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Gases Monoatómicos Se aplica la teoría cinética para el caso de un gas diluido constituido por esferas rígidas con el uso de las siguientes formulas y suposiciones: 8𝐾𝑇



𝑢̅ = √ 𝜋𝑚



𝑍 = 4 𝑛𝑢̅



1 𝜆 = 2𝜋𝑑2 𝑛 √ 2 : 𝑎= 𝜆 3



1

Valor medio de la velocidad molecular (1) Frecuencia de colisión de pared por unidad de área (2) Recorrido libre medio (3) Distancia de la última colisión (4)

Suposiciones: 

Gas de baja densidad.



Esferas rígidas que no se atraen, con masa conocida m y diámetro conocido d.



Gas en reposo v=0.



Se tiene en cuenta el movimiento molecular.

La única forma de energía que pueden intercambiar las esferas rígidas durante una colisión es la energía de traslación que se puede representar mediante la ecuación : 1 ̅̅̅ 𝑚𝑢2 2

3 2

= 𝐾𝑇 (5)

Donde el calor específico del gas a volumen constante está dado por: ̅̅̅2 ) = 3 𝑅 (6) ̃𝑣 = Ñ 𝑑 (1 𝑚𝑢 𝐶 𝑑𝑇 2 2

La densidad flujo de calor a través de un plano situado a una distancia constante y se halla: 1 ̅̅̅ 1 ̅̅̅ 3 2| 2| 𝑞𝑦 = 𝑍 2 𝑚𝑢 − 𝑍 2 𝑚𝑢 = 2 𝐾𝑍(𝑇|𝑦−𝑎 − 𝑇|𝑦+𝑎 ) (7 y 8) 𝑦−𝑎 𝑦+𝑎

Donde todas las moléculas tienen velocidades representativas de la región donde fue su última colisión. Y el perfil de temperatura T (y) es prácticamente lineal: 2

𝑑𝑇

𝑇|𝑦±𝑎 = 𝑇|𝑦 ± 3 𝜆 𝑑𝑦 (9)

Al combinar las ecuaciones 2,8 y 9 se obtiene la Ley de Fourier:

1 𝑑𝑇 𝑞𝑦 = − 𝑛𝐾𝑢̅𝜆 2 𝑑𝑦

En la que la conductividad calorífica viene dada por: 1 1 ̂𝑣 𝑢̅𝜆 𝑘 = 2 𝑛𝐾𝑢̅𝜆 = 3 𝜌𝐶

Sustituyendo se obtiene: 1

𝐾3 𝑇

𝑘 = 𝑑 2 √𝜋 3 𝑚

Donde k es independiente de P, P ≤10 atm

Para un tratamiento más exacto de los gases monoatómicos se aplica la teoría de Chapman-Enskog en donde k (T). Para T (°K): 𝑘 = 1.9891 × 10−4 

Además la relación entre 𝑘 y 𝜇

√𝑇/𝑀 𝜎 2 𝛺𝑘

𝑘=

15 𝑅 𝜇 4 𝑀

5 = 𝐶̂𝑣 𝜇 2

Gases poliatómicos Los gases poliatómicos poseen energía de traslación, rotación y vibración que se intercambian en las colisiones. Para este tipo de intercambio de energía Eucken desarrollo un método sencillo en donde: 𝑘 = (𝐶̂𝑝 +

5𝑅 )𝜇 4𝑀

Esta ecuación es un método sencillo para la estimación del número de Prandtl (𝑃𝑟 =

𝐶̂𝑝 𝜇 𝑘

), el cual al relacionarlo con la ecuación para gases poli atómicos se

obtiene: 𝑃𝑟 =



𝐶̂𝑝 𝜇 𝐶̂𝑝 = 𝑘 𝐶̂𝑝 + 1.25 𝑅

Donde los datos de 𝐶̂𝑝 y 𝜇 son fáciles de obtener a través de tablas o experimentalmente.

Aunque para gases poliatómicos es preferible utilizar datos experimentales. Este modelo tiene bastante concordancia para gases mono y diatómicos (excepto H2), con una desviación media del 8%, y llegando hasta 20% en agua a 100°C.

También existen otros métodos más específicos: •

Eucken Modificada: Con resultados que sobrepasan a los experimentales.

•

Modelo de Bromley: Gases no polares (excepto hidrocarburos).

•

Modelo de Misic-Thodos: Para hidrocarburos (excepto naftalenos y aromáticos)

Mezcla de gases La conductividad calorífica de una mezcla de gases se puede estimar por un método análogo al que se utiliza para el cálculo de la viscosidad en mezclas de gases: 𝑛

𝑥𝑖 𝑘𝑖 𝑛 ∑ 𝑥𝑗 𝛷𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗=1

𝑘𝑚𝑒𝑧𝑐 = ∑

2 −1/4 1/2 𝑀𝑗 1/4 1 𝑀𝑖 𝜇𝑖 (1 + ) [1 + ( ) ( ) ] 𝑀𝑗 𝜇𝑗 𝑀𝑖 √8



En donde 𝛷𝑖𝑗 =



En caso de no conocer el dato de viscosidad, utilizar 𝑘 = (𝐶̂𝑝 + 4 𝑀) 𝜇 para valores

5𝑅

definidos de k y 𝐶̂𝑝 .

Líquidos La obtención de la conductividad calorífica de líquidos está basada en la teoría de Bridgman con las siguientes suposiciones: 

Las moléculas se encuentran en una red cúbica con una separación entre centros. 1

 

̃ 3 𝑉 (𝑁̃)

̃ 𝑉

Donde 𝑁̃ es el volumen que ocupa cada molécula

La energía se transmite desde un plano de la red a otro contiguo con la velocidad del sonido.

Bridgman se basa en una nueva interpretación de la ecuación de la teoría de los gases de la esfera rígida.

1 𝑘 = 𝜌𝐶̂𝑣 𝑢̅𝜆 = 𝜌𝐶̂𝑣 |𝑢 ̅̅̅|𝑎 𝑦 3 Pero tomando en cuenta las siguientes suposiciones:

•

𝐶𝑣 de un liquido monoatómico = 𝐶𝑣 de un solido a temperatura elevada.

•

El valor medio de la velocidad molecular en 𝑦 se substituye por la velocidad del sonido.

•

La distancia 𝑎 se toma como la separación de la red.

Obteniendo así la ecuación de conductividad de líquidos (Ecuación de Bridgman): 2

̃ 3 𝑁 𝑘 = 3 ( ) 𝐾 𝑣𝑠 𝑉̃ La cual sufre una pequeña corrección: 2

̃ 3 𝑁 𝑘 = 2.8 ( ) 𝐾 𝑣𝑠 𝑉̃ 

La cual la hace aplicable cuando la densidad sea superior a la densidad critica



El éxito de esta ecuación se debe a que La transmisión de energía durante las colisiones entre moléculas poliatómicas no es completa.

Donde es importante mencionar que la ecuación para la velocidad del sonido a baja frecuencia se obtiene mediante: 𝑣𝑠 = √

𝐶𝑝 𝐶𝑣

𝜕𝑝 ( ) 𝜕𝜌 𝑇

Dónde: 

𝐶𝑝



(𝜕𝜌) se puede obtener de las medidas de compresibilidad isotérmica de

= 1 (excepto a Pc)

𝐶𝑣 𝜕𝑝

𝑇

una ecuación de estado.