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“祡­®¥ ¯®á®¡¨¥

®¢®á¨¡¨à᪠2000

“„Š 519.6

Š ‚.173.1/2

ƒ«¥¡®¢ .ˆ., Š®ç¥â®¢ ž.€., «ïáã­®¢ €.‚. Œ¥â®¤ë ®¯â¨¬¨§ æ¨¨. “祡. ¯®á®¡¨¥ / ®¢®á¨¡. ã­-â. ®¢®á¨¡¨àáª, 2000, 105 á. ®á®¡¨¥ ­ ¯¨á ­® ­  ®á­®¢¥ «¥ªæ¨©, ª®â®àë¥ ç¨â «¨áì áâ㤥­â ¬ âà¥â쥣® ªãàá  ¬¥å ­¨ª®-¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ä ªã«ìâ¥â  ®¢®á¨¡¨à᪮£® £®á㤠àá⢥­­®£® ã­¨¢¥àá¨â¥â . ‚ ­¥¬ ¨§«®¦¥­ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨©  ¯¯ à â, ­¥®¡å®¤¨¬ë© ¤«ï  ­ «¨§  ¨ à¥è¥­¨ï íªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç ¢ ª®­¥ç­®¬¥à­ëå ¯à®áâà ­á⢠å.

¥æ¥­§¥­â ª ­¤¨¤ â â¥å­¨ç¥áª¨å ­ ãª, ¤®æ¥­â .Œ. ‹ à¨­ ˆ§¤ ¥âáï ¯à¨ ä¨­ ­á®¢®© ¯®¤¤¥à¦ª¥ ”– "ˆ­â¥£à æ¨ï{274"

c ®¢®á¨¡¨à᪨© £®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â 2000

 §¤¥« 1. ‚¢¥¤¥­¨¥

‚ ¤ ­­®¬ ¯®á®¡¨¨ à áᬠâਢ îâáï § ¤ ç¨ ¯®¨áª  ¬¨­¨¬ã¬  ¨«¨ ¬ ªá¨¬ã¬  ᪠«ïà­®© ä㭪樨 ­  ¬­®¦¥á⢥, à á¯®«®¦¥­­®¬ ¢ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ ª®­¥ç­®© á¨á⥬®© ®£à ­¨ç¥­¨©-­¥à ¢¥­áâ¢.  è  楫ì | ¯®§­ ª®¬¨âìáï á ®á­®¢ ¬¨ ⥮ਨ â ª®£® த  íªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç ¨ ç¨á«¥­­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ¨å à¥è¥­¨ï. ‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¡ã¤ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï á«¥¤ãî騥 ®¡®§­ ç¥­¨ï: Rn { n-¬¥à­®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮. x = (x1; : : :; xn)T { ¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ, í«¥¬¥­â (â®çª ) ¯à®áâà ­á⢠ Rn . [x; y ] = fz j z = (1 t)x + ty; 0  t  1g | ®â१®ª á ª®­æ¥¢ë¬¨ â®çª ¬¨ x ¨ y . hx; yi = Pnj=1 xj yj | ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ x ¨ y; ¤«ï ¥£® ®¡®§­ ç¥­¨ï ¨á¯®«ì§ã¥âáï â ª¦¥ § ¯¨áì xT y . jjxjj = (hx; xi)1=2 | ­®à¬  ¢¥ªâ®à  x. (x; y ) = jjx y jj | ¥¢ª«¨¤®¢® à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ x ¨ y . ‚(x; ") = fy j (x; y ) < "g | ®âªàëâë© è à à ¤¨ãá  " á 業â஬ ¢ â®çª¥ x, "-®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ x. ‘¨¬¢®« T ¯à¨¬¥­ï¥âáï ¤«ï ®¡®§­ ç¥­¨ï ®¯¥à æ¨¨ â࠭ᯮ­¨à®¢ ­¨ï.  àï¤ã á ¢¥ªâ®à-á⮫¡æ ¬¨ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ â ª¦¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¨ ¢¥ªâ®à-áâப¨, çâ® ¢ ª ¦¤®¬ á«ãç ¥ â ª®£® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ®â¬¥ç ¥âáï ®á®¡®. ãáâì X  Rn ¨ x 2 Rn . ’®çª  x ­ §ë¢ ¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠ X , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® " > 0 ¬­®¦¥á⢮ X \‚(x; ") ­¥¯ãáâ®. Œ­®¦¥á⢮ X ¢á¥å â®ç¥ª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ­ §ë¢ ¥âáï § ¬ëª ­¨¥¬ ¬­®¦¥á⢠ X . ’®çª  x ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥«ì­®© â®çª®© ¬­®¦¥á⢠ X , ¥á«¨ «î¡ ï "-®ªà¥áâ­®áâì í⮩ â®çª¨ ᮤ¥à¦¨â ¡¥áª®­¥ç­® ¬­®£® â®ç¥ª ¬­®¦¥á⢠ X . ’®çª  x ­ §ë¢ ¥âáï ¢­ãâ७­¥© â®çª®© ¬­®¦¥á⢠ X , ¥á«¨ ­ ©¤¥âáï " > 0, ¤«ï ª®â®à®£® B (x; ")  X . —¥à¥§ intX ®¡®§­ ç ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¢­ãâ७­¨å â®ç¥ª ¬­®¦¥á⢠ X , ­ §ë¢ ¥¬®¥ ¢­ãâ७­®áâìî ¬­®¦¥á⢠ X . Œ­®¦¥á⢮ X n intX ï¥âáï ¬­®¦¥á⢮¬ ¢á¥å £à ­¨ç­ëå â®ç¥ª ¬­®¦¥á⢠ X . 3

Œ­®¦¥á⢮ X ­ §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå â®ç¥ª x; y ¨§ X ®â१®ª [x; y ] ᮤ¥à¦¨âáï ¢ X . ¥à¥á¥ç¥­¨¥ «î¡®£® ç¨á«  ¢ë¯ãª«ëå ¬­®¦¥á⢠ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬. à¨¬¥àë ¢ë¯ãª«ëå ¬­®¦¥áâ¢, á ª®â®à묨 ­ ¬ ¯à¨¤¥âáï ¨¬¥âì ¤¥«® ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬: £¨¯¥à¯«®áª®áâì : fx j ha; xi = g; £¤¥ a 2 Rn ;  2 R; ¯®«ã¯à®áâà ­á⢮ ( ä䨭­®¥) : fx j ha; xi  g; ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë© ®àâ ­â : Rn + = fx j xj  0; j = 1; : : :; ng; «¨­¥©­®¥ ¬­®£®£à ­­®¥ ¬­®¦¥á⢮: fx j Ax  bg, £¤¥ A { (m  n)¬ âà¨æ , b 2 Rm , ­¥à ¢¥­á⢮ ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ à áᬠâਢ ¥âáï ¯®ª®¬¯®­¥­â­®, â.¥. x  y íª¢¨¢ «¥­â­® x y 2 Rn+ . ‚ë¯ãª«®© ª®¬¡¨­ æ¨¥© â®ç¥ª x1 ; : : :; xk ­ §ë¢ ¥âáï «î¡ ï «¨­¥©­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ï ¢¨¤ 

1x1 + 2x2 + : : : + k xk ; £¤¥ 1 + : : : + k = 1; i  0; i = 1; : : :; k: ‚ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ¬­®¦¥á⢠ X , ®¡®§­ ç ¥¬®© coX , ­ §ë-

¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥¢®§¬®¦­ëå ¢ë¯ãª«ëå ª®¬¡¨­ æ¨© â®ç¥ª ¨§ X . ¥âà㤭® ¯®ª § âì, çâ® coX ï¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ (¯® ¢ª«î祭¨î) ¢ë¯ãª«ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬, ᮤ¥à¦ é¨¬ X . ‚ á«ãç ¥ ª®­¥ç­®¬¥à­ëå ¯à®áâà ­á⢠¯®«¥§­ãî à®«ì ¨£à ¥â ¨§

X  R

n , â® «î¡ ï â®çª  …᫨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ ¢ë¯ãª«®© ª®¬¡¨­ æ¨¨ ­¥ ¡®«¥¥ 祬 -© â®çª¨ ¬­®¦¥á⢠ .

‹¥¬¬  1.1

coX

(Š à â¥®¤®à¨).

(n + 1)

X

ãáâì y = 1x1 + : : : + k xk , £¤¥ xi 2 X; i > 0; i = 1; : : :; k; 1 + : : : + k = 1, ¨ k > n + 1: ®ª ¦¥¬, çâ® â®çªã y ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¢ë¯ãª«®© ª®¬¡¨­ æ¨¨ ¬¥­ì襣® xi ç¨á« n+1â®ç¥ª xi. „«ï í⮣® à áᬮâਬ ᥬ¥©á⢮ ¢¥ªâ®à®¢ f 1 2 R j i = 1; : : :; kg: ®áª®«ìªã ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ᥬ¥©á⢥ ¡®«ìè¥ ç¥¬ ¨å à §¬¥à­®áâì, â® á¨á⥬  ï¥âáï «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬®©. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, áãé¥áâ¢ãîâ P P ç¨á«  i , ­¥ ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î, â ª¨¥, çâ® ki=1 i xi = 0 ¨ ki=1 i = 0. â® ¯®§¢®«ï„®ª § â¥«ìá⢮.

4

¥â ¯à¨ «î¡®¬ §­ ç¥­¨¨ ¯ à ¬¥âà  t ¯à¥¤áâ ¢¨âì â®çªã y ¢ ¢¨¤¥ P «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ æ¨¨ y = ki=1 (i + ti )xi . ‚ ᨫ㠯®«®¦¨â¥«ì­®á⨠i ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå §­ ç¥­¨ïå t ª ¦¤ë© ª®íää¨æ¨¥­â i + ti ­¥®âà¨æ â¥«¥­ ¨ ¯à¨ «î¡®¬ t ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ P k ( + t ) = 1. ®áª®«ìªã á।¨ ç¨á¥«  ¥áâì ­¥ à ¢­ë¥ ­ãi i i=1 i «î, â® ¬®¦­® ¢ë¡à âì â ª®¥ §­ ç¥­¨¥ t, ¯à¨ ª®â®à®¬, ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥, ®¤¨­ ¨§ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ áâ ­¥â à ¢­ë¬ ­ã«î,   ®áâ «ì­ë¥ ®áâ ­ãâáï ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¬¨. ’¥¬ á ¬ë¬ ¡ã¤¥â ¯®«ã祭® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ y ¢ ¢¨¤¥ ¢ë¯ãª«®© ª®¬¡¨­ æ¨¨ á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ¬¥­ì襣® ç¨á«  â®ç¥ª. Žâá, ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢ë¯ãª« ï ª®¬¡¨­ æ¨ï, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé ï â®çªã y , ¢ ª®â®à®© ç¨á«® á« £ ¥¬ëå ­¥ ¯à¥¢®á室¨â n + 1. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . à¨¬¥à®¬ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ¤ ­­®© «¥¬¬ë ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ¤®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¨¢®¤¨¬®£® ­¨¦¥ ã⢥ত¥­¨ï. ‹¥¬¬  1.2 …᫨

X  Rn

| ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮, â® | â ª¦¥ ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮.

coX

P

+1 ãáâì  = f 2 Rn+1 j ni=1 i = 1; i  0; i = 1; : : :; n + 1g.  áᬮâਬ ­¥¯à¥à뢭®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ :   X n+1 ! Rn , § ¤ ­­®¥ à ¢¥­á⢮¬ (; x1; : : :; xn+1) = 1x1 + : : : + n+1 xn+1 : ® «¥¬¬¥ Š à â¥®¤®à¨ (  X n+1) = coX . ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ïïáì ®¡à §®¬ ª®¬¯ ªâ­®£® ¬­®¦¥á⢠ ¯à¨ ­¥¯à¥à뢭®¬ ®â®¡à ¦¥­¨¨, ¬­®¦¥á⢮ coX ¤®«¦­® ¡ëâì ª®¬¯ ªâ­ë¬.

„®ª § â¥«ìá⢮.

Šà ©­¥© â®çª®© ¢ë¯ãª«®£® ¬­®¦¥á⢠ X ­ §ë¢ ¥âáï â®çª  x 2 X , ª®â®à ï ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­  ¢ ¢¨¤¥: x = 1=2(x1 + x2 ); £¤¥ x1; x2 2 X ¨ x1 6= x2. ”ã­ªæ¨ï  : Rn ! R1 ­ §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå â®ç¥ª x1 ; x2 2 Rn ¨  2 [0; 1] (x1 + (1 )x2)  (x1) + (1 )(x2):

5

„«ï ¢ë¯ãª«®© ä㭪樨  ¨ «î¡®£® ¤¥©á⢨⥫쭮£® ç¨á«  d ¬­®¦¥á⢮ fx j (x)  dg, ª ª ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬. ®¤ § ¤ ç¥© ®¯â¨¬¨§ æ¨¨ ¯®­¨¬ ¥âáï § ¤ ç  ¯®¨áª  ¬¨­¨¬ã¬  (¨«¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ) § ¤ ­­®© ä㭪樨 f (x) ­  ­¥ª®â®à®¬ ¬­®¦¥á⢥ Q. à¨ í⮬ ­¥à¥¤ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ªà âª ï ä®à¬  § ¯¨á¨ ®¤­®£® ¨§ ¢¨¤®¢: min f (x); x2Q

f (x) ! min; x 2 Q; minff (x) j x 2 Qg: ‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¯à¥¨¬ãé¥á⢥­­® § ¤ ç¨ ¬¨­¨¬¨§ æ¨¨, ¨¬¥ï ¢ ¢¨¤ã, çâ® § ¤ ç  ¯®¨áª  ¬ ªá¨¬ã¬  ä㭪樨 f âਢ¨ «ì­ë¬ ®¡à §®¬ ᢮¤¨âáï ª § ¤ ç¥ ¬¨­¨¬¨§ æ¨¨ ä㭪樨 g = f . ‡ ¤ ç¥© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì § ¤ çã ®¯â¨¬¨§ æ¨¨, ¢ ª®â®à®© ¬­®¦¥á⢮ Q ï¥âáï ¯®¤¬­®¦¥á⢮¬ ¯à®áâà ­á⢠ Rn ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®­¥ç­®© á¨á⥬®© ãá«®¢¨© { ­¥à ¢¥­á⢠¢¨¤  i (x)  0; i = 1; : : :; m, £¤¥ i (x) | § ¤ ­­ë¥ ä㭪樨. à¨ í⮬ äã­ªæ¨ï f ­ §ë¢ ¥âáï 楫¥¢®© ä㭪樥©,   ãá«®¢¨ï i (x)  0 ­ §ë¢ îâáï ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ § ¤ ç¨. „®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ ­ §ë¢ îâ «î¡®© ¢¥ªâ®à x, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¢á¥¬ ®£à ­¨ç¥­¨ï¬, â.¥. «î¡®© í«¥¬¥­â ¬­®¦¥á⢠ Q = fx j i (x)  0; i = 1; : : :; mg. Ž¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (¬¨­¨¬¨§ æ¨¨) ­ §ë¢ îâ ¤®¯ãá⨬®¥ à¥è¥­¨¥, ¬¨­¨¬¨§¨àãî饥 f (x) ­  ¬­®¦¥á⢥ ¢á¥å ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©. ’®çª  x0 2 Q ¥áâì «®ª «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ (®¯â¨¬ã¬) § ¤ ç¨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï "-®ªà¥áâ­®áâì B (x0 ; "), çâ® äã­ªæ¨ï f (x) ¤®á⨣ ¥â ¬¨­¨¬ã¬  ­  ¬­®¦¥á⢥ Q \ B (x0 ; ") ¢ â®çª¥ x0 . ‘।¨ § ¤ ç ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ¢ ¦­®¥ ¬¥áâ® § ­¨¬ îâ § ¤ ç¨ ¢ë¯ãª«®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï, ¢ ª®â®àëå 楫¥¢ ï äã­ªæ¨ï f ¨ ¢á¥ ä㭪樨 i (  á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¨ ¬­®¦¥á⢮ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© Q) ïîâáï ¢ë¯ãª«ë¬¨. ‡ ¤ ç¨ 6

í⮣® ª« áá  ®¡« ¤ îâ ⥬ ¯®«¥§­ë¬ ᢮©á⢮¬, çâ® «î¡®© «®ª «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ ï¥âáï £«®¡ «ì­ë¬, â.¥. ®¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨. „à㣮© ­¥ ¬¥­¥¥ ¢ ¦­ë© ª« áá § ¤ ç (¯®¤ª« áá ¢ëè¥ã¯®¬ï­ã⮣® ª« áá ) á®áâ ¢«ïîâ § ¤ ç¨ «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï. ‚ ¯®á«¥¤­¨å ¢á¥ ä㭪樨 f ¨ i ïîâáï «¨­¥©­ë¬¨, â ª çâ® ¬­®¦¥á⢮ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© Q ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ «¨­¥©­ë¬ ¬­®£®£à ­­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬.

7

 §¤¥« 2. ‹¨­¥©­®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¥

‡ ¤ ç  «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï (‹), ª ª 㦥 ïá­® ¨§ ᪠§ ­­®£® ¢ëè¥, á®á⮨⠢ ­ å®¦¤¥­¨¨ ¬¨­¨¬ã¬  (¨«¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ) «¨­¥©­®© ä㭪樨 ¯à¨ «¨­¥©­ëå ®£à ­¨ç¥­¨ïå. Ž¡é ï ä®à¬  § ¤ ç¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤: ­ ©â¨ min cx ¯à¨ ãá«®¢¨ïå ai x bi  0; i 2 I1; ai x bi = 0; i 2 I2 ; xj  0; j 2 J1 ; £¤¥ I1 [I2 = f1; : : :; mg; I1\I2 = ;; J1  f1; : : :; ng; x = (x1; : : :; xn )T ; c = (c1; : : :; cn); ai = (ai1; : : :; ain); i = 1; : : :; m. ‡¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ­ ¬ 㤮¡­¥¥ áç¨â âì c ¨ ai ¢¥ªâ®à-áâப ¬¨,   x ¨ b = (b1; : : :; bm)T | ¢¥ªâ®à-á⮫¡æ ¬¨.  àï¤ã á ®¡é¥© ä®à¬®© è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª¦¥ ª ­®­¨ç¥áª ï ¨ áâ ­¤ àâ­ ï ä®à¬ë. Š ª ¢ ª ­®­¨ç¥áª®©, â ª ¨ ¢ áâ ­¤ àâ­®© ä®à¬¥ J1 = f1; : : :; ng, â.¥. ¢á¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¢ «î¡®¬ ¤®¯ãá⨬®¬ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç¨ ¤®«¦­ë ¯à¨­¨¬ âì ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï (â ª¨¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¬¨, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â â ª ­ §ë¢ ¥¬ëå ᢮¡®¤­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ­  ®¡« áâì §­ ç¥­¨© ª®â®àëå ¯®¤®¡­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ ­¥ ­ ª« ¤ë¢ ¥âáï). Žâ«¨ç¨¥ ¦¥ ¬¥¦¤ã í⨬¨ ä®à¬ ¬¨ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢ ®¤­®¬ á«ãç ¥ I1 = ;,   ¢ ¤à㣮¬ | I2 = ;. ‡ ¤ ç  ‹ ¢ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥:

w = cx ! min

(2.1)

Ax = b x  0:

(2.2) (2.3)

‡ ¤ ç  ‹ ¢ áâ ­¤ àâ­®© ä®à¬¥:

w = cx ! min 8

Ax  b x  0:

‚ ®¡®¨å á«ãç ïå A ¥áâì ¬ âà¨æ  à §¬¥à­®á⨠m  n, i-ï áâப  ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¥ªâ®à®¬ ai . ‡ ¤ ç  ‹ ¢ ®¡é¥© ä®à¬¥ ᢮¤¨âáï (¢ ®¯à¥¤¥«¥­­®¬ á¬ëá«¥) ª § ¤ ç¥ ‹ ¢ ª ­®­¨ç¥áª®© (áâ ­¤ àâ­®©) ä®à¬¥. ®¤ í⨬ ¯®­¨¬ ¥âáï áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ®¡é¥£® ᯮᮡ  ¯®áâ஥­¨ï ¯® ¨á室­®© § ¤ ç¥ (¢ ®¡é¥© ä®à¬¥) ­®¢®© § ¤ ç¨ ‹ (¢ ­ã¦­®© ­ ¬ ä®à¬¥), «î¡®¥ ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ ª®â®à®© "«¥£ª®"¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ ¨á室­®© § ¤ ç¨ ¨ ­ ®¡®à®â. (” ªâ¨ç¥áª¨, á¢ï§ì ¬¥¦¤ã í⨬¨ § ¤ ç ¬¨ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥é¥ ¡®«¥¥ â¥á­®©). ’¥¬ á ¬ë¬ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢®§¬®¦­®áâì, ­¥ â¥àïï ®¡é­®áâ¨, § ­¨¬ âìáï ¨§ã祭¨¥¬ § ¤ ç ‹, ¯à¥¤áâ ¢«¥­­ëå «¨¡® ¢ ª ­®­¨ç¥áª®©, «¨¡® ¢ áâ ­¤ àâ­®© ä®à¬¥. ‚¢¨¤ã í⮣® ­ è¨ ¤ «ì­¥©è¨¥ à áᬮâ७¨ï § ¤ ç ‹ ¡ã¤ãâ ¯®á¢ï饭ë, £« ¢­ë¬ ®¡à §®¬, § ¤ ç ¬ ¢ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥. 2.1  §¨á­ë¥ à¥è¥­¨ï

 áᬠâਢ ï § ¤ çã (2.1)-(2.3), ¡ã¤¥¬ (¢à¥¬¥­­®) ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¬ âà¨æ  A ¨¬¥¥â à ­£ m, â.¥. ¢ A ¨¬¥¥âáï ­ ¡®à ¨§ m «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå á⮫¡æ®¢. ‚ í⮬ á«ãç ¥ m  n ¨ á¨á⥬  «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© (2.2) ï¥âáï ᮢ¬¥áâ­®© ¨ ­¥¨§¡ëâ®ç­®©. ‹î¡®© ­ ¡®à A(1) ; : : :; A(m) ¨§ m «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë A ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¡ §¨á®¬, â ª¦¥ ª ª ¨ ¬ âà¨æã B = [A(1); : : :; A(m)], á®áâ ¢«¥­­ãî ¨§ íâ¨å á⮫¡æ®¢. Žç¥¢¨¤­®, (m  m)-¬ âà¨æ  B ï¥âáï ­¥¢ë஦¤¥­­®© ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¨¬¥¥â ®¡à â­ãî ¬ âà¨æã B 1 . ãáâì S = f (1); : : :;  (m)g; S 0 = f1; : : :; ng n S . ¥à¥áâ ­®¢ª®© á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æã A ¬®¦­® ¯à¨¢¥á⨠ª ¢¨¤ã A = [B; N ], £¤¥ N { ¯®¤¬ âà¨æ , á®áâ ¢«¥­­ ï ¨§ á⮫¡æ®¢ Aj ; j 2 S 0. €­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­®  ¯®áâ㯨âì á ¢¥ªâ®à®¬ x T¨ ¯®«ãx B ç¨âì ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ x = xN , £¤¥ xB = (x(1); : : :; x(m)) ,   xN 9

®¡à §®¢ ­ ª®¬¯®­¥­â ¬¨ xj ; j 2 S 0 . ¥à¥¬¥­­ë¥ xj , ïî騥áï ª®¬¯®­¥­â ¬¨ ¢¥ªâ®à  xB (ᮮ⢥âá⢥­­® xN ) ­ §ë¢ îâáï ¡ §¨á­ë¬¨ (ᮮ⢥âá⢥­­® ­¥¡ §¨á­ë¬¨). ’¥¯¥àì á¨á⥬  (2.2) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­  ¢ ¢¨¤¥ BxB + NxN = b: ˆá¯®«ì§ãï ­¥¢ë஦¤¥­­®áâì ¬ âà¨æë B , ¬®¦­® ¯¥à¥©â¨ ª á¨á⥬¥ (2:20) ª®â®à ï íª¢¨¢ «¥­â­  ¨á室­®© á¨á⥬¥ (2.2). …᫨ ¯®«®¦¨âì  xN = 0, â® ¯®«ã稬 à¥è¥­¨¥ á¨á⥬ë x = xxBN = B0 1 b ®«ã祭­®¥ â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ à¥è¥­¨¥ ­ §ë¢ îâ ¡ §¨á­ë¬¨ à¥è¥­¨¥¬ (ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¡ §¨áã B ). ¥§®â­®á¨â¥«ì­® ª ᯮᮡ㠯®«ã祭¨ï ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­® ª ª à¥è¥­¨¥, ®¡« ¤ î饥 á«¥¤ãî騬 å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ᢮©á⢮¬:

xB + B 1 NxN = B 1 b;

x | ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ á¨á⥬ë (2.2) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , fAj j xj =6 0g ¬ âà¨æë A «¨­¥©­®

ª®£¤  ¬­®¦¥á⢮ á⮫¡æ®¢ ­¥§ ¢¨á¨¬®.

‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ x ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡ §¨áã B , â® S | ¬­®¦¥á⢮ ­®¬¥à®¢ ¡ §¨á­ëå á⮫¡æ®¢ | ᮤ¥à¦¨â ¬­®¦¥á⢮ S (x) = fj j xj 6= 0g ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¬­®¦¥á⢮ fAj j j 2 S (x)g «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬®. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¥á«¨ ¬­®¦¥á⢮ fAj j j 2 S (x)g «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬®, â® ®­® «¨¡® ï¥âáï ¡ §¨á®¬ (¢ á«ãç ¥ jS (x)j = m), «¨¡® ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®¯®«­¥­® ¤à㣨¬¨ á⮫¡æ ¬¨ ¬ âà¨æë A ¤® ­¥ª®â®à®£® ¡ §¨á  B , ª®â®à®¬ã ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ x. ‚ á«ãç ¥ jS (x)j < m ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥áª®«ìª® ¡ §¨á®¢, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ x, ⮣¤  ª ª ¯à¨ jS (x)j = m â ª®© ¡ §¨á ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬. ‚ «î¡®¬ á«ãç ¥ ç¨á«® ¡ §¨á­ëå à¥è¥­¨© ï¥âáï ª®­¥ç­ë¬ ¨ ­¥ ¬®¦¥â ¯à¨¢®á室¨âì ç¨á«  à §«¨ç­ëå ¡ §¨á®¢, ¢ ç áâ­®áâ¨, ç¨á«  á®ç¥â ­¨© ¨§ n ¯® m, â.¥. Cnm . ‡ ¬¥ç ­¨¥

10

 §¨á­ë¬ ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ (¡.¤.à.) ­ §ë¢ ¥âáï «î¡®© í«¥¬¥­â ¬­®¦¥á⢠ Q = fx j Ax = b; x  0g, ïî騩áï ¡ §¨á­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ á¨á⥬ë (2.2). ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¯®­ïâ¨ï ¡.¤.à. ¯®ïá­ï¥â

x ï¥âáï ¡ §¨á­ë¬ ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  x ¥áâì ªà ©­ïï â®çª 

“⢥ত¥­¨¥ 2.1 ‚¥ªâ®à à¥è¥­¨¥¬ ⮣¤  ¬­®¦¥á⢠

Q.

„®ª § â¥«ìá⢮. ãáâì x | ¤®¯ãá⨬®¥, ­® ­¥ ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥. ’®£¤  ¬­®¦¥á⢮ á⮫¡æ®¢ fAj j xj > 0g «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬® ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à y , â ª®©, çâ® Ay = 0 ¨ yj = 0 ¢ á«ãç ¥ xj = 0, â.¥. fj j yj 6= 0g  fj j xj > 0g. à¨ «î¡®¬ t 2 R ¢¥ªâ®à z = x + ty ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ á¨á⥬ë (2.2),   ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå t ¨¬¥¥¬ z 2 Q. ˆ§ ᪠§ ­­®£® á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â " > 0, ¯à¨ ª®â®à®¬ x1 = x + "y 2 Q ¨ x2 = x "y 2 Q, â.¥. x = 1=2(x1 + x2); x1 6= x2 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, x ­¥ ï¥âáï ªà ©­¥© â®çª®© ¬­®¦¥á⢠ Q. à¥¤¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® x = 1=2(x1 + x2 ); x1 6= x2 ¨ x1; x2 2 Q, â.¥. x ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¬­®¦¥áâ¢ã Q ¨ ­¥ ï¥âáï ¥£® ªà ©­¥© â®çª®©. ’®£¤  ¨§ Ax1 = Ax2 (= b) á«¥¤ã¥â A(x1 x2 ) = 0, ç⮠ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® «¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠¬­®¦¥á⢠ á⮫¡æ®¢ fAj j x1j 6= x2j g. Žâá ¤ «¥¥ á«¥¤ã¥â «¨­¥©­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ¬­®¦¥á⢠ fAj j x1j + x2j > 0g, ¯®áª®«ìªã ®­® ᮤ¥à¦¨â ¯à¥¤ë¤ã饥 ¬­®¦¥á⢮ (¢¢¨¤ã ⮣®, çâ® ­¥à ¢¥­á⢮ x1j 6= x2j ¯à¨ ãá«®¢¨¨ x1j ; x2j  0 ¢«¥ç¥â x1j + x2j > 0). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ãáâ ­®¢«¥­­ ï «¨­¥©­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ®§­ ç ¥â, çâ® x ­¥ ï¥âáï ¡ §¨á­ë¬ à¥è¥­¨¥¬. “⢥ত¥­¨¥ ¤®ª § ­®. 2.2 Šà¨â¥à¨© à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨

à¥¦¤¥ 祬 ¯¥à¥å®¤¨âì ­¥¯®á।á⢥­­® ª ¨§«®¦¥­¨î ¬¥â®¤  à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ‹, ¢ ¦­® ãáâ ­®¢¨âì ªà¨â¥à¨© à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨. ‚¯®«­¥ ®ç¥¢¨¤­®, çâ® ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠«î¡®© § ¤ ç¨ 11

¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï, ª ª ¨ «î¡®© ®¯â¨¬¨§ æ¨®­­®© § ¤ ç¨ ¢®®¡é¥, ­¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¬­®¦¥á⢮ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© ¡ë«® ­¥¯ãáâ® ¨ 楫¥¢ ï äã­ªæ¨ï ­  í⮬ ¬­®¦¥á⢥ ¡ë«  ®£à ­¨ç¥­  á­¨§ã (¢ á«ãç ¥ § ¤ ç¨ ¬¨­¨¬¨§ æ¨¨). ¨¦¥ ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï § ¤ ç ‹ íâ® ­¥®å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ï¥âáï â ª¦¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¬.

w = cx ®£à ­¨ç¥­  á­¨§ã ­  ¬­®¦¥Q = fx j Ax = b; x  0g, â® ¤«ï «î¡®£® x0 2 Q áãé¥áâ¢ã¥â x, â ª®¥, çâ® cx  cx0.

‹¥¬¬  2.1 …᫨ äã­ªæ¨ï á⢥ ¡.¤.à.

 áᬮâਬ ­¥¯ãá⮥ ¬­®¦¥á⢮ Q0 = fx 2 Q j cx  cx0g ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ¢ ­¥¬ ¢¥ªâ®à x, ¨¬¥î騩 ¬¨­¨¬ «ì­®¥ ç¨á«® ­¥­ã«¥¢ëå ª®¬¯®­¥­â. „®ª ¦¥¬, çâ® ¤®¯ãá⨬®¥ à¥è¥­¨¥ x ï¥âáï ¡ §¨á­ë¬. …᫨ íâ® ­¥ â ª, â® ¬­®¦¥á⢮ fAj j xj > 0g á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë A «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬®, â.¥. áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y 6= 0 â ª®©, çâ® Ay = 0 ¨ yj = 0 ¢ á«ãç ¥ xj = 0. ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® d = cy  0, ¯®áª®«ìªã ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¬®£«¨ ¡ë § ¬¥­¨âì y ­  y .  áᬮâਬ ®¤­®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ᥬ¥©á⢮ ¢¥ªâ®à®¢ x(t) = x + ty . à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå §­ ç¥­¨ïå t ¨¬¥¥¬ x(t) 2 Q. „®ª § â¥«ìá⢮.

‚®§¬®¦­ë ¤¢  á«ãç ï. 1) yj  0 ¤«ï ¢á¥å j . ’®£¤  ¯à¨ «î¡®¬ t  0 ¨¬¥¥¬ x(t) 2 Q ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, w(x(t)) = w(x) + td  const. “ç¨âë¢ ï ­¥à ¢¥­á⢮ d  0, ®âá á«¥¤ã¥â, çâ® d = 0 ¨ w(x(t)) = w(x) ¯à¨ «î¡®¬ t. ãáâì t0 = minfxj =yj j yj > 0g. ’®£¤  x(t0) ¯à¨­ ¤«¥¦¨â Q0 ¨ ¨¬¥¥â ¬¥­ìè¥ ­¥­ã«¥¢ëå ª®¬¯®­¥­â, 祬 x, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã x. 2) yj < 0 ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ j . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à x(t0) ¯à¨ t0 = minf xj =yj j yj < 0g ¯à¨­ ¤«¥¦¨â Q0 ¨ ¨¬¥¥â ¬¥­ìè¥ ­¥­ã«¥¢ëå ª®¬¯®­¥­â, 祬 x, â.¥. á­®¢  ¯®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . 12

‘«¥¤á⢨¥ …᫨ à¥è¥­¨¥.

Q 6= ;, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á­®¥ ¤®¯ãá⨬®¥

’ ª®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ­¥¯®á।á⢥­­® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¤®ª § ­­®© «¥¬¬ë, ¥á«¨, ­ ¯à¨¬¥à, ¯®«®¦¨âì w  0. ’¥®à¥¬  2.1

(Šà¨â¥à¨© à §à¥è¨¬®áâ¨).

à §à¥è¨¬  ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  æ¨ï

‡ ¤ ç  ‹ (2.1)-(2.3)

Q 6= ; ¨ 楫¥¢ ï äã­ª-

w ®£à ­¨ç¥­  á­¨§ã ­  ¬­®¦¥á⢥ Q.

„®ª § â¥«ìá⢮.

¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï ¤ ­­®© â¥®à¥¬ë ¢¯®«­¥ ®ç¥¢¨¤­ . „®ª ¦¥¬ ¤®áâ â®ç­®áâì. ˆ§ ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë ¨ ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¬­®¦¥á⢮ ¡.¤.à. ­¥¯ãáâ® ¨, ª ª ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, ª®­¥ç­®. ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â 㯮¬ï­ã⮣® ¬­®¦¥á⢠, | ¡.¤.à. x , | ­  ª®â®à®¬ 楫¥¢ ï äã­ªæ¨ï w ¯à¨­¨¬ ¥â ¬¨­¨¬ «ì­®¥ §­ ç¥­¨¥, â.¥. w(x)  w(x) ¤«ï «î¡®£® ¡.¤.à. x. ®ª ¦¥¬, çâ® x ï¥âáï ®¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â x0 2 Q, ¤«ï ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮ w(x0) < w(x ). ’®£¤ , ¯® ‹¥¬¬¥ 1, ¡ã¤¥â áãé¥á⢮¢ âì ¡.¤.à. x, â ª®¥, çâ® w(x)  w(x0 ) ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, w(x) < w(x). ®«ã祭­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã x . ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ˆ§ ¤®ª § â¥«ìá⢠ ¤ ­­®© â¥®à¥¬ë ¯®«ãç ¥¬ â ª¦¥ “⢥ত¥­¨¥ 2.2 …᫨ § ¤ ç  ‹ à §à¥è¨¬ , â® áãé¥áâ¢ã¥â ®¯â¨¬ «ì­®¥ ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥.

