Methodus_incrementorum_directa_inversa_brook Taylor.pdf

-

Na A i

p. A -2 624

|

345f£&=*.

χ

Z C r. -4—4—4—2—7-*_

-TjTL o

^, - c) s.

*

JT/-}. 3 ;

M ET H O D U s 73a ,

i

INCREMENTORUlM DIRECTA & INvERsA. Α% '*. : ἐ.

A U CT O R E

V.

Σ

B R O O K TATL O RutiLL. D. Regiae Societaris Secretario. NJę$

L o N D I wI f2 y

Impenfis Gulielmi Immy, ad Infignia Principisin Coemetrio D. Pa///;. MDCCXVII. •

:

-

I L L U S T R I S S I M AE

Societati Regali, A

SERENISSIM O R E G E

CAROLO II. Ad PH IlosopH 1 A M Promovendam

F U N D A T Æ, E T

:

-

A Ü SP I C I IS

AU G U STISSIMI R E G IS

G E O R G II F L O R E N T I, TRACT A T U M H U N C D. D. D.

3 R 0 0 K 7TA 1^ /, O R.

L E C T O R I. N Methodo hâc Imcrememtorum quamtitates confidero at Im crememtis autfa* ve! Decrememtis imminutas, & ex datis

relationibus Imtegralium quero relationes Incrementoram, atque viciffim , ex datis relatiomibus Imcrementorum quæro

quantitates ipfa* Imtegrales.

Horum ufus in rebus Mathematicis júti, latè patet ; fed in eo maximè elucet, quod himc facile derivem tur omme$ proprietates Flaxiomum. Clariffimus Domimus New

tomus quantitates Mathematicas confiderando ut motu perpetuo de friptaj, per Methodum Flaxiomum ex rationibus primis Incremem torum mgfeemtium quaerit rationes velocitatam, quibus magnitudi nts defçribuntur, & viciffim ex velocitatibas hifce (quas Fluxiones

quantitatum vocat) quarit magnitudines quamtitatum ipfàram dif.riptaram. Hoc idem, Jed minus generaliter, fecere âlii (at Veteres im Methodo exhaaffiomam, Cavallerius & Wallifius in

"£££;

Methodis fùmmatoriis.) Veteres inveßigamdo rarum inféripferunt & circumfcripferdmt figuras ex partibus finitis 6 cogniti, conftantes, & partium iffarum numerum auxerumt & magnitudinem mimuerumt, domec differemtia inter earum fummam 6 figuram quæfitam effet mimor quâvis datâ. Cavallcrius & Recentiores comtemplariimt partes j?as ut im infmitam diminatar.

Std hi omnes, comtemplamdo gemefes quamtitatum per additiones par tium, mom fatis confuluerumt feverae iffi axe/geig, Geometraram.

Partes emim, ut Methodus fit accurata, deberemt effe primae maf ttntes; at malle fumt ejufmodi partes im rerum Naturä, fumt tam tum ratiomes primæ partium mgfcemtium.

Ergò Newtonus miff,

partium magnitudinibus, miffit & earum fummis, rationes alti mas partium evamefeemtium, & primas mgfcemtiam imtroduxit,

& in his rationibus Analyfim fuami fumdavit. Sumptis itaque ra fionibus

tionibus primis Incrememtorum mafeemtium, vel ultimi, evanefcem tium, accommodantur ommes Conclufiones Methodi lncrememtorum

ad Methodum Fluxiomam, Imcrementis jam evanefcentibus, & Im tegralibus im fluentes comverfis. Et hoc paâo vitatur omnis comfi. deratio quamtitatam imfimitè (feu, ut aliqui loqui amemt, imdeff mitè) parvarum. Nam im Methodo Fluxionum, ut conclufiones fimt veræ & ommimo accaratæ, partes feu incrememta comcipienda

fumt, mom ut perexigua, feu infinitè parva, fed ut reverâ mulla : Rationes enim primæ non fumt, mifíim ipfo momemto ubi qaamtitates mafci imcipiumt ; ubi femel mafcumtur jam definamt effe prime. Si militer & rationes ultima mom fumt, mifi ubi quamtitates jam eva mefcumt & fiant mulle. Facilioris tamem conceptüs gratiâ poffamt pro Flxiomibus fumi augmenta illa mafcentia, quæ Newtonus mo memta vocat, atque defigmat literà o Fluxiomibus appofitâ. Et im boc modo concipiendi facilius cermitur relatio inter Methodum hanc

Incrememtorum, & Methodum Flaxiomum. Quapropter etiam ím Propofítiomibus mommullis gemeralibus fpeäantibus ad Incremeara

quævis iw gemere, vel finitæ magnitúdemis, vel infinitè parva, exempla damus in Fluxioaibus, vice tamem Fluxionum famemdo £//0///£/2£4.

· ·

-

-

•

•• -

Methodus

( r)

Methodus Incrementorum. P A R S

P TR I M A.

tlbi traduntur Præcepta, cùm Metbodi In crementorum in genere, tùm Metbodi Fluxionum.

I N T R O D LI C T I O. Llantitates indeterminatas in his confidero ut Incre

I mentis perpetuò au&tas, vel Decrementis diminutas. Indeterminatas ipfas Integrales defigno literis x, x, v, &c. earumque Incrementa, fèu partes mox ad dendas defign6 iifdem literis a parté inferiori pum. £tatis x, x, 7, &c. Quorum Incrementorum Ificre.

menta, feu Integralium ipfàrum Incrementa fècunda defigno iifdem literis bis pun&tatis z, y, v, &c. Incrementa tertia defigno literis ter pun&tatis z, x, v, &c. & fic porrò. Quinetiam majoris genera litatis gratiâ, vice pun&torum nonnunquam fcribo chara&eres pun&to rum númerós defignantes: Sic fi n fit 3, per x, vel x defignatur x ; m.

-

-

3

-

fi n fit o, per x, vel x defignatur ipfà Integralis x ; fi m fit -r, per x, fèu x defignatur quantitas cujus Incrementum primum eft x ; & •,

- I

.

-

Sæpè etiam in hoc Tra&atu quantitatis ejufJem va

fic de cæteris. tiabiiis valores aliquot fucceffivos defigno per éandem literam

ii$ 1ni1g

( 2 ) infignitam 5 nempe praefèntem valotem defignando per literam fimplicem, præcedentés per accentus graves fùprafcriptos, & fùbfè -

�

ù

• ,n

v

Ww

quentes per lineolas fùbfcriptas. Sic exempli gratiâ fùnt &, x, x, 13, y, ejuítem quantitatis váìores quinque fùcceffivi, quorum eft x w

ww

-

valor praefëns, fih* § &¥ valores præcedentes, atque & & 3 valores fubfèquentes, II. Fluxiones, quae funt in ratione primâ Incrementorum naften tium, vel ultimâ evanefcentium, defignantur pun&is indicibus In crementorum ad literarum partes fùperiores tranfpofitis: Sic eft x Fluxio prima ipfius x ; x eft ejufdem Fluxio fecunda ; x Fluxio tertia ; & fic porrô. Fluentes etiam nonnunquam defignantur per lineolas (fimiles accentûs acuti) literis fuprafcriptas: Sic $ defignat mu

-

fluentem ipfius x, feu quantitatem cujus Fluxio prima eft x ; & de fignat fluentem fecundam ipfius x, feü quantitatem cujus Fluxio fè cünda eft x ; & fic porrò. Et hæ lineolæ in indicibüs fiuentüm vim habent pun&orum (ut ita dicam) negativorum in indicibus Fluxio num: Sic fi fit m= 2, & ••

3. defignet $, mutato figno defignabitur

•η•

-

x per x. Porrò fluentes quantitatum compofitarum defignantur nonnunquam per quantitatesipfàs parallelogrammis inclufàs ; fic de

fignat [Σ] fluentem ipfius xx*.

P R O P.

-

(3)

P R O P. I.

P R O B. I.

Datâ Æquatione quantitates variabiles involvente invènire Incrememta.

-

I` HEquatione propofitâ vice quantitatis cujufvis variabilis fcri be eándem quafititatem proprio Incremento au&tam, & refül

tabit £Equatio.nova- ;.unde- áblatâ Æquatione priori, refiduum erit Æqüatio, £; quam dabitur relatio Incrementorum. . . Exempli gratiâ fit HEquátio x* — xv*.+ a*z— b3 = o, ubi a& b funt quantitates determinatæ & impmutabiles. Itaque pro x, v, & z fcrip

tis x + x, v + y, & x-+z, prodit Equatio nova x* + *xx* + 3*x + x* — xv* — xv* — 2xvv — xv* -- 2xvv — xv* + a*z + a*z — b* = o ; unde fübdu&tâ JEquatione priori, refiduum 3xx* + 3x*x + x* — xv* — 2xvv — xv* — 2xvv — xv* + a*z = o fit Equatio, •

• *

cujus ope dantur relationes Incrementorum. In hâc Solutione, fi pro Incrementis nafcentibus fcribatur nihil, & pro earum rationibus primis fubftituantur rationes Fluxionum, eo pa&to dabuntur relationes Fluxionum. Et poteft operatio fimul & íèmel perfici, ab initio negle&is terminis, cùm HEquationis propo fitæ, tùm & ob Incrementa nafcentia evanefcentibus, omninò ut do

cetur in Regulâ Newtonianâ, quæ haec eft , “ Multiplicetur omnis Æquationis terminus per indicem “. dignitatis quantitatis cujufque fluentis quam involvit, & “ inTfingulis multiplicatiónibus mutetur dignitatis latus. “ in Fluxionem füám ; & aggregatum fa&orum füb pro

“ priis fignis erit /Equatio nova, per quam definietur “ relatio Fluxiouum.

-

E X P H, I C A T I ().

“ Sunto a, b, c, d, &c. quantitates determinatæ & im * mutabiies, & proponatur fEqùatio quxvis quantitates fluen B

τ€$

( 4) * tes z, y, x, &c. inyolvens, uti x* — xy* + 4*2 — b) = o. Multi “ plicentur termini primò per indices dignitatüm x, & in fingulis “ multiplicationibus pro dignitatis latere, feu x unius dimenfiónis,

* fcribatur x, & fumma fa&orum erit 3*x*-*. Idem fiat in J» “ & prodibit — 2xyy. Idem fiat in z, & prodibit a'z. Ponatur “ fùmma fa&orum aqualis nihilo, & habebitur Æquatio 3äx* — xy* * — zxy + a* = o. * Ad eundem modum fi Æquatio effet x* — xy* + a* VaxT-TJE ••

-

* — b) = o produceretur 33x* — $y*— 2x) + a* VE-5 = o. * ubi fi Fluxionem v7x-}"tollerevelis, pone Vax Ey* = z, &

* erit ax — y = z, & (per hanc Prop.) ax — 2jy = zzz, fèu vu 4:2 - 3;

-

*. a* - •

= z, hoc eft

st

È = V ax — y*. -_• • _•

-

-

Et inde 3xx*

-

-xy*

2*,

1Q -

-

— 2xyy

a3x — *a*yy f -{- ITA-= a 'QyLy*

-

= 0.

Per operationem repetitam pergitur ad Incrementa, ut & ad Fluxionés fècundas, tertias, & fèquéntes. Sit Æquatio xz — av = o. Tum per operationem primam[erit xz + xx + xz- av = o. In

hâc iEquatione pro x, x, z, z, v, v fcriptis * + x, x + x, z + z, z + z, v + v, v + v, & fùbduää Equatione, per operationem fecundam fiet 2:? + xz -+- 28z -+- x; + 2x* + x* — av = o. Sic in Fluxionibus propofitâ eâdem

Ejüatione,

fiet per operationem

primam xx, -+- xz — av = o, per fècundam 2xz. -+ xz. -+- xz — av

= o. Et fic pergere licet ad Incrementa, & ad Fluxiones tertias, quartas, & fèquentes. -

Sed ubi hoc modo pergitur ad Incrementa, vel ad Fluxiones , fecundas, tertias, & fèquentes, conyenit quantitatem aliquam confi ․f€ùí Üíôïíhiíeíííèíêïém, & prò ejus Incrementis, vel Fluxio

nibus, fècundâ, tertiâ, & fequentibus fciibere nihil. Sic in Æqua tioue modò propofitä xz — av = o. onlfoimiter crefcente z erit per

( 5 ) per opetationem fecundam ax* + xx + 2xz — av = o. Et in Fluxionibus propofitâ eâdem Equatione, erit pet operationem fecun

dam 2& + &z — aö = o, per tertiam 3**+3x — äö = o. Et in

hoc cafu poteft commodè pro Fluxione datâ 2 fcribi 1. Hoc pa&o Equationes praedi&ae fiunt xx + x — aù = o, 2* + £x- aö = o; 3x -+- xz — av = o.

P R o P. II. P R o B. II. In Æquatione imcrememtali variabiles quotvis invo/vemte, vice

omemium iffarum variabilium fuáßituere totidem movas per ea dem Imcrememta im ordine imverfo crefçemtes. I T x quævis variabilium in Æquatione propofitá, & v nova va riabilis in ejus locum fubftituenda ; ita ut dum augetur x, mi nuatur v per eadem Incrementa.

Tum fi fit m index infimi Incre

menti in Æquatione propofitä, fàtisfiet Problemati pro x, x, x, &c.

$iibendo fèquentes ipforum valores ; ubi eft d quantitas determinata vllibitum fümpta, x = d — v — nv — h.m- iv — h.n-1.*1-2v — &e.

-----;-. x = v -+- 71. Iv -+- ft- I. n- 20 -+- m — I.m- 2.m-30 + &c, 2 •.---;-: -

-

-

z = — v — n-2v — m-2,7t-3v — &C.

x = v + F3v + &c. & fic porrò.

' D E M O N.

( 6 ) I) E M O N S T R A T I O. ì

E.

A;

14* - - - - - v + 3v-- 3v + v.

2.]* + & - - - - v + av + v

-

3.]x + 2x + x - -|v + v

4|x + 3* + 3* + xlv Sit verbi gratiâ m = 3, & in tabulis A & B exhibeantur quatuor • valores correfpondentes ipforum x & v in contrario ordine crefcen tium ; qui per additionem Incrementorum facilè colliguntur. Tum quoniam ex Hypothefi Incrementa correfpondentia in uträque tabulâ funt femper æqualia, dabitur fumma duórum quorumvis valorum

g;$entium x & v in his tabulis.

Quare fi fumma ilia data

'fit a, erit J*

•

•

-

• • • •

•

= d — v — 3v — 3v — v.

x -+- x - - - - - • = d — v — 2v - v

• x + 2x -+- x - - - = d — v — v

x -+- 3x + 3x + x = d — v

Tum fumendo Differentias harum Equationum fit A;

•

•

•* •

-

= v + 2v + v

x -+- x - - - = t/ + v x + 2x — x = v

Et fumendo Differentias harum Æquationum fit 5:

-

-

- • t/ -

- t)

x +x =—v

Denique

(7)

. .

Denique fimendo Di£tentias harum Equationum fit x = v. Sed hi valores ipforum x, x, x, x, iidem fünt, ac in fòlutione juben

tur , & eadem eft argumentatio ubi eft m alterius cujufvis valoris: Quare pro fingulis x, & fuis Incrementis fübftituendo hujufmodi valores, re&è folvitur Problema.^ Q. E. D. , C O R O L.

Ob Incrementa evanefcentia in Fluxionibus Solutio fit fim plicior, exiftente x = d — v, § = i, x = —û, §= ô § = —ú, & fic porrò. S C H O L I Ul M.

Poffunt equidem Equationes incrementales pro lubitu transfor* mari ope Æquationum affumptarum. Sic fi feceris x = vv, ca piendo Incrementa (per Prop. 1.) erit x = 2vv + vv, x = 2vv

+ 4gg -+ vv, & fic porrò , unde transformabitur Equatio pro x, x, x, &c. fübftituendo hos ipforum valores. Idem fiet fi fit x = d - v. Sed in hoc cafù quoniam eft x = — v, erit v quantitas

tegativa ; quare quantitas fubftituta v non erit quantitas reverâ in crefcens in Equatione transformatâ, fèd decrefcens, exiftente v ip3

fius Decremento proximè auferendo. Proinde fi cupis Equationem; i!t3! transfòrmare, ut quantitates v decrefcant crefcentibus x, & tamen in Æquatione transformatâ fint v ipfàrum v vera Incrementa,

ut funt: vera Incrementa ipfius x, procedendum erit per hanc pro pofitionem.

c

P R O P.

( 8 ) P R O P. III.

P R O B. III.

Æquatiomem fluxiomalem, in quâ famt fluentes tamtùm duae z & 3, quaram z fluit umiformiter, ita transformare ut fluat x

Ἀ.

-

Olvitur Problema pro $,

§. £, &c.

fubftituendo

fequentes ipfo

rum valores, nempe x = — zx , x = — zzx -+- 3z*x , z

£*

x = — zz*x -+- ioxxzx — 15z3x, &c. £3

D E M o N s T R A T 1 o. Sunto A, B, C, D, E, &c. quantitates ex » & datis compofitae, & fint à = Hâ, B = Cę, ó = D*, D = E, & fic porrò. Tum

uniformiter z,) o = (b: * fi. =) B: * c& , o = (£ + iii * acä £ & =) í + scä + Dis, o = B + 4Cä + 36* fi ponatur z = A, erit z = â , & ( fluente

3- 6B*$+E&s, & fic porrò (per Prop. 1.) Sed ubi fluit unifor miter x, & fluit inequaliter z, funt B = z, C = £, D =â, •

TE

=z, &c. 3.*

3:*

3:3

Itaque pto B, C, D, E, &c. fcriptis his ipforum va -

foribus, invenientur

-

ipfòrum §, 3, 3, &c. valores, ut fùprà exhi

bentur. Quibus proinde in Æquatione fubftitutis, deinde flüet * uniformiter, atque x inequaliter. Q, E. D.

SCHO

'( 9 ) s c H o L i u M. Et eodem modo transformari poteft Æquatio, quæ plures fluentes inyolvit v, y, &c. praeter z & x $ modò nullius vg y, &c. Fluxio al

tta primam in Equatione involvatur. Qgare fi in HEquatione, quam per hanc Propofitionem transformare velis, fint quaedam ipfòrum

v, y, &c. Fluxiones fecundae, tertiæ, & fèquentes, primùm eliminandae fint Fiuxiones iftae ope Æquationum datarum, & deinde procedct tunsformatiò per hanc Propofitionem fa&a.

P R o P. IV. T H E o R, I, » -

Æquatiome præter variabilem z, cajas valores ommes damtar, invo4eiite alterius variabili, x Imcrememta aliqaot x , x ,

Datâ

ym

-

um -{- i.

$ ; &c. qaarum prima fit x , & altma x , (ubi etiam, m+^

ww-ra.

non

-

-

dieffe poffunt z, & omnia Imcrememta x , x , &c. inter . m -+- 1 m -+-:

s & x+- medie ;) atque datis praterea m + m eomditiomibus ih,

77?

rj

..

-

|#antibus ad m + m datos valores z, & ad totidem valores

*refpondente, quovis modo fumptos imter valores ipforum x, % *, Grc. im. imfinjtum ; ita tamem at mom plures quam m

valores fùmantur ipfius x, vel x , vel cujufvis Incrememui m

vrg-i- u

ifirioris, vel imter plara Imcrememta x , x , x , & im 77a

m -+- , m -+-2

firiora; nec plures quam m + 1 valores fumamtar ipfius x ,. ?/? — 1

-

* plures quam m + z valores fumamtur ipfias x ; atque fie deinceps ; dabamtur omnes valores ipfius x ex datis omnibus . valoribus z, m - 2

I) F

( Io ) D E M O N S T R A T I O.

per z & per

Per HEquationem datam datur x expreffà

Incre

m -+- n

menta x , x , x , &c. ipfo x fuperiora, m m -+- 1 m -+- 2

Ulnde (per

m -+- n

Prop. 1.) dabitur proximum Incrementum

x

per eafdem

m +n + 1

quantitates expreflùm ; deinde ( per eandem Propofitionem ) dabitur proximum Incrementum

per eafdem quan

9?

m +x +2

titates expreffum , & operationibus in infinitum continuatis dabuntur omnia Incrementa ipfo x inferiora expreffa per eaf m -+- m

-

dem quantitates z, & per Incrementa x , x , x , &c. ipfo x » m-+- 1 m-+-a

-

m+n

fuperiora. Si itaque fint a, & c, £, £, &c. ipfòrum z, & x, x, x, &c. certi quidam valores correfpondentes, dabuntur omnia i €

,

ۥ

»

6

, &c. in infinitum. expreffa per a, &

n + m m -+- m -+- 1 m -+- x -+->

c,

c ,

c , &c. ipfb c fuperiora. Ulnde per additionem

m m -+- 1 m + 2

m -+- m

-

continuam dabuntur omnes valores ipfius x in tabulâ antè conti ne

*

nuatâ. Et pro z & x fubftitutis novis variabilibus (per Prop. 2.) eodem modo dabuntur omnes valores x in tabulâ retrò continuatâ. ama

-

Deinde per additionem & fùbdu&ionem continuam dabuntur omnes valores Incrementi proximè fuperioris x , expreffi per eafdem ?*/ - I

quantitates, & per e : Et deinde eodem modo dabuntur om amy - 1

nes valores Incrementi adhuc fuperioris

x expreffi per eafJem »}, - - 2

quantitates & per c . Et fic pergendo dabuntur tandem omnes m - 2

valores

( 11 ) valores ipfius x expreffi per a & per terminos c, c, c, &c. ipfo m &+ m •

fuperiores.

••

Sed terminorum c, c, c, &c. ante m -+c n numerus eft •

••

m + m, Quare per conditiones numero m + m determinabuntur omnes c, c, c, &c. adeoque dabuntur omnes x. Q. E. D. Sed quoniam valores ipfòrum x , x , x , &c. includunt terminos m ' m -+- 1 m -+- a

tantùm c ,

c ,

c , &c. quorum numerus eft tantùm m ;

m m -+- 1 m -+- ^

-

ergò nequeunt plures quam m conditiones applicari ad valores Incre menti x & inferiorum. Item quoniam valores, ipfius x inclu am

» -

-

I

dunt terminos tantùm c , c, c , &c. quorum numerus eft m—1

m m -+- 1

tantùm m-+ 1, nequeunt plures conditiones quam m -+ 1 applicari ad valores Incrementi x : Et fimilis eft argumentatio in -

* * • • 1!

cæteris. tlnde per hoc Theorema re£tè determinantur data, & eorum

conditiones, in Æquationibus duas tantùm Integrales & earum Incrementa involventibus.

( 12 ) PR O P. V. .*

-

•

*

T H E O R. II.

e

-

-

•

w

-

Datis duabus Aegàtionibus, prater £, cujus valores ommes dam.

tur, imvolvemtubas ipforum v & x Imbrementa aliquot, quorum fuprema im utrâque Æquatione fimt...vp & *, & infmg in umâ *r

-

Æquatiome fimt * , & x , & imfima in 4lterâ Aequa p +4

-

* -+-e.

tione fint v , & ' x . p +ò

'

.

. .

; fi fit. m mumeroräm a + 3

. a* -+- 3

• • '.

-

� * + b maximas, dabantur omnes v per comditiones ma -

•

-

'

s*

.

.

-

mero m + p fpeítamtes ad m* -+ p valores ipfius z, & ad

totidem valores refpondemtes «pjorum v, v, v, &c. &. x, * , x , &c. atqae dabumtur ommes x per comditiopes w +v w + 2

.*

-

-

-

-

zumero m -t r fpeëiantes ad m -t- r valores ipfius z, & ad totidem valores refpondemtes ipforam x, x, x , &c. & v, v , v , &c. ita quidem ut conditiomum mumerus »

p+ t

p+^

-

mom amplias m applicari poffit ad valores Imcrementorum v p.

-

& x, & inferiorum, reliqui, conditionibus applicamdù ad va •}-

!

tores ipforum x, x, x, &c. v, v, v, &c. ipfis x^r & v p. •

••

•

• •

fuperiorum jaxta leges valorum Incrememtorum ipfà x fupe ra

riorum im Propofitione quartâ, hoc eff, ut ad minimum amws valor fit ipfius x, duo valores fiat ipforum x & x, tres va lores fint deinceps.

ipforum x, x , *; •

• •

& fic de v, v, v, &c. atque
m •

D E

( 13 ) HD E M O N S T R A T I O,

Nam per fEquationes datas, & per fEquationes novas inde deri. vatas (per Prop. I.) eiiminato v cum fuis fncrementis, dabitur £Equatio praeter z involvens tantùm Incrementa ipfius x, qüorum fupremum eft x, & infirmum eft & . Et proximè antè inventam cr

--r -|- m

AEquationem iftam dabitur Æquatio praeter z & ipfius x Incrementa x & inferiora, involvens tantùm v. Ulnde dabitur v expreflum p.

*xr

p.

per z, & per ipfius x Incrementa x & inferiora. Sed fi fint a, & •;r

c, o, c, &c. ipforum z, & x, x, x, &c. valores quidam core

tefpondentes, dabuntur omnia. Incrementa x & inferiora expreffà •;r

per a, & per ipfòrum c, c , c , &c. numerum m (per Prop. 4.) ^r ^r-- 1 * -+-:

Quare etiam dabuntur omnia v per eafdem quantitates expreffáí p

-

unde fi fint d, d, d, &c. ipfòrum v, v, v, &c. valores ipfius z valori a refpondentes, & continuetur fèries d, d, d, &c. ufque d inclufivè, ut fit terminörum numerus p, dabuntur omnes v P—; -

-

expreff& per quantitates d, d, d, &c. & ctc,' ar-H1 c ;Tae -+c 2 , &c. •

••

quorum omnium numerus eft m + p. Exprimentur autem omnes

Valores ipfius x per quantitates c, c, c, &c. quarum numerus eft m + *. Quare determinatis omnibus c, c, c, &c. per conditiones

numero m + * fpe&antes ad valores x & fuorum Incrementorum , deinde

determinabuntur omnes d, d, d, &c, per alias conditiones

numero P fpe&antes ad valores ipfòrum v, v, g, &c. vel detere

,

• - .

minatis

( 14 )

-

-

minatis omnibus d, d, d, &c. & aliquot ex terminis r? » * -+£ r, •

••

-

e , &c. per conditiones fpe&tantes ad valores v, v , £ , &c. or -+- 1

• _ -

reliqui terminorum c, c, c, &c. determinabuntur per conditiones

fpe&antes ad valores x, x, x , &c. unde per conditiones m -i- p dabuntur omnes v, & per conditiones m + ae dabuntur omnes x,

(Q. E. D.) & per conditiones omninò m + p + z dabuntur omnes cùm v, tùm x. Quomodo autem conditiones applicandae fint ad valores v & x, & fuorum Incrementorum ipfis v & x fuperiorum, p

qr

:

fatis conftat ex Propofitione quartâ. S C H O L I Ul M.

