Metode Consistent Deformation-2.pdf

Darmansyah Tjitradi, MT.

METODE CONSISTENT DEFORMATION Metode ini adalah metode yang paling umum untuk menganalisa balok dan portal struktur statis tak tentu.

Persamaan kesetimbangan/statika struktur ada 3, yaitu:

H  0 V  0 M  0

Jumlah komponen reaksi luar:

H V V

ROLL

H H V V

SENDI

H

H

V

M V

M

JEPIT

Metode Consistent Deformation

1

Darmansyah Tjitradi, MT. Derajat Ketidaktentuan Statis adalah jumlah kelebihan komponen-komponen reaksi luar (redundant) dari yang diperlukan untuk kesetimbangan statis. Jika kelebihan perletakan dihilangkan dan diganti dengan gaya atau momen reaksi yang tidak diketahui maka akan diperoleh suatu struktur dasar statis tertentu yang memikul beban dan reaksi-reaksi yang belum diketahui.

V V

ROLL

H V

H V

SENDI

M M H

H V

V

JEPIT Setelah

komponen-komponen reaksi redundant ditemukan dengan memperlihatkan kondisi

geometri maka dua atau tiga komponen yang tersisa dapat dicari dengan persamaan statika.

Metode Consistent Deformation

2

Darmansyah Tjitradi, MT. Konsep penyelesaian Metode Consistent Deformation:

P

A

B

C

D

P B

Gbr. 1

C

B

C

A

D

1 Gbr. 2

B

C

A

D 1

Gbr. 3 B A

C D

Untuk menghitung B dengan Metode Unit Load: Gbr 1. ----- Mx Gbr 2. ----- mx Untuk menghitung C dengan Metode Unit Load: Gbr 1. ----- Mx Gbr 3. ----- mx

Metode Consistent Deformation

3

Darmansyah Tjitradi, MT.

VB C

Gbr. 4

B

’BB = VB.BB

’CB = VB.CB

A

D

1 C

Gbr. 5

B

CB

BB

A

D

1 Gbr. 6

B

C

A

D 1

Gbr. 7 B A

C D

Untuk menghitung BB dengan Metode Unit Load: Gbr 5. ----- Mx Gbr 6. ----- mx Untuk menghitung CB dengan Metode Unit Load: Gbr 5. ----- Mx Gbr 7. ----- mx

Metode Consistent Deformation

4

Darmansyah Tjitradi, MT. VC Gbr. 8

B

C ’BC = VC.BC

’CC = VC.CC

A

D

1 Gbr. 9

B

C

BC

CC

A

D

1 Gbr. 10

B

C

A

D 1

Gbr. 11 B

C

A

D

Untuk menghitung BC dengan Metode Unit Load: Gbr 9. ----- Mx Gbr 10. ----- mx Untuk menghitung CC dengan Metode Unit Load: Gbr 9. ----- Mx Gbr 11. ----- mx Dapat disimpulkan bahwa: Gbr. 2 dan Gbr. 3 = Gbr. 6 dan Gbr. 7 = Gbr. 10 dan Gbr. 11 Sehingga persamaan momennya cukup dibuat satu saja. Kondisi geometri yang harus dipenuhi:

 

 B  ' BB  ' BC  0  B  VB   BB  VC   BC  0

 B   BB     C   CB

 

 C  ' CB  ' CC  0  C  VB   CB  VC   CC  0

 BC  VB  0       , dimana nilai BC = CB (Asas Timbal Balik Betty-Maxwell)  CC  VC  0

Metode Consistent Deformation

5

Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 1: Balok P = 2 ton C EI A 2,0 m

2,0 m

B

Hitunglah reaksi perletakkan dan gaya-gaya dalam balok diatas!

Penyelesaian: 

Hitunglah DKS struktur: DKS = 3 – 2 = 1 (STT derajat 1 )



Ubahlah struktur diatas menjadi Struktur Dasar Statis Tertentu: Diambil sebagai redundant adalah VB dengan melepaskan roll dititik B sehingga diperoleh suatu balok cantilever yang terjepit dititik A dan bebas dititik B(lihat Gambar 1). P = 2 ton A

B

C EI 2,0 m

2,0 m

VB

Gambar 1 Pada balok cantilever ini bekerja beban luar P yang menyebabkan deflection B kebawah pada ujung bebas B (lihat Gambar 2).

P = 2 ton A

B B

C EI 2,0 m

2,0 m

B’

Gambar 2

Metode Consistent Deformation

6

Darmansyah Tjitradi, MT. Sedangkan gaya reaksi redundant VB keatas menyebabkan deflection keatas sebesar ’BB = VB . BB pada ujung bebas B (lihat Gambar 3). B’ ’BB = VB . BB A

B

C EI 2,0 m

2,0 m

VB

Gambar 3 Dimana BB adalah deflection keatas pada ujung bebas B akibat suatu beban 1 satuan dititik B (lihat Gambar 4). B’ BB A

B

C EI 2,0 m

2,0 m

1

Gambar 4 Balok pada soal dapat diperoleh dengan mengabungkan balok pada Gambar 2 dan Gambar 3. Kondisi geometri pada balok ini adalah deflection dititik B ketika P dan VB bekerja bersama-sama pada balok cantilever dasar statis tertentu harus sama dengan nol, jadi:

  B  'BB  0 B  VB  BB  0  VB  B BB Nilai-nilai dari B dan BB dapat dicari dengan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung deformasi suatu struktur, yaitu: 

Metode Double Integrasi



Metode Conjugate Beam



Metode Momen Area



Metode Castigliano



Metode Unit Load.