®á«¥¤­¥¥ ᢮©á⢮ § ¤ ç¨ ‹, ãç¨â뢠ï â ª¦¥ ª®­¥ç­®áâì ç¨á«  ¡.¤.à., ¯®§¢®«ï¥â £®¢®à¨âì ®¡ ®ç¥¢¨¤­®¬ ¬¥â®¤¥ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨, áãâì ª®â®à®£® ᢮¤¨âáï ª ¯®«­®¬ã ¯¥à¥¡®àã ¡.¤.à. ¨ ¢ë¤¥«¥­¨î á।¨ ­¨å ­ ¨«ãç襣® (¯® §­ ç¥­¨î 楫¥¢®© ä㭪樨). ¥¯à ªâ¨ç­®áâì â ª®£® ᯮᮡ  à¥è¥­¨ï áâ ­¥â ¯®­ïâ­®©, ¥á«¨ ¯à¨­ïâì ¢® ¢­¨¬ ­¨¥, çâ® ¤ ¦¥ ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® áªà®¬­ëå à §¬¥à å § ¤ ç¨ ç¨á«® ¡.¤.à. áâ ­®¢¨âáï  áâà®­®¬¨ç¥áª¨ ¡®«ì訬. ’¥¬ ­¥ 13

¬¥­¥¥ ¨¤¥ï 楫¥­ ¯à ¢«¥­­®£® ¯¥à¥¡®à , ¯®§¢®«ïî饣® ¨§¡¥¦ âì ¢ ¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢ ¯à®á¬®âà  ¯®¤ ¢«ïî饩 ç á⨠¬­®¦¥á⢠ ¡.¤.à., «¥¦¨â ¢ ®á­®¢¥ á ¬®£® à á¯à®áâà ­¥­­®£® ¬¥â®¤  à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ‹, ¯®«ã稢襣® ­ §¢ ­¨¥ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤. 2.3 ‘¨¬¯«¥ªá-â ¡«¨æ 

‚ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ­¨¦¥  «£®à¨â¬¥ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤  ¨á¯®«ì§ã¥âáï â ª ­ §ë¢ ¥¬ ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ , ª®â®àãî á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ª ª 㤮¡­ãî ä®à¬ã § ¯¨á¨ ¨­ä®à¬ æ¨¨ ® ⥪ã饬 á®áâ®ï­¨¨ ¯à®æ¥áá  ¢ëç¨á«¥­¨©. „«ï ¯®áâ஥­¨ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¡ §¨áã B = [A(1); : : :; A(m) ], âॡã¥âáï ¢ë¯®«­¨âì ¯¥à¥å®¤ ®â á¨á⥬ë ãà ¢­¥­¨© (2.2) ª íª¢¨¢ «¥­â­®© á¨á⥬¥ xB + B 1 NxN = B 1 b (2:20) ¨, ¨á¯®«ì§ãï íâã á¨á⥬㠤«ï ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ç¥à¥§ ­¥¡ §¨á­ë¥, ¨áª«îç¨âì ¡ §¨á­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨§ ¢ëà ¦¥­¨ï 楫¥¢®© ä㭪樨 w. ‚ १ã«ìâ â¥ ¤«ï 楫¥¢®© ä㭪樨 ¡ã¤¥â ¯®«ã祭® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ w = cB B 1 b + (cN cB B 1 N )xN ; (2:10) £¤¥ áB = (c(1); : : :; c(m));   cN ®¡à §®¢ ­ ª®¬¯®­¥­â ¬¨ cj ; j 2 S 0 ; â.¥. ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¯à¨ ­¥¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ ¨á室­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ 楫¥¢®© ä㭪樨 w. ”ã­ªæ¨ï, § ¤ ¢ ¥¬ ï à ¢¥­á⢮¬ (2:10), ®â«¨ç ¥âáï ®â ¨á室­®© 楫¥¢®© ä㭪樨, ¥á«¨ à áᬠâਢ âì ¨å ¢® ¢á¥¬ ¯à®áâà ­á⢥ Rn , ­® ®­¨ ᮢ¯ ¤ îâ ­  ¬­®¦¥á⢥ à¥è¥­¨© á¨á⥬ë (2.2), ¢ ç áâ­®áâ¨, í⮠ᮢ¯ ¤¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­  ¬­®¦¥á⢥ Q. ‘®¢¬¥áâ­®¥ à áᬮâ७¨¥ ᮮ⭮襭¨© (2:10) ¨ (2:20) ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饩 á¨á⥬¥ «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© X w + z0j xj = z00 (2:100)

‡ ¬¥ç ­¨¥.

j 2S 0

14

x  ( i) + £¤¥

X j 2S 0

zij xj = zi0; i = 1; : : :; m;

9 > > > > > T (z ; : : :; zm ) = B b; = > z j = cj cB B Aj ; j = 1; : : :; n; > > > > T (z j ; : : :; zmj ) = B Aj ; j = 1; : : :; n: ;

(2:200)

z00 = cB B 1 b;

10

1

0

1

0

(2.4)

1

1

Š®íää¨æ¨¥­âë zij ¤ ­­®© á¨á⥬ë, ¢ª«îç ï â ª¦¥ ¯à ¢ë¥ ç á⨠ãà ¢­¥­¨©, ¨ á®áâ ¢«ïîâ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã (á ­¥ª®â®à묨 ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨ ¢ ¢¨¤¥ á⮫¡æ  á«¥¢  ®â â ¡«¨æë ¨ áâப¨ ­ ¤ â ¡«¨æ¥©, ­ §­ ç¥­¨¥ ª®â®àëå | ¯®¢ëá¨âì ¥¥ ¨­ä®à¬ â¨¢­®áâì):

w x(1) .

x  ( i) .

x(m)

x1 z00 z01 z10 z11 ::: ::: z i0 z i1 ::: ::: zm0 zm1

::: ::: ::: ::: ::: ::: :::

xj z0j z1j ::: zij ::: zmj

::: ::: ::: ::: ::: ::: :::

xn z0n z1n ::: zin ::: zmn

(2.5)

• à ªâ¥à­®© ®á®¡¥­­®áâìî â ª®© â ¡«¨æë ï¥âáï á«¥¤ãî饥 ᢮©á⢮: ¯à¨ «î¡®¬ i = 1; : : :; m á⮫¡¥æ á ­®¬¥à®¬  (i) ï¥âáï ¥¤¨­¨ç­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬, ¨¬¥î騬 1 ¢ i-© áâப¥ ¨ 0 ¢ ®áâ «ì­ëå áâப å. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á«ãç ¥  (i) = i; i = 1; : : :; m ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¨¬¥¥â ¢¨¤ 15

w z00 x1 z10 :

xi :

:

zi0 :

xm zm0

x1 : : : xi : : : xm xm+1 : : : xn 0 : : : 0 : : : 0 z0m+1 : : : z0n 1 : : : 0 : : : 0 z1m+1 : : : z1n : 0 ::: : 0 :::

: 1 ::: : 0 :::

: 0 : 1

:

:

:

:

zim+1 : : : zin zmm+1 : : : zmn

‚ ­®¢ëå ®¡®§­ ç¥­¨ïå ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ x, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¡ §¨áã B , ¨¬¥¥â ¢¨¤ xB = (z10; z20; : : :; zm0 )T , xN = 0,   楫¥¢ ï äã­ªæ¨ï w ­  ¤ ­­®¬ à¥è¥­¨¨ ¯à¨­¨¬ ¥â §­ ç¥­¨¥ w(x) = z00 . Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1 ‘¨¬¯«¥ªá-â ¡«¨æ  (2.5) ­ §ë¢ ¥âáï ¯àאַ

z  0; i = 1; : : :; m; (z 

( ¤¢®©á⢥­­®) ¤®¯ãá⨬®©, ¥á«¨ i0 0j .  §¨á , ª®â®à®¬ã íâ  â ¡«¨æ  ᮮ⢥âáâ¢ã¥â, â ª¦¥ ­ §ë¢ ¥âáï ¯àאַ (¤¢®©á⢥­­®) ¤®¯ãá⨬ë¬

0; j = 1; : : :; n)

B

.

à¨áãâá⢨¥ ¢ ­ §¢ ­¨ïå á«®¢ "¯àאַ"¨ "¤¢®©á⢥­­®"áâ ­¥â ¯®­ïâ­ë¬, ª®£¤  ­¨¦¥ à¥çì ¯®©¤¥â ® ¤¢®©á⢥­­®á⨠¢ «¨­¥©­®¬ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¨. ‘«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥­¨¥ ᮤ¥à¦¨â ¢¥á쬠 ¯®«¥§­®¥ ¤®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ®¯â¨¬ «ì­®áâ¨. “⢥ত¥­¨¥ 2.3 …᫨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¯àאַ ¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬ , ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ ï¥âáï ®¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (2.1){(2.3).

¥¯®áâ।á⢥­­® ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï á«¥¤ã¥â, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¤ ­­®© ᨬ¯«¥ªá{â ¡«¨æ¥ ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ x ï¥âáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (2.1){ (2.3). ˆ§ ¤¢®©á⢥­­®© ¤®¯ãá⨬®á⨠᫥¤ã¥â, ç⮠楫¥¢ ï äã­ª„®ª § â¥«ìá⢮.

16

æ¨ï

w = z00 +

X j 2S 0

z0j xj

¨¬¥¥â ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ ¯¥à¥¬¥­­ëå xj . ®áª®«ìªã ¢ «î¡®¬ ¤®¯ãá⨬®¬ à¥è¥­¨¨ x 2 Q ¢á¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨¬¥îâ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï, â® w(x)  z00 = w(x). “⢥ত¥­¨¥ ¤®ª § ­®. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§ ¤®ª § ­­ëå ¢ëè¥ ã⢥ত¥­¨© á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¯®¨áª¥ ®¯â¨¬ «ì­®£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (2.1){(2.3) ¬®¦­® ®£à ­¨ç¨âìáï à áᬮâ७¨¥¬ ¡ §¨á­ëå ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©. ®«¥¥ ⮣®, ¤®áâ â®ç­® ­ ©â¨ ¡ §¨á, ª®â®à®¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯àאַ ¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬ ï ᨬ¯«¥ªá{â ¡«¨æ . à¨ í⮬ á«¥¤ã¥â ®¤­ ª® § ¬¥â¨âì, çâ® ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ â ª®£® ¡ §¨á  ¢ á«ãç ¥, ª®£¤  § ¤ ç  à §à¥è¨¬ , ®áâ ¥âáï ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ®âªàëâë¬ ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ®â¢¥â ­  ­¥£® ­ ¬ ¥é¥ ¯à¥¤á⮨⠯®«ãç¨âì. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¯® ¯ã⨠¯®¨áª  ¯àאַ ¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®£® ¡ §¨á  ¬ë ¨ ­ ¬¥à¥­ë ¯®©â¨ (¨¬¥­­® â ª®© ¯®¨áª ¨ ¯à®¨á室¨â ¯à¨ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç¨ ‹ ᨬ¯«¥ªá{¬¥â®¤®¬). 2.4 «¥¬¥­â à­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¡ §¨á  ¨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë

¥à¥¡®à ¡ §¨á®¢, ª®â®àë© ¯à®¨á室¨â ¯à¨ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç¨ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤®¬, ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯®á।á⢮¬ ¬¨­¨¬ «ì­®£® ¨§¬¥­¥­¨ï à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ¡ §¨á . ’ ª¨¬ ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¨§¬¥­¥­¨¥¬, ®ç¥¢¨¤­®, ï¥âáï § ¬¥­  ®¤­®£® ¨§ ¡ §¨á­ëå á⮫¡æ®¢ ­  ¤à㣮© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë A ¨§ ç¨á«  ­¥¡ §¨á­ëå. ®¤®¡­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¡ §¨á  ¬ë ¨ ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì í«¥¬¥­â à­ë¬. …áâ¥á⢥­­®, ¢ë¡®à ⮣® ¨ ¤à㣮£® á⮫¡æ  ¯à¨ í⮬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ­¥ ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ì­ë¬,   ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬¨ ¯à ¢¨« ¬¨, çâ® ¨ ¤¥« ¥â ¯¥à¥¡®à 楫¥­ ¯à ¢«¥­­ë¬.  è  ¡«¨¦ ©è ï 楫ì | ¯à®á«¥¤¨âì §  ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ᨬ¯«¥ªáâ ¡«¨æë ¯à¨ â ª®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ¡ §¨á  ¨ ãáâ ­®¢¨âì ¯à ¢¨«®, 17

ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­® ¤«ï ¯®«ã祭¨ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯à¥®¡à §®¢ ­­®¬ã ¡ §¨áã. ãáâì ¢ ¡ §¨á¥ B = [A(1); : : :; A(m)], ª®â®à®¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  (2.5), á⮫¡¥æ A(r) à¥è¥­® § ¬¥­¨âì ­  á⮫¡¥æ As ; s 2 S 0. ¥§ã«ìâ â®¬ â ª®© § ¬¥­ë ¡ã¤¥â ­®¢ë© ¡ §¨á B 0 = [A(1); : : :; A(r 1); As ; A(r+1); : : :; A(m)], ¥á«¨ ⮫쪮 í«¥¬¥­â zrs ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ­¥ à ¢¥­ 0. â® «¥£ª® ¯®­ïâì, ¥á«¨ ãç¥áâì, ç⮠ᮣ« á­® (2.4) (z1s ; : : :; zms )T = B 1 As , â.¥. As = B (z1s ; : : :; zms )T ¨«¨ m X As = zisA(i): i=1

®áª®«ìªã à §«®¦¥­¨¥ «î¡®£® ¢¥ªâ®à  ¯® ¢¥ªâ®à ¬ ¡ §¨á  ¥¤¨­á⢥­­®, â® ¯à¨ zrs 6= 0 ¢¥ªâ®à As ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ æ¨¨ ¢¥ªâ®à®¢ A(1) ; : : :; A(r 1) , A(r+1) ; : : :; A(m) , çâ® ®§­ ç ¥â «¨­¥©­ãî ­¥§ ¢¨á¨¬®áâì á⮫¡æ®¢ ¢ B0. ‚ á«ãç ¥ zrs = 0 ¢ë襯ਢ¥¤¥­­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à  As ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® «¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë B 0 . —⮡ë áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¯à ¢¨«®, ᮣ« á­® ª®â®à®¬ã ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭  ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯à¥®¡à §®¢ ­­®¬ã ¡ §¨áã B 0 , ­ ¯®¬­¨¬, çâ® í«¥¬¥­â ¬¨ â ¡«¨æë ïîâáï ª®íää¨æ¨¥­âë «¨­¥©­®© á¨á⥬ë (2:100); (2:200), ¯®«ã祭­®© ¨§ á¨á⥬ë (2.1), (2.2) ¯ã⥬ ¯à¨¢¥¤¥­¨ï ¥¥ ª ¤¨ £®­ «ì­®© ä®à¬¥ ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨ ¯¥à¥¬¥­­®© w. ’ ª ª ª ­®¢ë© ­ ¡®à ¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ®â«¨ç ¥âáï ®â áâ à®£® ⮫쪮 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© xs (§ ¬¥­¨¢è¥© ¯¥à¥¬¥­­ãî x(r) ), â® ¤«ï ¯®«ã祭¨ï í«¥¬¥­â®¢ ­®¢®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ¤®áâ â®ç­® ¢ë¯®«­¨âì ®¤¨­ è £ ¬¥â®¤  ¨áª«î祭¨ï ƒ ãáá {†®à¤ ­ , çâ®¡ë ¨áª«îç¨âì xs ¨§ ¢á¥å, ªà®¬¥ ®¤­®£®, ãà ¢­¥­¨© á¨á⥬ë (2:100); (2:200), ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 áâ à®¬ã ¡ §¨áã B (¨á¯®«ì§ãï ¤«ï í⮣® ¥¤¨­á⢥­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤ ­­®© á¨á⥬ë, ᮤ¥à¦ é¥¥ ¨§ ç¨á«  ¡ §¨á­ëå ⮫쪮 ¨áª«îç ¥¬ãî ¨§ ¡ §¨á  ¯¥à¥¬¥­­ãî x(r) , â.¥. r-¥ ãà ¢­¥­¨¥). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠯ࠢ¨«ã: à §¤¥«¨âì r-î áâபã ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ­  zrs ¨ ¯à¨¡ ¢¨âì ¥¥, 㬭®18

¦¥­­ãî ­  ­ ¤«¥¦ é¨¬ ®¡à §®¬ ¯®¤®¡à ­­ë¥ ç¨á« , ª ¤à㣨¬ áâப ¬ â ª, ç⮡ë 1 ¢ ¯®§¨æ¨¨ (r; s) ®áâ « áì ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ­¥­ã«¥¢ë¬ í«¥¬¥­â®¬ s-£® á⮫¡æ . …᫨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ®¡®§­ ç¥­¨¥¬ i ¤«ï i-© ¢¥ªâ®à-áâப¨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, â® ¯à ¢¨«® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¬®¦­® ¨§®¡à §¨âì á奬 â¨ç­® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: 8 > i zzis r ; i 6= r; < i (2.6) 1  rs > : r

zrs

r

à¨ í⮬ r-ï áâப , s-© á⮫¡¥æ ¨ í«¥¬¥­â zrs ­ §ë¢ îâáï .

¢¥¤ã騬¨

2.5 €«£®à¨â¬ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ 

ˆ¬¥ï ®¯¨á ­¨¥ í«¥¬¥­â à­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, ¬ë ¬®¦¥¬ ⥯¥àì áä®à¬ã«¨à®¢ âì ®á­®¢­ë¥ è £¨  «£®à¨â¬  ᨬ¯«¥ªá¬¥â®¤ . 0)  ç âì á ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. 1) …᫨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬ , â.¥. z0j  0; j = 1; : : :; n, â® ŠŽ…– (¯®«ã祭® ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥). 2) ‚ë¡à âì ¢¥¤ã騩 á⮫¡¥æ s : zos < 0; s  1. 3) …᫨ fi j zis > 0g 6= ;, â® ¢ë¡à âì ¢¥¤ãéãî áâபã r:

zr0 = minf zi0 j z > 0g; zrs zis is

¨­ ç¥ ŠŽ…– (§ ¤ ç  ­¥à §à¥è¨¬ ). 4) à¥®¡à §®¢ âì ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã, ¯®«®¦¨âì  (r) := s ¨ ¯¥à¥©â¨ ­  è £ 1. „ «¥¥ ¯®¤ ¨â¥à æ¨¥© ¡ã¤¥¬ ¯®­¨¬ âì ®¤­®ªà â­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥ è £®¢ á 1-£® ¯® 4-©. 19

‡ ¬¥ç ­¨ï

1. ‚믮«­¥­¨¥ è £  0 ¯à¥¤¯®« £ ¥â ­ å®¦¤¥­¨¥ ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®£® ¡ §¨á , çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¤®áâ â®ç­® âà㤭ãî § ¤ çã, ¨ ®¡ í⮬ à¥çì ¯®©¤¥â çãâì ¯®§¦¥. 2. …᫨ ­  è £¥ 3 ¨¬¥¥¬ zis  0; i = 1; : : :; m; â® í⮠ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ­¥à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ ¢¢¨¤ã ­¥®£à ­¨ç¥­­®á⨠楫¥¢®© ä㭪樨 á­¨§ã ­  ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢¥ªâ®à xt , ¨¬¥î騩 ª®¬¯®­¥­âë xj = 0 ¯à¨ j 2 S 0 nfsg; xs = t ¨ x(i) = zi0 zis t; i = 1; : : :; m, ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ á¨á⥬ë (2:200) ¯à¨ «î¡®¬ t. ’ ª ª ª zi0  0; i = 1; : : :; m (¢¢¨¤ã ⮣®, ç⮠ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ ), â® ¯à¨ t  0 ¢á¥ ª®¬¯®­¥­âë xt ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë, â.¥. xt | ¤®¯ãá⨬®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨. Šà®¬¥ ⮣®, ¨§ (2:100) ¨¬¥¥¬ w(xt ) = z00 + z0s t, â ª çâ® w(xt) ! 1 ¯à¨ t ! +1. 3. „«ï ª®à४⭮© à ¡®âë  «£®à¨â¬  ­¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ­  ª ¦¤®© ¨â¥à æ¨¨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¡ë«  ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®©. ®í⮬㠭 ¬ á«¥¤ã¥â ã¡¥¤¨âìáï, çâ® í⮠᢮©á⢮ â ¡«¨æë ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ í«¥¬¥­â à­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ­  è £¥ 4 á®åà ­ï¥âáï. ‘®£« á­® ¯à ¢¨«ã ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (2.6) ¢ ­®¢®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ¥ í«¥¬¥­âë ­ã«¥¢®£® á⮫¡æ  ¡ã¤ãâ à ¢­ë zi00 = zi0 zzrsis zr0 ¯à¨ i 6= r ¨ zr0 0 = zzrsr0 . ¥®âà¨æ â¥«ì­®áâì zr0 0 á«¥¤ã¥â ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠zr0  0 ¨ zrs > 0. „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ­¥à ¢¥­á⢠zi00  0 (i 6= r; i  1) à áᬮâਬ ¤¢  á«ãç ï:  ) ¥á«¨ zis  0, â® zi00 = zi0 zzrsis zr0  zi0  0, ¡) ¥á«¨ zis > 0, â® ¢ ᨫ㠯ࠢ¨«  ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饩 áâப¨ ¨¬¥¥¬ zziis0  zzrrs0 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, zi00 = zis ( zzisi0 zzrrs0 )  0. 4. à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ è £®¢ 2 ¨ 3 ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì á¨âã æ¨¨, ª®£¤  ¢ë¡®à s ¨(¨«¨) r ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ á ¤ ­­ë¬¨ ¯à ¢¨« ¬¨ ®ª §ë¢ ¥âáï ­¥®¤­®§­ ç­ë¬. „«ï ãáâà ­¥­¨ï (ç áâ¨ç­®£® ¨«¨ ¯®«­®£®) í⮩ ­¥®¤­ §­ ç­®á⨠áãé¥áâ¢ãîâ à §«¨ç­ë¥ ãâ®ç­ïî騥 20

¯à ¢¨«  â ª¨¥, ­ ¯à¨¬¥à, ª ª  ) ¯à ¢¨«® „ ­æ¨£ : ¢ë¡à âì s á ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ z0s ; ¡) ¯à ¢¨«® «í­¤ : ¨§ ç¨á«  ¢®§¬®¦­ëå ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®á­®¢­ë¬ ¯à ¢¨«®¬ ¢ë¡à âì á­ ç «  ¬¨­¨¬ «ì­ë© ­®¬¥à s;   § â¥¬ | r á ¬¨­¨¬ «ì­ë¬  (r). 2.6 Ž ª®­¥ç­®á⨠ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ 

‚®¯à®á, ª á î騩áï ª®­¥ç­®á⨠ç¨á«  ¨â¥à æ¨© ᨬ¯«¥ªá «£®à¨â¬ , à¥è ¥âáï ¯®-à §­®¬ã ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ãâ®ç­¥­¨ï ¯à ¢¨«  ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饣® í«¥¬¥­â  zrs ¨ ®â â ª®© ®á®¡¥­­®á⨠§ ¤ ç¨, ª ª ¢ë஦¤¥­­®áâì. ‡ ¤ ç  ‹ áç¨â ¥âáï ¢ë஦¤¥­­®©, ¥á«¨ ã ­¥¥ áãé¥áâ¢ãîâ ¡ §¨á­ë¥ ¤®¯ãáâ¨¬ë¥ à¥è¥­¨ï x â ª¨¥, çâ® jfj j xj 6= 0gj < m. ¥è¥­¨¥ x ¢ â ª®¬ á«ãç ¥ ⮦¥ ­ §ë¢ ¥âáï ¢ë஦¤¥­­ë¬. ‚ á«ãç ¥ ­¥¢ë஦¤¥­­®© § ¤ ç¨ ¢ ª ¦¤®© ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ¥ ¢á¥ í«¥¬¥­âë ­ã«¥¢®£® á⮫¡æ , ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¦¥â, z00 , ¯®«®¦¨â¥«ì­ë: zi0 > 0 ¤«ï «î¡®£® i  1. ’®£¤  ¯à¨ ª ¦¤®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë í«¥¬¥­â z00 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï: z

z00 z0s zr0 > z00; rs â.¥. §­ ç¥­¨¥ 楫¥¢®© ä㭪樨 w ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ­®¢®¬ã ¡.¤.à.

㬥­ìè ¥âáï. â® £ à ­â¨àã¥â ­¥¯®¢â®à塞®áâì ¯¥à¥¡¨à ¥¬ëå ¢ 室¥ à ¡®âë  «£®à¨â¬  ¡ §¨á®¢ ¨, ª ª á«¥¤á⢨¥, ª®­¥ç­®áâì ç¨á«  ¨â¥à æ¨©. à¨ í⮬ ­¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯®«ã祭­ë© ¢ë¢®¤ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ãâ®ç­¥­¨ï ¯à ¢¨«  ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饣® í«¥¬¥­â . ‚ á«ãç ¥ ¢ë஦¤¥­­®© § ¤ ç¨ á।¨ í«¥¬¥­â®¢ zi0 ; i = 1; : : :; m, ¬®£ãâ ¡ëâì à ¢­ë¥ ­ã«î. ‚ ç áâ­®áâ¨, à ¢­ë¬ ­ã«î ¬®¦¥â ®ª § âìáï í«¥¬¥­â zr0. à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¡ §¨á  ¢ â ª®© á¨âã æ¨¨ ­¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¨§¬¥­¥­¨î ¡ §¨á­®£® à¥è¥­¨ï. ‚ १ã«ìâ â¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ­¥ª®â®à®£® ç¨á«  ¯®¤®¡­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© (­¥ ᮯ஢®¦¤ ¥¬ëå ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ¡ §¨á­®£® à¥è¥­¨ï) ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¨©â¨ ª 㦥 ¢áâà¥ç ¢è¥¬ãáï ¡ §¨áã. â® ®§­ ç ¥â, çâ®  «£®à¨â¬ ¡ã¤¥â ¤ «¥¥ 21

­¥®£à ­¨ç¥­­® ¢ë¯®«­ïâì ®¤¨­ ¨ â®â ¦¥ 横« ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢ë¡®à ¢¥¤ã饣® í«¥¬¥­â  ï¥âáï ¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­ë¬). „«ï ­¥ª®â®àëå ãâ®ç­¥­­ëå ¯à ¢¨« ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饣® í«¥¬¥­â  ¢®§¬®¦­®áâì ¯®¤®¡­®£® § æ¨ª«¨¢ ­¨ï ¨áª«îç ¥âáï. Š â ª¨¬, ­ ¯à¨¬¥à, ®â­®á¨âáï 㯮¬¨­ ¢è¥¥áï ¢ëè¥ ¯à ¢¨«® «í­¤ , ⮣¤  ª ª ¯à ¢¨«® „ ­æ¨£  (¨ àï¤ ¤à㣨å) § æ¨ª«¨¢ ­¨ï ­¥ ãáâà ­ïîâ. à¥¤®â¢à â¨âì § æ¨ª«¨¢ ­¨¥ ¬®¦­® â ª¦¥ ¯ã⥬ ¯à¨¬¥­¥­¨ï «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®© ¯à®æ¥¤ãàë ¤«ï ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饩 áâப¨ ­  è £¥ 3. â® ¯à¨¢®¤¨â ­ á ª «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®¬ã ¢ à¨ ­âã ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ . 2.7 ‹¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤

ãáâì  = (a0; a1; : : :; an ) 2 Rn+1 | ¢¥ªâ®à-áâப . ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¢¥ªâ®à  «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ¡®«ìè¥ ­ã«ï ¨ ¯¨á âì   0, ¥á«¨ ¯¥à¢ ï ®â«¨ç­ ï ®â ­ã«ï ª®¬¯®­¥­â  ¯®«®¦¨â¥«ì­ : ap > 0, £¤¥ p = minfi j ai 6= 0g. …᫨ 0; 00 2 Rn+1 , â® áç¨â ¥¬, çâ® ¢¥ªâ®à 0 «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ¡®«ìè¥ ¢¥ªâ®à  00, 0  00 , ¥á«¨ 0 00  0. ’¥¬ á ¬ë¬ ­  Rn+1 ®¯à¥¤¥«¥­® ®â­®è¥­¨¥ «¨­¥©­®£® ¯®à浪 , â ª çâ® ¢ «î¡®© ª®­¥ç­®© ᮢ®ªã¯­®á⨠¢¥ªâ®à®¢ fig ¨¬¥¥âáï «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¢¥ªâ®à, ®¡®§­ ç ¥¬ë© lexminfig. ‘¨¬¯«¥ªá-â ¡«¨æã (2.5) ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ­®à¬ «ì­®©, ¥á«¨ ¥¥ áâப¨ i ; i = 1; : : :; m, «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë. Žç¥¢¨¤­®, ­®à¬ «ì­ ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ï¥âáï ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®© ¨, ­ ®¡®à®â, ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ , ¢ ª®â®à®© á⮫¡æë á ­®¬¥à ¬¨ ®â 1 ¤® m ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¡ §¨á­ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬, ï¥âáï ­®à¬ «ì­®©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ãî ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ãî ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã ¬®¦­® ¯à¥®¡à §®¢ âì ¢ ­®à¬ «ì­ãî ¯ã⥬ ¯¥à¥­ã¬¥à æ¨¨ ¯¥à¥¬¥­­ëå (á ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© á⮫¡æ®¢). Žâ«¨ç¨¥ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤  ®â ®¡ëç­®£® ª á ¥âáï 0-£® ¨ 3-£® è £®¢ (è £¨ 1-©, 2-© ¨ 4-© ®áâ îâáï ¡¥§ ¨§22

¬¥­¥­¨©). 00)  ç âì á ­®à¬ «ì­®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. 30) …᫨ fi j zis > 0g 6= ;, â® ¢ë¡à âì ¢¥¤ãéãî áâபã r: 1  = lexminf 1  j z > 0g;

zrs

r

zis

i

is

¨­ ç¥ ŠŽ…– (§ ¤ ç  ­¥à §à¥è¨¬ ). —â®¡ë ¤®ª § âì ª®­¥ç­®áâì ¤ ­­®£® ¢ à¨ ­â  ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ , ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ­  è £¥ 4 á®åà ­ï¥â ¥¥ ­®à¬ «ì­®áâì. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, áâப  r ®áâ ¥âáï «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­®©, â ª ª ª ®­  ¯®«ãç ¥âáï ¯ã⥬ 㬭®¦¥­¨ï «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ¢¥ªâ®à  r ­  ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® 1=zrs. „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®© ¯®«®¦¨â¥«ì­®á⨠®áâ «ì­ëå áâப 0i (i 6= r; i  1) à áᬮâਬ ¤¢  á«ãç ï:  ) ¥á«¨ zis  0, â® 0i = i ( zzrsis )r  r  0; ¡) ¥á«¨ zis > 0, ⮠ᮣ« á­® ¯à ¢¨«  ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饩 áâப¨ 1 1 1 1 0 zis i  zrs r ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, i = zis [( zis )i ( zrs )r ]  0. ˆ§ ­®à¬ «ì­®á⨠ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ á«¥¤ã¥â, çâ® ­  ª ¦¤®© ¨â¥à æ¨¨ ¢¥¤ãé ï áâப  r «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ , çâ® á ãç¥â®¬ ­¥à ¢¥­á⢠z0s < 0 ¨ zrs > 0 ¢«¥ç¥â

0 ( zzos )r  0 ; rs

â.¥. «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®¥ ¢®§à áâ ­¨¥ ­ã«¥¢®© áâப¨. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¢ 室¥ à ¡®âë  «£®à¨â¬  ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë,   §­ ç¨â ¨ ¡ §¨áë, ­¥ ¯®¢â®àïîâáï, çâ® £ à ­â¨àã¥â ª®­¥ç­®áâì «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ . ¥á¬®âàï ­  áâ®«ì ¢ ¦­®¥ ᢮©á⢮, ­  ¯à ªâ¨ª¥ ¤ ­­ë©  «£®à¨â¬ ­¥ ¯à¨¬¥­ï¥âáï ¨§-§  ®â­®á¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ á«®¦­®£® ¯à ¢¨«  ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饩 áâப¨.  ¬ ¦¥ ãáâ ­®¢«¥­­®¥ ᢮©á⢮ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤  ¯®§¢®«ï¥â ⥯¥àì ¢¥à­ãâìáï ª ®áâ ¢«¥­­®¬ã ¡¥§ ®â¢¥â  ¢®¯à®áã ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¯àאַ ¨ 23

¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®£® ¡ §¨á . “⢥ত¥­¨¥ 2.4 …᫨ § ¤ ç  ‹ (2.1){(2.3) à §à¥è¨¬ , â® ã ­¥¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯àאַ ¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãáâ¨¬ë© ¡ §¨á.

„®ª § â¥«ìá⢮.