Ad eundem modum per eliminationes variabilium etiam pergere licet ad inventionem conditionum, quibus aftringi poffunt tres, vel quatuor, vel plures Æquationes incrementales involventes tres, vel quatuor, vel plures variabiles praeter z, cujus valores omnes dantur. Sit Æquatio z*x — xx + } = o. In hâc HEquatione ad mentem "

4

Propofitionis quartæ eft x idem ac x, atque x idem ac m *+s , ••

mr

-

A.

unde funt m = 2, & m = 2. Quare per conditiones quatuor da buntur omnes x, ex datis omnibus z. Et quoniam eft x primum

omnium x, x, x, &c. quæ in Equatione occurrunt, ad minimum duae conditiones applicandae funt ad valores ipforum x & x ; ita, ut vel una conditio applicetur ad valorem x, & alia ad valorem x, vel utraque applicetur ad valorem x. Reliquæ autem conditiones po£ funt pro lubitu applicari ad valores omnium x, x, x, &c. in infi

nitum ; ita, ut vel una conditio applicetur ad unum ex iftis termi nis, & alia ad alium , vel etiam ut omnes conditiones applicentur ad diverfos valores ejufdem termini. , -

Sint

( 15 ) Sint duae JEquationes x — v -+- vz = o, & xz - v = 0. In his

JEquaticnibus ad mentem hujus Propofitionis eft p = r, * = 2, . = z, g = o, b = 1, 3 = 1. Linde fit a + 6 = 3 & a + b = 1, adeoq; m = 3 (= a + £,) atque m -+- p = 4, m + r = 5, & m -+- p + r = 6. Proinde per quatuor conditiones dabuntur om nes valores v, per quinque dabuntur omnes x, & per fex conditiones dabuntur omnes cùm x, tùm v. Quarum conditionum ad minimum

una referenda eft ad valorem v, duæ ad valores x & x, reliquis tribus utcunque' applicandis ad valores Incrementorum v, x, & inferiorum.

Sint Equationes fluxionales duæ ù* — x* — * = o , &

ä—z**—** = o. Tum ad mentem hujus Propofitionis erunt v = v, x = x, v = ö, .* = *, = ö, &C x = *, ?)

p.

«;r

* -+- a.

ar-**.

p +b

*-+g

adeoque p = 1, * = o, a = o, « = r, b = 2, 8 = 4, a + 3 = 4, a + b = 3 ; unde fit m = 4, m + p = 5, m + + = 4, atque m + p + ae = 5. Dabuntur ergò omnes v & x ex datis omnibus z per conditiones omninò quinque ; quarum ad minimum una perti net ad valorem ipfius v, reliquae poffunt utcunque applicari ad valores ipforum v, x, & Fluxionum füarum. . Proinde fi curvæ duæ fint defcribendae, quarum ordinatæ fint v & x, & abfciffa commu nis z, defcriptâ curvâ cujus ordinata eft v per quinque pun&ta data , vel per quatuor pun&a & fècante quintam ordinatam in angulo dato 5 vel in genere quæ tranfèat per unum pun&tum datum, & quatuor ordinatas pofitione datas fècet vel in pun&is, vel in angulis datis, vel in earum extremitatibus habeat curvaturam

datam, vel fymptomata quaedam curvaturae pendentia a valoribus

Fluxionum v, v, & infériorum , dabuntur omnia pun&a utriufque curvae. Vel etiam fi defcribatur altera curva, cujus ordinata eft x 3 ita, ut quatuor ordinatas vel fècet in pun&is datis, vel alias E

fecet

( 16 ) fecet in pun&is, alias in angulis datis ; vel in earum extremitatibus curvaturas datas habeat, vel. habeat alia quævis fymptomata cur vaturae pendemtia a Fluxionibus tertiis, quartis, & inferioribus, da buntur omnia pun&ta utriufque curvæ ex dato praeterea uno valore v. Et modò detur una conditio refpiciens valorem v, conditiones teliquae poterunt pro lubitu diftribui inter valores ordinatarum x & v, & Fluxionum faarum. -

Porrò in his cafibus poffunt duo vel plures dati valores z inter fè æquari, vel (quod idem eft in Geometriâ) poffunt duæ vel plures ex ordinatis pofitione datis coincidere. Sed hoc pendet a certis con ditionibus petendis ex naturâ Æquationum quarumvis propofitarum.

Sic propofitis duabus Equationibus xv = x & xz + x — i5 = 0, per hanc propofitionem erunt conditiones quatuor, quae poffunt pro lubitu. applicari ad valores x & v, & Fluxionum fuarum. Sed ob JEquationem primam xv = z non poffunt coincidere ordinatæ, qui bus applicantur conditiones fpe&tantes ad valores utriufque v &

x ; nec ob Equatiónem fècundam poffunt coincidere omnes quatuor ordinatae, quibus ápplicantur conditiones fpe£tantes ad valores om •

-

•"• •

••

4

-

-

-

nium x, x, v, v $ nam datis fimul utrifque x & v determinatur z +

-

•

•

-

-

•

-

."•

-

4.

-

- -

per HEquationem primam ; & datis fimul omnibus x, x, v, v, item determinatur z, per HEquationem fècundam ; utrumque contra Hy pothefin. Eodem modo capiendo Fluxionem Æquationis primae (pro z fcripto , ut prius) invenies xv + xv = ■ ; unde etiam conftat non poffè coincidere omnes ordinatas, quibus applicantur

conditiones fpe&antes ad valores omnium x, x, v, v. Et iterum capiendo Fluxiones Æquationum propofitarum forfàn dabuntur alii limites hujufmodi conditionum,

Adhæc, ut in HEquationibus integrales tantùm involventibus, fic in AEquationibus incrementalibus, quantitates variabiles funt certis li

mitibus obnoxiae. Sit exemplum in Equatione fluxionali x* — ax -\- z = o.

si (37) ?

\

-

-

+ z = o. Hinc eft x = V ax — z ; unde erit x (adeoque & om *;

:

£.* 3.

*;

3:

£*J'

-

ά

f* .

•*

::

-

nes ipfius Fluxiones) impòfibilis ubi'ef a: <£.' EjufJem Equa 4 •

•

•

-

-

•

e•

-

•

-

•

-

-

tionis Fluxio fecunda eft. 2x* + 2xx — ax = o s , unde fit : .s.^' 3". » *. \ . . , , . , §.:• ••*, «* 4 \ „ . , ..*; '3 =

V3}: — xx ; erit ergò fèmper xx s. £ax. Et eodem

miodo

per ulteriores Fluxiones JEquationis propofitae forfàn invenies alios li-.

mites variabilium.* * * * *** * * * * * * * * * * * ** , ,. *•**'• * * * * * * *'* •* *•***.**** -.** . . . • • • `., ... ;

*- ' '

.•

- •*•

*

, L E M M. A.

**

I. '

,. ,-\

** $:$

In Æquatione plura ejufdem quantitatis, variabilis Incrementa iffi * * * T-, * * ' ..1 * • • •

§L£ ,

-

per nullam regulam generalem certâ definiri poteft ad quot άη

… afiendat quentia: illa ig £guatione intyalidfiente jus* ... ad alias quantitates variabiles. -

•. •

-**-

* * •

-* .

* *.: < • -

…

-: '

-

, …, .;, .,., '• • % •

• _ .:! -

- *

2. ••

-

*

• •

-

••. t*• -•

..

•

-

- -

; •* -* .•.;.. * .^;

• ••

jNimiffi : --

•

&: In Æquatione fluxionali xx + xx nxx + xz== 0, qûiütes fünt femel tantùm affe&tæ, & ubi eft n. = 2, datur x ex dato x, per -

íEquatiónem, quadraticam §.fèd tamen fifiat n = 3, non dabitur x,

nifi per £quatiotjem cubicam ;- fi h = 4, non'dabitut x, nifi per JEquationem biquadraticam §*fi m =£, non dabitur x, nifi per

'Equatioiiem quinque dimenfionum ; Denique fi terminorum reli tr *c*i*. „…i I. .*;…. gr. t. •_ ..…y* c. 3*. *••*.*• •*

quorum coefficientes fiant generales, ut fit ;** m*-+*+ pę = o, dubito an dimenfiones HEquationis quaefitae per ullam certam

legem definiri poffint, fi quidem omninò dari poteft x ex dato 3. per JEquationem terminorum numero fiüitam. Sit ; alia iEquatio -

** 3*2 - *

-*-3 – –;—? *., -in .. … r-.si …..*. s.) ... 3 ? || 32. -

-

• a-- - -

*

4**-**=EFZf* iiic iijiitione sfait* aate tiam dignitatem, & afcendit x ad fècundam ; attamen datur *e;

datâ z per Ëquationem duarum dimenfionum, cujus, radix eft **; *+* ' .......….….... .-.s h... {.

-;. Mutatis verò coefficientibus haüd cet. fiio a} -***' a + VIE. '.….* rui.* [***; area<;rgô sºi . ( . v^ fi.

x =-

&ari póíit x ex dato x per JEquationem finitam.*' ' .: 5, 2ij. *i*s *sep* *}* ^;* * * * .…, ; , x:i, … „Is 3 -***'•

-

-

j, £) P, -

( y8 ) P R o P. VI.

P R o B. IV.

Datis tot Æquatiomibus, quamtitates integrales & Incrementa ut cumque promifcuè imvolventibus, quot fumt variabiles x, v, J, &c. ad z referewde, cujus valores omnes dantur; invenire relatiomes Integraliam per Æquationes ab Incrememtis liberas, que per coefficientes imvariabiles imdeterminatas adaptari poffint ad conditiones Problematis per has Æquationes folvendi. S O L Ul T I O.

Tenta num Æquatio aliqua propofita, vel ejus multiplex, vel fbb multiplex aliqua fit cognitum aliquod fncrementum quantitatis ali cujus cognitae. Hoc fi fit, vice iftius AEquationis propofitae fùbftitue quantitatem illam cognitam fa&am æqualem quantitati cujus Incre mentum primum, vel fècundum, vel aliud quoddam eft nihil s prout

AEquatio propofita, vel ejus multiplex, vel fubmultiplex fit Incre mentum primum, vel fècundum, vel aliud quoddam quantitatis iftius cognitae. . Hoc idem fa&o in omnibus Æquationibus propofitis, fi

AEquationes inventæ integrales tantùm involvunt, dabitur Solutio in terminis numero finitis , quæ per coefficientes indeterminatos in

quantitatibus affümptis accommodabitura3 conditiones Problematis. C\. E. F.

-

*,

Sed fi hoc pa&o Problema folvi nequit, per eliminationes varia bilium (ope Æquationum datarum, & nQvarum Equationum inde derivatatum per Prop. 1. fi opus eft) qua:re tot novas fEquationes quot funt variabiles *, v, y, &c. praeter x, quarum una involvat tantùm x cum fùis Incrementis (nempe praeter x,) reliquæ involvant duas tantùm variabiles x & v, x & y, &c. (quarum una fit fèmper s) cum fuis Jncrementis (in omnibus Æquationibus fèmper fubin

telle&o x.) Per Equationem involventem tantùm x cum fuis Incre mentis quaere valorem ipfius *, expreffum per dignitates ipfius*, ope Fropofitionis alicujus fèquentis. Deinde ope hujus £; -

elimu

( 19 )

-

climinentur x cum fuis Incrementis ab Æquationibus involventihns tantum x & v, x & y, &c. cum fuis incrementis ; & per aequationes hoc modo refultantes quærantur valores ipforum v, y, &c. expreffi pcr dignitates ipfius z, eodem modo quo quærebatur valor ipfius x, Atque hoc pa&o dabuntur omnes x, v, y, &c. expreffi per dignita tesipfius z. Qui valores accommodabuntur ad conditiones Proble matis ope coefficientium adhuc indeterminatorum. Et fi horum va lorum aliqui prodeunt in terminis numero finitis, vel in fèriebus

quæ ad expreffiones finitas reduci poffunt, ex hâc parte dabitur fo lutio verè Mathematica in terminis numero finitis. Sed ubi Series

ad terminos finitos reduci nequit, folutio pro Mechanicâ eft haben

da, atq, fèriei ufus erit in inventione radicis quzfitae x, vel v, vel y, &c. per approximationes,

S C H O L I Ül M.

Redu&io aequationum propofitarum ad aequationes integrales in hâc folutione plurimum péndet a folertiâ Analyftae in inventione in crementorum (per Prop. 1.) exercitati. Quate in hunc finem utile

eft quantitatum variis modis compofitatum incrementa quærere. eaq; in tabulas refèrre, quæ deinde confüli poffùnt, quotiesöpus eft alicujus incrementi integralem invenire. Hujus generis eft, fequens tabella.

'Integrales.

Incrementa.

.. •* * * + * +

| A*+•++ ++ * + • • www.

zz¤ + &c. bz

* @2

+ dxzz z + &c. cz

^,

•A

d: •

\ .

' w ww ww

vv.

32, 2, Z Z. 2.

*¥ . ----——-—--— -

+

2. Ti- + —– -+

-\- & -

-

C.

-

37* - &c. -

-

w w

-

-

w ww wwv wvw

••

w w»

-

•

-

•,

-

. ( 26 ) · · · . •, *;• ,'..• • , ' • ''*** **

·

.*, **

':

-

, --

-

-

-*

- '

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

;* T • '•

1.

- - -

•.

-

£,^,

'.

rel="nofollow">^'.,

: .

**, *..j;* * * * * *;

•

• .-, . .

'!• -• •

•

**• • _* ha. i .*?.*-*** 3* 2 * ' -

-

-

<-{-: A. ^ -

..:'

: •• • .• r. •-'• f.-

¢

-

-

.•

-

-

« : , , , --+ ,m Ai ^; * *, • . ., , …

• ' . .

• •' cr.t >^, , :

.* -. :

-j--…- z.:.- i;

a-

-

- - * -

• •.

-

*.

• • .•■;■

-

-

- '

-

,•, .. •.. •* T - x, •"..

· ··

- - - -

17} rt;*; > x.

, , , • ••• t • ;;;; ?

-

.. . . -, ' ' ' *'•*• •*• > * * • I -

• •

Fluxiones.' . *' j ' ' , . Fluentes.;i *:

,° • , . -

*

… ,. *'• • 1 .

. ,

, ,.,; ! !

-

!

-

Tk •

* ***

*; • .*

• •* . --

-*

* -----i 4-i . A-* ttts , i . pºt*. »'** •'. •* ' ; > «*:tai 2. $ * x -+- Axz X z : x c - , , f A -+ez* x * . . . . ;*i*. ; **

,

… : , * u * * * *.*' «, *, . . } ; *** ** ; . ,.* . . . . *.'• i.* . . r»

3. sE.x's'] A + .'.'.: a-r gv. •' ^XT:…

r ^x

•

• *.• •

•*

. .•

z.x

•

•

.. • . . • •

I.

.

. .

.

;

.

•' « : i c.***'• ■ . *f •* i t T. * *..*i. e^,1**, » £s

**T*** .*, : …; .:-.s, 3. ! ' , , * * * * &v tv *:*) ;;nis , * I. se- A ii •*** ****** ***, - ' 4.

8zxvy+^&zvy-+uázy + *j**v x |

Ar •+1 z x v y. -

w •

6— 1 .2%

- *-

-

A- 1

/* — 1

λς

…•

._

•• •

-

r- I

v., . y . -

-

-

-

; ', • r, . -

-**^;r; ;..;.:?- * ■ * J;£3. * .** -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-r, , : :.

-

-

* X ;

…, ^, 4**' **. * • , ;...**. r» **.. .' .• J- ' ^*'

-

-

-

-

-

-

_

-

-

- -

i*: ,* … ; !

Comparando exprelfiones cum hujufmodi exemplis fòlvuntur. : • . . *.i*. *-* ai ti;t;***i* ***.*.* . . … .. • • :. .. ,. ***** * * ''* quaedam Problemata, Sit æquatio xxx-x*~2x*x = o, Cow-, : … v * • 2, : : • .* •*-*-*

*.***. *** z* s**, • . ;i

-

parando hanc aequationem cum

fiuxionis terti* fiâore szö-i;,

xxxv + μέxx, invenitur s=1, x=-i, -=-a, ipfisà, x, x in hâc aequatione fùbeuntibus vices ipforum z, x, v, in fluxione iftâ.

uide fit fluens $£T**T* aquális quantitati datæ, (quoniam eft ' quantitas data, atq; erit à T' xT = a: (empe completis ordinibus fìxionum pcr 'di ipfius fluxio

æqualis nihilo.), sit itaq,

4

gnitates fluxionis datæ z.) Hinc fit & = a* ; unde iterum re

greijendo. ad

fluentes (ad exemplum fluxionis z"). fit $ =

*;, b?.

Qgo pa&o jam seretur eunio fuissi- sidiis • •,

-

tertii ad æquationem. £uxionalem ordinis tantum primi.

Ad eundem modum poteft aquâtio x* = x**, vel (pro 3 fcri pto r) x* = xs revocari ad ordinem fuperiorem. Nam extrahendo radicem

(( 2 1 ) 3.

--

Duc æquationem in x, atq, fit § x =

radicem fit x = x * : , ,

. . . *

. £

:

&x', unde capiendo fiuentes fit -*-=-*- x -+ a. … -'

' ■ I , i . . .… i *-*-*' .

,

2

5

; -

1

-

.* --- -

. ' .'

r

·· · ·

••

•

• aT

;.

sit alia aequatio x* = xx : tum extra&tâ radice fit x = x x , r

.

3 • -a -

.

-

•* • * • , • • 7 • . • . . ,

-

… ._ * • # *• ;

3 :

•

hoc eft :; x .= xx , unde capiendo fluentes fit ; x =* ;. *x * + a, £ i £ . . . . } * *.. r.

-

fi placet

vel

x = x + a.

'

Et hoc fmodo

per multiplicationes,

.

di

vifiones, & extra&tiones radicüm reducendò expreftiones ad formas fluxionum cognitarum, vel inveniuntur ipfc fiuentes, vel revocan- " ' tur a;quationes ad fluxionum Ordines fuperiores.,: í -

.

e

:

*

?

-

-

.

?

!

.

1

rsi, ******; P R o P. VII. ., .

-

T. H E O R. [II.

,. • • i . , , .

*

*

', . , . .

* * *;

:

Simr* z &'x quamtitates ` *\ duæ variabiles, quarum & omjfirmiter ' : '* .-

**; . ' • ( ' • • - *-*

•*

„*

-

-

-

- - - -

3,

* ***.**.**' * . .

augetur, per . •-• •

* A.

• ,.• • • • .

-

-

-

va

-

data incrememta z, a&; .fit mz ... *. .* . =v, . .v-= . * = *,

•—

•- .

,

* * * * * . . *.* • :.::. _.' . , Av.

-

v - z = v , „ & fic. porrò.«

7um dico quod quo tem

pore z crefiendo fit· z· · + , v,£ ; x , , item crefendo /r* : • • • ,• • i . • •• , *..

-

-

v

•

« w. " fy 7/ q/

t)7)

-

¢

-

z + * + +x-*!-- 4- x * * % -+ &c.

:;;-:;;:; **;;;= + &c * .. - .* -

_ _ - -

---

-

v.

._ -

----

2 *

*

;i

a

-

-

* <

-

^-

• ' •

*

-

\*

.

i.

-

…

-

*-

q.

( x2 )

D E M o N s T R A T I o.

|:

°X;

*+*

*-+«

x-\- x

$

;:

x+2x-+ x

{ x+2 x+x

**3 *+**+*.

|

-

| $. ! &c.

:**

8{c.

*+**+* [&c.

x+3 *+3 ***' S{c. -

**4 z+6 3+4 ¥-+* | •

•

••

|

&C.

Valores fucceßivi ipfius x per additionem continuam colle&i fùnt x, x+x, x+2*+*, x+3*+3x-+x, &c. ut patet per operationem

|

in tabula annexa expreßam. Sed in his valoribus x coefficientes numerales terminorum x, x, x, &c. eodem modo formantur, ac

coefficientes terminorum correfpondentium in dignitate binomii. Et (per Theorema Newtonianum) fi dignitatis index fit m, coeffici- * •

•

*

.. m-1

m

. n-1 . m —

cientes erunt 1,- * -,- * x *r*, * x*-* x *-*, &c. Er 2 3I

1

2.

1I

gò quo tempore z crefcendo fit z+ mz, hoc eft z + v, fiet x æqua•

-•

•

%;

•

71

71 • _•

1is feriei x -+- ^- x -+- '* lx I •

-

j?

Sed fumt --- = T.

VI

712.

(

._•. >*

:

2

); 3.

-

-

* ••* + * x *- **f-*+x &c. 3 7 •.• 2

?{a — I - :

-

2

mz — z ff-*•2 5ZT = ]? , ---= •

-( *;

-

»:

3

|

( 23 )

(*; =) °., &c. 23.

Proinde quo tempore z ctefcendo fit z4.,

z

%

v, •^

eodem

tempore x crefcendo fiet x + x *- + x. -*-+ x v v v. + · 13

1.2z:

*®

<1.2.3:*

.

+ &c.

C O R O L L. I.

Et ipfis z, x, 3, £,&c. iifdem manentibus, mutato figno ipfius v, quo tempore z decrefcendo fit z- v, eodem tempore & decrefcen t)

û

`

q.

-

do fict x — x jis-* x -*- -*— ** °- &c. vel juxta notatio - *** * • i,ax*

•.• 1. 2. 3z3 {/?)

τω

nem noftram x — x IZ … +x �e

-

τ/ τ) τω

-

•

•

— * — '" &c.ipfis ó;&c. 2 ,

• ©

s'

-

.* 1.2. 3z3

1.22

�

•

•;

converfis in — v, — v, &c. -

Jm*

C O R O L L.

II.

Si pro Incrementis evanefcentibus fcribantur fluxiones ipfis portionales, fa&is jam omnibus ô, û, v,

pro

$. %, &c. æqualibus ,

quo tempore z uniformiter fiuendo fit x + v fiet x, x + * iz,+ + 2 3;

-

. . •*.

ty?

•

-•

* -+x I7I3z5 &c. vel mutato figno ipfius v, quo tem -

1, 23,°

*•

-

•

-

J

pore z decrefcendo fit *.-v, x decrefcendo fiet x — §-3- -+ £2 •

v*

â

ty?

-

G.

,

P R O B.

( 24 ).

P R o P. VIII. P R o B. v. * ; ἀ

-

-

-

-

Datâ Æquatione preter uniformiter crefcentem

z . iyv6lvente

quotvis mcrementa alterias variabilis x ; tmvemure valorem

|

• x ex dato z per feriem terminoram mwmero infmitam, , , -

-

-

-

Per Propofitionem primam quaere aequationis propofitae incremen. Tum fi fit , infimum incrementum ipfius

ta omnia in infinitum.

zquatione propofita per has aequationes dabuntur omniaiiicrc

x in

-

-

.. •

-

-

-

-

-

-

.*

"

-

menta , & inferiora expreffà per incrementa ipfi . fùperiora; **

*»

•

-

*. .

-

•• .

-

-*

Sint a, & c, c, c, c, &c. certi quidam valores correfpondentes ipfò. • • •.• , , ,

-

-

-

-

-

rum z, & x, x, x, x, &c. atque per eafdem æguationes dabuntur * **

-. . . •

-

omnes termini , , „,., , & fequentes expreffi per terminos pr* cedentes ipfum í , Ulnde fi pro x. ftribátur a + y, dabitur x per w

*., v.

-. _ . *

• • v {1

w *.

.1 .. •' v τ' v

”... :-+-, &c. (p (per aeqüationem *'.… -+ c...!” x = & + c• ]x, ? -t ••t.* , o-~~ : •.• I.2.33.* t. 2** q. -

-

Βςp. 7.) Ubi terminorum covtíicicntes'c, c, ? &c quorum nu merus eft m, dabuntur pcr totidem conditioues Problematis. S C H O L 1 Ul M. -

,* ,* ... *

-

•*.

T •?

*

-

-•

-

-

.•

-

ubi eft x compofitum aliquod ex dignitatibus integris affirmativis

ipfius z, evanefcentibus incrementis infèrioribus, poft certum nume

* rum terminorùm fùries abrumpctur & fiet finita.*-* -*-'Sit•æquatlo • .-• — • i.**.* * … xx. '

-

-

.

fiet zz -\- -x = o. x -+ 1 = x. Tam * ' • * • capiendo incrementa, 4 --> o, & fit :=

-

• _*

*.

.

-

-

-

·

. . •'• -+

-« s----------

**; x

•£

-

-

-

„*.£--* . *Sed

( 25 )

a-

Sed hoc fieri nequit nifi fit x = o , aliâs enim determinaretur z per aequationem z, + i = o. Ergò fi pro z fcribatur a + v, & fint c &c

ipfòrum x & x valores quando v = o, erit femper x = c + cv,

hoc eft, (pro £ fcripto ipfius valore per æquationem propofitam in vento) x = c + £'v, hoc eft (pro v fcripto ipfius valore z — a) x = 1 + £ z.

-

In fèriebus hoc modo prodeuntibus poft aliquot terminos ex ob fervatâ analogiâ plerumque poffunt inveniri coefficientes fequentes abfque ulteriori calculo. Et poffunt nonnunquam feries inventæ

comparari cum aliis fèriebus cognitis, quae producuntur a cognitis expreflionibus finitis : quare vice fèrierum fübftitutis iftis expreffio nibus finitis, eo pa&to dabuntur integrales ia terminis numero finitis.

Sit aequatio fluxionalis xz + nxx — x — x* = o, ubi pro z fcribi & + x* tur 1. Hinc fit X = ÉÉ, vel (pro z+nx fcripto y)§=*Σ +%* J/ *s

Et per calculum continuatum invenietur x = (? - ■ x -

M<

+- $.

;— =) ,

;

2 • • λι

••

4

, x = 3 — 2m

§ '. 3 — §* jx, « = 4 - 3m jx, & fic porrò. Quarc

(pro a + nc fcripto p, ) per hanc Prop. erit x = & + èv +

*;'.!.

3IETÉÉv· = *-i-*-t i- + I, 2. 3. 4p* -+: 1. 2. 3p.

a. •$•v -t-

c. hoc eft x = c -i. &c. 1-

-

—

4-:»!.x 4-*.«-« *=£, p. + £*«* á, •+;* ;** ;xj; 3*=*«*=* „T ctv «;•. „. p. 3. «-; «-' 4. &c. Sed numeri n, 1,2—m, 3—2n,&c. producuntur pcr continuata - {ubdu&ionem numeri n — 1. Quare fi fit p = m - 1, erit feries •4

* « _}_ c* j* -+p.

»p

_* Y p.

: - ): c3 v3 -+- ${C. = I + 3p '

- --

ύ" T'

— 1 -ì-

-

71

( 26 ) n.

-

•••

-

„ * , c v. Pone itaque p = m — 1, hoc efi, fiat a = n — 1 — ne, ? — 1|

atque dabitur x per æquationem finitam x = c + év +*;*' » m.

*.