Metode yang sering digunakan adalah Metode Unit Load.

Metode Consistent Deformation

7

Darmansyah Tjitradi, MT. Lihat Gambar 2: Dengan Metode Unit Load P = 2 ton A

B B

C EI 2,0 m

-------- Mx

B’

2,0 m Gambar 2

1 A

B

C EI 2,0 m

-------- mx

2,0 m

Persamaan Momen: Bentang

Mx

mx

B – C (0 ≤ x ≤ 2)

0

-x

C – A (0 ≤ x ≤ 2)

-P . x = -2 . x

- (x + 2)

LM

B  

0

 mx dx EI

x

 2  x    x  2dx  2  x 2  4  xdx 0  ( x ) dx   0 EI EI EI 0 0 2

B  

2

2

2 x2  4 x 1 2 40   B   dx    x 3  2  x 2    EI EI  3 3  EI 0 0 2

Metode Consistent Deformation

2

8

Darmansyah Tjitradi, MT. Lihat Gambar 4: Dengan Metode Unit Load B’ BB A

B

C EI 2,0 m

-------- Mx

1

2,0 m Gambar 4

A

B

C EI

-------- mx

1 2,0 m

2,0 m

Persamaan Momen: Bentang

Mx

mx

B – C (0 ≤ x ≤ 2)

+ 1 .x = +x

+ 1 .x = +x

C – A (0 ≤ x ≤ 2)

+ 1 . (x + 2) = + (x + 2)

+ 1 . (x + 2) = + (x + 2)

 mx dx EI

LM x

BB  

0 2

 BB  

 x   (x)dx  2 x  2  x  2dx



EI

0

0

2

EI

2

1 1 3  1 1 64     x     x 3  2  x 2  4  x   EI  3 3  EI  0 EI  3 0

BB 

Kondisi geometri pada balok ini adalah deflection dititik B ketika P dan VB bekerja bersamasama pada balok cantilever dasar statis tertentu harus sama dengan nol, jadi:

  B  'BB  0 B  VB  BB  0  VB   B BB VB 

 40  64

3EI   5 ton  8 3EI

Metode Consistent Deformation

9

Darmansyah Tjitradi, MT. Gambar Gaya-Gaya Dalam Balok:

V  0 VA  VB  P 5 11 VA  2    ton  8 8

M A  VB  4  P  2 5 MA    4  2  2 8 3 MA   t  m ( 2

)

P = 2 ton

MA 

3 tm 2

A 2,0 m

VA 

B

C EI 2,0 m

11 ton 8

VB 

5 ton 8

+ 1.25 tm + 1.5 tm

Momen C

A

B

+ 1.375 ton Lintang A

B

C + 0.625 ton

Metode Consistent Deformation

10

Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 2: Balok q =2 t/m

EI

EI A

B 4,0 m

EI C

D

4,0 m

4,0 m

Hitunglah reaksi perletakkan balok diatas!

Penyelesaian: 

Hitunglah DKS struktur: DKS = 4 – 2 = 2 (STT derajat 2 )



Ubahlah struktur diatas menjadi Struktur Dasar Statis Tertentu: Diambil sebagai redundant adalah VB dan VC dengan melepaskan tumpuan roll dititik B dan dititik C, sehingga diperoleh suatu balok sederhana yang terletak diatas 2 tumpuan (lihat Gambar 1). q =2 t/m

B

EI A

EI

EI VC

VB 4,0 m

C

4,0 m

4,0 m

D

Gambar 1 Pada balok sederhana ini bekerja beban luar q yang menyebabkan deflection B kebawah pada ujung bebas B, dan deflection C kebawah pada ujung bebas C (lihat Gambar 2). q =2 t/m

EI

B

B

EI

C C

EI

A

D 4,0 m

4,0 m

4,0 m

Gambar 2

Metode Consistent Deformation

11

Darmansyah Tjitradi, MT. Gaya reaksi redundant VB kebawah menyebabkan deflection dititik B kebawah sebesar ’BB = VB . BB dan deflection dititik C kebawah sebesar ’CB = VB . CB (lihat Gambar 3). VB B

C

’BB = VB.BB

’CB = VB.CB

A

D

Gambar 3 Dimana BB adalah deflection kebawah pada titik B akibat suatu beban 1 satuan dititik B, dan CB adalah deflection kebawah pada titik C akibat suatu beban 1 satuan dititik B (lihat Gambar 4). 1 B

CB C

BB

A

D Gambar 4

Sedangkan gaya reaksi redundant VC kebawah menyebabkan deflection dititik B kebawah sebesar ’BC = VC . BC dan deflection dititik C kebawah sebesar ’CC = VC . CC (lihat Gambar 5). VC B ’ = V . BC C BC

C

’CC = VC.CC

A

D Gambar 5

Dimana BC adalah deflection kebawah pada titik B akibat suatu beban 1 satuan dititik C, dan CC adalah deflection kebawah pada titik C akibat suatu beban 1 satuan dititik C (lihat Gambar 6). 1 B

BC

CC

A

C D

Gambar 6

Metode Consistent Deformation

12

Darmansyah Tjitradi, MT. Balok pada soal dapat diperoleh dengan mengabungkan balok pada Gambar 2, Gambar 3 dan Gambar 5. Kondisi geometri pada balok ini adalah: 

deflection dititik B ketika beban q dan VB bekerja bersama-sama pada balok sederhana statis tertentu harus sama dengan nol.



deflection dititik C ketika beban q dan VB bekerja bersama-sama pada balok sederhana statis tertentu harus sama dengan nol.