ˆ§ à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©, â.¥. Q 6= ;, ç⮠ᮣ« á­® ‘«¥¤á⢨î (‹¥¬¬ë 1) ¢«¥ç¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¡ §¨á­®£® ¤®¯ãá⨬®£® à¥è¥­¨ï. ‘¨¬¯«¥ªá-â ¡«¨æ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï í⮬㠡.¤.à., ¡ã¤ãç¨ ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®©, ¢ á«ãç ¥ ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠(â.¥. ¥á«¨ ®­  ­¥ ï¥âáï ­®à¬ «ì­®©) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®á।á⢮¬ ¯¥à¥­ã¬¥à æ¨¨ ¯¥à¥¬¥­­ëå (á ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© á⮫¡æ®¢) ¯à¥®¡à §®¢ ­  ¢ ­®à¬ «ì­ãî.  ç ¢ ¢ëç¨á«¥­¨ï á í⮩ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ ç¥à¥§ ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ¨â¥à æ¨© § ¢¥àè¨â à ¡®âã, ®¡­ à㦨¢ ­  è £¥ 1 § ª«îç¨â¥«ì­®© ¨â¥à æ¨¨, ç⮠⥪ãé ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ï¥âáï ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®©. ‚ ᨫã à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ ®ª®­ç ­¨¥ à ¡®âë ­  è £¥ 3 ­¥¢®§¬®¦­®.  §¨á, ª®â®à®¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®«ã祭­ ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ , ¨ ¡ã¤¥â ïâìáï ¯àאַ ¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬ë¬. ’¥¯¥àì ®áâ ¥âáï à áᬮâà¥âì ¯®á«¥¤­¨© áãé¥á⢥­­ë© ¢®¯à®á, ª á î騩áï à ¡®âë ᨬ¯«¥ªá- «£®à¨â¬  | íâ® ­ å®¦¤¥­¨¥ ­ ç «ì­®© ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. 2.8 ‚믮«­¥­¨¥ 0-£® è £ 

„«ï ¯®¨áª  ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®£® ¡ §¨á  § ¤ ç¨ (2.1){(2.3) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë à áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî ¢á¯®¬®£ â¥«ì­ãî § ¤ çã:

=

m X i=1

xn+i ! min

aix + xn+i = bi; i = 1; : : :; m; xj  0; j = 1; : : :; n + m: 24

¥à¥¬¥­­ë¥ xj ; j = n + 1; : : :; n + m; ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì ¨á. ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® bi  0; i = 1; : : :; m. ‚ â ª®¬ á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à x 2 Rn+m á ª®¬¯®­¥­â ¬¨ xj = 0; j = 1; : : :; n; ¨ xn+i = bi; i = 1; : : :; m; ï¥âáï ¡ §¨á­ë¬ ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨, ª®â®à®¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â "¨áªãáá⢥­­®¬ã"¡ §¨áã B = I (â.¥.  (i) = n + i; i = 1; : : :; m). Šà®¬¥ ⮣®, ­  ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© 楫¥¢ ï äã­ªæ¨ï  ®£à ­¨ç¥­  á­¨§ã ­ã«¥¬. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, § ¤ ç  à §à¥è¨¬  ¨ min   0. …¥ à¥è¥­¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ᨬ¯«¥ªá¬¥â®¤®¬ (á ¯à¨¢«¥ç¥­¨¥¬, ¯à¨ ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨, "­¥§ æ¨ª«¨¢ îé¨åáï"¢ à¨ ­â®¢ í⮣® ¬¥â®¤ ), ¨á¯®«ì§ãï ¢ ª ç¥á⢥ ­ ç «ì­®£® ¯àאַ ¤®¯ãáâ¨¬ë© ¨áªãáá⢥­­ë© ¡ §¨á ("¬¥â®¤ ¨áªãáá⢥­­®£® ¡ §¨á "). ‚®§¬®¦­ë ¤¢  á«ãç ï: 1) min  > 0. â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¨á室­ ï § ¤ ç  (2.1){(2.3) ­¥ ¨¬¥¥â ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©, â.¥. ®£à ­¨ç¥­¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ­¥á®¢¬¥áâ­ë ¨ § ¤ ç  ­¥à §à¥è¨¬ ; 2) min  = 0. ‚ â ª®¬ á«ãç ¥ ¢ ¯®«ã祭­®¬ ®¯â¨¬ «ì­®¬ à¥è¥­¨¨ ¢á¥ ¨áªãáá⢥­­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ à ¢­ë ­ã«î. à¨ í⮬ ­¥ ¨áª«îç ¥âáï, çâ® ­¥ª®â®àë¥ ¨§ ­¨å ®áâ îâáï ¢ ç¨á«¥ ¡ §¨á­ëå. ˆ§ ¯®«ã祭­®© ­  § ª«îç¨â¥«ì­®© ¨â¥à æ¨¨ ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭  ­ ç «ì­ ï ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¤«ï ¨á室­®© § ¤ ç¨ (2.1){(2.3). „«ï í⮣® ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® 㤠«¨¬ ¨§ â ¡«¨æë ¢á¥ á⮫¡æë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨áªãáá⢥­­ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬,   í«¥¬¥­âë ­ã«¥¢®© áâப¨ ¢à¥¬¥­­® ¯®«®¦¨¬ à ¢­ë¬¨ 0. „ «ì­¥©è¨¥ ¤¥©áâ¢¨ï ¡ã¤ãâ § ¢¨á¨âì ®â ¯à¨áãâáâ¢¨ï ¨áªãáá⢥­­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ ç¨á«¥ ¡ §¨á­ëå. ãáâì ¯¥à¥¬¥­­ ï xj ; £¤¥ j > n, ï¥âáï ¡ §¨á­®© ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â r-© áâப¥ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. ’®£¤  zr0 = 0, ¯®áª®«ìªã ¢ ¡ §¨á­®¬ à¥è¥­¨¨ xj = zr0 ¨ ¢á¥ ¨áªãáá⢥­­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¢ ®¯â¨¬ «ì­®¬ à¥è¥­¨¨ à ¢­ë 0. …᫨ zrj = 0 ¤«ï ¢á¥å j = 1; : : :; n, â® ¬ë ¨¬¥¥¬ ­ã«¥¢ãî áâபã, ª®â®àãî ¨§ â ¡«¨æë ¬®¦­® ¯à®á⮠㤠«¨âì.  «¨ç¨¥ â ª®© ªãáá⢥­­ë¬¨

25

áâப¨ ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® «¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®á⨠ãà ¢­¥­¨© á¨á⥬ë (2.2), çâ® ¤¥« ¥â ¢®§¬®¦­ë¬ 㤠«¥­¨¥ ç á⨠ãà ¢­¥­¨© ¡¥§ ãé¥à¡  ¤«ï áãé¥á⢠ ¤¥« . ®¤®¡­ ï á¨âã æ¨ï ¯® ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¡ã¤¥â ¢®§­¨ª âì, ¥á«¨ ¢ ᮢ¬¥áâ­®© ¨á室­®© á¨á⥬¥ ®£à ­¨ç¥­¨© (2.2){(2.3) à ­£ ¬ âà¨æë A ¬¥­ìè¥ ç¨á«  ãà ¢­¥­¨©, rangA < m. Žáâ ¥âáï à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤  ¢ r-© áâப¥ ¨¬¥îâáï ­¥­ã«¥¢ë¥ í«¥¬¥­âë. ãáâì zrs 6= 0; 1  s  n. ‚믮«­¨¬ í«¥¬¥­â à­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ â ¡«¨æë á ¢¥¤ã騬 í«¥¬¥­â®¬ zrs , â.¥. ®¤¨­ è £ ¬¥â®¤  ¨áª«î祭¨ï ƒ ãáá -†®à¤ ­ . ‚¢¨¤ã ⮣®, çâ® zr0 = 0, ¯à¨ í⮬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ í«¥¬¥­âë ­ã«¥¢®£® á⮫¡æ  ­¥ ¨§¬¥­ïîâáï, ¢ ç áâ­®áâ¨, á®åà ­ï¥âáï ¨å ­¥®âà¨æ â¥«ì­®áâì. ®«ì ¡ §¨á­®© ¯¥à¥¬¥­­®©, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 r-© áâப¥, ¡ã¤¥â ⥯¥àì ¢ë¯®«­ïâì ¯¥à¥¬¥­­ ï ®á­®¢­®© § ¤ ç¨ xs , â.¥.  (r) ¯®« £ ¥âáï à ¢­ë¬ s,   ¨áªãáá⢥­­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï xj ¨§ ç¨á«  ¡ §¨á­ëå ( ¨ ¢®®¡é¥ ¨§ à áᬮâ७¨ï) ®ª §ë¢ ¥âáï ¨áª«î祭­®©. „¥©á⢨ï, ¯®¤®¡­ë¥ ®¯¨á ­­ë¬ ¢ëè¥, ¯à®¤¥« ¥¬ ¢ ®â­®è¥­¨¨ ¢á¥å ¨áªãáá⢥­­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ®áâ ¢è¨åáï ¡ §¨á­ë¬¨. ®á«¥ í⮣® ¢ ­ã«¥¢®© áâப¥ â ¡«¨æë § ¯¨á뢠¥¬ ª®íää¨æ¨¥­âë 楫¥¢®© ä㭪樨 ¨á室­®© § ¤ ç¨, ¢ëà ¦¥­­®© ⮫쪮 ç¥à¥§ ­¥¡ §¨á­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥.   í⮬ ¯à®æ¥áá ¯®áâ஥­¨ï ­ ç «ì­®© ¯àאַ ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ¤«ï ®á­®¢­®© § ¤ ç¨ (2.1){(2.3),   ¢¬¥áâ¥ á ­¨¬ ¨ 0-© è £ ᨬ¯«¥ªá- «£®à¨â¬ , ¬®¦­® áç¨â âì § ¢¥à襭­ë¬. ‚ë襮¯¨á ­­ë© ᯮᮡ ¢ë¯®«­¥­¨ï 0-£® è £  ®¡ëç­® ­ §ë¢ îâ ¯¥à¢ë¬ íâ ¯®¬ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ ,   ¬¥â®¤ ¢ 楫®¬ | ¤¢ãåíâ ¯­ë¬ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤®¬. 2.9 Œ®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ë© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤

à¨ ॠ«¨§ æ¨¨ ᨬ¯«¥ªá- «£®à¨â¬  ­¥¯®á।á⢥­­® ¢ ⮬ ¢¨¤¥, ª ª íâ® ®¯¨á ­® ¢ëè¥, ­ ¬ ­  ª ¦¤®© ¨â¥à æ¨¨ âॡ®¢ «®áì ¡ë ¯¥à¥áç¨â뢠âì ¢áî ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã à §¬¥à  (m + 1)  (n + 1). à¨ ¢­¨¬ â¥«ì­®¬  ­ «¨§¥  «£®à¨â¬  «¥£ª® § ¬¥â¨âì, çâ® 26

í⮣® ¬®¦­® ¨§¡¥¦ âì, ¥á«¨ åà ­¨âì ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ¯à¥®¡à §®¢ë¢ âì ¬ âà¨æã ¬¥­ì襣® à §¬¥à  (m +1)  (m +1) (¯à¨ ãá«®¢¨¨ m  n, çâ® ­  ¯à ªâ¨ª¥ ¡ë¢ ¥â ¤®¢®«ì­® ç áâ®). ãáâì A | à áè¨à¥­­ ï ¬ âà¨æ  ãá«®¢¨© § ¤ ç¨: 0 cB cN

A=

!

b B N

;

£¤¥ B | ¡ §¨á. ’®£¤  ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  T , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¡ §¨áã B , ¨¬¥¥â ¢¨¤ ! 1 1 0 c c B N c B b N B B : T=

B 1b

‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® £¤¥

I

B 1N

T = MA;

(2.7)

!

1 M = 01 cBB B1 | ¬ âà¨æ , ®¡à â­ ï ª à áè¨à¥­­®© ¡ §¨á­®©

B=

!

1 cB 0 B

:

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ᮣ« á­® (2.7) ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï í«¥¬¥­â®¢ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ­ àï¤ã á A ¤®áâ â®ç­® §­ âì ¬ âà¨æã M . ‘¨¬¯«¥ªáâ ¡«¨æ  T 0, ¯®«ãç ¥¬ ï ¢ १ã«ìâ â¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ⥪ã饩 â ¡«¨æë T ­  è £¥ 4 ¢¢¨¤ã § ¬¥­ë ®¤­®£® ¨§ ¡ §¨á­ëå á⮫¡æ®¢ (r) := s, á¢ï§ ­  á ­¥© ᮮ⭮襭¨¥¬ T 0 = Mrs T , £¤¥ 0 1 0 :::  ::: 0 1 0r B 0 1 : : : 1r : : : 0 C CC B B : : : : CC B Mrs = B B: : : :C

B @: :

:

A :C

0 0 : : : mr : : : 1 27

ir = zis =zrs; ¯à¨ i 6= r; rr = 1=zrs; zis | í«¥¬¥­âë ¢¥¤ã饣® á⮫¡æ  ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë T . (‡¤¥áì ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ­ã¬¥à æ¨ï áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë Mrs , ª ª ¨ ¤àã£¨å ¬ âà¨æ í⮣® ¯ã­ªâ , ­ ç¨­ ¥âáï á 0). ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, T 0 = M 0 A, £¤¥ M 0 = Mrs M: (2.8) ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¬¥áâ® ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢á¥© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë T

¬®¦­® ®£à ­¨ç¨âìáï ¯¥à¥áç¥â®¬ ­  ª ¦¤®© ¨â¥à æ¨¨ «¨èì ¬ âà¨æë M ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ á ä®à¬ã«®© (2.8) ¨ åà ­¥­¨¥¬ ¬ âà¨æë A, ¯à¨¡¥£ ï ª ä®à¬ã«¥ (2.7) ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï â¥å ¨«¨ ¨­ëå í«¥¬¥­â®¢ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë «¨èì ¯® ¬¥à¥ ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨. ¥ «ì­ë¥ ¯à¥¨¬ãé¥á⢠ ¯®¤®¡­®© ¬®¤¨ä¨ª æ¨¨ ®éã⨬® ¯à®ï¢«ïîâáï ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤  ¢ § ¤ ç¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥­­ëå n §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«ìè¥ ç¨á«  ®£à ­¨ç¥­¨© m ¨ ¬ âà¨æ  A, ª ª ¯à¨­ïâ® £®¢®à¨âì, ï¥âáï ᨫ쭮 ࠧ०¥­­®©, â.¥. ᮤ¥à¦¨â ®â­®á¨â¥«ì­® ¬ «® ­¥­ã«¥¢ëå í«¥¬¥­â®¢, çâ® ¯®§¢®«ï¥â åà ­¨âì ¥¥ ¢ ®ç¥­ì ª®¬¯ ªâ­®¬ ¢¨¤¥. 2.10 „¢®©á⢥­­®áâì ¢ «¨­¥©­®¬ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¨

‚ § ¤ ç¥ ‹ ¥áâì ¨­â¥à¥á­ë¥  á¯¥ªâë, á¢ï§ ­­ë¥ á ¯®­ï⨥¬ ¤¢®©á⢥­­®á⨠¨ ¨¬¥î騥 ¢ ¦­®¥ ⥮à¥â¨ç¥áª®¥ ¨ ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ §­ ç¥­¨¥. Š à áᬮâ७¨î í⮣® ¯®­ïâ¨ï ¬ë ¨ ¯¥à¥©¤¥¬. „«ï § ¤ ç¨ «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­­¨ï (2.1)-(2.3) ¢ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ à áᬮâਬ äã­ªæ¨î ‹ £à ­¦  w0 = cx + u(b Ax), ª®â®à ï ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ¢¥ªâ®à¥-áâப¥ u = (u1; : : :; um) ᮢ¯ ¤ ¥â ­  ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© Q á 楫¥¢®© ä㭪樥© w = cx. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯à¨ x 2 Q ¨ c uA  0 ¨¬¥¥¬ w = cx + u(b Ax) = ub +(c uA)x  ub, â.¥. ¢¥«¨ç¨­  ub ï¥âáï ¢ í⮬ á«ãç ¥ ®æ¥­ª®© á­¨§ã ¤«ï ®¯â¨¬ «ì­®£® §­ ç¥­¨ï 楫¥¢®© ä㭪樨 § ¤ ç¨ (2.1)-(2.3). ®¨áª ­ ¨«ãç襩 ­¨¦­¥© ®æ¥­ª¨ ¯à¨¢®¤¨â ª § ¤ ç¥ z = ub ! max („ ) u

uA  c; 28

ª®â®à ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § ¤ ç㠋 ®â­®á¨â¥«ì­® u 2 Rm . ®«ã祭­ ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ § ¤ ç  („ ) ­ §ë¢ ¥âáï ¤¢®©á⢥­­®© ª ¨á室­®© § ¤ ç¥ (2.1){(2.3), ª®â®à ï ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ­ §ë¢ ¥âáï ¯àאַ©. …᫨ ¨á室­ ï (¯àﬠï) § ¤ ç  ‹ ¤ ­  ¢ ®¡é¥© ä®à¬¥, â® ¤¢®©á⢥­­ ï § ¤ ç  ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: àï¬ ï § ¤ ç  n X min cj xj

„¢®©á⢥­­ ï § ¤ ç  m X max biui

j =1

xj

ai x  bi ai x = bi xj  0

i 2 I1 i 2 I2 j 2 J1 j 2 J2

᢮¡.

i=1

ui  0 ui ᢮¡. uAj  cj uAj = cj

£¤¥ ai = (ai1; : : :; ain ) | i-ï áâப  ¬ âà¨æë A, Aj = (a1j ; : : :; amj )T | j -© á⮫¡¥æ ¬ âà¨æë A, I1 [ I2 = f1; : : :; mg; I1 \ I2 = ;; J1 [ J2 = f1; : : :; ng; J1 \ J2 = ;: ‚ ¦­®© ç¥à⮩ ®â­®è¥­¨ï ¤¢®©á⢥­­®á⨠ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ï, ¢ëà ¦ îé ïáï ¢ ⮬, çâ® § ¤ ç , ¤¢®©á⢥­­ ï ª ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¥ ‹, ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯àאַ© § ¤ ç¥© ‹. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, § ¯¨è¥¬ ¤¢®©á⢥­­ãî § ¤ çã ¢ ¢¨¤¥ min

m X i=1

( bi)ui

( ATj )uT  cj ; j 2 J1 ; ( ATj )uT = cj ; j 2 J2 ;

ui  0; i 2 I1 ; ui

᢮¡.; i 2 I2 29

¨, à áᬠâਢ ï ¥¥ ª ª ¯àï¬ãî, ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬¨ ¢ëè¥ ¯à ¢¨« ¬¨ ¨ áä®à¬ã«¨à㥬 ¤¢®©á⢥­­ãî ª ­¥© § ¤ çã: max

n X

j =1

( cj )xj

xj  0; j 2 J1 ; xj ᢮¡.; j 2 J2 ; xT ( aTi )  bi; i 2 I1; xT ( aTi ) = bi; i 2 I2 :

¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯®«ã祭­ ï § ¤ ç  ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨á室­®© ¯àאַ© § ¤ ç¥©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ¢á¥ § ¤ ç¨ ‹ à §¡¨¢ îâáï ­  ¯ àë ¢§ ¨¬­® ¤¢®©á⢥­­ëå § ¤ ç. ˆ§ ¯à®áâëå, ­® ¤®áâ â®ç­® ¢ ¦­ëå ᢮©á⢠¢§ ¨¬­® ¤¢®©á⢥­­ëå § ¤ ç ®â¬¥â¨¬ á«¥¤ãî騥.

x

‘¢®©á⢮ 2.1

u

…᫨ ¨ { ¤®¯ãáâ¨¬ë¥ à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âá⢥­­® ¯àאַ© ¨ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨, â® .

w(x)  z(u)

‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥, ª®£¤  ¯àï¬ ï § ¤ ç  ¤ ­  ¢ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥, ¯à¨¢¥¤¥­­®¥ ¢ëè¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¨á¯®«ì§®¢ «®áì ä ªâ¨ç¥áª¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ®­® â ª¦¥ «¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï:

w(x) = cx  ‘¢®©á⢮ 2.2

n X

j =1

(uAj )xj =

x

u

i=1

ui(ai x)  ub = z(u):

| ¤®¯ãáâ¨¬ë¥ à¥è¥­¨ï ᮮ⢥â, â® ¨ á⢥­­® ¯àאַ© ¨ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨ ¨ { ®¯â¨¬ «ì­ë¥ à¥è¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç. …᫨

¨

m X

w(x) = z(u)

x u

ãáâì x { ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¤®¯ãá⨬®¥ à¥è¥­¨¥ ¯àאַ© § ¤ ç¨. ’®£¤ , ãç¨âë¢ ï ‘¢®©á⢮ 2.1, ¨¬¥¥¬ w(x) 

„®ª § â¥«ìá⢮.

30

z(u) = w(x), çâ® ¨ ®§­ ç ¥â ®¯â¨¬ «ì­®áâì x. €­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ®¯â¨¬ «ì­®áâì u. ”ã­¤ ¬¥­â «ì­ë© å à ªâ¥à ¨¬¥îâ ¤¢¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ­¨¦¥ â¥®à¥¬ë ¤¢®©á⢥­­®áâ¨. ’¥®à¥¬  2.2

(¥à¢ ï ⥮६  ¤¢®©á⢥­­®áâ¨.) àï¬ ï ¨ ¤¢®©á⢥­­ ï ª ­¥© § ¤ ç¨ «¨¡® ®¤­®¢à¥¬¥­­® à §à¥è¨¬ë, «¨¡® ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­¥à §à¥è¨¬ë. à¨ í⮬ ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ®¯â¨¬ «ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï 楫¥¢ëå ä㭪権 íâ¨å § ¤ ç ᮢ¯ ¤ îâ,   ¢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥, ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥, ®¤­  ¨§ § ¤ ç ­¥à §à¥è¨¬  ¢ ᨫ㠭¥á®¢¬¥áâ­®á⨠¥¥ ®£à ­¨ç¥­¨©.

¥§ ®à£ ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ¯àï¬ ï § ¤ ç  ¯à¥¤áâ ¢«¥­  ¢ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ (2.1){(2.3),   ¤¢®©á⢥­­ ï ª ­¥© ¨¬¥¥â ¢¨¤ („). ãáâì § ¤ ç  (2.1){(2.3) à §à¥è¨¬  ¨ B { ¥¥ ¯àאַ ¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãáâ¨¬ë© ¡ §¨á, áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ª®â®à®£® £ à ­â¨àã¥âáï “â¢¥à¦¤¥­¨¥¬ 5. ‘®£« á­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¯àאַ© ¨ ¤¢®©á⢥­­®© ¤®¯ãá⨬®á⨠¨¬¥îâ ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢠ B 1 b  0 ¨ cN cB B 1 N  0. ¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å ­¥à ¢¥­áâ¢, ª ª ¨§¢¥áâ­®, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ® ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ x á ª®¬¯®­¥­â ¬¨ xB = B 1 b; xN = 0 ï¥âáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (2.1){(2.3). ˆ§ ¢â®à®£® ­¥à ¢¥­á⢠ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢¥ªâ®à u = cB B 1 ï¥âáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨ („), ¯®áª®«ìªã uB = cB ; cN uN  0 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, uA  c. „«ï 㪠§ ­­ëå ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© x ¨ u ᮮ⢥âá⢥­­® ¯àאַ© ¨ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® à ¢¥­á⢠ „®ª § â¥«ìá⢮.

w(x) = cB xB = cB B 1 b = ub = z(u); ç⮠ᮣ« á­® ‘¢®©áâ¢ã 2.2 ®§­ ç ¥â ®¯â¨¬ «ì­®áâì íâ¨å à¥è¥­¨©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥¤¯®«®¦¨¢ à §à¥è¨¬®áâì ¯àאַ© § ¤ ç¨, ¬ë ¤®ª § «¨ à §à¥è¨¬®áâì ¤¢®©á⢥­­®© ª ­¥© § ¤ ç¨ ¨ ᮢ¯ ¤¥­¨¥ ®¯â¨¬ «ì­ëå §­ ç¥­¨© 楫¥¢ëå ä㭪権 íâ¨å § ¤ ç. ‚ ¢¨¤ã ᨬ¬¥âà¨ç­®á⨠á¨âã æ¨¨ ¨§ à §à¥è¨¬®á⨠¤¢®©á⢥­­®© § ¤ 31

ç¨  ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ á«¥¤ã¥â à §à¥è¨¬®áâì ¯àאַ© § ¤ ç¨ ¨ ᮢ¯ ¤¥­¨¥ ®¯â¨¬ «ì­ëå §­ ç¥­¨© 楫¥¢ëå ä㭪権. „«ï § ¢¥à襭¨ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ â¥®à¥¬ë ®áâ ¥âáï «¨èì ¯®ª § âì, çâ® § ¤ ç¨ à §à¥è¨¬ë, ¥á«¨ ¨å ®£à ­¨ç¥­¨ï ᮢ¬¥áâ­ë. ®á«¥¤­¥¥ «¥£ª® á«¥¤ã¥â ¨§ ‘¢®©á⢠ 2.1 ¨ ªà¨â¥à¨ï à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ ‹. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì u | ­¥ª®â®à®¥ ¤®¯ãá⨬®¥ à¥è¥­¨¥ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨ („). ’®£¤  ¯® ‘¢®©áâ¢ã 2.1 ¤«ï «î¡®£® ¤®¯ãá⨬®£® à¥è¥­¨ï x § ¤ ç¨ (2.1){(2.3) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮ w(x)  z (u), â.¥. 楫¥¢ ï äã­ªæ¨ï ¯àאַ© § ¤ ç¨ ®£à ­¨ç¥­  á­¨§ã ­  (­¥¯ãá⮬) ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©, ç⮠ᮣ« á­® ’¥®à¥¬¥ 2.1 ¢«¥ç¥â à §à¥è¨¬®áâì § ¤ ç¨ (2.1){(2.3). ˆ§ í⮣® ¤ «¥¥ á«¥¤ã¥â à §à¥è¨¬®áâì ¨ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨. ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ‚ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ á«¥¤ãî饩 â¥®à¥¬ë ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¯àï¬ ï ¨ ¤¢®©á⢥­­ ï § ¤ ç¨ § ¤ ­ë ¢ ®¡é¥© ä®à¬¥. ’¥®à¥¬  2.3 (‚â®à ï ⥮६  ¤¢®©á⢥­­®á⨠¨«¨ ⥮६  ®

x u

¤®¯®«­ïî饩 ­¥¦¥á⪮áâ¨). „®¯ãáâ¨¬ë¥ à¥è¥­¨ï ¨ ᮮ⢥âá⢥­­® ¯àאַ© ¨ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨ ®¯â¨¬ «ì­ë ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 

ui(aix bi ) = 0

¤«ï ¢á¥å

i;

(2.9)

(cj uAj )xj = 0 ¤«ï ¢á¥å j: (2.10) „®ª § â¥«ìá⢮. ‚¢¥¤¥¬ ®¡®§­ ç¥­¨ï i = ui (aix bi ); j = (cj uAj )xj ¨ § ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ ¤®¯ãá⨬®á⨠à¥è¥­¨© x ¨ u á«¥¤ã¥â ­¥à ¢¥­á⢮ i  0 ¤«ï ¢á¥å i ¨ j  0 ¤«ï ¢á¥å j . Žâá ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì á«¥¤ã¥â, çâ® à ¢¥­á⢮

X i

i +

X j

j = 0

¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¢ë¯®«­ïîâáï à ¢¥­á⢠ (2.9) ¨ (2.10). ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, cx ub = 0 ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, 32

¥á«¨ x ¨ u { ®¯â¨¬ «ì­ë¥ à¥è¥­¨ï § ¤ ç.  ª®­¥æ, çâ®¡ë § ¢¥àè¨âì ¤®ª § â¥«ìá⢮, ª ᪠§ ­­®¬ã ¤®áâ â®ç­® ¤®¡ ¢¨âì, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ X X i + j = cx ub; i

j

¯à®¢¥à塞®¥ ­¥¯®á।á⢥­­®. ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ®«¥§­ë¬ (¨ ¢¯®«­¥ ®ç¥¢¨¤­ë¬) á«¥¤á⢨¥¬ ¯®á«¥¤­¥© ⥮६ë ï¥âáï, ­ ¯à¨¬¥à, á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥­¨¥. …᫨ ­¥ª®â®à ï ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï ¯àאַ© (ᮮ⢥âá⢥­­®, ¤¢®©á⢥­­®©) § ¤ ç¨ ¯à¨­¨¬ ¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ §­ ç¥­¨¥ ¢ ª ª®¬­¨¡ã¤ì ®¯â¨¬ «ì­®¬ à¥è¥­¨¨ ¤ ­­®© § ¤ ç¨, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®£à ­¨ç¥­¨¥-­¥à ¢¥­á⢮ ¤¢®©á⢥­­®© (ᮮ⢥âá⢥­­®, ¯àאַ©) § ¤ ç¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ à ¢¥­á⢠ ¤«ï «î¡®£® ®¯â¨¬ «ì­®£® à¥è¥­¨ï í⮩ § ¤ ç¨. ‚®§¢à é ïáì ª ¯¥à¢®© ⥮६¥ ¤¢®©á⢥­­®á⨠¨ ¥¥ ¤®ª § â¥«ìáâ¢ã, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ®, à¥è ï § ¤ çã (2.1){(2.3) ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤®¬, ¬ë ®¤­®¢à¥¬¥­­® á ¥¥ ®¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ ¯®«ãç ¥¬ â ª¦¥ ¨ ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨ („) ¨«¨ ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥¬ ­¥à §à¥è¨¬®áâì ®¡¥¨å § ¤ ç. â® ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ¤à㣮© ¬¥â®¤ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ‹,   ¨¬¥­­®, ¤¢®©á⢥­­ë© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤. ‚ á¢ï§¨ á í⨬ ¨á室­ë© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì ¯àï¬ë¬. 2.11 „¢®©á⢥­­ë© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤

‚ ¯à¨¢¥¤¥­­®¬ ­¨¦¥ ®¯¨á ­¨¨  «£®à¨â¬  í⮣® ¬¥â®¤  ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï â  ¦¥ á ¬ ï ä®à¬  ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ¨ â® ¦¥ á ¬®¥ ¥¥ í«¥¬¥­â à­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥. ®¤  (i); i = 1; : : :; m; ª ª ¨ ¯à¥¦¤¥, ¯®­¨¬ ¥âáï ­ ¡®à ­®¬¥à®¢ ¡ §¨á­ëå á⮫¡æ®¢ (¯¥à¥¬¥­­ëå). 0)  ç âì á ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. 1) …᫨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ , â.¥. zi0  0; i = 1; : : :; m, â® ŠŽ…– (¯®«ã祭® ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥). 33

2) ‚ë¡à âì ¢¥¤ãéãî áâபã r : zr0 < 0; r  1. 3) …᫨ fj j zrj < 0; j  1g 6= ;; â® ¢ë¡à âì ¢¥¤ã騩 á⮫¡¥æ s:

(

)

z0j z0s jzrsj = min jzrj j j zrj < 0; j  1 ; ¨­ ç¥ ŠŽ…– (§ ¤ ç  ­¥à §à¥è¨¬ ). 4) à¥®¡à §®¢ âì ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã, ¯®«®¦¨âì  (r) := s ¨ ¯¥à¥©â¨ ­  è £ 1. ‡ ¬¥ç ­¨ï.

1. „®ª § â¥«ìá⢮ ⮣®, çâ® ¤¢®©á⢥­­ ï ¤®¯ãá⨬®áâì ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ¢ १ã«ìâ â¥ ¥¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ­  è £¥ 4 á®åà ­ï¥âáï, ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¯®«­¥­®  ­ «®£¨ç­® ⮬ã, ª ª ¯à®¢®¤¨«®áì à ­¥¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ á®åà ­¥­¨ï ¯àאַ© ¤®¯ãá⨬®á⨠¢ á«ãç ¥ ¯àאַ£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¢ ¯àאַ¬ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤¥ ¨¤¥â 楫¥­ ¯à ¢«¥­­ë© ¯¥à¥¡®à ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ëå ¡ §¨á®¢, â® ¢ ¤¢®©á⢥­­®¬ ᨬ«¥ªá-¬¥â®¤¥ | ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬ëå ¡ §¨á®¢. –¥«ì ¢ ®¡®¨å á«ãç ïå ®¤­  ¨ â  ¦¥ | ­ ©â¨ ¯àאַ ¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãáâ¨¬ë© ¡ §¨á. 2. …᫨ ­  è £¥ 3 ¨¬¥¥¬ zrj  0; j = 1; : : :; n; â® íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® § ¤ ç  ­¥à §à¥è¨¬  ¢¢¨¤ã ­¥á®¢¬¥áâ­®á⨠®£à ­¨ç¥­¨©. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, r-© áâப¥ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ãà ¢­¥­¨¥ á¨á⥬ë (2:200) n X zrj xj = zr0; j =1

¨§ ª®â®à®£® ¯à¨ x  0 á«¥¤ã¥â zr0  0. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ᮣ« á­® ¯à ¢¨«ã ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饩 áâப¨ zr0 < 0: â¨ ¤¢  ¯à®â¨¢®à¥ç é¨å ¤àã£ã ­¥à ¢¥­á⢠ ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ãîâ ®¡ ®âáãâá⢨¨ ã á¨á⥬ë (2:200) ­¥®âà¨æ â¥«ì­ëå à¥è¥­¨©, â.¥. ® ­¥á®¢¬¥áâ­®á⨠®£à ­¨ç¥­¨© § ¤ ç¨ (2.1){(2.3). 3. ® ¯®¢®¤ã ¢ë¯®«­¥­¨ï è £  0 ¬ë ­¥ ¡ã¤¥¬ ¯à¨¢®¤¨âì ®¡é¨å à¥æ¥¯â®¢,   ®£à ­¨ç¨¬áï 㪠§ ­¨¥¬ ­  àï¤ á«ãç ¥¢, ª®£¤  34

¢®¯à®á ® ­ å®¦¤¥­¨¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®£® ¡ §¨á  à¥è ¥âáï ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ®.  ) à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® âॡã¥âáï à¥è¨âì § ¤ ç㠋 minfcx j Ax  b; x  0g á ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ c. ‘ ¯®¬®éìî ¢¢¥¤¥­¨ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå y = (y1 ; : : :; ym)T § ¤ ç  ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥®¡à §®¢ ­  ¢ ª ­®­¨ç¥áªãî ä®à¬ã minfcx j Ax + y = b; x  0; y  0g: Žç¥¢¨¤­®, ¡ §¨á, ®¡à §®¢ ­­ë© ¯®á«¥¤­¨¬¨ m á⮫¡æ ¬¨ ¬ âà¨æë [A; I ] á¨áâ¥¬ë ®£à ­¨ç¥­¨© ­®¢®© § ¤ ç¨, ï¥âáï ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ¨ ¨â¥à æ¨¨ ¤¢®©á⢥­­®£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤  ¬®¦­® ­ ç¨­ âì á ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë " # 0 c 0 :

b A I

¡) Œ®¦¥â á«®¦¨âìáï â ª ï á¨âã æ¨ï, ª®£¤  ¯®á«¥ ¯®«ã祭¨ï ®¯â¨¬ «ì­®£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ (2.1){(2.3) ¨ ᮮ⢥âá¢ãî饣® ¯àאַ ¨ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®£® ¡ §¨á  B ¬ë å®â¥«¨ ¡ë ¯®«ãç¨âì ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ á ¨§¬¥­¥­­ë¬¨ ¯à ¢ë¬¨ ç áâﬨ b0 á¨áâ¥¬ë ®£à ­¨ç¥­¨© (2.2). ¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ¤«ï ¨§¬¥­¥­­®© § ¤ ç¨ ¡ §¨á B ï¥âáï â ª¦¥ ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­ ¢ ª ç¥á⢥ ­ ç «ì­®£® ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¤¢®©á⢥­­ë¬ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤®¬. ¢) à¨¥¬, ¨á¯®«ì§®¢ ­­ë© ¢ á«ãç ¥  ) ¤«ï ¯®«ã祭¨ï ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, ¬®¦¥â ¡ëâì à á¯à®áâà ­¥­ ­  á¨âã æ¨¨, ª®£¤  ª ®£à ­¨ç¥­¨ï¬ § ¤ ç¨ ‹, ¤«ï ª®â®à®© ¨§¢¥áâ­  ­¥ª®â®à ï ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬ ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ , ¤®¡ ¢«ïîâáï ­®¢ë¥ ®£à ­¨ç¥­¨ï. â  ¢®§¬®¦­®áâì ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç 楫®ç¨á«¥­­®£® «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ¬¥â®¤ ¬¨ ®âá¥ç¥­¨ï (® 祬 ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® à¥çì ¡ã¤¥â ¨¤â¨ ¯®§¦¥). 4. ® ¯®¢®¤ã ª®­¥ç­®á⨠¤¢®©á⢥­­®£® ᨬ¯«¥ªá- «£®à¨â¬  ¬®£ãâ ¡ëâì, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯®¢â®à¥­ë á ¥áâ¥á⢥­­ë¬¨ ¯®¯à ¢ª ¬¨ ¢á¥ ¢ë᪠§ë¢ ­¨ï, ᤥ« ­­ë¥ à ­¥¥ ¯® ¢®¯à®áã ® ª®­¥ç­®á⨠¯àאַ£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ . ‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ ¤¢®©á⢥­­ ï § ¤ ç  („) ­¥¢ë஦¤¥­­ , â®  «£®à¨â¬ ª®­¥ç¥­ ¯à¨ «î¡®¬ ãâ®ç­¥­¨¨ 35

¯à ¢¨« ¢ë¡®à  ¢¥¤ã饣® í«¥¬¥­â . Žâ¬¥â¨¬ ¯à¨ í⮬, çâ® ¢ á«ãç ¥ ­¥¢ë஦¤¥­­®© § ¤ ç¨ („) ¢ ª ¦¤®© ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ¥ í«¥¬¥­âë z0j ¤«ï ­®¬¥à®¢ j ­¥¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¤®«¦­ë ¡ëâì ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬¨, â.¥. jfj j z0j > 0; j  1gj = n m. ‚ á«ãç ¥ ¢ë஦¤¥­­®© § ¤ ç¨ ª®­¥ç­®áâì ¤¢®©á⢥­­®£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤  ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡¥á¯¥ç¥­  §  áç¥â ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï â¥å ¦¥ ᯮᮡ®¢, çâ® ¨ ¢ á«ãç ¥ ¯àאַ£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, §  áç¥â ­¥ª®â®à®£®  ­ «®£  ¯à ¢¨«  «í­¤  ¨«¨ §  áç¥â «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®© ¯à®æ¥¤ãàë.