…

-

”

-

-

•

_ • _

-n - 1

-

-

-

<…>

ę

1 + 3 vf — 1 — Am— -—1 c v ; ubi eft

£=*;t£, atque v = z — n » -

+ 1 + nc ; atqueincogniti c & è determinandi fùnt per duas con ditiones Problematis. Porro im hâc aequatione x & z fubeunt vices

ipfòrum z & x in æquatione $x + £x + nxz + & = o,

quam

adduximus in Lem. 1. Eam verò in ordine ad inventionem hujus expreffionis finitae (abfque ifthac transformatione quidem fruftra quaefitæ) transformavi perPropofitionem tertiain. Cujus Propofitio

nis ufüs quantus fit conftat etiam ex hoc exemplo. Sed & fluente uniformiter z, ubi inæquatione propofitâ involvuntur fluxiones fècun dae, tertiae, vel fequentes ipfius x, fi per hanc Propofitionem cupis invenire valorem ipfius z, ex dato x, erit æquatio eodem modo transformanda. -

;

-

Nonnunquam per alias transformationes inveniuntur expreffiones 2 .

finitae. Sit æquatio 4x3 — 4x* = i-Fz*] x* (quam etiam ad θ

-

-

\

-

-

duximus in Lcm. I.) Pono z= v y , deinde fubftituto hoc valore x,

& valore fluxionis x inde refultante, quaerendo aequationis formam fimpliciffimam determino indices 3 & x, & valorem unius v vel y. *.

-

-

*- 1 - A ~ ■

-

Hinc ergò fit x = %n + xj, x v 38

4v

3^

9

2w 2^

— 4v

m

•

- I

-

z*]

+ •

y

*

--,* * 2&-2 2N-2 , }

•

X

SEfv θ A-* 2

•

1 +z*, & æquatio fit fimplicior 4v y θ 2

•

-

. ^

. atque (per fubftitutionem) -

Pono

tj E

~—- 2

— 4y*= SEYTEN} 1. Po %

• -—?

* _ m

eft v = £;»— $z* + i = v, §.

no x = — 2 & fit v — y = »«y —}vl, hoc

28z)-t v* j°. Pono deniq; s = 1, atque fit -

pacto

( 27 ) pa&o æquatio divifà per v fit 1 = y*- zzy)

+ j. unde capiendo fluxiones fit o = zyj— 2j-2*j-zzj-* j-* avjj, hoc eft

(pro ó fcripto ipfius valore zz) — zz%+ a*jj = o. Hinc fit vel j= o, vel — zy + vj = o. Si fiat — zy + vj = o, invenietur j*= v, adeoq; x = (vy-* =) 1 , quæ eft fingularis quædam folutio. Problematis. Sed fi fiatj = o,

proipfòrumz,y,&jvaloribus concur

rentibus fcriptis o, a, & â, invenietur a = VI- aa, adeoque erit

g = a + VATZz (per hanc Propofitionem,) & inde x = (w*y^ =) I -i- z?

3T7EZTE] ' Quoties fieri poteft ipfius z valor datus æqualis nihilo, nec eo paao termini fèriei redduntur infiniti, feries prodibit in formâ fimpli çiori afcendens per dignitates ipfius z. Et in hoc cafii poteft affumi feries in terminis generalibus exprimens valorem x 5 in quâ coeffi

cientes poftea determinentur per comparationem terminorum, ad mormam fèquentis exempli. $it æquatio 3. — &z — zx = o. Pone x = A + Bz + Cz* +

Dzs -,- Ez+ + &c. Tum capiendo fluxiones fit '« = B +

2Cz -+-

3Dz* -+- 4Ez3 + &c. atque §= 2C + 6Dz + 12Ex' + &c. Qgi bus valoribus ipforum x, $, $ in æquatione fcriptis, & terminis

difpofitis fècundùm dignitates ipfius z fit C-\-6Dz-*-12Ez*-+ &c. -2A — 2B — 2C

&c.

— B — 2C

8{c.

$

= o.

..

In häc æquatione (ne fiat z

quântitas determinata per æquationem affe&am alicujus ordinis

Analytici, quod in hoc cafù eft $trum, quoniam

ex

hypolij e

( 28 ) eß z quantitas variabilis, & fèmper ad libitum fumenda,) debent termini omnes evanefcere per fè, per valores Coefficientium A, B, C, &c. Erit ergò per terrninum primum C = A, per fècundum = : B, per fertium E = + C = ; A, & fic porrò , unde fit x = A + Bz. -+ Az* + ; Bz3 + ; Az+ + &c. Ulbi hoc modo procedere velis per affumptionem fèrierum in formis generalibus, fæpè difficile eft iftas formas invenire ; prae.

fèrtim fi cupis coefficientes quot opus eft indeterrninatos effè reii &tos, ut confùlatur conditionibus Problematis. Series quafdam particulares quærit Newtonus per extra&iones radicum ab aequatio

bus affeétis, & methodum docet, concinnam fànè, & elegantem, inveniendi formas hnjusmodi ferierum, per difpofitionem termino

rum in paralkiogrammis. Quod Artificium (fáëtâ levi mutatione) in fequenti propoiitione cxplicabimus.

P R O P.

IX.

P R O B. VI.

Datâ aeqaatione flaxiomali duas tamtùm Flaemtes z & x , & earum Fluxiones imvo/vente, qaarum z tom formiter fiuit per

Fluxiones 1 ; invenire formas Serieram afceaaentiam per di gnitate, ipfius *, per quas exprimâ poffù valor ipfiae x. -

-

*•

'

••

3-

3-}-*

s +a.

Seriei quaefitae forrna generalis elt Az, + β: ' -+- Cz ' -+&c. & in dato cafù fpeciáli determinandi funt indices dignitatum

s & n. Qui tales effè debent, ut, converfis oninibus terminis :equa tionis propofitæ in feries, in iis fubftituendo valores ipfius x &

fluxionum fiarum per hanc feriem, & per ejus fiuxiones expreffos, pofîint termini omnium fcrierum hoc tnodo provenientium ita inter difponi, ut, per coinparatioiicm terminorum in quibus funt eaedem

dignitates ipfius : qu€ant dcterminari cocificientc$ A, B, C, D, &c. wcd

( 29 )

-

vel omnes, vel qyot fieri poteft. Ad hoc duo requiruntur. Pri mùm, ut indices dignitatum z, in fèriebtis ex terrninis æquationis propofitae per fübftitutionetn provenientibus, omnes cadant in ean dem fèriem arithmeticè proportionalium ; alias enim fèmper effent termini folitarii, per quos vel nihil determinaretur, vel fierent om. nes coefficientes æquales nibilo. Secundò etiam requiritur, ut fèrierum hoc modo provenientium ad minimum duarum terminorum

primorum indices inter fè æquentur, ut determinetur coefficiens primus A : ne per terminum fòlitarium in initio æquationis ad com parationern terminorum inftituendam ordinatæ fiat coefficiens A, vel

fortè quantitas aliqua data in aequatione propofitâ, æqualis nihilo , quo pa&o perturbetur ordo feriei inveniendae. „His præmiffis, fi terminus aliquis aequationis propofitae fepofito μ

-

ει . 3 .. y .. *

-

•

v,

coefficiente dato fit z x x x x &c. terminus primus feriei ab hoc termino provenientis, (fepofito etiam coefficiente) erit J/ -+- ,v -+- ß + }- TTT&. x 3 — g -- , , -- 3 ^ - &c. Z

, & fi pro indice

-

-

hujus termini fcribatur +, feries iila (fepofitis coefficientibus) hafic * • 7* -+- m habebit forrnam ... x, . . . r. ·

* -+- am

a-

· ·Ž

x -+-3M ... &c. ita

• • . ?.

ut omnes feries ex terminis æquationis propofitæ provenientes afcen dant per ipfius z dignitatem M. Hoc facile intelligitur paululum . . . 3 . ., 8-4-^ . . . arrendendo ad formationes fluxionum fèriei Az + Bz. ' -+ C •

-

3

-i-

z .'

***)

-

vo

-

-

-+ &c. & ad genefes fèrierum ex terminis aequationis pro.

pofitæ per multiplicationes hujufmodi fluxionurn in invicem. Frgë per jam di&ta, debent omnes * cadere in eandem feriem arithmeticé

proportionalium, quorum differentia ett , & ad minimum duo * in principio aequationis transformatae debent effe inter fe æquales. qui ve! omnium minimi erunt fi fir , affirmativus, vel omnium maximi fi fit n negativus. Ergò percuriendo omnes terminos aequa

tionis propofitæ ex fingulis colligatur numerus ae vel μ£F3F -

+ 8Cc

( 3o )

-

3F&E x 3 — g — xy — 3^- &c. vel (pro • +4+ y+++&c. fcri*

pto y, & pro μ — g — y — 3* — &c. fcripto v, ) ys + v. §int ys + v, & j> + b duo ex hujufmodi numeris. Tum fi hi numeri tales fint, ut fa&i inter fè æquales, & inde determinato 8, fint omnium numerorum ys + v per iftum valorem S provenientium vel maximi, vel minimi, re&è determinabitur s. Hoc autem fit fèquenti artificio. O

Duc re&tas infinitas AB,

AC, & (fümptâ aliquâ lineâ pro unitate) in AB (ad dex

C

tram fi fit y affirmativus, fèd

IL

ad finiftram fi fit y negativus) | S

M.

fume AD = y, & du&â DE

N ]

>J

ipfi ACparallelâ,in eâ(fùrfum

TG

fifit vaffirmativus, at deorfum

H;

i5

-

A.

JF

IL

Éfi contrâ) fume DE = v, & colloca numerum y S + v in

-

pun&o E. Omnibus numeris ys -4- v in pun&is hoc modo difpo fitis, fint eorum exteriora duo E & G, ita ut pun&a reliqua omnia cadant ad eaflem partes re&ae EG. Tum numeri in pun&is E & G inter fè fa&ti aequales dabunt valorem indicis s. Duc enim GF parallelam ipfi CA & occurrentem AB in F, & fit M aliud pun&um

in quo collocatur alius numerus ae, & ducatur ML parallela ipfi CA & occurrens AB in L, atq; occurrent GE ipfi AC inl. & ducatur e; parallela MO occurrens AC in O, atq; ducantur GH, MN ipfi AB paralleæ & occurrentes DE&ACinH&N. Tum numeriae collocatiin

pun&is EG, & M erunt AD xS -+- DE, AF x 8 -+- FG, & AL xs 4 LM (per conftru&ionem). Quare fi numeri in E & G fiant æquales erit S =

#=ÉÉÉ, hoc eft s = É,

EHG, ONM)

ę.

vel (ob fimilia triangula

( 31 ) unde jam numerus AI.×s + LM in pun&o M fit ALx §§ + LM, hoc eft AO; atq; ad eundem modum numeri æquales in E & G fiunt AI. Ulnde fi pun&la E & G fint omnium exteriora, adeo ut cadat pun&tum I vel infra vel fupra omnia pun&ta O, erit AI, hoc eft numerus ae in E, vel in G, minor, vel major quolibet alio numero AO in pun&o quovis alio M. Ulnde per pofitionem pun&ti l re

fpe&tu pun&orum O, determinatur fignum ipfius m ; quippe qui affirmativus eft ubi I cadit infra O, & negativus fi contra. Et binc facile conftat effe n maximum diviforem communem ipfius AI & omnium AO ; alias enim non caderent omnes * in eandem

fèriem arithmetice proportionalium, ut per jam di&ta fieri debet. Ergo numeris omnibus , in plano hoc modo difpofitis, fi appli cetur regula ad pun&a duo exteriora E & G, dabitur index S, atq; fignum indicis w. Deinde invenietur ipfè » fumendo maximum diviforem communem omnium numerorem ae provenientium per

valorem s jam inventum.

Ulnde dabitur forma fèriei quaefitae.

g, E. I. Ipfius autem S fignum eft affirmativum ubi GE fubten dit angulum CAB, atq, negativum ubi fubtendit ejus complimentum ad duos re&tos. 4

.

.,

Sit hujus rei exemplum in aequatione 1 + zx — z' xx — &= o. Percurrendo terminos hujus aequationis, in primo 1 fünt μ=o=«= =^^=&c. Ulnde primus numerus ae (vel ys -+- v) erit o. In fè

cundo termino zx funt μ=■=., g=o=y=^=&c. unde fecundus •

4 .

numerus or fit S + 1. In tertio termino z' xx funt μ=4, 2=1= e,

Y=o=*= &c. unde tertius m fit as + ;. Denique in ultimo ter mino x funt p=o=a=£, y= 1, 4 =o= &c. unde ultimus , fit $-2.

Du&is

( 32 ) Du&tis itaque A8 8« AC, erit pun&am A locus numeri t primi,

r: $41 7* ■ --•..

ve! o. Sume abfciffam

Ab = f,

& ordinatam ipfi AC paraifelam I)E = 1, atq; erit E locus íecundi

*, vel s + 1. Sume abfcifiam AF = 2, & ordinatam FG = 4, atque erit G locus tertii r, vel 28 + ;.

Sume deniqne AD = w, & ordina tam DH = -- 2, atque erit Fi locus numeri § •- z.

jam daais reais per pun&a omnia exteriora, includentur omnia punaa trapezio AHGEA. fEquatis inter

fe aumeris & & § - 2

in extremitatibus fateris AH, fict 3 = z, & omnes numeri * ficnt,

o, o (= S — z = o) 3 (= & + 1) & 4 (= 28-t 4 ») quorum omnium minimi fiint duo æquales o, & divifor fnaximus communis cft 3 , quare in hoc cafù eft » = 4. Pro numeris æqualibus fumptis 8 — 2 & 2* + 4 in extremitati bus lateris HG, fit 3 =- £, & omnes numeri * fiuntT£, T3, -4, o ; qucrum funtin duo aequales munis cftminimi ; : quare hoc cafu eft n -?, = & - maximus divifor com •

.

1.

$i fiant »8 -+- , & 3 --- i inter fè æquales erit 9 = 4, & numeri

omnes erunt 3, 3, o, -!, quorum maximi funt duo aequales 3, & diviior communis eft ; : quare in hoc cafù eft m = ~ ?.

Denique fi fiat s + x = o, erit 3 = — r, & omnes numeri eriint o, o, -3, — 3, quorum maximi funt duo o, & divifor maxi mus communis eft 4 : quare in hoc cafù eft m = T}. fote(t

ss X

( Poteft ergò fierl

- _

a

_ 3

_ :

-

• •

-

•

•

•

'

vel 1. * = Ax + Bz * + Cr. : + &c. vel 2. * = A. '+ B."+C+ + &c. vel 3. * = Ax + Bz"-* C. *+ &c. = A. T + Bz *+ c.T* + &c.

vel 4. x

In cafù tertio Analyfis £ habet ut infia exhibetur.

-

-

-

-

.

-

*

-

; •

-

•

-l

-

-

r

w

-

•

•

* *.

-

--

-

- - --- -

-

-

-

-

-

-*

i. • .•

-

•.

-

•

1

' ' -*;

-

s. -

-

; * -

-

_*

, ** '

-

-f- . . .

-

*

, • _• : .: i '1

3

.. *.

.

' - -

- -

-

-*-

-*- - - - - -

; - - -

i

n.

-

**,

-

*.

-t

„

-

-

.…

-

.

*-

...

-

* * , .

*•

-

•

!

-

e.

, r

-

.

'

• .

t*. x : ; ;

**

i - -

-

-- -

-

-

- -

-

-

-

• - - - -- ---

i

•

--...-..------ • •- *** ************

:

( 34 )

+

-

•

•.

1 -+- zx — z xx — x = o

AEqu. propofita

- 3 <;-

HEqu. affumpta. p. = A.'

B:T' + Cz

-+

'

+ &c.

—.

—n

*5r

-

z = ; Az

?

— Bx

- : C. ' — &c.

Fluxiones, — $.

—2

- 3


F =-* A*

*

+ z8z + %' Cx " + &c. -;

3

A.'+

§ I. <*

B+

]

Cz || + &c

co ac

ÈÉ Í

; .|-, A* + ;AB + 2AC

‧ § 3 1-z

3r*

1.

*—*

+

?•

ω

B

|

1 + + A — &c.

j

-+-

s;

| &{c

= o, -

B

.E } 1.] A - # A* = o. ç

Ulnde A = 2.

vel A = o.

i

-

$

3. 1 C + 2AC -+- B* + + A=o.

§ 8;c.] J$

= — „,.

&c.

&c.

-

*:

-.

+

| 33 1.]* = 2x — 4 z 33:3

rel="nofollow">£

-*

2. [x et

• - 2.

-4

-,', z

— &c.

-s-

— z ° — &c.

C= — 1. &c.

( 35 ) In hâc aquatione, ut vides, duæ fünt feries exprimentes valorem ipfius x, prodeuntes per duos valores ipfius A in æquatione A — 3. Aa = o, & harum fèrierum fècunda eft ejufdem formæ ac fèries in cafu ultimo , quare per unam hanc Analyfin invenitur utraque {èries, tam cafüs quarti, quam cafüs fecundi. Quinetiam per Ana

1yfin inftitutam in cafu fécundo eodem modo fimul invenies fèriem in cafu primo. unde per duas tantùm Analyfes feries omnes inve niuntur. Sed hoc in eo cafu tantùm fit ubi eft w idem in duabus {èriebus, atq; ubi una radix A in æquatione primâ inventâ per

comparationem terminorum eft o. Poffunt autem plures effe radi ces A in iftâ æquatione, pro genio cujufvis aequationis propofitæ ;

& quot funt radices A, tot dabuntur feries per fingulas Analyfes. In hâc Analyfi fècundò obfèrvandum eft, quod omnes omninò coefficientes A, B, C, &c. determinantur per comparationem termi norum. Quare fèries hoc modo inventæ funt omnes particulares,

neque accommodari poffùnt ad conditiones Problematis, obdefe&um coefficientium indeterminatorum. S C H O L I Ul M.

Nonnunquam ubi index 8 eft numerus integer affirmativus, eva nefcunt termini primi in feriebus exprimentibus fiuxiones ipfius x :

nam producuntur coefficientes iftorum terminorum primorum per continuam multiplicationem ipfius A in numeros 8, 6 — 1, 8 — 2, &c.

In hoc cafu faepe fit ut terminus evanefcat, qui debcat effè unus ex terminis in principio æquationis transformatæ, quo pa&to feries

ifta aliquando fit impoffibilis. Sed fi evanefcant termifii in genefi fluxionum, & tamen füperfint termini duo in principio æquationis

transformatae, feries adhuc dabitur , quæ etiam hoc erit cæteris praeftantior, quod in eâ erunt coefficientes aliquot indeterminati, per quas accommodari poteft fèries ad aliquot conditiones Problema tis. Qpinetiam per fimilem evanefcentiam terminorum in produ -

K

&tione

( 36 ) . .

.

&tione fluxionum fünt nonnunquam aliae feries radicem exprimentes, quæ per hanc propofitionem minimé inveniuntur. Quoniam de aequationum radicibus particularibus jam loquimur,

libet etiam hoc unum obiter obfèrvare , nempe quod fi v fit quan titas ex datis & variabilibus quovis modo compofita, & pof fit aquatio ad talem formam reduci, ut omnis terminus involvat vel ipfùm v, vel ejus incrementum aliquod, erit æquatio v = o par ticularis folutio Problematis. Si in aequatione hoc modo transfor

matâ involvator ipfum v, zquatio v = o nullum continebit coeffi cientem indeterminatum, adeoq; fòlutio hzc erit maxime particu

Iaris , praefatim fi v integrales tantum involvat. Si æquationem

transfòrmatam non ingreditur v, fèd i, zquatio v = o continebit umm coefficientem indeterminatam. Si zquatio eadem non continet nec v, neq;

i, (èd û, æquatio v = o continebit duos coefficientes

indeterminatos : atq; in genere quo plures terminorum fùperiorum

v, î, î, &c. deficiunt in æquatione transformatâ eo generalior erit folutio Problematis per æquationem v = o. Ad hæc ubi v integrales tantùm involvit poteft commode inveniri Problematis fòlutio generaliffima,per v & incrementafiua exterminam. docæteras variabiles, &c deinde quærendo radicem v per methodum

aliquam jam traditam. Sic in æquatione x — ;— * = o, pro *—&fcripto v fit v — x = o, hoc fius

*== flnens eft £- :

a*=*= •.

Sed ip

quare pro quantitate quavis invaria

-

•

-* — •

*— —

bilifaipto Aerìt ; = A, hoc eft :=;= A.

I, E M

( 37 ) L E M M A

II,

Si datur x ex dato & per aeqaatiomem, qaamvis amajticam certi cajufvis mameri dimemfamam ; etiam dabitar ipfias x incre mentum quodvis x ex dato z per aqaationem ejafdem ma Â

meri dimenfomm. Nam quot funt dimenfiones ipfius x in aequatione propofitâ,

tot fùnt ejufáem radices (quippe etiam impoflibiles ad numerando.) Sed fingulae radices x fua habent incrementa. Quare tot fùnt radi ces incrementicujufvis x quot fünt radices ipfius integralis x ; adeoq; Σ;

utrumq; dabitur ex dato z per æquationes ejufdem numeri di menfionum.

£E, D. C O R O L L A R I U M.

Hinc propofitâ æquaitone definiente relationem fingularis alicujus incrementi x ad cognitam variabilem z, fi dari poteft integralis x * *

?

ex dato z per æquationem terminorum numero finitam, dabitur per

aequationem in quâ x afcendit ad tot dimenfiones, atq; afcendit

x in æquatione propofitâ. 2; 3.

, P R o P. X.

P R o B. VII.

Duis equatione ania, dinsuffoni afaime valorem cujufvi incrementi fiegalaris *2} ; invenire valorem ipfius integrali; •

' ' x in terminis mamero finitis, fi fieri poteß. Si

( 38 ) Si dari poteft relatio x ad quantitates cognitas in terminis numero finitis, dabitur per aequationem unius dimenfionis (per Cor. Lem. 2.) Solutio itaque quærenda eft tentando an quantitas, cui fit x aequalis, -

^;

quo pa&o reduci poffit ad formam incrementi alicujus cogniti ejuf dem ordinis. Qgod fi fit, dabitur radix x in terminis numero fini

tis, faciendo eam æqualem integrali iftius expreffionis. Sed fi hoc fieri nequit res defperanda erit,

, *.**

-

In fluxionibus quoties dari poffunt fluentes in terminis numero finitis invenientur per Quadraturam Curvarum Newtonianam. Et

nonnunquam commodè inveniuntur hujufmodi exprefliones per . Propofitiones duas fequentes.

P R O P.

XI.

T H E O R. IV.

Ipfius r * fluens exprimi poteß per alterutram ex feriebus -—

• •

aa ••

-, '•

-*

r s | = r s - r s -+- r s — r s -t- &c. vel

i--

•

/

•• a

33l = }%—%; +

•'• ,,•

+ r s - &'c.

Theorema inveftigatur ad féquentem modum. Sit fiuens quae fita r s + p, hoc eft, fit [7] = r s + p. Tum capiendo fluxiones erit

* * = * * + r i + b, hoc

[7], indeque [£?

=: r S _•

eft

E| .

p =-- ri ,

adeoque p = —

Itaque fecundo fiat

*$+ Q ; & capiendo fluxiones erit râ = rì-* % + â,

E| = hoc eft q.

=-

( 39 ) -

-

•

•

-E adeoque |; , = * s - * s -{-\r s

q = — * s, atque q =

-

« -

:

'

-

. j

-

Et pcr operationes repetitas eodem modo invenitur i; s} =z *.' a, •• ••

•

1,, •.

*•

-

;:

* * * * * * 1. •

. y, **

su4

*'* .li.' — . •*.

artur

j],

-

y s --„

,

·

©

* s -+ r s — r s | = r s — r s + r s — r s + ] r s | = &c.

Ad eundem modum fumendo fluentes ipfius s & fluxiones ipfius inveftigatur fèries altera. -

Quando hoc Theorema eft applicandum ad cafum particularem, eligenda eft fluxio aliqua w, & in computandis fluentibus r, %, %, &c.

vel s, , ?, &c. cum primùm comparuerit fiuens aliqua, ea du

cenda erit in i , & produ&i fiuens fùmenda erit pro proximâ fluente quaefitâ. Item in computandis fluxionibus *, r, %, &c.

vel i, , , &c. quoties cQlligitur fluxio aliqua, erit ea applicanda ad j, & quotientis fluxio fimiliter applicata ad vfumenda erit pro fluxione proxime quæfitâ. Hæc autem fluxio w ita fumenda eft ut termini fint quam fieri poteft fimpliciffimi.

Poteft etiam fèries per hoc Theorema inventa dupliciter accom modari ad conditionem Problematis, hoc eft, ad datum unum

valorem fluentis quæfitae refpondentem dato valori variabilis cogni. -

tae.

•

".

•

-

`.

Hoc fit primo fumendo omnes fluentes r, *, *, &c. vel •

•

• • - mm

*

' s, s, s, &c. purè, abfque ullâ correaione per additionem invaria

bilium, & deinde feriei inventæ addendo invariabilem per conditio. nem iftam poftea determinandam, Idem fit fècundò fluentes omnes,

cum primum prodierint, ita corrigcndo per additiones invariabi .

-

' ' L

lium,

( 4o ) 1ium, ut omnes fimul evanefcant, (adeoque & fèries tota evaneftat,)

quando variabilis data eft certi alicujus valoris.

Adhzc quando terminus aliquis , §, 3, &c. æqualis eft nihilo, feries prima abrumpitur, & fluentem dat in terminis numero finitis. Atque idem fit in fèrie alterâ, ubi evanefcit terminus aliquis

f, *, ?,

&c.

E X E M P.

I.

Sit xx = — z%, & propofitum fit invenire fiuentem ipfius zx. In hoc cafù fi pro * fùmatur z, & pro s fùmatur x, commodiffimè

fiet * = z (=— **). Et hoc paao fùnt r =z, f — (El =) z3

—–

•

z5

•••

•

z,7

••

*=(E]- ) ,£-( —);$£, & * *>, -*-(. -);… -(-}-) ;;- , r = (£- = jä-, & fic potrò. Sunt etiam s = x; s = ((:-) i-(; -}¤, i-(£-}*, T,

p r

$• 3

•

•

-

-

p.

5

V,

Z

3

— • I

©

1w

1%

's

-■ 3ς

3

-

-

-

•*.

8. fic porrò , item

1 p.

?

;-(E-)-;*, *-(E]-);#.3-(E-)í;, & fic portâ, unde pafsiempriorem n—#i +#5— # ï-+ &c. ····· • • —-

-

z3

-

-

z7

Z

-

.' <"

-

-

fit E = ** + ;;--;;;; ++*+-&c. Et per faiem •'•uu * ** :;7 alteram * *•— r 5 * r s - &c. fit £| ==# +#-# • •

<}- &c.

•• •

-

-»

*

-

-

In

'C 41 ) In his feriebus fidentes *,*, , &c. item , , , &c. fumuntur pure , quare fèries accommodandz funt ad conditionem Problema tis per additionem quantitatum invariabilium. Porro per harum fèrierum primam exhibetur area circularis adjacens finui x & cofinui z, & per fèriem alteram exhibetur ejufdem areae complimentum ad

quadrantem cum figno negativo : Qpod ita fit quoniam area illa adjacet abfciffae x, ultra ordinatam produ&x. `s *

-

.

E X E M P. -

•,

i.

e

'

II. *

'•

�

. 8-1 A - r

Sit x;• =• •a• +. bx ., & invenienda fit fluens ipfius zx. x . fn 0

hoc cafu fi fiat r = zx, ,

* .

