dibuat dari bahan yang sama yaitu X dan Y, dengan komposisi yang berbeda. Setiap tipe laptop portable touchscreen dibuat dari campuran 1 unit bahan X dan 3 bahan Y, sedangkan setiap tipe laptop flip standar dibuat dari campuran 2 unit bahan X dan 1 unit bahan Y. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari ia hanya memperoleh 20 unit bahan X dan 20 unit bahan Y. Untuk setiap laptop tipe portable touchscreen yang ia buat, ia memperoleh keuntungan sebesar 300.000. Untuk setiap laptop tipe flip standar, ia memperoleh keuntungan sebesar 200.000. Jika diasumsikan bahwa semua laptop laku terjual, berapa laptop masing-masing tipe harus ia buat agar keuntungan yang didapatkan maksimum? Penyelesaian: Sistem tabel pemodelan Bahan

Laptop tipe Laptop tipe flip standar Pasokan Maksimum portabletouchscreen (A1) (A2)

X

1

2

20

Y

3

1

20

Untung

300.000

200.000

Maksimumkan, f(x1, x2) = 300.000 x1 + 200.000 x2 è 3 x1 + 2 x2 (dalam ratusan ribu) Kendala : x1 + 2 x2 ≤ 20 3 x1 + x2 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0 Penggambaran kendala x1 + 2 x2 ≤ 20, 3 x1 + x2 ≤ 20 dan x1, x2 ≥ 0

Perpotongan bidang yang memenuhi semua kendala disebut daerah fisibel. Daerah fisibel dalam kasus ini disebut daerah fisibel AEDO (bagian yang diarsir pada bagian perpotongan bidang AOB dan bidang COD). Koordinat E dapat dicari dari perpotongan x1 + 2 x2 ≤ 20 dan 3 x1 + x2 ≤ 20 sehingga diperoleh E(4,8). Titik-titik sudut daerah fisibel dapat melihat keuntungan maksimum yang ingin dicapai pengusaha: Titik-titik sudut daerah fisibel

Nilai fungsi , f(x1, x2) = 3 x1 + 2 x2 3 x1 + 2 x2 (dalam ratusan ribu)

O (0,0)

3(0) + 2(0) = 0

A (0,10)

3(0) + 2 (10) = 20

E (4,8)

3(4) + 2(8) = 12 + 16 = 28

D (20/3,0)

3(20/3) + 2(0) = 20

Keuntungan maksimum yang ingin dicapai pengusaha adalah 2.800.000.

PENYELESAIAN DALAM METODE SIMPLEX Contoh Soal : Meminimumkan : Z = 40 X1 + 80X2 dengan syarat ikatan : a). X1 + X2 ³ 4 b). X1 + 3X2 ³ 6 dan X1 ³ 0, X2 ³ 0 Penyelesaian : *) Bentuk Kanonik : X1 + X2 - 1S1 + 0S2 + 1 V1 + 0V2 = 4 X1 + 3X2 + 0S1 - 1S2 + 0 V1 + 1V2 = 6 Meminimumkan : Z = 40 X1 + 80X2 + 0S1 + 0S2 + MV1 + MV2 *) Tabel simpleks :

Karena semua Zj – Cj £ 0, maka tabel sudah minimal, dengan nilai X1 = 3, dan X2 = 1, dan Zminimalnya = 200.