36

 §¤¥« 3. ‡ ¤ ç¨ ­¥«¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï

‚ ¤ ­­®¬ à §¤¥«¥ à áᬠâਢ îâáï § ¤ ç¨ ¯®¨áª  íªáâ६㬠 ¯à®¨§¢®«ì­®© ä㭪樨 ­  ¬­®¦¥á⢥ â®ç¥ª, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å á¨á⥬¥ ®£à ­¨ç¥­¨©, ¢á¥ ¨«¨ ç áâì ¨§ ª®â®àëå § ¤ îâáï ­¥«¨­¥©­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨. ã¤ãâ ¯®«ãç¥­ë ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï «®ª «ì­®£® íªáâ६㬠, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï á«¥¤á⢨¥¬ ®¡é¥© ⥮ਨ «®ª «ì­ëå íªáâ६㬮¢. „«ï § ¤ ç ¢ë¯ãª«®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ¡ã¤ãâ ¤®ª § ­ë ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï £«®¡ «ì­®£® íªáâ६㬠. ’¥®à¨ï «®ª «ì­ëå íªáâ६㬮¢ ¯à¨¬¥­¨¬  ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ®¯â¨¬¨§ æ¨®­­ëå § ¤ ç ª ª ¢ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥, â ª ¨ ¤«ï § ¤ ç ¯®¨áª  íªáâ६㬠 ¢ ä㭪樮­ «ì­ëå ¯à®áâà ­á⢠å. Œë ®£à ­¨ç¨¬áï ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬¨ § ¤ ç ¬¨. “á«®¢¨ï íªáâ६㬠 ¤«ï § ¤ ç á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ¡ã¤ãâ ¯®«ã祭ë á ¯®¬®éìî â¥®à¥¬ë „ã¡®¢¨æª®£®-Œ¨«î⨭ , ¤«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ª®â®à®© ¯®­ ¤®¡ïâáï í«¥¬¥­â à­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¨§ ⥮ਨ ¢ë¯ãª«ëå ¬­®¦¥áâ¢. Šà âª®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ í⮩ ⥮ਨ ¤ ­® ¢ ¯¥à¢ëå ¯ à £à ä å ­ áâ®ï饣® à §¤¥« . 3.1 ’¥®à¥¬ë ®â¤¥«¨¬®áâ¨

‚ ⥮ਨ íªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî à®«ì ¨£à îâ â¥®à¥¬ë ®â¤¥«¨¬®áâ¨. Žá­®¢­®¥ ᮤ¥à¦ ­¨¥ íâ¨å ⥮६ ᢮¤¨âáï ª ⮬ã, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¢ë¯ãª«ëå ¬­®¦¥á⢠X ¨ Y ã⢥ত ¥âáï áãé¥á⢮¢ ­¨¥ £¨¯¥à¯«®áª®áâ¨, â ª®©, çâ® ¬­®¦¥á⢮ X ­ å®¤¨âáï ¢ ®¤­®¬ ¨§ ¯®«ã¯à®áâà ­áâ¢, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå í⮩ £¨¯¥à¯«®áª®áâìî,   ¬­®¦¥á⢮ Y | ¢ ¤à㣮¬. ‚ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® ¤ ­­ ï £¨¯¥à¯«®áª®áâì ®â¤¥«ï¥â í⨠¬­®¦¥á⢠ ¤à㣠®â ¤à㣠.

X { ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮, x0 62 X: ’®£¤   > 0 ¨ ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à a 2 Rn â ª¨¥, çâ® ha; xi  ha; x0i  (3.1)

’¥®à¥¬  3.1 ãáâì áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á«®

¤«ï ¢á¥å

x ¨§ X: 37

„®ª § â¥«ìá⢮.

ᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮

‚®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî â®çªã x0 2 X ¨ à á-

X 0 = X \ fx 2 Rn j kx x0 k  kx0 x0kg: â® ¬­®¦¥á⢮ ­¥¯ãáâ® (â ª ª ª ®­® ᮤ¥à¦¨â x0), § ¬ª­ãâ® ¨ ®£à ­¨ç¥­®. ®í⮬㠭¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï f (x) = kx x0 k ¤®á⨣ ¥â ­  ­¥¬ ᢮¥£® ¬¨­¨¬ã¬ . „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, áãé¥áâ¢ã¥â â®çª  z 2 X 0  X â ª ï, çâ® ¨§ ãá«®¢¨ï x 2 X 0 á«¥¤ã¥â

kx x k  kz x k: 0

0

®­ïâ­®, çâ® íâ® ­¥à ¢¥­á⢮ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«ï â®ç¥ª x ¨§ ¬­®¦¥á⢠ X n X 0, â ª ª ª ¤«ï ­¨å ¯® ¯®áâ஥­¨î ¬­®¦¥á⢠ X 0 ¨¬¥¥¬

kx x k > kx0 x k  kz x k: ãáâì x { ­¥ª®â®à ï â®çª  ¨§ ¬­®¦¥á⢠ X . ’®£¤  ¯à¨ «î¡®¬  2 [0; 1] â®çª  y = x + (1 )z ¯à¨­ ¤«¥¦¨â X ¨, ª ª ¬ë 0

0

0

ãáâ ­®¢¨«¨ ¢ëè¥,

ky x k  kz x k : 0

2

0

2

â® ­¥à ¢¥­á⢮ ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì â ª:

kz x k  k(x z) + z x k = =  kx z k + 2hx z; z x i + kz x k : ’®£¤  ¤«ï «î¡®£®  2 [0; 1] á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥  kx zk + 2hx z; z x i  0: â® ¢®§¬®¦­® «¨èì, ¥á«¨ hx z; z x i  0: ®«®¦¨¬ a = x z (à¨á. 1) ¨  = kak : ® ãá«®¢¨î x 62 X; ¯®í⮬ã a = 6 0: ’ ª ª ª ha; x zi  0; â® ha; xi + ha; x zi ha; x i  0 ¨ ha; xi  ha; x i : 0

2

2

0

2

2

0

2

0

2

0

0

2

’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ .

2

0

0

0

0

38

0

¨á. 1. ’®çª  x0 ᨫ쭮 ®â¤¥«¥­  ®â ¬­®¦¥á⢠ X “áâ ­®¢«¥­­ë© 䠪⠭ §ë¢ îâ ᨫ쭮© ®â¤¥«¨¬®áâìî ¢ë¯ãª«®£® ¬­®¦¥á⢠ X ®â ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¥© ¥£® § ¬ëª ­¨î â®çª¨ x0: ’¥à¬¨­ ®â¤¥«¨¬®áâì ®âà ¦ ¥â £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî áãâì ­¥à ¢¥­á⢠ (3.1), ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬®¦­® â ª ¯à®¢¥á⨠£¨¯¥à¯«®áª®áâì, çâ® â®çª  x0 ¨ ¬­®¦¥á⢮ X ®ª ¦ãâáï «¥¦ é¨¬¨ ¯® à §­ë¥ áâ®à®­ë ®â ­¥¥. € á¨«ì­ ï ®â¤¥«¨¬®áâì ®§­ ç ¥â, çâ® à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ¬­®¦¥á⢠ X ¨ â®çª®© x0 ¡®«ìè¥ ­¥ª®â®à®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« . …᫨ â®çª  x0 ­ å®¤¨âáï ­  £à ­¨æ¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬­®¦¥á⢠ X; â® ¥¥ ­¥«ì§ï ᨫ쭮 ®â¤¥«¨âì ®â X: ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¬®¦­® ¯®áâநâì £¨¯¥à¯«®áª®áâì, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ x0 â ª, çâ® ¢á¥ ¬­®¦¥á⢮ X ®ª ¦¥âáï ¯® ®¤­ã áâ®à®­ã ®â 㪠§ ­­®© £¨¯¥à¯«®áª®áâ¨. â® ã⢥ত¥­¨¥ ®á­®¢ë¢ ¥âáï ­  ⮬, çâ® ¤«ï ¢ë¯ãª«®£® ¬­®¦¥á⢠ X á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ intX = intX . ‚ ᨫã í⮣®, ¥á«¨ â®çª  x0 | £à ­¨ç­ ï ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ X , â® x0 ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢­ãâ७­¥© â®çª®© ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ X . ’¥®à¥¬  3.2 ãáâì

X

x0 62 X: ’®£¤  ha; xi  ha; x0i

{ ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮, n â ª®©, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¤«ï ¢á¥å

x 2 X:

a2R

„®ª § â¥«ìá⢮. ®ª ¦¥¬ á­ ç « , çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢ë¯ãª«®£® ¬­®¦¥á⢠ X ¢¥à­® ¢ª«î祭¨¥: intX  X . ãáâì z 2 intX . ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ᨬ¯«¥ªá, ¢­ãâਠª®â®à®£® ­ å®¤¨âáï â®çª  z;

39

  ¢¥à設ë ᨬ¯«¥ªá  a1 ; : : :; an+1 ¯à¨­ ¤«¥¦ â ¬­®¦¥áâ¢ã intX . ‚¢¨¤ã ­¥¯à¥à뢭®á⨠à ááâ®ï­¨© ®â â®çª¨ z ¤® £à ­¥© ᨬ¯«¥ªá , ª ª ä㭪権 ª®®à¤¨­ â ¥£® ¢¥à設, ­ ©¤¥âáï " > 0; â ª®¥, çâ® ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯®«®¦¥­¨ï ¢¥à設 ¢ ¯à¥¤¥« å ®ªà¥áâ­®á⥩ B (ak ; ") ­¥ ¯à¨¢®¤¨â ª "¢ë室ã"â®çª¨ z §  ¯à¥¤¥«ë "ᬥ饭­®£®"ᨬ¯«¥ªá . ‚ ª ¦¤®© ¨§ 㪠§ ­­ëå ®ªà¥áâ­®á⥩ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¡à ­  â®çª  bk ; ¯à¨­ ¤«¥¦ é ï ¬­®¦¥áâ¢ã X; ¯®áª®«ìªã ak 2 X: ‚ ᨫ㠢ë¯ãª«®áâ¨, ¬­®¦¥á⢮ X ᮤ¥à¦¨â ¢¥áì ᨬ¯«¥ªá á ¢¥à設 ¬¨ ¢ â®çª å bk ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, â®çªã z: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¯®ª § «¨, çâ® intX  X . ® ãá«®¢¨î x0 62 X: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, x0 62 intX ¨ ª ¦¤ ï ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ x0 ᮤ¥à¦¨â â®çª¨, ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨¥ ¬­®¦¥áâ¢ã X . ®í⮬㠭 ©¤¥âáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì â®ç¥ª fxk g â ª ï, çâ® xk ! x0 ¨ xk 62 X: ˆ§ ⥮६ë 1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® k ­ ©¤¥âáï ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ak â ª®©, çâ® hak ; xi < hak ; xk i ¤«ï «î¡®£® x 2 X: ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ¤«ï ¢á¥å k á¯à ¢¥¤«¨¢® kak k = 1: ˆ§ â¥®à¥¬ë ‚¥©¥àèâà áá  á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fakl g, á室ïé ïáï ª ­¥ª®â®à®¬ã ¢¥ªâ®àã a; kak = 1: ’ ª ª ª hakl ; xi < hakl ; xkl i ¯à¨ ¢á¥å x 2 X; â® ¯à¨ l ! 1 ¢ ¯à¥¤¥«¥ ¯®«ã稬 ha; xi  ha; x0i ¤«ï ¢á¥å x 2 X: ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ’¥®à¥¬  3.3 ãáâì

X

Y

¨ { ¢ë¯ãª«ë¥ ¬­®¦¥á⢠, ­¥ ¨¬¥în 騥 ®¡é¨å â®ç¥ª. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à

â ª®©, çâ®

ha; xi  ha; yi ¤«ï ¢á¥å x 2 X ¨ y 2 Y:

a2R

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ Z = X Y â®ç¥ª ¢¨¤  z = x y; £¤¥ x 2 X ¨ y 2 Y: ‹¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® ®­® ¢ë¯ãª«®. ® ãá«®¢¨î ⥮६ë ã ¬­®¦¥á⢠X ¨ Y ­¥â ®¡é¨å â®ç¥ª. â® §­ ç¨â, çâ® ¬­®¦¥á⢮ Z ­¥ ᮤ¥à¦¨â â®çª¨ 0. ®í⮬㠢 ᨫã ⥮६ë 3.2 â®çªã 0 ¬®¦­® ®â¤¥«¨âì ®â ¬­®¦¥á⢠ Z , â® ¥áâì ­ ©¤¥âáï ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à a â ª®©, çâ®

„®ª § â¥«ìá⢮.

ha; zi  ha; 0i = 0 ¤«ï ¢á¥å z 2 Z: 40

ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠ Z ¯®«ãç ¥¬ ha; xi  ha; yi ¤«ï ¢á¥å x 2 X ¨ y 2 Y: ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ’¥®à¥¬  3.4 ãáâì

X; Y

{ ¢ë¯ãª«ë¥ § ¬ª­ãâë¥ ¬­®¦¥á⢠,

X

¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ ª®â®àëå ¯ãáâ®,¨ ¬­®¦¥á⢮ ®£à ­¨ç¥­®. ’®£¤  n â ª¨¥, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á«® ¨ ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à

>0 ha; xi  ha; yi  ¤«ï ¢á¥å x 2 X ¨ y 2 Y:

a2R

Š ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥, à áᬮâਬ ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮ Z = X Y: ®ª ¦¥¬, çâ® ®­® § ¬ª­ãâ®. „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì z k = xk y k ! z0 ¯à¨ k ! 1; £¤¥ xk 2 X; y k 2 Y: “¡¥¤¨¬áï, çâ® z0 2 Z: ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ X { ª®¬¯ ªâ, â® ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® xk ! x0 ¯à¨ k ! 1; ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, y k ! y0 = x0 z0 ¯à¨ k ! 1: Žâá, ¯®áª®«ìªã ¬­®¦¥á⢠ X ¨ Y § ¬ª­ãâë ¨ â®çª  x0 ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¯¥à¢®¬ã,   y0 { ¢â®à®¬ã ¨§ ­¨å, á«¥¤ã¥â, çâ® z0 ¯à¨­ ¤«¥¦¨â Z: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬­®¦¥á⢮ Z ᮤ¥à¦¨â ᢮¨ ¯à¥¤¥«ì­ë¥ â®çª¨, â® ¥áâì ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬. ®áª®«ìªã ¬­®¦¥á⢠ X ¨ Y ­¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å â®ç¥ª, â® ¢ë¯ãª«®¥ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ Z ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­ã«ï. ’®£¤  ¯® ⥮६¥ 3.1

„®ª § â¥«ìá⢮.

¨á. 2. Œ­®¦¥á⢠ X ¨ Y ᨫ쭮 ®â¤¥«¥­ë ¤à㣠®â ¤à㣠 41

­ ©¤ãâáï ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à a ¨ ç¨á«®  > 0 â ª¨¥, çâ®

ha; zi  ha; 0i  =  ¤«ï «î¡®£® z 2 Z ¨«¨ ha; xi  ha; y i  ¤«ï ¢á¥å x 2 X ¨ y 2 Y

(à¨á. 2). ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ .

‘«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à (à¨á. 3) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¥á«¨ ¬­®¦¥á⢠

X ¨ Y ­¥®£à ­¨ç¥­ë, ⮠ᨫ쭮 ®â¤¥«ïî饩 £¨¯¥à¯«®áª®á⨠¬®¦¥â ­¥ áãé¥á⢮¢ âì,   ¬­®¦¥á⢮ Z = X Y ¬®¦¥â ®ª § âìáï ®âªàëâë¬. ãáâì X = fx 2 R2 j x2  1=x1; x1 > 0g; Y = fx 2 R2 j x2 = 0g. ‚ í⮬ á«ãç ¥ Z = fx 2 R2 j x2 > 0g ¨ âॡ㥬 ï £¨¯¥à¯«®áª®áâì ®âáãâáâ¢ã¥â.

¨á. 3. Š®­âà¯à¨¬¥à 3.2 ‚ë¯ãª«ë¥ ª®­ãáë

Žá®¡ãî à®«ì ¢ ⥮ਨ íªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®£à ­¨ç¥­¨© ¨£à îâ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬­®¦¥á⢠ ᯥ樠«ì­®£® ¢¨¤  | ¢ë¯ãª«ë¥ ª®­ãáë. ¨¦¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨ ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠ ¢ë¯ãª«ëå ª®­ãᮢ. 42

K; ᮤ¥àx ¢á¥ â®çª¨ x ¯à¨  > 0:

Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.1 Š®­ãᮬ ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¦ é¥¥ ¢¬¥áâ¥ á «î¡®© ᢮¥© â®çª®©

…᫨ â ª®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¢ë¯ãª«®, ¥£® ­ §ë¢ îâ ¢ë¯ãª«ë¬ ª®­ãᮬ, ¥á«¨ § ¬ª­ãâ® { § ¬ª­ãâë¬ ª®­ãᮬ. ¥à¥á¥ç¥­¨¥ ª®­ãᮢ ï¥âáï ª®­ãᮬ. ‚ᥠ¯à®áâà ­á⢮ Rn , ª ª ¨ «î¡®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮, ï¥âáï ª®­ãᮬ. Žç¥¢¨¤­®, çâ® ª®­ãá ¬¨ ïîâáï ¬­®¦¥á⢠ fx 2 Rn j Ax  0g ¨ fy 2 Rn j y = Ax; x  0g: ‚ᥠí⨠ª®­ãáë ïîâáï ¢ë¯ãª«ë¬¨ ¨ § ¬ª­ãâ묨 ¬­®¦¥á⢠¬¨.

K  = fa 2 Rn j ha; xi  0; 8x 2 K g ­ §®¢¥¬ ᮯà殮­­ë¬ ª ¬­®¦¥áâ¢ã K . Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.2 Œ­®¦¥á⢮

¨á. 4. ‘®¯à殮­­ë¥ ª®­ãáë ‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¬­®¦¥á⢮ K  ï¥âáï ª®­ãᮬ ¤«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠ K . ®í⮬㠢 ¤ «ì­¥©è¥¬ K  ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ᮯà殮­­ë¬ ª®­ãᮬ. Žç¥¢¨¤­®, çâ® ª®­ãá K  ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, ®¡« ¤ ¥â í⨬ ᢮©á⢮¬ ¨á室­ë¥ ¬­®¦¥á⢮ ¨«¨ ­¥â (à¨á. 4). 43

‹¥¬¬  3.1 ãáâì âë© ª®­ãá.

„®ª § â¥«ìá⢮.

K

¯à®¨§¢®«ì­ë© ª®­ãá. ’®£¤ 

K  { § ¬ª­ã-

 áᬮâਬ á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì

2 K : ãáâì ¢¥ªâ®à a ï¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨. ’®£¤  ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠hak ; xi  0 ¯à¨ «î¡ëå k ¨ x 2 K

fak g; ak

¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠᪠«ïà­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï á«¥¤ã¥â ­¥à ¢¥­á⢮ ha; xi  0 ¯à¨ x 2 K: ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ .

‹¥¬¬  3.2 ãáâì

K ¯à®¨§¢®«ì­ë© ª®­ãá.

’®£¤ 

K  = (K) :

‚ª«î祭¨¥ (K )  K  ­¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᮯà殮­­®£® ª®­ãá . Ž¡à â­®¥ ¢ª«î祭¨¥ K   (K ); ª ª ¨ ¢ «¥¬¬¥ 3.1, á«¥¤ã¥â ¨§ ­¥¯à¥à뢭®á⨠᪠«ïà­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . „®ª § â¥«ìá⢮.

K ¯à®¨§¢®«ì­ë© ª®­ãá. …᫨ ¤«ï «î¡®£® x 2 K ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮ ha; xi  const; â® a 2 K : ‹¥¬¬  3.3 ãáâì

à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® a 62 K : ’®£¤  ¤«ï ­¥ª®â®à®£® x0 2 K ¤®«¦­® ¢ë¯®«­ïâìáï ­¥à ¢¥­á⢮ ha; x0i < 0. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®­ãá  ¯®«ãç ¥¬, çâ® ha; x0i < 0 ¤«ï «î¡®£®  > 0 ¨ ha; x0i ! 1 ¯à¨  ! +1: ®áª®«ìªã ¯® ãá«®¢¨î «¥¬¬ë ha; xi  const ¤«ï ¢á¥å x 2 K; â® ¯®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ .

„®ª § â¥«ìá⢮.

‹¥¬¬  3.4 ãáâì

K:

„®ª § â¥«ìá⢮.

K ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢ë¯ãª«ë© ª®­ãá. ’®£¤  K  = ‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® «î¡ ï â®çª  ¨§ K

¯à¨­ ¤«¥¦¨â K . „¥©á⢨⥫쭮, ¢®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî â®çªã x ¨§ K . ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ᮯà殮­­®£® ª®­ãá  (K ) ¤«ï «î¡®© â®çª¨ a 2 (K ) á¯à ¢¥¤«¨¢® ha; xi  0. ® íâ® ¨ ®§­ ç ¥â, çâ® x  ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ª®­ãᥠK : Žâá ¨ «¥¬¬ë 3.2 ¢ë⥪ ¥â, çâ® x 44

¯à¨­ ¤«¥¦¨â K : ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ­¨ª ª¨å ¨­ëå â®ç¥ª, ªà®¬¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å K , ª®­ãá K  ᮤ¥à¦ âì ­¥ ¬®¦¥â. „®¯ãá⨬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â x0 2 K  n K: ®áª®«ìªã ¬­®¦¥á⢮ K ¢ë¯ãª«® ¨ § ¬ª­ãâ®, â® ¯® ⥮६¥ 3.1 ­ ©¤ãâáï ¢¥ªâ®à a 6= 0 ¨ ç¨á«®  > 0 â ª¨¥, çâ® ha; xi  ha; x0i  ¯à¨ «î¡ëå x 2 K: ’®£¤  ¤«ï ¢¥ªâ®à  a = a ¯®«ã稬 ha; xi  const ¤«ï x 2 K: Žâá, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 3.3, ¢ë⥪ ¥â a 2 K = K : ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¤«ï x0 ª ª â®çª¨ ª®­ãá  K  ¤®«¦­® ¢ë¯®«­ïâáï ­¥à ¢¥­á⢮ ha; x0i  0. ’ ª ª ª ª®­ãá K § ¬ª­ãâ ¨, §­ ç¨â, ¢ª«îç ¥â â®çªã 0, â®, ¯®« £ ï x = 0; ¯®«ã稬 ha; x0i   < 0: à®â¨¢®à¥ç¨¥. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . ‹¥¬¬  3.5 …᫨ ¢ë¯ãª«ë© ª®­ãá ¨

K1

¨

K2

{ ¢ë¯ãª«ë¥ ª®­ãáë, â®

(K1 + K2) = K1 \ K2 :

K1 + K2

{

„®ª § â¥«ìá⢮. ‚ë¯ãª«®áâì ª®­ãá  K1 + K2 «¥£ª® á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨©. ®ª ¦¥¬, çâ® ¢ë¯®«­ï¥âáï ¢ª«î祭¨¥ (K1 + K2 )  K1 \ K2 : ãáâì a 2 (K1 + K2 ). â® §­ ç¨â, çâ®

ha; x + x i  0 ¯à¨ «î¡ëå x 2 K ; x 2 K :  áᬮâਬ ¯ àë â®ç¥ª (x ; x ) ¨ (x ; x ): ’®£¤  ¯à¨  ! 0 ¨§ 1

2

1

1

2

¯à¥¤ë¤ã饣® ­¥à ¢¥­á⢠ ¯®«ã稬

1

1

2

2

2

ha; x i  0; ha; x i  0 ¯à¨ ¢á¥å x 2 K ; x 2 K ; â. ¥. a 2 K  \ K : ®ª ¦¥¬ ®¡à â­®¥ ¢ª«î祭¨¥. ãáâì a 2 K  \ K : ’®£¤  ¤«ï «î¡ëå x 2 K ; x 2 K ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠ ha; x i  0; ha; x i  0: ‘ª« ¤ë¢ ï ¨å, ¯®«ã稬 ha; x + x i  0: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, a ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª®­ãáã (K + K ) . ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . 1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

45

2

‹¥¬¬  3.6 …᫨

K1

¨

(K1 \ K2 ) = K1 + K2:

K2

{ ¢ë¯ãª«ë¥ § ¬ª­ãâë¥ ª®­ãáë, â®

 áᬮâਬ ª®­ãá (K1 \ K2): ‚ ᨫ㠫¥¬¬ë 3.4 ¨ § ¬ª­ãâ®á⨠K1 ¨ K2 ®­ ᮢ¯ ¤ ¥â á ª®­ãᮬ (K1 \ K2) : ® «¥¬¬¥ 3.5 íâ®â ª®­ãá ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ ((K1 + K2 )) :  ª®­¥æ, ¯à¨¬¥­ïï «¥¬¬ã 3.4, ¯®«ã稬 âॡ㥬®¥ à ¢¥­á⢮. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . ‘«¥¤ãîé ï ⥮६  ¨¬¥¥â ¯¥à¢®á⥯¥­­®¥ §­ ç¥­¨¥ ¨ ¯®âॡã¥âáï ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ­¥®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨© íªáâ६㬠. Ž­  ᢮¤¨â ãá«®¢¨¥ ¯ãáâ®âë ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ¢ë¯ãª«ëå ª®­ãᮢ ª áãé¥á⢮¢ ­¨î ­¥âਢ¨ «ì­®£® à¥è¥­¨ï ­¥ª®â®à®£® «¨­¥©­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ ᮯà殮­­ëå ª®­ãᮢ.

„®ª § â¥«ìá⢮.

’¥®à¥¬  3.5

(„ã¡®¢¨æª®£® { Œ¨«î⨭ )

Tm K = ;

ãáâì

­¥¯ãáâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ª®­ãáë.

1. …᫨ i=1 i , â® áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë à ¢­ë¥ ­ã«î ¨ 㤮¢«¥â¢®àïî騥 à ¢¥­áâ¢ã

K1; : : :; Km

ai 2 Ki; ­¥ ¢á¥

a1 + ::: + am = 0: a 2 Ki; ­¥

2. …᫨ áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë i 㤮¢«¥â¢®àïî騥 à ¢¥­áâ¢ã (3.2), â®

{

(3.2) ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î ¨

K1 \ intK2 \ ::: \ intKm = ;: „®ª ¦¥¬ ¯¥à¢ãî ç áâì ⥮६ë.  áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢮ (Rn )m ; í«¥¬¥­â ¬¨ ª®â®à®£® ïîâáï ¢¥ªâ®àë ¢¨¤  (x1; : : :; xm ), £¤¥ xi 2 Rn : ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ᪠«ïà­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨¬¥¥¬ „®ª § â¥«ìá⢮.

h(a ; :::; am); (x ; :::; xm)i = ha ; x i + ::: + ham; xmi: 1

ãáâì

1



1



1

z }|m {

K = K1  :::  Km; P = f(x; :::; x)jx 2 Rn g: 46



Œ­®¦¥á⢮ P ï¥âáï ¤¨ £®­ «ìî ¯à®áâà ­á⢠ (Rn )m : Žç¥¢¨¤    ­®, çâ® ¬­®¦¥á⢠ K ; P | ¢ë¯ãª«ë¥ ª®­ãáë ¢ (Rn )m ¨ K \ P = ;: ‚ ᨫã ⥮६ë 3.3 áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë a1 ; : : :; am 2 Rn , ­¥ ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î, â ª¨¥, çâ®

ha ; xi + ::: + ham; xi  ha ; x i + ::: + ham; xmi ¤«ï ¢á¥å x 2 Rn ¨ xi 2 Ki ; i = 1; : : :; m: ”¨ªá¨àãï x ; : : :; xi ; xi ; : : :; xm ¯®«ã稬 hai ; xii  const ¤«ï xi 2 Ki: ‚ ᨫ㠫¥¬¬ë 3.3 íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ai 2 Ki : ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ®ç¥¢¨¤­®, çâ® ha + ::: + am; xi  const ¤«ï x 2 Rn: 1

1

1

1

1

+1

1

â® ­¥à ¢¥­á⢮ ¢®§¬®¦­® «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ 

a1 + ::: + am = 0; çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. „®ª ¦¥¬ ¢â®àãî ç áâì ⥮६ë. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x2 K1 \ intK2 \ ::: \ intKm : ’®£¤  ha1 + ::: +am ; x i = 0 ¨ ¢ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥­¨ï ai ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠ hai; xi  0 ¤«ï i = 1; : : :; m: Žâá á«¥¤ã¥â, çâ® hai ; xi = 0 ¤«ï i = 1; : : :; m: ® ãá«®¢¨î ­¥ ¢á¥ ai à ¢­ë ­ã«î, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ¤¢  ¨§ ­¨å ­¥ ­ã«¥¢ë¥. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, å®âï ¡ë ®¤¨­ ¨§ ­¨å «¥¦¨â ¢ ®¤­®¬ ¨§ ᮯà殮­­ëå ª®­ãᮢ K2; : : :; Km . ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® íâ® ¢¥ªâ®à a2: ’®£¤  ha2; xi  0 ¤«ï ¢á¥å x 2 K2 ¨ ha2; xi = 0: ’ ª ª ª x2 intK2, â® ¬¨­¨¬ã¬ «¨­¥©­®© ä㭪樨 ha2;
i, ­¥ à ¢­®© ⮦¤¥á⢥­­® ­ã«î, ¤®á⨣ ¥âáï ¢® ¢­ãâ७­¥© â®çª¥ K2: ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . 3.3 ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï íªáâ६㬠

‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¯à¨¢®¤¨âáï ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ¬¨­¨¬ã¬  ä㭪樨 f (x) ­  ­¥ª®â®à®¬ ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© 47

Q; ª®â®à®¥ ï¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ­ ¡®à  ¯®¤¬­®¦¥á⢠¯à®áâà ­á⢠ Rn : ¨ª ª¨å ¤àã£¨å ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ®£à ­¨ç¥­¨© ­  äã­ªæ¨î f (x) ¨ ¬­®¦¥á⢮ Q ­¥ ­ ª« ¤ë¢ ¥âáï. ®í⮬ã

­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥, ® ª®â®à®¬ ¨¤¥â à¥çì, ¨¬¥¥â ç१¢ëç ©­® ®¡é¨© å à ªâ¥à. Ž¤­ ª®, ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨©, ­  ¥£® ®á­®¢¥ 㤠¥âáï ¯®áâநâì ¡®«¥¥ ᮤ¥à¦ â¥«ì­ë¥ ¢ à¨ ­âë ­¥®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨© ¬¨­¨¬ã¬  ¤«ï ¬­®£¨å ª« áᮢ § ¤ ç á ­¥«¨­¥©­ë¬¨ ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ¢ ¢¨¤¥ ­¥à ¢¥­á⢠¨ à ¢¥­áâ¢. ãáâì G  Rn ; x; x0 2 Rn ; x 6= 0: Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.3 ‚¥ªâ®à

G

x

x { ¢­ãâ७­¥¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï ¬­®-

¦¥á⢠ ¨§ â®çª¨ 0 , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ®âªàëâ ï ®ªà¥áâ­®áâì x ¢¥ªâ®à  ¨ ç¨á«® â ª¨¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å 0 x¨ 0 0 0 â®çª  0 ¯à¨­ ¤«¥¦¨â

V  2 (0; )

x

>0

x +x

G:

x 2V

ˆáå®¤ï ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®­ãá  ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.3, «¥£ª® ¤®ª § âì á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠. ‘¢®©á⢮ 3.1 …᫨ ¢¥ªâ®à

x V

| ¢­ãâ७­¥¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ ¨§ â®çª¨ 0 ¨ x | ®âªàëâ ï ®ªà¥áâ­®áâì ¢¥ªâ®à  ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.3, â®

x

G

x

 > 0 ¢¥ªâ®à x ï¥âáï ¢­ãâ७­¨¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ G ¨§ â®çª¨ x0 : 2) ‹î¡®© ¢¥ªâ®à x0 ¨§ ®ªà¥áâ­®á⨠Vx ï¥âáï ¢­ãâ७­¨¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ G ¨§ â®çª¨ x0 : 3) Œ­®¦¥á⢮ intG ­¥ ¯ãáâ®. 1) „«ï «î¡®£®

Vx | ®âªàë⮥ ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮, â® K 0 = fx0 j  > 0; x0 2 Vxg | ®âªàëâë© ¢ë¯ãª«ë© ª®­ãá. …᫨ x0 2 K 0; â® ¢¥ªâ®à x0 | ¢­ãâ७­¥¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ G ¨§ â®çª¨ x0 :

‘¢®©á⢮ 3.2 …᫨

x | ¢­ãâ७­¥¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï G ¨§ â®çª¨ x0 ; â® áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàëâë© ¢ë¯ãª«-

‘¢®©á⢮ 3.3 …᫨ ¢¥ªâ®à ¬­®¦¥á⢠

48

K; ᮤ¥à¦ é¨© x; ¨ ®ªà¥áâ­®áâì x + K \ B(0; )  G:

ë© ª®­ãá çâ® 0

­ã«ï

B(0; ) â ª¨¥,

K | ®âªàëâë© ¢ë¯ãª«ë© ª®­ãá, ᮤ¥à¦ é¨© ¢¥ªâ®à x, ¨ B (0; ) | ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï. …᫨ x0 + K \ B(0; )  G; â® ¢¥ªâ®à x | ¢­ãâ७­¥¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ G ¨§ â®çª¨ x0 :

‘¢®©á⢮ 3.4 ãáâì

¨á. 5. ‚¥ªâ®à x | ¢­ãâ७­¥¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï G ¨§ â®çª¨ x0 ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, x | ¢­ãâ७­¥¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ G ¨§ â®çª¨ x0 ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàëâë© ¢ë¯ãª«ë© ª®­ãá K , ᮤ¥à¦ é¨© ¢¥ªâ®à x, ¨ ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï V â ª¨¥, çâ® x0 + K \ V  G (à¨á. 5).

x { ¯à¥¤¥«ì­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ G ¨§ â®çª¨ x0 , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠Vx â®çª¨ x ¨ ç¨á«   > 0 ­ ©¤ãâáï x0 2 Vx ¨ 0 ¨§ ¨­â¥à¢ «  (0; ) â ª¨¥, çâ® x0 + 0 x0 2 G: Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.4 ‚¥ªâ®à

‘¢®©á⢮ 3.5 …᫨ ¢¥ªâ®à ¬­®¦¥á⢠

x

| ¯à¥¤¥«ì­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï

G ¨§ â®çª¨ x0, â®  > 0 ¢¥ªâ®à x â ª¦¥ ¯à¥¤¥«ì­®¥ ­ ¯à ¢«¥G ¨§ â®çª¨ x0:

1) ¤«ï «î¡®£® ­¨¥ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠

49

K;

x; ¨ x +K \V

2) ¤«ï «î¡®£® ®âªàë⮣® ª®­ãá  á®¤¥à¦ é¥£® â®çªã «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï á।¨ â®ç¥ª ¬­®¦¥á⢠ 0

V;

¥áâì â®çª¨ ¨§ ¬­®¦¥á⢠

G:

K; ᮤ¥à¦ x; ¨ «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï V; á।¨ â®ç¥ª ¬­®¦¥á⢠ x0 + K \ V ¥áâì â®çª¨ ¨§ ¬­®¦¥á⢠ G; â® ¢¥ªâ®à x | ¯à¥¤¥«ì­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ G ¨§ â®çª¨ x0 :

‘¢®©á⢮ 3.6 …᫨ ¤«ï «î¡®£® ®âªàë⮣® ª®­ãá  é¥£® â®çªã

‘¢®©á⢮ 3.7 …᫨ ¢¥ªâ®à

G

x;

x

| ¢­ãâ७­¥¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï

x â ª¦¥ ï¥âáï ¨ ¯à¥¤¥«ì­ë¬ G ¨§ â®çª¨ x0:

¬­®¦¥á⢠ ¨§ â®çª¨ 0 â® ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠

¨á. 6. ‚¥ªâ®à x | ¯à¥¤¥«ì­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï G ¨§ â®çª¨ x0 . ˆ§ ᢮©á⢠3.5 ¨ 3.6 á«¥¤ã¥â, çâ® ¢¥ªâ®à x | ¯à¥¤¥«ì­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ G ¨§ â®çª¨ x0 ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¤«ï «î¡®£® ®âªàë⮣® ª®­ãá  K; ᮤ¥à¦ é¥£® â®çªã x; ¨ «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï V; á।¨ â®ç¥ª ¬­®¦¥á⢠ x0 + K \ V ¥áâì â®çª¨ ¨§ ¬­®¦¥á⢠ G (à¨á. 6). ãáâì Gi ; i = 1; : : :; m + 1; ­¥¯ãáâë¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢠ ¯à®áâà ­á⢠ Rn :  áᬮâਬ § ¤ çã: min f (x); Q = x2Q

m\ +1

50

i=1

Gi :

(3.3)

‡ ¤ ¢ ï ¬­®¦¥á⢮ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© Q ¯®¤®¡­ë¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稬 ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ¬¨­¨¬ã¬  ¤«ï § ¤ ç¨ (3.3) ¢ ä®à¬¥, 㤮¡­®© ¤«ï ¯à¨¬¥­¥­¨ï ª § ¤ ç ¬ á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ¢ ¢¨¤¥ ­¥à ¢¥­á⢠¨ à ¢¥­áâ¢. ãáâì G0 = fx j f (x) < f (x0 )g; i { ¬­®¦¥á⢮ ¢­ãâ७­¨å ­ ¯à ¢«¥­¨© ¤«ï Gi ¨§ â®çª¨ x0 , i = 0; 1; : : :; m: Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¢­ãâ७­¨¥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¤«ï Gi ¨§ â®çª¨ x0 ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì (­® ­¥ ®¡ï§ â¥«ì­® áãé¥áâ¢ãîâ) ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  ­¥¯ãáâ® ¬­®¦¥á⢮ intGi : …᫨ ¬­®¦¥á⢮ i ­¥ ¯ãáâ®, â® ¨§ ‘¢®©á⢠ 3.1 á«¥¤ã¥â, çâ® ®­® ï¥âáï ®âªàëâë¬ ª®­ãᮬ. ®«¥¥ ⮣®, ª®£¤  x0 2 intGi ; ª®­ãá i ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®áâà ­á⢮¬ Rn : Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ m+1 { ¬­®¦¥á⢮ ¯à¥¤¥«ì­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨© ¤«ï Gm+1 ¨§ â®çª¨ x0 : Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠ 3.5, ¬­®¦¥á⢮ m+1 â ª¦¥ ï¥âáï ª®­ãᮬ. (¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ íªáâ६㬠) m\ +1 ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3:3), â® i = ;:

’¥®à¥¬  3.6

i=0

ɇǬ

x0

|

à¥¤¯®«®¦¨¬, ç⮠⥮६  ­¥ ¢¥à­ , â® ¥áâì áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â e, ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨© ¬­®¦¥áâ¢ã \mi=0+1 i : ’®£¤  ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¢­ãâ७­¥£® ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¤«ï ¬­®¦¥á⢠Gi ; i = 0; : : :; m; áãé¥áâ¢ãîâ ®âªàëâë¥ ª®­ãáë Ki, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â ¢¥ªâ®à e, ¨ ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï Vi â ª¨¥, çâ® x0 + Ki \ Vi  Gi ¤«ï ª ¦¤®£® i = 0; : : :; m: ®í⮬ã x0 + (\mi=0 Ki ) \ (\mi=0 Vi)  (\mi=0Gi): ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ãîâ ®âªàëâë© ª®­ãá K = \mi=0 Ki, ᮤ¥à¦ é¨© ¢¥ªâ®à e, ¨ ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï V = \mi=0 Vi â ª¨¥, çâ® x0 + K \ V  (\mi=0 Gi ): ’ ª ª ª e â ª¦¥ í«¥¬¥­â ¨ ª®­ãá  m+1 , â® (x0 +K \V )\Gm+1 6= ;: ‚롥६ x0 2 (x0 + K \ V ) \ Gm+1 : ’®£¤  x0 2 Gi ; i = 0; : : :; m + 1; ¨, ¢ ç áâ­®áâ¨, x0 2 G0 ; â® ¥áâì f (x0 ) < f (x0 ): ® íâ® ­¥¢®§¬®¦­®, â ª ª ª x0 | ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3:3):

„®ª § â¥«ìá⢮.