•,

-

•

-

& . = § ' commodiffime

•

fit w = a =

.biz T. unde fùmendo fiuentes pure, ad inveniendam feriem priorem erit ***-

-

u* - ' .

- -

f

;

•

-

-

u.

* — -- --------*

Item

:-: ;;

$

-

=

â

.

wA

-

=

!X,

$

•-

?

-;

Je

e

j*

— **3

-

= }•--•--*

* •• s.

*'••

A- 2 • = - s.

--.. .

•* 3

… -

*** <• , :

* ;

--

.

• -

-

S

\— — — **

'§

•'.

-;-=

=

A-3'. '

=-;-

—3• a-* A- 1 *

Se

& fic porrò,

, Unde (pro integris terminis cum fùis fignis fcribendo A, B, C, &c.) fit } •

•• • r

/

- .

*~'] _

8

A- 1

Z 3;

-xw+w bz'•

• • •+ ' -

-

bz•

• •

ET]- *£*-#.£.4=##.£, , :-

=##.. *. C + &c. -A

A$

Et ad inveniendam fèriem alteram fit

— [*— = l *

ET - JE- '

?

_ 4-2*

••

E = \(.;3

=;

}E; []

= *Ibx BE ; 8 — 3w

-A

s> •

y

(

?

= i ** : •

( £

I

— YE$-».z. • {•-…_ =

)TF}i

6 — aM •• ìs

7*

C 4a )

-(E -);

Item ?

—•

v.

λΗg •

•

A-+- I. a.

-

-

*

m44

3

.

A.

••

-

' '• *

=

I. •

I

A#2

: *

-

3*

35

jw s1 =

40

-

F —– c.

& fic porro.

ünde &c.) fit (pro terminis integris cum fùis fignis fcriptis A, B, C, *• -

ETFT] £ x [=_ —0-

- -

- _

*-*x^ _,. ā; —64* . _*,_ Awà + bz* A -+- -8+am. =EE* B -+-

-

;£##- C -+ &c. 3;

*

-

. .-

-

.

,*

,

:

*.

-

---

-*-

In his fèriebus per terminos jam appofitos fàtis conftat ratio formandi reliquos. Caeterum quando eft a numerus integer affirma tivus, fèries prima tandem abrumpitur, & fluentem exhibet in ter. minis numero finitis. Quod idem fit in ferie alterâ, ubi eft % multi plex integer affirmativus ipfius w. •

E X E M P. „ ** ? . *.

.

-

^

III.

4-* *- *

Propofitâ eadem fluxione zx

x

, fit fèries invenienda, quae

æqualis eft nihilo quando z = c 3 idque fit faciendum in ferie afcen dente per dignitates ipfius x, & defcendente per dignitates z. Hinc ubi eft z = c, erit x = a + bc'. Pro a + bc'£iibe d, atque erit

dvalor ipfius x quando feries tota debet evanefcere. Itaque fà&to •

.

0—1

r = xz -

A•1

, s= x

-

'•'• * •£

•

*•*

, & pro w fumpto x = wbzz , exiftentibus, IM

7,

( 44 ) *, r, Â &c. iifdem ac in exemplo præcedenti, invenientur fluentes dum

•

uem

3, §, 5, &c. modo fèquenti.

Et : fluens ipfius*, h. e. ipfius*". Hujus fiues pura et *A

Ἀ

-

-i-, quare ut evaneftat $ ubi eft x = d, hinc dempto A.* fit : = A.

Ά

A.

-í £ .

Et per fimiles corre&iones fit

•-•

-

$

?\, J? = — _. A.

A

· · · · ·

a'

£ X.

„***

d x +

**

X-FIX A *2 3;

A -»

A+a.x-+1. A

•

·

-

…

·

·

IX-Fi

1.Â

•ω

-

.

-

- -

Ἀ31

*

3

•

•.

.-

?\* ■

2

+ d x a. 1. a a.ia-Hi d

•

Af2

d.

3;

·

,' ' ' · · ··

· ·

e

2.1.A+a

& fic porrò.

• '+

Caeterum ex terminis jam appofitis fàtis conftat ratio formandi reliquos.

.

-

s c H o L 1 u M.

^

1. Poteft fluxio propofita variis modis refòlvi in fa&ores *& •, unde plerumque oriuntur feries diverfae. Sic fluxio jam propofita %%6— X. AEFEÎ ' etiam fic fibi poteft zz 03Aw-w• £•■ £££ z=i* — ■ .

-

-

.

——.^ * I-

•

.•

. 8iAw -w-i

-

ubi fi pro *. s, & i* fùmantur z

, BTF z=J'"', &

—.*T', & pro •* w' £iibatur •, exprimatur eadem fiuems pcr feries fèquentes ; •*. •

- • s •

,

· · · % --- * • '

•

*.

:

:

•

-

-

'...' * .

*.

*

•

;•

, •

Zz

( 45 ) *=!-- • . f-Ah-zw

;

.-f

-_---_-

-}-2AM-4m 4M

…

" # se-

.* ,

•

•

;

;' *

•

•I

.

ĘΈTARII . —z* xA . 9+Aw . £ * J-TRE * + NEFT** ,,. ,

-

· · · · i , 3 – C. .

-

.

-

A*rw. a

A + ÈÉÊj; ; B

x

'

·· · ·

*, ,

·

£+**+* • . . *4**+a, A + ; an 7B-+-;#;

· ·

· · · ·· · · ··

·

·· ·

T, . . .

··

.ubilis* A, B, C, &c. fcribuntur pro totis ter

*

inis cum füis.

„;;;;;;;;;;;;;;;;;*■* pro totis arminis

-

*** ' — - —

.…

* *

* . ■ .* c.** --*, * .

“…

< 2:3 In inveftigatione Theorematis inveniebatur,

: : :;r

R] = * * — *

— , s; o. . . r* ******* j,, . . ..... . .;::.::;::.: ■:.. …'-'. > • •.,,; o • | '-.i*.._ ---;-*.. _.. .:,, **

;|. * Ulnde fi pro r & s fùmantur**.*fi*xx& a***+ b+ ;' &

? —

:'

~, .

|.

-

-

., -% t »

hoc eft,

%%

•

i

Anę z*. A ** 3c

-

5;

3TE;

*+1 A

-.

ΣΤ].* £v.s

A- i

= * *il. -*

X; —

r

•£, . '.»

:-—--—

a + bz fcribatur z, erit •

pro ''

.-• ''•' £. *** .* ' 7., „, „,,;?

r\ •* ■ •,, .

-

-

;

=*II*- jj*;!•* • J. Datâ itaque .

•

8

A.

e'

Θ

• . 0- • λ-• i

-

fluente ipfius zz x , dabitur etiam fiuens ipfius zz

x . Ulnde

fi pro m fiimantur fùcceffivè numeri quicunque integri, vel affirma.' •

^

-

•

•

*.

*.

-

6hmw

A-*

8ft , A-*

** •

.•

tivi,.vel -negativi, fi datur fiuens unius

zz ' ' * v *, dabuntur

• **

t.

-

etiam fiuentes omnium zz"s T. > • ,

$a,

' •*

* •••• ••. -

•• -

-

.*

*. -

* -

,..,.; . .,. • **

λ

3. Poteft etiam eadem fluxio fic fcribi zz . b + ΣΙ : ubi . .. ■**• -

-»

-

~ »!Â

-

fijam•|pro3°-. r fùmatur z T, & pro s fùmatur b + ax T^, eH, b -+- a. iy „T®

,•

22, 2; l._

•

-

.

-

5+x +FT •+• %

.

A*4*.

- -r • •

9 H\w-n

•

-

3REHFITf* •

xb *•

-- In

ita* B.

(«) 0+,

A.

. x x. TI _ TĘ hoc eft £j=

Dia

-

„. .,. pa-;-;-;,i . ; ΣΣ x • i • + y£E;

*•

•

-

An &

\i

itaque

-

θ

•

.… . T δ

λ

.

*-*

λ -1

fluente ipfius zz z , dabitur etiam fluens ipfius zz x , & vice verfâ, Manente itaque indice $, fi continuo minuatur, vel augea ® Â tur a per unitates, datâ fluente unius zz x , dabuntur fluentes - -

-

.

•

0

-

A

3 ^

-

} _* .

-,-

omnium zz x * Et per hos duos cafus conjun&os, fi pro • & * fcribantur fùcceffivè numeri quicunque integri, vel affirinativi vel

negativi, manentibus % & », fi datur fluens unius cujufvis fluxio •

6+*■

*

nis zz

-

A-+-*

-

-

-

, dabuntur etiam fluentes omnium fluxio.

xa -FbzWT

num eodem modo provenientium. Et ad eundem modum pergere licet ad comparationem fluentum, ubi quantitas in vinculo radicis

eft trium, vel quatuor, vel plurium nominum. Sed hæc jam

*.

elegantias fiunt ab illuftriffimo Newtono in Qyadraturâ Curvarum." ,

---

-- ,

,

;

*

** i

..

..'.

* *

i*

-

-

iil;

P R o P. XII. T H E o R. v.,

&, fi

Sit a index orâimis fluenti

ipfius 2 = *•, verbi gratis f*

•=•, • f & *&, fi •=•, • f ά-δ= g, f. 'H ; n = — x, ut fit ά= 3- à , & fic de caterü §. fum' . +. w * '** _ m * m.

:.

bi J * £ • —,-_ r j + &c. 'Ubi

aâ

3. 2

• •

3

-

' •

· •· •· · · · |

ro ,

3

•: '

·

· · ·' ·• · .'*

'

m,i ef! q=1, & (jaxtà notationem noßram) funt } = m... — ! …

-

- -

= f!

r*

-

•.r,

- -

X , i TEST

; = n + g, g = a + , & fic porrò Quando

$imi,

( 47 ) Quando eft m = 1

e''

-

-

-

Theoremâ idem eft cum præcedenti ; unde q.

•

colligitur forma, fèriei. £- x . Coefficientes autem 1,• 3-, -i- •------ , ~„0 -* m

-«-«-. --..--inveftigo. ; « , ;; , • &c. fic veftig

jú

, *

•.

Sint coefficientes quæfiti x, v, y, w, &c. iidemque incrementis .' -

£r

•

■

fuis x, v, y, w, &c. au&i x, y, y, y, &c. Si ergò fit Q = x r s +

:

"...

' ..

■ .

•.

*■

v r • + ■ r • + • r s + &c. erit proximé Q = 8 r s + *** + m

*.

§+ • r j-* &c. Jam fi coefficientes *, v, y, w, &c. fint jufti valoris, manentibus coefficientibus novis 5, 3, 3, g, &c. fi

3r

capiatur fiuxio novae fèriei fiet regreffio in fèriem priorem. Ergò • * ;

-+- y

* 4* •

$

+-g

-

-

* •

;*i +s;i + -

capiendo fluxiones primo in r, deinde in s, fit Q =

-

1

* * + * * § 4- &c. unde comparando terminos hujus £rici -

+y . :•cum

-+-2

terminis relativis feriei prioris, fit : (= x + 8) = * ; adeoq;

= o.

Proinde eft x invariabilis. Sed ubi m = o eft x = 1 ;

quare eft fèmper x = 1.

Comparando terminos fècundos, fit

y + x (= v + v + 1 ) = v ; adeoque v ( = — 1) = — * , & X... * : /

/

-

N.

inde

( 48 )

-

inde v = ,* 4- a. Sed ubi n = o, eft v = o 3 quare eft a = o,

&, — -r. Comparando terminos tertios fit y + g ( = y + y — - • L.

i;) = y; adeoquey

*

& inde y =

= 11 5

*

m n + b.

Sed ubi

= o,

%!

-t- -

-;-

eft y — o , ergo eft b = o, atque y = n #. Eodem modo

* + y (= » + w + * *) = y; st

i . z.

-

: « i ;£.

uo

+

+

I.

'.

•

*• • •

•

• •

.

.

. . w• __•

Et fic pergendo in infinitum invenientur reliqui

p = — % M M. em

adeoque w = — ;; , & inde

. .

- ..

: - ; ;

fit

-

v«

*.

-

-

*-

. *

-

coefficientes, omnino ut in Theoremate exhibentur. * * * * * * * _• .

*•

w..**

***• .

-

E X E M P L…;Ul M., , ;v -…* *, * ,a ,, , a *-

, -,--. -.- - -

-

.{ •'>

•• • > . .

8 — 1 λ- τ .-e--^ — zz. --"'• ——=;^T* • Hoc---^. pa&to ipfiús Q= * -* X ar-- b*i cni(= z*>'* A. )t -

• * -• • •

• '- •' ;

, * … i„.; sing^ cr*. 3

§. i *fi., A-r, , . .,

*veI i. §.- * * *' bi* * * hbz,

•

TEET* i.x

-■

-

-

in

-

3.

*

*. *•

•

B- §£#. -A- C + &$.

•

: £ 4. • • • j- i « a -+§ i

-

• • . ". . X. » £t, ** •• • •

tis: *^ ro

* **, * n - Ad mbx**., *- Aa.

»ibzm M - Ἀ*

-

* Ta?

-

0.0+n.6+-2n.... .6+ùm

; -}•

• •

• vi

. *

v

-

•

fuens quæsis in genere et

ę

* *.

. -

_* iì

v.

v

•

*;

•-

*

… „ *

*

,* •*-* f-

••

-* -

•

*® . *'

8-s.

z'

*•

..•.. * ^I• : …,!•• ;• …. g •

-'--',

• •* * ,

.^ •'

* * -

.

_

;+

•_ -

• t • ** _-.. * ***

¥¥

* • * *. ,

»

+ —3 {} *TET A -+7* ' _. . . ; ; ,. . „ * • * ,. v *. t * * * *• o *AAH-r.x-+-….... . x+ìib- ** * *Am* +* m s „% 1*TT … . vel 2. Q.= .

•

•

-

•*-

… __ . . . … *• *• * .. … * * # .** y. «'I `si am - 8 3* — 8. C --** -'' ^ • • •• . :'.7;jT-F;;-.— B. t ííi-*-r • + &c. + si — } x -f- J

• *- .

-

_*

-

.. * . * -

•t -

F°

^ . „' ' * ^rTF - 3, . …

.

-

-

ve1

( 49 ) & o-ì* 7:

vel 3.

Ἀ- 1

-

Q. =

-»

75]

-

22

+

3;

8-*-+AM.%-*-+An-w.%-*+Au-am... 6-14-aq-„, *44

^! I ! — .-*.

3—TFXT- ns*

1*

A -+- 6 =TFX;

•

=EF

2*

B + &c.

x4* 6£w->

λα

vel 4.

A% ~ 214

=

• %*

2

el 4. Q.

è

+

{H-A* , *_ Am-Fnw i a. A -+-

a. a + 1. a -+- 2..... a + m. ma.

!##+!-8 + &c. Στ-FF*Ts. • •■

Quippe in Griebas duabus primis pro * fùmpto •is*", & fiao. &= Eo], ά=

[…],

& fic porrò , & in fèriebus duabus.

ultimis pro * fùmpto —*•*7-. k ol, á-E], & fic porrò.

& fimiliter fa&o ô. =

Per has autem fèries exhibentur tam fiuxiones quam fluentes

ipfius Q, sic fi n = — 1, feries dabit valorem Q, fi n = — 2, fèries dabit valorem ö, & fic porro. Sed in hoc cafu, ubi mutatur fignum numeri m, quaedam eft difficultas in inventione coefficientis termini primi, Sit ergo exem

plum methodi hoc faciendi in termino primo fèriei primae modo

exhibitæ pro valore ö.

„,*

Hujus termini coefficiens , fepofito

eft

' T 69+n.04-» w .....0+}».

Debet autem

hujus coeffici entis

( 5o ) cientis maximus divifor effe 0-{- jw. Quare ut inveniatur coefficiens •

•• *

ice —.————. fcribe

3v

ubi eft n numerus negativus, vice ;-; -+-y.0-}-:m

&c.?

&c. 8 — 4m. 8 — 337 n. TETTI 8 — 2*. 80-T. — m. 8. 0+w.6+2w. &c * &cTJTATI97-

Tum reje&is

omnibus diviforibus poft b + h*, quando eft h = 1, coefficiens .

&c. 8 — aw. 6 — m

\

I

—

erit ä-j=#=#ti-p-;, hoc eft, FiH-, , quando eft i = . &c. % — 2m. % — w o, erit coefficiens É=ê';…, , hoc eft -j-. Et eodem ar 1

-

-

•

-

-

-

-

-

-

*j

-

8 — an. 8 gumento ubi n = — 1, erit coefficiens &c. &c.T0T5T3Tq? hoc eft I; · · ·· ·

-

-

ubi * = — 2 erit coefficiens

&c. 8 — 2 M. 8 — É#-#■-' , hoc eft 0-m ,

eft h = — 3, coefficiens erit §TE. JT, ; & fic porro.

-

ubi

unde

jam fi fit m index fluxionis quæfitae ipfius Q, hoc eft fi pro — m fcribatur m, erit JE. 9 — \. 6 — §, ....TF, coefficiens nume " : « ralis termini primi fèriei quæfitae. …

-

-

S C H O L I Ul M.

Pergere jam liceret ad inventionem integralium in terminis nu mero finitis, quarum incrementa fingularia dantur per aequationes

affe£tas altiorum graduum. Sed quoniam in his cafibus fòlutio

quaeri non poteft nifi per calculum valde nimis prolixum, operae pretium non duxi praecepta plura tradere in re nullius ufüs futurä,

AEquationes quadraticæ revocantur ad aequationes fimplices per extra&ionem radicis, atque æquationes cubicae refolvuntur per regulam Cardani, & æquationes plurium dimenfionum etiam refolvi poffunt per ablationem terminorum intermediorum. Quare fi cui animus eft rem adeo laboriofàm tentare, terminis omnibus interme diis

( 51 ) diis exterminatis, deinde fòlutio quæri poteft per Propofitiones præ cedentes. Tantum autem laborem paululum minuere poteft haec obfèrvatio, nempe quod in aequatione affe&tâ definiente valorem incrementi , termini fècundi coefficiens eft fimile incrementum coefficientis termini fecundi in aequatione definiente valorem ipfius integralis. Qgare fa&o periculo in coefficiente termini fecundi, fi is revocari nequit ad integralem in terminis numero finitis, fruftra

erit folutionem finitam quaerere in cæterâ æquatione. Principiis Methodi Incrementorum & Methodi Fluxionum jam breviter explicatis, fupereft ut in parte alterâ hujus opuftuli ex emplis aliquot oftendamus, quantus fit ufus hujus rei in

flatio* -

difficiliorum quorundam Problematum.

I.

]

/

-

*

…

-_

--

^ ---

— -—-

--- ---

--- --,

* *

•

… •

-,

—— -

· · ·. ^T`·Is- *•• •

…

** -

-

-

-

… • ' , £. » „ ...

1

-,

-

-- ---.-• _--

-

M E T HO D us Incrementorum. PARS

S E C U N D A.

llbi Exemplis aliquot oftenditur quomodo baec AMetbodus fit applicanda ad Problemata AMathematica & Pbyfica. P R O P. XIII.

P R O B. VIII.

Datis aliquot termimis eqaediffamtibus im. Serie quamtitatim, iwvemire termimos imtermedios, & ulteriores quam proximè ex

dati, eoram diffamtiis ab alterutro termino extremo dato.

Sumantur terminorum datorum differentiae, deinde

{{ctentiæ, & fic porrò, donec perventum fit ad dif ferentiam

-

( 54 ) ferentiam ultimam , & fint differentiae illae füb propriis fignis

a (= b — a) b (= c — b) c (= d — c) a (= b — g,) b (= c — b) a (= b — a.) Iam pro quolibet termino feriei in genere fcribe x, & pro ejufdem termini diftantiâ a termino a fcribe z, & fit ipfius z incrementum z æquale diftantiae datae inter terminos datos a, b, c, d, atque finge omnes terminos feriei in genere expri

3DzÄ. Tum (per Prop. 1.) differentia inter duos valores ipfius x ad diftantiam ab

mi per aequationem x = A + Bz + Cx* +

invicem z exprimetur per aequationem x = B« + 2Czz + -

-

*- - - -

3 Dzzz, & hujufmodi differentiarum differentiae exprimentur per æquationem x = 2Cz* -+ 2. 3Dz'z, & differentia tertia per æqua tionem x = 2. 3Dz*.

Sed ubi eft z = o, funt x = a, x = a,

-

x = a, x = a , unde per has aequationes fiunt A = a, Bz = g, •

-

* * * * > •,

*-

-

-

*•

.-

-

a*

2C** = g, 2. 3 D:3 = a, adeoque A = a, B .... = i3 °,. C. = 3, -

-

.…

•,•

-

-

22,

'• .'

*

. ' •

.«

• ,

.

'.'

-

-

•*

D = —–;— » & cxinde 2. 33. a*

-

*

« • … (!

-\-

& -X.

-+

^**

J

z + Z

*

; •

-

*

, \,

2. 3z* — — z. z z.

~ ®. E. I. I.

» * *

Hæc æquatio convenit accurate cum ipfis terminis datis a, b, c,

d, & quam proximè cum intermediis & ulterioribus. Sed quo plures termini dentur, conftat eo propius acceffuram hanc æquatio nem ad valores omnium terminorum, tum intermediorum, tum & ulteriorum, Quare fi fèries terminorum datorum continuetur in infinitum, æquatio tandem coincidet accuratè cum valoribus termi morum omnium, cum intermediorum, tum ulteriorum. Proinde fi detur

í

C.

-

X

-

detur lex formandi terminos æquidiftantes in ferie aliquâ, per hanc propofitionem dabitur fèries infinita exprimens valores omnium ter minorum intermediorum etiam & ulteriorum totius feriei.

E x E M P L u M. Sit hujus rei exemplum in fèrie terminorum, ubi termini æquidi {tantes femper funt in ratione continuâ Geometricâ. In häc fèrie fint

a & a-\-ab termini duoad diftantiam z$ tumex natura hujus progref fioniserunt omnes termini ad eandem diftantiam a, a+ab, ax T,P a x {I}s, &c. & differentiae primæ hujufmodi terminorum erunt

ab, ab x 3-Fâ, ab x Fl*, &c. differentiae fecundæ erunt ab*,

ab x T, ab•x7T?]•, &c. differentiæ tertiae erunt ab, abs« EFí, abs x PE|*, &c. & fic porrò. Llnde ad mentem hujus Propofi

tionis erunt a = a, a = ab, g = ab*, g = ab*, &c. adeoque fi» fit diftantia alicujus termini x a termino a erit x = a -+- gbz -{.-•

-.'

- -

-

-*.

-

I 2.

-

*. -

•

w wv

-

•.

w w.

•

-

ab* 4-I.ab* -+ &c. vel* =1 + bx 4- I.22.° *<* + _**<x 2. 3z3 I. 2. 32.s

I. 22;?

at

I 2,

*

+&c. Sed in hoc cafu -

-

efá- 7 Fi?, unde fit ;T7 *= I -+>*

- -

-

--

-

?

*

*

-

-

* -

w ww

*-+ A* + 1.2.3** * + &c. Coincidit hæc feries cum Theo. IZ 1. 23* -

femate Newtoniano pro inventione dignitatis Binomii.

s.

Quod Theorema etiam inveftigari poteft ad hunc modum.

sit : Fa'= '+ sw"+ vìa"+
-

( 56 ) n+:

du&â ferie in a + b erit ZT}] , vel juxta notationem no

:F

ftram

æquale.

me- ■

n.

m

n-3

-2 *

a '-4-+ -+- xba' I -+- vb*a' x

•

+ + zb*a v ' ' + &c. Ulnde exiftente m= 1, •

per Methodum Incrementorum erit x = 1, adeoque x = + , v = x (= m,) adeoque v = _** ; z = v (=+) adeoq; z= I. 2 • 2• -»

-»

•

•

#;#, ,

& fic porrò , (ubi fùmuntur omnes integrales purè, quo

niam debent omnes evanefcere ubi eft m = o,) unde fit a.

Q-Fíl

m.

- 4

m• • ■

+-;is

ni ,..**

m $% ,, *-*

,• '

+++**++#,* + «•

+ &c. nempe pro fingulis terminis fèriei cum propriis fignis fcri ptis A, B, C, &c. p.

P R O P. XIV.

P R O B.

IX.

Datâ ratiome formamdi termimos im ferie quamtitatum, imvenire aggregatum terminorum quotvis æquedißamtium. Si fit x fumma quaefita, eadem au&a termino amplius uno erit * + *. Qyare datâ lege formandi terminos6 fiat x aequalis termino

proxime addendo dabitur integralis x in terminis sialibus,g qp.

( 57 ) Prop. 1o. Quæ ut fiat æqualis fümmæ quæfitae, demendus eft valor ejufdem integralis, qui prodit quando debet fumma quæfita effe nihil.

–

–

–– –

-

-

E X E M P.

I.

Sit exemplum in fèrie terminorum æquediftantinm, a, a + b,

a + 2b, a + 3b, &c., In hac fèrie pro termino ultimo fèmper

fcripto z, erit z = b, atque terminus fümmæ quæfitae proxime addendus erit x + x, vel * ; adeoque erit : = z. unde regredi 2, 2

-

endo ad integrales erit x = _ ' + A. Debet autem hæc fumma 2-2, · ·

· · ·

·

æquari nihilo, quando terminus proxime addendus eft a, hoc eft,

quando eft : = a, adeoque & x = a -* , adeoque a fùmma AT. x 4

2, 2, •

+ A,

erit

zz- £ x a

©

fumma

-

ablata fùmma -AA- +A, refiduum —t— qusia, hoc eft, (pro z reftituto b)

_ <x3-Eö- 2Eìx a.

-

2b ., ^.

, * - ... E X E M P, II.

; '

Ad eundem modum fi terminus ultimus fit z3, atque terminus primus is fit in quo eft z = a, boc eft axzAF;, termino po(t

ultimum proximè addendo exiftente **, erit x = **, adeoque zx, x . 7T. xa x 2TFT. •

•

-

-

23 E

3z

3.3.

Et ad eumdem modum pergere licet ad fummationes terminorum, inn q. quibus funt p plures faôtorcs z x zxz. x &c. E X E M P.

i(. 58 ) -

-

-

E x E m P. III. Inveniendum fit aggregatum terminorum, quorum ultimus fèm. per eft

:;. & quorum primus is eft in quo eft z = a.

In hoc cafu

-

•*

-

*

-'-

-

-

•

-

•

-

.

*

-

•I …;

•

-

i .

-

terminus fummæ quæfitae proxime addendus eft -j;. Quare fa&o •-

-

•-

*• • • -

-

'x

=-= ,

• •

•_

-

I.

deinde regrediendo ad integrales erit x = A —

zz *

Sed ubi terminus proxime addendus eft z¤· hoc eft, ubi eft -* ,

.

.

-

-

== •,

debet

fùmma quaefita aequari nihilo ;

A

:

=

I

-

: adeoque x = :;- — -==-. …

unde fit

…

** „.. ,. .

•

,

: --

•

: . …

ii*. '*; ; ;. . . . i -i-

c o R o L L A R I u M. .