Maka dapat dibuat persamaan:

  B  'BB 'BC  0 B  VB  BB  VC  BC  0 .......... .......... .......... (1)

  C  'CB 'CC  0  C  VB  CB  VC  CC  0.......... .......... .......... (2) Persamaan (1) dan (2) dapat diubah dalam format matriks:

B  BB BC  VB  0          C  CB CC  VC  0 dengan menyelesaikan persamaan linier diatas dapat diperoleh nilai redundant VB dan VC. Nilai-nilai dari B, C, BB dan BC, CB dan CC dapat dicari dengan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung deformasi suatu struktur, yaitu: 

Metode Double Integrasi



Metode Conjugate Beam



Metode Momen Area



Metode Castigliano



Metode Unit Load.

Metode yang sering digunakan adalah Metode Unit Load.

Metode Consistent Deformation

13

Darmansyah Tjitradi, MT. Lihat Gambar 2: Dengan Metode Unit Load q =2 t/m

EI

B

B

Mx

C C

EI

EI

A

D 4,0 m

4,0 m

4,0 m

1 mxB

B

C

A

D 1 B

mxC

C

A

D

Persamaan Momen: Mx

mxB

mxC

A – B (0 ≤ x ≤ 4)

4 .x

(2/3) . x

(1/3) . x

B – C (0 ≤ x ≤ 4)

4(x + 4) – x2

(2/3)(x + 4) - x

(1/3)(x + 4)

D – C (0 ≤ x ≤ 4)

.

Bentang

0

 mxB dx EI

4

4  x    2 x 

LM

B  

x

0

(2/3) . x

(1/3) x

4x  4  x 2   32 x  4  x  EI

4

dx  

0

4  x    1 x 

 3 dx EI

4

1  1 4 8 2 128  704   x  x   x   EI 12 3 3 3  EI 0 LM

C  

0

x

 mx C dx EI

1    4  x   x 4

C  

0

C 

4

 3 dx   EI 0

B  

B 

4 x

.

4 4x  4  x 2   31 x  4

 3 dx   EI 0

EI

2    4  x   x 4

dx  

0

 3 dx EI

4

1  1 4 4 3 16 2 64  704     x   x  x   x   EI  12 3 3 3 0 3  EI

Metode Consistent Deformation

14

Darmansyah Tjitradi, MT. Lihat Gambar 4: Dengan Metode Unit Load 1 B

Mx

CB C

BB

A

D 1 mxB

B

C

A

D 1 B

mxC

C

A

D

Persamaan Momen: Mx

mxB

mxC

A – B (0 ≤ x ≤ 4)

(2/3) . x

(2/3) . x

(1/3) . x

B – C (0 ≤ x ≤ 4)

(2/3)(x + 4) – x

(2/3)(x + 4) - x

(1/3)(x + 4)

D – C (0 ≤ x ≤ 4)

(1/3) . x

(1/3) . x

(2/3) . x

Bentang

LM

BB  

x

0

 m xB dx EI

2  2  2  2  1  1  x  x  x  4  x    x  4  x   x  x 4 4 3  3 3 3  3         BB   dx   dx    dx EI EI EI 0 0 0 4 3

BB 

4

1  2 3 8 2 64  256   x  x   x   EI  9 9 9 0 9  EI LM

CB  

x

0

 mx C dx EI

2  1  2  1  1  2  x  x  x  4  x    x  4  x  x 4 4 3  3 3 3  3          CB   dx   dx    dx EI EI EI 0 0 0 4 3

 CB 

4

1  1 3 2 2 32  224  x  x   x    EI  9 9 9 0 9  EI

Metode Consistent Deformation

15

Darmansyah Tjitradi, MT. Lihat Gambar 6: Dengan Metode Unit Load 1 B

BC

CC

Mx

C

A

D 1 mxB

B

C

A

D 1 B

mxC

C

A

D

Persamaan Momen: Mx

mxB

mxC

A – B (0 ≤ x ≤ 4)

(1/3) . x

(2/3) . x

(1/3) . x

B – C (0 ≤ x ≤ 4)

(1/3)(x + 4)

(2/3)(x + 4) - x

(1/3)(x + 4)

D – C (0 ≤ x ≤ 4)

(2/3) . x

(1/3) . x

(2/3) . x

Bentang

LM

BC  

x

0

 m xB dx EI

1  2  1  2  2  1  x  x  x  4   x  4  x   x  x 4 4 3  3 3 3  3         BC   dx   dx    dx EI EI EI 0 0 0 4 3

BC 

4

1  1 3 2 2 32  224   x  x   x   EI  9 9 9 0 9  EI LM

CC  

x

0

 mx C dx EI

1  1  1  1  2  2  x  x  x  4   x  4  x  x 4 4 3  3 3 3  3          CC   dx   dx    dx EI EI EI 0 0 0 4 3