51

3.4 Ž¡®¡é¥­­®¥ ¯à ¢¨«® ¬­®¦¨â¥«¥© ‹ £à ­¦ 

®«¥¥ ᮤ¥à¦ â¥«ì­ë¥ ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¬¨­¨¬ã¬  ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ã祭ë, ª®£¤  x0 | «®ª «ì­ë© íªáâ६㬠§ ¤ ç¨ (3:3); ¤«ï ª®â®à®£® ª®­ãáë i ; i = 0; 1; : : :; m + 1; ­¥¯ãáâë ¨ ¢ë¯ãª«ë. ’®£¤  ¯® ⥮६¥ „ã¡®¢¨æª®£®-Œ¨«î⨭  áãé¥áâ¢ãîâ ­¥ à ¢­ë¥ ­ã«î ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¢¥ªâ®àë ci 2 i ; i = 0; 1; : : :; m +1; â ª¨¥, çâ® c0 + : : : + cm+1 = 0: â® ¤®áâ â®ç­® ®¡é¥¥ ãá«®¢¨¥ íªáâ६㬠 ¤«ï § ¤ ç á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ãâ®ç­ï¥âáï ¢ ¤ ­­®¬ ¯ à £à ä¥.  áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã: min f (x); 'i (x)  0; i = 1; : : :; s; 'i (x) = 0; i = s + 1; : : :; k;

(3.4) (3.5) (3.6) n x2GR : (3.7) ‘ç¨â ¥¬, çâ® ä㭪樨 f; 'i { ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ë, G { ¢ë¯ãª«®¥, § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮, intG 6= ;: Š ª ¯à ¢¨«®, ¬­®¦¥á⢮ G ¨¬¥¥â ¯à®áâãî áâàãªâãàã.  ¯à¨¬¥à, G = fx j xi  0; i = 1; : : :; ng: ®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨ íâ¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå ¬®¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨¥¬ íªáâ६㬠 ¨§ ⥮६ë 3.6 ¨ ⥮६®© „ã¡®¢¨æª®£®-Œ¨«î⨭ . „«ï í⮣® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ § ¤ çã (3.4)-(3.7) ¢ ¢¨¤¥ § ¤ ç¨ (3:3); ¢¢¥¤ï á«¥¤ãî騥 ¬­®¦¥á⢠ G0 = fx j f (x) < f (x0)g, Gi = fx j 'i (x)  0g; i = 1; : : :; s; Gm = G; Gm+1 = fx j 'i (x) = 0; i = s +1; : : :; kg, £¤¥ m = s +1 ¨ x0 | ¤®¯ãá⨬®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.4)-(3.7). „®ª § â¥«ìá⢮ ­¥¯ãáâ®âë ¨ ¢ë¯ãª«®á⨠ª®­ãᮢ i ; i = 0; : : :; m + 1; ®á­®¢ë¢ ¥âáï ­  á«¥¤ãîé¨å ã⢥ত¥­¨ïå.

f (x) | ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªf (x ) 6= 0: ’®£¤  ª®­ãá 0 ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¢ë¯ãª«ë¬

‹¥¬¬  3.7 ãáâì æ¨ï ¨ 0 0 ¬­®¦¥á⢮¬ ¨

0

= fe 2 Rn j hf 0(x0 ); ei < 0g: 52

' (x)

‹¥¬¬  3.8 ãáâì i | ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï, ¤«ï ª®â®à®© á¯à ¢¥¤«¨¢® «¨¡® i 0 «¨¡® 0i 0 ’®£¤  ª®­ãá

i=

(

i

' (x ) < 0;

' (x ) 6= 0:

ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¨

Rn; n 0 fe 2 R j h'i(x0); ei < 0g;

‹¥¬¬  3.9 ãáâì

¥á«¨ ¥á«¨

'i(x0) < 0; 'i(x0) = 0:

G | ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¨§ Rn , intG 6= ; ¨

x0 2 G: ’®£¤  ª®­ãá

m

á⢮¬ ¨

ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¢ë¯ãª«ë¬ ¬­®¦¥-

n j e =  (x

m = fe 2 R

x0 );  > 0; x 2 intGg: ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ x0 2 intG; â® m = Rn : ‹¥¬¬  3.10 ãáâì

'i(x); i = s + 1; : : :; k; | ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥-

७æ¨àã¥¬ë¥ ä㭪樨. ’®£¤  ª®­ãá ¢ë¯ãª«ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¨

m+1

m+1

ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬

= fe 2 Rn j h'0i (x0); ei = 0; i = s + 1; : : :; kg:

„®ª § â¥«ìá⢮ «¥¬¬ 3.7-3.10 ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [1]. ’¥®à¥¬  3.7

(Ž¡®¡é¥­­®¥ ¯à ¢¨«® ¬­®¦¨â¥«¥© ‹ £à ­¦ ) ãáâì

x0 | ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.4)-(3.7). ’®£¤  áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥«¨ç¨­ë 0i ; i = 0; : : :; k; ­¥ ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î, â ª¨¥, çâ® 0i  0; i = 0; : : :; s; 0i 'i(x0) = 0; i = 1; : : :; s;

h f 0(x ) + 0 0

¤«ï «î¡®£®

0

k X i=1

0i '0i (x0); x x0i  0

x ¨§ G: (‚¥«¨ç¨­ë 0i ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì ¬­®¦¨â¥-

«ï¬¨ ‹ £à ­¦ .)

53

“¡¥¤¨¬áï á­ ç « , çâ® ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® ¯à¥¤¯®« £ âì ¢ë¯®«­¥­­ë¬¨ á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: 1) f 0 (x0) 6= 0, 2) ¤«ï «î¡®£® i = 1; : : :; s; «¨¡® 'i (x0) < 0; «¨¡® '0i (x0) 6= 0: „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì f 0(x0 ) = 0: ’®£¤  ⥮६  ¢¥à­  ¯à¨ 0 0 = 1; 0i = 0; i  1: à¥¤¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® 'i (x0) = 0 ¨ '0i (x0) = 0 ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ i = 1; : : :; s: ’®£¤  ⥮६  ¢¥à­  ¯à¨ 0i = 1; 0j = 0; j 6= i: ˆ§ «¥¬¬ 3.7-3.10 á«¥¤ã¥â, çâ® ª®­ãáë ¢­ãâ७­¨å ¨ ¯à¥¤¥«ì­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨© ¨§ â®çª¨ x0 ¢ë£«ï¤ïâ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

„®ª § â¥«ìá⢮.

0

= fe 2 Rn j hf 0(x0 ); ei < 0g;

¤«ï «î¡®£® i=1,. . . ,s i

=

(

Rn; n 0 fe 2 R j h'i(x0); ei < 0g;

¥á«¨ 'i (x0) < 0; ¥á«¨ 'i (x0) = 0;

n m = fe 2 R j e =  (x x0 );  > 0; x 2 intGg; m+1 = fe 2 Rn j h'0i (x0); ei = 0; i = s + 1; : : :; k; g:

‚ᥠí⨠ª®­ãáë ­¥¯ãáâë ¨ ¢ë¯ãª«ë. ’ ª ª ª x0 | ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.4)-(3.7), â® \mi=0+1 i = ;: ’®£¤  ¨§ â¥®à¥¬ë „ã¡®¢¨æª®£®-Œ¨«î⨭  á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ­¥ à ¢­ë¥ ­ã«î ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¢¥ªâ®àë ci 2 i ; i = 0; : : :; m + 1 â ª¨¥, çâ® c0 + c1 + ::: + cm+1 = 0: ®á¬®âਬ, çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ᮯà殮­­ë¥ ª®­ãáë. à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¯®ª ¦¥¬, çâ®  = fc0 j c0 = 0

0 f 0 (x0); 0  0g:

ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᮯà殮­­®£® ª®­ãá  á«¥¤ã¥â, çâ® c0 ¯à¨­ ¤«¥¦¨â 0 ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ¤«ï «î¡®£® e 2 0 ¢¥à­® hc0; ei  0. Žâá ¯®«ãç ¥¬, çâ® ª®­ãá 0 ᮤ¥à¦¨â ¢á¥¢®§¬®¦­ë¥ ¢¥ªâ®àë ¢¨¤  0f 0 (x0); £¤¥ 0  0: 54

®ª ¦¥¬, çâ®   fc0 j c0 = 0

0 f 0 (x0); 0  0g:

ãáâì ¢¥ªâ®à c ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¢ë¯ãª«®¬ã § ¬ª­ã⮬㠬­®¦¥áâ¢ã fc0 j c0 = 0 f 0 (x0); 0  0g: ’®£¤  ¯® ¯¥à¢®© ⥮६¥ ®â¤¥«¨¬®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à e â ª®©, çâ® h 0f 0 (x0); ei > hc; ei ¯à¨ «î¡®¬ 0  0: ®« £ ï 0 = 0; ¯®«ã稬 hc; ei < 0. ã¤ãç¨ ¯®¤¥«¥­­ë¬ ­  0 > 0 ¯à¨ 0 ! 1 ­¥à ¢¥­á⢮ ¤ ¥â hf 0(x0); ei  0: ‡­ ç¨â, c ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª®­ãáã 0: ’®ç­® â ª ¦¥  = fci j ci = i

i'0i (x0); i  0g

¤«ï â¥å i  s, ¯à¨ ª®â®àëå 'i(x0 ) = 0. …᫨ ¦¥ 'i(x0 ) < 0, â®  = f0g. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯à¨ ¢á¥å i  s ¨¬¥¥¬ i  = fci j ci = i

i '0i (x0); i  0; i 'i (x0) = 0g:

‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ®  = fcm+1 j cm+1 = m+1

k X i=s+1

i'0i (x0)g:

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ãç¨âë¢ ï ¯®«ã祭­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ᮯà殮­­ëå ª®­ãᮢ ¨ à ¢¥­á⢮ c0 + c1 + ::: + cm+1 = 0 ¯®«ãç ¥¬:

cm = 00f 0 (x0) +

k X i=1

0i '0i(x0) 2 m ;

0i  0; i = 0; : : :; s; 0i 'i(x0) = 0; i = 1; : : :; s;

£¤¥ 0i ; i = 0; : : :; k; { ­¥ª®â®àë¥ ¬­®¦¨â¥«¨, ª®â®àë¥ ­¥ ¤®«¦­ë ¡ëâì à ¢­ë ­ã«î ®¤­®¢à¥¬¥­­® (ãá«®¢¨¥ ­¥âਢ¨ «ì­®á⨠­ ¡®à  ¢¥ªâ®à®¢ ci; 0  i  m + 1). 55

® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ª®­ãá m á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢ c, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ­¥à ¢¥­áâ¢ã hc;  (x x0 )i  0 ¯à¨ ¢á¥å  > 0 ¨ «î¡ëå x 2 intG. ’ ª ª ª «î¡ ï â®çª  ¢ë¯ãª«®£® ¬­®¦¥á⢠ G ï¥âáï ¯à¥¤¥«ì­®© â®çª®© ¬­®¦¥á⢠ intG; â® ¤«ï c 2 m ¯à¨ ¢á¥å x 2 G ¢ë¯®«­ï¥âáï hc; x x0 i  0 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®,

h f 0(x ) + 0 0

0

k X i=1

0i '0i (x0); x x0i  0

¤«ï «î¡®£® x ¨§ G: ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ®¯â¨¬ «ì­®á⨠⥮६ë 3.7 ­ §ë¢ îâáï ®¡®¡é¥­­ë¬ ¯à ¢¨«®¬ ¬­®¦¨â¥«¥© ‹ £à ­¦ ,   ¢¥«¨ç¨­ë 0i ; i = 0; : : :; k; | ¬­®¦¨â¥«ï¬¨ ‹ £à ­¦ . ‚ ⥮६¥ 3.7 ­¥«ì§ï ¨áª«îç¨âì á«ãç ©, ª®£¤  ¬­®¦¨â¥«ì 00 ¯à¨ £à ¤¨¥­â¥ 楫¥¢®© ä㭪樨 f 0 (x0) à ¢¥­ ­ã«î, ¨ ⮣¤  ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï íªáâ६㬠 ­¥ § ¢¨áï⠮⠮¯â¨¬¨§¨à㥬®© ä㭪樨. ’ ª¨¥ § ¤ ç¨ ­ §®¢¥¬ ¢ë஦¤¥­­ë¬¨ ¢ â®çª¥ x0: Ž¤¨­ ¨§ ᯮᮡ®¢, ¯®§¢®«ïîé¨å ¢ë¤¥«ïâì ª« ááë ­¥¢ë஦¤¥­­ëå § ¤ ç, ¤ ¥â ⥮६  „ã¡®¢¨æª®£®Œ¨«î⨭ . …᫨ 00 = 0, â® c0 = 0 ¨ c1 + ::: + cm+1 = 0. ˆ§ «¥¬¬ 3.7-3.10 á«¥¤ã¥â, çâ® ª®­ãáë 1 ; 2; : : :; m | ®âªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯® ⥮६¥ „ã¡®¢¨æª®£®-Œ¨«î⨭  ¨¬¥¥¬ 1 \ 2 \ ::: \ m+1 = ;: ‡­ ç¨â, ¥á«¨ ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ ¤ ­­®£® ¬­®¦¥á⢠ ª®­ãᮢ ­¥¯ãáâ®, â® à ¢¥­á⢮ 00 = 0 ¨áª«îç ¥âáï.  ¨¡®«¥¥ ¯à®áâ® ãá«®¢¨ï, £ à ­â¨àãî騥 ®â«¨ç¨¥ 00 ®â ­ã«ï ¢ ®¡®¡é¥­­®¬ ¯à ¢¨«¥ ¬­®¦¨â¥«¥© ‹ £à ­¦ , ¯®«ãç îâáï ¤«ï â¥å § ¤ ç (3.4)-(3.7), ¢ ª®â®àëå G = Rn . (¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï Šã­ -’ ªª¥à ) ãáâì x0 G = Rn ¨ ¬­®¦¥á⢮ 0 f'i(x0) j 'i(x0) = 0g { «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬®. ’®£¤  áãé¥áâ¢ãîâ ¬­®¦¨â¥«¨ 0i ; i = 1; : : :; k; â ª¨¥, çâ®: 0i  0; i = 1; : : :; s; (3.8) ’¥®à¥¬  3.8.

{ ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.4)-(3.7),

56

0i 'i(x0) = 0; i = 1; : : :; s;

(3.9)

0i '0i(x0) = 0:

(3.10)

f 0 (x0) +

k X i=1

ˆ§ ãá«®¢¨ï G = Rn á«¥¤ã¥â, çâ® ­¥à ¢¥­á⢮ hc; x x0i  0 ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¯®«­¥­® ¤«ï ¢á¥å x 2 G ⮫쪮 ¯à¨ c = 0. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯® ⥮६¥ 3.7 ¨¬¥¥¬ „®ª § â¥«ìá⢮.

00f 0 (x0) +

P

k X i=1

0i '0i(x0 ) = 0:

(3.11)

P

…᫨ 00 = 0, â® ki=1 0i '0i (x0 ) = f0i '0i(x0 ) j 'i (x0 ) = 0g = 0; çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î â¥®à¥¬ë ® «¨­¥©­®© ­¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¬­®¦¥á⢠ f'0i(x0) j 'i (x0) = 0g. ®í⮬㠮¡¥ ç á⨠ࠢ¥­á⢠ (3.11) ¬®¦­® à §¤¥«¨âì ­  00 > 0: ®­ïâ­®, çâ® ¬­®¦¨â¥«¨ 0i =00; i = 1; : : :; s; 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬ (3.8)-(3.10). ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ .  áᬮâਬ à ¢¥­á⢠ (3.9), (3.10) ¨ ®£à ­¨ç¥­¨ï 'i(x0 ) = 0; i = s +1; : : :; k: Ž­¨ ®¡à §ãîâ á¨á⥬㠨§ k + n ãà ¢­¥­¨© á k + n ­¥¨§¢¥áâ­ë¬¨ 0i ; i = 1; : : :; k; xj ; j = 1; : : :; n: ˆá¯®«ì§ãï ª ª®©­¨¡ã¤ì ç¨á«¥­­ë© ¬¥â®¤ à¥è¥­¨ï ¯®¤®¡­ëå á¨á⥬, ¬®¦­® ­ ©â¨ à¥è¥­¨¥ (0; x0): Ž¤­ ª®, ¢ ᨫã ⮣®, çâ® ãá«®¢¨ï (3.8)-(3.10) ­¥ ïîâáï ¤®áâ â®ç­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ®¯â¨¬ «ì­®áâ¨, â®çª  x0 ¬®¦¥â ¤ ¦¥ ­¥ ¡ëâì «®ª «ì­ë¬ íªáâ६㬮¬ § ¤ ç¨ (3.4)-(3.7). ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ®¯â¨¬ «ì­®á⨠㤠¥âáï ¯®«ãç¨âì ¤«ï ¡®«¥¥ 㧪¨å ª« áᮢ ­¥«¨­¥©­ëå § ¤ ç.  ¯à¨¬¥à, ¤«ï § ¤ ç ¢ë¯ãª«®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï, ª®â®àë¥ à áᬠâਢ îâáï ­¨¦¥. 3.5 ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï íªáâ६㬠

 áᬮâਬ § ¤ çã ¢ë¯ãª«®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ¢¨¤  min f (x);

(3.12) 57

'i(x)  0; i = 1; :::; m; x 2 G  Rn ;

(3.13) (3.14) £¤¥ G { ¢ë¯ãª«®¥ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮, ¨¬¥î饥 ¢­ãâ७­¨¥ â®çª¨, f; 'i { ¢ë¯ãª«ë¥ ä㭪樨. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® x0 2 G ¨ ¤«ï ª ¦¤®© ¨§ ä㭪権 f (x) f (x0); 'i (x); i = 1; :::; m; áãé¥áâ¢ãîâ ­¥¯ãáâë¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢠ ¯à®áâà ­á⢠ Rn , ­  ª®â®àëå ®­¨ ¯à¨­¨¬ îâ ®âà¨æ â¥«ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï. Š®­ãáë ¢­ãâ७­¨å ­ ¯à ¢«¥­¨© ¨§ â®çª¨ x0 ¤«ï ¬­®¦¥á⢠G0 = fx 2 Rn j f (x) < f (x0)g; Gi = fx 2 Rn j 'i (x)  0g; i = 1; : : :; m; ¨ G ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¢ë£«ï¤ïâ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: x0 );  > 0; f (x) < f (x0)g; 0 = fe j e =  (x i

=

(

Rn ; ¥á«¨ 'i(x0) < 0; fe j e =  (x x0);  > 0; 'i(x) < 0g; ¥á«¨ 'i(x0) = 0; = fe j e =  (x x0 );  > 0; x 2 intGg:

Š®­ãá ¯à¥¤¥«ì­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨© ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ®£à ­¨ç¥­¨© { à ¢¥­á⢠¥áâì ¢á¥ ¯à®áâà ­á⢮ Rn . Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.5 ‚¥ªâ®à

f

h 2 Rn

­ §ë¢ ¥âáï á㡣ࠤ¨¥­â®¬

x0 , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® x 2 Rn á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥f (x) f (x0)  hh; x x0 i:

ä㭪樨 ¢ â®çª¥ à ¢¥­á⢮

Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å á㡣ࠤ¨¥­â®¢ ä㭪樨 f ¢ â®çª¥ x0 ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì @f (x0) ¨ ­ §ë¢ âì á㡤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬ f ¢ â®çª¥ x0 . ‹¥¬¬  3.11 Š®­ãáë ¬¨

 ; ; i = 1; : : :; m; 0 i

§ ¤ îâáï à ¢¥­á⢠-

 = fc0 j c0 =

0h; h 2 @f (x0); 0  0g; i h; h 2 @'i(x0); i  0; i'i(x0) = 0g; i = 1; : : :; m: „®ª § â¥«ìá⢮. ‚ª«î祭¨¥ "  " «¥£ª® á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥ = fci j ci = i

0

«¥­¨ï ᮯà殮­­®£® ª®­ãá  ¨ á㡣ࠤ¨¥­â . ®ª ¦¥¬ ®¡à â­®¥ 58

¢ª«î祭¨¥. ãáâì c0 2 0 : ’®£¤  ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ᮯà殮­­®£® ª®­ãá  ¤«ï ¢á¥å x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ­¥à ¢¥­áâ¢ã f (x) < f (x0 ), ¨ ¢á¥å  > 0 á¯à ¢¥¤«¨¢®

 hc0 ; x x0 i  0: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¤«ï «î¡®£® c0 2 0 ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠ f (x) < f (x0) á«¥¤ã¥â hc0; x x0i  0:  áᬮâਬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ R2 ¬­®¦¥á⢮

Y = f(y1; y 2) j 9x 2 Rn : y 1 = hc0; x x0i; y 2  f (x) f (x0)g: ˆ§ ¢ë¯ãª«®á⨠ä㭪樨 f á«¥¤ã¥â ¢ë¯ãª«®áâì ¬­®¦¥á⢠ Y: ’ ª ª ª c0 2 0 ; â® ¬­®¦¥á⢮ Y ­¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á ®âà¨æ â¥«ì­ë¬ ®à⠭⮬ R2 = f 2 R2 j 1 < 0; 2 < 0g: ® ⥮६¥ 3.2 áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à  2 R2 â ª®©, çâ® ¯à¨ ¢á¥å  2 R2 ¨ ¢á¥å y 2 Y (à¨á. 7) á¯à ¢¥¤«¨¢®

1  1 + 2  2  1 y 1 + 2 y 2 :

¨á. 7. Œ­®¦¥á⢠ Y , R2 ¨ ®â¤¥«ïîé ï £¨¯¥à¯«®áª®áâì 59

®«®¦¨¬ y 1 = hc0; x x0 i; y 2 = f (x) f (x0): ’®£¤  ¯à¨ «î¡ëå x 2 Rn ; 1 < 0; 2 < 0 ¢¥à­®

11 + 2 2  1hc0; x x0 i + 2(f (x) f (x0)): â® ¢®§¬®¦­® «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  1  0; 2  0 ¨ ¤«ï ¢á¥å

x 2 Rn

1 hc0 ; x x0 i + 2 (f (x) f (x0 ))  0:

…᫨ c0 6= 0; â® íâ® ­¥à ¢¥­á⢮ ¬®¦¥â ¢ë¯®«­ïâìáï ¤«ï ¢á¥å x 2 Rn ⮫쪮 ¯à¨ 2 > 0: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,

f (x) f (x0)  h 1 =2 c0; x x0 i ¤«ï ¢á¥å x 2 Rn : â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®à h = 1 =2 c0 ¯à¨­ ¤«¥¦¨â @f (x0): ’ ª ª ª áãé¥áâ¢ãîâ â®çª¨ x, ¢ ª®â®àëå f (x) < f (x0), â® 1 > 0: ®í⮬ã

c0 = 0h; £¤¥ 0 = 2 =1 > 0: €­ «®£¨ç­® ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï, çâ®  = fci j ci = i

i h; h 2 @'i(x0 ); i  0g

¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ 'i (x0) = 0 ¯à¨ i  m. “ç¨â뢠ï, çâ® ¨§ ãá«®¢¨ï 'i (x0 ) < 0 ¢ë⥪ ¥â à ¢¥­á⢮ i = f0g; ¯®«ãç ¥¬  = fci j ci = i

i h; h 2 @'i(x0); i  0; i'i(x0) = 0g

¤«ï «î¡®£® i = 1; :::; m: ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.6 ”㭪樨

L(x; ) = f (x) + h; '(x)i = f (x) + 60

m X i=1

i'i(x)

(3.15)

¨

L(x; 0; ) = 0f (x) + h; '(x)i = 0f (x) +

m X i=1

i 'i(x)

(3.16)

­ §ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥­­® ä㭪樥© ‹ £à ­¦  ¨ ®¡®¡é¥­­®© ä㭪樥© ‹ £à ­¦  ¤«ï § ¤ ç¨ (3.12)-(3.14).

Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.7  àã

(x0; 0); £¤¥ x0 2 G; 0 = (01; : : :; 0m) 

0; ­ §®¢¥¬ ᥤ«®¢®© â®çª®© ä㭪樨 ‹ £à ­¦ , ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x 2 G;   0 á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ L(x; 0)  L(x0; 0)  L(x0; ):

Š ª á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.7, ᥤ«®¢ ï â®çª  (x0; 0) ¤®áâ ¢«ï¥â ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨 ‹ £à ­¦  ¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬ x ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ §­ ç¥­¨¨  = 0 ¨ ¬ ªá¨¬ã¬ ¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬  ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ §­ ç¥­¨¨ x = x0 (à¨á. 8).

¨á. 8. ‘¥¤«®¢ ï â®çª  ä㭪樨 ‹ £à ­¦  “á«®¢¨¥ ‘«¥©â¥à . ƒ®¢®àïâ, çâ® ¤«ï § ¤ ç¨ (3.12)-(3.14) ¢ë-

x0 2 G â ª®¥, çâ® 'i (x0) < 0 ¤«ï ¢á¥å i = 1; : : :; m:

¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ ‘«¥©â¥à , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â

61

…᫨ ãá«®¢¨¥ ‘«¥©â¥à  ¢ë¯®«­ï¥âáï, â® ¬­®¦¥á⢮ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© ᮤ¥à¦¨â ¢­ãâ७­îî â®çªã. Ž¡à â­®¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ ¢¥à­® (à¨á. 9). ’¥®à¥¬  3.9 â¥à  ¨

x0 2 G.

(Šã­ -’ ªª¥à ) ãáâì ’®£¤ 

¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ ‘«¥©-

x0 | à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.12)-(3.14) ¢ ⮬

¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  áãé¥áâ¢ãîâ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¥ 0 ¬­®¦¨â¥«¨ 0i â ª¨¥, çâ® ¯ à  ¥áâì 0

  0; i = 1; :::; m;

ᥤ«®¢ ï â®çª  ä㭪樨 ‹ £à ­¦ 

L.

(x ;  )

¨á. 9. Š®­âà¯à¨¬¥à ¥®¡å®¤¨¬®áâì. ãáâì x0 | ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.12)-(3.14). ’®£¤  \mi=0 i \ = ; ¨ ¯® ⥮६¥ „ã¡®¢¨æª®£®-Œ¨«î⨭  áãé¥áâ¢ãîâ ­¥ ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î ¢¥ªâ®àë ci 2 i ; i = 0; : : :; m;Pc 2  â ª¨¥, çâ® c0 + c1 + ::: + cm + c = 0. m c . ’¥¯¥àì, ¨§ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ª®­ãᮢ ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, c = i=0 i  ;  ; i = 1; : : :; m;, ­ ©¤¥­­®£® ¢ «¥¬¬¥ 3.11, á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥0 i áâ¢ãîâ ­¥ ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î ¬­®¦¨â¥«¨ 0i  0; i = 0; : : :; m; ¨ ­¥ ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î ¢¥ªâ®àë hi ; i = 0; : : :; m; â ª¨¥, çâ® „®ª § â¥«ìá⢮.

0i  0; i = 0; : : :; m; 0i 'i(x0 ) = 0; i = 1; :::; m; h0 2 @f (x0); hi 2 @'i(x0 ); i = 1; :::; m; 62

h h + 0 0 0

m X i=1

0i hi ; x x0i  0

P ¤«ï «î¡®£® x ¨§ G: ‚¥ªâ®à 00h0 + mi=1 0i hi ï¥âáï á㡣ࠤ¨¥­â®¬ ä㭪樨 L(x; 0; 0) ¢ â®çª¥ x0 ¨ á ãç¥â®¬ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ­¥à ¢¥­á⢠¨¬¥¥¬: L(x; 00; 0) L(x0 ; 00; 0)  h00h0 +

m X i=1

0i hi ; x x0i  0;

¯à¨ ¢á¥å x 2 G: ˆ§ ¯®á«¥¤­¥£® ­¥à ¢¥­á⢠ á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¢á¥å x 2 G á¯à ¢¥¤«¨¢® L(x; 00; 0)  L(x0; 00; 0): ’ ª ª ª x0 | ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (3.12)-(3.14), â® ¨§ 0 à ¢¥­á⢠x0) = 0; i = 1; : : :; m; á«¥¤ã¥â 00f (x0 )  00f (x0 ) + Pm  ' (xi ')i(¤«ï «î¡®£®   0. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, i=1 i i 0 L(x; 00; 0)  L(x0; 00; 0)  L(x0; 00; ) ¯à¨ «î¡ëå x 2 G;   0: …᫨ 00 6= 0; â®, ¯®¤¥«¨¢ í⨠­¥à ¢¥­á⢠ ­  00, ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥. „®ª ¦¥¬, çâ® 00 6= 0. ‚ ᨫã ãá«®¢¨ï ‘«¥©â¥à  ­ ©¤¥âáï x0 2 G â ª®¥, çâ® 'i (x0) < 0 ¤«ï i = 1; :::; m: ®¤áâ ­®¢ª  x = x0 ¢ ­¥à ¢¥­á⢮ L(x; 00; 0)  L(x0; 00; 0) ¤ ¥â

00f (x0)  00f (x0 ) +

m X i=1

0i 'i (x0);

®âªã¤  ¯à¨ 00 = 0 ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠0i  0; 'i(x0) < 0; i = 1; : : :; m á«¥¤®¢ «® ¡ë, çâ® ¬­®¦¨â¥«¨ 0i ; i = 1; : : :; m ⮦¥ à ¢­ë ­ã«î. â® ­¥¢®§¬®¦­®, â ª ª ª á।¨ ç¨á¥« 0i ; i = 0; : : :; m ¤®«¦­ë ¡ëâì ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥. „®áâ â®ç­®áâì. ®ª ¦¥¬, çâ® áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ᥤ«®¢®© â®çª¨ (x0; 0) ä㭪樨 ‹ £à ­¦  L(x; ) ¤®áâ â®ç­® ¤«ï ®¯â¨¬ «ì­®á⨠x0 ¢ § ¤ ç¥ (3.12)-(3.14). ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ᥤ«®¢®© â®çª¨ ¨¬¥¥¬

L(x0; ) = f (x0 ) + 63

m X i=1

i'i(x0) 

 f (x ) + 0

¤«ï ¢á¥å   0: ’®£¤ 

m X i=1

m X i=1

0i 'i (x0) = L(x0 ; 0)

i'i (x0) 

m X i=1

0i 'i (x0):

(3.17)

‡ ¬¥â¨¬, çâ® 'i (x0 )  0 ¤«ï ¢á¥å i = 1; : : :; m: ‚ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãP m ç ¥ i=1 i 'i (x0) ­¥®£à ­¨ç¥­  ᢥàåã ­  ¬­®¦¥á⢥ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ëå , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ­¥à ¢¥­áâ¢ã (3.17). ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, m X i=1

0i 'i(x0 )  0;

(3.18)

¨ x0 | ¤®¯ãá⨬®¥Pà¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨. ®«®¦¨¬ ¢ ­¥à ¢¥­á⢥ (3.17)  = 0: ’®£¤  mi=1 0i 'i (x0)  0: “ç¨â뢠ï (3.18), ¯®«ãç ¥¬ m X i=1

0i 'i(x0 ) = 0:

(3.19)

ˆ§ ­¥à ¢¥­á⢠ L(x; 0)  L(x0; 0) ¨ (3.19) á«¥¤ã¥â, çâ®

L(x0; 0) = f (x0)  f (x) +

m X i=1

0i 'i (x)

¤«ï ¢á¥å x 2 G: …᫨ â®çª  x ï¥âáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (3.12)-(3.14), â®

f (x0)  f (x) +

m X i=1

’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ .

64

0i 'i (x)  f (x):

 §¤¥« 4. —¨á«¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë ­¥«¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï

 áᬮâਬ ç¨á«¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¯®¨áª  ¡¥§ãá«®¢­®£® ¬¨­¨¬ã¬  ä㭪樨 f (x), § ¤ ­­®© ­  ¢á¥¬ ¯à®áâà ­á⢥ Rn : ¥« ªá æ¨®­­ë¬¨ ­ §ë¢ îâáï ¬¥â®¤ë, ¢ ª®â®àëå áâநâáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¢¥ªâ®à®¢ x0 ; x1; : : :; xk ; : : :; 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î

f (x0)  f (x1 )  :::  f (xk )  : : :: ‚ íâ¨å ¬¥â®¤ å ¢¥ªâ®àë xk ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ xk+1 = xk + k pk ; £¤¥ pk | ­ ¯à ¢«¥­¨¥ á¯ã᪠, k | ¤«¨­  è £  ¢¤®«ì í⮣® ­ -

¯à ¢«¥­¨ï. ‚ ¦­¥©è¥© å à ªâ¥à¨á⨪®© ç¨á«¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ ï¥âáï ¨å ᪮à®áâì á室¨¬®áâ¨. à¨ ®æ¥­ª¥ ª ç¥á⢠ ¬¥â®¤  £®¢®àïâ ® «¨­¥©­®© ᪮à®á⨠á室¨¬®áâ¨, ¥á«¨ ¤«ï k = 0; 1; : : :

kxk

+1

xk  q kxk x k

¨«¨ ® á室¨¬®á⨠ᮠ᪮à®áâìî £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ

kxk xk  qk kx xk; £¤¥ x | ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨 f (x),   q | ­¥ª®â®à ï ª®­áâ ­â , 0 < q < 1. ‘ª®à®áâì á室¨¬®á⨠ᢥà嫨­¥©­ , ¥á«¨ kxk xk  qk kxk xk; £¤¥ qk ! 0 ¯à¨ k ! 1; ¨ ª¢ ¤à â¨ç­ , ¥á«¨ kxk xk  C kxk xk ; C  0: 0

+1

+1

2

65

€«£®à¨â¬ë ¡¥§ãá«®¢­®© ¬¨­¨¬¨§ æ¨¨ ¯à¨­ïâ® ¤¥«¨âì ­  ª« ááë, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¬ ªá¨¬ «ì­®£® ¯®à浪  ¢ëç¨á«ï¥¬ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¬¨­¨¬¨§¨à㥬®© ä㭪樨. Œ¥â®¤ë, ¨á¯®«ì§ãî騥 ⮫쪮 §­ ç¥­¨ï á ¬®© 楫¥¢®© ä㭪樨, ®â­®áïâ ª ¬¥â®¤ ¬ ­ã«¥¢®£® ¯®à浪 . …᫨ âॡã¥âáï ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯¥à¢ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå, â® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¬¥â®¤ ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¨ â ª ¤ «¥¥. 4.1 ƒà ¤¨¥­â­ë¥ ¬¥â®¤ë

‚¥ªâ®à f 0 (xk ) ï¥âáï ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ­ ¨áª®à¥©è¥£® ã¡ë¢ ­¨ï ä㭪樨 f (x) ¨ ­ §ë¢ ¥âáï  ­â¨£à ¤¨¥­â®¬. ‚롨à ï ¢ ª ç¥á⢥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï á¯ã᪠ pk  ­â¨£à ¤¨¥­â ä㭪樨 f (x) ¢ â®çª¥ xk , ¯à¨å®¤¨¬ ª ¨â¥à æ¨®­­®¬ã ¯à®æ¥ááã ¢¨¤ 

xk+1 = xk k f 0 (xk ); k  0: ‚ᥠ¨â¥à æ¨®­­ë¥ ¯à®æ¥ááë, ¢ ª®â®àëå ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ­  ª ¦¤®¬ è £¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á  ­â¨£à ¤¨¥­â®¬ (£à ¤¨¥­â®¬) ä㭪樨, ­ §ë¢ îâáï £à ¤¨¥­â­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ¨ ®â«¨ç îâáï ¤à㣠®â ¤à㣠 ᯮᮡ ¬¨ ¢ë¡®à  ¤«¨­ë è £  k : ‘ãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£® à §«¨ç­ëå ᯮᮡ®¢ ¢ë¡®à  ¤«¨­ë è £  k ; ­® ­ ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ­¥­ë âਠ¨§ ­¨å. ¥à¢ë© ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥â®¤®¬ á ¯®áâ®ï­­ë¬ è £®¬: k = : ‚â®à®© | ¬¥â®¤ á ¤à®¡«¥­¨¥¬ è £ . Ž­ á¢ï§ ­ á ¯à®¢¥àª®© ­  ª ¦¤®¬ è £¥ ­¥à ¢¥­á⢠

f (xk k f 0(xk )) f (xk )   k kf 0(xk )k2 ; £¤¥  | ­¥ª®â®à ï ª®­áâ ­â  ¨§ ¨­â¥à¢ «  (0; 1). ‚ âà¥â쥬 ¬¥â®¤¥ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ¨§ â®çª¨ xk ¢ â®çªã xk+1 ¬¨­¨¬¨§¨àã¥âáï ¯®  äã­ªæ¨ï f (xk  f 0 (xk )) : k = arg min f (xk  f 0 (xk )): 0 â® ¬¥â®¤ ­ ¨áª®à¥©è¥£® á¯ã᪠. ‘«¥¤ãîé ï ⥮६  ᮤ¥à¦¨â ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï á室¨¬®á⨠¬¥â®¤  á ¯®áâ®ï­­ë¬ è £®¬. 66

(¥à¢ ï ⥮६  á室¨¬®áâ¨) ãáâì äã­ªæ¨ï f ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ Rn , ®£à ­¨ç¥­  á­¨§ã f (x)  f  > 1; ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ‹¨¯è¨æ  ¤«ï £à ¤¨¥­â  f 0(x) :

’¥®à¥¬  4.1

kf 0(x) f 0(y)k  L kx yk ¨ ¤«¨­  è £   㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î 0 <  < 2=L: ’®£¤  f 0(xk ) ! 0 ¯à¨ k ! 1 ¨ f (xk )  f (xk ); ¯à¨ «î¡®¬ ¢ë¡®à¥ ­ ç «ì­®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï x : +1

0

„®ª § â¥«ìá⢮.

­¨©

‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© ª®­¥ç­ëå ¯à¨à é¥-

Z

1

f (x + y ) = f (x) + hf 0 (x + y ); y i d; 0

ª®â®àãî ¯¥à¥¯¨è¥¬ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:

f (x + y ) = f (x) + hf 0 (x); y i +

Z

1

hf 0(x + y) f 0(x); yi d:

0

‘¤¥« ¥¬ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ x = xk ; y = f 0 (xk ): ’®£¤  ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠ Š®è¨ - ã­ïª®¢áª®£® jha; bij  kak kbk ¨ ãá«®¢¨ï ‹¨¯è¨æ  ¯®«ã稬 f (xk+1 )  f (xk ) + hf 0 (xk ); f 0(xk )i+

Z

1

+ jhf 0 (xk f 0 (xk )) f 0 (xk ); f 0(xk )ijd  0

 f (xk )  kf 0(xk )k + 2

Z

1

+ kf 0 (xk f 0 (xk )) f 0 (xk )kkf 0(xk )kd  0

67

 f 0(xk )

 kf 0(xk )k2 +

Z

1

Lkf 0 (xk )k kf 0(xk )kd =

0

 kf 0 (xk )k2 + L2

= f (xk )

kf 0(xk )k2

L=2)kf 0(xk )k2 = f (xk )

Z

1

d =

0

(1

kf 0(xk )k2; £¤¥ = (1 L=2): ˆ§ ãá«®¢¨© ⥮६ë á«¥¤ã¥â, çâ® > 0 ¨, = f (xk )

á«¥¤®¢ â¥«ì­®,

f (xk+1)  f (xk ): Šà®¬¥ ⮣®, ¤«ï «î¡®£® s ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮: f (xs+1 )  f (x0 )

s X

k=0

kf 0(xk )k : 2

®í⮬ã, ãç¨âë¢ ï ®£à ­¨ç¥­­®áâì ä㭪樨 f ­  ¬­®¦¥á⢥ Rn , ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥­ªã ᢥàåã ¤«ï ç áâ¨ç­ëå á㬬: s X

k=0

kf 0(xk )k  (f (x ) f (xs ))=  (f (x ) f )= : 2

0

+1

0

Žâªã¤  ¨ á«¥¤ã¥â á室¨¬®áâì ª ­ã«î £à ¤¨¥­â  f 0(xk ) ¯à¨ k ! 1: ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ‚ ãá«®¢¨ïå ⥮६ë 4.1 £à ¤¨¥­â­ë© ¬¥â®¤ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â á室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠ff (xk )g «¨¡® ª â®ç­®© ­¨¦­¥© £à ­¨ inf x f (x) (¥á«¨ äã­ªæ¨ï f (x) ­¥ ¨¬¥¥â ¬¨­¨¬ã¬ ), «¨¡® ª §­ ç¥­¨î f (x); £¤¥ x = limk!1 xk ¨ f 0 (x) = 0 (¥á«¨ â ª®© ¯à¥¤¥« áãé¥áâ¢ã¥â). ‘ãé¥áâ¢ãî⠯ਬ¥àë, ª®£¤  ¢ â®çª¥ x ॠ«¨§ã¥âáï ᥤ«®,   ­¥ ¬¨­¨¬ã¬. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ­  ¯à ªâ¨ª¥ ¬¥â®¤ë £à ¤¨¥­â­®£® á¯ã᪠ ®¡ëç­® ®¡å®¤ïâ ᥤ«®¢ë¥ â®çª¨ ¨ ­ å®¤ïâ «®ª «ì­ë¥ ¬¨­¨¬ã¬ë 楫¥¢®© ä㭪樨. „«ï ®æ¥­ª¨ ᪮à®á⨠á室¨¬®á⨠¬¥â®¤  ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨© ⥮६ë 4.1 ­¥¤®áâ â®ç­®. ‘¤¥« ¥¬ íâ® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤  f (x) | ᨫ쭮 ¢ë¯ãª« ï äã­ªæ¨ï. 68

f ­ §ë¢ ¥âáï ᨫìl > 0), ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x ¨ y ¨§ Rn

Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4.1 „¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ­® ¢ë¯ãª«®© (á ª®­á⠭⮩ á¯à ¢¥¤«¨¢®

f (x + y )  f (x) + hf 0(x); y i + lky k2=2:

(4.1)

f ï¥âáï ᨫ쭮 ¢ë¯ãª«®© (á ª®­l > 0), â® ®­  ¨¬¥¥â £«®¡ «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ ­  Rn .

‹¥¬¬  4.1 …᫨ äã­ªæ¨ï á⠭⮩

„®ª § â¥«ìá⢮.

­ïª®¢áª®£® á«¥¤ã¥â

ˆ§ ãá«®¢¨ï (4.1) ¨ ­¥à ¢¥­á⢠ Š®è¨ - ã-

f (x + y )  f (x) kf 0 (x)kky k + lky k2=2: ãáâì r = 2kf 0(x)k=l: …᫨ ky k > r, â®

f (x + y )  f (x) + ky k(lky k=2 kf 0(x)k) > f (x):

(4.2)

 áᬮâਬ è à B (x; r) á 業â஬ ¢ â®çª¥ x ¨ à ¤¨ãá  r: ® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá  ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï f ¤®á⨣ ¥â ᢮¥£® ¬¨­¨¬ã¬  ­  è à¥ B (x; r) ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥ x . ˆ§ ­¥à ¢¥­á⢠ (4.2) á«¥¤ã¥â, çâ® x | ¬¨­¨¬ã¬ ­  ¢á¥¬ Rn : ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ .

f ï¥âáï ᨫ쭮 ¢ë¯ãª«®© (á ª®­l > 0) ¨ x | ¥¥ £«®¡ «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬, â® ¤«ï «î¡®£®

‹¥¬¬  4.2 …᫨ äã­ªæ¨ï á⠭⮩

x 2 Rn ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮

kf 0(x)k  2l(f (x) f (x)): (4.3) „®ª § â¥«ìá⢮. ’ ª ª ª äã­ªæ¨ï f ᨫ쭮 ¢ë¯ãª« ï, â® ¯®¤áâ ­®¢ª  y = x x ¢ (4.1) ¤ ¥â á«¥¤ãî饥 ­¥à ¢¥­á⢮ f (x) f (x) + hf 0(x); x xi + lkx xk =2  0: 2

2

’ ª ª ª

p q p q hf 0(x)= 2l + l=2(x x); f 0(x)= 2l + l=2(x x)i = 69

p

â®

q

= kf 0(x)= 2l + l=2(x x)k2  0;

kf 0(x)k =2l + hf 0(x); x xi + lkx x)k =2  0   f (x) f (x) + hf 0(x); x xi + lkx xk =2: 2

2

2

®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥­¨ï ¯®¤®¡­ëå ç«¥­®¢ ¯®«ã稬 âॡ㥬®¥ ­¥à ¢¥­á⢮. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . ’¥®à¥¬  4.2

(‚â®à ï ⥮६  á室¨¬®áâ¨)

ãáâì äã­ªæ¨ï

f

¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¢ Rn , ï¥âáï ᨫ쭮 ¢ë¯ãª«®©, ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ‹¨¯è¨æ  ¤«ï £à ¤¨¥­â  f 0 (x) : kf 0(x) f 0 (y )k  L kx y k ¨ ¤«¨­  è £ 

 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î 0 <  < 2=L: ’®£¤ 

xk ! x ¯à¨ k ! 1 ¨ kxk x k  Cq k ; 0  q < 1: „®ª § â¥«ìá⢮. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ­¥à ¢¥­á⢮¬, ¯®«ã祭­ë¬ ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⥮६ë 4.1:

f (xk+1)  f (xk ) (1 L=2)kf 0(xk )k2: ® «¥¬¬¥ 4.1 áãé¥áâ¢ã¥â £«®¡ «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ x ä㭪樨 f: ˆá¯®«ì§ãï (4.3), ¯®«ã稬

f (xk+1 )  f (xk ) l(2 L)(f (xk ) f (x)): ‚ëç¨â ï ¨§ ®¡¥¨å ç á⥩ ­¥à ¢¥­á⢠ ¢¥«¨ç¨­ã f (x ), ¯®«ã稬

f (xk+1 ) f (x)  (1 l(2 L))(f (xk ) f (x)):

(4.4)

Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ q1 ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ ¢ëà ¦¥­¨¨ (f (xk ) f (x)): ®­ïâ­®, çâ®

f (xk+1 ) f (x)  q1k+1 (f (x0) f (x)):

(4.5)

à®¢¥à¨¬, çâ® q1  0: ”ã­ªæ¨ï f ï¥âáï ᨫ쭮 ¢ë¯ãª«®©. ‡­ ç¨â, ®­  ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ª®­á⠭⮩ ¨ ¨¬¥¥âáï ¢®§¬®¦­®áâì 70

¢ë¡à âì ­ ç «ì­ãî â®çªã x0 â ª, ç⮡ë f (x0) > f (x) . ˆ§ ­¥à ¢¥­á⢠ (4.4) ¯à¨ k = 0 ¨¬¥¥¬ 0  f (x1 ) f (x )  q1 (f (x0) f (x )); ®âªã¤  ¨ á«¥¤ã¥â âॡ㥬®¥ ­¥à ¢¥­á⢮. ’ ª ª ª q1 < 1; â® f (xk ) ! f (x): “ç¨â뢠ï, çâ® f 0 (x ) = 0; ¨§ (4.1) ¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª å y = xk x ¨ x = x ¯®«ã稬 (f (xk ) f (x ))  lkxk xk2 =2: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,

kxk xk  2qk (f (x ) f (x))=l: 2

1

0

®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¢«¥ç¥â «¨­¥©­ãî ®æ¥­ªã ᪮à®á⨠á室¨¬®á⨠¬¥â®¤ 

kxk xk  Cqk ; p £¤¥ C = 2(f (x ) f (x ))=l; q = pq ;   â ª¦¥ á室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠fxk g ª ¥¤¨­á⢥­­®© â®çª¥ ¬¨­¨¬ã¬  x : ’¥®à¥¬  0

1

¤®ª § ­ .

4.2 Œ¥â®¤ ìîâ®­ 

¥à¥©¤¥¬ ª ¨§«®¦¥­¨î ¬¥â®¤  ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¨á¯®«ì§ãî饣® ¢â®àë¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¬¨­¨¬¨§¨à㥬®© ä㭪樨 f (x): â®â ¬¥â®¤ ï¥âáï ¯àï¬ë¬ ®¡®¡é¥­¨¥¬ ¬¥â®¤  ìîâ®­  ¤«ï ®âë᪠­¨ï à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë ãà ¢­¥­¨© '(x) = 0; £¤¥ ' : Rn ! Rn . ‚®§ì¬¥¬ «¨­¥©­ãî  ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î ä㭪樨 '(x) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ xk ¨ ¯¥à¥¯¨è¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:

'(x) = '(xk ) + '0(xk )(x xk ) + o(kx xk k) = 0: Žâ¡à áë¢ ï ¯®á«¥¤­¨© ç«¥­ ¢ í⮬ à §«®¦¥­¨¨, ¯®«ã稬 «¨­¥©­ãî á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨© ®â­®á¨â¥«ì­® ­®¢®£® ¯à¨¡«¨¦¥­¨ï xk+1 . 71

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¥â®¤ ìîâ®­  ®âë᪠­¨ï à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë ãà ¢­¥­¨© ®¯¨á뢠¥âáï á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«®©:

xk+1 = xk ('0(xk )) 1 '(xk ):  áᬮâਬ ⥯¥àì á«ãç ©, ª®£¤  äã­ªæ¨ï '(x) ï¥âáï £à ¤¨¥­â®¬ ­¥ª®â®à®© ä㭪樨 f (x): ”®à¬ã«  ¬¥â®¤  ìîâ®­  ¤«ï à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï f 0 (x) = 0 ¢ë£«ï¤¨â â ª:

xk+1 = xk (f 00(xk )) 1 f 0 (xk ): ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¬¥â®¤ ìîâ®­  ¬®¦­® ¨­â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª ¯®¨áª â®çª¨ ¬¨­¨¬ã¬  ª¢ ¤à â¨ç­®©  ¯¯à®ªá¨¬ æ¨¨ ä㭪樨 f (x) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ xk :

f

‹¥¬¬  4.4 ãáâì | ¤¢ ¦¤ë ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï. …᫨ | ᨫ쭮 ¢ë¯ãª« ï äã­ªæ¨ï á ª®­á⠭⮩ ,

f

l

â® ¢ë¯®«­ï¥âáï á«¥¤ãî饥 ­¥à ¢¥­á⢮:

k[f 00(x)] k  l : 1

1

®«ì§ãïáì ⥮६®© ® á।­¥¬, ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騥 ä®à¬ã«ë ¤«ï ª®­¥ç­ëå ¯à¨à é¥­¨© ä㭪樨 f : „®ª § â¥«ìá⢮.

Z

1

f (x + y ) f (x) = hf 0(x + ty); y idt = hf 0(x + 1y ); y i = 0

= hf 0 (x); y i + hf 00(x + 2y )y; y i=2; £¤¥ 0  1 ; 2  1: ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ãá«®¢¨¥¬ ᨫ쭮© ¢ë¯ãª«®áâ¨

hf 00(x +  y)y; yi=2 = f (x + y) f (x) hf 0(x); yi  lkyk =2: ‡ ¬¥­ïï y ­  ty , ¯®«ã稬: hf 00(x +  ty)ty; tyi  lktyk : 2

2

2

2

72

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,

t2hf 00(x + 2ty)y; y i  t2 lky k2: ®¤¥«¨¢ ­  t2 ¨ ãáâ६«ïï t ª ­ã«î, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì

hf 00(x)y; yi  lkyk : ®«®¦¨¬ y = (f 00(x)) z ¨, ¨á¯®«ì§ãï ­¥à ¢¥­á⢮ Š®è¨-ã­ïª®¢áª®£®, ¯®«ã稬 lk(f 00(x)) z k  kz k ¤«ï «î¡®£® z: â® ®§­ ç ¥â, çâ® k[f 00(x)] k  l : 2

1

1

1

1

‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . ãáâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fxk g ¯®«ã祭  á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤  ìîâ®­  ¨ â®çª  x | £«®¡ «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨 f . ¨¦¥á«¥¤ãîé ï ⥮६  ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥â ãá«®¢¨ï ª¢ ¤à â¨ç­®© ᪮à®á⨠á室¨¬®á⨠¬¥â®¤ . ’¥®à¥¬  4.3 ãáâì ¤¢ ¦¤ë ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï

f ᨫ쭮 ¢ë¯ãª«  (á ª®­á⠭⮩ l > 0), ¢â®à ï ¯à®¨§¢®¤­ ï

㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ 

kf 00(x) f 00(y)k  L kx yk; ¤«ï «î¡ëå x; y 2 Rn ; q = Lkf 0(x )k=2l < 1: ’®£¤  xk ! x ¯à¨ k ! 1 ¨

0 2 ¨ ìîâ®­  ¨¬¥¥â ª¢ ¤à â¨ç­ãî ᪮à®áâì á室¨¬®áâ¨

¬¥â®¤

kxk xk  (2l=L)q k : 2

„®ª § â¥«ìá⢮.

­ëå ¯à¨à é¥­¨©:

‚®á¯®«ì§ã¥¬áï á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«®© ª®­¥ç-

Z

1

g (x + y ) = g (x) + hg 0(x); y i + (g 0(x + y ) 0

73

g 0(x))d:

®¤áâ ¢¨¬ ¢¬¥áâ® g ¯à®¨§¢®¤­ãî ä㭪樨 f ¨, ¯à¨¬¥­ïï ­¥à ¢¥­á⢮ Š®è¨-ã­ïª®¢áª®£®, ¯®«ã稬

kf 0(x + y) f 0(x) hf 00(x); yik  Lkyk =2: 2

’®£¤  ¤«ï x = xk ¨ y = [f 00 (xk )] 1f 0 (xk ) ¨¬¥¥¬

kf 0(xk )k  (L=2)k[f 00(xk )] k kf 0(xk )k : +1

1 2

2

à¨¬¥­ïï «¥¬¬ã 4.4, ¯®«ã稬

kf 0(xk )k  (L=2l )kf 0(xk )k : +1

2

2

ˆâ¥à¨àãï íâ® ­¥à ¢¥­á⢮ ¯® k, ¯à¨å®¤¨¬ ª ­¥à ¢¥­áâ¢ã

kf 0(xk )k  (2l =L) (L| kf 0(x{z)k=2l}) +1

2

0

k 2 2

+1

q

:

Žáâ ¥âáï ¯®ª § âì, çâ®

kf 0(xk )k  lkxk +1

+1

x k:

ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 4.1 ᨫ쭮©-¢ë¯ãª«®á⨠¨¬¥¥¬

hf 0(x) f 0(y); x yi  lkx yk : 2

’®£¤  ¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥ y = x; x = xk+1 ; ãç¨â뢠ï à ¢¥­á⢮ f 0 (x) = 0; ¯®«ã稬

lkxk+1 x k2  hf 0 (xk+1 ); x xk+1i 

 kf 0(xk )k kx xk k; +1

+1

®âªã¤  ¨ á«¥¤ã¥â âॡ㥬®¥ ­¥à ¢¥­á⢮. ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . 74

4.3 Œ¥â®¤ ¢®§¬®¦­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨©

à¥¤áâ ¢«¥­­ë© ­¨¦¥  «£®à¨â¬ ¯à¥¤­ §­ ç ¥âáï ¤«ï ¯®¨áª  íªáâ६㬠 ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ®£à ­¨ç¥­¨© ⮫쪮 ⨯  ­¥à ¢¥­áâ¢.  áᬮâਬ § ¤ çã min f (x) (4.6) 'i (x)  0 i = 1; :::; m; (4.7) n x2R ; (4.8) £¤¥ f (x); 'i(x) { £« ¤ª¨¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ä㭪樨. ‚¢®¤ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ãî ¨ ®£à ­¨ç¥­¨¥, ¬®¦­® ᤥ« âì ä㭪樮­ « § ¤ ç¨ «¨­¥©­ë¬: min y (4.9) f (x)  y (4.10) 'i (x)  0 i = 1; :::; m; (4.11) n x2R ; (4.12) ®í⮬㠡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® f (x) = hc; xi: ãáâì, ª ª ¨ ¯à¥¦¤¥, Q = fx j 'i(x)  0; i = 1; : : :; mg | ¬­®¦¥á⢮ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© § ¤ ç¨ (4.6)-(4.8), J (x) = fi j 'i (x) = 0g; ¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ‘«¥©â¥à . ¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à p ­ §®¢¥¬ ¢®§¬®¦­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ Q ¨§ â®çª¨ x; ¥á«¨ ­ ©¤¥âáï 0 > 0 â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å  2 (0; 0) â®çª  x + p ¯à¨­ ¤«¥¦¨â Q: ¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à p ­ §ë¢ ¥âáï ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ á¯ã᪠ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ Q ¨§ â®çª¨ x; ¥á«¨ p ¢®§¬®¦­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¨§ í⮩ â®çª¨ ¨ hc; pi < 0: „«ï 䨪á¨à®¢ ­­®© â®çª¨ x 2 Q à áᬮâਬ ¢á¯®¬®£ â¥«ì­ãî § ¤ çã «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï   = min  (4.13) hc; pi   (4.14) 0 h'i(x); pi   ¤«ï ¢á¥å i 2 J (x); (4.15) j pl j 1; ¤«ï ¢á¥å l = 1; : : :; n: (4.16) 75

“á«®¢¨ï (4.16) ­ §ë¢ îâáï ãá«®¢¨ï¬¨ ­®à¬¨à®¢ª¨. ˆ§ ãá«®¢¨© (4.16) ¨ (4.14) á«¥¤ã¥â, ç⮠楫¥¢ ï äã­ªæ¨ï (4.13) ®£à ­¨ç¥­  á­¨§ã ­  ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©. ’®£¤  ¨§ ªà¨â¥à¨ï à §à¥è¨¬®á⨠¤«ï § ¤ ç «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ­ ©¤¥âáï å®âï ¡ë ®¤­® ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ (p ;  ) § ¤ ç¨ (4.13)-(4.16). ã«¥¢®¥ à¥è¥­¨¥ p = 0;  = 0 ï¥âáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ ¢á¯®¬®£ â¥«ì­®© § ¤ ç¨ ¨, §­ ç¨â,    0: à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®   < 0: ’®£¤  hc; pi    < 0 ¨ h'0i(x); pi    < 0; i 2 J (x): ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, p 6= 0 ¨ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à  i 2 J (x) ¨¬¥¥¬

'i(x + p) = 'i (x + p ) 'i(x) = h'0i(x); pi+ +o()  (  + o()=) < 0 ¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå  > 0: …᫨ i 62 J (x), â® ¥áâì 'i (x) < 0, â® ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 'i ­¥à ¢¥­á⢮ 'i(x + p ) < 0 ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­ïâìáï ¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå  > 0: ®í⮬㠭 ©¤¥âáï 0 > 0 â ª®¥, çâ® x + p 2 Q ¤«ï ¢á¥å  2 (0; 0); ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¢¥ªâ®à p ï¥âáï ¢®§¬®¦­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠ Q ¨§ â®çª¨ x: ˆ§ ­¥à ¢¥­á⢠ (4.14) ¯®«ã稬, çâ® p ï¥âáï â ª¦¥ ¨ ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ á¯ã᪠. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,

f (x + p ) f (x) = hc; pi    < 0: …᫨   = 0, â® ­¥«ì§ï ã⢥ত âì, çâ® p ¡ã¤¥â ¢®§¬®¦­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¨«¨ ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ á¯ã᪠ ¢ â®çª¥ x:  ¯à¨¬¥à, ¬®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® hc; pi = 0 ¨«¨ '0i (x) = 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ­®¬¥à  i 2 J (x): ‚ á«ãç ¥ ®¡é¥© § ¤ ç¨ ­¥«¨­¥©­­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ¡¥§ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ãá«®¢¨© ⨯  ¢ë¯ãª«®á⨠ࠢ¥­á⢮   = 0 ï¥âáï «¨èì ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¬¨­¨¬ã¬ . „«ï § ¤ ç¨ ¢ë¯ãª«®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï (4.6)-(4.8) ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï ‘«¥©â¥à  ¯®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ ï¥âáï â ª¦¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ®¯â¨¬ «ì­®áâ¨. 76

’¥®à¥¬  4.4

(Šà¨â¥à¨© ®¯â¨¬ «ì­®áâ¨) ãáâì (p ;  )

¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ ¢á¯®¬®£ â¥«ì­®© § ¤ ç¨ ¤«ï

 = 0

¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤  ­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.6)-(4.8).

x 2 Q:

x

®¯â¨’®£¤ 

| ®¯â¨¬ «ì-

®ª ¦¥¬ ¤®áâ â®ç­®áâì. ãáâì x | ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.6)-(4.8) ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®   < 0: ’®£¤  p 6= 0:  áᬮâਬ ¢¥ªâ®à x + p ¨ ¢ë¡¥à¥¬ §­ ç¥­¨¥  =  á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. …᫨ i 2 J (x ), â® h'0i (x); pi < 0: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, 'i(x +  p ) < 0 ¯à¨ ¢á¥å  2 (0; i) ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¬ «®£® i > 0: …᫨ i 62 J (x ), â® ¥áâì 'i (x) < 0, â® ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 'i (x) ­¥à ¢¥­á⢮ 'i (x + p ) < 0 á®åà ­¨âáï ¯à¨ ¢á¥å  2 (0; i) ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¬ «®£® i > 0: ®«®¦¨¬  = mini=1;:::;mfi g: ’®£¤  ¤«ï «î¡®£®  2 (0; ) ¢¥ªâ®à x + p ï¥âáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (4.6)-(4.8). ˆ§ ãá«®¢¨ï hc; pi   < 0 ¯®«ã稬 f (x + p) < f (x), ¯à¨  2 (0; ); çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯â¨¬ «ì­®á⨠x: „®ª ¦¥¬ ­¥®¡å®¤¨¬®áâì. ãáâì x ­¥ ï¥âáï ®¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (4.6)-(4.8). ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â x 2 Q, ¤«ï ª®â®à®£® f (x) f (x ) = hc; x x i < 0: ãáâì p = x x : ’®£¤  hc; pi < 0. …᫨ 'i (x) = 0; â® ¥áâì i 2 J (x); â® ¨§ á«¥¤ãî饣® ­¥à ¢¥­á⢠ ¤«ï £« ¤ª¨å ¢ë¯ãª«ëå ä㭪権 'i (x)  'i(x) + h'0i(x); x xi ¯®«ã稬 (4.17) h'0i(x); pi  0: ˆ§ ãá«®¢¨ï ‘«¥©â¥à  á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¢¥ªâ®à  x; ¤«ï ª®    â®à®£® 'i(x) < 0; i = 1; : : :; m: ãáâì p =x x : …᫨ i 2 J (x ); â®  ­ «®£¨ç­® (4.17) ¨¬¥¥¬

„®ª § â¥«ìá⢮.

h'0i(x); pi < 0: 77



‚롥६ p = p +  p : ’®£¤  ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «®¬  á¯à ¢¥¤«¨¢® hc; pi < 0 ¨ h'0i (x); pi < 0 ¤«ï i 2 J (x ): Žâá ­¥¯®á।á⢥­­® ¢ë⥪ ¥â, çâ®   < 0: ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . …᫨ ¢ à¥è¥­¨¨ (p;  ) § ¤ ç¨ (4.13)-(4.16) ¢¥«¨ç¨­    < 0 ¬ «  ¯®  ¡á®«îâ­®© ¢¥«¨ç¨­¥, â® íâ® ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª § ¬¥¤«¥­¨î ᪮à®á⨠á室¨¬®á⨠¬¥â®¤  ¢®§¬®¦­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨©. —â®¡ë ¨§¡¥¦ âì íâ¨å âà㤭®á⥩, á«¥¤ã¥â ¨§¬¥­¨âì ¬­®¦¥á⢮ ­®¬¥à®¢ J (x) ¢ ®£à ­¨ç¥­¨¨ (4.15). Ž¯¨è¥¬ ®¤¨­ ¨§ â ª¨å ¯®¤å®¤®¢, ¢ ª®â®à®¬ ¨á¯®«ì§ã¥âáï á«¥¤ãî饥 ¬­®¦¥á⢮ ­®¬¥à®¢ fi j  < 'i(x)  0g; £¤¥  |¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«®. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, íâ® ¬­®¦¥á⢮ ­®¬¥à®¢ ®£à ­¨ç¥­¨© § ¤ ç¨ (4.6)-(4.8), ª®â®àë¥ ¢ â®çª¥ x ¢ë¯®«­ïîâáï ª ª à ¢¥­á⢠ á â®ç­®áâìî ¤®  > 0: ãáâì 0 > 0 ¨ x0 2 Q { ­¥ª®â®à®¥ ­ ç «ì­®¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥. „®¯ãá⨬, çâ® ¨§¢¥áâ­® k ¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥ xk 2 Q ¨ k > 0: ‚¢¥¤¥¬ ¬­®¦¥á⢠ ­®¬¥à®¢

J k = J (xk ; k) = fi j k < 'i(xk )  0g; J0k = fi j 'i (xk ) = 0g:  áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï:

k = min  hc; pi   0 k h'j (x ); pi  ; ¤«ï ¢á¥å j 2 J k ; j plkmid  1; ¤«ï ¢á¥å l = 1; : : :; n:

(4.18) (4.19) (4.20) (4.21)

Ž¡®§­ ç¨¬ íâã § ¤ çã P (xk ; J k ): à¨¢¥¤¥¬ ®¯¨á ­¨¥ ®¤­®© ¨â¥à æ¨¨ ¬¥â®¤  ¢®§¬®¦­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨©. ãáâì (pk ; k ) | ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ P (xk ; J k ):  áᬮâਬ âਠá«ãç ï: 1) …᫨ k  k , â® ¯®« £ ¥¬ k+1 = k : 2) …᫨ k < k < 0, â® ¯®« £ ¥¬ k+1 = k =2: 3) …᫨ k = 0; â® ­ ©¤¥¬ à¥è¥­¨¥ (pk ; k ) § ¤ ç¨ P (xk ; J0k ). à¨  k = 0 ¢¥ªâ®à xk ᮣ« á­® ªà¨â¥à¨î ®¯â¨¬ «ì­®á⨠ï¥âáï 78

®¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (4.6)-(4.8). …᫨ ¦¥  k < 0; â® ¯®« £ ¥¬ k+1 = k =2; pk = pk : Š ª 㦥 㯮¬¨­ «®áì ¢ëè¥, ¢ á«ãç ¥ k = 0 ­¥«ì§ï ã⢥ত âì, çâ® ¢¥ªâ®à pk ï¥âáï ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ á¯ã᪠. ®í⮬ã, à¥è¨¢ § ¤ çã P (xk ; J0k ); ­  ®á­®¢ ­¨¨ ⥮६ë 4.4 ¬®¦­® ®æ¥­¨âì ®¯â¨¬ «ì­® ¨«¨ ­¥â ⥪ã饥 ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥ xk : …᫨  k < 0; â® ¢ ª ç¥á⢥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï á¯ã᪠ ¢ë¡¨à ¥âáï ¢¥ªâ®à pk : „«¨­  è £  k ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® á«¥¤ãî饩 á奬¥. ãáâì ki { ­ ¨¬¥­ì訩 ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ª®à¥­ì ãà ¢­¥­¨ï 'i (xk +  pk ) = 0: ’®£¤  ¯®« £ ¥¬ k = mini ki ¨

xk+1 = xk + k pk ; J k+1 = J (xk+1 ; k+1 ): ' (x)

’¥®à¥¬  4.5 ãáâì i { £« ¤ª¨¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ä㭪樨, ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ ‘«¥©â¥à  ¨ ¬­®¦¥á⢮ ®£à ­¨ç¥­®. ’®£¤  k 1) ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì á室¨âáï ª ¢¥«¨ç¨­¥

Q

ff (x )g f  = minx2Q f (x); â® ¥áâì f (xk ) = hc; xki ! f  ¯à¨ k ! 1; 2) «î¡ ï ¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª  x ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠fxk g ¥áâì â®çª  ¬¨­¨¬ã¬  ä㭪樨 f (x) ­  ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© Q: ® ¯®áâ஥­¨î ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ff (xk )g ­¥¢®§à áâ îé ï ¨, ¢ ¢¨¤ã ®£à ­¨ç¥­­®á⨠¬­®¦¥á⢠ Q; áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« f^ = limk f (xk ) ¨

„®ª § â¥«ìá⢮.

f (xk ) f (xk+1 ) ! 0 ¯à¨ k ! 1:

(4.22)