* • ©

•

.

I T.., y .

•

J

Et hinc datur fumma omnium terminorum a.4-+z + a-+z.a--2z. T.

+ &c. in infinitum. ' Nam in hac fèrie in infini -+-

a+2z. a+3*.

* tiiin continuata in termino ultimo eft divifor z infinitus. Proinde —— in valore x fit x = — --. evanefcente termino termino == za *

3 ex*o •;

.*. .

• ,

-

$.

X'. - •.:•

• • •

• • . .

•

.

,

, ,

••

•

-

-

, • • • ***

* *

Et ad eundem modum pergere licet ad fummas terminorum in quibus funt plures divifores z, z, #, &c. - -

•• •

*.

•

:

:

:

-

p R o P.

( 59 ) -

X.

P R O B.

P R O P. XV.

irvtnire fluxione in uti

-

• -*-,

Figari;

Gerarii.

.

Hoc quomodo fit fàciendum exemplis melius, quam præceptis . patebit.

Sit ergò primum exemplum in figura APB, ubi datis pofitione re&â AB, & pun&o P, quæritur ratio flu-

•

.

E x E M r. 1 -

P

*

xionum re&tæ AB, & diftantiae PB. NSJC … **

' - '

r re&ta PB de Progrediatu In Pb. loco novum PB in locum ** *fuo “ Pb capiatur PC = PB, & ad AB

BN;

2-18Nl» A ' D -

.

: **

c .* . . .

“ ducatur PD fic, ut angulus bPD æqualis fit angulo bBC , & ob “ fimilitudinem triangulorum %BC, bPD, erit augmentum Bb ad

* augmentum Cb, ut Pb ad Db. Redeat jam Pb.in locum fuum “ priorem PB, ut augmenta illa evanefcant, & evanefcentium ratio ;

“ ultima, id eft ratio ultima Pb ad DB, ea erit quae ef PB ad DB,

* exiftente angulo PDB re&o, & propterea in hac ratione eft fluxio ; * ipfius AB ad fluxionem ipfius PB. E X. E M P. II. * Re&a PB circa datum po

** lum P revolvens fècet alias ** duas pofitione datas re&tas “ AB & AE in B & E : quae

* ritur proportio fluxionum “ re&tarum illarum AB & AE.

“ Progrediatur re&a revol “ wens PB de loco fuo PB in

“locum novum Pb te&as AB

( 6o ) ®€ •

AE in pun&is b & e fecantem, & re&ae AE parallela BC ducatur ipfi Pb occurrens in C, & erit Bb ad BC ut Ab ad Ae, & BC ad

&ς

Ee ut PB ad PE, & conjun&is rationibus Bb ad Ee ut Abx PB ce

ad Aex PE. Redeat jam linea Pb in locum fuum priorem PB, ®®

& augmentum evanefcens Bb erit ad augmentum evanefcens Ee ut AB × PB ad AE x PE, ideoque in hâc ratione eft fluxio re&læ ®®

AB ad fluxionem re&z AE.

&c.

-

* Hinc fi re&a revolvens PB lineas quafvis curvas pofitione datas fecet in pun&tis B & E, & re&ae jam mobiles AB, AE curvas.

illas tangant in fe&tionum pun&is B & E ; erit fluxio curvae quam •

re&ta AB tangit ad fluxionem curvæ quam re&a AE tangit ut AB × PB ad AE x PE. Id quod etiam eveniet fi re&ta PB cur vam aliquam pofitione datam perpetuo tangat in pun&o mobili P.

petantur hxc duo exempla ex Ma-tosiani. , E/ X E M P.

III.

sit AB curva quævis pofitione data, & ab ejus pun&o quovis B ducatur re&a BD fècans re&am pofitione datam ED in angulo dato in D , • quæritur proportio fluxionnm, abfciffx ED, ordinatae DB, & curvæ AB.

Moveatur ordinata BD de loco fùo BD in locnm novum Æg, &

datatur BF parallela ED, & occurrens kd in F, & per punaa , &

B. ducatur bE occurresED in c, & aá pun&um B ducatur tan gems

-

( 61 )

gens occurrens ED, db in C & G. Tum ob fimilia triangula BFù, cDB, erit BF : Fb: Bb : : cD: DB : cB. Redeat jam ordinata bd in locum füum priorem BD, & re&tâ cB jam coincidente cum tam

gente CB, erunt augmenta nafentia abfcifíæED, ordinatæ DB, & ip. fius curvæ AB inter fe, ut latera trianguli nafcentis BFG, vel ei fimi lis trianguli CDB ; ideoque in hâc ratione erunt fluxiones re&arum ED, DB, & curvæ AB. Et fi angulus BDE fit re&us, du&â ad curvam normali BP occurrente ED in P, ob fimilia triangula BFG, BDP, erunt eædem fluxiones inter fè ut latera trianguli BDP, Hinc datâ ratione ducendi tangentes ad curvam aliquam propo fitam, dabitur proportio fluxionum abfciffae, ordinatæ, & ipfius

curvae , atque viciffim ex datâ proportione fluxionum abfciffæ & ordinatae, dabitur proportio inter fubtangentem CD, ordinatam DB,

& ipfàm tangentem CB ; ut & proportio inter ordinatam BD, fub normalem DP, & normalem BP. Datâ autem aequatione defini ente relationem inter ab(ciffam ED, & ordinatam DB, datur pro

portio fluxionum (per Prop. 1.) Quare per iftam propofitionem duci poffunt tangentes & normales ad omnes curvas. E X E M P.

IV.

Sit curva quævis AB,& pro pofitum fit invenire radium curvaturæ in pun&o B, hoc eft, radium circuli cujus curvatura eadem fit, quae curvæ AB in pun&o B. T3

Duc ordinatas tres aequidi-

A.

?

c

ftantes BD, bd, br di, fecan tes re&tam pofitione datam ED ad angulos re&tos in D, d, di,

& ipfi ED parallelas duc BC, bc, occurrentes bd, bI dr, in C

E

ID Jdt &.

( 62 )

-

& c, & duc Bb occurrentem b1 d1 in y, & per pun£ta tria B, b, br, tranfèat circulus cujus centrum fit S, occurrens DB & di bi in F & f, & duc diametrum BG, atque FG. Sint autem abfciffa ED =z, ordinata DB = x, & curva AB = v.

Tum juxta Methodum Incre

mentorum erit Dd = z (= ddr = BC = bc.) Cb = x (= c).) & yb 1 = x. Sit etiam Bb = (by =) n. Tum ex natura circuli erit 2 ! 1!

301 « yf = yB x yb, hoc eft yf = -; . Sed coincidentibus pun &tis B, b, br, erit arcus evanefcens Bbbr circulo & curvæ AB com

munis, ideoque in hoc cafü erit circulus centro S defcriptus curvæ AB æquicurvus in B. Evanefcant itaque incrementa, & jam coin 11 1!

•

•

-

-

cidente yf cum ipfò BF, & fao--- = **-, erit BF =* 3$

2¢

Sed coincidentibus punétis B & b, eft BF ad BG, ut BC ad B£,

hoc eft, ut z ad v. unde fit BG = £. ,

& radius curvaturæ

2, 3C

Es- *-. 2, 2;

Si fit p ad curvam normalis intercepta inter pun&tum B & axem

ED, erit ò = + (per Ex. 3.) Ulnde fit etiam radius curvaturæ BS

:…

p* ¥• a&* x:

Et hæc fiunt fluente uniformiter x. Sed fi cupis invenire expreft

fionein ejufJem radii ubi fluit uniformiter v, per æquationem vi = iif

( 63 ) & + zz (adhuc fluente uniformiter *) fiet 2öv = a*$, hoc em. .-

•

• •

ia*

•

-

-

$ =- * * , & inde BS = -**-. Jam ut fiuat uniformiter v, tU 2

E* ••

-

pro ä fcribe -**-, vel negle&o figno quod fòlum indicat ipfùm <2

z decrefcere crefcente ED, quando curva eft versùs axem convexa, *.

-

ut in hoc fchemate exhibetur,) BS = — ** . -

22,

-

* ,

,

*

.

u

-

Sit hujus rei exemplum in quavis fe£tione conica, exiftente ax* = dx* - da** ubi eft d femi-parameter ad fèmi-axem a, in quo

fumitur abfciffa z. Tum fluente uniformiter x, erit 2axx = zdzâ, • . dz% dzzax- '. •

-- --- I*..-.• •-

:-( ••***- ?

:

...

-

-

( p* _

-

-

-

*

-

•

• •

…

*** 212* **** —

-

•

• \ '.- se.' *. ■ •

•

.

…

-

-

ax* — d***a3;3 — d'az'z:._ /';; ** : unde fit g*x*

-

-

BS == \'

_

Z¥ * atque iterum, capiendo fluxiones

adeoque x =

•

••_

;3;;

• -T 3

-

=#-

w __ _

-

3

ubi

…

-

• _

• •

fignum - tantùm indicat centrum -

-

S cadere infia pun£tum B, quod nos quaefivimus fupra B. Ergò

in omni fe&ione conicâ eft radius curvaturæ quartum proportionale fèmiparametro ad utrumvis axem, & ad curvam normali terminatae ad eundem axem. Quare ad extremitatem axis eft radius curvaturæ

zqualis ipfi fèmiparametro ad eundem axem. Sit enim a femi-axis ad cujus extremitatem quaeritur radius curvaturae,& d ejufdem fèmi parameter , & fit p ad curvam normalis terminata ad axem alterum, #

(cujus femiparameter efl

£)

3

Tum erit radius curvaturæ

=£#-

d R

Sed

* ( 64 ) Sed in vertice diametri a eft p = a , quare in hoc cafu eft radius curvaturae d. Hanc autem expreffionem radii curvaturæ in conife&ionibus primus invenit ciariffimus Newtonus.

cæterum deßripti jam £aione conici, poteft idem radius deter minari Geomenicè per conftru&ionem fèquentem..

Sit ABC data fè&io conica, & quæratur radins curvaturæ ad pun &hum B. Duc tangentem BT, eique perpendicularem BS, & ducatur BC parallela alterutri axium, atque fiat angulus CBA æqualis angulo CBT, & occurrat BA conifè&ioni in A. Tum bife&tâ AB in D, &.

ere&á perpendiculari DS occurrente BS in s, erit S centrum circuli ofculatorii. Hujus demonftratio eft perfacilis.

P R o P. XVI. P R o B. XI. Curvas omnes quadrare.

' *- *

Sit AB curva quadranda, cu

jus abfciffa eft CD, & ordinata DB.

Moveatur ordinata de lo

co fuo BD in locum novum bd, atq; fpatium BDdb erit augmen tum areae refpondens abftiflàe augmento

( 65 ) augmento Dd. Redeat ordinata bd in locum fuum priorem BD, atque erit ultimò fpatium BDdb æquale BD × Dd , quare fi ab ftiffâ CD fit z, & ordinata BD dicatur y,erit finxio areæ æqualis 3.

Inventi itaque fiuente ipfius y (per Prop. 1o.) fi dematur fidens proveniens per abfciffam CE a fluente proveniente per abfciffam .

CD, vel fi invariabilis incognita in expreffione fluentis determinetur , faciendo fiuentem provenientem per abfciffàm CE æqualem nihilo, dabitur area FEDB defcripta per motum ordinatæ de EF in DB. E X E M P.

I.

Sit abfciffà ad datum pun&um C terminata CD = z, & ordinata DB = y, atque fùmptâ aliquâ lineâ pro unitate fit y = z

. Tum

-í + A. Sit data aliqua abciffa CE = a, tum demptâ fluente -; -+- A a fiuente#erit fluxio areæ æqualis 2.", cujus fluens eft

an

-

_- qm

-

-

+ A, (vel faao-i- -+- A = o, unde fiat A —-;- )

zft

erit -;--

£- a:quale arez adjacenti ad abfciffam ED. Ubi eft m numerus negativus, ut fit y = z- *-*, erit area EFBD

•

-

z-m

a-n

—-n '

-n * hoc

I ?;zn

I.

714*

.

•

-

-

-

Si jam fiat abfciffà z

I

-

-

infinita, evanefcente termino ;- fiet area EFBD adjacens abßiß* -

-

-

-

-

•

.

I

ultra ordinatam EF in infinitum produ&ae aequalis ;j;-.

Et fem

per ubi fluentis fignum contrarium eft figno fluxionis, area per fluentem expreffà adjacet abfciffae ultra ordinatam produ&ae. Nam

contrarietas fignorum monftrat fluentem minui dum augetur abfciffà, & vice versâ. EX E M P

( 66 ) E X E M P.

II,

Sit curva quadranda ABCb, cujus abfcißá AD exiftente z, ejus ordinatim

applicata DB eft -{TE x £

R. -T*l . Fluxio areae in

hac curva eft zx E ;xE'.

Cujus fluens, purè fùmpta

J.

abfque corre&ione, eft + [ZET.

Eft autem haec fluens æqualis

nihilo, vel ubi z = o, vel ubi z = 2. Itaque in axe AD fumpto AE = a, terminatur atea per hanc fluentem expreffà, vel ad pun &um A vel ad pun&um E. ubi eft z < 1, (vel AC, exiftente pun &to C medio inter A & E) in primo cafu eft area ADB, in fecundo cafu eft differentia inter areas CbEC atque CDBC. Sed ubi eft z ( = Ad ) > 1, in primo cafu eft area differentia inter areas ABCA, atque CdbC ; in fècundo cafü eft area dbEd. Pofitiones hujufmodi arearum colliguntur ex fignis expreffionum ordinatae, atque areae. Sic in cafu praefènti,exiftente z< I, tam ordi nata quam area funt affirmativae ; quare au&ta abfciffà z, augetur area quæfita ; quae proinde eft, vel ABD, vel differentia inter areas CEbC atque CBDC. Sed ubi eft z > 1, ordinata, atque area figna habent contraria, nam in hoc cafu expreffio ordinatæ TIQ × ΣΤ£5]+ eft quantitas negativa, expreffione areae + AZTET4 fèm -

per exiftente affirmativa ;) unde crefcente abfciffà z decrefcit area, adeoque exprimitur, vel per differentiam inter areas ABC & CDb, vel per aream dEb. Areæ autem dEb fignum eft affirmativum, quoniam adjacet tam abfciffæ dE, quam ordinatae db negativis. LEM

( 67 ) L E M M A

III.

·

·

·

Si limeæ alicujus ABCDE figura talis

fit, at faffum aliquod toti limeæ

IB

£z

refpondems majus fit, vel mimus,

• quam fimile faäum ubi linea aliam

A

1E

induit figuram ; etiam limeæ ejufdem

partis cujafvis BCD figura tali erit, ut ei refpomdems faífi pars major fit, vel minor, quam £ pars illa BcD aliam quamvis imduat figuram BcD. Nam fi fa&i pars refpondens lineæ BcD major fit, vel minor, quam fimile fa&um refpondens lineæ BCD ; tum conjun&im erit

totum fa&tum refpondens lineæ ABcDE majus, vel minus, quam fimile fa&um refpondens Lineæ ABCDE, contra hypothefin. I E M M A

IV.

1m reââ AB pofitione datâ famamtur punäa quatuor æquidiffamtia

G;

2^

A,B,C, D, & erigantur mormales

13,

BE, cF, DG, per quarum ter-

mimos E, F, G ducantar rebiæ

PC IC

A' 1$

3-5

AE, EF, FG, & ducatur FA, parallela ipfi AB occurrens DG im H. Datis punäis A & G, & fumma reäaràm AE, EF, FG, quæritur ratio fluxio

mum limearum BE, GH, quando figura tota evamefcit & fit AEFG elementum curvae.

Sunto BE = a, IF = b, HG = c, AE = d, EF = e, FG = f. Tum ob datas fummas a + b + c (= DG,) & d + e + f. capi -

*

S

endo

( 68 ) endo fiuxiones erit à + i + & = o, (hoc eft b = — ä-ä) item â 4. à +} = o. Sed ob datas AB, EI, FH, & ob angulos re&os

in B, I, & H, funt i =

*; , 5 = s; (— —** — * £,)

atq;

à —bà b : cę -;-* Quare eft -f£-. -+ d f = o, hoc eft &: is : £-— -# *j. %-. Sed ubi AEFG eft elementum -

-

f=

-

e

6.

-

curvæ, fi fit ordinata x & curva v, erit a = *, b = x + x, c = § + 2$ + 3, d = v, e =i+ i, f=ù + 2ö +%; adeoq; c : à : : $ +? ù+û

—*?/

§ + * + 3 — 3*3-, si fi po-* v + zì +ô

v+v

?)

fcribatur y, erit δ : à : : j:)-+ j. Nam fi -* = y, erit fit* — ù

v -+- v

» + i, atque *t**t£= y + 2j 4 j. v -+- 2v + v

P R O P. XVII. - P R O B. XII. Detur pofitiome reifa DE, & du

àfa perpendiculari DA, per pum. &#am 4 tranfeat curva ABc, cujus ordimata perpendicularis e/? BE ; atque fit 4 b c alia carva, cujus ordimata perpemdicalari Eb quovis modo dato compomitur ex

abfciffa commumi DE, ordinatâ BE,

( 69 ) BE, & carva AB. 2geritur forma curvæ ABC, quando area DabE e/? ommiam arearum per ordimata* bE hoc modo

]

provemientes defcriptarum maxima, ex data bafi DF, ordinati; DA, Fc, & longitudine curvæ interceptæ ABC. Sit abfciffä DE = z, ordinata BE = x, curva AB = v, atque

ordinata Eb = P. Per Lem. 3. eadem proprietas convenit curvæ particulæ cuivis datae. Sit ergo (vid. fig. Lem. 4.) pun&um A ex tremitas ordinatæ BE in præfenti figurâ, atque fit AEFG particula

curvæ quæfitae, & exiftente P ordinata bE pertinente ad pun&um A,

fit ? fimilis ordinata pertinens ad pun&um E, atque È tertia ordi nata bE pertinens ad pun&um F. Tum areæ DabE particula re.

fpondens curvæ particulæ AEFG erit P + 2 ? + z£, quae cum de beat effe extrema, ejus fluxio erit nihil (per method. maximorum & minimorum.) Fluxiones autem funt aeftimandae per motus pun&o-

rum tantum E & F fùrfum & deorfum. unde exiftentibus : & è aequalibus nihilo, ob defe&tum motus pun&orum A, B, C, D, erit

£? + z É'= o, hoc eft É Sit in genere È =

+

ê = o. .

-

-

Q? -i- R$ +si. Tum pro Q, R, & S per

tinentibus ad pun&ta E & F fcriptis Q, R, S, & ô, R, S ; pro

â, $, v,

atque

in valoribus ipforum È & É fcriptis motibus pun&o-

rum E, B, F, & c, prout defiguntur in Lemmate 4. erit è = Râ + Sd, atque ? = — kc — §f, vel pro ä & j ribus

# atque -j-) Β = Rä +s #

fcriptis ipfòrum valo

, atque É = — Rê — S

( 7o )

$ %-: unde fit esiis R + s ; k* &#. saga L 4.) eft

ês ê : * j *j-* j.

Quare (ut in Lemmate

vel $- fcripto y, ut fit aiam-;

=y +

ifto, pro

£;

2j +j)etit R + Sy : R+

§«y+zj+j : : j:j-+}. Pro K & § fcribe R + & atque S + s, atque fiet R + Sy : R + R + Sy+ 2Sj + Sj+ §y + z$ + §j; : j:j +j, atque dividendo R + Sy : R + 2Sj + S5 + $y + 2§ + § ::j :j, vel (in primo confequente reje&is evanefcentibus Sj, 2$, & §.) R. + Sy: k+ 2$j* & : :j:j, hoc eft Èj—Rj-+

$j + 2$jj— Syj= o. Eft hæc æquatio fiuxionalis irreducibilis ; quare pro y,j,j, fcriptis eorum valoribus per $, 3, 3, & v, v, íex

pretis fiet Kä. — Κί•43Rä+ §ä + 2S*i— §ä+ Sä=o. Et ope hujus æquationis, una cum aequatione ὐδ=&+

zz, (nempe pro R, R, S, & §, fcriptis eorum valoribus per z, x, v, & eorum fluxiones expreffis) dabuntur fluentes x, & v (per Prop. 6.)

In refòlutione autem harum aequationum erunt quatuor coefficientes indeterminati, (per Prop. 5.) quorum duo determinantur fàciendo v = o, & x = AD ad pun&um D, atque reliqui duo determinan

tur faciendo v = datae longitudini ABC, & x = FC ad pun&tum C. C O R O L L.

I.

Si curva v non ingreditur valorem ordinatæ P, exiftente S = o, erit

iö

-

Rj = o. Qua æquatione comparata cum fiuxione mi 2. Scbol.

•.

( 71 ) Schol. Prop. 6.

inuaui$- -; , :-

ubi pro j ftipto ipfius va -

ùs

ìs

>a-

•

lore -**-, fiet R -£. = a. Sed eft -£- æquale radio curva v3

22, 2;

Z %$

turae (per Prop. 15. Ex. 4.) quare in hoc cafu eft radius curvaturæ •

a

zqualis TRT* -

-

-

,

'*

C O R O L L.

II.

Iifdem pofitis, fi in expreffione ordinatæ P defit etiam z, erit ,

R. = f, quo pa&o fiet *°' = a, vice ** fcribe ipfius valorem Z%%?

vi, atque hinc fiet £ = zaì-2. unde capiendo fluentes erit P = b—

*. .

Quo pa&to in hoc cafu revocatur Problema ad fluxio- * .

ty

nes primas;

Solvi etiam poteft per quadraturam curvarum. Nam in valore ipfius P nulla involvitur variabilisnifi x. Eft ergò a = bó- Pς, adeoque a- z* = FE Pí ύ• = 5 — Pi*« z* + x*, hoc eft. :v

P.

b

ÁTF × §. --- <=*= *.

§. £u à

x V a* -F zbP- Pi = b — P × x, -b*

® X.

Ergo quadrando curvas quarum

Etiam ù æ */ a?

TEFTF;* -

b2 t

abfciffa

( 72 ) b—P

abfifta communis eft •, & ordinatæ fùnt v;EFEF=E; — 5* ®

8«

¢¤£=*. dabuntur z & v. C O R O L L.

Il1.

Si in exprefTione ordinatæ P defit x , exiftente R = o, erit

$+2$-Sj=o. Qga æquatione collata cum fluxione n : 3. schol. Prop. 6. invenietur S 2-

=

J/

£. ,

hoc eft (pro y & j fcriptis füis

2&

valoribus : atque -**)s-*.«-!.= a. unde in hoc cafì •

v*

{y*

®

2®

erit radius curvaturæ (= v'Y zqualis*'. 2$ C O R O L L.

-

Sx*

IV.

liflem pofitis,fi præterea defit z in expreffione ipfius P ut fit ἐ=§v,

erit-f = o, hoc eft p = ä-'. unde regrediendo ad flu 22* *•

entes fit P = b — *. Adeoque etiam in hoc cafü revocatur Pro 3$

blema ad fluxiones primas. Solvi etiam poteft per quadraturam curvarum. Nam in hoc cafu in valorem ipfius P nulla ingreditur variabilis nifi v. Ergô eft 42. …

( 73 ) ex = bx - Px, adeoque a* =7ΓΡρ χ χ*— £E Pi*x i^—*, b —F x ; 5=.

hoc eft z = .

aù

Etiam ¥ =

** w>E.

Va* -+- 2b P — P* •—b*

- Ij*

Itaque quadrando curvas, quarum abfciffâ communis eft v, & ordi. b— P

y;TABFFFi •

natæ funt

a;

8.

¥Er=r ,

— b*

dabuntur z

-/?:&

&. x.

C O R O L L.

V.

Et hinc vice verfa,data curva ABC, innotefcit cujufmodi faaum H, extremum in hac curva. Nam fi quaeritur ordinata BE quæ

com

ponatur ex dignitatibus ordinatæ BE,dabitur per aequationem P=#** , (Cor. 2.) Et fi quæritur ordinata bE quae componatur ex ~— 5

&e.

dignitatibus v, invenietur per aequationem P = b — ** (Cor. 4.) , 5*

-

L E M M A v. Si fpatiam rigidum a tribus potem.

tiù in aquilibrio tenetur, lineæ di reafionum tramfibumt per idem

punâum, & ia eodem plano ja cebunt, a

>

!

Applicentur potentiae ad pun&a A, B, C, atqne agant in dire&ionibus Aa,

Bb, C c. Quoniam pun&tum quodvis A tenetur

( 74 ) A tenetur in zquilibrio, vires Bb, Cc conjun&im fumptæ componunt vim vi Aa contrariam & æqualem. Sed (per Principia Statices)

vires Bb, Cc hoc modo componi nequeunt, nifi tranfeat re&ti utra que Bb, Cc per pun&tum aliquod p in re&â Aa, atque omnes Aa,

Bb, Cc jaceant in plano communi. Ergò ita fé res habet, ®. E. D. L E M M A

VI.

Si fpatium materia gravi onuffam a duobus filis fùffiaetar, re fpe£ia virium, quibus fila ißa temdumtur, perimde e/? quomam

modo difpomatur materia im fpatio iffo ; fi modo centrum Gravitatis femper verfètur in eadem reäa ad Horizomtem mormali. Conftat ex Staticis.

N. 8. In propofitionibus quatuor fequentibus fumus a&turi de figuris funiculorum, linteorum aquâ plenorum, atque fornicám data onera fùftinentium. Omnes hae figuræ, utpote ex materia phyfica compofitae, veram habent craffitiem, fùnt ad fiexuram nonnihil ineptae , & cedunt aliquantulum viribus, vel extendentibns vel

comprimentibus. Ergò ad haec omnia attendere oportet eum, qui velit has figuras accuratè defcribere. Sed cum ea ad computum

mahematicum difficile revocentur, & calcnlum, per fè fàtis proli xum, nimis impedirent, nos, eorum effe&tus prorsùs negligentes, fingimus figuras propofitas conftare ex materiâ perfe&è flexili exten tioni, atq; contra&ioni prorsùs inepta,atque adeo tenui,ut ejus craffi ties poenè evanefcat refpe&u longitudinis datae. Refpe&u tamen fui

ipfius non femper fingimus craffitiem effe abfòlute nullam, quoniam in funiculis, & in fornicibus propria tantùm pondera fùftinentibus, ea ad figuras formandas plurimum valet. • -,

-*

-

••.• • • • r,

P R O P.

( 75 ) P R O P. XVIII.

P R O B. XIII.

Datá lege craffitadimâ Tani culi depemdemtis a duobus pamifis ; imvemire relatio

mes faxiomam abfciffe, ordimatæ, & carvae ; &

defimire conditiones qui.

bus figara defçribenda fubjici patef?.