 CC 

4

1  2 3 4 2 16  256  x  x   x    EI  9 9 9 0 9  EI

Metode Consistent Deformation

16

Darmansyah Tjitradi, MT. Maka dapat dibuat persamaan:

  B  'BB 'BC  0 B  VB  BB  VC  BC  0 .......... .......... .......... (1)

  C  'CB 'CC  0  C  VB  CB  VC  CC  0.......... .......... .......... (2) Persamaan (1) dan (2) dapat diubah dalam format matriks:

B  BB BC  VB  0          C  CB CC  VC  0 224   V  0 704  256 3  9 9  B  704  224     256   VC  0   3  9 9  VB    3 20  21160  704 3  22 5  4,40      21    ton 3   704   22   4,40 VC   5 160 20   3  Karena hasilnya negatif maka permisalan arah VB dan VC kebawah salah, jadi yang benar arah VB dan VC adalah keatas. q =2 t/m E A

B

C

VB = 4,40 t VA

4,0 m

4,0 m

D

VC = 4,40 t 4,0 m

VD

 MA  0 ( +)  VD  12  VC  8  VB  4  q  4  6  0  VD  12  4,40  8  4,40  4  2  4  6  0 VD  0,40 ton (  )  MD  0 ( +)  VA  12  VB  8  VC  4  q  4  6  0  VA  12  4,40  8  4,40  4  2  4  6  0 VA  0,40 ton (  ) MB  VA  4  0,40  4  1,60 t.m MC  VD  4  0,40  4  1,60 t.m ME  VA  6  VB  2  q  2  1  0,40  6  4,40  2  2  2  1  2,40 t.m Metode Consistent Deformation

17

Darmansyah Tjitradi, MT. Gambar Gaya-Gaya Dalam Balok:

q =2 t/m MC = 1,60 t.m

MB = 1,60 t.m E A

B

C VC = 4,40 t

VB = 4,40 t VA = 0,40 t

4,0 m

D

4,0 m

4,0 m

VD = 0,40 t

2,40 tm

1,60 tm

1,60 tm

A

B

E

C

D

0,40 ton

0,40 ton

Bidang Momen

4,0 ton

A

0,40 ton

B

C

D

0,40 ton 4,0 ton

Bidang Lintang

Metode Consistent Deformation

18

Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 3: Portal

q = 2 t/m B

EI

4m

C

EI

A

4m

Analisalah portal diatas dengan menggunakan Metode Consistent Deformation:

a. Reaksi perletakan struktur dan kontrol kesetimbangan gayanya. b. Gaya-gaya dalam (M, L, N) c. Gambarkan gaya-gaya dalam tsb.

Metode Consistent Deformation

19

Darmansyah Tjitradi, MT.

Penyelesaian: q = 2 t/m B

4m

EI

HC

EI

A

4m

Gambar 1

4m

= B

VC

C

EI

VC C

Vc   VHC

EI

Gambar 2

A

4m

+ HC B

4m

EI

C

Hc  HVC

Hc   HHC

EI

Gambar 3

A

4m

Kondisi geometri pada portal ini adalah lendutan vertical dan translasi horisontal dititik C harus sama dengan nol, jadi:

 

H  VC  Vc  V VC  Hc  VC  0

  

H HC  Vc  V HC  Hc  HC  0

Metode Consistent Deformation

20

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari VVC dgn Metode Unit Load: 1 B

EI

4m

VVC

C

EI

A

Gambar 1

4m

1 B

4m

EI

C

Gambar 2

EI

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

(Lihat Gbr. 1)

(Lihat Gbr. 2)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

-x

-x

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

- 1. 4 = - 4

- 1. 4 = - 4

Bentang

Mx  mx dx EI 0

L

VVC  



4  4   4dx  64  64   256 ( x )  ( x )   dx   EI EI 3  EI EI 3  EI 0 0 4

V VC

Metode Consistent Deformation

asumsi awal arah 

21

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari VHC dgn Metode Unit Load : 1 B

4m

EI

C

VHC

EI

Gambar 3

A

4m

1 B

4m

EI

C

EI Gambar 4

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

(Lihat Gbr. 3)

(Lihat Gbr. 4)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

-x

0

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

- 1. 4 = - 4

+ 1. x = + x

Bentang

Mx  mx dx EI 0

L

VHC  



4  4   x dx   32 (x)  (0)  dx   EI EI EI 0 0 4

V HC

Metode Consistent Deformation

asumsi arah awal arah 

22

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari HVC dgn Metode Unit Load: 1 B

4m

EI

C

HVC

EI Gambar 5

A

4m

1 B

4m

EI

C

EI Gambar 6

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

(Lihat Gbr. 5)

(Lihat Gbr. 6)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

0

-x

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

+ 1. x = + x

- 1. 4 = - 4

Bentang

Mx  mx dx EI 0

L

HVC  

4  x    4dx   32 (0)  (x) dx   EI EI EI 0 0 4

HVC  

Metode Consistent Deformation

asumsi awal arah 

23

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari HHC dgn Metode Unit Load:

1 B

EI

C

HHC 4m

EI

Gambar 7

A

4m

1 B

4m

EI

C

EI Gambar 8

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

(Lihat Gbr. 7)