‚¥«¨ç¨­  k ­  ª ¦¤®¬ è £¥ «¨¡® ¤¥«¨âáï ¯®¯®« ¬, «¨¡® ®áâ ¥âáï ¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨©. ®ª ¦¥¬, çâ®  = limk!1 k = 0: à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢­®¥, â® ¥áâì  > 0: ’®£¤  ­ ©¤¥âáï K0 â ª®¥, çâ® k =  ¨ k   ¤«ï ¢á¥å k > K0. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ­ ç¨­ ï á ­®¬¥à  K0 ¢  «£®à¨â¬¥ ¢á¥£¤  ॠ«¨§ã¥âáï ¯¥à¢ë© á«ãç © k = : ‚롥६ ­¥ª®â®àãî á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fxki ; pki g ! (x; p). ’ ª ï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì áãé¥áâ¢ã¥â ¢ 79

¢¨¤ã ®£à ­¨ç¥­­®á⨠¬­®¦¥á⢠ Q ¨ ãá«®¢¨ï ­®à¬¨à®¢ª¨ (4.21). ãáâì J  = J (x;  ) = fj j  < 'j (x)  0g: ’®£¤  ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ K1 > K0 ¤«ï ¢á¥å ki > K1 á¯à ¢¥¤«¨¢®  = ki < 'j (xki )  0 ¤«ï j 2 J  : â® ®§­ ç ¥â, çâ® J   J ki ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å ki: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,

hc; pki i  ki  ; h'0j (xki ); pki i  ki  ; ¤«ï j 2 J : ’®£¤  ¨§ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権 '0j (x) á«¥¤ã¥â h'0j (x); pi   ¤«ï j 2 J  : ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, 'j (x)   ¤«ï j 62 J  : Žâá ¢ë⥪ ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â  > 0 â ª®¥, çâ® 'j (x +  p ) < 0 ¤«ï ¢á¥å j: ‘ ãç¥â®¬ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権 'j íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® 'j (xki +  pki ) < 0 ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å ki ¨ ¢á¥å j: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®âá á«¥¤ã¥â, çâ® ki >  : ’®£¤  f (xki ) f (xki ) = ki hc; pki i >   > 0; çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â (4.22). ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,  = 0: ®ª ¦¥¬, çâ® f^ = f  : ãáâì t < t < ::: < ti < ::: { ­®¬¥à  â¥å ¨â¥à æ¨©, ª®£¤  ¯à®¨á室¨â ¤à®¡«¥­¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë k : ˆ§ ­¥à ¢¥­á⢠ti < ti  0 á«¥¤ã¥â, çâ® limti !1 ti = 0: Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® xti ! x : ãáâì f^ = f (x) > f  : ’®£¤  ¨§ ªà¨â¥à¨ï ®¯â¨¬ «ì­®á⨠᫥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ p ;   < 0 â ª¨¥, çâ® hc; pi  ; h'0j (x); pi  ; ¤«ï j 2 J  = fi j 'i(x) = 0g: ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ­ ©¤¥âáï  > 0 : 'j (x ) <  ¤«ï ¢á¥å j 62 J  : ˆ§ ­¥¯à¥à뢭®© ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪権 'j (x) á«¥¤ã¥â, çâ® ­ ©¤¥âáï ­®¬¥à K â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å ti > K hc; pi < =2; (4.23) h'0j (xti ); pi < =2; ¤«ï ¢á¥å j 2 J ; (4.24) +1

1

2

0

0

0

80

'j (xti ) < ; ¤«ï ¢á¥å j 62 J0 :

(4.25) Šà®¬¥ ⮣®, ¨§ á室¨¬®á⨠ª 0 ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠fk g á«¥¤ã¥â ­¥à ¢¥­á⢮   ti ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å ti : ˆ§ ¯®á«¥¤­¥£® ­¥à ¢¥­á⢠ ¨ ­¥à ¢¥­á⢠ (4.25) ¨¬¥¥¬ J ti  J0 ¤«ï ¢á¥å ti ¡®«ìè¨å ­¥ª®â®à®£® K1 > K: Žâá, á ãç¥â®¬ ­¥à ¢¥­á⢠(4.23), (4.24) ¨ ¢ë¡®à  p; ¯®«ãç ¥¬

hc; pi < =2; h'0j (xti ); pi < =2; ¤«ï ¢á¥å j 2 J ti ; kpl k  1; ¤«ï ¢á¥å l = 1; : : :; n:

’ ª¨¬ ®¡à §®¬,

ti <  =2 < 0;

¤«ï «î¡®£® ti > K1; çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â á室¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠fti g ª ­ã«î. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, f^ = f (x) = f  = min f (x): x2Q

®áª®«ìªã f (xk ) > f (xk+1 ), â® ¤«ï «î¡®© ¯à¥¤¥«ì­®© â®çª¨ x ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠fxk g ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮

f (x) = f (x): ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . 4.4 Œ¥â®¤ èâà ä­ëå ä㭪権

®¬¨¬® ¬¥â®¤  ¢®§¬®¦­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨© áãé¥áâ¢ãîâ ¨­ë¥ ¬¥â®¤ë ¯®¨áª  ãá«®¢­®£® íªáâ६㬠. Ž¤­¨¬ ¨§ ­¨å ï¥âáï ¬¥â®¤ èâà ä­ëå ä㭪権. Žá­®¢­ ï ¨¤¥ï ¬¥â®¤  § ª«îç ¥âáï ¢ ᢥ¤¥­¨¨ ¨á室­®© § ¤ ç¨ 81

f (x) ! min x2Q

(4.26)

Q = fx 2 Rn j 'i(x)  0; i = 1; :::; mg

(4.27)

ª ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠§ ¤ ç ¬¨­¨¬¨§ æ¨¨

Fk (x) ! xmin ; k = 1; 2; : : : 2 Rn

(4.28)

£¤¥ Fk (x) | ­¥ª®â®à ï ¢á¯®¬®£ â¥«ì­ ï äã­ªæ¨ï, ª®â®à ï ¯®¤¡¨à ¥âáï â ª, ç⮡ë á à®á⮬ ­®¬¥à  k ®­  ¬ «® ®â«¨ç « áì ®â ¨á室­®© ä㭪樨 f (x) ­  ¬­®¦¥á⢥ Q ¨ ¡ëáâà® ¢®§à áâ «  ­  ¬­®¦¥á⢥ Rn n Q. ëáâàë© à®áâ ä㭪樨 Fk (x) ¢­¥ Q ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å k ­¨¦­ïï £à ­ì í⮩ ä㭪樨 ­  Rn ¡ã¤¥â ¤®á⨣ âìáï ¢ â®çª å, ¡«¨§ª¨å ª ¬­®¦¥áâ¢ã Q, ¨ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.28) ¡ã¤¥â ¯à¨¡«¨¦ âìáï ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­­ëå ãá«®¢¨ïå ª à¥è¥­¨î ¨á室­®© § ¤ ç¨ (4.26)-(4.27). à¨ í⮬ ¨¬¥¥âáï ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì让 ¯à®¨§¢®« ¢ ¢ë¡®à¥ ä㭪権 Fk (x). â® ¯®§¢®«ï¥â ¯®¤®¡à âì ­ ¨¡®«¥¥ 㤮¡­ë© ¢¨¤ ¬¨­¨¬¨§¨à㥬®© ä㭪樨 Fk (x) ¨ ¯à¨¬¥­¨âì ¡®«¥¥ ¯à®áâë¥ ¬¥â®¤ë ¡¥§ãá«®¢­®© ®¯â¨¬¨§ æ¨¨. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4.2 ”ã­ªæ¨ï ªæ¨¥© ¬­®¦¥á⢠ n¨

x2R

Q,

¥á«¨

lim P (x) = k!1 k

Pk (x) ­ §ë¢ ¥âáï èâà ä­®© äã­Pk (x)  0 ¤«ï «î¡ëå k = 1; 2; : : :;

(

0; +1;

¥á«¨ ¥á«¨

x2Q x 2= Q:

ˆ§ í⮣® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢¨¤­®, çâ® ¯à¨ ¡®«ìè¨å ­®¬¥à å k §  ­ àã襭¨¥ ãá«®¢¨ï x 2 Q ¯à¨å®¤¨âáï ¯« â¨âì ¡®«ì让 èâà ä, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯à¨ x 2 Q íâ®â èâà ä áâ६¨âáï ª ­ã«î á à®á⮬ k (à¨á. 10). 82

¨á. 10. ˜âà ä­ë¥ ä㭪樨 „«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠ Q ¬®¦­® 㪠§ âì ᪮«ì 㣮¤­® ¬­®£® èâà ä­ëå ä㭪権. ãáâì [a]+ = max(0; a) ¨

g (x) =

m X i=1

['i (x)]+:

’¥¯¥àì ¬­®¦¥á⢮ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥

Q = fx 2 Rn j g (x)  0g; ¨ èâà ä­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ ïîâáï, ­ ¯à¨¬¥à, á«¥¤ãî騥:

kg (x); kg (x)2; ekg(x)=k; (1 + g (x))k 1: ãáâì èâà ä­ ï äã­ªæ¨ï Pk (x) 㦥 ¢ë¡à ­ . ®«®¦¨¬ Fk (x) = f (x) + Pk (x); k = 1; 2; : : : ¨ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® inf F (x) > x2Rn k

1; ¤«ï ¢á¥å k = 1; 2; : : :

(4.29)

’®£¤  ¤«ï ª ¦¤®£® k ¬®¦­® ¯®áâ à âìáï ­ ©â¨ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (4.28) ¨ ¯®«ãç¨âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ®¯â¨¬ «ì­ëå à¥è¥­¨©. 83

Š ᮦ «¥­¨î, ­¨¦­ïï £à ­ì ¢ (4.29) ¬®¦¥â ¤®á⨣ âìáï ­¥ ¯à¨ ¢á¥å k. ®í⮬㠧 ¤ ¤¨¬áï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâìî (k) â ª®©, çâ® (k) > 0; k = 1; 2; : : : ¨ (k) ! 0 ¯à¨ k ! 1 ¨ á ¯®¬®éìî ª ª®£®«¨¡® ¬¥â®¤  ¡¥§ãá«®¢­®© ®¯â¨¬¨§ æ¨¨ ­ ©¤¥¬ â®çª¨ xk ; k = 1; 2; : : : , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î

Fk = xinf F (x)  Fk (xk )  Fk + (k): 2Rn k

(4.30)

„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢¬¥áâ® â®ç­®£® à¥è¥­¨ï x ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¯à¨¡«¨¦¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ xk á ¯®£à¥è­®áâìî, ­¥ ¯à¥¢®á室ï饩 (k). Žâ¬¥â¨¬, çâ®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, xk ¬®¦¥â ¨ ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ âì Q. „ «ì­¥©è¥¥ ¨§«®¦¥­¨¥ 㦥 ­¥ § ¢¨á¨â ®â ⮣®, ª ª¨¬ ¨¬¥­­® ¬¥â®¤®¬ ¡ã¤¥â ­ ©¤¥­  â®çª  xk . ®íâ®¬ã ¬ë ®£à ­¨ç¨¬áï ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥¬ ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ â ª®£® ¬¥â®¤  ¨ ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î á室¨¬®á⨠¬¥â®¤  èâà ä­ëå ä㭪権. ãáâì èâà ä­ë¥ ä㭪樨 Pk (x) § ¤ îâáï á ¯®¬®éìî ¢á¯®¬®£ â¥«ì­ëå ä㭪権 k (g ) à ¢¥­á⢠¬¨ Pk (x) = k (g (x)) ¨ ä㭪樨 k (g ) â ª®¢ë, çâ® a) k (g ) ®¯à¥¤¥«¥­ë ¨ ­¥¯à¥àë¢­ë ¤«ï ¢á¥å k = 1; 2; : : : ; b) k (g ) ¯®«®¦¨â¥«ì­ë, ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ îâ ¯® g ¨ lim  (g ) = +1 ¤«ï g > 0; k!1 k c) k (g ) á室ïâáï ª 0 à ¢­®¬¥à­® ¯à¨ k ! 1 ¢ ®¡« á⨠g  0: ’®£¤  á«¥¤ãîé ï ⥮६  ¤ ¥â ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï á室¨¬®á⨠¬¥â®¤  èâà ä­ëå ä㭪権. ’¥®à¥¬  4.6 ãáâì ä㭪樨

Rn ; inf x2Rn f (x) > 1,

f; g

®¯à¥¤¥«¥­ë ¨ ­¥¯à¥àë¢­ë ­ 

èâà ä­ë¥ ä㭪樨 㤮¢«¥â¢®àïîâ k ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á®ãá«®¢¨ï¬ a) b) c) ¨ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ®â­®è¥­¨ï¬¨ (4.30). ’®£¤  k  1)

lim f (x )  f = xinf f (x) 2Q

k!1

fx g

¨

lim g (xk )  0;

k!1

x ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¬­®¦¥áâ¢ã Limfxk g ¯à¥¤¥«ì­ëå â®ç¥ª ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠fxk g, â® x 2 Q ¨ f (x ) = f  ; 3) ¥á«¨ ¬­®¦¥á⢮ Q0 = fx 2 Rn j g (x)  0 g ®£à ­¨ç¥­® ¤«ï 2) ¥á«¨

84

­¥ª®â®à®£®

0 > 0 , â® klim f (xk ) = f  ¨ !1 (xk; Q) = xinf kxk xk ! 0 ¯à¨ k ! 1: 2Q

1) ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î f  áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì 2 Q; ¤«ï ª®â®à®© f (ym) ! f  ¯à¨ m ! 1: ’®£¤  ¤«ï «î¡®£®  > 0 ­ ©¤ãâáï ­®¬¥à  m0 ; k0 â ª¨¥, çâ®

„®ª § â¥«ìá⢮.

fymg; ym

f (y m)  f  + ; (k) <  ¯à¨ m  m0 ; k  k0: “ç¨â뢠ï g (y m)  0 ¨ ãá«®¢¨¥ c), ¬®¦­® áç¨â âì, çâ®

Pk (y m) = k (g (ym))  

¯à¨ m  m0 ; k  k0: ˆ§ íâ¨å ­¥à ¢¥­á⢠¨ ãá«®¢¨© â¥®à¥¬ë ¨¬¥¥¬

f (xk )  Fk (xk )  Fk + (k)   Fk (ym) +  = f (ym) + Pk (ym) +   f  + 3: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, klim f (xk )  f  : !1 ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ k  k0 á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ k (g (xk )) = Fk (xk ) f (xk )  f  + 3 xinf f (x) < 1: 2Rn ®ª ¦¥¬, çâ® ®âá á«¥¤ã¥â ­¥à ¢¥­á⢮ klim g (xk )  0: à¥¤!1 ¯®«®¦¨¬, çâ® ¢¥à­® ®¡à â­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fxks g, ¤«ï ª®â®à®© g (xks )   > 0 ¤«ï ¢á¥å s, ¡®«ìè¨å ­¥ª®â®à®£® s0: ˆ§ ãá«®¢¨ï b) ¨¬¥¥¬ 0 < ks ()  ks (g (xks )) ! +1 ¯à¨ s ! 1: à®â¨¢®à¥ç¨¥. 2) ãáâì x 2 Limfxk g: ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fxks g á室ïé ïáï ª x: ”ã­ªæ¨ï g(x) ­¥¯à¥à뢭  ¨, ª ª ¤®ª §  ks g (xk )  0. ®í⮬ã slim ­® à ­¥¥, klim !1 g (x ) = g (x )  0: ‘«¥!1 ¤®¢ â¥«ì­®, x 2 Q: ˆ§ ãá«®¢¨© â¥®à¥¬ë ¨¬¥¥¬ f   f (x ) = 85

ks slim !1 f (x );

  ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢¥àå­¥£® ¯à¥¤¥«  á«¥¤ã¥â ®¡à â­®¥ ks ­¥à ¢¥­á⢮ slim f (xk )  f : ®í⮬ã f (x ) = f : !1 f (x )  klim !1

3) „®ª ¦¥¬, çâ® ¨§ ãáâ ­®¢«¥­­®£® ­¥à ¢¥­á⢠ klim g (xk)  0 !1 á«¥¤ã¥â (xk ; Q) ! 0 ¯à¨ k ! 1: à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â r > 0 â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® s > 0 ­ ©¤¥âáï ­®¬¥à ks  s, ¤«ï ª®â®à®£® (xks ; Q) > r:  áᬮâਬ ¯®¤¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fxks g: g (xk )  0 á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N0 ⠈§ ãá«®¢¨ï klim !1 ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® ks  N0 á¯à ¢¥¤«¨¢® g (xks )  0 : ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ Q0 ª®¬¯ ªâ­®, â® ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ¯®¤¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì fxks g á室¨âáï ª â®çª¥ x0 2 Q0 : ˆ§ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 g (x) ¯®«ã稬 g (x0)  0 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, x0 2 Q: “ç¨âë¢ ï ª®¬¯ ªâ­®áâì ¬­®¦¥á⢠ Q; á ¯®¬®éìî ­¥à ¢¥­á⢠ âà¥ã£®«ì­¨ª  «¥£ª® ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡ëå â®ç¥ª x0 ¨ x00 á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮

j(x0; Q) (x00; Q)j  kx0 x00k: ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, äã­ªæ¨ï (x; Q) | ­¥¯à¥à뢭 . ’®£¤  (xks ; Q) ! (x ; Q) ¯à¨ s ! 1: ®í⮬ã á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ (x ; Q)  r > 0: ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¢ëè¥ ¡ë«® ¤®ª § ­®, çâ® x 2 Q: ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. Œë ¯®ª § «¨, çâ® ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠ klim g (xk )  0 á«¥¤ã¥â (xk ; Q) ! 0 !1 ¯à¨ k ! 1: €­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­® ¯®ª § âì, çâ® ¨§ ­¥à g (xk )  0 á«¥¤ã¥â klim f (xk ) = f  : ’¥®à¥¬  ¤®ª § ­ . ¢¥­á⢠ klim !1 !1 0

0

0

‚ § ª«î祭¨¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¬¥â®¤ èâà ä­ëå ä㭪権 ¢ ­¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ ¡«¨§®ª ª ¬¥â®¤ã ¬­®¦¨â¥«¥© ‹ £à ­¦ . ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ á®áâ ¢«¥­¨¨ ä㭪樨 ‹ £à ­¦  ®£à ­¨ç¥­¨ï § ¤ ç¨ § ­®áïâáï ¢ 楫¥¢ãî äã­ªæ¨î á ­¥¨§¢¥áâ­ë¬¨ ¬­®¦¨â¥«ï¬¨, çâ® ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª èâà ä §  ­ àã襭¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®£à ­¨ç¥­¨©. „®á⮨­á⢮¬ ¬¥â®¤  ¬­®¦¨â¥«¥© ‹ £à ­¦  ï¥âáï â®, çâ® ¢ ­¥¬ ®âáãâáâ¢ãîâ ­¥®£à ­¨ç¥­­® à áâã騥 86

ª®íää¨æ¨¥­âë ⨯  èâà ä­ëå ª®íää¨æ¨¥­â®¢. ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¬¥â®¤ ¬­®¦¨â¥«¥© ‹ £à ­¦  ¯à¥¤¯®« £ ¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ᥤ«®¢®© â®çª¨,   ¬¥â®¤ èâà ä­ëå ä㭪権 ¬®¦¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¤«ï ¡®«¥¥ è¨à®ª¨å ª« áᮢ § ¤ ç ¨ ï¥âáï ¡®«¥¥ ã­¨¢¥àá «ì­ë¬.

87

 §¤¥« 5. ­¨¥

–¥«®ç¨á«¥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ -

„® á¨å ¯®à ­ ¬¨ à áᬠâਢ «¨áì § ¤ ç¨, ¤«ï ª®â®àëå ­ «¨ç¨¥ ã ¬­®¦¥á⢠ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© ­¥áª®«ìª¨å ª®¬¯®­¥­â á¢ï§­®á⨠(¢ ç áâ­®áâ¨, ¨§®«¨à®¢ ­­ëå â®ç¥ª) ä ªâ¨ç¥áª¨ áç¨â «®áì ¥­¨¥¬  ­®¬ «ì­ë¬, ¨ ¯®â®¬ã à áᬮâ७­ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥­¨ï ­  ¯®¤®¡­ë¥ á¨âã æ¨¨ ­¥ ¡ë«¨ à ááç¨â ­ë. Ž¤­ ª® ¢ à §«¨ç­ëå ¯à¨«®¦¥­¨ïå ¢®§­¨ª îâ § ¤ ç¨, ¢ ª®â®àëå ç áâì ¯¥à¥¬¥­­ëå (¨«¨ ¢á¥) ®¡ï§ ­ë ¯à¨­¨¬ âì §­ ç¥­¨ï ¨§ ­¥ª®â®à®£® ¤¨áªà¥â­®£® (ç áâ® ª®­¥ç­®£®) ¬­®¦¥á⢠. â® ¯à¨¢®¤¨â ª ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠ࠧࠡ®âª¨ ᯥ樠«ì­ëå ¬¥â®¤®¢ ¤«ï à¥è¥­¨ï ¯®¤®¡­ëå § ¤ ç. ‚ í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥­ë § ¤ ç¨ 楫®ç¨á«¥­­®£® «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï (–‹), ®â«¨ç î騥áï ®â ®¡ëç­ëå (­¥¯à¥à뢭ëå) § ¤ ç ‹ ­ «¨ç¨¥¬ âॡ®¢ ­¨ï 楫®ç¨á«¥­­®á⨠¯¥à¥¬¥­­ëå. Ž¤­  ¨§ ¢®§¬®¦­ëå ®¡é¨å ä®à¬ã«¨à®¢®ª § ¤ ç¨ –‹ â ª®¢ : cx ! max (5.1) Ax = b (5.2) x0 (5.3) xj | 楫®¥, j = 1; : : :; n: (5.4) ®¤ ‹-५ ªá æ¨¥© § ¤ ç¨ (5.1){(5.4) ¡ã¤¥¬ ¯®­¨¬ âì § ¤ ç㠋 (5.1){(5.3), ¯®«ãç ¥¬ãî ¨§ ¨á室­®© § ¤ ç¨ –‹ ¯ã⥬ ®â¡à á뢠­¨ï ãá«®¢¨© 楫®ç¨á«¥­­®á⨠¯¥à¥¬¥­­ëå. Žç¥¢¨¤­ãî ¨¤¥î ®ªà㣫¥­¨ï ­¥¯à¥à뢭®£® (â.¥. ­¥æ¥«®ç¨á«¥­­®£®) ®¯â¨¬ «ì­®£® à¥è¥­¨ï ‹-५ ªá æ¨¨ ¤«ï ¯®«ã祭¨ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ –‹ ­¥«ì§ï ¯à¨§­ âì ¯®¤å®¤ï饩 ¤«ï ¢á¥å á¨âã æ¨©. à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ¤ «¥ª® ­¥ ¢á¥£¤  ïá­®, ª ª ¯à®¢¥á⨠®ªà㣫¥­¨¥ ¤® ¤®¯ãá⨬®£® 楫®ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï. Šà®¬¥ ⮣®, «¥£ª® ¯®áâநâì ¯à¨¬¥àë, ¤«ï ª®â®àëå 楫®ç¨á«¥­­ë© ®¯â¨¬ã¬ ¡ã¤¥â ᪮«ì 㣮¤­® ¤ «¥ª ®â ­¥¯à¥à뢭®£® ª ª ¯® à ááâ®ï­¨î ¢ Rn , â ª ¨ ¯® §­ ç¥­¨î 楫¥¢®© ä㭪樨. 88

Š ª ¨ ¢ á«ãç ¥ § ¤ ç ‹, ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç –‹ ¨¬¥îâáï ª®­¥ç­ë¥  «£®à¨â¬ë, ®¤­ ª® ®¡é ï § ¤ ç  –‹ ®ª §ë¢ ¥âáï áãé¥á⢥­­® âà㤭¥¥ ¨ ¨§¢¥áâ­ë¥  «£®à¨â¬ë ¤«ï ­¥¥ §­ ç¨â¥«ì­® ¬¥­¥¥ íä䥪⨢­ë. ‚ ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ¨§¢¥áâ­ë ¤¢  ®á­®¢­ëå ᥬ¥©á⢠ ¬¥â®¤®¢ à¥è¥­¨ï § ¤ ç –‹: ¬¥â®¤ë ¢¥â¢¥© ¨ £à ­¨æ ¨ ¬¥â®¤ë ®âá¥ç¥­¨ï. Œë ¯®§­ ª®¬¨¬áï §¤¥áì á ¬¥â®¤ ¬¨ ®âá¥ç¥­¨ï, ¯®áª®«ìªã ®­¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¤ «ì­¥©è¥¥ à §¢¨â¨¥ 㦥 ¨§¢¥áâ­ëå ­ ¬ ¬¥â®¤®¢ «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï.

5.1 Ž¡é ï å à ªâ¥à¨á⨪  ¬¥â®¤®¢ ®âá¥ç¥­¨ï

à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë à¥è¨«¨ ‹-५ ªá æ¨î ¤ ­­®© § ¤ ç¨ –‹, ­ ¯à¨¬¥à, á ¯®¬®éìî ª ª®£®-«¨¡® ¢ à¨ ­â  ᨬ¯«¥ªá¬¥â®¤  ¨ ­ è«¨ ®¯â¨¬ «ì­®¥ ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ x0. …᫨ ¯®«ã祭­®¥ à¥è¥­¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î 楫®ç¨á«¥­­®áâ¨, â® ®­® ¨ ï¥âáï ®¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ –‹. …᫨ ¦¥ ­¥ ¢á¥ ª®¬¯®­¥­âë x0 楫®ç¨á«¥­­ë, â® ä®à¬¨àã¥âáï ­®¢ ï § ¤ ç  ‹ ¯ã⥬ ¤®¡ ¢«¥­¨ï ­®¢®£® ®£à ­¨ç¥­¨ï. „®¡ ¢«ï¥¬®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ (­ §ë¢ ¥¬®¥ ®âá¥ç¥­¨¥¬) ¢ë¡¨à ¥âáï â ª, çâ® x0 í⮬㠮£à ­¨ç¥­¨î ­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â (®âᥪ ¥âáï), ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢á¥ ¤®¯ãáâ¨¬ë¥ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ –‹ ®áâ îâáï ¤®¯ãá⨬묨 à¥è¥­¨ï¬¨ ­®¢®© § ¤ ç¨ ‹. ‡ â¥¬ à¥è ¥âáï ­®¢ ï § ¤ ç  ‹ ¨ ¢ëè¥ ãª § ­­ë¥ è £¨ ¯®¢â®àïîâáï ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª  ­¥ ¡ã¤¥â ¯®«ã祭® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ –‹, «¨¡® ­¥ ®¡­ à㦨âáï ¥¥ ­¥à §à¥è¨¬®áâì. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ª®­¥ç­®áâì â ª®£® ¯à®æ¥áá  ­¥ £ à ­â¨àã¥âáï. ˆáâ®à¨ç¥áª¨ ¯¥à¢ë¬  «£®à¨â¬®¬ à áᬠâਢ ¥¬®£® ⨯ , ª®­¥ç­®áâì ª®â®à®£® ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ®¡é¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå ãáâ ­®¢«¥­ , ¡ë« ¯¥à¢ë© (¨«¨ 横«¨ç¥áª¨©)  «£®à¨â¬ ƒ®¬®à¨. ‘ ¬  ¨¤¥ï ¬¥â®¤  ¯à¨­ ¤«¥¦¨â „ ­æ¨£ã. 89

5.2 ‘¯®á®¡ ¯®áâ஥­¨ï ®âá¥ç¥­¨©

‘¢®©á⢮ ¬¥â®¤  ®âá¥ç¥­¨ï ¡ëâì ¨«¨ ­¥ ¡ëâì ª®­¥ç­ë¬ à¥è î騬 ®¡à §®¬ § ¢¨á¨â ®â ᯮᮡ  ¯®«ã祭¨ï ®âá¥ç¥­¨©. à¨¢¥¤¥¬ á奬㠯®áâ஥­¨ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ®£à ­¨ç¥­¨©, ª®â®à ï ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¨§« £ ¥¬ëå ¤ «¥¥  «£®à¨â¬ å ƒ®¬®à¨. ‚ ¥¥ ®¯¨á ­¨¨ ¯®á।á⢮¬ bhc ®¡®§­ ç ¥âáï 楫 ï ç áâì ç¨á«  h, â.¥. ­ ¨¡®«ì襥 楫®¥, ­¥ ¯à¥¢®á室ï饥 h. ãáâì «¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï

 = d0

X

dj xj

j

(5.5)

¯à¨­¨¬ ¥â æ¥«ë¥ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï ­  ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© § ¤ ç¨ (5.1){(5.4) ¨ h 6= 0. …᫨ h | 楫®¥, â® ­¥®âà¨æ â¥«ì­®á⨠ ­¥ âॡã¥âáï. ’®£¤  ¤«ï «î¡®£® x, ïî饣®áï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (5.1){(5.4), ¨¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 ᮮ⭮襭¨ï:

h + Pj hdj xj = hd0;

X bhc + bhdj cxj  hd ; j X bhc + bhdj cxj  bhd c; X  ª®­¥æ, ¥á«¨

j

j

â®

0

(5.6)

0

(5.7)

(bhdj c bhcdj )xj  bhd0 c bhcd0 :

u = (bhd0c bhcd0)

X j

u  0;

(bhdj c bhcdj )xj ;

u | 楫®¥. 90

(5:50)

(5.8) (5.9) (5.10) (5.11)

à¨¢¥¤¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ¯®ïá­¥­¨ï ª ¢ëè¥áª § ­­®¬ã. à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â (5:50) ª (5:6) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ­¥®âà¨æ â¥«ì­®áâì xj ¨  . à¨ í⮬ ¢ á«ãç ¥ bhc = h §­ ª  ­¥ ¨¬¥¥â §­ ç¥­¨ï, â ª ª ª ¯¥à¢ë¥ á« £ ¥¬ë¥ ¢ (5:50) ¨ (5:6) ᮢ¯ ¤ îâ. ¥à ¢¥­á⢮ (5.8) ¯®«ã祭® ¨§ (5.7) ¯ã⥬ ¨áª«î祭¨ï  á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ (5.5). ¥à ¢¥­á⢮ (5.10) íª¢¨¢ «¥­â­® (5.8). ® ¯®¢®¤ã (5.11) ¤®áâ â®ç­® § ¬¥â¨âì, çâ® u ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© à §­®áâì ¤¢ãå 楫ëå ç¨á¥«,   ¨¬¥­­®, «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç á⨠­¥à ¢¥­á⢠ (5.7). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ãá«®¢¨© (5.9){(5.11) ª ®£à ­¨ç¥­¨ï¬ § ¤ ç¨ (5.1){(5.4) ¯®à®¦¤ ¥â § ¤ ç㠖‹ ⮣® ¦¥ ¢¨¤  ¨ íª¢¨¢ «¥­â­ãî ¨á室­®©. Š ­®¢®© § ¤ ç¥ –‹, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥­¥­ â®â ¦¥ á ¬ë© á¯®á®¡ ¯®à®¦¤¥­¨ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ®£à ­¨ç¥­¨©. ®áâ஥­¨¥ 㪠§ ­­ëå ®£à ­¨ç¥­¨© ¤®«¦­® ¡ëâì ª®­ªà¥â¨§¨à®¢ ­® â ª, çâ®¡ë ¬®¦­® ¡ë«® ¯®«ãç¨âì ¢ ª®­¥ç­®¬ áç¥â¥ § ¤ ç㠖‹, ‹-५ ªá æ¨ï ª®â®à®© ¨¬¥«  ¡ë 楫®ç¨á«¥­­®¥ ®¯â¨¬ «ì­®¥ ¡ §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¨á室­ ï § ¤ ç  –‹ à §à¥è¨¬ ). ¥è¥­¨¥ ¢®§­¨ª îé¨å ¢ 室¥ â ª®£® ¯à®æ¥áá  ‹-५ ªá æ¨© 楫¥á®®¡à §­® ¯à®¢®¤¨âì ¤¢®©á⢥­­ë¬ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤®¬. â® á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® ®ç¥à¥¤­ ï § ¤ ç  ‹ ¯®«ãç ¥âáï ¯ã⥬ ¤®¡ ¢«¥­¨ï ­¥ª®â®à®£® ®£à ­¨ç¥­¨ï ¯®á«¥ ⮣® ª ª ¡ã¤¥â ­ ©¤¥­® ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ ¯à¥¤ë¤ã饩 § ¤ ç¨. ‚ í⮩ á¨âã æ¨¨ ­¥ ¢®§­¨ª ¥â ª ª¨å-«¨¡® § âà㤭¥­¨© á ­ å®¦¤¥­¨¥¬ ­ ç «ì­®£® ¤¢®©á⢥­­® ¤®¯ãá⨬®£® ¡ §¨á  ¤«ï ­®¢®© § ¤ ç¨. à¨ í⮬ á 楫ìî ®¡¥á¯¥ç¥­¨ï ª®­¥ç­®á⨠¯à®æ¥áá  à¥è¥­¨ï ª ¦¤®© ¨§ ‹à¥« ªá æ¨© ¨, ¢ ª®­æ¥ ª®­æ®¢, á ¬®© § ¤ ç¨ –‹ ­ ¬ ¯à¨¤¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨¬ ¢ à¨ ­â®¬ ¤¢®©á⢥­­®£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ . 5.3 ‹¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨© ¤¢®©á⢥­­ë© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ -¬¥â®¤)

LD

(

Ž¯¨á ­¨¥ ¬¥â®¤  ­ ç­¥¬ á ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, ä®à¬  ª®â®à®© ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥â ®â«¨ç âìáï ®â ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥©áï à ­¥¥ 91

(á¬. à §¤¥« 2). ãáâì ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® ¡ §¨á  B ¬­®¦¥á⢮ ­®¬¥à®¢ ­¥¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¥áâì S 0 = f (1); : : :;  (l)g, l = n m; ¬­®¦¥á⢮ ­®¬¥à®¢ ¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå | S = f1; : : :; ng n S 0 . à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ 楫¥¢®© ä㭪樨 (®¡®§­ ç ¥¬®© ¯®á।á⢮¬ x0 ) ¨ ¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ç¥à¥§ ­¥¡ §¨á­ë¥ (¯® áãé¥áâ¢ã, à¥çì ¨¤¥â ® á¨á⥬¥ (2:100); (2:200) ¨§ à §¤¥«  2) ¡ã¤¥¬ § ¯¨á뢠âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

x i = z i0 +

Xl

j =1

zij ( x (j)); i 2 S [ f0g:

(5.12)

Š í⨬ ãà ¢­¥­¨ï¬ ¤®¡ ¢¨¬ â ª¦¥ ⮦¤¥á⢥­­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¢¨¤  xi = xi ¤«ï ­¥¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå

xi = ( 1)( xi ); i 2 S 0:

(5.13)

‘¨¬¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¡ã¤¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®© ¬ âà¨æã ª®íää¨æ¨¥­â®¢ zij ¯à ¢ëå ç á⥩ ãà ¢­¥­¨© á¨á⥬ë (5.12){(5.13). ‚ í⮩ â ¡«¨æ¥ ª®«¨ç¥á⢮ áâப à ¢­® n + 1; ¯® ®¤­®© áâப¥ ¤«ï ª ¦¤®© ¯¥à¥¬¥­­®©, ¢ª«îç ï ¨ 楫¥¢ãî äã­ªæ¨î x0 . —¨á«® á⮫¡æ®¢ à ¢­® l + 1, ¨§ ª®â®àëå 0-© ᮤ¥à¦¨â ᢮¡®¤­ë¥ ç«¥­ë ãà ¢­¥­¨©,   ®áâ «ì­ë¥ ­ å®¤ïâáï ¢® ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á ­¥¡ §¨á­ë¬¨ ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨, â ª çâ® j -¬ã á⮫¡æã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¥¬¥­­ ï x (j ) (á® §­ ª®¬ ¬¨­ãá).  ¯à¨¬¥à, ¢ á«ãç ¥  (j ) = m + j; j = 1; : : :; l; ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1

x0

z00

xi

z i0

. .

xm+1 .

xn

.