Sit AB funiculi pars quædam dependens a pun&is A & B, atq; ad re&tam pofitione datam CD Horizonti parallelam ducantur nor males AC, BD, & ad pun&a A & B ducantur tangentes Ag, Bg, quarum Ag occurrat ipfi CD in E, atque fint pun£ta a & b ipfis A & B proxima, & du&lâ novâ ordinatâ bd, ei occurrat Bh Horizonti

parallela in b, atque Bq tangenti Ag parallela in q ; atque fit AC ordinata pofitione data, & BD ordinata mobilis , & fint CD = z, DB = y, longitudo curvæ AB = v, craffitudo in B = x, pondus

funiculi AB = p, CE : CA: AE :: 1 : n : m, atque a pondus datum æquale tenfioni fili in A.

-

-

Quoniam pondus totius funiculi AB füftinetur a filis breviffimis aA, bB, in dire&ionibus tangentium Ag, Bg, jacet totus funicnlus in plano ad Horizontem normali , atque fi partis AB centrum gra

vitatis fit G, per quod ducatur Horizonti normalis GP, tranfibit ea dem GP per tangentium concurfùm mutuum g. Nam (per Lemma 5.) refpe&u filorum Aa, Bb perinde eft, ac fi omnis materia funi* culi AB appendatur ad filum GP: unde fpatio figuræ conftituto in æquilibrio per tenfiones tiium filorum Aa, Bb, GP, tranfibunt ea -

Ul

per

( 76 ) per idem pun&um g, atque jacebunt in eodem plano, (per Lem. 4.) quod ob normalem GP eft Horizonti perpendicularis. Sunt ergò tenfiones horum filorum, ut latera trianguli Bbq eorum dire&tionibus

parallela. Sed fi fiat Bb = z, erit bb = j, atque Bb = i, & (ob fimilia triangula Bbq, ECA,) bq = nz, adeoque bq = y + mx, &

Ea = m . Qgare eft a s p : : mz : j + ni, hoc eft ej + nax — my* = o. Eft autem È — ix. unde eliminato p ab æquatione hic (nempe fluente uniformiterz) erit aj-mxiz = o. Itaque re fòlvendo arquationes aj — mxiz = o, & ίύ = jj + *, (per IProp. 6.) dabuntur relationes ipfòrum z, y, v ; nam ex hypothefi datur x, vel per dignitates unius, vel duorum, vel omnium z, y, v. C A S Ll S

I.

Si utrumque y& v ingrediuntur valorem ipfius x, defcribetur cur va per tres conditiones, quae pofTunt pro lubitu applicari ad va lores y, & v, & fluxionum fuarum (per Prop. 5.) C A S Ul S

II.

Si defit y in valore x erunt conditiones omninò tres,

quarum una

ad minimum applicanda eft ad valorem ipfius y, & reliquæ duæ poffùnt pro lubitu applicari ad valores ipforum v & y, & fluxio num fuarum.

C A S Ul S . III.

Si tantùm y ingreditur valorem ipfius x erunt etiam conditiones

tres, applicandae pro lubitu ad valores ipfòrum v, y, & fluxionum füarum, modo ut una applicetur ad valorem ipfius v.

1)eniqne fi in valore ipfius x defit utrumque • & f, erunt con ditiones tres, quarum una applicanda eft ad valorem ipfius v, a!t€£V

( 77 ) tera ad valorem ipfius *, & tertia pro lubitu applicari poteft áá valores ipfòrum v, y, & fluxionum fuarum. • C O R O L L.

I.

Per hanc fòlutionem, eft tenfio fili in B ad tenfionem datam in A, ut B£ ad Bq, hoc eft ut ú ad mi. Eft ergo tenfio in B ut

°., vel ob datum m, ut -*— : sed per æquationem ej+nai �

£■ 22.

£4 -

_•

my* = o, efí ô (= v£ + jj) = *- x viva*-?7z7-57F* -£3

-+- I

atque eft tenfio in A æqualis a. Tenfio itaque in B eft ,

vì 5 a. -# ap + p*.

ea erit minima quando efi à = z, hoc et in curvæ punao

ù • 2.

Et cùm hæc tenfio fit proportionalis ipfi

» -

infimo ad quod tangens eft Horizonti parallela, exiftente tenfione

ia, .,ut £-. Et hinc qualiumque fit lexefitudinisfuniculi, aass tenfione in uno pun£to A, ducendo tangentem in alio quovis pun&o B. ' • -

c o

R O L 1.

dabitur tenfio

II. – – – – – – – –

quinetiam ducendo tangentes dividi poteft funkulus in partes quarum pondera fint in ars ratione. sit enim ABC funiculus, &ad punâa tria A, B, c ducantur tangentes ADE, i»RE, EFC fibi invicem occurrentesin D, B, ., & F, Tum (per hanc propofitionem) centta '

gravitatis füniculorum AB, AC, BC, erunt

7

( 78 ) in perpendicnlaribus tranfeuntibus per refpe£tivos tangentium con curfus mutuos D, E, & F. Proinde fi per duarum tangentium AD, CF concurfum E ducatur perpendioularis EG occurrens tangenti ter tiæ DBF in G, erunt pondera partium AB, BC inter fe in ratione re ciprocâ diftantiarum propriorum centrorum gravitatisa centro gravi tatis totius funiculi ABC, hoc eft pondus ipfius AB erit ad pondus ipfins BC in ratione reciprocâ DG ad GF. Datâ ergo ratione pon. derum, dabitur ratio DG ad GF. Ulnde datis pofitione re&is DE, GE, FE, dabitur dire&io tangentis tertiæ DBF, per quam invenitur pun&um B, quo dividitur funiculi ABC pondus in datâ ratione. C O R O L L.

III.

Si in expreffione craffitudinis x adfit tantüm unum ex ipfis x, j, v, folvetur Problema per quadraturam curvarum. C A S Ul S

I.

Primo enim adfit tantùm curva v in expreffione craffitudinis s. Tum inito calculo per æquationes ay + mai. — ap. = o, ùù = jj + zz, & brevitatis caufâ pro Vi*a* — 277. pEF7t* fcripto R. -+ 1 •

•

-»

4 7)

-

7mp — Mag

*

mp

•_• 214

•

invenietur z = ** IRT°, atque que yj = *?4 * Z z = ——r— * v

-

Llnde dato p per quadraturam curvæ cujus abfciffà eft v, & ordi nata *, deinde dabuntur z & y, quadrando curvas, quarum abfciffâ •

®

•;

communis eft v, & ordinatæ funt ~RT , atq;

-

*;-

©

c A s u s II. Si in expreffione ipfins x adfit tantùm z, du&o utroq; membro aquationis z = + in x, fiet : x = -£-. Ulnde quadrando Cu TV3IS

( 79 ) curas, quarum abftiffæ funt z & p, & quarnm ordinatæ funt x & -#-. dabitur relatio inter z & p. Deinde ob ù= P. » & $ E.

J%

R.

== 1*2, quadrando curvas quarum abfciffae funt p & z, & or dinatæ funt

-*- & *#*,

dabuntur v & y.

C A S Ul S

jlI.

Denique fi in valore x adfit tantùm y, ducendo aequationem

3 =*#*i in *, endo

fiet

js

=

*t#*j(= -§-)

Qpare faci

5— æquale areæ curvæ cujus abfciffâ eft y, & ordinata x,

aabitur relatio inter p & y, unde deinde quadrando curvam cujus abfcifTa eft y, & ordinata

&#E dabitur z.

Dabitur autem v,

„, i„ cafu fècundo, quadrando curvam cujus abftiffà eft P, & -

TI

ordinata -iC O R O L L.

Per cf. 3. Cor. 3. eft

IV.

|

-$- arquale fluenti j.,quod idem æquale tenfioni fili, (per Cor. 1) eft Ergo fit ABC funiculus,adcujus pun£tum infimum C ducatur tangens

G

E*

E \\%

—>- ā

CEHD horizonti parallela, & ad eum ducatur norma

lis EF , atque du&£ BFG, X.

hori

( 8o ) horizonti parallela, in eâ fit femper FG = x = craffitudini funiculi In B. • Tom fi fit GH curva, quam perpetuò tangit pun&tum G,

atque areæ GFEH terminatæ ad tangenten CE addatur area EDKI=

£•

erit area tota IKDHGFEI fèmper æqualis tenfioni fili in B.

Nam eft EF = y, adeoque fluxio areae eftjx = fluxioni tenfionis, -

4

-

quæ in pun&o C æqualis eft T¥T * V.

C O R O L Hl.

v3

Per Ex. 4. Prop. 15. eft radius curvaturæ æqualis

$

quare

t.

zy

£; |;

- •

-

;

(per aequationem a y- mxvx. = o. ) in funiculo eft radius ifte

a* ,

æqualis

hoc eft, aequalis areæ DI (fig. Cor. 4.) applicatæ

$.

-i-, hoc eft in quadratum £cantis an-

§.

£mgxz*

ad FG, & deinde du&ae in

**

8 *

guli, quem fàcit curva cum horizonte. • ., . …

VI.

C O R O L L.

Data figurâ funiculi ficile invenitur ratio aafitudinis fiae. Nam dantur relationes fluxionum per fpeciem figuræ : unde per aequatio

nem in hoc Problemate inventam aj — mxi*= o, datur craffitudo -

_•

•

* a***

•

•»

i3''.

•

•

-

•• • • '

-

"

-

-

-

-

-- -

urae.– radium curvat
•

2&2**;

-

-

-

- -

* **

;

-

-

*, *. *

,

•* •*

„ * -'

.*

]

-

( 81 )

-

P R o P. XIX. P R o B. xiv. Datâ ratione crafftadimis, imvemire figaram

&,

Formici propriam pondus fùffimemtis. Sit fornicis portio quædam AB, & fint a & b

]g

pun&a ipfis A& B proxima, & ducantur tan- ] gentes, Ag, Bg. , Tum fi portionis AB centrum . gravitatis fit G, per id du&a horizonti perpendi-

**

cularis GP tranfibit per tangentium concurfùm

*

• •

.

££

g, (per Lem. 5. & 6. ) quoniam fùftinetur pondus arcus AB$e;

-

lineolas aA, bB. Viribus itaque eodem modo interpretatis, atg; in;

Propofitione praecedenti, conftat figuram hujufmodi fornicis, eaÊ effè atq; funiculi, in fitu tamen inverfo. :

-

L E M M A VII. Sit AB limea quævis cur

va im p/ano ad horizon tem perpendiculari , «* per motum reäe eidem

plano normalis per cur vam AB defcribetur fu

perficies, per quam faffi meatur fluidum cajns fa-

IE

perficies Horizonti parallela occarrat plano eidem im reéîâ cD. Tum dico,

Quod fi ad Horizomtem ducamtur perpendiculares CA, DB,

occurrentes curve im A & B, & re£fae cD im c & D, & dacamtur Horizomti parallelæ AE, BFG, quarum BF • •

•

occurrat

:* ** - ..

( 82 ) occurrat re&fa cA im F, & fiat AE = CA, atque ducatur cE occurrem BF im G, erit faidi preffo tota lateralis, per quam arget fandum AB im direéfione Horizomti parallela, ad pomdus fluidi fpatio CABD inclufi, ut area AEGF, ad aream CABD.

Duc ca horizonti perpendicularem, ipfi CA proximam, atque oc currentem curvæ AB & re&tae CD in a & c, atq; per a duc ae hori. zonti parallelam, occurrentem ipfis CA, CE in f & e. Tum coincidentibus pun&is A & a, fluidi fpatio CAac inclufi pondere

exiftente ut idem fpatiam, hoc eft ut CA x fa, ejus preffio abföluta in lineolam Aa perpendiculariter fa&a erit ut CA x Aa ; adeoque ejufdem preffionis pars lateralis horizonti parallela in dire&ione f, erit ut CA x fA, hoc eft ut EA x fA. Exiftente igitur CAac flu xione ponderis, erit EAfe fluxio preffionis lateralis ; adeoq; ubi pon dus fit æquale areæ CABD, preffio lateralis fiet aequalis areæ AEGF, g, E. D. -

c O R O L L A R I u M. |Hinc fi conftituatur triangulum re&tangulum PQR, cujus bafis PQ horizonti parallela fit ad perpendicu larem RP, ut fpatium AEGF ad fpatium ACDB, fluidi vis tota abfoluta in fundumAB erit in dire&ione

hypothenufæ RQ, & per eam repraefèntabitur, fi re jP

â, praefèntetur pondus per perpendicularem RP.

P R o P. xx. ID /b C,

P R o B. XV. Imvemire figuram Limtei a qua plemi.

G. F

-

IE

-

A. GAT T H.

-

-

… Repraefèntetur Lintei por quædam pe per curvam AB, tio q. &c n.

( 83 ) : & aquae fuperficies horizonti parallela per reétam horizonti paralle. lam CD. Tangant linteum re&tæ duæ EATHI, BT in A & B, fibi

mutuo occurrentes in T, quarum AT fit horizonti parallela, & per pun&a A & B ducantur ipfis CD, AT normales, iis occurrentes in

C, D, & H, & in AT fit AE = AC, & du&à CE, ei occurrat BG horizonti parallela in G, atq; ipfi CA in F.

.*

. *

* *.

Jam fi in AT fumatur HI ad HB, ut eftfpatium AEGF ad aream ACDB, erit hypothemufà BI parallela dire&ioni totius vis abfolutæ , *

preffionis fluidi in fundum AB(per Lem. 7.) Sed huic vi refiftitur per tenfiones filorum Aa, Bb, in dire&tionibus tangentium AT, BT :

'quare (per Lem. 5.) vis abfòluta preffionis fiuidi in fundum AB æquipollet vi applicatae ad pun&tum T in dire&tione re&tæ BI. Ten.

fiones ergò filorum Aa, Bb, & vis preffionis fluidi in fundum AB, funt inter fè ut re&ae earum dire&ionibus parallelæ TI, TB, BI , , fimul exiftentibus pondere fluidi in fpatio CABD, & preffione late rali in fundum AB ut BH & HI. 'Sed ob liquoris fluiditatem, liberé movebitur linteum per ejus particulas, tanquam per trochleas,

adeoque eft tenfio fili Bb æqualis tenfioni fili Aa, & inde TB = Ti. Ergò fi tenfio fili data defignetur per datum fpatium a, atque pon dus fluidi per fpatium continens ACDB, quod etiam dicetur A, &

preffio lateralis per fpatium ei proportionale AEGF, quod dicetur

B, erit a : A; B::TB:BH; HI. Eft autem BH =yZTEXHIEHIT, (obTI=TB) quare etiam per hanc analogiam erit A=V33BEBB.

Sit jam CA = c, AH = z, DB = y (= CF = FG.) Tum • — y*

erit B =

, atque TH : HB : : 2. : j, hoc eft, (per ana

logiam fupra inventam, & per valorem ipfius A) a — B : V£B-BB B -— a x j

: : : j.

unde fit z = -

quippe ratione habitâ figno y2aB-TBB

-

tum ipforum z &}. Nam ubi curva eft verfüs terram convexa, cre Y

fcente

.

( 84 ) , fcente z, decrefcit y, atque eft B =

Cc

2

-

1° : Sed ubi curva eft ad

concava, ipforum z & y fluxiones funt ejufdem figni, exiftente etiam B — '=*. Ipfius autem z fluxio eft ejufdem formæ in utroque cafu, figno tantùm mutato. In cafu figuræ præfentis fluidum verè continetur in linteo : in cafu altero jacet ad lintei partes infè

riores, idque (puta mediante fyphone) furfum urget cum vi in quovis pun&o proportionali fluidi altitudini perpendiculari infra altiffimam fuperficiem horizontalem. Datur autem z ex dato y, quadrando curvam cujus abfciffà eft y, atq; ordinata _D - a _ Et per coefficientem indeterminatum V2aBT-BB' in valore fluentis z, & per coefficientes, duos a & c accommodari poteft fòlutio ad tres conditiones, quarum ad minimum una refpe &um habebit ad valorem ipfius z ; per quem nempe determinatur • pofitio curvae.

B-Ex 5

Per æquationem z =

IB — a :

(= V2aB — BB

c.

;•:..

..• t.

*.

+**) et-*. -

-

J/.

G DIE

-

s.

•

|

'

-

l.

-

-

-

JP LVê

-

== o ,

( 85 ) vel y = voc— 2a.

Et in hoc cafu eft area A=a.

Item ubi A = o,

erit £ infinita refpeâu j, hoc eft curva tanget re£tam horizonti pa rallelam. Et hoc fit ubi eft 2a B — BB = o, id eft, vel quando B = o, adeoque y= c, vel quando B= 2a, adeoq; y = Vcc -4a. Ergò fi fit CD fluidi fùperficies horizontalis, atque ad horizontem ducatur normalis CA, & in eâ fumantur CA = c, & C&=Vcc-4a,

& per pun&a A & 2. ducantur AI & aa horizonti parallelae, curva defcripta utrafque tanget, & inter eas tota jacebit. Idque fiet fub hâc conditione, út ordinata DB primùm pergendo de CA per DB

perveniat in EP, ubi fit EP = V3—73, atque area CABPE = a , deinde regrediendo de EP per Db perveniat in ca, ubi fit ca =

VEEEAa, atque area EPbac = a. Nam progrediente ordinatâ area increfcit, & regrediente ordinatâ decrefcit: quare fi area fit nihil, hoc eft indicium, vel ordinatam de loco fuo nondum moviffè, vel quod areae decrementum per regreffionem ordinatae aequale fit ejufdem incremento, prius fa&o per progreffionem ordinatæ. Et hinc per infinitas repetitiones figurae APBba utrinque fa&as curva fèrpet per petuò inter horizonti parallelas AI, aa ad inftar cycloidis, ubi pun &tum defèribens fumitur nltra peripheriam rotae.

In hâc curvâ eft radius curvaturæ æqualis ipfi demonftrabimus in propofitione fèquenti.

P R o P. XXI.

-; .

Quod mox

P R o B. XVI.

Iwvemire figuram Formicis fùffimentù omus fluidi fùperimcumbentis. In hâc figurâ vires omninò interpretantur ut in Prop. 2o. Qüare eft hujus fornicis figura eadem, atque figura lintei, onere tantùm ad contrarias partes figurarum applicato ; in hâc enim applicatur flui dum ad curvæ partes convexas, in illâ ad partes concavas, Sed

( 86 ) Sed ut per vaiias folutiones res quo dammodo fiat illuftrior,repraefèntetur for nicis portio quaedam per curvam AB, vertice fummo ubi tangens eft horizonti

parallela, exiftente A. Repraefèntetur etiam fluidi fuperficies fumma per re&tam horizonti parallelam CD, & du&tis horizonti normalibus AC, BD, fint AC = c, CD = z, DB = y, atque curva AB = v, & pro area CABD fcribatur A.

Sume pun&a b & p utrinque ad diftantias aequales minimas a pun&o B, & ducatur ad curvam normales bS, pS concurrentes in S, atque ducantur tangentes bt, pt concurrentes in t, & compleatur paralle. logrammum btpr. Conftat pun&ta b & p verfus invicem urgeri per vires duas in

dire&ionibus tangentium bt & pt ; his autem viribus refifti per pon dus fluidi infiftentis fundo lp, idque in dire&tione ad fundum per pendiculari. Sunt ergo vires illae ut latera trianguli btr earum dire

&tionibus parallela, vel ut latera trianguli confimilis Sbp. Sed pun &tum b fuftinet pondus totius fluidi in areâ CABD, cujus preffio in

direâione bt eft ad ejufáem preffionem perpendicularem ut £cans anguli bBD ad radium, hoc eft ut v ad j : item preffio in fundum

bp eft ad pondus fiuidi in fpatio ACDB ut ip× y ad A. Quare con

jun&is his rationibus fit ip×yj ad Aö ut bp ad bS , adeoq, ws -

Ag. .

Sed datâ ù eft }S = -* * (per Ex. 4. Prop. 1 5) , unde fit

yr

y

-

"* = **, hoc eft j = Aj, vel Äj— Aj= o. unde capi }

yy A

endo fluentes fit -ºJ.

=-*υ

, hoc eft

Aù = aj. Eft autem ó ú = -

z+

-

c 87 ) : 4 jj, unie fitj= Va*## , hoc e#3* =—44-. unde — A* a* — A• -

(capiendo fluentes, & addendo e +

4#- ,

ut fiat y = c in vertice

curvæ, ut et A=») fit + = a + %--V*=A. Pro * — • e*

-== fcribe B, atque calculo pera&o invenietur A = V2GB-BF, -

-

adeoque z = — *=°*? , omninò ut in Prop. 2o. «

-

V2aB- BB

C O R O L L A R I Ul M.

* *

In hâc fòlutione inveniebatur .

•

4-= 4- , j

•

atque erat

bs

=.

{V

£ ° . Ef ergò preffio Ag faaa in lineolam BB æqualis datæ a, -

_•

«•

yy

y •*

ζ*

atque radius curvaturae bS = -;-

A·

S c H o L I Ul M.

Ex bâc expreffione radii curvaturæ conftat eandem hanc curvam etiam efTe figúram laminae elafticae datâ vi fiexae. Nam eft fiexura in ratione reciprocâ radii curvaturæ, adeoqu$ in hac curva in dire&a ratione altitudinis y. Sed dati ponderis vis** laminam incurvandam eft ut ejufäem diftantia minima a punao fiexurae. Quare fi pondus applicetur ad laminam in reaa CD, figura genita ea erit quam hic

-

defcripfimus.

Quinetiam in quibusaltitudo hæc curva occurrit fiuidi fuperficieimanentibus horizontalipun£tis, CD, fi minúatur maximè £ in Z

infiiiitum

.

infinitum, erit hzc eadem curva cujus figuram induitNervus muficus

vibrans, in quovis articulo motùs fui. Quod jam demonftrare pro peramus.

-

-

"

L E M M A. VIII.

Si carvaram duarum AB, AP abfciffam communem habem.

C.

—;

I8

tivm AD, ordinatæ DB, DP ;

. fiwt ad imvicem in dat? rati one, imminuti, ii im infinitum,

D TATT

d

-

-

. -

at curvae tamdem coimcidamt cam axe AD, erit altima ratio

flexare eadem, que ordinatarum. J {* ' * … …

… -

Duc novam ordinatam dp curvis occurrentem in p & b, & ad Tum ob da

pun&a B & P duc tangentes occurrentes dp in C & c.

tam rationem ordinararum, tangentes produ&ae concurrent in aliquo punéto T in axe AD. unde ob parallelas db, DB, erit dC ; dc : :

DB: DP : : db : dp : : dC — db : dc — dp, hoc eft bC: po: : DB: DP. Coincidant jam ordinatae db, DB, atque lineolae evanefcentes bC, pc erunt fùbtenfae angulorum contaétus bBC, pFc ; atque imminutis

ordinatis in infinitum erunt angulis ipfis proportionales. Sed per hos angulos æftimatur flexura. Quare coincidentibus curvis AB,

AP cum axe AD, erit flexura in B ad flexuram in P ur ordinata

DB ad ordinatam DP. g, E. D. L E M M A IX. Datá craffitudine nervi temfi, vi.accele ratrix cujufvis pun&i eft ut flexara in ' iffo pumifo. -

S.

* * . Sit nervus in pofitione curvæ ABC. Sume

pun&um à pun&o B proximum, & duc tangentes Bt, bt concurren -

- -

-

-

.

_-

-

f€S

( 89 ) tes in t, & compleatur parallelogrammum Btb r, atque ad curvam ducantur normales BS, bS concurrentes in S. Tum (per principia

Statices) erit vis abfoluta ad movendam particulam Bh in dire&tione tr ad fili tenfionem in B, vel in b, per quam generatur vis illa, ut } quon1 t 7 ad tB, hoc eft ut Bb ad BS, adeoque vis illa eft ut

Ê,

-

am fili tenfio eft data. Sed eft vis acceleratrix in ratione vis ab folutæ dire&è & materiæ movendæ inverfè , & in hoc cafu eft mate Í , hoc eft ut ria movenda ut Bb, Quare eft vis acceleratrix ut – •

-

curvatura in B , curvatura enim eft in ratione reciprocâ radii.

P R O P. XXII.

P R O B. XVII.

-

Definire motum AVervi temfi. .'.

In his pono nervum conftare ex*

1D

tenuiffimâ uniformiter

I—jr t. Ë

materiâ

craffä, ejufq; elongationem maxi- ; mam ab axe motus AB effe infini-

tè parvam ; ita ut vis tenfionis

-

IB

E . , C

A.

non mutetur per au&am longitudinem nervi in majoribus fuis diftantiis ab axe AB, & ut inclinatio radiorum curvaturae ad axem fit fèmper infènfibilis. -

' . , S O. L Ul T 1 O.

Per pun&a A & B defcribetur curva ADFB, cujus indoles fit, ut, du&is ad libitum ordinatis ad axem normalibus CD, EF, fit curva

tura in D ad curvaturam in F, ut DC ad FE. Dico quod haec fit figura, quam induit nervus in quovis articulo motus fui , item quod pun&a omnia D, F fimul ad axem pervenientia & fimul redeuntia vibrationes fuas omnes peragent in eodem tempore periodico, ad inftar penduli ofcillantis in Cycioide. Q. E F. D E

.^ -

( 9o ) D E M O N S T R A T I O.

Sit enim curva ADFB nervi diftantia maxima ab axe AB, pun&is omnibus jam quiefcentibus. Tum quoniam curvatura in D eft ad curvaturam in F ut diftantia CD ad diftantiam EF (ex hypo thefi) erit acceleratio in D ad accelerationem in F in eadem ratione diftantiarum (per Lem. 9.) adeoq; in initio motus fpatia fimul percur fà Dd, Fferunt in eadem ratione : adeoq; & divifim fpatia percurrenda Cd, Ff erunt in eadem ratione: unde etiam accelerationes novae in pun&tis d, & ferunt in eadem ratione (per Lem. 8, & 9.) atq; erunt ad accelerationes priores in D & F, ut diftantiae dC & fE ad diftantias

DC & FE (per eadem Lemm.) Ergò pun&ti cujufvis D,vel ut in eadem curva ADFB, vel ut in diverfis ADFB & AdfB fpe&tati, acceleratio

femper eft ut ejufdem diftantia ab axe motus AB. Quare (per Prop. 5 I. Lib. I. Pbil. Nat. Princ. Math.) pun&ta omnia Nervi ad axem fimul perveniunt, fimul redeunt, & vibrationes fingulas peragunt in dato tem

pore periodico, ad inftar corporis in Cycloide oftillantis. ®. E. D.

Porrò fi Nervus ple&ro modò percuffus nondum induerit formam curvæ jam defcriptae ; fit eius forma ADFB, curvatura in F exiftente

ad curvaturam in D in majori ratione quam diftantiæ FE ad di ftantiam DC. In hoc cafu velocitas in F eft ad velocitatem in D, vel in majori, vel in minori ratione, quam diftantia FE ad diftantiam DC. Si fit velocitas in F ad velocitatem in D in ratione majore quam FE ad DC, erit fpatium Ff in tempore minimo defcriptum ad fpatium Dd eodem tempore defcriptum in ratione majore quam EF ad CD ; adeoque divifim erit fE minor refpe&tu FE, quam eft dC refpe&u DC, indeque (per Lemm. praed.) acceleratio in f minor erit refpe&tu accelerationis in F, quam eft acceleratio in d refpe&u

accelerationis in D. Itaque majoris velocitatis acceleratione fèmper decrefcente, & minoris velocitatis acceleratione è contra femper crefcente (refpe&u diftantiarum ab axe AB,) motus inter fe tandem ita temperabuntur, ut perventis pun&tis F & D in pun&ta quædam p & t, erunt tum velocitates tum accelerationes ut diftantiae pE, tC ,

adeoque curva A tpBjam exiftente eadem quam defcripfimus, motus dehinc

( 91 ) áehinc omnes confpirent. Atque idem eveniet fi fit velocitas in F ad velocitatem in D in minore ratione quam diftantiæ FE ad di

itantiam DC. Qyare quocunque modo percutiatur nervus, quam citiffime induet formam curvae hic defcriptæ, atque perget 'î

more jam defcripto, & B. D. P R O P. XXIII. Daetis

P R O B. XVIII.

longitudine Nervi, ejufäem pomdere, & pomdere tendente; -

imvenire tempus periodicam.