(Lihat Gbr. 8)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

0

0

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

+ 1. x = + x

+ 1. x = + x

Bentang

Mx  mx dx EI 0

L

HHC  



4  x    x dx   64 (0)  (0)  dx   EI EI 3  EI 0 0 4

H HC

Metode Consistent Deformation

asumsi arah awal arah 

24

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari  VC dan  HC dgn Metode Unit Load: Dari perhitungan diatas telah didapat: VC

4  16   4dx  256  256   320 ( x 2 )  ( x )  dx   EI EI 4  EI EI EI 0 0 4

4  16   x dx   128 (x 2 )  (0) dx   EI EI EI 0 0 4

HC  

asumsi awal arah 

asumsi arah awal arah 

Kondisi geometri pada portal ini adalah lendutan vertikal dan translasi horisontal dititik C harus sama dengan nol, jadi:

 

H  VC  Vc  V VC  Hc  VC  0

  

H HC  Vc  V HC  Hc  HC  0



320 256 32   Vc   Hc  0   256  Vc  96  Hc  960 EI 3  EI EI



128 32 64   Vc   Hc  0  EI EI 3  EI

 96  Vc  64  Hc  384

 256  96  Vc   960    96  64  Hc    384        Vc  1  64  96   960       Hc  7168  96  256   384 

Vc   24 7    3.42857     6   ton Hc    7   0.857143   q = 2 t/m B

4m

EI

C

VC  EI

MA  HA 

HC 

6 ton A 7

6 ton 7

24 ton 7

8 tm 7 4m

VA  Metode Consistent Deformation

32 ton 7 25

Darmansyah Tjitradi, MT.

SOLUSI DGN SOFTWARE GRASP VERSION 1.0 ANALISA STRUKTUR - I

+

+

-

-

-

Satuan : Bidang Momen : ton.m, Lintang : ton, Normal: ton Metode Consistent Deformation

26

Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 4: Portal

Struktur ABCD dengan kekakuan dan beban seperti tergambar dibawah ini. Hitunglah reaksi-reaksi perletakan portal tsb. dengan Metode Consistent Deformation, kemudian gambarkan bidang Momen, Lintang, dan Normalnya. P  2 2 ton

M = 10 tm

45o EI

D

EI

EI

B

E

C 2EI

4m

Metode Consistent Deformation

A

4m

4m

2m

27

Darmansyah Tjitradi, MT.

Penyelesaian: M = 10 tm

Pv = 2 ton C

B B

EI

D

Ph = 2 ton

C

EI

EI

E Gambar 1

C’

B’

2EI

4m

4m

A

VB

= C

B VB  BB

2m

4m

EI

D

EI

EI

VB  CB

Gambar 2

C’

B’

2EI

4m

A

4m

4m

2m VC

+ C

B VC  BC

E

EI

D

EI

EI

VC  CC

E Gambar 3

C’

B’

2EI

4m

A

4m

4m

2m

Kondisi geometri pada portal ini adalah lendutan vertikal dititik B dan dititik C harus sama dengan nol, jadi:

 

B  BB  VB  BC  VC  0

 

C  CB  VB  CC  VC  0

Metode Consistent Deformation

28

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari B dan C dgn Metode Unit Load: M = 10 tm

Pv = 2 ton Ph = 2 ton

B B

EI

D

EI

C C

EI

E

C’

B’

2EI

A

4m

4m

Gambar 4

2m

4m

1 B

EI

D

EI

EI

C

E

2EI

4m

A

4m

Gambar 5

2m

4m

1 B

EI

D

EI

C

EI

2EI

4m

A

Metode Consistent Deformation

E

4m

4m

Gambar 6

2m

29

Darmansyah Tjitradi, MT.

Persamaan Momen: Mx

mxB

mxC

(Lihat Gbr. 4)

(Lihat Gbr. 5)

(Lihat Gbr. 6)

C – D (0 ≤ x ≤ 4)

- 2(x+2)

0

-x

EI

B – D (0 ≤ x ≤ 4)

0

-x

0

EI

D – A (0 ≤ x ≤ 4)

+ 2(x-1)

+4

-4

2EI

Bentang

B

nEI

L M m B x x dx 



0

EI

4

 4x2  8x  16 dx      2EI  EI  0

4 2( x  1)  4

B  

0

2EI

L M m C x x dx

C  

0

EI

4  2( x  2) 

C  

0

EI

 xdx  4 2( x  1)   4dx  4 4x2  8dx   4 3 x 

0

Metode Consistent Deformation

2EI



0

2EI

 

4

 8x     176  2EI 3EI 0 3

30

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari BB dan CB dgn Metode Unit Load: 1 B

BB

EI

D

EI

C  EI CB

E

C’

B’

2EI

A

4m

4m

Gambar 7

2m

4m

1 B

EI

D

EI

EI

C

E

2EI

4m

A

4m

Gambar 8

2m

4m

1 B

EI

D

EI

C

EI

2EI

4m

A

Metode Consistent Deformation

E

4m

4m

Gambar 9

2m

31

Darmansyah Tjitradi, MT.