. 0 . 0

xm+1 : : : xn z01 : : : z0l . ::: . zi1 : : : zil . ::: . 1 ::: 0 . ::: . 0 ::: 1 92

®á।á⢮¬ j ®¡®§­ ç¨¬ j -© á⮫¡¥æ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, â.¥. j = (z0j ; z1j ; : : :; znj )T ; j = 0; 1; : : :; l: ’®£¤  á¨á⥬  ãà ¢­¥­¨© (5.12),(5.13) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­  ®¤­¨¬ ¢¥ªâ®à­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬ (x0 ; x1; : : :; xn )T = 0 +

Xl

j =1

j ( x (j) ):

(5.14)

…᫨ zrs 6= 0; r 2 S; s  1; â® ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¯®«­¥­® í«¥¬¥­â à­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¡ §¨á , ¯à¨ ª®â®à®¬ ¡ §¨á­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï xr ¨ ­¥¡ §¨á­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï x (s) ¯®¬¥­ïîâáï ஫ﬨ. à¨ í⮬ ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢­¥­¨ï (5.14) ¤®«¦­  ¡ëâì ¯à¥®¡à §®¢ ­  ¨ ¢ëà ¦¥­  ç¥à¥§ ­®¢ë© ­ ¡®à ­¥¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå. „«ï í⮣® ¢ëà §¨¬ ¯¥à¥¬¥­­ãî x (s) ¨§ r-£® ãà ¢­¥­¨ï á¨á⥬ë X x = 1 (z + z ( x ) x )  (s)

zrs

r0

j 6=s

rj

 (j )

r

¨ ¨áª«î稬 ¥¥ ¨§ ¯à ¢®© ç á⨠¢ (5.14). ®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¨ ¯à¨¢¥¤¥­¨ï ¯®¤®¡­ëå ¯®«ãç ¥¬ (x0; x1; : : :; xn )T = ( 0 zzro s )+ rs

X j 6=s

( j

zrj )( x ) + ( 1 )( x ): zrs s  (j) zrs s r

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥­â à­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¡ §¨á , ª®â®à®¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § ¬¥­  ­¥¡ §¨á­®© ¯¥à¥¬¥­­®© x (s) ­  xr , â.¥.  (s) := r, (¨«¨, çâ® â® ¦¥ á ¬®¥, § ¬¥­  ¡ §¨á­®© ¯¥à¥¬¥­­®© xr ­  x (s)) ¢«¥ç¥â ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, ®¯¨á뢠¥¬®¥ á奬®©: 8 > j zzrj s ; j 6= s; < j rs (5.15) 1 > : ( ) : s

zrs

93

s

‘¨¬¯«¥ªá-â ¡«¨æ㠡㤥¬ ­ §ë¢ âì ­®à¬ «ì­®©, ¥á«¨ ª ¦¤ë© ¥¥ á⮫¡¥æ j ; j = 1; : : :; l «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ¡®«ìè¥ ­ã«ï. 5.4 Ž¯¨á ­¨¥

LD-¬¥â®¤ 

0)  ç âì á ­®à¬ «ì­®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. 1) …᫨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ , â.¥. zi0  0; i = 1; : : :; n, â® ŠŽ…– (¯®«ã祭® ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥). 2) ‚ë¡à âì ¢¥¤ãéãî áâபã r : zr0 < 0; r  1. 3) …᫨ fj j zrj < 0; j  1g = 6 ;, â® ¢ë¡à âì ¢¥¤ã騩 á⮫¡¥æ s: 1 = lexminf 1 j z < 0; j  1g;

jzrsj

s

jzrj j

j

rj

¨­ ç¥ ŠŽ…– (§ ¤ ç  ­¥à §à¥è¨¬ ). 4) à¥®¡à §®¢ âì ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã, ¯®«®¦¨âì  (s) := r ¨ ¯¥à¥©â¨ ­  è £ 1. ‡ ¬¥ç ­¨ï.

1) à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (5.15) á®åà ­ï¥âáï ­®à¬ «ì­®áâì ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, çâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®ª § ­®, ¯® áãé¥áâ¢ã, ⥬ ¦¥ ᯮᮡ®¬, çâ® ¨ ¢ á«ãç ¥ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®£® ¢ à¨ ­â  ¯àאַ£® ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ . 2) ã«¥¢®© á⮫¡¥æ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ¯à¨ ª ¦¤®¬ ¥¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ 㬥­ìè ¥âáï:

0 zzr0 s  0; rs â ª ª ª zr0 < 0; zrs < 0 ¨ s  0. â® ᢮©á⢮ ¢«¥ç¥â ­¥¢®§-

¬®¦­®áâì ¯®¢â®à¥­¨ï ¡ §¨á®¢, çâ® ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ª®­¥ç­®áâì ç¨á«  ¨â¥à æ¨©. 3) „®áâ â®ç­® ®¡é¨© ᯮᮡ ¯®«ã祭¨ï ­®à¬ «ì­®© ᨬ¯«¥ªáâ ¡«¨æë ­  è £¥ 0 á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ãáâì ¢ ¯®«ã祭­®© ⥬ 94

¨«¨ ¨­ë¬ ᯮᮡ®¬ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ¥ á⮫¡¥æ s = lexminf j j j  1g «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ ®âà¨æ â¥«¥­ ¨ P ¤«ï ¢á¥å ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© § ¤ ç¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮ j 2S 0 xj  M . ’®£¤  P ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ®£à ­¨ç¥­¨ï xn+1 = M + j 2S 0 ( xj )  0 ­¥ ¨§¬¥­ï¥â ¬­®¦¥á⢠ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨©. „®¯®«­¨¢ (¢à¥¬¥­­®) ᨬ¯«¥ªáâ ¡«¨æã ­®¢®© (n + 1)-© áâப®© (M; 1; : : :; 1), ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯¥à¥¬¥­­®© xn+1 , ¨ ¯à®¨§¢¥¤ï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ á ¢¥¤ã騬 á⮫¡æ®¬ s ¨ ¢¥¤ã饩 áâப®© r = n + 1, ¬ë ¯®«ã稬 ­®à¬ «ì­ãî ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã. ®á«¥ í⮣® ¤®¡ ¢«¥­­ãî áâப㠬®¦­® 㤠«¨âì. 5.5 Ž¯¨á ­¨¥ ¯¥à¢®£®  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨

0)  ç âì á ­®à¬ «ì­®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë (¤«ï § ¤ ç¨ (5.1){(5.3)). ®«®¦¨âì  := 0: 1) …᫨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¯àאַ ¤®¯ãá⨬  ¨ ¢á¥ í«¥¬¥­âë zi0 ; i = 1; : : :; n; 楫ë¥, â® ŠŽ…– (¯®«ã祭® ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (5.1){(5.4)). 2) …᫨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ , â® ¢ë¡à âì ¬¨­¨¬ «ì­®¥ p  1; â ª®¥, çâ® zp0 | ­¥æ¥«®¥, ¯®«®¦¨âì  :=  + 1. ‘âபã á ­®¬¥à®¬ p áç¨â âì ¯à®¨§¢®¤ï饩. â®© áâப¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ãà ¢­¥­¨¥

xp = zp0

Xl

j =1

zpj x (j);

¯® ª®â®à®¬ã áâநâáï ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ ᮣ« á­® ®¯¨á ­­®¬ã ¢ëè¥ á¯®á®¡ã ¯à¨ h = 1 (஫ì  ¨£à ¥â xp ):

xn+ = fp0

Xl

j =1

( fpj )x (j )  0;

£¤¥ fpj | ¤à®¡­ ï ç áâì ç¨á«  zpj (zpj = bzpj c + fpj ; 0  fpj < 1). 95

Š ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ¥ ¤®¡ ¢«ï¥âáï (n + 1)-ï áâப , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ®£à ­¨ç¥­¨î (¡ §¨á­®© ¯¥à¥¬¥­­®© xn+ ). 3) ‚ë¡à âì ¢¥¤ãéãî áâபã r : zr0 < 0; r  1: 4) …᫨ fj j zpj < 0; j  1g 6= ;; â® ¢ë¡à âì ¢¥¤ã騩 á⮫¡¥æ s : 1 = lexminf 1 j z < 0; j  1g; jzrsj s jzrj j j rj ¨­ ç¥ ŠŽ…– (⥪ãé ï § ¤ ç  ‹,   á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¨ ¨á室­ ï § ¤ ç  –‹, ­¥à §à¥è¨¬  ¢¢¨¤ã ­¥á®¢¬¥áâ­®á⨠¥¥ ®£à ­¨ç¥­¨©). 5) à¥®¡à §®¢ âì ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã; ¯®«®¦¨âì  (s) := n +  ¨ ®â¡à®á¨âì (n + 1)-î áâபã, ¥á«¨ â ª®¢ ï ¨¬¥« áì, ¨­ ç¥  (s) := r; ¯¥à¥©â¨ ­  è £ 1. ‡ ¬¥ç ­¨ï.

1)  §¨á­®¥ à¥è¥­¨¥ x0 = (z10; : : :; zn0 )T ; ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ⥪ã饩 ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ¥ ¢ ¬®¬¥­â ¢¢¥¤¥­¨ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ®£à ­¨ç¥­¨ï, ï¥âáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ (5.1){(5.3) (¨ ®¯â¨¬ «ì­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ‹-५ ªá æ¨¨). ‚¢¨¤ã ⮣®, çâ® zp0 | ­¥æ¥«®¥, ¨¬¥¥¬ fp0 > 0; xn+ (x0 ) = fp0 < 0 ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, x0 ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ®£à ­¨ç¥­¨î ­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â, â.¥. ®âᥪ ¥âáï. 2) …᫨ ­  è £¥ 2 ¡ë«® ¢¢¥¤¥­® ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥, â® ­  è £¥ 3 ¢ ª ç¥á⢥ ¢¥¤ã饩 ¡ã¤¥â ¢ë¡à ­  ¥¤¨­á⢥­­® ¢®§¬®¦­ ï (n + 1)-ï áâப  ¨ ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ­­®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ¥ í«¥¬¥­â ¨§ ¯à®¨§¢®¤ï饩 áâப¨ ¨ ­ã«¥¢®£® á⮫¡æ  ¯à¨¬¥â §­ ç¥­¨¥ zp­0 = zp0 ( zfpsps ) ( fp0 ): ‚ á«ãç ¥ zps > 0 ¨¬¥¥¬ zps =fps  1 ¨ zp­0  zp0 fp0 = bzp0 c; â.¥. zp­0  bzp0c  zp0 : ®áª®«ìªã zps 6= 0 ¨ s  0, â® ¯®á«¥¤­¥¥ ãá«®¢¨¥ zps > 0 ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­¥­®, ¥á«¨ zis = 0 ¯à¨ i < p. 96

3) ‚ १ã«ìâ â¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ¨â¥à æ¨¨, ­  2-¬ è £¥ ª®â®à®© ¢¢®¤¨«®áì ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥, ¢­®¢ì ¢¢¥¤¥­­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï xn+ áâ ­®¢¨âáï ­¥¡ §¨á­®©,   ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥© áâப  ¨§ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë 㤠«ï¥âáï. â® ä ªâ¨ç¥áª¨ ®§­ ç ¥â, çâ® ­  ¯®á«¥¤ãîé¨å ¨â¥à æ¨ïå ¢ á«ãç ¥ ¯¥à¥å®¤  ¯¥à¥¬¥­­®© xn+ ¢ à §àï¤ ¡ §¨á­ëå, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 í⮩ ¯¥à¥¬¥­­®© ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ xn+  0 ¯¥à¥áâ ¥â ãç¨â뢠âìáï, â.¥. ®­® ®â¡à á뢠¥âáï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ ç¨á«® ãç¨â뢠¥¬ëå ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ®£à ­¨ç¥­¨© ­¥ ¯à¥¢®á室¨â ç¨á«  ­¥¡ §¨á­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå l. 5.6 Š®­¥ç­®áâì ¯¥à¢®£®  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨

„®ª § â¥«ìá⢮ ª®­¥ç­®á⨠ «£®à¨â¬  ¡ã¤¥â ¯à®¢¥¤¥­® ¯à¨ á«¥¤ãîé¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå: 1) ˆ§¢¥áâ­  ­¥ª®â®à ï (ãá«®¢­ ï) ­¨¦­ïï £à ­¨æ  M ¤«ï ®¯â¨¬ «ì­®£® §­ ç¥­¨ï 楫¥¢®© ä㭪樨 x0 (á®áâ®ï⥫쭮áâì ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ á«ãç ¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ®¯â¨¬ã¬ ). â® ¤ ¥â ¢®§¬®¦­®áâì ¯à¥ªà é âì ¢ëç¨á«¥­¨ï, ¥á«¨ ¢ ª ª®©-â® ¬®¬¥­â ®ª ¦¥âáï, çâ® z00 < M . 2) –¥«¥¢ ï äã­ªæ¨ï x0 ¯à¨­¨¬ ¥â 楫®ç¨á«¥­­ë¥ §­ ç¥­¨ï ­  ¬­®¦¥á⢥ ¤®¯ãá⨬ëå à¥è¥­¨© § ¤ ç¨ (5.1){(5.4). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ­ã«¥¢ ï áâப  ­ à ¢­¥ á ¤à㣨¬¨ áâப ¬¨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ¬®¦¥â (¨ ¡ã¤¥â) ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ª ç¥á⢥ ¯à®¨§¢®¤ï饩. “á«®¢¨¬áï ®â­®á¨â¥«ì­® â¥à¬¨­®«®£¨¨. Š ª 㦥 ¤¥« «®áì ¢ëè¥, ®¤­®ªà â­®¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥ è £®¢ 1){5) ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¨â¥à æ¨¥©. –¥«¥á®®¡à §­® à §«¨ç âì ¨â¥à æ¨¨ ¤¢ãå ⨯®¢. Š ¯¥à¢®¬ã ⨯㠮⭥ᥬ ¨â¥à æ¨¨, ­  ª®â®àëå ­¥ ¢¢®¤¨âáï ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥. â® ®¡ëç­ë¥ ¨â¥à æ¨¨ LD-¬¥â®¤  ¨«¨ LD-¨â¥à æ¨¨. à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¨â¥à æ¨© ¢â®à®£® ⨯  ¢¢®¤¨âáï ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥. ’ ª¨¥ ¨â¥à æ¨¨ ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ®á®¡ë¬¨ ¨«¨ ¨â¥à æ¨ï¬¨ ƒ®¬®à¨. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¤ ­­ë¬  «£®à¨â¬®¬ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­ ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¨â¥à æ¨©. 97

«¥¬¥­âë ¨ á⮫¡æë ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë, ¯®«ã祭­®© ¢ १ã«ìâ â¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ¯¥à¢ëå t ¨â¥à æ¨©, ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì zijt ¨ jt ᮮ⢥âá⢥­­® (zij0 { í«¥¬¥­âë ­ ç «ì­®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë). à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¨â¥à æ¨¨ «î¡®£® ⨯  ­ã«¥¢®© á⮫¡¥æ ᨬ¯«¥ªáâ ¡«¨æë «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨ 㬥­ìè ¥âáï (á¬. § ¬¥ç ­¨¥ 2 ª LD¬¥â®¤ã), â.¥.

00  01  02  : : :  0t  0t+1  : : : :

(5.16)

…᫨ ¡ë ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¡¥áª®­¥ç­®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠¨â¥à æ¨© ¡ë«® ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ®á®¡ëå ¨â¥à æ¨©, â® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨«® ¡ë ¤®ª § ­­®© à ­¥¥ ª®­¥ç­®á⨠LD-¬¥â®¤ , â ª ª ª ¢ í⮬ á«ãç ¥ ­ ç¨­ ï á ­¥ª®â®à®£® ¬®¬¥­â  à¥è « áì ¡ë LD-¬¥â®¤®¬ ®¤­  ¨ â  ¦¥ § ¤ ç  ‹. ®í⮬㠬®¦­® áç¨â âì, çâ® ®á®¡ëå ¨â¥à æ¨© ¢ ­ è¥© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠¡¥áª®­¥ç­® ¬­®£®. ãáâì t + 1;  = 1; 2; : : :; | ¯®à浪®¢ë¥ ­®¬¥à  íâ¨å ¨â¥à æ¨©. ˆ§ (5.16) á«¥¤ã¥â 0 z00  z001  z002  : : :  z00t  z00t+1  : : : :

(5.17)

Šà®¬¥ ⮣®, ¯® ᤥ« ­­®¬ã ­ ¬¨ ¤®¯ã饭¨î ®â­®á¨â¥«ì­® ®£à t  M. ­¨ç¥­­®á⨠®¯â¨¬ «ì­®£® §­ ç¥­¨ï x0 ; z00  áᬮâਬ ¯®¤¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì t1 ; z t2 ; : : :; z t ; : : : ; (5.18) z00 00 00 ®¡à §®¢ ­­ãî í«¥¬¥­â ¬¨ z00 ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ, ïîé¨åáï ¢å®¤t | ­¥æ¥«®¥, ⮠ᮣ« á­® ­ë¬¨ ¤«ï ®á®¡ëå ¨â¥à æ¨©. …᫨ z00 ¯à ¢¨« ¬  «£®à¨â¬  ­ã«¥¢ ï áâப  ­  ¨â¥à æ¨¨ t + 1 áâ ­¥â t +1  bz t c < z t (á¬. § ¬¥ç ­¨¥ ¯à®¨§¢®¤ï饩 ¨ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì z00 00 t00  +1  z00t +1, ®âá á«¥2 ª ®¯¨á ­¨î  «£®à¨â¬ ). ®áª®«ìªã z00 ¤ã¥â, çâ® ¢ ª ¦¤®¬ ®âªàë⮬ ¨­â¥à¢ «¥ ¢¨¤  (z; z + 1), £¤¥ z |

楫®¥ ç¨á«®, ¬®¦¥â à á¯®« £ âìáï ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ç«¥­  ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(5.18). “ç¨âë¢ ï ¬®­®â®­­®áâì ¨ ®£à ­¨ç¥­­®áâì í⮩ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨, ¨§ ᪠§ ­­®£® ¢ë⥪ ¥â, çâ® ­ ç¨­ ï á ­¥ª®â®à®£® ¬¥áâ  ¢á¥ ç«¥­ë ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⥩ (5.18) ¨ (5.17) 98

¡ã¤ãâ à ¢­ë ®¤­®¬ã ¨ ⮬㠦¥ 楫®¬ã ç¨á«ã z 00 , â.¥. ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (5.17) áâ ¡¨«¨§¨àã¥âáï. Žâá, ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® ­ ç¨­ ï á í⮣® ¬®¬¥­â  ­  ¢á¥å ¯®á«¥¤ãîé¨å ¨â¥à æ¨ïå í«¥¬¥­â z0s ¨§ ¢¥¤ã饣® á⮫¡æ  ¨ ­ã«¥¢®© áâப¨ ¡ã¤¥â à ¢­ïâìáï ­ã«î. (®á«¥¤­¥¥ ᢮©á⢮ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¯à¨¬¥­¨¬®áâì 㯮¬¨­ ¢è¥£®áï ¢ëè¥ § ¬¥ç ­¨ï 2 ª ⮩ á¨âã æ¨¨, ª®£¤  ¯¥à¢ ï áâப  ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢®¤ï饩). Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ T0 ­®¬¥à ¨â¥à æ¨¨, ­ ç¨­ ï á ª®â®à®© ¤«ï t = z 00 . ¢á¥å ¯®á«¥¤ãîé¨å ¨â¥à æ¨© t ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ z00 ’®£¤ , ãç¨â뢠ï (5.16), ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì T0  z T0 +1  : : :  z t  z t+1  : : : : z10 10 10 10

(5.19)

à®¢¥¤ï ¤ «¥¥ à áá㦤¥­¨ï,  ­ «®£¨ç­ë¥ ¢ë襯ਢ¥¤¥­­ë¬, ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ¢ë¢®¤ã ® ⮬, çâ® ­ ©¤¥âáï ­®¬¥à T1  T0 , ­ ç¨­ ï á t = z 10 , ª®â®à®£®, â.¥. ¯à¨ t  T1, ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­ïâìáï à ¢¥­á⢮ z10 £¤¥ z 10 | ­¥ª®â®à®¥ ­¥®âà¨æ â¥«ì­®¥ 楫®¥ ç¨á«®. (Ž£à ­¨ç¥­­®áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(5.19) ¨ ­¥®âà¨æ â¥«ì­®áâì z 10 á«¥¤ã¥â t  0 ¢¢¨¤ã ¯àאַ© ¤®¯ãá⨬®á⨠ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ ¨§ ⮣®, çâ® z10 á ­®¬¥à ¬¨ t ). à®¤®«¦ ï à áá㦤¥­¨ï, ¬ë ¢ ª®­¥ç­®¬ áç¥â¥ ¤®ª ¦¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨¥ â ª®£® ­®¬¥à  Tn , çâ® ¯à¨ ¢á¥å i = 1; : : :; n ¨ t  Tn ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¬¥áâ® à ¢¥­á⢠ zit0 = z i0 , £¤¥ z i0 | ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¥ æ¥«ë¥ ç¨á« . ®¤®¡­ë© ¢ë¢®¤ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ᤥ« ­­®¬ã ­ ¬¨ ¤®¯ã饭¨î ® ¡¥áª®­¥ç­®á⨠ç¨á«  ¨â¥à æ¨©. ’¥¬ á ¬ë¬ ¤®ª § ­  ª®­¥ç­®áâì ¯¥à¢®£®  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨. 5.7 ®«­®áâìî 楫®ç¨á«¥­­ë©  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨

¥¨§¡¥¦­ë¥ ¯à¨ ¬ è¨­­®© ॠ«¨§ æ¨¨ ®è¨¡ª¨ ®ªà㣫¥­¨ï ¤¥« îâ ®¯¨á ­­ë© ¢ëè¥  «£®à¨â¬ ­¥ãá⮩稢ë¬, ¯®áª®«ìªã ¯à¨å®¤¨âáï áâண® ®â«¨ç âì æ¥«ë¥ ç¨á«  ®â ­¥æ¥«ëå. Ž¤¨­ ¨§ ᯮᮡ®¢ ãáâà ­¨âì ®¯¥à æ¨¨ ®ªà㣫¥­¨ï,   ¢¬¥á⥠á ⥬ ¨ ­¥ãá⮩稢®áâì  «£®à¨â¬ , | íâ® ¯®¯ëâ âìáï ¨¬¥âì ¤¥«® á ᨬ¯«¥ªáâ ¡«¨æ ¬¨, ¢á¥ í«¥¬¥­âë ª®â®àëå 楫®ç¨á«¥­­ë. ˆ¬¥­­® íâ® ¨ 99

¤¥« ¥âáï ¢ ¯®«­®áâìî 楫®ç¨á«¥­­®¬  «£®à¨â¬¥ ƒ®¬®à¨. ¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, ç⮠楫®ç¨á«¥­­®áâì ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë ¯à¨ ¥¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ­  ®â¤¥«ì­®© ¨â¥à æ¨¨  «£®à¨â¬  á®åà ­¨âáï, ¥á«¨ ¢¥¤ã騩 í«¥¬¥­â zrs í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï à ¢¥­ 1. ‚¥áì ¢®¯à®á ¢ ⮬, ª ª ®¡¥á¯¥ç¨âì 㪠§ ­­®¥ à ¢¥­á⢮. 5.8 Ž¯¨á ­¨¥ ¯®«­®áâìî 楫®ç¨á«¥­­®£®  «£®à¨â¬ 

0)  ç âì á ­®à¬ «ì­®© 楫®ç¨á«¥­­®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. ®«®¦¨âì  := 0: 1) …᫨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ  ¯àאַ ¤®¯ãá⨬ , â® ŠŽ…– (¯®«ã祭® ®¯â¨¬ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨). 2) ‚ë¡à âì ¬¨­¨¬ «ì­®¥ p  1; â ª®¥, çâ® zp0 < 0. …᫨ fj j zpj < 0; j  1g = ;; â® ŠŽ…– (§ ¤ ç  ­¥à §à¥è¨¬  ¢¢¨¤ã ­¥á®¢¬¥áâ­®á⨠®£à ­¨ç¥­¨©). ‘âபã á ­®¬¥à®¬ p áç¨â âì ¯à®¨§¢®¤ï饩;  :=  + 1. ® ãà ¢­¥­¨î

xp = zp0

Xl j =1

zpj x (j);

ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã í⮩ áâப¥, ¢¢®¤¨âáï ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ ᮣ« á­® ®¯¨á ­­®¬ã ¢ëè¥ á¯®á®¡ã ¯à¨ á¯¥æ¨ «ì­® ¢ë¡à ­­®¬ h; 0 < h  1 (¯à ¢¨«® ¢ë¡®à  h ä®à¬ã«¨àã¥âáï ®â¤¥«ì­®):

xn+ = bhzp0 c

l X j =1

bhzpj cx j  0: ( )

(à¨ h = 1 ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®¨§¢®¤ï騬, ¯®áª®«ìªã zpj | 楫ë¥). Š ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æ¥ ¤®¡ ¢«ï¥âáï (n + 1)-ï áâப , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¢¢¥¤¥­­®¬ã ®£à ­¨ç¥­¨î (¡ §¨á­®© ¯¥à¥¬¥­­®© xn+ ). 100

3) ‚ë¡à âì (n + 1)-î áâப㠢 ª ç¥á⢥ ¢¥¤ã饩, r := n + 1: 4) ‚ë¡à âì ¢¥¤ã騩 á⮫¡¥æ s : 1 = lexminf 1 j z < 0; j  1g:

jzrsj

s

jzrj j

j

pj

5) à¥®¡à §®¢ âì ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æã; ¯®«®¦¨âì  (s) := n +  ¨ ®â¡à®á¨âì (n + 1)-î áâபã; ¯¥à¥©â¨ ­  è £ 1. à ¢¨«® ¢ë¡®à  h ¤®«¦­® ¡ëâì ­ æ¥«¥­® ­  ®¡¥á¯¥ç¥­¨¥ à ¢¥­á⢠ zrs = 1, â.¥. bhzps c = 1. ãáâì Jp = fj j zpj < 0; j  1g: ’®£¤  ­ã¦­®¥ ­ ¬ h ¤®«¦­® 㤮¢«¥â¢®àïâì ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ s 2 Jp á«¥¤ãî騬 âॡ®¢ ­¨ï¬:  ) bhzps c = 1, ¡) s  jbhz1pj cj j ; j 2 Jp n fsg: ’ ª ª ª jbhzpj cj  1 ¯à¨ h > 0 ¨ j 2 Jp , â® ãá«®¢¨¥ ¡) ¬®¦¥â ¢ë¯®«­ïâìáï ⮫쪮 ¢ á«ãç ¥ s = lexminf j j j 2 Jp g: â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¢¥¤ã騩 á⮫¡¥æ, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ­  è £¥ 4, ¬®¦¥â ¡ëâì 㪠§ ­ ¤® ¯®áâ஥­¨ï ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ®£à ­¨ç¥­¨ï (¤® ¢ë¡®à  h) áࠧ㠯®á«¥ ⮣®, ª ª áâ ­¥â ¨§¢¥áâ­  ¯à®¨§¢®¤ïé ï áâப . …᫨ ®¯à¥¤¥«¨âì ­ âãà «ì­ë¥ ç¨á«  j ; j 2 Jp , ¯®«®¦¨¢ s = 1 ¨ j = maxf j  s  j ;  | 楫®¥ g ¯à¨ j 2 Jp n fsg; â® áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ë¥ ¢ëè¥ âॡ®¢ ­¨ï ¡ã¤ãâ íª¢¨¢ «¥­â­ë á«¥¤ãî騬: ­ë

bhzpj c  j ; j 2 Jp: ‚ ᨫã 楫®ç¨á«¥­­®á⨠j ¯®á«¥¤­¨¥ ­¥à ¢¥­á⢠ íª¢¨¢ «¥­â-

hzpj  j ; j 2 Jp ¨«¨, ãç¨âë¢ ï ®âà¨æ â¥«ì­®áâì zpj , h  j =zpj ; j 2 Jp : …áâ¥á⢥­­® ¯®«®¦¨âì h = minf j =zpj j j 2 Jp g; 101

¢ë¡à ¢ ¨§ ¢á¥å ¤®¯ãá⨬ëå §­ ç¥­¨© ¬ ªá¨¬ «ì­®¥. ’ ª®© ¢ë¡®à ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® ®¡®á­®¢ ­­ë¬, ¯®áª®«ìªã ¡®«ì訬 §­ ç¥­¨ï¬ h, ª ª ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡®«¥¥ ᨫ쭮¥ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®¥ 㬥­ì襭¨¥ ­ã«¥¢®£® á⮫¡æ  ¢ १ã«ìâ â¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à ¢¨«® ¢ë¡®à  h ¬®¦¥â ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ­® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: 1) Ž¯à¥¤¥«¨âì ­®¬¥à s:

s = lexminf j j j 2 Jpg: 2) Ž¯à¥¤¥«¨âì ­ âãà «ì­ë¥ ç¨á«  j ; j 2 Jp :

s = 1; j = maxf j  s  j ;  | 楫®¥ g; j 2 Jp n fsg: 3) ®«®¦¨âì

h = minf j =zpj j j 2 Jpg: „®ª § â¥«ìá⢮ ª®­¥ç­®á⨠ «£®à¨â¬  ¯à®¢®¤¨âáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¯à¨ â¥å ¦¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ ᤥ« ­ë ¢ á«ãç ¥ ¯¥à¢®£®  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨, á ⮩ «¨èì à §­¨æ¥©, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ 楫®ç¨á«¥­­®áâì §­ ç¥­¨© 楫¥¢®© ä㭪樨 ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¡®«¥¥ ᨫ쭮£® ¤®¯ã饭¨ï ® 楫®ç¨á«¥­­®á⨠­ ç «ì­®© ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë. Ž¯¨à ïáì ­  «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áªãî ¬®­®â®­­®áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠f 0t g; ª ª ¨ ¯à¥¦¤¥, ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ë¢®¤ã ® áâ ¡¨«¨§ æ¨¨ t , â.¥. z t = z 00 ¯à¨ t  T0. §­ ç¥­¨© z00 00 „«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ áâ ¡¨«¨§ æ¨¨ ¯®á«¥¤ãîé¨å ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à  0t ¤®áâ â®ç­® § ¬¥â¨âì, çâ® ¢ १ã«ìâ â¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ¨â¥à æ¨¨ í«¥¬¥­â zp0 ¢®§à áâ ¥â (§¤¥áì p | ­®¬¥à ¯à®¨§¢®¤ï饩 áâப¨). Žâá, ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ á«ãç ¥ zit0+1 = zit0 ¯à¨ i = 0; 1; : : :; k 1; k-ï áâப  ­  (t + 1)-© ¨â¥à æ¨¨ ­¥ ¬®£«  ¡ëâì ¯à®¨§¢®¤ï饩, â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¡ë ¨¬¥«¨ 102

0t+1  0t : ‡­ ç¨â, zkt 0  0 ­  ¢á¥å ¨â¥à æ¨ïå ¯®á«¥ áâ ¡¨«¨§ æ¨¨ ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à  0t á ­®¬¥à ¬¨, ¬¥­ì訬¨ k. “ç¨âë¢ ï ¤ «¥¥ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áªãî ¬®­®â®­­®áâì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠f 0t g ¨ 楫®ç¨á«¥­­®áâì ¢¥«¨ç¨­ zkt 0 ; ¬¥â®¤®¬ ¨­¤ãªæ¨¨ ¯® k ¤®ª §ë¢ ¥âáï áâ ¡¨«¨§ æ¨ï ¢á¥å ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à  0t . â® ¨ § ¢¥à蠥⠤®ª § â¥«ìá⢮ ª®­¥ç­®á⨠¯®«­®áâìî 楫®ç¨á«¥­­®£®  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨. ‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

[1] ‚ á¨«ì¥¢ ‚.. —¨á«¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥­¨ï íªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç. Œ.:  ãª , 1980. [2] Š à¬ ­®¢ ‚.ƒ. Œ â¥¬ â¨ç¥áª®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¥. Œ.:  ãª , 1986. [3] Š®à¡ã⠀.€., ”¨­ª¥«ìè⥩­ ž.ž. „¨áªà¥â­®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¥. Œ.:  ãª , 1969. [4] Œ¨­ã Œ. Œ â¥¬ â¨ç¥áª®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¥. ’¥®à¨ï ¨  «£®à¨â¬ë. Œ.:  ãª , 1990. [5] Œ®¨á¥¥¢ .., ˆ¢ ­¨«®¢ ž.., ‘⮫ï஢  ….Œ. Œ¥â®¤ë ®¯â¨¬¨§ æ¨¨. Œ.:  ãª , 1978. [6]‘ãå à¥¢ €.ƒ., ’¨¬®å®¢ €.‚., ”¥¤®à®¢ ‚.‚. Šãàá ¬¥â®¤®¢ ®¯â¨¬¨§ æ¨¨. Œ.:  ãª , 1986. [7] •ã ’. –¥«®ç¨á«¥­­®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¥ ¨ ¯®â®ª¨ ¢ á¥âïå. Œ.: Œ¨à, 1974.

103

‘Ž„…†€ˆ…

 §¤¥« 1. ‚¢¥¤¥­¨¥

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3

 §¤¥« 2. ‹¨­¥©­®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¥

:::::::::::::::8

2.1  §¨á­ë¥ à¥è¥­¨ï : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2.2 Šà¨â¥à¨© à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 2.3 ‘¨¬¯«¥ªá-â ¡«¨æ  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 2.4 «¥¬¥­â à­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¡ §¨á  ¨ ᨬ¯«¥ªá-â ¡«¨æë : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 2.5 €«£®à¨â¬ ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 2.6 Ž ª®­¥ç­®á⨠ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 2.7 ‹¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22 2.8 ‚믮«­¥­¨¥ 0-£® è £  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 2.9 Œ®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­ë© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 2.10 „¢®©á⢥­­®áâì ¢ «¨­¥©­®¬ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¨ : : : : : : 28 2.11 „¢®©á⢥­­ë© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33  §¤¥« 3. ‡ ¤ ç¨ ­¥«¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï

37

3.1 ’¥®à¥¬ë ®â¤¥«¨¬®á⨠: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 3.2 ‚ë¯ãª«ë¥ ª®­ãáë : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 3.3 ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï íªáâ६㬠 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 3.4 Ž¡®¡é¥­­®¥ ¯à ¢¨«® ¬­®¦¨â¥«¥© ‹ £à ­¦  : : : : : : : : : : : 52 3.5 ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï íªáâ६㬠 : : : : : : 57  §¤¥« 4. —¨á«¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë ­¥«¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65 4.1 ƒà ¤¨¥­â­ë¥ ¬¥â®¤ë : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66 4.2 Œ¥â®¤ ìîâ®­  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 4.3 Œ¥â®¤ ¢®§¬®¦­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨© : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75

4.4 Œ¥â®¤ èâà ä­ëå ä㭪権 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81  §¤¥« 5. ­¨¥

–¥«®ç¨á«¥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ -

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88 5.1 Ž¡é ï å à ªâ¥à¨á⨪  ¬¥â®¤®¢ ®âá¥ç¥­¨ï : : : : : : : : : : : : : 89 5.2 ‘¯®á®¡ ¯®áâ஥­¨ï ®âá¥ç¥­¨© : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 90

5.3 ‹¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨© ¤¢®©á⢥­­ë© ᨬ¯«¥ªá-¬¥â®¤ (LD-¬¥â®¤) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91 5.4 Ž¯¨á ­¨¥ LD-¬¥â®¤  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94 5.5 Ž¯¨á ­¨¥ ¯¥à¢®£®  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95 5.6 Š®­¥ç­®áâì ¯¥à¢®£®  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨ : : : : : : : : : : : : : : : : 97 5.7 ®«­®áâìî 楫®ç¨á«¥­­ë©  «£®à¨â¬  ƒ®¬®à¨ : : : : : : : : : 99 5.8 Ž¯¨á ­¨¥ ¯®«­®áâìî 楫®ç¨á«¥­­®£®  «£®à¨â¬  : : : : : : 100 ‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103