-

Sit Nervi interpun&ta A & C ex

tenfi longitudo L, ejufdem pondus N, atq; pondus tendens P, & con

ftituatô hervus in pofitione ABC ; & fùmptis pun&is B & b proximis, ducantùr adcurvamnormalesBS/S, concurrentes in S , & ducatur ordinata axi normalis BD. Per Lem. 9. eft vis tenfionis Nervi ad vim abfolutam ad movendam

particulam Bb ut BS ad 5?.

Sed eft vis acceleratrix in ratione

compofitâ vis abfòlutæ dire&e & materiæ movendae inverfe. Quare

fi particulæ movendæ Bb pondus dicatur p, erit acceleratio particulæ b5aa accelerationem ponderis P. ab ipfius propriâ gravitate oriun aam, hoc eft, vis acceleratrix nervi ad movendum pun&um B ad vim •

e .

B b . BS

. . •

acceleratricem gravitatis, ut TF

• _ _ . •

•

T* unde fi gravitatis acceleratio

ad

data dicatur 1, erit pun&i B acceleratio

É;.

Sed eft P ad p in

tatione compofitä P ad N, & N ad p, feu L ad Bb, unde fit P.

PxL

Px L •

-

e

L- - -

Sed •

;-= N;E;: Adeoq, acceleratio pun&i B eft RÉɧ* A a

quoniam

( 92 ) quoniam eft curvatura ut diftantia BD (per Prop. 22.) quæ eadem

eft ut ,;;, BS ? erit Bs x BD quantitas data. Sit illa a. Tum proBS fübftituto

ÉÉ·

. PxL

fiet acceleratio pun&i B æqualis

r£p.

Sed

in funipendulis tempora periodica fùnt in dimidiatâ ratione longitu dinum dire£le, & virium acceleratricium inverfe (per Prop. 52. Lib.

1. Princip. Math.) Quare fi conftituatur pendulum cujufvis longi tudinis D, erit tempus periodicum nervi ad tempus periodicum jftius hoc eft) penduli in dimidiatâ ratione (BD applicatae ad

r£P,

Nxa PxIL ad

D. Atque numerus vibrationum nervi in tempore unius -

vibrationis penduli erit D

-

-

P. L. Σ

•

Τ

N a

inveniamus Supereft utitaque Conftituatur in pofitione nervusquantitatema.

Te fé

^ C.

| `_A

E ID

ABPC, & ad axis AC pun&um medium D erigatur ordinata normalis DB, & fit alia quævis ordinata EP, atq; fint DB =

•, DE = z, EP = y. Tum ob radium curvatura æqualem -*-, J/ -

-

erit (per Prop. 21.) £ — - B-4 *J , nempe pro - B

fümpto

v2aB — BB

4* 2 -= 2.

sed evanefcentibus c & 7 haec expreffio fit z= — =•/ ,*

.

ac*- ay*

==–, vel à =* « — £2— . At enim eft — £1- fii Vcc-yy

-

£

vcc — y y

-

V:* — y*

…

xio arcus circularis, cujus finus eft y, & radius c. Quare arcu qua drantali

.

' ( 93 ) $tantali in ifto circulo exiftente q, erit DC = -£- x q =

£ L. Uln

de ett a* ad ; L ut radius circuli ad arcum quadrantalem, vel „* ad

L ut diameter circuli ad peripheriam ejufiem. Sit ergò p peri

pheria circuli cujus diameter eft 1, atque jam exiftente a* = L -

P.

-»

eritnumerus vibrationum Nervi,in tempore unius vibrationis penduli

datae longitudinis D, æqualis D* -

P*

P. g. B. I.

r

IL* N* I. .

C O R O L L.

Comparatis motibus Nervorum inter fe, ob data p & D, erit tem -

'pus periodicum Nervi ut

L'NT. P*

!

-

A. a

-

C O R O L L.

-

-

II.

Ubi Nervi conftituuntur ex eodem filo, eft Nervi pondus N ut ejufdem longitudo L. Quare in comparandis motibus hujufmodi

Nervorum, eft Tempus periodicum ut

—-. P*

C o R o L L. III. Iifdem pofitis, fi praeterea detur pondus P, hoc eft, fi longitudines fumantur in eodem Nervo diverfimode obturato, erit Tempus peri odicum ut L. Sed refpe&tu Nervi aperti, pars dimidia edit fonum

Diapafon, pars + edit fònum Diapente, pars 3 edit fonum Diateffá ron, & fic de cæteris. Qgare a Muficis re&e definiuntur proportio

mes hujufmodi tonorum per numeros, 4, 5, 3, &c. longitudinibus

Nervorum proportionales. * * ; i

-

I t.

•• , '

LEM

( 94 ). LEMMA

x.

Si im pumifum datum fpatii rigidi sirca ID

b C

*>_

datum axem mobilis , impingat data particula im datâ dire&#iome, data cum velocitate ; atq; im figura pr«fenti fimt

pumifa C, B, b, A interfe&fiomes plami ad A.

axem datum rotatiomi* perpendiculari,

cum ipfò axe & cum reäù ei parallelis, tranfeamtibus per locum pum&fi im quod impingit particula data, per extremitatem reéfae im direéìiome motus, & proportiomalis velocitati iffius particale

impingemtis ; & per fpatii ejufdem aliud pam&#um datam : atq; ad cB ducatar mormalis b D : tam erit motus ißius /?atii

prodaâus per impulfum iftius particale omninò idem, ac ß produceretar per aliam particalam, cujus magnitado eß ad magnitudinem particule priori, ut CB* ad CA*, & velocita, eß ut Db x

%4 , impingemtem in

tum cujus projeélio ef A, cum Axi rotatiomi;

iftud aliad pamètam da

direéiiome tum ret#æ CA tum

perpendiculari.

Nam per rigorem fpatii omnis motus tollitur, nifi quatenus fit in planis ad axem normalibus. Quare pun&tis omnibus de quo agi. tur modo prædi&to ad tale planum redu&tis, particulæ impingentis velocitas & ejufdem dire&io in hoc plano repraefèntabitur per re&tam Bb. : Sed hujus velocitatis pars BD tollitur per refiftentiam puncHi C, & per partem reliquam Db producitur motus fpatii. Velocitas autem pun&i A eft ad velocitatem pun&i B, ut diftantia a centro CA ad diftantiam CB; quare punéti A velocitas produ&ta per mo tum particulæ impingentis in B erit Db x sed & momentum

É.

• • • i

ejufdem

( 95 ) ejufdem particulae eft ad momentum quod tribuit pun&o A, ut CA ad CB: quare fi particulae iftius magnitudo fit p, ejus momento in B exiftente p × Db, momentum ab eâ tributum pun&o A erit CA

p × Db x C B ' Sed eadem velocitas & idem momentum produ CB* . cuntur in pun&to A per vim particulae p × τΊΕ- impingentis in illud pun&um, in dire&ione ipfi CA perpendiculari cum ve!ocitate -

-

-

CA Db x

ö5°. Qgare refpe&tu motus produ&i in fpatio rigido, perinde

£í 2.

omninò eft five particula p impingat in B, five particula p ×

impingat in A modo jam definito. ®. E. D. P R O P. XXIV.

P R O B.

XIX.

corporis dati e dato Axe Horizonti parallelo dependenti inve mire Centrum 0féillationù.

Per Centrum Ofcillationis intelligo pun&um, cujus velocitas idem fèmper eft ac fi corpore reliquo amoto illud folum circa eundem axem ofcilletur.

Sit ergò praefens figura in

plano ad horizontem & ad

es

Axem ofcillationis perpen diculari, tranfèunte per cor-

H,

g| a| IB

C*

A.

poris centrum gravitatis G, atque fit C interfe&tio hujus plani cum Axe ofcillationis. Duc Ho rizonti parallelam Cg, atque in re&tâ CG fit A Centrum ofcillationis quæfitum. Sit p particula prifmatica Axi motus parallela, & plano figuræ infiftens in pun&o B. Duc CB, & ad re&am Cg duc per pendiculares Bb, Gg, Aa, ei occurrentes in b, g, a. 1B b

Si

.*

( 96 ) Si gravitatis acceleratio data fit 1, tum particulæ p acceleratio, ad

§ . Qgare pun &\i A momentum a vi particulae p oriundum erit (px § g# =) p x $. Sed (per Lem. io.) motus pun&i A per particulam p in fpatium figuræ movendum circa pun&um C, erit

X.

pun&o B produ&us perinde omninò eft, ac fi produceretur a parti. ' culâ px

3î impingente in ipfum pun&tum A.

Quare vice particu

$. in pun&to A,

larum p in locis B, fubftitutis novis particulis p x

dabitur acceleratio pun&i A, oriunda ex conjun&tis viribus totius

Corporis dati, per notiffimam regulam Collifionum ; nempe appli •

-

Cb

'

-

cando fummam omnium momentorum p × ä ad fummam omnium

3;

particularum fùbftitutarum p × , hoc eft (ob datum CA) ap plicando fummam omnium px Cb x CA ad fummam omnium px

CB* : Sed ex notiffimâ proprietate centri gravitatis, fi magnitudo corporis totius dati fit P, erit fumma omnium pxCb æqualis PxCg. Qgare fi pro fùmmâ omnium p × CB* fcribatur Q, erit acceleratio pun&ti A æqualis

excgc, Sed, ex hypothefi,eft haec accelera

tio æqualis ipfius pun&ti A accelerationi propriæ ergò CA =

3; .

§£ vel §§ .

Eft

Inventä itaque fummâ omnium, particula

rum corporis propofiti du&arum in quadrata füarum diftantiarum minimarum ab Axe ofcillationis, per Fluxionum Methodum inverfàm,

dabitur diftantia centri ofcillationis ab Axe, applicando hanc fùm

mam ad produ&um corporis dati du&i in diftantiam centri gravita tis ab Axe oftillationis. g. E. I. i3

:

-

-

C 0.

( 97 ) C O R O L L.

I.

In eodem plano exiftentibus pun&is C, G, B iifdem ac fùpra, ad CG duc normales HGI, BD. Tum erit CB•

=BG* + CG* — 2CG x GD ; nem pe cadente pun&o B ad eafdem partes re&tae HI atque pun&um C. Sed ubi

cadit pun&tum b ad contrarias partes

re&ae HI, erit CB* =#G- + CG* + ' 2CG x Gd. Eft ergò fùmma omnium particularum du&arum in propria fua CB* per totam figuram, æqualis fummae omnium parti

cularum du&arum in propria BGF-FCG* per totam figuram, minus fùmmâ omnium p x 2CG x GD ex unâ parte re&tæ HI, plus fummâ omnium p x. 2CG x Gd ex alterâ parte HI. Sed ex naturâ centri

gravitatis eft fumma omnium px 2CG xGd aequalis fummae omnium p × 2CG X GD. Qgare eft fumma omnium p × CB*, fèu Q, æqua lis fummæ omnium px GB* + p x CG*, hoc eft, (ob datum CG*) arqualis P x CG* plus fumma omnium p x GB*. Si ergò pro fum

ma omnium p ×GB* fcribatur D, erit Q = P x CG* + D ; adeoq; D .

^ -— 3—\ —

CA (= p δέ)= CG + FÉ;. •

c o R o L L. II.

Hinc eft GA = *% .

Ulnde data dire&ione Axis Ofcillatio

nis refpe&u figuræ corporis propofiti, dabitur produ&tum CG x GA (= Adeoque dato centro ofcillationis in uno cafu ejufJem aire&ionis Axis, dabitur idem in omnibus aliis, abfque ulteriori

£)

calculo. . [n

( 98 ) In cafu aliquo propofito calculus inftitui poteft, vel per inventio. nem ipfius Q ex commoda affumptione pun&i C, vel per inventio nem ipfius D, prout commodius videbitur. E X E M P.

I.

Inveniendum fit centrum ofcillationi;

©

Coni re&ti geniti per rotatjonem trianguli Ifofcelis ACD circa perpendiculum CF, & dependentis ab ipfius vertice C. Duc bafi

parallelam IEH occurrentem ipfis CA, CF, CD, in I, E, H , & fint CF = a. FD = , ;—t—;,

= £- , & in

re&a

fit EB = x. Tum fi particulæ

pri£

CE = z, adeoq; EH EH fumpto quovis punâo B,

maticae p pun&o B infiftentis bafis fit : & (= parallelogrammo Bb) ejuflem altitudine exiftente 2VEHTFxx, erit particula ipfa p = 2?x vEF =E, atq; p x CB* = 2CE. xzx VEHFxx + 2xxá xWEFFEX. Et haec eft fiuxio fùmmae omnium p x CB* in re&a IH, Sed fi pro Area circuli cujus diameter eft IH fcribatur A, erit hujus fluens totalis adjacens re&læ IH æqualis

4aa -+- cc 4aa

zzA (per &iiad.

Curvarum : nam in hoc cafü fumuntur CE, EH, & z pro datis, & eft CE: EH:: a : c.) Et hujus fluens totalis eft fumma omniumi

p x CB* in tota figura. Sed eft area A ut z°. Sit ergò A = mz*, & fumendo fluentem fiet Q = 4a

É

C.

11* a*. Diftantia autem cen

tri gravitatis a vertice C eft & a [= CG], atque magnitudo Coni •

.

. •

eft *! [= P); unde fit CGx P = 3

4

+, adeoq; diftantia centri •

1.

Ofcillationis a pun&\o fufpenfionis C eft 4a* -+- c* [= CA = CG+ . •

-

54

D

' ( 99 ) 4D

D

D _ 3a* -+- 12ca

•

+ &p = 4 a * # ] unde etiam fit #-=**#** 3 AD* ) ( = 3CF* -+8o •

E X E M P. II. Sit figura propofita Sphaera. In häc figurâ calculus commo diflimè procedit per inventio nem ipfius D, feu fummæ om nium p × GB*. Sit ergò G centrum Sphæræ, DHI circulus

II

maximus, & fit Sphæræ radius GD = a.

Centro G & radio

quovis GB defcribe circulum BEF, &- fit GB = z, & circum • \

*-

férentia BEF = mz.

Tum fum-

*.

-

ma omnium pxGB* in circumferentia BEF erit æqualis eidem cir cumferentiae du&tae in altitudinem particulæ in B du&tae in GB*,

hoc eft 2mz* VaF73. Eft ergò fùmma omnium p × GB: in tota Sphæra æqualis fluenti ipfius 2mzzs VaRIEZF, hoc eft, £, nas [= D]. Sed eft ipfà Sphæra æqualis } nas [= P] , ünde fit +

S C H O L I U M.

Per argumentationem in hac Propofitione, corporis ofcillantis motus, tam refpe&tu virium, quam refpe&tu velocitatis, idem eft, ac -

.

-

•

CB2

foret motus particulæ æqualis fummæ omnium p «-àí, (hoc eft particulæ

co;;*, oftillantis ad diftantiam CA.

' Adeoq; vice

corporis cujufvis ofcillantis fübftitui poteft hujufmodi particula fita in

cjufdem centro Ofcillationis, ubi ergo quæritur corporum plurium C c

centrum

( 1 oo ) centrum Ofcillatlonis commune, convenit fingulorum centra Of&i}}a.

tionis fèorfim quærere, & in iis fubftituere hujufmodi particulas vice corporum ipforum, atque deinde quaerere centrum commune oftillationis per principia hujus calculi.

P R O P. XXV.

P R O B. XX.

Corporis cuj3fvä circa datum Axem revalveati, iwvenire cowtram, Percuffomis im reäa data. Eft Centrum Percuffionis pun&um in corpore circa axem mobilem, , fèd immotum, revolvente, quo in obftaculum impingente fiftitur motus totus corporis revolventis, ita ut nec huc neq; illuc inctinet. Conftat hujufmodi pun &i locum effè in plano mo tùs centri gravitatis ; nam elementi cujufvis prifinatici

huic plano normalis, adeoq; axi revolutionis paralleli, motus, cum fit fibi fèmper parallelus, momenta ex u traq; parte hujus plani erunt æqualia ; adeoque per refi fientiam in eo fa&tam fifti

poteft motus totus corporis revolventis. Sit ergò C interfè&tio axis revolutionis cum plano motus centri

gravitatisG, & quaeratur centrum percuffionis in re&ta CS tranfèunte per pum&tum C, & fit pun&um illud quaefitum A. Diametro CA defcribe circulum CDA d, cujus centrum fit S ; & fumptis pun&is duobus, B intra circuli peripheriam, & b extra eandem, iis infi

ftant particulæ duæ prifmaticae p axi revolutionis parallelae. Duc AB, SB, Ab, Sb, circulo occurrentes in D, F, d, f, & duc CB, Cb, CD, Cd.

2

…

Ob

( i oi ) Ob motum revolutionis, pun&torum velocitates abfolutæ, in dire.

&ionibus ipfis CB, Cb normalibus, fùnt ut diftantiæ CB, Cb. Quare impingente corpore in pun&um A, particularum velocitates ad tra hendum fpatium circum A in partes contrarias per radios AB, A} erunt ut re&læ BD, bd. Vires ergo abfòlutae particufarum in extre mitatibus radiorum AB, Ab, funt ut p x DB, & p × db , & harum virium efficaciae ad corpus trahendum in partes contrarias circum A,

funt ut p × DB x BA, & p x db x bA. Ergo per conditiones Proble matis, debet fùmma omnium p × DB x BA intra circulum zquari fummæ omnium p x db x bA extra circulum. Sed ex naturâ circuli eft DB × BA = SF* — SB* = SA* — SB*,

atque db x bA = Sb* — SA*. unde eft fümma omnium p × SA*— px SB* intra circulam aequalis fummæ omnium p × Sb* — px SA* extra circulum.

Qgare transferendo omnes terminos p x SA* ad

unam partem aequationis, & terminos pxSB*, p × Sb*, ad alteram partem,erit fumma omnium px SA*, tam intra quam extra circulum in univerfo corpore, æqualis fùmmae omnium p xSB*, etiam in uni

vcrfo corpore. Sed du&is SG & GB, & pro Corporis magnitudine fcripto P, erit fumma omnium p x SB* æqualis P × SG* plus fummâ omnium p x GB* (per Cor. 1. Prop. 24.) Item ob datum SA*, eft fùmma omnium p × SA* = P × SA*. Proinde pro datâ fummâ omnium p × GB* fcripto D, erit PxSA* = P x SG* + D, hoc eft D

SA* — SG* = -F- •

Ad CA duc normalem Gg, & duc CG ; atque erit SG*=CG* — * — CA x Cg + SA*, adeoq; SA* —-SG*= CA x Cg — CG*, hoc eß , _ D CA x Cg — CG — -f-,

_ CG* D feu cA =*; ++za;.

Dantur

autem omnes CG, Cg, P & D 5 quare etiam datur punétum A. §. E. I. C O

( io2 ) C O R O L L A R I U1 M. ID

-

Hinc eft CA

ad CG -+-

FZCG ut CG ad Cg. Quare fi re&ta cg -

occurrat circulo in O, exiftente angulo ad O re&o, adeoque & tri. D angulis CAO, CGg fimilibus, erit CO = CG + FXÖG* Ulnde - - -

•

: (per Cor. 1. Prop.24) eft Q centrum Ofcillationis. Proinde per cen. trum rotationis cdu&tâ re&lâ ad centrum Ofcillationis o, ei perpen dicularis OA erit locus centri Percuffionis. Invenitur itaq; centrum

Percuffionis per calculum centri Ofcillationis. L E M M A.

XI.

In curva Logarithmica fubtangems datur. Et f fit mumerus y, ._ 2.

Logarithmus z & Subtangems illa c, erit J

s_•

- •

C.

J/

'Hoc ab aliis paffim demonftratur. 'H Y P o T H E S I S

I.

Demfitas Aeris cf? omeri impofito proportiomalis. Hoc Expérimentis confirmatur. H Y P O T H E S I S

II.

Vis Gravitatis eß reciprocè im duplicatâ ratione diftantiarum a Cemtro Terræ.

-

Demonftratur hoc a priori inter Philofopbi« Naturali, P,;„;. pia Mathematica. P R O P.

'• ' .

( io3 )

, P R O P. XXVI,

P R O B. XXI.

Imvenire Demfitatem Atmofphæræ, Sit S centrum Terræ, & per circulos BCD, bcd centro S de-

I.

fcriptos, repraefèntentur fuperfi cies duae fphæricæ ipfi Terrae concentricæ in Aere defcriptae.

Tum fuperficies BCD fuftinebit preffionem columnæ Aeris, cujus bafis eft eadem fuperficies atque altitudo æquatur altitudini BI totius Aeris fupra, pun&tum B:

(per Prop. 2o. Lib. 2. Princip. Math.) Preffio itaque in fùper

ficiei datam partem BP eft ut columna Aeris totius altitudinis

BI datæ bafi infiflentis. Sit itaq; bp = BP, atque erit differentia pref fionum in bafes BP & bp, ut pondus aeris datæ bafi infiftentis, inclufi inter altitudines SB & Sb. Sit itaque SB = x, atque imminutâ diftantiâ Bb in infinitum, fit Bb = §, & y denfitas Aeris in B, & fit a data diftantia a centro S, ad quam diftantiam fit gravitas = i &

*denfitas d. Tum quantitas aeris in fpatio BPp % erit ut â y (nempe ut magnitudo in denfitatem,) atque vis gravitatis in B erit

f* (per Hyp. 2) adeoq; pondus aeris inter B & b erit ut

aa x y „X X.

ax*

(hoc eft, ut quantitas materiæ in gravitatem) Defcendendo er. -

-

- .

-

-

am a

, go verfus centrum Terræ, erit incrementum preflionis ut 4#/. … ...

D d

Scd

( 1 o4 ) scd eft denfitas y preßioni proportionalis (per Hypotb. 1.) quare eft j ut

££'. Sit ergo

c [ibea data, atq;

eiit j = —

£? ;°

, feu

a* X;

;

-

=

•

•

ç x*

•

-

Sit SA = a & SF =

££-=z, atq; ad A & F erige normales ipfis

d & y proportionales ; quae proinde per eas defignari poffunt, ut fit AE = d, & FP = y, & fit EP curva quam pun&tum P perpetuò - * °*-= z, ? adeoq; _J_ tangit. Tum eritir ==; y = _*. c * -

Ulnde eft cur

•

va EP Logarithmica, cujus fubtangens eft c (per Lem. 1 1.) . Adeoq; fi in tabulâ Logarithmorum fumantur Logarithmi proportionales ipfis AF, hoc eft ipfis a — + , Numeris erunt ut denfitates in locis B.

®. E. I. S C H O L I Ul M.

Si Aeris totius pondus fupra B fit p (per hanc Aap.) erit p

ad í

• ••; Sed eft p =*#! (per hanc Prop.) Quae fi fit p = ? A, hoc eft, fip fit columna Aeris ejufJem denfitatis y &gravi

.

tatis £ ac Aer in B, & altitudinis A, erit y adj ut A ad 2, hoc eft, ut c ad

a* ac

(per hanc Frop.) unde fit e = #A.

fnventâ

2c2

itaq; altitudine A per Experimentum Torrigelianum, dabitur c. Sed per Experimentum quoddam ab Haukesbeio fa&um, conftat Aeris denfitatem mediocrem effè ad demfitatem Aquae at i ad 82o iy , i.

ferè.

( 1 o5 ) ferè. Eß etiam denfitas Aquæ ad denfitatem Mercurii ut 1 ad 13;. Quare eft denfitas Aeris ad denfitatem Mercurii ut 1 ad 1 1 ojo. Altitudo etiam Barometri mediocris eft 3o unc. Quare fi pun&um B. fumatur in fùperficie Terræ, exiflente a radio Terræ, erit altitudo

* A, (adeoq; fubtangens c) = 3321 co umc. vel 27675 ped. Anglic. Eft etiam Radius Terrae pedum 2o995444. Quare pro Radio Terræ erit • — —*7*7i— vel fri- •-atis scante in ** AG ere; *** .

-

vel

ribus 76G*

-

•

_ w __ _ •

_

•

numeris muno

Et hinc refpe£tu Logarithmorum communium, in quibus

eft 1 Log. ipfius io, eft Pes Anglicanus partium s . o.ooooi 569 Mille paffus Anglicam.

o.o82856. .

Radius Terræ

.

, 329.47 • • • • •

Ex hac Propofitione conftat, Aeris denfitatem, etiam ad diftan tiam infinitam a Centro Terrae, effe quantitatis finitae ; nam expo nitur ea per Logarithmicae ordinatam Ss ad Centrum Terrae. Proin de fi Aeris vis elaftica tanta fit, ut ad hunc gradum raritatis pervento etiam adhuc fit denfitas compreffioni proportionalis, Atmofphæra Terræ vere in infinitum extendetur, atque erit quantitas Aeris in toto Syftemate Mundano vere infinita , utpote quæ major fit quam to

tum fpatium infinitum du&um in datam denfitatem ss. Sed vires naturales non in infinitum extenduntur : quare plufquam probabile

eft, Aeris vim elafticam, poftquam ad certum gradum raritatis per ventum eft, fubinde continuò languefcere, adeoque denfitatem fub

inde decrefcere in ratione continuò minori quam ponderis imminuti, atque Atmofphaeram eo pa&o revocari intra limites finitos, eofque fortaffe

fàtis ar&os, *

-- i

•

,-

H Y P O T H E S I S III. . .

Radii Lucis conffamt ex particulü corporei, atque Refraäio Lucis

fit per attraäionem mutaam Lucis & Mediorum refringentium, atque hac Attraäio decrefcit im tam magna ratione diffamtia ram a corporibus, at mom fit femfibili, miß im ipfo ferè comtafia ; effque cateris paribus, ut corporum demfitar.

H. 3:C

( io6 ) … Hæc omnia abunde comprobantur in Libro Opticorum Newtoni.

-

- L E M M A XII. , :., ■. r ' - , ASj fimt Media plura fiwilaria, plami parallelis ab invicem diffimtia, quorum vires attraftrices fùmt tamtum im djfantiis. mimimis fafibiles ; corporú per Media ifa tranfeamtis velocita, ubi im Medium aliquod pervemerit, eadem erit, ac fi per Media jam • J• • ,

•. .