Persamaan Momen: Mx

mxB

mxC

(Lihat Gbr. 7)

(Lihat Gbr. 8)

(Lihat Gbr. 9)

C – D (0 ≤ x ≤ 4)

0

0

-x

EI

B – D (0 ≤ x ≤ 4)

-x

-x

0

EI

D – A (0 ≤ x ≤ 4)

+4

+4

-4

2EI

Bentang

BB

nEI

L M m B x x dx 



0

EI

4

 1 x3  8 x  16     160 BB   dx   dx   3  EI 3EI  0 EI 0 2EI  0 4 x2

CB

4

L M m C x x dx 



0

EI

4  16

4

32   8x  CB   dx     EI  EI 0 0 2EI

Metode Consistent Deformation

32

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari BC dan CC dgn Metode Unit Load: 1 B

BC

EI

D

EI

C

CC

EI

E

C’

B’

2EI

A

4m

4m

Gambar 10

2m

4m

1 B

EI

D

EI

EI

C

E

2EI

4m

A

4m

Gambar 11

2m

4m

1 B

EI

D

EI

C

EI

2EI

4m

A

Metode Consistent Deformation

E

4m

4m

Gambar 12

2m

33

Darmansyah Tjitradi, MT.

Persamaan Momen: mxB

Mx

mxC

Bentang

nEI (Lihat Gbr. 10) (Lihat Gbr. 11) (Lihat Gbr. 12)

C – D (0 ≤ x ≤ 4)

-x

0

-x

EI

B – D (0 ≤ x ≤ 4)

0

-x

0

EI

D – A (0 ≤ x ≤ 4)

-4

+4

-4

2EI

BC

L M m B x x dx 



0

EI

4

4  16

32   8x  BC   dx     EI  EI 0 0 2EI L M m C x x dx

CC  

0

EI

4

 1 x3  8 x  16     160 CC   dx   dx   3  EI 3EI  0 EI 0 2EI  0 4 x2

4

Metode Consistent Deformation

34

Darmansyah Tjitradi, MT.

Kondisi geometri pada portal ini adalah lendutan vertikal dititik B dan dititik C harus sama dengan nol, jadi:

 

B  BB  VB  BC  VC  0

 

C  CB  VB  CC  VC  0

16 160 32   VB   VC  0 --- x 3EI ………. 160  VB  96  VC  48 EI 3EI EI 176 32 160   VB   VC  0 --- x 3EI ………  96  VB  160  VC  176 3EI EI 3EI Persamaan tsb. disusun dalam bentuk matriks:

 160  96 VB    48   96 160   V    176    C   1

 VB   160  96   48       VC   96 160   176 VB  1 5 3   48    1,5      ton   VC  512 3 5  176  2,0

 V  0   VB  VC  VA  2  0 1,5  2,0  VA  2  0 VA  1,5 ton 

MDB  VB  4  1,5  4  6,0 tm

MDC  Pv  6  VC  4  2  6  2,0  4  4,0 tm MAD  VB  4  M  VC  4  Pv  6  Ph  4  1,5  4  10  2,0  4  2,0  6  2,0  4  8 tm  H  0    HA  Ph  0 HA  2,0 ton 

MDA  HA  4  MAD  2,0  4  8,0  0 tm

Metode Consistent Deformation

35

Darmansyah Tjitradi, MT. M = 10 tm 6 tm

P  2 2 ton

D

EI

4 tm

4 tm

4 tm

45o EI

EI

B

E

C 2EI

VB = 1,5 t

4m

VC = 2,0 t

HA = 2,0 t A

8 tm

VA = 1,5 t 4m

4m

- 4 tm

2m

- 4 tm

D B

C

E

+6 tm

Bidang Momen

A

+8 tm

+ 2,0 t + 1,5 t

+ 2,0 t

+ 1,5 t

B

D

- 2,0 t

C

E

Bidang Lintang - 2,0 t A

Metode Consistent Deformation

36

Darmansyah Tjitradi, MT. - 2,0 t

B

D

- 2,0 t

+ 1,5 t

C

- 2,0 t

E

Bidang Normal + 1,5 t A

Metode Consistent Deformation

37

Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 5: Portal B

C

EI

Data : Titik A : Jepit

4m

2EI

A

Titik C : Sendi

4m

Karena salah dalam pelaksanaan titik C mengalami penurunan sebesar 10 cm, analisislah gaya-gaya dalam portal diatas dengan Metode Consistent Deformasi (misal: EI = 17280 kg.m2).

Metode Consistent Deformation

38

Darmansyah Tjitradi, MT.

Penyelesaian: B’

B

C

EI

C’ HC

2EI

4m

A

VC

B’

C EI

C’

A

Vc   V VC

Vc   V HC

2EI

4m

Gambar 1

4m

= B

VC

Gambar 2

4m

+ B’ B

C

HC

EI

Hc   H VC

C’ Hc   H HC

2EI

4m

A

Gambar 3

4m

Kondisi geometri pada portal ini adalah lendutan vertikal mengalami penurunan sebesar 10 cm (0,10 m) dan translasi horisontal dititik C sama dengan nol karena perletakan sendi, jadi:

 

H  VC  Vc  V VC  Hc  VC  0,10

H    HC  Vc  V HC  Hc  HC  0

Metode Consistent Deformation

39

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari VVC dgn Metode Unit Load: 1 B’

B

EI

VVC

C C’

2EI

4m

Gambar 4

A

4m

1 B

4m

EI

C

Gambar 5

2EI

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

(Lihat Gbr. 4)