. -

-

-

praterita mom tramfiiffet, fed cam primâ fuâ velocitate direéîè incidiffet in vires attraärices ißius Medii, im quo jam verfatur. Diftinguantur duo quævis Media con tigua planis per re&tas parallelas AB,

CD, EF repraefèntatis, atq; ducatur iftis normalis GH b g occurrens AB & CD in H & b. Sume hinc inde HG & bg

æquales diftantiis in quibus incipit ac definit attra&io Medii ABDC.

Tum

quoniam Mediorum a&io eft uniformis, quantum motus additur corpori pergenti de G verfùs M, tantum au fertur per contrariam a&ionem ejufJem medii eodem perveniente in g;

atque idem eveniet in tranfitu corporis per media ieliqua. Reftat ergò ut omnis mutatio motus ubi corpus pervenerit in g, oriatur ex folâ a&ione medii CDEF, in quo jam verfàtur.' C O R O L L A R I Ul M.

Hinc motus Lucis in Medio aliquo idem eft, five in illud primùm inciderit, five per alia Media jam tranfierit, (per Hypotb. 3.) L E M M A

XIII.

Si im datis diftamtiis Mediorum Pires attraéìrices fumt at ipforum Demfitates» erit Lucis velocitas im Medio in dimidiata ratione

., , . * *.

denfitatis Medii quantitate data aa&#æ, -

• *'

Sit

( 1 o7.) Sit AB fuperficies Medii jacentis ad partes F. Duc EAF ipfi AB normalem, atque ad pun&um C in re&tâ EA erige * : normalem CD proportionalem Medii vi attra&rici in C, atq; fit EDBFE area tota

-_

quam defcribit ordinata CD. Tum erit

, . .

incrementum quadrati velocitatis parti- , ,

,

culae tranfèuntis per totam regionem at- „ .

*

~

\ ..

, ' \(E' .

traâionis Medii EF, ut fpatium totum EDBF (per Propp. 39 & 4o. Lib. I. Primcip. Math.) Sed quoniam, ex hypothefi, Attra&iones in

datis diftantiis fùnt ut Denfitates Mediorum, ergò fùnt areæ integræ EDBFE ut eædem denfitates ; adeoque incrementum quadrati veloci

tatis eft ut Medii denfitas. Si itaque quadratum velocitatis datæ in vacuo, ante ingreffum in fpatium EF, fit ad incrementum ejufäem in * tranfitu per hoc fpatium, ut data quantitas ad denfitatem in uno

cafu, erit fèmper quadratum velocitatis datae in vacuo ad ejufmodi . incrementum, ut idem Datum ad denfitatem: adeoque conjun&im

* quadratum velocitatis poft tranfitum per fpatium EF erit ad qua -dratum velocitatis datae in vacuo, ut denfitas plus dato ad datum ; & proinde ipfae velocitates erunt in hâc ratione dimidiatâ , adeoque

velocitas in Medio eft femper in dimidiatâ ratione denfitatis plus

dato.* & E. D., . ; ; ;

,

;

* .

*- .

'

*.

*;A. ' , ;f *;

Hinc in tranfitu Lucis per Medium inæqualiter den '" -

. ,

C O R O L L A R I u M. . .

* Ir •.

AL

B

fum, qualis eft Atmofphæra Terrae, Vis acceleratrix eft ut fluxio denfitatis applicata ad fluxionem diftantiæ inter denfitates. Nam fit Aa linea in cujus dire

C*

-

&ione variatur denfitas, & fint ordinatæ AB, ab ut vires acceleratri ces in A & a, & fit Bb curva quam defcribit pun&tum B. Tum erit area ABb a ut incrementum quadrati velocitatis particulae pergentis

* de A in a, (per Prop. 39. Lib. I. Princip. Math.) hoc eft, ut incre -

' , • * -**

E e

-

mCntum

( 1 o8') mentum denfitatis (per hoc Lemma). Quare imminutâ diftantiâ Aa

in infinitum, erit vis acceleratrix AB ut fluxio denfitatis applicata ad Aa, hoc eft, ad fluxionem diftantiae inter denfitates. . … -

* -

.

s C H O L I u M. Per experientiam ab Haukesbeio fa&am, eft finus refra&ionis Ra dii Lucis a vacuo incidentis in Aerem ad fuperficiem Terræ, ad finum incidentiae ut 999736 ad 1 oooooo. Ergo in hâc ratione eft Lucis

velocitas in vacuo ad ejufdem velocitatem in Aere ad fùperficiem

Terrae. (per Prop. 95. Lib. I. Princip. Matb.) Sit ergo 1. quantitas * » data, atque repraefèntetur denfitas Aeris ad fuperficiam Terræ per 4:

tum (per hoc Lem.) erit 1 ; vTFT: : 999736 : ioooooo, adeoq; '

d = o,ooo52828. ' -

Et in genere, fi Aeris denfitas defignetur ' • ;; ' per y, & conftituatur triangulum re&t-

-

ΚΤΗ.: angulum ABC, cujus bafis AB fit ad hy TTa . . • * •*.*• * • pothenufàm AC, ut finus refra&ionis ad

Ę. incidentiz ut yy. . .

a vacuo, datâ bafi AB erit perpendiculum BC ---

,'

;-

- -, • .

•, .

, .* ,: -- -

* * * ,

· · ···

' • -1

•.

.

■ •-

P R O P. XXVII.

. . . , nos • • • ,;

'y

· · · ·· · · · · · ·

.

P R O B. XXII.

Invenire Refraäionem Lucis per Atmofphæram Terrae *.

:-

•. •

τ*'_ ; . * . .

-

-

tranfeuntit.,

*

sit s Centrum Terræ, ABC Radius Lucis incurvatus, quem tan 'gant reaae AG , BG in A & B, fibi mutuo occurrentes in G, atque , ad tangentes demittantur perpendiculares sD, SQ, & ducantur

I SA, SB , atque ad A ducatur ipfi SA normalis AE occurrens SD in E, & fit A pun&um in Radio datum, B pun&um variabile. Et fint

^ SA = a, SD = b, sE = t (= -;*,) SB = x, d denfitas in A, y denfitas in B.

•

.

Cur-. -

…

|

-

„

-

:

--

•!

.

. •'

• r^

P.

-

*

μ^j…

234

-

-

fí^

-

,, • •

-

;C

-

sus

-

-

,

i •

r

' ,

*

x ) .

+I

Q\~

3.

ó

fo«

;

'

**

v

-

-

…

*.

—

•.

;n- ;-…-; ; •*. *

-

-

.

-

I- • ° . , ;

WS , : :

.

,

' ■ ;-. & … , …

t

-

;. . ' • ' * • ■ • •

. .

.

,…

<;\ 2°

* Curvatura Radii pendet ab Aeris vi reftingente attraatice, (#

–

Hypotb. 3) quæ femper dirigitur verfus majorem denfitatem, hoceft,

*. *

verfus Centrum Terræ, (per Prop. 26.) Eft ergo haec Curva de generé

' '' ' ', ,' ,T| ' *i*

Traje&oriarum genitarum per vires Centripetas. -

-

-

,

…

„ Eft autem velocitas Lucis in A ad velocitatem in B ut y1,* ?'ad vi -{- y (per Lem. 13.) Quare eft SQ : SD : ; VITEFT, VTF;

(perCorae.Prae 1. Lib.I. Priue. Metl.) unde ef sQ='HA , a. ..* , ; ;;;

*•. •

•

, * *;

;

, ,, ,

;,

… -*^. •. •.

*.

V1 + y

ì •

deoque BQ = y* —#; b*. Et hinc, ubi pun&um B eft infinite

diftans, pœnè evanefcente y, ita ut tutò negligi poffit, erit perpendi laris ad tangentem jam fa&am Afymptoton, = v ITEZ × 3. Sit Afym

ptotos illa PH, occurrens tangentibus AG, BG in F & H, exiftente eidem perpendiculari SP. ; . . **** -

Moveatur tangens BG in locum novum froximum bg occurrentem

perpendiculari SQ, in q. Tum erit angulus nafcens g BG fiuxio an guli EGH vel anguli FHG , hoc eft, crefcente x, incrementum am •* .

.

.. •

guli.

.

( 1 1o ) guli HGF & decrementum anguli FHG ;

ob datum angulum ad F.

Atque radio exiftente 1, arcus proportionalis angulo nafçenti QlB q

3£

eft

eft Q q

y =

. Eft autem Q q fluxio ipfius SQ (= VE;b) : quare

=-;}%#r,

=#3 per Prop. 26.)

Ulnde fit

§} ,

F G H — — *^)* Ei — vel ——— , 3.

2cx* x : -E5i*

£#*.

hoc e[t Q q =

t*

hoc eft fluxio anguli

a* b y x 2 c x- x TTjx V;£ x*— b* -_-

Vx*#b

(ob

-

_

-

•

Inventa itaque fluente hujus expreflionis per Methodum Inverfàm Fluxionum, dabitur angulus FGB. Sed datur angulus GBS per valorem perpendicularis SQ, atq;eft angulus SDG re&us ; unde da bitur angulus DSB. Adeoq; ex datâ diftantiä SB (=*), denfitate in B (= y), & angulo SAD, dabitur pofitio re&tae SB, adeoq; pun&um

B ; hoc eft, dabitur figura Radii refra&ti ABC, & E. I. . -

-

-

• '

-

2

-

-

-

-

v. * * • *

• • •

Sed haec fluxio —-*-*—ad fuentem in terminis 2c x* x r -+-

-

5yÉE

' ■.

. , -:- -

I.

-

numero finitis irreducibilis eft. Quare ad computandam Atmofphæræ refra&tionem in ufusAftronomicos, quaerenda eft fèries, quae fit apta ad calculum inftituendum per approximationes. Ergò ut fluxio haec revocetur ad terminos quantum fieri poteft fimpliciffimos, pro x fcribe

-£ , atque fluxio fiet —=#==; ,

vel

zcxiEjy#3£- b* —–!

2* 2. •

»ex AFjv;;;;; — *

, h. e, (negle&o figno)

—1* £-—= acxT-Ejy# ** -** exiftente

' ( 111 ) exiftente etiam

j= 4£ . *•

Sed ad fuperficiem Terræ, ubi eft y= d,

•

ef ha:c fiuxio — l**— , & ad diftantiam infinitam (ubi •

_• *

2c -i- 2cd Vtt- zz.

-

* ,'* '*. *

. -r» ' * v.

•

-

° . '.• :. . . .

•

**

' * '^* -

,

•. •

*

etiam fiuxio ipfâ evanefcit,) differt ab hac forma minus parte mil * lefimä. Quare negle&is iftiufmodi minutiis, pro Fluxione illa tutò :> , • _ .'.,.':.'. .-:

.•*

* fumi porefte-

. . . . '.

-. •

j.z z_

-

-*

-

. Sepofito itaque coefficiente dato

2c -i- 2cd Vtt — zz,

-

-

•*

! —;, fiuentem ipfius

-/*—

uarro ope Propofitionis unde

„+„, -nt-:£=*erre cimæ, ut fèquitur.' -;» J^ i … • * p., y. Ez fcribe x, atque erit &= F**, & Fluxio propofita „X;

*

“… -

• --

-,

-

---

'

' •;;. - y ** vel etiam — y*. Eft etiam j=-!*.. Itaque fecun •

--•-•

• •

;

-

*

••

*,

'

_•

-----_ -x & dùm Prop. 1--1. fit r = yz, .-* s =-;-, w: =:z = —. •

•

•

.

•,

* •

-»

. ' . Tum capi z*

•. *

.hao fluxiones, eafque continuò applicando ad w, erit s = -;T t 1 t t : __3z* , 3z _ 3tt* ; _ 15**., **

3# = =;-, s = ++**+ +

-=-= -;;-, s = -; 3 _ 15tt* 3tt

•.

•

•

+ = -;;- +-+- , & fic porrò. Hinc autem per formatio nes terminorum conftat, quod fi fit m diftantia termini alicujus •

.

••

•

*

•

?m

-

•

s, s, s, &c. a termino primo s, exprimetur s, (hoc eft s, fi m fit I,

; fi „ fit 2, &c.) vel per feriem hujus formæ, 11.

χn+1

s = A : TF

zn - 1

m zn-3

zn-5

+ B ==; + C;;=; + D;=; + &c. F f

-

vel

^ ( 1 12 ) vel per fèriem hujus formae, n

z^- i

$ ,

zn -3

---

zn-5

- • '

-

-

3 — tt x A£r; + B = + Cj;=; + &c. Coefficentes autem A, B, C, D, &c. in harum fèrierum primâ inveftigo ad hunc mo dum, juxta notationem autem noftram fint m, n, ii, &c. valores * ^ - w^

ava

ipfius n præcedentes, & #, #, #, &c. ejufJem valores fùbfèquentes, ut in Introdu&ione explicavimus. Capiendo fluxiones fèriei, primò in deinde in z, & terminos prodeuntes continuo applicando ad *,x,erit, -•

... n

;* * ,

-

1**1

o

z •' -+-7Γi s = an -Fi A -;;;

.

.

-

:£ ;£; £-; * 2^- 1

_ •_ —

.7*+ *-Fi AY** + n — 1 BS.T* * +

+ 2£E5D?.*T* m —5 z* s.

-

-

-

*=, + &c.,

' .

··

·

·

-

.. • .

,…

-+- * - 3.CYxT*

-

Hinc novum A fit ATEA. Ulnde conftat ipfum A formari per

continuam multiplicationem terminorum 1, 3, 5, 7, &c. quorum ultimus & maximus fit zn — 1. In fequentibus autem vice 2n — 1

fcribe m, atque erit A = yA.

• . • • *

.

Item per terminum fecundum eft B = m B + *A. Si fieri poteft ut B. producatur ab A per multiplicationem & divifionem, fit o. ... .„, _ * , _ % B = ÉA. Tum erit B = -;- A- ** A. Llnde eliminatis •

-

i;!, … , iri ….

..

'.

-

.:-

-

a°, 3°_ m q. + . u.

— *S'--* m, hoc --- , ; ---

•*•

T£; TR.

: R.

4. p.

-

i i

erit.

£

-

2…

reducetur haec

' ' . cr

. -

fm Q.

-

E & B ab aquatione priori, & fimul eranekente A,

•

-

-

-

æquatio

( 1 13 ) *.

. * * Q. = æquatio ad terminos fimpliclffimos pono —p—

m Q , hoc

-

-

©* -

-

£i ;

7/.

-

-

1 = *-. unde fir '- o = n. Sed eft.ln

eft & = £. unde fit it9 …

•

-r novusvaloripfius

*;

-; , unde eft ; quantitas data, adeoque R= w, indeque 9 =*, -

-

-

.

& fùmendo integrales

%%,

Q.=-;- + p.

Sed debet effe B = o ubi

-;-. unde fit B=4- A.

: m = o ; adeoq; eft p = o, atque Q = -

*m

$t …

-

11, 1;

*-

-

Et hinc B = —#-e

.

.

..

ee* terminum tertium eft c =>c-+ ì B. Pono c= $-B, -.*

Q mw

·

·

& B = *o B+ + ;h B, B. fèu f. & fit fit $c = ` j-%B, hoc eft *I7. R m, R. B • Q mm

, ,.

, • • .

§ Q.

£m, M-

-

-

•

1* ■

' •,

,

_ '. Q = *Q. + i. Pone . " = _*. .,'" +*-**-** * it = #, i* •*, {*

m m mt per

>–

P

R.

•.

iii nn TR- • •

77: 1 .

t

ì. ;;9. n. va

ut fiat

ipfius -j-

Ulnde fit

R= m # m,

m n ì}.

?m, % 3t *a

Sed

*

ef —;-

novus valor

•

•

_•

si- g-:- n, indeq; Q =

¤` . Ulnde fit C ==

4

-

-

.

in n n

*-

>–

ii n

IN B, atque G = — ' C. ift

■

ww

4 ■

Pcr

-

(1 14 ) per terminum quartum eft D =?. D + * c. unde ad eundem ww

?/- 71

www vwvw

modum invenitur D = * * . C, atque D = — -. Ex terminis w\

•

vww

-

6mn

10,

-

autem jam appofitis fatis conftat modus formandi czteros, unde fi jam pro totis terminis cum fuis fignis fcribantur A, B, C, &c. erit 271^ ,s

—z***

t!

£ =3 GIG... ¤- i :=y, +

•

__ ** . 2m,

2, 2,

\\

.ft m . x x.

A -+-

• ^ z. z.

B + &c.

4 mi * *

-

I. 3.

s... £Tt z**

hoc eft s =

x antr

× √ B + 3*i=îAZ

3-£$. n • x x . + ax ma- 1 – z t.

»-i. J-'.

4 x =-;

+ 8{c.

Σ, ad eundem modum inveniuntur coefficientes in ferie alterâ, ut •

n

1 3. 5... An- i t fz**.

fit etiam s =

zasti

sm- I • ss- a. % 3

2 X vs-* s

É A+

:Ej. E. ** m — 5. m-6 * * -+- 4 x aa- 3 *z. B -+- 6 x an-; z, z C + &c. •

-

••

o;inetiam fi jam fit an diftantia termini alicujus s, s, s, &c. a 1^;

«ermino ,, pro m fcripto — m exprimetur etiam s per eafdem feries.

j„ hoc autem cafù inveniendus eft coefficiens termini primi, ut

£amus in Propofitione duodecimâ. Debet enim effe 2* — i, hoc .t; — „ — 1, maximus fa&orum.I, 3, 5, 7, &c. in coefficiente illo •

• -

•

II... ; . §. 3. I. - I. - 3. 5. 3 — I. -

Et hic coefficiens fic fcribi poteft *-*

&(c.

; =ä

-TAE. -37-3. EiE5. &c. . Incidente autem ? inter

hoc eß, ===;=;- — 5. — 7. &c. numeros negativos, adeoq; & m inter numeros affirmativos 1, 2,3,&c. Qmn€S

( 1 1s ) omnes fa&ores -- 2 m - 1. — am -2. - 2 m - ;. &c. in

numeratore tolluntur per fimiles fa&ores in denominatore. unde relinquitur ut in ifto cafù fit coefficiens termini primi II ^r- mt1 ;, atq; fit * = ■

+ ;## =F

J¥ *

. •— 2* — I

+

— 1. — 3.— s.-E-E1 x-***

— 1. — 3. - 5.... - 2m-

A + =======: B

&c.

vel

Z Z

i

um

— 7-Fí. m xx

sg2m-1

J —

7=== agm ;

— 1. — 3. — 5.

A -+-

-+- TI. 2. am -+-– i

Z Z

*=#t=#: B -+- ===#*£c* &c. hoc eft per • aamt

e

•

•

feriem priorem. Et haec fèries quidem eft præftantior ad inveniendas •

•

•

-

-

•

--

- -

fluentes v, 3, s, &c. altera autem ad hnveniendas fluxiones s, s, s, &c.

Porrò eft *=jz, atque j = 4#. Ulnde fumendo fluentes purè „•

•


-

-

fit r = cy, r =c*y, # =csj, &c. item fùmendo fluxiones, r = y, #=

+, $ = -£; , &c. •

-

•

••

4-

aaa

Llnde obfervatis fignis, per hos valores ipfò •

••

•

•. '.

rum s, s, s, &c. 3, 3, 3, &c. r, *, î, &c. r, r, r, &c. fit angulus FHG

(=;=;=axr. —*i+ **—&c.) =;=;=a in hanc fe riem,

c y x-j-.

— e) x -+ ;c* 3

3t t 3

c*yx -a •

-_-

— •* , x i-i{#i* +++A U , 8{c.

-

G g

atque

( 1 16 ) I

.•

•

.

•'• ••

••

-

atque angulus FGH (;:T7j«- r s + #? —'}? &c. — p. )

Σεξ in hanc

æqualis

fèriem -

-

[£; [*;

— 1

;;3

-4- x … +

x*

—3

x*

" •

•

=;-;- a+ -;- + B + &c. ;

7. « — *— + =*--*- A + =i- *. ;- +

-

7

z*

+

9

-

B + &c.

z*

&c. — P

Ulbi eft P valor ejufdem Seriei prodiens per ipforum z, x, y va lores in pun&to A.

-

-

* Poteft etiam alia fèries inveniri pro angulo FGH , nempe ita corrigendo Fluentes r, r, r, &c. ut omnes evanefcant in pun&o A,

ubi eft z = a, ut hoc fiat pone x = a -v, unde fit z = — v, & •

c. i * * ;

-

-

-

-

I– \

_ •

-

fiuxio anguli FHG fit *4* in ;;i;;;+ z cd* Pofito itaq; s = -&.

.

•

-

•

* * •, '

-

S.

— vy

(ut prius) erit r = vy, exiftente w = — v, atq; y =

.. Ulnde . C

..

fit r = — e}, adeoque r = c d - cy,

(quoniam eft d valor ipfius j)

r > = — edú + cyù =- c d v — c*j,

in pun&o A,) indeque

adeoq; * = c* d — c d v — c*y, & inde * = c* d — c* dv + — c, y, *= c* d — c* dv +°

# —£#— e ,, & fic porrò. I

-

UInde fit angulus FGH æqualis 2 c -+- 2 cd ——-

cd—c

1n

<.

Z

—

t t.

· · -

.-

22 vs. c* d va 2.

-

tt z T .

c dv3

t; + c*

,

! …

:

- -

1

---- - -

c. a — edv + £££ — c* y x*£ &c.

.

· · · · -

— c* d + c d v + c* y x-:;-

— c«d + cx d v.

i

-

.

-

-

y x -z <

g

- --

' …' • . ..

i

I.3.5 t tz*.. ' 1 x*

x7

, ' 5 z* IEt

1

( 1 1 7 .). ' Et hinc fit fümma angulorum FHG, FGH, hoc eft angulus GFH acqualis

¤ in

'c d x

-3-

* * ... f£

-

—?"FFFF x + <

-

'* _

-_-

t t z. ,

d v*

esa-ca, + £x*#*

'

e* d v* , c d v3 . I. 3. 5 t t z* - c4 d -+- c* dv —

2

-{-

37Z ×

I

x*

3-= A.

3¢7

Ulbi angulus SAD eft fatis parvus, commodè invenitur angulus CFH per hanc feriem. Sed ubi eft angulus SAD nimis magnus, quærendus eft angulus FGH per feriem alteram.

Poteft & alia feries inveniri pro angulo FGH, per Propofitionem -

fèptimam. Sit enim Q fluens ipfius =**? , hoc eft ipfius xy. Tum =

per

Propofitionem illam, quo tempore x fit x + v, fiet Q.

Q.+ g. + 9. v* -+ 9 7)

AS

2x*

2.

v* + &c.

-

nempe fluente uni

3 §3

formiter x. unde fi pro x fumater ipfius valor in pun&o aliquo dato I, & fit x — v ejufdem valor in A, & x + v ejufdem valor 1 2, valor fluentis in pun&to A erit Q+$. v .A;

-+-

-$. v.4 Q. 2x

+ &c. & valor fluentis in pun&o & erit Q —

v,

2. 3x3

.-

9v--2x* 9

va

JX

-

$; v* + &c.

Qgo valore dempto a valore altero, refiduum

2.3z -

erit Fluentis pars adjacens re£tae A. ; adeoq; fi fit SB =

ā–,eit angulus

( 1 18 ) angulus FGH =; £ Ajx S. v * + — %-v * +

-

2. 3. 4. 5 x3

2. 3 x*

.*

Qvs

+ &c. In hoc cafu autem pro x fcripto 1, eft z= £, & j = — xy

; _ _y_TETFFT

*• —

-

£. unde exiftente Q = y, fiunt Q =-;; x-:- — y

:•:

. x4

6t t x*

Q.=;*:, «;. -

c 2«,

3 t t _—

EFF

X%

z*

-+-

3

CX

.

z

*

&c.

S C H O L I Ul M.

In hâc Curvâ Radius Curvaturae eft *

-+- 2y x cx

§B csl;

JRSQUE SR Tíaá 5 quod

-

2 -+- 2d x cx SA

in pun&o A eft —TzsB— * & ubi angulus SAD eft re&tus, èft

Σ c.

Qgod per valores c & d (Schol. Prop. 26. & Scbol.

Lem. 13.) eft 5 SA, circiter, exiftente SA Radio Terrae. Proinde curvatura Radii Luminis horizontalis, ad fuperficiem Terræ, eft ad curvaturam Circuli maximi Terræ, ut 1 ad 5. Velocitas autem Luminis eft ad velocitatem Corporis revolventis in Circulo maximo

Terrae, cum vi Gravitatis, circiter ut 4oooo ad 1. Ulnde eft Aeris vis refringens ad vim Gravitatis in fùperficie Terræ circiter u; 32ooooooo ad 1. Nam in datâ inclinatione Traje&oriarum ad dire &tionem Virium centripetarum, Vires illæ funt in ratione compo

fitä Flexurarum & quadratorum Velocitatum.

Æ

I

ΛV

I

S.

i ſi # Corrigenda & Addenda. AG.2 lins. Praf proanentlege amant. Pag. 2 in 3 proi, º, lege x, x. Pag. 8. lin. 11. poſt z=A ſcribe - B x. Pag. 15. lin. I 3. pro -. lege p º lin. 26. lege vel baheat ſympto mata, 8 c. Pag. 16. lin, antepen. lege AEquationibus ordinariis inte

grales, 8 c. Pag. 19.lin. 1. lege eliminetur. Pag. 2o. lin.7. lege expreſio nes propoſitas, &c. Pag. 23. Corollarium primum ſic enuntietur. Et mutatis ſignis incrementorum, quo tempore z decreſcendo fitz – v, eodem roºv

ty

tempore x ctiam decreſcendo fet x - sit º 1.2z T . . 323 -

3S 3A

2S 2A

& C.

-

Pag. 26. lin. 21. lege 4v y– 4v y = &c. Pag. 28. lin. 2 poſt Problematis adde quas indicavimus Prop. 4 & 5. lin. antepen..in fine

addeſe. Pag. 39. lin.7. poſt aliqua adde qus dicetº. Pag. 43.lin 6. pro eſt lege ſt. Pag. 45 lin. 9 pro ſcribatur z lege ſcribatur º lin ultinfin.pro.,lege?,. Pag.56.lin penult. profata legefatx. Pag.63. lin. 3. poſt – 2

, adde (per Prop. 3.)

Pag. 67. lin, penult in princ.

2,

adde verba Duc EIparallelam ipſi AD, 6 occurrentem CF in I, atque.

Pag. 68 lin. 8. proi-lege -, lin 9 pro iv ++ $v lege ºv ti Pag. +, tr

ar

78. lin. I 2. 15, 23, 8 pag. 79. Iin. 6. lº adſt lege inſit. Pag. 79 lin.

15. lege ipſius re. Pag. 34 lin. 2 lege Terram concave. Pag. 95. lin- 4.

proxCA legex CB. Pag. 97.lin. 14 poſt Sed adde (quoniam datur C5

CA

2 CG.) Pag. 99 lin 2o poſt D addeI=CGx GA] Pag IIolin. P

6 pro vs r1 + - d, b lege V,

Ebº. -Tr;

.

-

_ •

*•

•

•

•

.

-

-

-

-

-

-

…

*

-

*

-

-

-

•

…

-

”

-

»

-

-

--- - - -

--

-

-

__ __ _ —

— —

— ———

——

± --- ----