(Lihat Gbr. 5)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

-x

-x

1

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

- 1. 4 = - 4

- 1. 4 = - 4

2

Bentang

nEI

Mx  mx dx EI 0

L

VVC  

4

V VC 

 0

(x )  (x ) dx  EI

4

 0

 4   4dx  2EI

Metode Consistent Deformation

64 32 160   3  EI EI 3  EI

asumsi awal arah 

40

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari VHC dgn Metode Unit Load : 1 B B’ EI

4m

C

C’

VHC

2EI

Gambar 6

A

4m

1 B

EI

C

2EI

4m

Gambar 7

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

Bentang

nEI (Lihat Gbr. 6)

(Lihat Gbr. 7)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

-x

0

1

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

- 1. 4 = - 4

+ 1. x = + x

2

Mx  mx dx EI 0

L

VHC   4

V HC 

 0

(x )  (0) dx  EI

4

 0

 4  x dx   16 asumsi awal arah  2EI

Metode Consistent Deformation

EI

41

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari HVC dgn Metode Unit Load: 1

B’ B EI

C C’

4m

HVC

2EI Gambar 8

A

4m

1 B

4m

EI

C

2EI Gambar 9

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

(Lihat Gbr. 8)

(Lihat Gbr. 9)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

0

-x

1

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

+ 1. x = + x

- 1. 4 = - 4

2

Bentang

nEI

Mx  mx dx EI 0

L

HVC  

4

H VC 

 0

(0)  (x ) dx  EI

4

 0

 x   4dx   16 asumsi awal arah  2EI

Metode Consistent Deformation

EI

42

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari HHC dgn Metode Unit Load:

1

B’ B EI

4m

C C’ HHC

2EI

Gambar 10

A

4m

1 B

EI

C

2EI

4m

Gambar 11

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

Bentang

nEI (Lihat Gbr. 10)

(Lihat Gbr. 11)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

0

0

1

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

+ 1. x = + x

+ 1. x = + x

2

Mx  mx dx EI 0

L

HHC   4

H HC 

 0

(0)  (0) dx  EI

4

 0

 x   x dx   2EI

Metode Consistent Deformation

32 3  EI

asumsi awal arah 

43

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari  VC dan  HC dgn Metode Unit Load: Karena struktur portal tidak ada beban luar (Mx =0) maka:  VC  0  HC  0

Kondisi geometri pada portal ini adalah lendutan vertikal mengalami penurunan sebesar 10 cm (0,10 m) dan translasi horisontal dititik C sama dengan nol karena perletakan sendi, jadi:

 

H  VC  Vc   V VC  Hc   VC  0,10

H    HC  Vc   V HC  Hc   HC  0

0

160 16  Vc   Hc  0,10 3  EI EI

0

16 32  Vc   Hc  0 EI 3  EI

 160  Vc  48  Hc  0,30  EI



48  Vc  32  Hc  0

 160  48 Vc  0,30   48  32  Hc   0   EI      

Vc 1  32  48   0,30      EI  Hc 2816  48  160  0 

Vc  61760  0,003409    9   EI     EI Hc  0 , 005114     1760  

Jika EI = 17280 kg.m2, maka: Vc  58,9090     kg Hc  88,3636 

M A  Vc  4  Hc  4  58,9090  4  88,3636  4  117,8184 kg.m (Momen positif)

H C  88,3636 kg

B

EI

C VC  58,9090 kg

4m

2EI

A H A  88,3636 kg

M A  117,8184 kg.m

4m VA  58,9090 kg

Metode Consistent Deformation

44

Darmansyah Tjitradi, MT.

Gambar Momen, Lintang, dan Normal: H C  88,3636 kg

B

C

EI

VC  58,9090 kg

4m

2EI

A M A  117,8184 kg.m

H A  88,3636 kg

4m VA  58,9090 kg - 235,636 kg.m

- 235,636 kg.m

B C

Bidang Momen A

+ 117,8184 kg.m + 58,9090 kg

- 88,3636 kg

+ 58,9090 kg

B C

Bidang Lintang

- 88,3636 kg

A A - 88,3636 kg

- 58,9090 kg

- 88,3636 kg

B C

Bidang Normal

- 58,9090 kg

Metode Consistent Deformation

A A 45

Darmansyah Tjitradi, MT.

SOLUSI SOFTWARE GRASP VERSION 1.0

Momen

Lintang

Normal

Satuan : Bidang Momen : Kg.m, Lintang : kg, Normal: kg Metode Consistent Deformation

46

Darmansyah Tjitradi, MT. Contoh Soal 6: Portal B

C

EI

Data : Titik A : Jepit

4m

2EI

A

Titik C : Sendi

4m

Karena salah dalam pelaksanaan titik C mengalami translasi kekanan sebesar 10 cm, analisislah gaya-gaya dalam portal diatas dengan Metode Consistent Deformasi (misal: EI = 17280 kg.m2).

Metode Consistent Deformation

47

Darmansyah Tjitradi, MT.

Penyelesaian: B’

B

C

EI

C’ HC

2EI

4m

A

VC

B’

C EI

4m

Gambar 1

4m

= B

VC

C’ Vc   V HC

2EI

A

Vc   V VC

Gambar 2

4m

+ C HC

B’ B EI

Hc   H VC

C’ 4m

Hc   H HC

2EI

A

Gambar 3

4m

Kondisi geometri pada portal ini adalah lendutan vertikal sama dengan nol karena perletakan sendi dan translasi horisontal dititik C mengalami pergeseran ke kanan sebesar 10 cm (0,10 m), jadi:

 

H VC  Vc  V VC  Hc  VC  0

H   HC  Vc  V HC  Hc  HC  0,10

Metode Consistent Deformation

48

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari VVC dgn Metode Unit Load: 1 B’

B

EI

VVC

C C’

2EI

4m

Gambar 4

A

4m

1 B

4m

EI

C

Gambar 5

2EI

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

(Lihat Gbr. 4)

(Lihat Gbr. 5)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

-x

-x

1

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

- 1. 4 = - 4

- 1. 4 = - 4

2

Bentang

nEI

Mx  mx dx EI 0

L

VVC  

4

V VC 

 0

(x )  (x ) dx  EI

4

 0

 4   4dx  2EI

Metode Consistent Deformation

64 32 160   3  EI EI 3  EI

asumsi awal arah 

49

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari VHC dgn Metode Unit Load : 1 B B’ EI

4m

C

C’

VHC

2EI

Gambar 6

A

4m

1 B

EI

C

2EI

4m

Gambar 7

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

Bentang

nEI (Lihat Gbr. 6)

(Lihat Gbr. 7)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

-x

0

1

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

- 1. 4 = - 4

+ 1. x = + x

2

Mx  mx dx EI 0

L

VHC   4

V HC 

 0

(x )  (0) dx  EI

4

 0

 4  x dx   16 asumsi awal arah  2EI

Metode Consistent Deformation

EI

50

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari HVC dgn Metode Unit Load: 1

B’ B EI

C C’

4m

HVC

2EI Gambar 8

A

4m

1 B

4m

EI

C

2EI Gambar 9

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

(Lihat Gbr. 8)

(Lihat Gbr. 9)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

0

-x

1

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

+ 1. x = + x

- 1. 4 = - 4

2

Bentang

nEI

Mx  mx dx EI 0

L

HVC  

4

H VC 

 0

(0)  (x ) dx  EI

4

 0

 x   4dx   16 asumsi awal arah  2EI

Metode Consistent Deformation

EI

51

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari HHC dgn Metode Unit Load:

1

B’ B EI

4m

C C’ HHC

2EI

Gambar 10

A

4m

1 B

EI

C

2EI

4m

Gambar 11

A

4m

Persamaan Momen: Mx

mx

Bentang

nEI (Lihat Gbr. 10)

(Lihat Gbr. 11)

C – B (0 ≤ x ≤ 4)

0

0

1

B – A (0 ≤ x ≤ 4)

+ 1. x = + x

+ 1. x = + x

2

Mx  mx dx EI 0

L

HHC   4

H HC 

 0

(0)  (0) dx  EI

4

 0

 x   x dx   2EI

Metode Consistent Deformation

32 3  EI

asumsi awal arah 

52

Darmansyah Tjitradi, MT.

Menghitung nilai dari  VC dan  HC dgn Metode Unit Load: Karena struktur portal tidak ada beban luar (Mx =0), maka:  VC  0  HC  0

Kondisi geometri pada portal ini adalah lendutan vertikal sama dengan nol karena perletakan sendi dan translasi horisontal dititik C mengalami pergeseran ke kanan sebesar 10 cm (0,10 m), jadi:

 

H VC  Vc  V VC  Hc  VC  0

H   HC  Vc  V HC  Hc  HC  0,10

0

160 16  Vc   Hc  0 3  EI EI

0

16 32  Vc   Hc  0,10  48  Vc  32  Hc  0,30  EI EI 3  EI

 160  Vc  48  Hc  0

 160  48 Vc  0    48  32  Hc   0,30  EI       Vc 1  32  48   0       EI  Hc 2816  48  160  0,30

Vc   91760   0,005114      30   EI     EI  Hc  1760   0,0170 

Jika EI = 17280 kg.m2, maka: Vc   88,3636      kg Hc  294 , 5455     

MA  Vc  4  Hc  4  88,3636  4  294,5455  4  824,7276 kg.m (Momen negatif)

HC  294,5455 kg

B

VC  88,3636 kg

4m

2EI

A HA  294,5455 kg

EI

C

MA  824,7276 kg.m

4m VA  88,3636 kg

Metode Consistent Deformation

53

Darmansyah Tjitradi, MT.

Gambar Momen, Lintang, dan Normal: B

C

EI

HC  294,5455 kg

VC  88,3636 kg

4m

2EI

A

MA  824,7276 kg.m

HA  294,5455 kg

4m VA  88,3636 kg

+ 353,4544 kg.m + 353,4544 kg.m

B C

Bidang Momen A

- 824,7276 kg.m - 88,3636 kg

+ 294,5455 kg

- 88,3636 kg

B C

Bidang Lintang

+ 294,5455 kg

A A + 294,5455 kg

+88,3636 kg

+ 294,5455 kg

B C

Bidang Normal

+88,3636 kg

Metode Consistent Deformation

A A 54

Darmansyah Tjitradi, MT.

SOLUSI SOFTWARE GRASP VERSION 1.0

Momen

Lintang

Normal

Satuan : Bidang Momen : Kg.m, Lintang : kg, Normal: kg Metode Consistent Deformation

55